de thi THPT Do LuongNghe An 2012

Theo ch ươ ng trình nâng cao.. hotgirld@gmail.com sent to www.laisac.page.tl.[r]

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN I NĂM 2012

TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG Mơn: Tốn khối A, B

Thời gian:180 phút không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2điểm) Cho hàm số y=x3−3

(

m+1

)

x2+12mx−3m+4 (C) Khảo sát vẽđồ thị hàm số m =

2 Tìm m để hàm số có hai cực trị A B cho hai điểm với điểm 1;

C− − 

 lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

Câu II (2điểm)

1 Giải phương trình: cos

(

1 sin

)

cos cos 2 x + x = x−  π − x

  Giải hệ phương trình

(

) (

)

2

3

8 13

x y y x

x x y y

 + + + =

 

+ + + = 

Câu III. (1điểm) Tính tích phân:

2

2

sin cos

cos

x x

I dx

x

π π −

− =

∫

Câu IV. (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng tại A D Biết AB = 2a, AD =a, DC = a (a > 0) SA⊥ mặt phẳng đáy (ABCD) Góc tạo mặt phẳng (SBC) với đáy 450 Tính thể

tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) theo a Câu V (1điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện 2

4

a + + +b c abc= Chứng minh

3

a b+ + ≤c

II PHẦN RIÊNG (3điểm) Thí sinh chỉđược làm một hai phần

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VIa (2điểm)

1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD có tâm 1; 2 I 

  Các đường thẳng AB, CD lần lượt qua điểm M

(

− −4; 1

)

, N

(

− −2; 4

)

Tìm toạđộ đỉnh hình vng biết B có hồnh độ âm

2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

(

)

9 4+ −x =m 2− +x 2+x

Câu VIIa (1điểm) Trong mặt phẳng toạđộ Oxy Ở góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt, thếở góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lấy 3, 4, điểm phân biệt (các điểm không nằm trục toạ độ) Trong 14 điểm ta lấy điểm Tính xác suất đểđoạn thẳng nối hai điểm cắt hai trục toạđộ

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VIb (2điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I thuộc đường thẳng

( )

d :x− − =y có hồnh độ

I

x = , trung điểm cạnh giao điểm của (d) trục Ox Tìm tọa

độ đỉnh hình chữ nhật

2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1

1

x y z

d = − = +

− hai điểm A

(

1;1; ,−

) (

B −1; 0;

)

a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A B đồng thời song song với đường thẳng d

b Qua A viết phương trình đường thẳng

( )

∆ vng góc với d cho khoảng cách từ B tới

( )

∆ nhỏ Câu VIIb (1điểm) Cho hai số phức liên hợp z z1, 2 thoả mãn điều kiện

2

z

z số thực

1 2

z −z = Tìm số phức z1

Hết

ĐÁP ÁN TOÁN LẦN

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Với m=0ta có hàm số y= −x3 3x2+4

* TXĐ: D=ℝ

* Sự biến thiên y'=3x2−6x, nên y'= ↔ =0 x x=2

0,25

- Hàm sốđồng biến khoảng

(

−∞∞; 0

)

và

(

2;+∞

)

, nghịch biến

( )

0;

- Cực trị Cực đại

( )

0; ; cực tiểu

( )

2;

- Giới hạn lim , lim

x→−∞y= −∞ x→+∞y= +∞

0,25

- Bảng biến thiên

x −∞ +∞

y’ + - +

y

4 +∞

−∞

0,25

1

* Đồ thị y

Giao với Ox:

(

−1; ; 2; 0

) ( )

Giao với Oy:

( )

0;

Các điểm khác

( ) ( )

1; ; 3;

-1 x

2

0,25

Ta có y'=3x2−3

(

m+1

)

x+12m Hàm số có hai cực trị y’ đổi dấu hai lần, y’ = có hai nghiệm phân biệt nên ∆ =

(

m−1

)

2 > ↔ ≠0 m

0,25

Khi hai cực trị A

(

2;9m

)

,B

(

2 ; 4m − m3+12m2−3m+4

)

0,25

Theo ta có 3 2

2

1

2

4 12

2

m

m

m m m

+ − =

 

↔ = − 

− + + + − =

 thỏa mãn

0,25 I

2

Khi dễ thấy A, B, C tam giác nhận O làm trọng tâm 0,25 PT ↔cosx+2 sin cosx x=cos 3x+4 sin 2x

(

)

sin sin cos

2

k x

x x x

x k

π

π

π

 = 

↔ + − = ↔

 = +



0,5 II

1

Vậy phương trình có nghiệm ,

2

k

ĐK hệ: 2 x y y x  + ≥   + ≥

 đặt

(

)

2

3 , 0,

a= x + y b= y + x a≥ b≥

Khi ta có hệ 2 25

4 13

a b a

b a b + = =   ↔   = + = 



4 a b =   =  0,25

Với

3 a b =   =

 ta có

(

2

)

2 4

8 72 65

y x

x y

y x

x x x

  + = = −   ↔   + =   − + − = 

(

)

(

)(

)

(

)

2

1 13

y x

x x x x

 = −  ↔  − + − + =  0,25

hệ có hai nghiệm

( ) ( )

x y; = 1;1

( ) (

x y; = − −5; 7

)

0,25

2 Với

(

2

)

2 9

18 72 45

y x

x y

y x

x x x

  + = = −   ↔   + =   − + − =

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2

1

9

3

9 36 72 36 36 72 36

y x y x

x x x x x x

  = − = −   ↔ ↔  + − + − =  + − + − =  

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1

9 9 0

3 3

9 6 6,

y x y x

x x x x

  = − = − =   ↔ ↔  + − − =  = − + = − −  

Vậy hệ có nghiệm

( ) ( )

x y; = 1;1 ,

( ) (

x y; = − −5; 7

)

,

( )

x y; = − +

(

6; 6−2

)

và

( )

x y; = − −

(

6; 6+2

)

0.25

* Ta có

4

2

2

3

sin sin

1 cos sin

cos cos

x x

I xdx x dx

x x π π π π − − =

∫

− =

∫

0,25 = 2 sin sin sin sin cos cos x x

x dx x dx

x x π π − − =

∫

+

∫

0,25 =

0 4

2 2

0

3

sin sin 1

1

cos cos cos cos

x x

dx dx dx dx

x x x x

π π π π − −     − + =  −  +  −     

∫

∫

∫

∫

0,25 III

=

(

)

0

(

)

4

7

tan tan

12

x x x x

π

π

π

−

s * Ta có AC=a nên tam giác ACD vuông

tại C → góc ∠SCA=450do SA=a

- .

S ABCD ABCD

V = S SA

(

)

1

2

ABCD

a S = AB+DC AD= Vậy

2

1

2

3 2

S ABCD

a a

V = a = A B

D

C

0,5

* Ta có

(

(

)

)

(

(

)

)

3

; ;

3

S DCB

S DCB BCD

BCD

V

V S d B SCD d B SCD

S

= ↔ = 0,25

IV

Trong

3

1 1

sin

3

S BCD BCD

a V = S SA= CB CD C SA= Vậy

(

(

)

)

3

2

3

;

3

S DCB BCD

V a a

d B SCD

S a

= = =

0,25

Giả sử

(

a−1

)(

b− ≥ ↔ + ≤1

)

a b ab+1 ta cần chứng minh

2

c≤ −ab↔ +c ab≤

0,25

Theo giả thiết 4=a2+ + +b2 c2 abc≥2ab+ +c2 abc↔ ≥4 2ab c+ +2 abc

0,25

(

c 2

)(

ab c 2

)

ab c

↔ + + − ≤ ↔ + − ≤ đpcm

Dấu a= = =b c

0,25 V

Trong trường hợp ngược lại

(

b−1

)(

c− ≥1

)

0hoặc

(

c−1

)(

a− ≥1

)

0và làm tương tự 0,25

PHẦN RIÊNG

1 Theo chương trình chuẩn

Gọi M' 7; 2

( )

và N' 5;5

( )

là điểm đối xứng với M, N qua I ta có N'∈AB M'∈CD Nên đường thẳng AB có phương trình 2x−3y+ =5

0,25

Gọi H hình chiếu vng góc I lên AB 1; 2

H 

→  

 

0,25

Gọi A a b

( )

; ta có

(

)

2

2

2

2

1 13

3

2

a b

A AB a

HA HI a b b

− = − 

∈ =

  

↔ ↔

 =    =

− + − =

   

 



hay

( )

2;3

A B

(

−1;1

)

0,25

Bằng cách đối xứng A, B qua I ta có C

(

1; ,−

) ( )

D 4; 0,25 Điều kiện − ≤ ≤2 x

Đặt t= 2− +x 2+xkhi ta có 2≤ ≤t 2

0,25

Bài tốn quy tìm m để phương trình t2+ =5 mt 2; 2 0,25

VIa

2

Bằng việc xét hàm số

( )

2

5

x f x

x +

Ta có kết 13

m

≤ ≤ 0,25

Đểđoạn thẳng nối hai điểm chon cắt hai trục hai đầu đoạn thăng phải góc phần tư thứ thứ ba phần tư thứ hai thứ bốn

0,25 Do số cách chọn sốđoạn thẳng C C21 41+C C31 51=23cách 0,25 Số cách chọn hai điểm C142 =91 0,25

VIIa

Vậy xác suất xẩy ởđề là: 23

91

0,25

2 Theo chương trình nâng cao

I có hoành độ

2

I

x =

( )

: 3; 2

I∈ d x− − =y ⇒ I 

 

Vai trò A, B, C, D nên trung điểm M cạnh AD giao điểm (d) Ox, suy M(3;0)

(

) (

2

)

2 9

2 2

4

I M I M

AB= IM = x −x + y −y = + =

D

12

D = 12 AD = 2

3

ABCD ABC

S

S AB A

AB

= ⇔ = =

( )

AD d M AD

⊥  

∈

 , suy phương trình AD: 1.

(

x− +3

) (

1 y− = ⇔ + − =0

)

x y

Lại có MA = MD =

0,5

Vậy tọa độ A, D nghiệm hệ phương trình:

(

)

2

(

)

2

(

) (

2

)

2

3 3 3

3 3

3

x y y x y x

x y x x

x y

+ − =

  = − +  = − +

  

⇔ ⇔

  

− + = − + − =

− + =  

  



3

3 1

y x x

x y

= − =

 

⇔ ⇔

− = ± =

 

4

x y

=  

= −

 Vậy A(2;1), D(4;-1),

9 ; 2

I 

  trung điểm AC, suy ra:

2

2

2

2

A C

I

C I A

A C C I A

I

x x x

x x x

y y y y y

y

+ 

=

  = − = − =



⇔

 

+  = − = − =

 =



Tương tự I trung điểm BD nên ta có: B(5;4)

Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1)

0,5

a 0,5

VIb

2 b Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d,

Gọi H hình chiếu vng góc B lên (P) đường thẳng qua A H thỏa mãn toán

0,5

Gọi z1= +a bi

(

a b, ∈ℝ

)

khi z2 = −a bi

Từđiều kiện toán ta lập hệ phương trình Tìm z1= ± +1 3i

Hoặc z1= ± −1 3i