Đang tải... (xem toàn văn)
Trong những năm qua, nội dung thi đại học cao đẳng, khối lượng kiến thức liên quan đến chuyên đề “Hình học Oxy” nói chung và phương trình đường thẳng nói riêng, chiếm một tỉ lệ lớn. Đa[r]
(1)Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Nhóm kỹ năng: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TAM GIÁC
Đặt vấn đề:
Trong năm qua, nội dung thi đại học cao đẳng, khối lượng kiến thức liên quan đến chun đề “Hình học Oxy” nói chung phương trình đường thẳng nói riêng, chiếm tỉ lệ lớn
Đa phần nội dung thi xoay quanh vấn đề tam giác toán liên quan, điều này, với việc hạn chế kỹ tác động đến khả nắm bắt kiến thức em học sinh
Học chuyên đề nào? Vận dụng sao? Thuật tốn chung, có xây dựng không?
Chúng mạnh dạn viết chuyên đề này, nhằm làm sáng tỏ nội dung đề cập trên!
Kỹ 1: XỬ LÝ CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC Chúng ta xét toán sở sau:
Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng Δ qua A( )1;1 trường hợp: a) Δ // :d x y+ - =3 b) Δ^d: 2x y+ - =1
Hướng dẫn:
a) Do Δ // :d x y+ - =3 nên Δ có dạng Δ :x y m+ + =0 Mặt khác Δ qua A( )1;1 Û + + = Û1 m m= -2
Vậy Δ :x y+ - =2
b) Do Δ^d: 2x y+ - =1 nên Δ có dạng Δ :x-2y m+ =0 Mặt khác Δ qua A( )1;1 Û - + = Û1 m m=1
Vậy Δ :x-2y+ =1
Bài toán 2: Cho điểm A( )1;1 đường thẳng Δ :x y+ + =2
a) Xác định tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A lên Δ b) Xác định tọa độ điểm A/ điểm đối xứng với A qua Δ Hướng dẫn:
a) Gọi H t( ; 2- - Ỵt) Δ Ta có AH = - - -(t 1; t) Đường thẳng Δ có vectơ phương u= -( 1;1) H hình chiếu vng góc A lên Δ
( ) ( ) ( )
1;
AH u t t t H
Û = Û - + - - = Û = - Þ -b) Điểm A/ điểm đối xứng với A qua Δ
H
Û trung điểm ( )
/
/
/ 2 / 3; 3
A A
H H A
A
x x
x x x x
AA A
+ ì
=
ï ì = - =
-ï ï
(2)-Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG a) d1 d2 đường cao tam giác ABC Hướng dẫn:
Đường thẳng AC qua A( )1;0 vng góc với d1 nên có vectơ pháp vectơ
phương d1: u1= -( 1;1)
( ) ( )
: 1 0
AC - x- + y- = Û - + + =x y Lúc đó, tọa độ C nghiệm hpt:
( )
1
2;
2
x y x
C
x y y
- + + = =
-ì ì
Û Þ
-í - + = í =
-ỵ ỵ
Tương tự, Đường thẳng AB qua A( )1;0 vng góc với d2 nên có vectơ pháp vectơ phương d2: u2 =( )1;2
( ) ( )
: 1 0
AC x- + y- = Û +x y- = Lúc đó, tọa độ C nghiệm hpt:
( )
1
3;
2
x y x
B
x y y
+ + = =
-ì ì
Û Þ
-í + - = í =
ỵ ỵ
d2
d1
C B
A
b) d1 d2 đường trung tuyến tam giác ABC Hướng dẫn:
Gọi M m m( ;2 + Ỵ1) d2 trung điểm AB
( ; 1)
B b b- - Ỵd Do M trung điểm AB
1
3
2
1
2
2
5 ; 3
A B
M
A B
M
x x b
m
x m
y y b
y m b
B
+ + ì
ì = ì = =
-ï
ï ï
ï ï ï
Ûí Ûí Þí
+
-ï = ï + = ï =
-ï ï ï
ỵ ỵ ỵ
ổ
ị ỗ- ữ
ố ứ
Tương tự, Gọi N n n( ;- - Ỵ1) d1 trung điểm AC C c c( ;2 + Î1) d2
Do N trung điểm AC
N M
A
B C
d1
(3)Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
2
2
2 2
1
11 19
3 ;
11 3
3 c
n c n
c c n
n n C c + ì = ï ì - = -ï Ûí Ûí + ỵ + = -ï- - = ïỵ ì = -ïï ỉ ịớ ị ỗ- - ữ ố ứ ù = -ïỵ Nhận xét:
Bài tốn cịn nhiều cách giải khác, cách giải giúp nhiều vấn đề giải nhanh hơn!
c) d1 d2 đường phân giác tam giác ABC Hướng dẫn:
Gọi H h h( ;2 + Ỵ1) d2 Ta có
( 1;2 1)
AH = h- h+
Đường thẳng d2 có vectơ phương
( )1;2 u =
H hình chiếu vng góc A lên Δ
( ) ( )
( )
1 1;
AH u t t
t H
Û = Û - + - - = Û = - Þ
-
b) Điểm A/ điểm đối xứng với A qua Δ H
Û trung điểm
( ) / / / / / / 2 3; 3 A A H A A H H A A H A A x x x AA y y y
x x x
A
y y y
+ ì = ïï Û í + ï = ïỵ = - = -ỡù ớ ị -= - = -ùợ K H A2 A1
d2 d1
C B
A
(4)Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Hướng dẫn:
Bước 1: Lập phương trình AC qua A vng góc với d1
{ }
2
d AC C
ị ầ =
Bc 2: Gi M thuc d2 B thuộc d1 Áp dụng công thức trung điểm
d2
d1
C B
A M
e) d1 đường cao d2 đường phân giác tam giác ABC Hướng dẫn:
Bước 1: Lập phương trình AC qua A vng góc với d1
{ }
2
d AC C
ị ầ =
Bc 2: Lấy đối xứng A qua d2 điểm
A
+ Lp phng trỡnh CA1ịCA1ầd1 ={ }B
A
B C
d1 d2
e) d1 đường trung tuyến d2 đường phân giác tam giác ABC Hướng dẫn:
Bước 1: Gọi M thuộc d1 B thuộc d2 Áp dụng công thức trung điểm
Bước 2: Lấy đối xứng A qua d2 điểm
A
+ Lp phng trỡnh BA1ị BA1ầd1 ={ }C
A1 H M
A
B C
d1 d2
f) d2 đường cao d1 đường trung tuyến tam giác ABC xuất phát từ đỉnh B Hướng dẫn:
Bước 1: d1Çd2 ={ }B
Bước 2: Lập phương trình AC qua A vng góc với d2
{ }
1
d AC M
ị ầ =
Do M trung điểm AC nên dễ dàng suy C
d2
d1
B
A
(5)Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Hướng dẫn:
Bước 1: d1Çd2 ={ }B
Bước 2: Lập phương trình AC qua A vng góc với d1
Bước 3: Lấy đối xứng A qua d2 điểm
A
+ Lập phng trỡnh BA1ị BA1ầAC={ }C
A1 d2 d1
C B
A
h) d1 đường trung tuyến d2 đường phân giác tam giác ABC xuất phát từ đỉnh B
Hướng dẫn:
Bước 1: d1Çd2 ={ }B
Bước 2: Lấy đối xứng A qua d2 điểm
A
+ Lập phương trình BA1
Bước 3: Gọi M thuộc d1 C thuộc BA1
Áp dụng công thức trung điểm A
1 d2
d1
C B
A
M
Đề thi: (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng
:
d x- y- = , cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x y+ + =3 trung điểm cạnh AC M(1;1) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C
Hướng dẫn:
Bước 1: Lập phương trình AC qua M vng góc với BH
{ }
AC d A
ị ầ =
Bước 2: Do M trung điểm AC nên suy C
Bước 3: Lập phương trình BC qua C v song song vi dị BCầBH ={ }B
M H
A
B
C d
Đề thi: (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho hai đường thẳng d x y1: + + =1 0, : 2d2 x y- - =1 Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 1)- cắt d d1, 2 tương ứng A, B cho
2MA MB + =0 Hướng dẫn:
Gọi A a a( ;- - Ỵ1) d B b b1, ( ;2 - Ỵ1) d2
(6)Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
( )
1 :
2 x
d t R
x t
= ì
ẻ = - + ợ
thi: (Toỏn học Tuổi trẻ 2010) Cho ba đường thẳng d1: 3x y- - =4 0, :d x y2 + - =6 d x3 : - =3 Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết A C thuộc d3, B thuộc d1 D thuộc d2
Hướng dẫn:
Bước 1: Gọi A( ) ( )3; ,a C 3;c Ỵd3
Lúc đó, tâm I hình vng ABCD có tọa độ
3; a c Iổỗ + ửữ
ố ứ
Bước 2: Đường thẳng BD qua I vuông góc với d3 Δ : //
2 a c
y= + Ox
1
Δ ;
6
a c a c
d Bổ + + +
ị ầ = ç ÷
è ø
và Δ 2 12 ;
2
a c a c
d Dổ - - +
ầ = ỗ ÷
è ø
Bước 3: ABCD hình vuụng I trung điểm BD
(*) AC BD
ì Û í =
ỵ
Ta cú: 0;
2 a c IA= ỗổ - ửữ
è ø
10
;0 a c
IB= ỗổ + - ửữ
è ø
Lúc (*) trở thành: 12
6
6
10
2
a c a c
a c a c
+ +
-ì + =
ïï
í - +
-ï =
ïỵ
Từ giải , a c
d2 d3
d1 y
x
O 3
I
D A
B
C
(7)Chun đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Theo giả thiết: ( ) ( )
2 2
5 3
; ;
d A d d B d a b a b a b a b
a b a b
- + - + +
-= Û =
+ +
7 4
7
7
a b a b a b
a b a b
a b a b a
- = + =
é é
Û - = + Û ê Û ê
- = - - =
ë ë
* Với a=4b, thay vào (*) ta d: 4b x( +2) (+b y-3) = Û0 4x y+ + =5 (do b¹0) * Với a=0, thay vào (*) ta d: b y( -3) = Û - =0 y (do b¹0)
Cách 2: Dựa vào nhận xét hình học.
TH 1: Đường thẳng d qua M song song với AB
Đường thẳng d qua M(-2;3) có vectơ phương AB= -( 2;8), nên có vectơ pháp n=( )4;1
Phương trình d: 4(x+2) (+ y-3) = Û0 4x y+ + =5
TH 2: Đường thẳng d qua M trung điểm I AB Ta có trung điểm I AB là: I( )4;3
Đường thẳng d qua M(-2;3) có vectơ phương MI=( )6;0 , nên có vectơ pháp n=( )0;1
Phương trình d: 0(x+2) (+ y-3) = Û - =0 y Đề thi tương tự:
Đề thi: (Toán học Tuổi trẻ 2010) Lập phương trình đường thẳng d cách điểm A(1;1) khoảng cách B(2;3) khoảng
Đề thi: (ĐHSPHN2-99) Cho tam giác ABC với đỉnh ( 6; 3), ( 4;3), (9;2)A - - B - C a) Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác góc A tam giác ABC b) Tìm điểm P nằm d cho tứ giác ABPC hình thang
Hướng dẫn:
a) Gọi D x( D;yD) chân đường phân giác góc ˆA
Lúc đó: BD DC BD AB.DC BD AB.DC (*)
AB = AC Þ = AC Þ = AC
Ta có: BD=(xD+4;yD-3 ,) DC=(9-xD;2-yD)
( )2;6 10
AB= Þ AB=
AC =(15;5)Þ AC=5 10 Thay vào (*) ta được:
( )
( )
2
4
2 19
5 ;
2 19 7
3
5
D D D
D D D
x x x
D
y y y
ì + = - ì =
-ï ï
ï Ûï Þ ỉ-
ớ ỗ ữ
ố ứ
ù - = - ï =
ï ï
ỵ î
I
M
A B
A
d D
(8)Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG b) Ta gọi P t t( ; + Ỵ3) d
ABPC hình thang TH sau: TH 1: AB phương với CP (1)
Ta có: AB=( )2;6 CP= -(t 9;t+1) Từ (1) suy ra:
( )
9
14 14;17
2
t t
t P
- = + Û = Þ
P A
C D
d
TH 2: AC phương với BP (2) Ta có: AC=(15;5) BP= +(t 4;t)
Từ (**) suy ra: ( )1;4
15
t t
t P
+ = Û = Þ
d D
C B
A
P
Kết luận: Vậy có hai điểm P thỏa y.c.b.t P(14;17); P( )1;4
Đề thi: (ĐHCT-95) Cho A(2; 3), (3; 2)- B - Trọng tâm G tam giác ABC nằm đường thẳng : 3d x y- - =8 0, diện tích tam giác ABC
2 Xác định tọa độ C? Hướng dẫn:
Gọi G t t( ;3 - Ỵ8) d Do G trọng tâm tam giác ABC nên:
3
3
3 19
3
A B C
G
C G A B
A B C C G A B
G
x x x
x x x x x t
y y y y y y y t
y
+ + ì =
ï ì = - - =
-ï Û
í + + í = - - =
-ỵ ï =
ïỵ
(3 5;9 19)
C t t
Þ -
-Ta có: AB=( )1;1 Þ AB=
Đường thẳng AB qua (2; 3)A - có vectơ phương AB=( )1;1 , nên có
G
C B
A
(9)