- Đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng... Vậy thể tích của lăng trụ là[r]
(1)Trang 1/5
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2012 Mơn thi: TỐN – Giáo dục trung học phổ thơng HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm gồm trang)
II Đáp án thang điểm Câu 1) ( 2,0 điểm)
Nội dung Điểm
a) Tập xác định: D = 0.25
b) Sự biến thiên:
' 3 3; ' 0 1.
y = x − y = ⇔ = ±x 0.25
' 0 ( ; 1) (1; )
y > ⇔ ∈ −∞ − ∪ + ∞x nên hsố đồng biến khoảng (−∞ −; 1) (1;+∞) ' 0 ( 1; 1)
y < ⇔ ∈ −x nên hàm số nghịch biến khoảng (-1;1)
Hàm số đạt cực đại x = -1; yC§ =2, hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = −2 Ta có lim ; lim
x→+∞y = +∞ x→−∞y= −∞
0.5
BBT:
x y’
y
-∞
-∞
+∞
+∞
-1 1
0 - 0
+ +
2
-2
x y’
y
-∞
-∞
+∞
+∞
-1 1
0 - 0
+ +
2
-2
0.5
c) Đồ thị
4
2
-2
x y
O -1
0.5
- Đồ thị qua gốc tọa độ, cắt trục
hồnh điểm có hoành độ
0, 3
x= x= ±
(2)Trang 2/5 Câu 2) ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Gọi a là hồnh độ tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc nên ta có phương trình
'( ) 9
f a =
0.25
2
3a 3 9 a 4 a 2.
⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± 0.25
-Với a= ⇒2 f(2)=23 −3.2= ⇒2 Pttt y: =9(x− + ⇔ =2) 2 y 9x−16 0.25 -Với a= − ⇒2 f( 2)− = −( 2)3−3.( 2)− = − ⇒2 Pttt y: =9(x+2)− ⇔ =2 y 9x+16 0.25 Câu 1) ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
2
log (3x− −1) log (x+ − =1) (1) ĐK:
1
1 . 1
3 3
x
x x
> −
⇔ > >
0.25
2 2
1
(1) log (3 1) log ( 1) 2 log (3 1) log ( 1) 2 2
x x x x
⇔ − = + + ⇔ − = + + 0.25
2
2 2
2log (3x 1) log (x 1) log 16 (3x 1) 16(x 1)
⇔ − = + + ⇔ − = + 0.25
2
3
9 22 15 0 5
9
x
x x
x
=
⇔ − − = ⇔
= −
Kết hợp điều kiện, suy phương trình có nghiệm x=3
0.25
Câu 2) ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Đặt I=2 cos
sin x e xdx
π
+
∫ Đặt t= +1 cosx⇒dt = −sinxdx⇒sinxdx= −dt
0.25
Khi 0 2; 1
2
x= ⇒ =t x= ⇒ =π t 0.25
Suy ( )
1
2
t
I =∫e −dt
0.25
2
2 2 1
t t
e dt e e e
=∫ = = − 0.25
Câu 3) ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Hàm số cho liên tục [-1;1] Ta có
'( ) 2 x x . x(2 ).
f x = x e− −x e− =x e− −x 0.25
0 '( ) 0
2
x f x
x
=
= ⇔ = Trên khoảng (-1;1) phương trình f x'( )=0 có nghiệm x=0
0.25
Ta có f( 1) e f, (0) 0, (1)f 1 e
− = = = 0.25
Từ suy
[ 1;1] [ 1;1]
( ) ( 1) ;min ( ) (0)
Maxf x f e f x f
− = − = − = =
(3)Trang 3/5 Câu ( 1,0 điểm)
M A
A'
B
B'
C
C'
Nội dung Điểm
Ta có 1 . .sin 1.2 sin 300 2.
2 2
ABC
S∆ = AB AC BAC= a a =a 0.25
Gọi Mlà trung điểm B’C’, theo giả thiết ta có A M' ⊥B C' '(1) Áp dụng định lý cosin, ta có
2 2 2
2
' ' ' ' ' ' ' ' ' '.cos ' ' ' 4 2.2 cos30 (8 3) ' '
' ' 2 ' ' ' ' '
2
B C A B A C A B A C B A C a a a a a
B C
B C a B M a A M A B B M a
= + − = + − = −
⇒ = − ⇒ = = − ⇒ = − = +
0.25
Lại có AA'⊥B C' ' ( lăng trụ cho lăng trụ đứng) (2)
Từ (1) (2) suy AM ⊥B C' ' Do góc hai mặt phẳng (AB’C’) (A’B’C’) góc AMA'=60 0
0.25
Suy chiều cao lăng trụ
' ' .tan 60 2 3 3 6 3 3
AA = A M = + a = + a Vậy thể tích lăng trụ
3
' 3
ABC
V =S∆ AA = + a (đvtt)
0.25
================================================================== Câu 4.a 1) ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Tọa độ giao điểm Mcủa ∆ (P) nghiệm hệ
2 2 3 0
1 2
2 2 1
x y z
x y z
− + − =
− = + =
−
0.5
2 2 3 0
1 2
2 2
x y z
x y
y z
− + − =
⇔ − = + − − =
2 2 3 2
3 1
2 2 1
2
x y z x
x y y
y z
z
− + = =
⇔ − = ⇔ = − ⇒
+ = −
= −
1 (2; 1; ).
2
M − −
0.5
Câu 4.a 2) ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Gọi Ilà tâm mặt cầu (S) cần tìm, theo giả thiết, (S) có bán kính R=2 Vì Ithuộc ∆
nên I(1+2t;-2+2t;-t) Khoảng cách từ I tới (P)
(4)Trang 4/5
1 2 4 4 2 3 4 2
( ,( ))
3 1 4 4
t t t t
d I P = + + − − − = −
+ +
Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên
4
( ,( ))
1
t t
d I P R
t =
−
= ⇔ = ⇔ = −
0.25
-Với t = suy I(5;2;-2) Phương trình mặt cầu
2 2
( ) : (S x−5) +(y−2) + +(z 2) =4.
0.25
-Với t = -1 suy I(-1;-4;1) Phương trình mặt cầu
2 2
( ) : (S x+1) +(y+4) + −(z 1) =4.
0.25
Câu 5.a ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Ta có z =3z1− +(2 )i z2 =3(1 )− i − +(2 )(3i + = − − +i) 6i (4 )i = − −1 14 i 0.5
Do z= − +1 14i 0.25
1 196 197.
z = + = 0.25
================================================================== Câu 4.b 1) ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Tọa độ giao điểm Acủa ∆ (P) nghiệm hệ phương trình
2 2 5 0
1 1 2
1 2 2
x y z
x y z
− + − =
+ − −
= =
−
0.5
2 2 5 2
2 3 1
3 4
x y z x
x y y
y z z
− + = = −
⇔ − = − ⇔ = −
+ = =
Suy A(-2;-1;4)
0.5
Câu 4.b 2) ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Ta có ∆ qua B(-1;1;2) (B≠ A) Gọi d đường thẳng qua Bvà vng góc với
mặt phẳng (P) suy dcó véc tơ phương véc tơ pháp tuyến (P) nên phương trình d là 1 1 2
2 1 2
x+ y− z−
= =
−
0.25
Gọi Hlà hình chiếu B lên (P), suy tọa độ Hlà nghiệm hệ phương trình:
1
2
2
5 26
3 ; ;
1
9 9
2
2 26
9
x
x y z
x y z
x z y H
x y z
x y
z = −
− + =
− + − =
⇔ − = − ⇔ = ⇒ −
+ = − = −
+ =
−
=
0.25
(5)Trang 5/5
' ' '
2 2 2
B H B
B H B
B H B
x x x
y y y
z z z
= −
= − ⇒
= −
7 34 '( ; ; )
9 9
B ' 25 10; ; 2
9 9 9
AB
⇒ = −
Do ∆' đối xứng với ∆ qua (P) nên ∆' qua A B’ ∆' có véc tơ phương ' ' (25;10; 2)
u= AB = − nên phương trình tắc ∆'
2 1 4
.
25 10 2
x+ = y+ = z−
−
0.25
Câu 5.b ( 1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Giả sử z= +x yi x y ,( ∈) số phức cần tìm 0.25 Ta có z = −x yi, đẳng thức cho trở thành (3 )(− i x− yi)+2(x+ yi)− =2i 0 0.25
3 3 2 2 2 2 2 0
(5 2 ) (2 2) 0
x yi xi y x yi i
x y x y i
⇔ − − − + + − =
⇔ − − + + =
0.25
4
5 2 0 9 4 10
.
2 2 0 10 9 9
9
x
x y
z i
x y
y
= −
− =
⇔ ⇔ ⇒ = − −
+ + =
= −
0.25