[r]
(1)Chuyên đề : PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC (Người biên soạn Nguyễn Hữu Điển)
A MỤC TIÊU
Giúp học sinh thêm phương pháp nghiên cứu học tập giải toán
trong mơn số học, đại số hình học
Góp phần xây dựng lực tư lơgíc, diễn đạt suy nghĩ mạch lạc, suy luận có lí
Gây hứng thú cho học sinh tìm tịi, phát hiện, tranh luận phê phán
đúng sai bạn bè lĩnh hội vận dụng kiến thức toán học B THỜI GIAN THỰC HIỆN
Tổng thời gian thực 15 tiết, tiết tương ứng với nội dung C NỘI DUNG
Bài Ngun lí quy nạp tốn học ví dụ Từ ví dụ cụ thể cách suy luận diễn giải quy nạp dẫn đến phát biểu ngun lí quy nạp
tốn học Thơng qua ví dụ đơn giản làm rõ thành phần
ngun lí quy nạp tốn học
Bài Kĩ thuật chứng minh phương pháp quy nạp tốn học
Khảo sát khía cạnh sử dụng ngun lí quy nạp tốn học thơng qua
các vị dụ cụ thể
Bài Các ứng dụng giải toán số học đại số Những tập số học đại số thường ứng dụng phương pháp quy nạp toán học phép chia hết, biểu diễn số, tính tổng, đẳng thức, bất đẳng thức, Bài Quy nạp tốn học hình học Những dạng tốn hình học
giải phương pháp quy nạp toán học
(2)Bài NGUN LÍ QUY NẠP TỐN HỌC VÀ VÍ DỤ
1 Suy diễn quy nạp
Trong lao động, học tập sinh hoạt người ta phải suy luận đánh
giá hoạt động Thực tế có hai hướng để suy luận
và đưa kết trước vấn đề phải giải Những suy luận
suy diễn quy nạp Suy diễn áp đặt vấn đề chung cho trường
hợp cụ thể Cách suy luận diễn hàng ngày, hàng xuất phát từ
kinh nghiệm, văn hóa lồi người Trong kho tàng ca dao châm ngơn
Việt Nam có nhiều mệnh đề chung
Trơng mặt mà bắt hình dong
Con lợn có béo lịng ngon
Như vậy, lợn làm thịt thấy béo suy lịng phải ngon
Hay ví dụ trơng mưa trời rơi vào trường hợp:
Cơn đằng Đông vừa trông vừa chạy Cơn đằng Tây mưa dây bão dật Cơn đằng Nam vừa làm vừa chơi Cơn đằng Bắc đổ thóc phơi
Hướng suy luận thứ hai từ khẳng định riêng tiến tới phát
biểu khẳng định chung gọi phép quy nạp Ta lấy ví dụ
hát Quan Họ “Bèo dạt mây trôi”:
“ Một tin trông, hai tin đợi, ba, bốn tin chờ chẳng thấy em ”
Như vậy, người đợi chờ thực 1, 2, 3, lần nhắn tin mà người thương khơng thấy tin tức gì, phải khơng nhận
tin tức gì? phải không nhận tin tức người thương
nữa? Hay hồn cảnh mà thời gian sau nhận tin
(3)có sai Chuyên đề ta nghiên cứu cách suy luận quy nạp
là áp dụng xác suy luận để giải toán
trong số học, đại số hình học, 2 Một số ví dụ suy luận quy nạp
Trước vào nguyên lí cụ thể ta xét số ví dụ mà cách giải
thực từ trường hợp cụ thể tiến tới tổng qt hóa Ví dụ Chứng minh tổng n số lẻđầu tiên n2.
Lời giải. Ta biết số lẻ thứ 1, số lẻ thứ hai 3, số lẻ thứ ba 5, mối quan hệ số lẻ thứ k số lẻ (2k-1) với k = 1, 2, 3, Ta kí hiệu Sn tổng n số lẻ Ta tính số giá trị
đầu tiên tổng so sánh với kết luận toán: Với n = 1, S1 = = 12, kết luận toán đúng;
Với n = 2, S2 = + = 12 + 2.1.1 + = (1 + 1)2 = 22, kết luận đúng;
Với n = 3, S3 = + + = 22 + 2.2.1 + = (2 + 1)2= 32, kết luận
Ta tiếp tục kiểm tra cho trường hợp nữa,
những số lẻ vô nhiều, khả kiểm tra hết
giá trị Có cách khác khơng để suy luận số trường hợp mà
đúng với trường hợp? Ta thấy trường hợp giá trị sau suy kết luận từ giá trị trước mối quan hệ Sn = Sn-1 +
2n-1 Nếu tính Sn-1 = (n-1)2 ta có Sn = Sn-1 + 2n – = (n-1)2 +
+ 2n - 1= n2 Như vậy, số trước có kết số sau đúng, ta
có n =3 kết luận suy n =4 kết luận đúng, sau n =5, Suy
(4)Ví dụ Cho số đường thẳng chia mặt phẳng thành miền
khác Chứng minh ta tơ miền hai
màu trắng đen cho miền cạnh (có chung đoạn biên) có màu khác
Lời giải. Chú ý cách chia mặt phẳng thành miền
khác tô hai màu thỏa mãn điều kiện
tốn, ví dụ (h 1)
Nếu chọn miền mầu đen hai phần
cịn lại màu trắng, điều khơng thỏa
mãn điều kiện toán Như vậy, chia mặt phẳng nửa đường thẳng
mệnh đề khơng Hình
Nhưng chia mặt phẳng đường thẳng mệnh đề cịn
đúng Với đường thẳng, cách tô nửa mặt phẳng đen, cịn nửa tơ trắng (h 2)
Hình Hình
Nếu cho hai đường thẳng từ hình đặt thêm đường thẳng
nữa chia mặt phẳng thành bốn miền Dựa màu trường hợp
một đường thẳng, nửa mặt phẳng đường thẳng thứ hai,
miền màu đen ta tô trắng màu trắng ta tô đen cho hình
Nếu cho ba đường thẳng ta đặt đường thẳng thứ ba lên hình cho
(5)Hình Hình
Trên nửa mặt phẳng đường thẳng mới, miền màu trắng ta
tô lại màu đen ngược lại, cuối ta nhận hình Ta thấy
rằng miền cạnh nửa mặt phẳng đổi màu nửa
mặt phẳng không đổi màu khác màu Còn miền cạnh
nhau có biên đường thẳng đặt vào theo cách đổi màu
nửa mặt phẳng chúng khác màu
Bây ta lại thêm đường vào hình trình tô
màu lại lặp lại nhận kết tô màu cho miền Như ta tơ màu theo giả thiết tốn cho n đường thẳng
thì n+1 đường thẳng tô theo cách làm Như vậy, với
bất kì số đường thẳng cho ta thực tơ màu theo giả thiết tốn Bài tốn giải
Ví dụ Cho 111 chia hết cho 3, số 111111111 chia hết cho 9, số
111 111 (27 chữ số 1) chia hết cho 27 Chứng minh
111 111 (3n chữ số 1) chia hết cho 3n với n
Lời giải. Ta sử dụng dấu hiệu chia hết cho cho (tổng chữ số số chia hết cho số chia hết cho 3, tương tự cho số chia hết cho 9) Đơn giản ta kiểm tra trực
(6)Bằng cách chia trực tiếp số có 27 chữ số chia cho 27 nhận kết chia hết, dấu hiệu chia hết cho 27 khơng có (ví dụ số
1899 có tổng 27 không chia hết cho 27) Ta chia
trực tiếp số có 3n chữ số cho 3n với n = 4, 5, xem chúng có chia
hết cho khơng? Từ kinh nghiệm hai ví dụ trước ta tìm
cách chứng minh mệnh đề bước n, ta phải tìm cách chứng minh
được suy từ bước n-1 trước có kết
Ta xét số 111111111, số chia hết cho Ta kiểm tra
cũng chia hết cho 111, có kết 111111111 = 111 1001001 Ta
thấy thừa số tích chia hết cho (do tiêu chuẩn chia hết
cho 3) Do tích hai thừa số chia hết cho
Quy trình áp dụng cho số 1111 111 (27 chữ số 1), số chia
hết cho 111111111 Thương phép chia có ba chữ số
các chữ số lại (kết số thương có hai nhóm chữ số 0, cịn số hai đầu số 1) Biết số 111111111 chia
hết cho Còn số 10 010 01 chia hết cho (vì tổng chữ số chia
hết cho 3) Do số có 27 chữ số tích hai số, mà số chia
hết cho số chia hết cho suy chia hết cho 27
Tiếp tục với số có 81 =3.3.3.3 chữ số tích số có 27
chữ số số có ba chữ số số lại chữ số Thừa số thứ chia hết cho 27, thừa số thứ hai chia hết cho Suy số có 81 chữ số chia hết cho 3.27=81=34
Bằng cách hoàn toàn tương tự ta chứng minh số có
81.3=243 chữ số chia hết cho 35 Ta chứng minh
(7)Ví dụ Chứng minh với số nguyên đồng (tiền Việt Nam) lớn có thể đổi tiền lẻ không dư đồng tiền gồm những tờ đồng đồng (1 đồng ở đây 1000 đồng thực tế)
Lời giải. Đẳng thức sau nói lên với đồng, đồng gồm tờ đồng đồng nào:
7 = + 2;
8 = + + +2
Nếu ta thêm vào hai vế đẳng thức tờ đồng, = + 2;
10 = +
Tiếp tục thêm đồng vào hai đẳng thức sau cùng, ta có
11 = + 2; 12 = 10 +2
Ta tiếp tục cho số nguyên Ta thấy bước
trước có hai đẳng thức suy bước sau có hai đẳng thức Như
với số n nguyên đồng dù số chẵn số lẻ n-2 rơi vào hai trường hợp trước đổi hai loại tiền
2 đồng đồng Suy đổi thành đồng đồng