Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.[r]
(1)ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011 KHOA TỐN-TIN MƠN: TỐN- KHỐI A
- Thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề ) -PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I ( điểm)
Cho hàm số y=x3+(1−2m)x2+(2−m)x+m+2 (1) m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2
2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x+y+7=0 góc α , biết cosα=
√26
Câu II(2 điểm)
1 Giải bất phương trình: √log1 2
(42− xx )−4≤√5
2 Giải phương trình: √3 sin2x.(2 cosx+1)+2=cos 3x+cos 2x −3 cosx Câu III(1 điểm)
Tính tích phân: I ¿∫
0
x+1
(1+√1+2x)2dx Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB ¿a√2 Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: ⃗IA=−2⃗IH , góc SC mặt đáy (ABC) 600
Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm)
Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: x2
+y2+z2≤xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P= x
x2+yz+ y y2+zx+
z z2+xy
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ). A.Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a(2 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+y+1=0 , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) √3 Câu VII.a (1 điểm)
Cho khai triển: (1+2x)10(x2+x+1)2=a0+a1x+a2x2+ +a14x14 Hãy tìm giá trị a6 B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích
11
2 trọng tâm G
thuộc đường thẳng d: 3x+y −4=0 Tìm tọa độ đỉnh C
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+y − z+1=0 ,đường thẳng d: x −2
1 =
y −1
−1 =
z −1
−3
Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng Δ nằm (P), vng góc với d cách I khoảng 3√2
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: (z+i i− z)
3 =1
(2)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 MƠN:TỐN, Khối A
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.
Câu ý Nội dung Điểm
I(2đ) 1(1đ) Khảo sát hàm số m = 2
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x
❑2 +
a) TXĐ: R b) SBT
•Giới hạn: xlim y ; limx y 0,25
•Chiều biến thiên:
Có y’ = 3x2 6x; y’=0 x =0, x =2
x +
y’ + + y
4
0
+
Hàm số ĐB khoảng ( ; 0) (2 ; +), nghịch biến (0 ; 2)
0,25
•Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4;
Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) =
0,25 c) Đồ thị:
Qua (-1 ;0)
Tâm đối xứng:I(1 ; 2)
0,25
2(1đ) Tìm m
Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp ⃗n1=(k ;−1) d: có véctơ pháp ⃗n2=(1;1)
Ta có
cosα=|⃗n1.⃗n2| |⃗n1||n⃗2|⇔
1
√26=
|k −1|
√2√k2+1⇔12k
−26k+12=0⇔ k1=
3
¿
k2=23
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,5
u cầu tốn thỏa mãn hai phương trình: y❑
=k1 (1) y❑
=k2 (2) có nghiệm x
0,25
4 y
I -1
1
(3)
3x2+2(1−2m)x+2− m=3
2
¿
3x2
+2(1−2m)x+2− m=2
3
¿ ¿ ¿ ¿
Δ❑1≥0
¿
Δ❑2≥0
¿ ¿ ¿ ¿
8m2−2m −1≥0
¿
4m2− m−3≥0
¿ ¿ ¿ ¿
m≤ −1
4;m ≥
¿
m≤ −3
4;m≥1
¿ ¿ ¿ ¿
m≤ −1
4 m≥
0,25
II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình
Bpt
⇔
log1
2 2x
4− x−4≥0
log1
2 2x
4− x≤9
⇔
−3≤log1
2
2x
4− x≤−2(1)
¿ ¿
2≤log1
2
2x
4− x≤3(2)
¿ ¿{
¿ ¿ ¿
0,25
Giải (1): (1)
⇔4≤ 2x
4− x≤8⇔
3x −8 4− x ≥0
5x −16 4− x ≤0
⇔8
3≤ x ≤ 16
5
¿{
0,25
Giải (2): (2)
⇔1
8≤ 2x
4− x≤
1
4⇔
17x −4 4− x ≥0
9x −4 4− x ≤0
⇔
17 ≤ x ≤
¿{
0,25
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
4 16
; ;
17
U . 0,25
(4)2(1đ) Giải PT lượng giác
Pt ⇔√3 sin 2x(2 cosx+1)=(cos 3x −cosx)+(cos 2x −1)−(2 cosx+1)
⇔√3 sin 2x(2 cosx+1)=−4 sin2xcosx −2 sin2x −(2cosx+1)
⇔(2 cosx+1)(√3 sin 2x+2 sin2x+1)=0
0,5
• √3 sin2x+2sin2x+1=0⇔√3 sin 2x −cos 2x=−2⇔sin(2x −π
6)=−1
⇔x=−π
6+kπ
0,25
•
2 cosx+1=0⇔ x=2π
3 +k2π
¿
x=−2π
3 +k2π
¿
(k∈Z)
¿ ¿ ¿
Vậy phương trình có nghiệm: x=2π
3 +k2π ; x=− 2π
3 +k2π
x=−π
6+kπ
0,25
III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân.
I ¿∫
0
x+1
(1+√1+2x)2dx •Đặt t=1+√1+2x⇒dt=dx
√1+2x⇒dx=(t −1)dt x= t2−2t
2
Đổi cận
x
t
0,25
•Ta có I =
(t2−2t+2)(t −1) t2 dt=
1 2∫2
4
t3−3t2+4t −2 t2 dt=¿
1 2∫2
4
(t −3+4
t −
2
t2)dt
1 2∫2
4
¿
= 2(
t2
2−3t+4 ln|t|+ t)∨¿
0,5
= ln 2−1
4 0,25
(5)IV
•Ta có ⃗IA=−2⃗IH⇒ H thuộc tia đối tia IA IA = 2IH BC = AB √2 ¿2a ; AI= a ; IH= IA
2 =
a
2
AH = AI + IH = 3a
2
0,25
•Ta có HC2
=AC2+AH2−2 AC AH cos 450⇒HC=a√5
2
Vì SH⊥(ABC)⇒ (SC;(❑ABC))=SCH❑ =600
SH=HC tan600=a√15
2
0,25
•
a√2¿2a√15
2 =
a3 √15
VS ABC=1
3SΔABC SH=
1
1 2¿
0,25
•
BI⊥AH
BI⊥SH
}
⇒BI⊥(SAH)
Ta có
B ;(SAH)=1
2BI=
a
2
d(K ;(SAH)) d(B ;(SAH))=
SK
SB =
1
2⇒d(K ;(SAH))= 2d¿
0,25
V (1đ) Tim giá trị lớn P
P= x x2+xy+
y y2+zx+
z z2+xy Vì x ; y ; z>0 , Áp dụng BĐT Cơsi ta có: P≤ x
2√x2yz+ y 2√y2zx+
z 2√z2xy =
¿1
4(
√yz+
√zx+
√xy)
0,25
1 4(
1 y+
1 z+
1 z+
1 x+
1 x+
1 y)=
1 2(
yz+zx+xy
xyz )≤
1 2(
x2+y2+z2
xyz )
1 2(
xyz xyz)=
1
2 0,5
B A
S
C H
(6)Dấu xảy ⇔x=y=z=3 Vậy MaxP =
0,25 PHẦN TỰ CHỌN:
Câu ý Nội dung Điểm
VIa(2đ) 1(1đ) Viết phương trình đường trịn…
KH: d1:x+y+1=0; d2:2x − y −2=0
d1 có véctơ pháp tuyến ⃗n1=(1;1) d2 có véctơ pháp tuyến ⃗
n2=(1;1)
• AC qua điểm A( 3;0) có véctơ phương ⃗n1=(1;1) ⇒ phương trình AC: x − y −3=0
C=AC∩ d2⇒ Tọa độ C nghiệm hệ:
¿ x − y −3=0
2x − y −2=0
⇒C(−1; −4)
¿{
¿
0,25
• Gọi B(xB; yB) ⇒ M(
xB+3
2 ;
yB
2 ) ( M trung điểm AB)
Ta có B thuộc d1 M thuộc d2 nên ta có:
¿
xB+yB+1=0
xB+3− yB
2 −2=0
⇒B(−1;0)
¿{
¿
0,25
• Gọi phương trình đường trịn qua A, B, C có dạng: x2
+y2+2 ax+2 by+c=0
Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường trịn ta có:
¿
6a+c=−9 −2a+c=−1 −2a −8b+c=−17
⇔
¿a=−1 b=2 c=−3
¿{ {
¿
⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là:
x2
+y2−2x+4y −3=0 Tâm I(1;-2) bán kính R = 2√2
0,5
2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P)
•Gọi ⃗n=(a ;b ; c)≠O⃗ véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0 b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
(7)• d(C;(P)) =
a −2c¿2+c2
¿
a2 +¿
√¿
√3⇔|2a¿+c|
⇔
a=c
¿
a=7c
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,5
•TH1: a=c ta chọn a=c=1 Pt (P): x-y+z+2=0 TH2: a=7c ta chọn a =7; c = Pt (P):7x+5y+z+2=0
0,25
VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển
• Ta có
2x+1¿2+3
4
x2+x+1=1
4¿
nên
1+2x¿10
1+2x¿12+
16 ¿ 1+2x¿14+3
8¿
x2+x+1¿2=
16 ¿
(1+2x)10¿
0,25
• Trong khai triển (1+2x)14 hệ số x6 là: 26C 14
Trong khai triển (1+2x)12 hệ số x6 là: 26C12
Trong khai triển (1+2x)10 hệ số x6 là: 26C10
6 0,5
• Vậy hệ số a6=
162
6 C146 +3
82
6
C126 +
162
6
C106 =41748 0,25
VI.b(2đ) 1(1đ) Tìm tọa độ điểm C
• Gọi tọa độ điểm C(xC; yC)⇒G(1+xC
3 ;
yC
3 ) Vì G thuộc d
⇒3(1+xC
3 )+
yC
3 −4=0⇒yC=−3xC+3⇒C(xC;−3xC+3)
•Đường thẳng AB qua A có véctơ phương ⃗AB=(1;2) ⇒ptAB:2x − y −3=0
0,25
• SΔABC=1
2AB d(C ;AB)= 11
2 ⇔d(C ;AB)= 11
√5⇔
|2xC+3xC−3−3|
√5 =
11
(8)⇔|5xC−6|=11⇔ xC=−1
¿
xC= 17
5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,5
• TH1: xC=−1⇒C(−1;6)
TH2: xC=17
5 ⇒C( 17
5 ;−
36 )
0,25 2(1đ) Viết phương trình đường thẳng
• (P) có véc tơ pháp tuyến ⃗n(P)=(1;1;−1) d có véc tơ phương ⃗
.u=(1;−1;−3)
I=d ∩(P)⇒I(1;2;4)
• Δ⊂(P); Δ⊥d⇒Δ có véc tơ phương ⃗uΔ=[⃗n(P);u⃗]=(−4;2;−2) ¿2(−2;1;−1)
0,25
• Gọi H hình chiếu I Δ ⇒H∈mp(Q) qua I vng góc Δ
Phương trình (Q): −2(x −1)+(y −2)−(z −4)=0⇔−2x+y − z+4=0 Gọi d1=(P)∩(Q)⇒d1 có vécto phương
[⃗n(P);⃗n(Q)]=(0;3;3)=3(0;1;1) d1 qua I
⇒ptd1:
x=1 y=2+t z=4+t
¿{ {
Ta có H∈d1⇒H(1;2+t ;4+t)⇒⃗IH=(0;t ;t)
•
IH=3√2⇔√2t2=3√2⇔ t=3
¿
t=−3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,5
• TH1: t=3⇒H(1;5;7)⇒ptΔ:x −1 −2 =
y −5
1 =
z −7
−1
TH2: t=−3⇒H(1;−1;1)⇒ptΔ:x −1 −2 =
y+1
1 =
z −1
−1
0,25 VII.b đ Giải phương trình tập số phức.
ĐK: z ≠ i • Đặt w=z+i
i− z ta có phương trình: w3=1⇔(w −1)(w2+w+1)=0
(9)⇔
w=1
¿
w2
+w+1=0
¿
w=1
¿
w=−1+i√3
2
¿
w=−1− i√3
2
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
• Với w=1⇒ z+i
i − z=1⇔z=0 • Với w=−1+i√3
2 ⇒
z+i i − z=
−1+i√3
2 ⇔(1+i√3)z=−√3−3i⇔z=−√3
• Với w=−1− i√3
2 ⇒
z+i i − z=
−1− i√3
2 ⇔(1−i√3)z=√3−3i⇔z=√3
Vậy pt có ba nghiệm z=0; z=√3 z=−√3
0,5