De thi thu DH so 23co dap an

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.[r]

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011 KHOA TỐN-TIN MƠN: TỐN- KHỐI A

- Thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề ) -PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).

Câu I ( điểm)

Cho hàm số y=x3+(1−2m)x2+(2−m)x+m+2 (1) m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2

2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x+y+7=0 góc α , biết cosα=

√26

Câu II(2 điểm)

1 Giải bất phương trình: √log1 2

(42− xx )−4≤√5

2 Giải phương trình: √3 sin2x.(2 cosx+1)+2=cos 3x+cos 2x −3 cosx Câu III(1 điểm)

Tính tích phân: I ¿∫

0

x+1

(1+√1+2x)2dx Câu IV(1 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB ¿a√2 Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: ⃗IA=−2⃗IH , góc SC mặt đáy (ABC) 600

Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm)

Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: x2

+y2+z2≤xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P= x

x2+yz+ y y2+zx+

z z2+xy

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ). A.Theo chương trình chuẩn:

Câu VI.a(2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+y+1=0 , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) √3 Câu VII.a (1 điểm)

Cho khai triển: (1+2x)10(x2+x+1)2=a0+a1x+a2x2+ +a14x14 Hãy tìm giá trị a6 B Theo chương trình nâng cao:

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích

11

2 trọng tâm G

thuộc đường thẳng d: 3x+y −4=0 Tìm tọa độ đỉnh C

2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+y − z+1=0 ,đường thẳng d: x −2

1 =

y −1

−1 =

z −1

−3

Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng Δ nằm (P), vng góc với d cách I khoảng 3√2

Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: (z+i i− z)

3 =1

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 MƠN:TỐN, Khối A

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.

Câu ý Nội dung Điểm

I(2đ) 1(1đ) Khảo sát hàm số m = 2

Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3  3x

❑2 +

a) TXĐ: R b) SBT

•Giới hạn: xlim  y ; limx y 0,25

•Chiều biến thiên:

Có y’ = 3x2  6x; y’=0  x =0, x =2

x  +

y’ +  + y



4

0

+

Hàm số ĐB khoảng ( ; 0) (2 ; +), nghịch biến (0 ; 2)

0,25

•Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4;

Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) =

0,25 c) Đồ thị:

Qua (-1 ;0)

Tâm đối xứng:I(1 ; 2)

0,25

2(1đ) Tìm m

Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp ⃗n1=(k ;−1) d: có véctơ pháp ⃗n2=(1;1)

Ta có

cosα=|⃗n1.⃗n2| |⃗n1||n⃗2|⇔

1

√26=

|k −1|

√2√k2+1⇔12k

−26k+12=0⇔ k1=

3

¿

k2=23

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,5

u cầu tốn thỏa mãn  hai phương trình: y❑

=k1 (1) y❑

=k2 (2) có nghiệm x

0,25

4 y

I -1

1



3x2+2(1−2m)x+2− m=3

2

¿

3x2

+2(1−2m)x+2− m=2

3

¿ ¿ ¿ ¿



Δ❑1≥0

¿

Δ❑2≥0

¿ ¿ ¿ ¿



8m2−2m −1≥0

¿

4m2− m−3≥0

¿ ¿ ¿ ¿



m≤ −1

4;m ≥

¿

m≤ −3

4;m≥1

¿ ¿ ¿ ¿

 m≤ −1

4 m≥

0,25

II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình

Bpt

⇔

log1

2 2x

4− x−4≥0

log1

2 2x

4− x≤9

⇔

−3≤log1

2

2x

4− x≤−2(1)

¿ ¿

2≤log1

2

2x

4− x≤3(2)

¿ ¿{

¿ ¿ ¿

0,25

Giải (1): (1)

⇔4≤ 2x

4− x≤8⇔

3x −8 4− x ≥0

5x −16 4− x ≤0

⇔8

3≤ x ≤ 16

5

¿{

0,25

Giải (2): (2)

⇔1

8≤ 2x

4− x≤

1

4⇔

17x −4 4− x ≥0

9x −4 4− x ≤0

⇔

17 ≤ x ≤

¿{

0,25

Vậy bất phương trình có tập nghiệm

4 16

; ;

17

   

   

 U  . 0,25

2(1đ) Giải PT lượng giác

Pt ⇔√3 sin 2x(2 cosx+1)=(cos 3x −cosx)+(cos 2x −1)−(2 cosx+1)

⇔√3 sin 2x(2 cosx+1)=−4 sin2xcosx −2 sin2x −(2cosx+1)

⇔(2 cosx+1)(√3 sin 2x+2 sin2x+1)=0

0,5

• √3 sin2x+2sin2x+1=0⇔√3 sin 2x −cos 2x=−2⇔sin(2x −π

6)=−1

⇔x=−π

6+kπ

0,25

•

2 cosx+1=0⇔ x=2π

3 +k2π

¿

x=−2π

3 +k2π

¿

(k∈Z)

¿ ¿ ¿

Vậy phương trình có nghiệm: x=2π

3 +k2π ; x=− 2π

3 +k2π

x=−π

6+kπ

0,25

III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân.

I ¿∫

0

x+1

(1+√1+2x)2dx •Đặt t=1+√1+2x⇒dt=dx

√1+2x⇒dx=(t −1)dt x= t2−2t

2

Đổi cận

x

t

0,25

•Ta có I =

(t2−2t+2)(t −1) t2 dt=

1 2∫2

4

t3−3t2+4t −2 t2 dt=¿

1 2∫2

4

(t −3+4

t −

2

t2)dt

1 2∫2

4

¿

= 2(

t2

2−3t+4 ln|t|+ t)∨¿

0,5

= ln 2−1

4 0,25

IV

•Ta có ⃗IA=−2⃗IH⇒ H thuộc tia đối tia IA IA = 2IH BC = AB √2 ¿2a ; AI= a ; IH= IA

2 =

a

2

AH = AI + IH = 3a

2

0,25

•Ta có HC2

=AC2+AH2−2 AC AH cos 450⇒HC=a√5

2

Vì SH⊥(ABC)⇒ (SC;(❑ABC))=SCH❑ =600

SH=HC tan600=a√15

2

0,25

•

a√2¿2a√15

2 =

a3 √15

VS ABC=1

3SΔABC SH=

1

1 2¿

0,25

•

BI⊥AH

BI⊥SH

}

⇒BI⊥(SAH)

Ta có

B ;(SAH)=1

2BI=

a

2

d(K ;(SAH)) d(B ;(SAH))=

SK

SB =

1

2⇒d(K ;(SAH))= 2d¿

0,25

V (1đ) Tim giá trị lớn P

P= x x2+xy+

y y2+zx+

z z2+xy Vì x ; y ; z>0 , Áp dụng BĐT Cơsi ta có: P≤ x

2√x2yz+ y 2√y2zx+

z 2√z2xy =

¿1

4(

√yz+

√zx+

√xy)

0,25

1 4(

1 y+

1 z+

1 z+

1 x+

1 x+

1 y)=

1 2(

yz+zx+xy

xyz )≤

1 2(

x2+y2+z2

xyz )

1 2(

xyz xyz)=

1

2 0,5

B A

S

C H

Dấu xảy ⇔x=y=z=3 Vậy MaxP =

0,25 PHẦN TỰ CHỌN:

Câu ý Nội dung Điểm

VIa(2đ) 1(1đ) Viết phương trình đường trịn…

KH: d1:x+y+1=0; d2:2x − y −2=0

d1 có véctơ pháp tuyến ⃗n1=(1;1) d2 có véctơ pháp tuyến ⃗

n2=(1;1)

• AC qua điểm A( 3;0) có véctơ phương ⃗n1=(1;1) ⇒ phương trình AC: x − y −3=0

C=AC∩ d2⇒ Tọa độ C nghiệm hệ:

¿ x − y −3=0

2x − y −2=0

⇒C(−1; −4)

¿{

¿

0,25

• Gọi B(xB; yB) ⇒ M(

xB+3

2 ;

yB

2 ) ( M trung điểm AB)

Ta có B thuộc d1 M thuộc d2 nên ta có:

¿

xB+yB+1=0

xB+3− yB

2 −2=0

⇒B(−1;0)

¿{

¿

0,25

• Gọi phương trình đường trịn qua A, B, C có dạng: x2

+y2+2 ax+2 by+c=0

Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường trịn ta có:

¿

6a+c=−9 −2a+c=−1 −2a −8b+c=−17

⇔

¿a=−1 b=2 c=−3

¿{ {

¿

⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là:

x2

+y2−2x+4y −3=0 Tâm I(1;-2) bán kính R = 2√2

0,5

2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P)

•Gọi ⃗n=(a ;b ; c)≠O⃗ véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0  b = a-2c

Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0

• d(C;(P)) =

a −2c¿2+c2

¿

a2 +¿

√¿

√3⇔|2a¿+c|

⇔

a=c

¿

a=7c

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,5

•TH1: a=c ta chọn a=c=1  Pt (P): x-y+z+2=0 TH2: a=7c ta chọn a =7; c = Pt (P):7x+5y+z+2=0

0,25

VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển

• Ta có

2x+1¿2+3

4

x2+x+1=1

4¿

nên

1+2x¿10

1+2x¿12+

16 ¿ 1+2x¿14+3

8¿

x2+x+1¿2=

16 ¿

(1+2x)10¿

0,25

• Trong khai triển (1+2x)14 hệ số x6 là: 26C 14

Trong khai triển (1+2x)12 hệ số x6 là: 26C12

Trong khai triển (1+2x)10 hệ số x6 là: 26C10

6 0,5

• Vậy hệ số a6=

162

6 C146 +3

82

6

C126 +

162

6

C106 =41748 0,25

VI.b(2đ) 1(1đ) Tìm tọa độ điểm C

• Gọi tọa độ điểm C(xC; yC)⇒G(1+xC

3 ;

yC

3 ) Vì G thuộc d

⇒3(1+xC

3 )+

yC

3 −4=0⇒yC=−3xC+3⇒C(xC;−3xC+3)

•Đường thẳng AB qua A có véctơ phương ⃗AB=(1;2) ⇒ptAB:2x − y −3=0

0,25

• SΔABC=1

2AB d(C ;AB)= 11

2 ⇔d(C ;AB)= 11

√5⇔

|2xC+3xC−3−3|

√5 =

11

⇔|5xC−6|=11⇔ xC=−1

¿

xC= 17

5

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,5

• TH1: xC=−1⇒C(−1;6)

TH2: xC=17

5 ⇒C( 17

5 ;−

36 )

0,25 2(1đ) Viết phương trình đường thẳng

• (P) có véc tơ pháp tuyến ⃗n(P)=(1;1;−1) d có véc tơ phương ⃗

.u=(1;−1;−3)

I=d ∩(P)⇒I(1;2;4)

• Δ⊂(P); Δ⊥d⇒Δ có véc tơ phương ⃗uΔ=[⃗n(P);u⃗]=(−4;2;−2) ¿2(−2;1;−1)

0,25

• Gọi H hình chiếu I Δ ⇒H∈mp(Q) qua I vng góc Δ

Phương trình (Q): −2(x −1)+(y −2)−(z −4)=0⇔−2x+y − z+4=0 Gọi d1=(P)∩(Q)⇒d1 có vécto phương

[⃗n(P);⃗n(Q)]=(0;3;3)=3(0;1;1) d1 qua I

⇒ptd1:

x=1 y=2+t z=4+t

¿{ {

Ta có H∈d1⇒H(1;2+t ;4+t)⇒⃗IH=(0;t ;t)

•

IH=3√2⇔√2t2=3√2⇔ t=3

¿

t=−3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,5

• TH1: t=3⇒H(1;5;7)⇒ptΔ:x −1 −2 =

y −5

1 =

z −7

−1

TH2: t=−3⇒H(1;−1;1)⇒ptΔ:x −1 −2 =

y+1

1 =

z −1

−1

0,25 VII.b đ Giải phương trình tập số phức.

ĐK: z ≠ i • Đặt w=z+i

i− z ta có phương trình: w3=1⇔(w −1)(w2+w+1)=0

⇔

w=1

¿

w2

+w+1=0

¿

w=1

¿

w=−1+i√3

2

¿

w=−1− i√3

2

¿ ¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿

• Với w=1⇒ z+i

i − z=1⇔z=0 • Với w=−1+i√3

2 ⇒

z+i i − z=

−1+i√3

2 ⇔(1+i√3)z=−√3−3i⇔z=−√3

• Với w=−1− i√3

2 ⇒

z+i i − z=

−1− i√3

2 ⇔(1−i√3)z=√3−3i⇔z=√3

Vậy pt có ba nghiệm z=0; z=√3 z=−√3

0,5