Đang tải... (xem toàn văn)
a/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau... Ngêi ta muèn s¾p xÕp chç ngåi cho 6 häc sinh trêng A vµ 6 häc sinh trêng B vµo bµn nãi trªn.[r]
(1)Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình Và hệ bất phơng trình đại số
Đ1 Hệ phơng trình phơng trình đại số Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp
1) Hệ phơng trình bậc nhất: Cách tính định thức
2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Hệ khơng thay đổi ta thay x y ngợc lại
3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trị x y phơng trình trở thành phơng trình kia và ngợc lại
4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét trờng hợp, sau đặt x = ty 5) Một số hệ phơng trình khác
C¸c vÝ dơ
Ví dụ Một số hệ dạng
1) Cho hệ phơng trình
8 )1 )( 1 (
2 y
x y x
m y
x xy
a) Giải hệ m = 12 b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2
1
2 a x y
x y a
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm phân biệt
3) Cho hƯ phơng trình
2
2
1
3
x xy y
x xy y m
Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hƯ ph¬ng tr×nh
2
2 y 6 a
x a y x
a) Gi¶i hƯ a =
b) T×m GTNN cđa F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lµ nghiƯm hệ
5) Cho hệ phơng trình
y m x
x m y
2 )1 (
)1 (
Tìm m để hệ có nghiệm
6) Gi¶i hệ phơng trình:
2 2
2 2
x y
y x
7) Gi¶i hệ phơng trình:
m y
x x
y y x
y x
1 1
1 1
3 1 1
(2)VÝ dô Giải hệ phơng trình:
2
2
2 3
2 3
y x x
x y y
(KB 2003)
HD: TH1 x = y suy x = y =
TH2 chó ý: x>0, y> suy vô nghiệm
Ví dụ Giải hệ phơng trình:
35 8
15 2
3
2
y x
xy y x
HD: Nhóm nhân tử chung sau đặt S = 2x + y P = 2x y Đs: (1, 3) (3/2, 2)
Ví dụ Giải hệ phơng tr×nh:
) 2 ( 1
)1 ( 3 3
6
3
y x
y y x x
HD: tõ (2) : - ≤ x, y ≤ hµm sè: f t t3 3t
[-1;1] áp dụng vào phơng trình (1)
Ví dụ CMR hệ phơng trình sau cã nghiÖm nhÊt:
x a x y
y a y x
2
2
2 2
HD:
2
2x x a y x
; xÐt f(x) 2x3 x2
, lËp BBT suy KQ
VÝ dơ Gi¶i hệ phơng trình:
2 2
2 2
x y
y x
HD Bình phơng vế, đói xứng loại
VÝ dô
)1 (
)1 ( 2
x a y xy
y a x xy
xác định a để hệ có nghiệm nhất
HD sử dụng ĐK cần đủ a = 8
Ví dụ Giải hệ phơng trình:
)2 ( 5
)1 ( 20 10
2
y xy
x xy
HD: Rót y y y
y
x5 5
2
; C« si 5 y 2
y
x ; 20
x theo (1) 20
(3)VÝ dô
2 )1 (
y x y x
y x y x
(KB 2002) HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
VÝ dô 10
a y x
a y x
3 2 1
Tìm a để hệ có nghiệm
HD: Từ (1) đặt u x1,v y2 đợc hệ dối xứng với u, -v
ChØ hÖ cã nghiÖm phơng trình bậc hai tơng ứng có nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)
49 5
56 2
6
2
2
y xy x
y xy x
2)
) (
3
2
2
y x y
x
y y x x
KD 2003
3)
0 9 5
18 ) 3 )( 2 (
2
y x x
y x x x
4)
2 ) (7 2
3
y x y x
y x y x
HD: tách thành nhân tử nghiÖm
5)
m xy
x y xy
26 12
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)
19 2 . ) (
3
2
y x
y y x
Đặt t = x/y Hệ pt cã nghiÖm
7)
6 4
9 ) 2 )( 2 (
2 x y
x
y x x
x
Đặt X = x(x + 2) Y = 2x + y
8)
2 2
2 (1)
x y x y
x y x y
(4)9)
2
3 3
6 19 1
x xy
y
x y x
HD: Đặt x = 1/z thay vào đợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)
10)
1 2
1 1
3
x y
y y x x
(KA 2003)
HD: x = y V xy = - 1 CM 2 0
x
x vô nghiệm cách tách hàm số kq: nghiÖm
11)
a x y
a y x
2 )1 (
)1 (
xác định a để hệ có nghiệm HD sử dụng ĐK cần đủ
12)
3 3 2 2
xy y x
x y y
x
HD bình phơng vế
13)
78 1 7
xy y xy x
xy x y y x
HD nh©n vÕ cđa(1) víi xy
Đ2 Phơng trình bất phơng trình phơng trình đại số Một số dạng phơng trình bất phơng trình thờng gặp
1) Bất phơng trình bậc hai
Định lý dấu tam thức bậc hai Phơng pháp hàm sè
2) Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối
2
0 ( 0)
A B A B
A B
A B B
A B
A B B A B B
3) Phơng trình, bất phơng trình chứa thức
Mét sè vÝ dơ
Ví dụ 1 Tìm m để (x1)(x3)(x2 4x6)m nghiệm với x
HD: sử dụng hàm số tam thức: m ≤ -
Ví dụ Tìm a để hệ sau có nghiệm
2 )1
( 2 2
a y
x x y
(5)HD: 22 (1)2 ( 1) ( 2) (2)
x y
x y a
TH1: a + ≤ 0 HƯ v« nghiƯm
TH2: a + 1>0 Vẽ đồ thị (2) đờngtròn (1) miền gạch chéo: a ≥ - 1/2 Ví dụ Giải phơng trình, bất phơng trình sau
1) 8 6 1 4 1 0
x x
x
2) x4 1 x 1 2x: x = 0
3) 2( 2 ) 2
x x x x
x
4) 2
x x x
x HD: TÝch nh©n tư b»ng suy cách giải
5) ( )
x x x
x KD 2002
Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm
0 1
2
0 9 10 2
m x x
x x
ĐS: m4
Ví dụ Giải bất phơng trình 2 x1 2xx
HD + / Nhân vế với biểu thức liên hợp VT + / Biến đổi BPT tích ý ĐK
VÝ dơ Gi¶i bÊt phơng trình:
2 2
3
3
x x x x
HD Đặt ,
2
t
x x
t , AD BĐT cô si suy ĐK Ví dụ Giải bất phơng trình:
) 1
(
2
x x
x
HD: + / XÐt trêng hỵp chó y DK x> = -
+ / Trong trờng hợp x ≥ 4, tiến hành nhân chia cho biểu thức liên hợp mẫu VT Ví dụ Cho phơng trình: x 9 x x29xm Tìm m để phơng trình có nghiệm
HD: + / Bình phơng vế ý ĐK
+ / Đặt t = tích thức, Tìm ĐK t + / Sư dơng BBT suy KQ
Ví dụ Giải bất phơng trình (KA 2004) :
3 3
) 16 ( 2
x x x
x x
Bµi tËp ¸p dơng
1)
0 1 2 2
a y x
x y x
Tìm a để hệ có nghiệm Tìm nghiệm
§S a = - vµ a =
2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm: 4x 2 16 4x m
3) 4 4 2 12 2 16
x x x
x
4) x12 x 3 2x1
5) 2(1 ) 2 2
x x x x x HD: Đặt 2
x x
t , coi phơng trình bậc hai ẩn t 6) (x 1)x (2 x)x 2 x2
7)
2
) (
2
x x x x
x
8) Cho phơng trình: x4 x x x 4m
(6)9) 1
1
51
x x x
10)
x x
x
11) Tìm a để với x: ( ) ( 2)2
x x a
x
f §S a≥ ; a≤
Chuyên đề 3: Lng giỏc
Đ1 Phơng trình hệ phơng trình lợng giác Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi lợng giác Một số dạng phơng trình bản
Ph¬ng trình bậc 2, bậc theo hàm số lợng gi¸c
Phơng trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Phơng trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx: a sin2x + b sinx cosx + c cos2x + d =
Phơng trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx: a sin3x + b sin2x cosx +
c sinx cos2x + d cos3x = 0
a sin3x + b sin2x cosx +
c sinx cos2x + d cos3x + m = 0
Phơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b sinx cosx + c = 0 Phơng trình đối xứng với tgx, cotgx
Phơng trình đối xứng với sin2nx, cos2nx
C¸c vÝ dơ
VÝ dơ cot tan 2.cos sin
x
x x
x
HD: đặt ĐK x = ±/3 + k.
VÝ dô (sin 1)
2 cos
3
cos2
x x
x
HD: Sử dụng công thức hạ bËc x sinx
3 cos ) cos(
1 §S hä nghiƯm
VÝ dơ
sin sin sin
sin
2 2
2
x x x
x
HD: Nhãm, nh©n lên tách thành nhóm
Ví dụ
3
sin sin cos cos3 tan tan
6
x x x x
x x
HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; ĐS x = - /6 + k VÝ dô 3 tan (tan x x2.sin ) 6.cosx x0
HD: Biến đổi theo sin cos đợc 3.cos2 (1 2cos ) sin2 (1 2cos )
x x x
x §S x = ±/3 + k
VÝ dô
3.tan 6sin 2sin( )
tan 2sin 6sin( )
y
x y x
y
x y x
HD: nh©n (1) víi (2) rót gän tan2 4sin2
y
y
đặt tan2 y t
; t = 0, t 3
VÝ dô x x x x sin3x cosx
2 sin cos
sin
cos HD: BĐ tích thành tổng rút gọn VÝ dô
2
cos cos cos cos
cosx x x x x
HD: nh©n vÕ víi sin(x/2) y xet trờng hợp 0 NX: Trong to¸n chøa tỉng cos cos cos
sin sin sin
T x x nx
T x x nx
(7)VÝ dô 10 9 sin2
cos
log .4.log 2 4
x x
HD: 4
) (sin log
2 log log
2 2
sin sin
sin
x
x x x
Đ2 Giá trị lớn nhỏ nhất, phơng trình có tham số Một số kiến thức cÇn nhí
Phơng pháp hàm số: Bài tốn Max, Min khoảng đoạn. Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá
Các ví dụ
Ví dụ Tìm GTLN, GTNN:
x x
x x
y 4 2
2
cos sin
sin cos
HD: t = cos2x, tìm Max, Min ®o¹n M = 8/5 m = 4/3 VÝ dơ Cho phơng trình: cos2xm.cos2 x 1tgx
1) Giải phơng tr×nh m = 1
2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3] HD: t = tgx, t0; 3
; LËp BBT f(t) §S:
(1 3) 3;1
m
VÝ dơ : T×m GTLN, GTNN: y 2.sin8 x cos42x
HD: t = cos2x, - 1t1 tìm Max, Min đoạn f, t 8t3 (t1)3 §S:M = 3, m = 1/27
VÝ dơ T×m GTLN, GTNN: cos4 sin4 sin cos
x x x x
y
Ví dụ Cho phơng trình: 2.(sin4 cos4 ) cos4 2sin2
x x x m
x
Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /2] ĐS: [ -10/3; -2] Ví dụ Cho phơng trình
3 cos sin
1 cos sin
2
x x
x x
a
1) Giải phơng trình a = 1/3 2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
HD: Đa dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + §S [ -1/2, 2]
VÝ dơ T×m nghiƯm cđa pt sau kho¶ng (0, ) :
4 cos
2 cos sin
4 x x x
Bài tập áp dụng
1)
2 sin sin sin cos cos
cosx x x x x x
2) sinx 3.cosx sinx 3.cosx 2
3) 3sin (32 ) 2sin cos 5sin2
2 2
x x x x
4)
x x
x x
cos
cos sin
1 sin
2
5) cot cos 22 sin
x x
x
HD: Chó ý §K §S: x = - /4 + k/2
6) cos 2xcos (2.tanx x 1) 2 7) 3cos4 8cos6 2cos2 3 0
x
x
8)
1
cos
3 sin sin cos )
(
x
x x
x
9) 1sinxcosxsin2xcos2x0
Một số đề thi từ nm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 phơng trình cos2
sin
3 sin cos sin
5
x
x x x
x KA 2002
2) Giải phơng trình
2
4 (2 sin )sin tan
cos
x x
x
x
(8)3) T×m nghiƯm thc khoảng 0; 2 phơng trình cot tan 4sin 2 sin
x x x
x
KB 2003
4) Tìm x nghiệm thuộc khoảng 0;14 phơng trình cos 3x cos 2x3cosx 0 KB 2003
5) Xác định m để phơng trình 2 sin xcos4xcos 4x2sin 2x m 0 có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
(DB 2002) 6) Gi¶i phơng trình
4
sin cos 1
cot
5sin 2 8sin
x x
x
x x
(DB 2002)
7) Gi¶i phơng trình tan cos cos2 sin tan tan x x x x x x
(DB 2002)
8) Cho phơng trình 2sin cos (1) sin 2cos
x x
a
x x
a) Giải phơng trình (2) a b) Tìm a để phơng trình có nghiệm 9) Giải phơng trình
2
sin
8cos x x (DB 2002) 10) Giải phơng trình cot cos sin2 1sin
1 tan
x
x x x
x
(KA 2003)
11) Giải phơng trình 3 tan xtanx2sinx6cosx0 (DBKA 2003) 12) Giải phơng trình cos 2xcosx2 tan2 x1 2 (DBKA 2003) 13) Giải phơng tr×nh 3cos 4x 8cos6x 2cos2x 3 0
(DBKB 2003)
14) Giải phơng tr×nh
2 cos 2sin
2 1 2cos
x x
x
(DBKB 2003)
15) Giải phơng trình sin2 tan2 cos2
2
x x
x
(KD 2003)
16) Giải phơng trình
2
cos cos
2 sin cos sin
x x
x
x x
(DBKD 2003) 17) Giải phơng trình cot tan 2sin
sin x
x x
x
(DBKD 2003)
18) Giải phơng trình 5sinx sin xtan2x (KB 2004)
19) Giải phơng trình 2 cosx1 2sin xcosxsin 2x sinx (KB 2004) Chuyờn 4: M & Lụgarit
Đ1 Phơng trình hệ phơng trình Mũ lôgarit Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức mũ lôgarit. Giới thiệu số phơng trình bản. Khi giải phơng trình logarit ĐK. Các ví dụ
Ví dụ Cho phơng trình: log log2
3
3 x x m
1) Giải phơng trình m = 2
(9)VÝ dô
4 log log
2
5 ) (
log
2
2 2
y x
y x
®s (4, 4)
VÝ dô log ( 1) log (4 )
4 ) ( log
2
4
2 x x x HD: §K x>0 Vµ x≠1; §S x = 2, x2 3
VÝ dơ log5 x.log3xlog5 x.log3x HD: §ỉi số ĐS: x = x = 15
VÝ dô
6 3 3
) (3 9
2 2
3 log )
(
log2 2
x y y x
xy
xy
VÝ dô x x 1) ( log3
2
HD: §K x> - TH1: - 1<x phơng trình vn
TH2: x>0, t y = log3(x + 1) Suy
3
2
y y
VÝ dô
2
2
1
log x x
x x
HD: VP ≤ víi x>0, BBT VT ≥ ; Côsi lôgagrit ĐS x = 1
Ví dô
y y y
x x x
x
2 2
2 4
4 5 2
1
§S (0, 1) (2, 4)
Ví dụ Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) : log log log4 3
2
2x x m x
HD: t > = 5; 1 3
1 31
1 ,0
2
m t m
m m m
VÝ dô 10
3 2 2
log log
y x
x
y xy y
HD ĐK x, y>0 khác 1; BĐ (1) đợc TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm TH2:
1
y
x thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành miền y>1 0<y<1
Đ2 Bất phơng trình hệ bất phơng trình Mũ lôgarit Một số kiến thức cần nhớ
Giới thiệu số bất phơng trình mũ logarit Chú y ĐK
(10)Ví dụ Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm:
1 )1 ( log 3 1 log
2 1
0 3
1
3 2
2
x x
k x x
HD: §K x>1; Gi¶i (2) 1<x ≤2; BBT f x x 3 3 x §S: k > -
VÝ dô log 2log ( 1) log26
1
1 x x
VÝ dô x x
x
x log2
2 log
2
2 HD: LÊy logarit vÕ theo c¬ sè VÝ dô logx(log3.(9x 27))1
VÝ dô 2
4
log log (x 2x x) 0
VÝ dô ( 1)log (2 5)log
1
2
1
x x x
x
HD: Đặt t = log x , coi BPT cho Bpt bậc ẩn t; Chú ý so sánh trờng hợp t1, t2
§S (0;2] v (x 4)
Ví dụ Giải bất phơng tr×nh x x
x log2
2 log
2
2
Ví dụ Giải bất phơng trình:
0
) ( log ) (
log
3 2
1
x
x x
Ví dụ Giải bất phơng tr×nh: 2
4
1
log (x 3 )x log (3x1)
Bµi tËp ¸p dông
1) x x x
x
3
3 log
2 log log
log
2) 2log 2 log3 log3( 1)
9 x x x
3) 3
3
2
2
x x x
x
4)
0 log log
0 3 4
2
4x x
y x
§K x, y≥ §S: (1, 1) (9, 3)
5)
3 ) 5 3 2 ( log
3 ) 5 3 2 ( log
2
2
x y y y
y x x x
y x
6)
25
1 ) 1 ( log ) ( log
2
4
1
x y
y x
y
KA 2004 §S: (3; 4)
7) log (2 1).log (2 2)
2
x
x §S x = log
(11)8) Tìm a để hệ sau có nghiệm:
0 )1
(
1 )3
2 (
2
4 log 05,
a x a x
x
x x
x
HD: a>3/2
9) logx log (93 x 6) 1
10) Gi¶i phơng trình log ( 1) log ( 2 )
2
3 x x x x
11)
x y
x y y x
x y
x
2
2 2
12)
0 6
) (8
1 3 ). (
4
4
y x x y
y x
y x
13) Tìm m để phơng trình 4log log
2
2 x xm cã nghiÖm thc kho¶ng (0;1)
Chun đề Tích phân xác định ứng dụng Đ1 Phơng pháp tính tích phõn
I Tích phân hàm số hữu tỉ
(12)1) ; B ; ) ( x x dx x dx x A 2) ; ) ( B ; 2 ( 10 3 x dx x x dx x x A 3) ; ) ( ) ( B ; ) 16 10 ( 2 1 2 x x dx x x dx x x x A 4) ; ) ( B ; ) ( 1 3 x x dx x x x x dx x x x A 5) ; B ; 2 2 x x dx x x x dx A 6) ; ) ( B ; ) ( 3 x dx x x x dx x x x A 7) ; ) ( ) ( B ; ) ( 4 2 x x dx x x x dx A
8)
2 3 ; ) )( ( 13 2 B ; 3 dx x x x x x x dx x A Bài tập
1) (CĐSP HN 2000):
2 dx x x I
2) (§HNL TPHCM 1995)
1
2 5x 6
x dx I
3) (§HKT TPHCM 1994)
)
( x dx x
I
4) (§HNT HN 2000)
2 ) 10 ( x x dx x x x I
5) (§HSP TPHCM 2000)
2 5 6
) 11 ( x x dx x I
6) (§HXD HN 2000)
1 x dx I
7) (§H M§C 1995 )
4x 3
x dx I
8) (ĐHQG HN 1995) Xác định số A,B,C để ) ( 3 3 x C x B x A x x x x
TÝnh dx
x x x x I 3 3
9) (§HTM 1995)
x dx x I
10) (ĐH Thái Nguyên 1997)
x x
dx x
I
x t : HD ) (
11) Xác định số A,B để
1 ) ( ) ( 2 x B x A x x TÝnh dx x x I ) ( ) ( 2
12) Cho hµm sè 2 3
) ( ) ( ) ( x x x x f
a) Định hệ số A,B,C,D,E cho
1 ) )( ( )
( 2
x dx E x dx D x x C Bx Ax dx x f
b) TÝnh
3
2 ) (x dx f
II Tích phân hàm số lợng giác
Ví dụ : Tính tích phân sau 1) 2 tan ; B
1 sin cos cos sin cos
dx x dx
A
x x x x x
2)
3
0
6 tan
; B ( cos sin ) cos
x dx
A x x dx
x
3) x xdx
x dx x x
A ; B sin cos
cos
) sin
( 2
0 4) ; sin cos 2 x dx x x A Bµi tËp
(13)
4 cos 1
sin J va ; sin sin x dx x x dx x I
2) (§HSP TPHCM 1995) Cho x x x x f cos sin sin ) (
a) T×m A,B cho
x x x x B A x f sin cos sin cos ) (
b) TÝnh
) ( dx x f I
3) (§HGTVT TPHCM 1999) a) CMR
4 4 4 sin cos sin sin cos cos x x dx x x x dx x b) TÝnh 4 sin cos cos x x dx x I
4) (§HTS 1999) TÝnh :
2. ) cos ( cos sin dx x x x I
5) (§HTM HN 1995) TÝnh
4 cos x dx I
6) (HVKTQS 1999):TÝnh
4 cos sin x dx x I
7) (§HNN1 HN Khèi B 1998)
2
0 cos cos x dx x I
8) (§HQGHN Khèi A 1997)
2 cos sin x dx x I
9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh
cos sin cos sin dx x x x x I
10) (§HQG TPHCM 1998)
2
0
2 .sin . cos dx x x I
11) (HVNH TPHCM 2000)
cos sin x dx x I
12) (§HBK HN 1999) Cho hµm sè
2 ) sin ( sin ) ( x x x h
a) Tìm A,B để
x x B x x A x h sin cos ) sin ( cos ) ( 2
b) TÝnh
) ( dx x h I
13) (§HBK HN 1998)
2
0
4 sin ). (cos cos dx x x x I
14) (HVNH TPHCM 2000)
cos ) sin ( x dx x x I
III Tích phân hàm số vô tỉ
Ví dụ : Tính tích phân sau : 1) a a dx x a x dx x x A 2
15. 1 3 . ; B . 2 . ( 0)
2) 2
2 ( 0)
) ( B ; a x x dx dx x a x A a
3)
1 ( 1)( 2)
B ;
1 x x
dx x
x dx A
4)
1 2 2 B ; x x dx x dx x A
5)
2 2 B ;
x x x dx
x dx A 6)
0
B ; x dx x dx x A
7)
3
8 1
) ( (*)B ;
1 x x x
dx x x x dx A
8) ;
1 1 (*) x dx x x A
9)
2 ; B 2 2.
4 x dx x x dx
A
10)
(14)1) (HVNH THCM 2000) x x dx x I
2) (§H BKHN 1995)
2
3
2 x x2
dx I
3) (HVKTQS 1998)
1
11 x x2
dx I
4) (§HAN 1999)
4
7x x2
dx I
5) (§HQG HN 1998)
1
2 3. 1 x .dx
x I
6) (§HSP2 HN 2000)
2
1 x x3
dx I
7) (§HXD HN 1996)
) ( x dx x I
8) (§HTM 1997)
7
03 x dx x I
9) (§HQG TPHCM 1998)
1
0
x dx x I
IV Một số dạng tích phõn c bit
Ví dụ1 :Tính tích phân sau : 1)
0 sin cos
cos B cos sin sin x x xdx x x xdx
A 2) x xdx
e e
dx e
A x x
x cos cos B
VÝ dụ2 :Tính tích phân sau
1)
1 5cos2 . ; B 2.
dx e x dx x x A x
2)
2 2 . cos sin B ; 1 ln dx x x dx x x x A
Ví dụ 3 :Tính tích phân sau 1) 2004 2004 2004
4 cos sin
cos B ; sin sin dx x x x dx x x A
2)
2 1 cos
sin B ; cos sin dx x x x dx x x x A Bµi tËp
1) (§HPCCC 2000) TÝnh
1
1 x dx
I x
2) (§HGT 2000 )TÝnh
2 sin cos dx x x x I
3) (§HQG HN 1994) TÝnh
0
3 .
sin xdx x
I
4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh
dx x
I x
1 sin2
5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh
1 dx x I x
Đ2 ứng dụng tích phân xác định Một số kiến thức cần nhớ
Néi dung toán diện tích hình phẳng: toán bản. Bài toán thể tích tròn xoay.
C¸c vÝ dơ
Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay xung quanh trục ox hình phẳng giới hạn trục ox đờng y 2sinx(0x)
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: 3,
x x y x
y
Bài Tính diện tíc hình phẳng giới hạn đờng:
2 , 4 2 x y x
y
Bµi TÝnh diƯn tích hình phẳng giới hạn (P) y2 = 16x tiếp tuyến A(1;4) B(4; - 8)
Bài Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
2 x 0; x va y ; cos
sin2
x x
(15)2) (§HTCKT 2000): TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y ex;y ex va x1
3) (HVBCVT 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
2 x 0; x va 12 y ; sin
1
x x
y
4) (HVBCVT 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y x2 2x;y 3x
5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn y x2; x y2
6) (ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn y x2 4x3;y3 x
7) (§HC§ 1999) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
x y va y ;
2
2
x x
y
8) (§HSP1 HN 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi 1;y
x x
y
9) (§HKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn hình phía dới (P) : y=ax2 (a>0) y=ax+2a
10) Tính diƯn tÝch giíi h¹n bëi ( ):
x x
y
P tiếp tuyến điểm A(0;-3) B(3;0)
11) (ĐH Huế 1999) Tính diện tích giíi h¹n bëi ( 1)5 ;y va x
x x ex
y
12) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
4
Oy voi truc
x va cos y ;
sin3
x x
y
13) (HVQY 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi 0; (C): 2
y x x x
y tiếp tuyến với đờng
cong (C) điểm có hồnh độ x=2
14) (§HKT 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
1 4
x x
y (C ) Ox, hai đờng thẳng có phơng trình x=1; x=-1
*****Mét sè bµi tham kh¶o************
1) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C):y x2
trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2
2) Tính diện tích S giới hạn đồ thị
2 : )
(
x
y
C trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=1 x=3
3) Tính diện tích S giới hạn đồ thị
: )
(C yx trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2, y=x
4) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (P):y2 2x
đờng thẳng có phơng trình y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (P1):x 2y2 va(P2):x 1 3y2
Bài Thể tích vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giíi h¹n bëi
;
3 ;
;x x y tgx
y
D
a) TÝnh diÖn tÝch hình phẳng giới hạn D
b) Tính thể tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh Ox
2) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay quanh Ox cđa h×nh giíi hạn trục Ox (P) y=x2-ax (a>0)
3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích vật thể tròn xoaydo hình phẳng S yx.lnx;y 0;x1;xe
4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh ( ): 2
2 2
b y a x
E nã quay quanh Ox
5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn y= 4-x2; y=x2+2 Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta
đợc vật thể Tính thể tích vật thể
6) (HVQY 1997): Cho h×nh phẳng giới hạn Dyx2;y x Tính thể tích vật thĨ trßn xoay D
quay quanh trơc Ox
7) (HVKTQS 1995) TÝnh thÓ tÝch D quay quanh Ox
y y x x x x
D ;
2 ; sin cos
1 ;
0 4
8) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay quanh Ox hình phẳng S giới hạn đ-ờng
y=x.ex , x=1 , y=0 (0≤ x ≤ 1 )
9) (§HXD 1998) TÝnh thĨ tÝch vËt thể tạo hình
16
) ( : ) (
2
y
x
E quay quanh trục Oy
10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giíi h¹n bëi
2 ;
1
2
x y x y D
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bëi D
(16)11) (§HKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn Dy2 (4 x)3;y2 4x
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn D
b) TÝnh thĨ tÝch vËt trßn xoay D quay quanh Ox
12) (ĐHPCCC 2000): Cho hàm sè ( ): .( 1)2
x x
y C
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C) c) Tính thể tích giới hạn (C) quay quanh Ox
13) Cho miền (H) giới hạn đờng cong y=sinx đoạn x ≤ ≤ trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay (H) quay quanh
a) Trơc Ox b) Trôc Oy
Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn Đ1 Một số Bài toán ỏp dng quy tc nhõn, cng,
hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp 1.1 Các toán chọn số:
* Ví dụ 1: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc:
a/ Bao nhiªu sè tù nhiên gồm chữ số khác
b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác
c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt số
* Ví dụ 2: Với chữ số 0,1,2,3,4,5 lập đợc số tự nhiờn tho:
a/ Gồm chữ số từ sè trªn
b/ Gồm chữ số chữ số có mặt lần cịn chữ số khác có mặt lần
* Ví dụ 3: Với chữ số 1,2,3,4,5 lập đợc số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, có hai chữ số khơng đứng cạnh
* Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đợc số gồm chữ số khác cho :
a/ Số chia hết cho
b/ Trong chữ số có mặt chữ số
c/ Nhá h¬n 600000
* Ví dụ 5: Xét hoán vị chữ số 1,2,3,4,5,6 Tính tổng S tất số tạo thành hoán vị
* Vớ dụ 6: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập đợc số gồm chữ số khác tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị
Bµi tËp
* Bài 1: Từ chữ số 1,2,5,6,7,8 lập đợc số gồm chữ số khác từ chữ số cho:
a/ Số tạo thành số chẵn
b/ Số tạo thành mặt chữ số
c/ Số tạo thành phải có mặt chữ số
d/ Số tạo thành nhỏ 278
*Bài 2: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7
a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác
b/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác
c/ Có số tự nhiên chia hết cho gồm chữ số khác
*Bµi 3: Cho tËp A1, 2,3, 4,5, 6,7,8
a/ Cã bao nhiªu tËp X cđa A thoả điều kiện chứa không chứa
b/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác lấy từ tập A không bắt đầu số 123
*Bi 4: Cho A0,1, 2,3, 4,5,6,7 lập đợc số gồm chữ số khác lấy từ tập A
cho: a/ Số tạo thành số chẵn
b/ Một chữ số ph¶i b»ng
*Bài 5: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại chọn từ 2,3,4,5 Hỏi có số nh
a/ ch÷ sè xÕp kỊ
b/ Các chữ số đợc xếp tuỳ ý
*Bµi 6: Cho chữ số 0,2,4,5,6,8,9
a/ Có số có chữ số khác lập từ số trªn
b/ Có số có chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số
*Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đợc số gồm chữ số
1
a a a thoả điều kiện chữ số a3 số chẵn , a7 không chia hết cho 5, chữ số a ;a ;a4 5 6 đôi khác
*Bài 8: Với chữ số 0,1,2,3,4,5 ta lập đợc số :
(17)b/ Gồm chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số
*Bài 9: Ta viết số có chữ số chữ số 1,2,3,4,5 Trong số đợc viết có chữ số đợc xuất lần chữ số cịn lại xuất lần Hỏi có số nh
* Bài 10: Cho chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Xét tập E gồm chữ số khác viết từ chữ số cho Chứng minh tổng S tất số tập E chia hết cho
1.2 Các toán chọn đối tợng thực tế:
Dạng 1 :Tìm số cách chọn đối tợng thoả điều kiện cho trớc.
* Ví dụ 1: Có hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ ( hoa xem nh đôi khác nhau) ngời ta muốn chọn bó hoa gồm bơng
a/ Có cách chọn hoa đợc chọn tuỳ ý
b/ Có cách chọn cho có bơng màu đỏ
c/ Có cách chọn cho có bơng hồng vàng hồng đỏ
* Ví dụ 2: Một khiêu vũ có 10 nam nữ, ngời ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn
* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh có cán lớp.ần chọn em 30 học sinh trực tuần cho em đợc chọn ln có cán lớp Hỏi có cách chọn
* Ví dụ 4:Một trờng tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, có cạp anh em sinh đôi Ng ời ta cần chọn học sinh 50 học sinh dự hội trại cấp thành phố cho khơng có cặp anh em sinh đơi đợc chọn Hỏi có cách chọn
* Ví dụ 5:Trong mơn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác gồm câu khó , 10 câu trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đợc đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu (khó, trung bình dễ) đồng thời số câu dễ khơng
* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh đợc lấy từ nh ca H
a/ Có tam giác nh vËy
b/ Có tam giác có cạnh cạnh H c/ Có tam giác có cạnh cạnh H
d/ Có tam giác cạnh cạnh H
Dng 2 :Xếp vị trí đối tợng thoả điều kiện cho trớc. * Ví dụ 7: Có cách xếp bạn A,B,C,D,E vào ghế dài cho
a/ Bạn C ngồi
b/ Bạn A E ngồi hai đầu ghế
* Ví dụ 8: Trong phòng học có dÃy bàn dài, dÃy có chỗ ngồi Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp nếu:
a/ C¸c häc sinh ngåi tuú ý
b/ C¸c học sinh nam ngồi bàn nữ ngồi bàn
* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn nớc : Việt Nam ngời, Lào ngời, Thái Lan ngời Trung Quốc ngời Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho ngời quốc tịch ngồi gần
* Vớ d 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trờng A học sinh trờng B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trờng hợp sau:
a/ Bất hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trờng với b/ Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trờng với
Bµi tËp
* Bµi 1: Mét líp häc cã 40 häc sinh gồm 25 nam 15 nữ Có c¸ch chän häc sinh cho :
a/ Số học sinh nam nữ tuỳ ý
b/ Phải có nam nữ
c/ Phải có nữ
d/ Số học sinh nam không vợt
* Bài 2: Mét líp häc cã 40 häc sinh cÇn cư ban c¸n sù gåm líp tr ëng, lớp phó uỷ viên Hỏi có c¸ch lËp ban c¸n sù líp
* Bài 3: Gia đình ơng A có 11 ngời bạn có cặp vợ chồng ơng muốn mời ngời đến dự tiệc, có cặp vợ chồng đợc mời khơng đợc mời Hỏi ơng A có cách mời
* Bài45:Một đội niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh mền núi , cho tỉnh có nam nữ
* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi trờng gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em đợc chọn
(18)* Bài 7: Cho đa giác A A A (n 2,n1 2 2n )nội tiếp đờng tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A ;A ; ;A1 2 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm
1 2n
A ;A ; ;A H·y t×m n
*Bài : Một tổ gồm học sinh A,B,C,D,E,F đợc xếp vào chỗ ngồi đợc ghi số thứ tự bàn dài Tìm số cách xếp học sinh cho:
a/ A B ngồi học sinh lại
b/ A B không ngồi cạnh
*Bài : Một học sinh có 12 sách đơi khác có sách mơn tốn, mơn văn, mơn anh văn Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ dài , sách đợc xếp kề môn học xếp kề
* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trờng A học sinh trờng B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trờng hợp sau:
a/ Bất hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trờng với b/ Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trờng với
§2 Các toán nhị thức, phơng trình bất phơng trình Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp
Một sè kiÕn thøc cÇn nhí
1 Hốn vị : Pn n n. 1 2.1
2 Chỉnh hợp:
!
!
k n
n
A n n n k
n k
0 ! 1, n
O A 0 k n 3 Tổ hợp:
! ! !
k n
n C
k n k
,0
O n
C k n Cnk Cnn k Cnk1Cnk Cnk1
4 Nhị Thức nưu tơn:
0
k n
n k n k k k k n k
n n
k k
a b C a b C a b
Tồng có n+1 số hạng bậc số hạng n-k+k=n Số hạng tổng quát Tk1 C ank n k bk
C¸c vÝ dơ
I Giải pt, hệ pt, bất phơng trình, hệ bất phơng trình đại số tổ hợp *Ví dụ Giải phương trỡnh: a,Cx16.Cx26.Cx39x214x b,C5x2C5x1C5x25
*VÝ dơ Giải phương trình:
5
5 14
x x x
C C C
*VÝ dô Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mã phương trình
a, 41 31 2
0
n n n
C C A §S: n=11
b, 2. n 2 3 n 100
n n n n n n
C C C C C C
c, Cn02Cn14Cn2 2 nCnn 243 *VÝ dô P Ax x2 72 6 Ax22Px
*VÝ dơ Giải hệ phương trình 90
5 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
§S: x=5 ,y=2
*VÝ dô Giải bpt: a)
2
3 10
n n
C
n C
b)
1 14
n
n n
A C n
§S: a)
2
5 n
)
b n *VÝ dô Giải bất phương trình:
4
4 143 )
2 !
n
n
A a
n P
4
3
1
24 )
23
n n
n n
A b
A C
(19)*VÝ dơ Giải bất phương trình: a, 41 31 2
4
x x x
C C A b, 22
1
10 2Ax Ax xCx §S: a, 5 x 11 b, x4
Bài tập
1. Giải phơng trình sau:
1/
x x
2A 50 A 2/ x x x
4
1 1
C C C
2. T×m k cho c¸c sè C ;C ;Ck7 k 17 k 27 theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng.
3. Giải bất phơng trình sau: 1/ C4n 1 C3n 1 5A2n 2 0, n
4
2/
3 n
n n
A 2C 9n
4. Giải hệ phơng tr×nh sau:
1/
y y
x x
y y
x x
2A 5C 90
5A 2C 80 2/
y y y
x x x
C : C : C : :
5. Giải phơng trình sau:
1/ 2
x x x x
P A 72 6(A 2P ) 2/ x x x
5
1 14
C C C
3/ 2 2 2 2
n n n n
C 2C 2C C 149 4/ C1x 6Cx2 6Cx3 9x2 14x 6. Giải bất phơng tr×nh sau:
1/
x x
x
C
A 14P 2/
4
x x x
5
C C A
4
3/
2 x x x
1
A A C 10
2 x
4/ C2x2 C2x4 C 2x2x 22003 7. Giải PT vµ hƯ PT sau:
1/
y y
x x
y y
x x
C C
4C 5C 2/
m m m
n n n
C : C : C : :
8 Gi¶i bÊt phơng trình 60 32
)! (
k n
n A
k n
P
víi Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004)
9. Giải hệ phơng trình : : 6:5:2
1
y x y x y
x C C
C (TNPT 2002 - 2003)
10.Giải bất phơng trình 22003
2
2
2
x x x
x C C
C
11.T×m sè n nguyên dơng thoả mÃn bất phơng trình A Cn n
n
n
2
3 §S: n = 4, n = 3
12.Tìm số tự nhiên n thoả m·n: 22 3 n3100
n n n n n
n
n C C C C C
C
Tìm số tự nhiên n biÕt (KA 2005) 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2005
1 2
1 3
1 2
1
1
2
n n n n
n n
n C C C n C
C
II Tìm số hạng hệ số số hạng
*VÝ dơ 1.Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển
10 x
x
*VÝ dô Tìm số hạng x31, Trong khai triển
40 x
x
*VÝ dô Tìm số hạng khơng chứa x khai triển
7
4 x
x
(20)*VÝ dô Trong khai triển
28 15
n
x x x
Tìm số hạng khơng chứa x biết n n n 79
n n n
C C C
*VÝ dô Tìm hệ số số hạng chứa x43 khai triển
21
3 x
x
*VÝ dô Biết khai triển
3
n
x
Có hệ số số hạng thứ Hãy tính số hạng đứng khai triển
*VÝ dô Cho khai triển
3 n x
x
Biết tổng ba số hạng đầu itên khai triển 631 Tìm hệ số số hạng có chứa x5
*VÝ dơ Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển
15 28 n x x
x
bằng 79 Tìm số hạng khơng chứa x
*VÝ dơ tìm hệ số x y6 khai triển
10 x xy
y
*VÝ dô 10 Trong khai triển
12
3 xy xy Tìm số hạng chứa x y cho số mũ x y số ngun dương
*VÝ dơ 11 Tìm hạng tử số nguyên khai triển 33 219 *VÝ dô 12
a, Cho khai triển 1x101 Trong hệ số số hạng Tìm hệ số lớn
b, Cho khai triển 1 2 x30.Tìm hệ số lớn hệ số
Bµi tËp
1. BiÕt r»ng (2x)100 a0 a1x a100x100 a) CMR: a2 < a3
b) Víi gi¸ trị k ak< ak + (0k99)
2. Tìm k thuộc {0, 1, … 2005} cho: C2005k đặt GTLN
3. Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức: 12
n
n n
n A P A
P
4. Tính giá trị cđa biĨu thc
)! (
3A
A
n
1 n
n
M n lµ số nguyên dơng Biết rằng:
149
2
4
3
2
1
n n n
n C C C
C
5. T×m hƯ sè cđa x7 khai triển thành đa thức (2 - 3x) 2n.
6. Giả sử (12x)n a0 a1x anxn a0 a1 an 729
Tìm n số lớn số: a0,a1, ,an
7. Giả sử n số nguyên dơng (1x)n a0a1 anxn
Biết r»ng k nguyªn (0<k<n) cho
24
1
1
k k
k a a
a
TÝnh n? §S: n = 10
8. Giả sử n số nguyên dơng (1x)10(x2)x11 a1 a1x10 a11 H·y tÝnh hƯ sè a5 §S 672
9. Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triĨn nhÞ thøc BiÕt: 7( 3)
3
4
C n
C n
n n
n ĐS: 495
10.Tìm hệ số số hạng chøa x8 khai triĨn nhÞ thøc 1 x2(1 x)8
(21)11. Có hạng tử số nguyên khai triiển 345124 12.Có hạng tử số nguyện khai triển 47 3364
13.Khai triển đa thức P x 1 x9 1x10 1x14 A0 A x1 A x14 14 Tính A9 14.Cho khai triển :
1
2
n x
x
Biết 5
n n
C C số hạng thứ 20n Tùm x n
15.Trong khai triển :
3
n
a b
b a
tìm số hạng chứa a,b có số mũ 16.Tìm hệ số lớn hệ số khai triển
40 3x
17.Biết tổng hệ số khai triển 1 2 xn 6561 Tìm hệ số x4
18.Biết tổng hệ số khai triển 1x2n 1024 Tìm hệ số x12
19. Tìm hệ số x8 khai triển : 13
n
x x
Biết
1
4
n n
n n
C C n
III Chứng minh đẳng thức *Ví dụ
a, (§HBK HN - 1998) Chøng minh r»ng: 316C160 315C161 316C162 C1616 216
b, (§HYD TP HCM - 2000) Chøng minh r»ng: b1, Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
b2, C21n C23n C25n C22nn1 C20n C22n C24n C22nn
c, Chøng minh r»ng: 72005C20050 72004.6.C1200572003.6 2C20052 72002.6 3C20053 6 2005C20052005 1 *VÝ dô
a, (§HAN-CS khèi A - 1998) Chøng minh r»ng:
2
2.1 3.2 4.3 .( 1) n ( 1).2n , ,
n n n n
C C C n n C n n n n
b, (ĐH Hằng Hải - 1997) Chøng minh r»ng:
1 1 3
.4 n ( 1).4 n ( 2).4 n ( 1) n 2n n, ,
n n n n n n n n
n C n C n C n C C C C n C n n
*VÝ dô
a, (ĐH Giao thông vận tải - 1996) Chứng minh rằng:
2
0 2 2 ( 1)
2 ( 1)
2 1
n n
n n
n n n n
C C C C
n n
b, (ĐH Mở Hà Nội - 1999) CMR:
1
0
1 1
, ,
3 3 3( 1)
n n
n n n n
C C C C n n
n n
*VÝ dô
a, Chứng minh Cn mm m 1Cm nm
n
b, Cho n,m,k số nguyên dương m n k m , Chứng minh:C Cnm mk C Cnk n km k
c, Cho n nguyên dương Chứng minh rằng: 1
2 2
1
n n n
n n n
C C C
d, Cho n≥2 n nguyên Chứng minh:Cn21 Cn2n
e, Cho n≥2 n nguyên Chứng minh: 2 2
1 1
n n
A A A =T
(22)*VÝ dô (Sử dụng tính chất: CnkCnk1Cnk1)
a, Chứng minh
1
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
b, Chứng minh : 22 33
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
c, Cho 4 k n Chứng minh Cnk4Cnk16Cnk24Cnk3Cnk4 Cnk4
d, Cho 1m n Chứng minh Cnm Cnm11Cnm21 Cmm1Cmm11
*VÝ dô (Khai triển biểu thức hoặc, hai biểu thức hai cách khác sau đồng hệ số ) a, Chứng minh rằng: C C60 nk C C61 nk1 C C66 nk6 Cnk6
b, Chứng minh: 0 2 2 n n
n n n n
C C C C
c, Chứng minh. 0 2 2 n n 1n n
n n n n
C C C C
d, Chứng minh rằng: 0. p 1. p p. p
n m n m n m n m
C C C C C C C
HD: a,1x 6 1xn ! 1xn6 ! so sánh xk b,
0
1 n n n k k n k n k
n n
k k
x x C x C x
Hệ số x n
0 2 n
n n n
C C C
2 2 n n k k
n k
x C x
Hệ số xk 2kn
C
c, 2 2 22 1x n 1 x n 1 x n
d, Xét1x n 1xm=! Hệ số xp ,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển 1xm n Hệ số xp Bµi tËp
1. a, (ĐHQG Hà Nội khối D - 1997) Chứng minh rằng: C100 C101 C102 C1010 210
b, Cho:0 n Chøng minh r»ng: ( 1)n n
n n n n
C C C C
2. (ĐHTCKT - Hà Nội - 2000)
Chứng minh r»ng: 2 3 n , n ,
n n n n
C C C nC n n n
3. (§HKTQD - 2000)
Chøng minh r»ng: 1.2n 1 2.2n 2 3.2n 3 n , n ,
n n n n
C C C nC n n n
4. (ĐH Luật Hà Nội - 1997)
Chøng minh r»ng: 1 1 ( 1) 1
2 2 2
n n
n n n n
C C C C
n n
5. (ĐH Đà Nẵng - 2001)
Chứng minh rằng:
2 1
0 2 2
2 ,
2 1
n n
n
n n n n
C C C C n
n n
6. (ĐH Nông nghiệp - 1999)
Chng minh rng: 190 191 192 1919 2C 3C 4C 21C 420 7. (Bộ đề tuyển sinh câu IVa, đề 81)
Chøng minh r»ng: 1 1 ( 1) (2 )!!
3 (2 1)!!
n n
n n n n
n
C C C C
n n
8. (§HQG Tp HCM khèi D - 1997)
Cho:
,
k n k n
Chøng minh r»ng: k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
9. Chøng minh r»ng: k k 1 k 2k
n n n n n n n
C C C C C C C
(23)10.Chøng minh r»ng:
a, C109 4C108 6C107 4C106 C105 C149