sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8 .[r]
(1)Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2011 -2012 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 01
MƠN: To¸n
Thời gian làm bài: 180 phút I - PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x4 4m 1 x2 2m 1
có đồ thị Cm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số
2
m
2 Xác định tham số m để hàm số có cực trị tạo thành đỉnh tam giác
Câu II (2 điểm) 1.Tìm nghiệmx 0;của pt:4sin2 x 3sin 2x 2cos2 x
2
2 Giải PT HPT: a)
3 3
2
8 27 18
4
x y y
x y x y
b) 3
x 3x 1 x x 1
3
Cõu III (1 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB = BC = a ; AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc vi mt ỏy (ABCD)
Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 600
Tớnh th tích khối chóp khoảng cách hai đờng thẳng CDvà SB
Câu IV (1 điểm) Tính tích phân:
1
2
2 3
x x
K dx
x x
2.Cho h/s f(x) liên tục R f x( ) f x( ) cos 4x với xR Tính:I f x dx
2
Câu V (1 điểm) Cho a,b,c>0 & ab bc ca =1.Tìm GTNN : 2 2 2
1 1
a b c
A
a b c
II PHẦN RIÊNG(3 điểm)Thí sinh làm hai phần (phần 2) 1 Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC với B1; 2 đường cao AH có phương trình x y 3 0 Tìm tọa độ đỉnh A, C ABC biết C thuộc đường thẳng d
có phương trình 2x y 1 0 diện tích ABC
Câu VII.a (1 điểm) Trong không gian cho điểm I1, 2, 2 và đường thẳng :
2x 2 y zvà mặt phẳng P : 2x2y z 5 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I
sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện hình trịn có chu vi 8 Từ lập phương trình mặt phẳng Q chứa tiếp xúc với (S)
Câu VIII.a (1 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số phức: 2
z w zw z w 2 Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng cho ABC có phương trình cạnh AB: x + y – = 0, phương trình cạnh AC: 3x + y – = trọng tâm G(2; 1
3). Viết phương trình đường tròn qua trực tâm H và hai đỉnh B, C.
Cõu VII.b (1 điểm) Trong không gian cho tam giác ABC với A(1; -3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1) mặt phẳng (P): x - y - z - = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị
nhá nhÊt cđa biĨu thøc 2
MC MB
MA Khi tìm toạ độ M
Câu VIII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình : 2log3
(2 12).3 81
x
x y
y y y
(2)I.2
Ta có y 4x3 8m 1x 4x x 2m 1.
2
0
2
x y
x m
nên hàm số có cực trị m > 1 Với đk m > hàm số có điểm cực trị là:
0 2 1 2 1 4 10 5 2 1 4 10 5
A ; m ,B m ; m m ,B m ; m m . Ta có:
4
2 2
2 16
AB AC m m ; BC m
So sánh với điều kiện có cực trị ta suy 33
m
VI II.a
Vì đt BC quaB1; , BCAH pt BC x y: 1 0 ,
Toạ độ điểm C nghiệm hệ pt: 2 2; 3
1
x y x
C
x y y
Gäi A x y 0; 0,A AH x0 y0 3 1 ;
0
2, ,
2
x y BC AH d A BC
0 0
0
1 2
1
2 2
ABC
x y x y
S AH BC
x y
Tõ (1) vµ (2)
0
1
1; 2
x
A y
Tõ (1) vµ (3)
0
3
3;0
x
A y
VIII.b
Toạ độ đỉnh A nghiệm hệ pt :
3
x y x
x y y
Hay A(2; 1)
Gọi B(m ; – m), C(n, – 3n) Do ABC có trọng tâm G(2;
3) nên có hệ phương trình:
2
1 3
m n m
m n n
Từ ta có B(1; 2), C(3; - 2) Pt đường cao AA1: x – 2y = Pt đường cao BB1: x – 3y + =
Toạ độ trực tâm H nghiệm hệ pt : 10 (10;5)
3 5
x y x
H
x y y
Gọi (S) đường tròn qua B, C, H có pt: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = ( a2 + b2 – c > 0)
Do B, C, H (S) nên ta có hệ pt :
2
6 13
20 10 125 15
a b c a
a b c b
a b c c
(3)Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2011 -2012
III
Gäi H = AC BD => SH (ABCD) & BH =
3
BD KỴ HE AB => AB (SHE) =>
g((SAB);(ABCD)) = SEH· =600.
Mµ HE =
AD = 2a
=> SH =
3 2a
=> VSABCD =
.SH.SABCD =
3
3 a
Gọi O trung điểm AD=>ABCO hv c¹nh a =>ACD cã trung tuyÕn
CO =
AD; CD AC => CD (SAC) vµ BO // CD hay CD // (SBO) & BO (SAC).=>d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO))
Tính chất trọng tâm tam giác BCO => IH =
IC =
6
a => IS =
6
2 HS a
IH
kẻ CK SI mà CK BO => CK (SBO) => d(C;(SBO)) = CK Trong tam gi¸c SIC cã : SSIC=
2
SH.IC =
SI.CK => CK =
5
a
SI IC SH
VËy d(CD;SB) =
5 2a .
V
Ta có: 2 2 2
1 1
a b c
A
a b c
2
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
1
a a b a c
a a a a
a b a c a a b c a b a b a c
a ab bc ca a
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
2
( ) ( )
( )( )
2
[( ) ( )] 1
( )
2( )( ) 2
1
a b a c
a b a c
a a a b a c a a
a b a c a b a c
a
Chứng minh tương tự: 2 1( ); 2 1( );
2 2
1 1
b b b c c c
b c b a c b c a
b c
Suy ra: 2 2 2 12( ) 32
1 1
a b c a a b b c c
A
a b a c b c b a c b c a
a b c
Dấu “=” xảy 3
3 1
a b a c b c b a
a b c c b c a
ab bc ca
VIII.b §iỊu kiƯn: y >
Từ phơng trình (1) ta có: x = - log3y thay vào phơng trình (2) ta có:
(2y2 - y +12).33 log 3y= 81y (2y2 y 12).27 81y
y
2
y y 12
y = - (loại) y = (t/m) tìm đợc x =
Vậy hệ phơng trình có nghiệm (2; 3)
(4)2 2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
3 ( )
3
MA MB MC MG GA MG GB MG GC MG GA GB GC MG GA GB GC
MG GA GB GC
( 2
MC MB
MA )min 3.MG2GA2GB2GC2 MG
M hình chiếu G lên (P)
Phơng trình MG:
1 1
x y z
M= MG( )P => M(11 4; ; 3
)
VII.a Ta có (P) cắt (S) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r mà 2r.= 8 suy r =4 R2 r2 d2
Trong d d I P 3 R2 25
Phương trình mặt cầu (S) : x12y 22z22 25
Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với tại điêm 5; 4;
3 3
M
Do : Mặt phẳng (Q) chứa tiếp xúc với (S) qua 5; 4;
3 3
M
và có VTPT 11 10
; ; 3
MI
là :6x 33y30z 105 0
IV
1.Ta có:
1 3
2
0
2 3
3 4
x x x x
K dx dx
x x x x
Đặt: t = x4 3x2 t2 x4 3x2 tdt (2x3 3 )x dx
x = t = 0; x = t =
2
2
0
4
(1 ) ( 4ln 4 )
4 4
t
K dt dt t t
t t
2 Đặt x = –t f x dx f t dt f t dt f x dx
2 2
2 2
f x dx f x f x dx xdx
2 2 4
2 2
2 ( ) ( ) ( ) cos
x x x
4 1
cos cos2 cos4
8
I316 .
II.1
pt sin 2 x 3sin2 x
x k k Z a
x l l Z b
5 2 ( ) ( )
18
5 2 ( ) ( )
6
Vì x0; nên x=5;x=17;x=5
18 18 .
II.2
2 Hpt x
y
x x
y y
3 3
(2 ) 18
3
2
(5)Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2011 -2012
Hệ cho có nghiệm: 4 5; , 4 5;
3 5
3. Ta cã: x4 + x2 + = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) > 0
x2 - 3x + = 2(x2 - x + 1) - (x2 + x + 1)
Đặt
2
2
x x 1 t
x x 1
, t > Phơng trình trở thành:
2
3
t 0
3 2 3
2t t 1 0
3 1
t 3
2
2
x x 1
x x 3
x =
VIII.a
8
( ) 2( ) 15
z w zw
z w z w
5 13
( ) ( )
3
zw zw
a b
z w z w
(a)
3 11 11
2
3 11 11
2
i i
w w
i i
z z
; (b)
5 27 27
2
5 27 27
2
i i
w w
i i