Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ.[r]
(1)Tài liệu bồi dưỡng kiến thức Toán lớp 11 năm học 2010-2011
I Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n =
Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k 1), chứng minh mệnh đề với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k p phải chứng minh mệnh đề với n = k + 1.
Baøi 1: Chứng minh với n N*, ta có: a) + + … + n = ( 1)
2
n n
b) 12 22 ( 1)(2 1)
n n n
n
c)
2
3 3 ( 1)
1
2
n n
n
d) 1.4 2.7 n n(3 1)n n( 1)2 e) 1.2 2.3 ( 1) ( 1)( 2)
3
n n n
n n
f) 1
1.2 2.3 ( 1)
n
n n n
Baøi 2: Chứng minh với n N*, ta có:
a) 2n 2n1 (n 3) b) 2n2 2n 5 c) 12 12
2 n n
(n 2) d) 22 4 2 1
2
n
n n
e) 1
2 n n
f) 1 13
1 2 24
n n n (n > 1)
Baøi 3: Chứng minh với n N*, ta có:
a) n311n chia hết cho b) n33n25n chia hết cho c) 7.22 2n 32 1n
chia hết cho d) n32n chia hết cho e) 32 1n 2n2
chia hết cho f) 13 1n chia hết cho Baøi 4: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh ( 3)
2
n n Baøi 5: Dãy số (an) cho sau: a1 2,an1 2an với n = 1, 2, …
Chứng minh với n N* ta có: cos 1
n n
a
II Dãy số 1 Dãy số
Giáo viên giảng dạy: Hồ Ngọc Thạch Trang 1
CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ CHƯƠNG III
(2): *
( )
u
n u n
Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
2 Dãy số tăng, dãy số giảm
(un) dãy số tăng un+1 > un với n N*.
un+1 – un > với n N* n 1
n u
u với n N* ( un > 0).
(un) dãy số giảm un+1 < un với n N*.
un+1 – un< với n N* n 1
n u
u với n N* (un > 0).
3 Dãy số bị chặn
(un) dãy số bị chặn M R: un M, n N*.
(un) dãy số bị chặn m R: un m, n N*.
(un) dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*.
Baøi 1: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi:
a) 222 1
n n
u n
b) ( 1)
2
n
n n
u
n
c)
1
n n
u n
d)
3
n n
u
e) un n cos2n f) ( 1)!
n n n
u
Baøi 2: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi:
a) 1 2, 1 1 1
n n
u u u b) u115,u2 9,un2 un un1 c) 0, 22
1
n n
u u
u
d) u11,u2 2,un2 un1 2un
Baøi 3: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un), dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng
minh cơng thức qui nạp:
a) u11,un12un3 b) u1 3,un 1 un2
c) u13,un12un d) u11,un12un1 e) u11,un1un7 e) 1
4
u ,
2
1
n n
u u
Bài 4: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) cho bởi:
a)
3
n n
u n
b)
4
4
n
n n
u
c) ( 1)
n n
u n
d) 2
1
n n n
u n
e) un n cos2n f) un n
n
Bài 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số (un) cho bởi:
a)
n n
u n
b)
1 ( 1)
n u
n n
c)
2 4
n
u n d)
2
2
n n n
u
n n
e) 2
2
n n
u
n n n
f) ( 1) cos2
n n
u
n
III Cấp số cộng
1 Định nghĩa: (un) cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai)
(3)Tài liệu bồi dưỡng kiến thức Toán lớp 11 năm học 2010-2011
3 Tính chất số hạng: 1
2
k k
k
u u
u với k 2
4 Tổng n số hạng đầu tiên: 1 2 ( )
2 n
n n
n u u
S u u u = ( 1)
2
n u n d
Baøi 1: Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu
cơng sai nó:
a) un = 3n – b)
5
n n
u c) un n2
d) un 3n e)
2
n n
u f)
2
n n
u Bài 2: Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết:
a)
10 17
u u u
u u
b)
2
4
10 26
u u u
u u
c)
3 14
15 18
u u
d)
2
75
u u
u u
e)
7 15
2
4 12 60 1170
u u
u u
f)
12
u u u
u u u
Baøi 3: a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng
Bài 4: a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293
b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66
Bài 5: a) Ba góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc b) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có cơng sai d = 30.
Tìm số đo góc
c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc
Baøi 6: Chứng minh số a, b, c lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành cấp số cộng, với:
a) x b 2bc c y c 2; 2ca a z a 2; 2ab b b) x a 2 bc y b; 2 ca z c; 2 ab
Bài 7: Tìm x để số a, b, c lập thành cấp số cộng, với:
a) a10 ; x b2x23;c 7 4x b) a x 1; b3x 2;c x 21
Bài 8: Tìm nghiệm số phương trình: x315x271 105 0x , biết nghiệm số phận biệt tạo thành cấp số cộng
Baøi 9: Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng?
IV Cấp số nhân
1 Định nghĩa: (un) cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: công bội)
2 Số hạng tổng quát: un u q1 n1
với n 2
3 Tính chất số hạng: u2k uk1.uk1 với k 2
(4)4 Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
(1 )
1
n
n n
S nu với q
u q
S với q
q
Bài 1: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết: a)
5 72 144
u u
u u
b)
1
1 65 325
u u u
u u
c)
3
2
90 240
u u
u u
d)
1 14
64
u u u
u u u
e)
1
1
21
1 1
12
u u u
u u u
f) 12 22 32 42
1
30 340
u u u u
u u u u
Baøi 2: a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân
Bài 3: Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Bài 4: a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng
728 số hạng cuối 486
b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889
Bài 5: a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai
b) Độ dài cạnh ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh ABC có hai góc khơng q 600.
Bài 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560
Baøi 7: Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định cơng bội cấp số
Bài 8: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tổng số hạng đầu 148
9 , đồng thời, theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng
Bài 9: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, cịn sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân
Bài 10: Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau ba số hạng cấp số cộng; tổng hai số đầu cuối 32, tổng hai số 24
Bài 11: Tìm số dương a b cho a, a + 2b, 2a + b lập thành cấp số cộng (b + 1)2,
ab + 5, (a + 1)2 lập thành cấp số nhân.
Baøi 12: Chứng minh số y x y y z2 , ,1
lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành cấp số nhân