Gäi trung ®iÓm cña BH lµ P.. Trung ®iÓm cña AH lµ Q.[r]
(1)đề thi học sinh giỏi
m«n thi : toán (Thời gian 150 phút )
Bài 1: (3 đ) Giải phơng trình: a. 4 x x 2 x2 6x 11
b (x-3)(x+3) -5 (x+3) x-3 4
x+3
c x 1 1 x 1 x2 3
Bài 2: (4 đ)
a Cho biÓu thøc: 2 4 2 4
2
x x x x
A x
x x x x
b Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình:
x3y+xy3-3x2-3y2 =17
c Tìm cặp số nguyên dơng (x; y) cho
1 2
4
y x
x
là số nguyên dơng
Bài 3: (3 ®)
a Với a > ; b > cho trớc x,y > thay đổi cho :
1
y b x a
Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ b Cho x, y, z số dơng thoả mãn xyz =1
T×m GTNN cđa biĨu thøc : E =
) (
1 )
( )
(
3
3
y x z x z y z y
x
Bài 4: (2 đ) Cho tam giác vng ABC (Â= 900) có đờng cao AH Gọi trung điểm BH P Trung điểm AH Q
Chøng minh : AP CQ
Bài 5: (3 đ) Cho đờng tròn (o) nội tiếp tam giác ABC Một tiếp tuyến đờng tròn cát cạnh AB AC theo thứ tự M N
a. Chøng minh r»ng: MN2 AM2 AN2 AM AN.
b. Chøng minh r»ng: NM AN MB NC Bµi 6:(3 đ) Giải hệ phơng trình:
a
y x y x
xy y x
3
3
2
; b
0 4
0 2 5 2
2
2
y x y x
x y xy y x
Bài 7:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy
2 y
1 x
1
2
víi x 1, y
- Hết
-Đáp án: Bài 1: Giải phơng trình sau;
a
4 x x 2x 6x11 đặt A = 4 x x 2 (A0)
2
2 (4 )( 2) (4 ) ( 2) A x x x x
0 A
(2)Đặt B = x2 6x11 ( x 3)2 2 2 (2) §Ĩ A = B va chØ : 4-x = x-2 x3
Vậy nghiệm phơng trình x =
b (x-3)(x+3) -5 (x+3) x-3
x+3 (1) ĐK: x x3
đặt (x+3) x-3
x+3 y (2)
2 ( 3)( 3)
y x x
Tõ (1) ta cã: y2 5y 4 y1 1; y2 4
Với y > x + > x 3
Với y = thay vòa (2) ta đợc: x2 1 x 10 Do x > nên x 10
Với y = thay vào (2) ta đợc: x2 16 x5 Do x3 nên x =
Vậy nghiệm phơng trình là: x 10; x = b. x 1 1 x 1 x2 3
; ĐK: x
Đặt x 1 a (a 0); 1 x b (b 0)
Ta cã: 4
3
a b ab 1
2 2
a b a b
a b a b
1
1
2 2
a b a b
a b
Phải sảy đẳng thức a= b = Do : x =
Vậy nghiệm phơng trình x =
Bµi 2: a Rót gän biĨu thøc 2 4 2 4
2
x x x x
A x
x x x x
§K: x2
Ta bình phơng vế ta đợc
2
2
2 16 16 2
.(2 1) (2 1) 4
1
x x x x x
A x x x
x x
x x x
.Suy A2 x1 b phơng trình: x3y + xy3 - 3x2 - 3y2 = 17 (x2 + y2)(xy - 3) = 17 = 17.1
Do x,y nguyên dơng nªn x2 + y2>1
2 2
17 ( ) 17 ( ) 25
3 4
x y x y xy x y
xy xy xy
(3)
-4y -1x hc
4y 1x hc
1 4 1 4
4 5 4
5
y x y x
xy yx xy
yx
KÕt luËn:
4 y
1 x
hc
1 y
4 x
hc
1 y
4 x
hc
4 y
1 x
c §Ỉt
1 2
4
y x
x
= a Víi a số nguyên dơng x4 + = a(x2y + 1) x2(x2- ay) = a - (1)
XÐt trêng hỵp sau :
TH1: NÕu a = th× tõ (1) ta cã : x2(x2- y) = -
1
1
2
y x
2 y x
TH2: NÕu a = th× tõ (1) cã x2(x2- 2y) = 0, suy x2 = 2y nªn cã nghiƯm x = 2k, y = 2k2 víi k số nguyên dơng
TH3: Nếu a > th× tõ (1), cã a – > (a 2) chia hết cho x2 nên a – x2 a x2 + > x2
Từ < x2- ay < x2- x2y Điều không xảy ra Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề : (1; 2) (2k; 2k2) với k s nguyờn dng.
Bài 3: a áp dụng BĐT Bu_ nhi_ a_ cèp_ xki ta cã :
2
2
2 . .
y b y x a x y
b x
a y x y x
hay 2
b a y
x
DÊu “=” x¶y :
y b y x a x
(4)I Q
P H C
B
A
r K
E D
H
N M
C B
A
o
hay : a b
b a
y x b y a x
Tøc lµ : x a a b ; y b a b
VËy (x+y) = a b2 : x a a b
y b a b
b Đặt a =
x
1
, b =
y
, c =
z
1
abc =
xyz
=
x + y = c(a + b) y + z = a(b + c) x + z = b(c + a)
E =
c b
a
2 +
a c
b
2 +
b a
c
2
Dễ dàng chứng minh đợc
c b
a
+ c a
b
+a b
c
3
Nh©n hai vÕ víi a + b + c >
c b
c b a a
)
(
+
a c
c b a b
)
(
+
b a
c b a c
)
(
2
(a+b+c)
c b
a
2 +
a c
b
2 +
b a
c
2
2
c b
a
3 abc
=
2 E
2
DÊu "=" x¶y a = b = c = VËy E =
2
a = b = c =
Bµi 4:
Gọi I giao điểm CQ AP
Ta cã : CAH = ABH (1) ( góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Hai tam giác vuông CAH ABH có góc nhän b»ng
AH BH CA AB ABH
CAH
~
AQ BP CA AB AQ BP CA
AB
2
(2) Tõ (1) vµ (2) ABP~CAQ (c.g.c)
AQ BP CQ
AP
mµ
QH PH CQ
AP QH
PH AQ BP
HCQ~HAP(cạnh góc vuông cạnh huyền tơng ứng tỉ lệ) HAP = HCQ
Xét tam giác IQA HQC có : Q1 = Q2 (đối đỉnh)
HAP = HCQ ( chøng minh trªn)
IQA~HQC AIQ = CHQ = 900 hay : AI CQ (đpcm)
Bài 5:
a t AB = AC = BC = a; AM = x; AN = y; MN = z Hạ đờng cao NH AB (HAB)
Trong tam giác vuông ANH (H 900
)
Cã
60 30
A ANH
2 y AH
;
2 y NH
2 y
HM x ; theo định lý Py-ta-go ta có:
2 2 ( )2 ( 3)2 2
2
y y
MN HM NH x x y xy
Hay 2
MN AM AN AM AN (®pcm)
b.Ta cã: MD = MK; NE = NK (t/c tiÕp tuyÕn)
AM AN MN AD AE a
(5)Ta ph¶i c/m: AM N
BM CN ; ta có: 1
x y x y
a x a y y z x z
x x z( )y y z( ) ( x z y z )( ) x2xz y 2yz xy xz zy z
2 2
x y z
( c/m c©u a) VËy AM N
BM CN (đpcm) Bài 6:
Giải hệ phơng trình
Từ (1) ta có PT (2) có dạng :x3 y3
=(x3y)(x2 y2 xy)
x3 y3
x3xy2 x2y3x2y 3y33xy2
4 2
x y y
y x
0 )
2 (
2 2
y x xy y
( )
2 2
yx x y
0 ) (
2
2 x y
x y
x y
x o y
0
0 y x
o y
+ Với y = thay vào (1) ta đợc x2=1 x 1
+ Víi x = 0, y = thay vào (1) không thỏa mÃn x= 0, y = lo¹i VËy hƯ phơng trình có nghiệm (x,y) (1,0) (-1,0)
b Gi¶i hƯ:
)2 ( 0
4
)1( 0 2 5
2
2
2
y x y x
y x y xy x
Tõ (1) 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + = 0
2
) (
3
2
) (
3
) (
9 ) (
8 )
5
( 2
y y
y x
y y
y x
y y
y y
x
* Víi: x = - y, ta cã hƯ:
1 0
1 2 2
0 4 2
2 2 2
y x y
y y x
y x y x
y x
*Víi
2
y
x , ta cã hÖ:
) (
) (
3 2
y x y x
(6) 5 13 5 4 1 0 4 5 1 2 0 4 2 1 2 2 2 y x y x x x x y y x y x y x
VËy hƯ cã nghiƯm: (1;1) vµ 13 ;
Bµi 7: Ta cã
xy
1 y 1 xy 1 x 1 xy y 1 x 1 2 2 = ) xy )( y ( y xy ) xy )( x ( x xy 2 2 = ) xy )( y )( x ( ) x )( y x ( y ) y )( x y ( x 2 2 = ) xy )( y )( x ( ) yx y xy x )( x y ( ) xy )( y )( x ( ) x ( y ) y ( x ) x y ( 2 2 2 2
=
) xy )( y )( x ( ) xy ( ) x y ( ) xy )( y )( x ( ) x y ( ) x y ( xy ) x y ( 2 2