PP giai nhanh de thi DH

Hồng Việt Quỳnh Toặn hổc phưí thưng Các phương pháp giải nhanh đề thi đại học WWW.MATHVN.COM Các phương pháp giải tốn đại số giải tích L i nói đ u: Sau 12 năm học tập, cịn kì thi chờ đợi em kì thi đại học Đây kì thi khó khăn suốt 12 năm em ngồi ghế nhà trường Kì thi đại học bước ngoặt lớn đời học sinh học sinh cần phải chuẩn bị kiến thức thật tồn diện nội dung đề thi mang tính liên tục Có lẽ mơn, mơn tốn ln chiếm vị trí quan trọng vật cản lớn bước đường tiến tới giảng đường đại học Vì tơi xin mạo muội góp chút kiến thức thu lượm trình học tập để viết lên sách Hy vọng tài liệu bổ ích cho em học tập Quyển sách chia thành sáu đơn vị học hai phụ lục Mỗi phần quan trọng, xuất thường xuyên đề thi đại học Ở có đặc điểm sau: • Phần tóm tắt kiến thức học trình bày ngắn gọn tổng quát nhằm khơi lại phần kiến thức quên em • Hệ thống làm chọn lọc kĩ lưỡng, có tính điển hình khai thác tối đa góc cạnh vấn đề nêu ra, đồng thời phương pháp giải ngắn gọn, trực quan nhiều kinh nghệm giải đề giúp em hiểu nội dung giải cách áp dụng cho dạng đề thi gặp sau Đồng thời, ví dụ trình bày từ đến nâng cao Đây đề trích từ đề thi dự trữ năm trước tham khảo từ tài liệu thầy có nhiều năm kinh nghiệm q trình luyện thi nên đảm bảo mức độ giới hạn kiến thức Lời giải ví dụ tượng trưng nhằm mục đích nêu lên phương pháp giải, em thầy cô tham khảo liệu tìm trình bày cách giải cách trình bày hợp lí Các em nên tập giải dạng cách thục độc lập sau giải xong mời xem phần lời giải Đó điều mà tác giả kì vọng nhiều • Lí giải phương pháp, đưa thuật toán giải chung, đưa chất lời giải, phần lời bình, lưu ý cuối tập Phần phụ lục 12 đề thi tiêu biểu theo cấu trúc đề thi Bộ GD&ĐT cơng bố Các đề thi có mức độ khó cao, địi hỏi người làm phải tư nhiều Với mức độ khó đó, tơi mong em giải thục đề thi em có đủ tự tin kiến thức để đạt điểm cao làm mơn tốn Phụ lục số mẹo để dùng máy tính đốn nghiệm cố định, phục vụ cho trình giải tập phương trình tích lượng giác, hệ phương trình, phương trình, cách giải nhanh tốn hình học máy tính… Đồng thời giới thiệu thêm phương pháp chia Horner để giúp em làm nhanh tốn có chia đa thức, phân tích thành tích… Với dự định giới thiệu sách cho em tháng cuối trước thi đại học nên sách giản lược số phần không cần thiết kiến thức bên lề, giới thiệu trọng tâm đề thi nên tập cịn Tơi có lời khun cho sinh tìm thêm đề thi mạng internet kho kiến thức vô tận Mặc dù cố gắng sách cịn nhiều thiếu sót thời gain biên soạn ngắn đồng thời kinh nghiệm hiểu biết hạn chế Rất mong góp ý bạn đọc Mọi góp ý xin liên hệ với tác giả qua địa sau: Hoàng Việt Quỳnh Khu 6a – Thị trấn Lộc Thắng – Bảo Lâm – Lâm Đồng Email: vquynh2971991@yahoo.com.vn Blog: http://vn.myblog.yahoo.com/vquynh-qflower Tel: 063-3960344 - 01676897717 WWW.MATHVN.COM Bài I: Ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương trình thức VD1 Nhắc lại kiến thức đường thẳng 1) Phương trình tổng quát: Đường thẳng qua M(x0;y0) có vetơ pháp tuyến n (A;B) đường thẳng có phương trình: (d): A(x-x0)+B(y-y0)=0 (d): Ax+By+C=0 Đường thẳng qua M(1;2) nhận n (2;1) làm vectơ pháp tuyến VD1 (d): 2(x-1)+1(y-2)=0 (d): 2x+y-4=0 2) Phương trình tham số: Đường thẳng qua M(x0;y0) có vectơ phương a (a1;a2) (d):  x = x0 + a1t   y = y0 + a2t Đường thẳng qua M(3;4) nhận a (2;3) làm vtcp có phương trình: VD2  x = + 2t   y = + 3t (d): VD3 Cho (d): x+y=4 Viết phương trình tham số (d) Giải: Vectơ pháp tuyến : n (1,1) Vectơ phương : a (1,-1) Điểm qua M(2;2) (d) : x = + t  y = − t VD2 Ứng dụng VD1 Giải phương trình : x + + 12 − x = 10 Giải: Đặt: x + =1+3t x +8=(1+3t) (*) và 12 − x =3-t Đk( -1/3 ≤t≤1/3) 12-x = (3-t) (**) Lấy (*)+(**) ta có 20=10t +10 t2=1 t=1 t=-1(loại) x =8 x=2 Tip: Có phải bạn tự hỏi: thuật tốn giúp ta nhìn thấy cách đặt ẩn t ??? WWW.MATHVN.COM Không phải ngẫu nhiên mà tơi lại trình bày lại vấn đề đường thẳng, vấn đề tưởng chừng chẳng liên quan đến đại số Nhưng ta nhận “đường thẳng” “tuyệt chiêu” để giải phương trình dạng thức Mấu chốt là: x + + 12 − x = 10 B1: X Y Từ ta có phương trình đường thẳng : X+3Y=10 B2: ta viết lại phương trình: X+3Y=10 theo tham số t  X = + 3t  Y = - t Lúc phương trình quy ẩn t việc giải phương trình khơng khó (Vì kiến thức “lớp nhí”) Để hiểu rõ phương pháp bạn đến với VD2 VD2 Giải phương trình : x + + x + =1 X Giải: Gọi (d): X=1+t (1) Y Y=0+t  x + = − t Đặt  3 x + = t (t≤1)  x + = − 2t + t   x + = t Lấy phương trình trừ pt1 ta có: -1=t3-t2 +2t-1 t3-t2 +2t=0 • T=0 x=-2 Lưu ý: Trong giải đề thi, bạn nên trình bày từ bước(1) trở nhằm đảm bảo tính ngắn gọn cho tốn Bước gọi phương trình đường thẳng nên làm ngồi giấy nháp • • Trong ta đặt  x + = u 3  x + = v quy giải hệ phương trình Các bạn xem cách tập bạn làm so sánh ưu việt phương pháp Trong ta hạn chế phương pháp lũy thừa muốn khử thức khác bậc trên, ta phải ^6 phương trình Ta gặp khó khăn đối mặt với phương trình “kinh khủng” ta phải giải “xịt khói” nghiệm VD3 Giải hệ phương trình :  x + y − xy = (1)   x + + y + = (2) (đề thi ĐH năm 2005) Giải: Đặt:  x + = + t   y + = − t (-2≤t≤2)  x + = t + 4t +   y + = t − 4t +  x = t + 4t +   y = t − 4t + Phương trình(1) trở thành: 2t2+6- (t + + 4t )(t + − 4t ) =3 WWW.MATHVN.COM t − 10t + =2t2+3 t=0 VD4 x=y=3 Định m để phương trình sau có nghiệm: Giải: Để phương trình có nghiệm: f ( x) = m Min f(x)≤m ≤Max f(x)  x + 2m = + 3t   3m − x = − t  x + 2m = + 6t + 9t  3m − x = − 6t + t Đặt Với f(t)= 2t2+2 F’(t)=4t =>f’(t)=0 t F’(t) -∞ (-1/3≤t≤3) cộng vế với vế => 5m=10+10t2 2t2+2=m f(t)=m miền xác định: D=[-1/3;3] t=0 -1/3 - 0 +∞ + 20/9 20 F(t) M có nghiệm VD3 2≤m≤20 Bài tập tự luyện 1) Giải hệ phương trình: 2) Giải hệ phương trình: 3) Giải hệ phương trình: 4) Giải phương trình:  x + y + − x + =  3 x + y = (đề thi dự bị1A – 2005) − sin( x) + + cos( x) = (đề thi dự bị2A – 2004) WWW.MATHVN.COM Bài II: Các cách giải phương trình bất phương trình vơ tỉ 1)Lũy Thừa Phương pháp lũy thừa phương pháp tổng quát để giải phương trình có Khi gặp phương trình có dạng phức tạp biết “mẹo lũy thừa” giải tốn cách dễ dàng Đây phương pháp bản, bạn phải thực tập nhuần nhuyễn phương trình đề thi đại học có lúc dễ ta lại khơng để ý bạn theo dõi ví dụ sau Nhưng trước hết lưu ý vấn đề sau: • Đặt điều kiện • Lũy thừa chẵn hai vế khơng âm • Các dạng bản: A=B AB B ≥  A = B B ≥  0 ≤ A ≤ B  B <   A ≥  B ≥   A > B VD1 Giải: x ≥ 5 − x ≥  10 − x ≥   x + − x + x(5 − x) = 10  0 ≤ x ≤  x − 6x + = VD2 Giải: 0 ≤ x ≤  2 x − x = − x x=1 ∨ x=5 x − x + < x −1  x ≥  4 x < x + + x − + ( x + 3)( x − 1) x ≥ x ≥ x=1   x > x + 2x − > x − 2x + 0 ≤ x ≤  2 4(5 x − x ) = 25 − 10 x + x x = x − + x −1 WWW.MATHVN.COM  x ≥   x + x − > x − VD3 Giải: Đk: 2x+1>0 x>1/2 Bpt (4x2-4x+1)(x2-x+2)≥36 Đặt t = (x2-x) bpt trở thành: (4t+1)(t+2)≥36 4t2+9t-34≥0 t≤-17/4 t≥2 x2-x≤-17/4 x2-x≥2 x≤1 x≥2 VD4 Giải bất phương trình : Giải: − x + x =   x − x >   x − x − ≥ ⇔ x = 0∨ x =1 Lưu ý: Ở bất phương trình bạn khơng nên lũy thừa để tính tốn trình lũy thừa nhân phân phối thời gian Hơn nữa, quy phương trình hệ quả, giải dễ sai giao tập nghiệm khơng có giá trị thỏa mãn Trong sử dụng cách đánh giá theo kiểu sau: A B ≥0 B =   B >  A ≥ Đó mấu chốt tốn VD5 Giải phương trình : Giải:   3x −  ≥0 2 −      3 x − ≥   x − =  x −     x=3 WWW.MATHVN.COM Lưu ý: Trong phương trình bạn phải “để ý” “nhanh” chút ta để nguyên phương trình đề cho để lũy thừa điều “khơng cịn dại bằng” ta đối mặt với chuyện lũy thừa lần => phương trình bậc Phương trình ta khơng thể bấm máy tính Nhưng giải tay phải giải “xịt khói” thời gian không chờ đợi Đồng thời khơng cần giải điều kiện vội giám khảo quan tâm đến làm kết Chúng ta viết “cái sườn” điều kiện sau giải nghiệm việc vào điều kiện xong 2) Phương pháp đặt ẩn phụ: CÁCH GIẢI: f u ( x); n u ( x) ≥ ( f (u ( x); f (u ( x); n n ) u ( x) ) ≤ u ( x) ) = t= n u ( x) Phương trình hữu tỉ hệ phương trình BÀI TẬP ÁP DỤNG: VD1 Giải: Đặt t= => t>0 ; t2+2= x2 + x 3t=2(t2-1) t=-0.5 (loại) t=2 x2+x=6 x=2 x=3 VD2 Giải: T= t ≥ 2 t + = x x −1 Phương trình trở thành: t2+1-(t+1)=2 x=5 t2-t-2=0 t=2 t=-1 VD3 Giải: => WWW.MATHVN.COM pt trở thành: t2+t+2=8 TH1: t=2 ∨ t=-3 t=2 TH2: t=-3 LOẠI II: f ( n ) u ( x) + n v( x) { ≥0; ≤0; =0 } Phương pháp chung: n u ( x) = u  m v( x) = v VD1 Giải: => Đưa hệ phương trình 23 x − + − x − = 3 3x − = u   − x = v (v ≥ 0) 5  u + v =  v = − 2u  (đề tuyển sinh đại học 2009) 5  u +v = 3 2u + 3v − =   − 2u   =  u + 3    v = − 2u  (u + 2)(15u − 26u + 20) =   − 2u v =  u = −2 x=-2  v = LOẠI III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Những hệ phương trình ta thường hay gặp đề thi đại học Ở lớp 10, ta thường gặp phương trình có tên hệ đối xứng, đẳng cấp… Những hệ có cách giải “ăn liền” đề thi đại học, ta khơng tìm thấy dạng Nhưng tất hệ quy mối “Phân tích thành nhân tử” WWW.MATHVN.COM  x − x = y − y Giải hệ phương trình:  2 y = x +  VD1 (1) (ĐH A 2003) ( 2) Giải: ĐK: xy≠0 Ta có  (1) ⇔ ( x − y ) 1 +  x = y  =0⇔ xy   xy = −1  x = y =  x = y x = y −1 +  x = y  ⇔ ⇔ ⇔ x = y = TH1:  3 2 y = x + 2 x = x + ( x − 1) ( x + x − 1) =   x = y = −1 −    y=− 2   xy = −1 1  y = −  1  x TH2:  Mà x + x + =  x −  +  x +  + > 0, ∀x ⇒ VN ⇔ ⇔ x 2  2  2 y = x + − = x +  x + x + =   x  −1 + −1 +   −1 − −1 −  Vậy nghiệm hệ ( x; y ) = (1;1) ,   ;  ,  ;       x + + y(y + x) = 4y (1) VD2 Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) (Dự bị A2006) (x + 1)(y + x − 2) = y ( ) Giải: (1) ⇔ x + + y ( x + y − ) = (*) Đặt: u = x + > 0; v = x + y − u − yv = ( 3) ⇔ Thay (4) vào (3) ta có: ( 3) ⇔ u + u ( v + ) v = ⇔ u 1 + v ( v + )  = u ( v + ) = y ( ) ⇔ v + 2v + = ⇔ (v + 1) = ⇔ v = −1 ⇔ x + y = Hệ  x2 + − y =  x = ⇒ y = −2 Vậy (*) ⇔  ⇔ x2 + − (3 − x ) = ⇔  x = ⇒ y = x = − y  x − 8x = y3 + 2y VD3 Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ R ) (Dự bị 2A 2006) 2  x − = 3(y + 1) (*) Giải: 3  x3 − y = ( x + y ) 3 ( x − y ) = ( x + y ) (1) ⇔ Lấy (2) thay vào (1) ta có Hệ ⇔  2 2  x − y = ( )  x − y = ⇔ ( x3 − y ) = ( x − y ) ( x + y ) ⇔ x3 − 12 y x + x y = ⇔ x ( x + xy − 12 y ) = Dễ thấy x=0 y=0 Thế vào (*) ta thấy khơng thỏa mãn Vậy khơng phải nghiệm phương trình: WWW.MATHVN.COM ĐỀ 3: A PHẦN CHUNG: Câu 1: y= Cho hàm số (C) mx + x+m Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =-1 Tìm đồ thị (C) cắt Ox A, Cắt Oy B cho tiếp tuyến A B song song Câu 2: Giải phương trình: cos x + cos x + sin x = Giải phương trình: log x + x − 12 log x − x − 12 = ) ( ( ) π Câu 3: Tính tích phân: sin 3xdx ∫ (1 + cos x ) Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, chiều cao SA=a hợp với (SBC) (SBD) góc 450 300 Câu 5:  y2 x − xy + =  Định m để hệ sau có nghiệm:   x2 + x − y = m  B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: (Chương trình chuẩn) a Viết phương trình đường trịn qua gốc tọa độ cắt Ox, Oy A,B cho AB= tâm đường tròn thuộc d:x+y-4=0 b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;0), song song với d: Biết x −3 y z = = cách −5 gốc tọa độ khoảng c Tìm a, b ∈ R biết phương trình a b 5i + = có nghiệm z1 = Tìm nghiệm cịn lại z +1 z − + 2i (Chương trình nâng cao) a Tìm tọa độ đỉnh ∆ ABC vng cân A có trục đối xứng x-2y+1=0; Câu 7: A ∉ Ox; B ∈ Oy C ∈ d : x + y −1 = b Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M(1;2;0), song song với (P):2x-y+z-1=0 hợp với (Q): x+y+2z-1=0 góc 600 c Trong hộp đựng 15 viên bi gồm bi đỏ, bi xanh bi vàng Tính xác suất để chọn viên bi đủ màu WWW.MATHVN.COM ĐỀ 4: A PHẦN CHUNG: Câu 1: x3 Cho hàm số y = − + x có đồ thị (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C) Viết Phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O cắt (C) A B (khác O) saocho tiếp tuyến (C) A B vuông góc Câu 2: 4tan x + 2tan x +sin x = 21+ 2sin 2x + 2x − x Giải bất phương trình: ≥x − 2x − x Giải phương trình: π sin x ∫0 sin x + cos4 xdx Câu 3: Tính tích phân: Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABCD có đáy hình vng chiều cao SA Biết SC=2a hợp với (SAB) góc 300 Câu 5: Cho a,b,c>0 a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất: A = a + b3 + c − a + b2 + c B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: (Chương trình chuẩn) I/ Trong Oxyz cho A(2;3;-1), B(5;-3;2) (P): x+y+z-3=0: a Viết phương trình tham số đường thẳng d vng góc với (P) cắt đường thẳng AB I cho AI + BI = b Tìm M ∈ ( P ) cho AM2+2BM2 nhỏ II/ Hãy phân phối 2010 điểm lên đường thẳng song song cho tổng số tam giác thu lớn Câu 7: (Chương trình nâng cao) I/ a Viết phương trình đường tròn Oxy qua A(2;1), Tâm thuộc Oy cắt Ox B C cho góc BAC 600 b Trong Oxyz cho A(0;1;2), B(1;-1;1), C(-1;3;0) Viết phương trình tham số đường thẳng d vng góc với (ABC) cắt (ABC) trực tâm H ∆ ABC x − ( m + 1) x + 2m − II/ Định m biết đồ thị hàm số y = tiếp xúc với Ox x−m WWW.MATHVN.COM ĐỀ 5: A PHẦN CHUNG: Câu 1: Cho hàm số y= x −3 có đồ thị (C) x +1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) Cho A(0;2) Tìm (C) điểm M cho AM ngắn Câu 2: cos x − cos x cos x + cos x = Giải phương trình:  1  x + + y + =3 x y  Giải hệ phương trình:   + =1  x + y xy Câu 3: Tính tích phân: ∫ Câu 4: x ln x + x2 dx Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ ABC ∆ ABC vuông cân A Tính thề tích 1 a b 25ab Cho a,b,>0 + = Tìm giá trị nhỏ nhất: A = + + a b a − b − ( a + b2 ) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Biết SC= a Câu 5: B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: (Chương trình chuẩn) I/ Trong Oxyz cho A(2;-1;2), B(3;-3;3); C(1;-2;4) (P): 2x-3y+z+1=0: a Viết phương trình tham số đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp với (P) b Tìm M ∈ ( P ) cho AM2+2BM2+CM2 nhỏ II/ Tìm a, b ∈ R biết Z = i − i + i − i + + i 2009 nghiệm phương trình nghiệm cịn lại Câu 7: (Chương trình nâng cao) x = t x −1 y z  I/ Trong Oxyz cho d1 :  y = + 2t ; d : = = −1 2 + t  a Tìm A ∈ d1 biết khoảng cách từ A đến d2 b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 hợp với d1 góc 300 2log3 x + y log3 =  II/ Giải hệ phương trình: log y + log x = y  x x3 WWW.MATHVN.COM ∆ ABC vng góc a b + = Tìm 1+ z 1− z ĐỀ 6: A PHẦN CHUNG: x4 Cho hàm số (C) y = − mx + m + , m tham số Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =1 Định m biết đồ thị hàm số (C) có điểm cực trị tạo thành tam giác có trực tâm gốc tọa độ Câu 2: π π π    sin  x +  + cos  x +  = tan  x +  6 3 4     1 1   ( x + y )  +  + ( x + y )  +  =  y  x x y Giải hệ phương trình:  log x log y =  2 3 Giải phương trình: Câu 3: Tính tích phân: I= xdx ∫e 1+ x Câu 4: Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ biết AC’=a góc BD CD’ 600 Câu 5: Cho a,b,c>0 1 b+c c+a a+b + + = Tìm giá trị lớn nhất: A = 3 + + 3 a b c b +c c +a a +b B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu Câu 6: (Chương trình chuẩn) a Trong Oxy cho ∆ ABC vng cân A có diện tích 2, biết A ∈ d1 = x − y + = B, C ∈ d : x + y − = Tìm tọa độ A,B,C với xA, xB>0 b Trong Oxyz viết phương mặt phẳng (P) qua A(0;1;2), B(1;3;3) hợp với (Q ) : x − y − 2z = góc nhỏ c Tìm số tự nhiên n thỏa: Cn3+1 − Cn2+1 = An (Chương trình nâng cao) Câu 7: a Trong Oxy cho hai đường tròn ( Cm ) : x + y − 2mx − my + m − = ( C ) : x + y − 3x + = Định m biết số tiếp tuyến chung hai đường tròn số lẻ b Trong Oxyz viết phương trình đường thẳng d song song với ( P) : x + y + z −1 = x − y +1 z = = điểm A,B cho AB ngắn −1 c Giải phương trình: z + z + = , z ∈ C Ox ∆: WWW.MATHVN.COM cắt đường thẳng ĐỀ 7: A PHẦN CHUNG: Câu 1: Cho hàm số (C) y = x3 − 3ax + b , (1) ( a, b > ) Khảo sát vẽ đồ thị (C) a=1 b=4 Định a,b biết đồ thị hàm số (C) có điểm cực trị A B cho ∆ OAB vuông cân Câu 2: x  tan2 x  + tan x tan  =  sin x  1   x + y + xy =  Giải hệ phương trình:   − =1  x + y x y 2 Giải phương trình: Câu 3: Tính giới hạn: ex − x +1 x → ln (1 + sin x ) lim Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD chiều cao SA=2a, đáy hình thang vng A B có AB=BC=a, AD=2a Mặt phẳng qua trung điểm M SA chứa CD, cắt SB N Tính diện tích tứ giác CDMN Câu 5: Định m để bất phương trình có nghiệm: mx − x + ln ( x + x − m + x − m ) ≤ Tìm nghiệm tương ứng B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu Câu 6: (Chương trình chuẩn) a Trong Oxy cho A ( 7;1) , B ( −3; −4 ) , C (1; ) Viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆ ABC b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ, song song với hợp với ∆: x −1 y +1 z − = = −1 x +1 y − z = = góc 600 1 c Tìm hệ số Câu 7: d: x3 khai triển thành đa thức biểu thức: ( x + x − 1) (Chương trình nâng cao) a Trong Oxy cho đường trịn ( C ) : x + y − x + = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600 b Trong Oxyz Cho M ( 2;1;0 ) đường thẳng d có phương trình x −1 y + z = = Viết phương trình −2 −1 tắc đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d c Tìm hệ số x3 khai triển thành đa thức biểu thức: ( x + x − 1) WWW.MATHVN.COM ĐỀ 8: A PHẦN CHUNG: Câu 1: Cho hàm số (C) y= mx + x +1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =-1 Định m biết tiếp tuyến điểm cố định họ đồ thị (C) cách I(1;0) khoảng lớn Câu 2: sin x + sin x.sin x = cos 2 x +3 x Giải bất phương trình : + 22 −3 x − ( x + 2− x ) ≤ 15 Giải phương trình: Câu 3: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng tạo đường thẳng x=1; x=2 quay quanh Ox Cho hình vng ABCD cạnh a hai đường thẳng 1+ 1 + − , trục Ox x x d1 ; d qua A C vng góc với Câu 4: mặt phẳng (ABCD) Lấy (C ) : y = M ∈ d1 , N ∈ d cho AM , CN chiều có tổng độ dài 6a Tính thể tích tứ diện MNBD Câu 5: Giải hệ phương trình: 1   xy + x = x + + y ln y    xy + = y +  y + x ln x B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: a (Chương trình chuẩn) Trong Oxy cho A,B hai điểm ( P) : y2 = x cho ∆ OAB vng A Tìm tọa độ A,B ( y A < ) biết OB ngắn b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ song song với d: x −1 y −1 z − = = 2 cách d khoảng c Cho đa giác lồi n đỉnh, biết số tam giác có đỉnh cạnh chung với đa giác 70 Tìm số tam giác có đỉnh chung khơng có cạnh chung với đa giác (Chương trình nâng cao) a Trong Oxy viết phương trình tắc elip (E) qua M(2;1) cho Câu 7: MF1.MF2 nhỏ b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ hợp với mặt phẳng ( Q ) : x + z − = ( R ) : x + y − z + = c Tính giá trị: góc 300 600 Z = (1 + 2i + 3i + + 2009i 2008 )(1 − 2i + 3i − 4i + + 2009i 2008 ) WWW.MATHVN.COM ĐỀ 9: A PHẦN CHUNG: Câu 1: Cho hàm số (C) y = ( x − m ) ( x − x + 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =3 Định m biết (Cm) cắt Ox A, cắt Oy B cho hai tiếp tuyến (Cm) A B vng góc Câu 2: Giải phương trình: tan x = Giải bất phương trình : Câu 3: ( − sin x + cos x + sin x + cos x 7+5 ) log 2 x ( = 3− 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ) log x + log x 0.25 (C ) : y = x − x − d : y = x + Cho hình chóp S.ABCD chiều cao SA=a, đáy hình vng cạnh a chứng minh AI ⊥ (SBD) av2 tính thể tích tứ diện SIBD, biết I trung điểm SC Câu 4: Câu 5: Tìm giá trị nhỏ tham số m để hệ: 1  x + y2 = có nghiệm x,y>0 Tìm nghiệm tương  2 x + y = m  ứng B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) (Chương trình chuẩn) Trong Oxy cho ∆ ABC có đường cao trung tuyến kẻ từ A Câu 6: a đường trung tuyến kẻ từ B hA = x + y + = , mA = y − = mB : 3x + 11y + 21 = Tính góc C x = t x − y −1 z −  b Trong Oxyz cho d1 : ,d :  y = 2t Chứng minh có vô số mặt phẳng (P) chứa = = z = 1+ t  d2 song song với d1 Viết phương trình (P) cho d2 hình chiếu vng góc d1 lên (P) c Tìm x, y ∈ R thỏa: 1 − = x + ( − y ) i + y + xi (1 + i ) Câu 7: (Chương trình nâng cao) x2 y − = ( a, b > ) có hai tiêu điểm F1 ; F2 Đường thẳng d qua ; F2 vng góc a b2 Ox cắt (H) M N cho ∆F1MN Tìm tâm sai (H) viết phương trình (H) biết diện a Trong Oxy cho tích (H ): ∆F1MN = b Trong Oxyz cho A(-1;2;2), B(0;3;0) Hãy tìm (P) cho c Một đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tích y= ∆ ABC 3x + cắt đường tiệm cận A B Tính diện x ∆ OAB 10 WWW.MATHVN.COM ĐỀ 10: A PHẦN CHUNG: Câu 1: − x4 Cho hàm số y = + ( m + 1) x − m, (1) có đồ thị (C) m tham số Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=0 Chứng minh đồ thị hàm số (1) qua điểm A B cố định Định m biết tiếp tuyến A B hợp góc 600 Câu 2: π  sin x sin  x +  = + sin x − cos x 3   x − xy + y = Giải hệ phương trình:   xy + y + x = 12 x Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = , trục Ox hai đường thẳng x=1;x=4 x + ln x e Giải phương trình: Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA, SB, SC đơi hợp với góc 600 có độ dài a, 2a, 3a Câu 4: Câu 5: Định m để phương trình log ( x − + m ) = + log  m − ( x − 1)( x − 3)  có nghiệm Tìm nghiệm nhât B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: (Chương trình chuẩn) I/ Trong Oxyz cho d: x + y z −1 = = (P): x-y-1=0: 1 a Viết phương trình tham số đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d lên (P) Tính góc d d’ b Gọi A giao điểm (P) d Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc (P) A cắt d B cho AB= II/ Giải phương trình: Câu 7:  x3  3 log   log x − log   = + log x x  3 (Chương trình nâng cao) x = t  I/ Trong Oxyz cho A giao điểm d1 :  y = + 2t mặt phẳng (P):x-2y+z=0 2 + t  a Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ qua A vng góc với d hợp với (P) góc 300 b Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d, qua A cắt P đường tròn dài 2π II/ Tìm φ ∈ ( 0; 2π ) biết đồ thị hàm số y= x + ( + cos ϕ ) x + sin ϕ có hai điểm cực trị A B x −1 cho AB dài nhất, ngắn 11 WWW.MATHVN.COM ĐỀ 11: A PHẦN CHUNG: Câu 1: Cho hàm số y= 2x , (1) có đồ thị (C) x −1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm M (C) biết tiếp tuyến M tạo với tiệm cận (C) tam giác có chu vi bé Câu 2: Giải phương trình: Giải phương trình: Câu 3: 16sin x + cos x = cos x + sin x x−5 ( x − x−5 ) =2 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình trịn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = quay quanh trục Oy Cho tứ diện ABCD có AB=a, AC= a , AD=2a Đường thẳng AC hợp với AB,AD góc 450 , AB hợp với AD góc 600 Tính tỉ số thể tích tứ diện hình cầu ngoại tiếp tứ diện Câu 4: Câu 5: Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a + b3 + c − 3abc ≤ B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: a (Chương trình chuẩn) Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua H(1;2;3) cắt Ox, Oy, Oz A, B, C cho H trực tâm ∆ABC b Trong Oxyz viết phương trình mặt cầu tâm I ∈ Oz, qua A(1;1;1) cắt (Oxy) đường tròn dài 2π c Giải phương trình : Câu 7: C20 + C31 + C42 + + Cxx − = 120 , x ∈ N (Chương trình nâng cao) I/ Trong Oxyz cho A(3;0;0) B(1;-2;8) mặt phẳng (P):x-2y+2z+6=0 a Tìm M∈(P) cho AM + BM nhỏ b Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B cắt (P) theo giao tuyến d hợp với AB góc 900 x −y x− y  x 4 y + xy = 5.4 xy II/ Giải hệ phương trình :  log x + log y = log x.log y 2 12 WWW.MATHVN.COM ĐỀ 12: A PHẦN CHUNG: Câu 1: − x3 16 + mx − ( m − ) x + Cho hàm số (C) y = (1) 3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =0 Chứng minh (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định Câu 2: Giải phương trình: sin 3x + sin x = ( cos x − 1) Giải bất phương trình : log Câu 3: Tính tích phân: I =∫ + log x2 2x 0, 25 ≥ log 0.5 x x dx − 2x Câu 4: Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy a Lấy đươgn tròn đáy (O) (O’) điểm A, B cho AB=2a tính góc hai đường thẳng OA, O’B thể tích tứ diện O’OAB Câu 5: 1 a2 + b2 ab Cho a,b>0 + = Tìm giá trị nhỏ nhất: P = + a + b ab ab a+b B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: a (Chương trình chuẩn) Trong Oxy cho ∆ ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp I(2;1), A∈Oy đường thẳng BC: 3x − y − 10 = Tìm tọa độ A,B,C biết góc BAC 450 b y A > > yB Trong Oxyz cho A(0;1;0), B(1;-2;2) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, B cách A khoảng 2 c Giải phương trình : Câu 7: 4z + = (Chương trình nâng cao) a Trong Oxy cho ( P ) : y = x có hai tiêu điểm Chứng minh 1 + không đổi MF NF F Đường thẳng d quay quanh F cắt (P) M,N b Trong Oxyz viết phương trình tham số đường thẳng qua M(1;-2;2) d ⊥ OM d hợp với Oy góc 450 c Tìm hệ số x khai triển thành đa thức biểu thức: P = ( x + 1) x10 10 13 WWW.MATHVN.COM n +1 (x n + x + 1) Biết hệ số PHỤ LỤC II: Cách giải nhanh tốn máy tính bỏ túi.Phép chia theo sơ đồ Horner Trong kì thi quan trọng có mơn tốn, máy tính bỏ túi phép sử dụng trở thành cơng cụ khơng thể thiếu thí sinh Tuy nhiên tận dụng tối đa chức máy tính giải tốn Nay tơi xin giới thiệu số phương pháp tìm nghiệm chức SOLVE máy tính Bài viết viết với máy fx-570ES khuyên em tập làm quen sử dụng máy trình giải tốn VD1 Tìm nghiệm cố định: x − ( a + 1) x + 6ax − = (1) Giải: Soạn phương trình (1) vào máy tính x − ( A + 1) x + Ax − = Dấu = soạn cách nhấn: ALPHA + CALC Nhấn tiếp: Shift + SOLVE Sau đó, máy hỏi: A=? ta cho ngẫu nhiên A=2 nhấn phím = Tiếp đến, dựa vào “linh cảm” mách bảo, ta đốn x=-3, nhấn tiếp phím = Máy nghiệm x=0.5 Ta ghi nghiệm giấy nghiệm cố định cần tìm??!! Nhấn tiếp Shift + SOLVE với A=2 Lần ta thử với x=10 Máy x=2 Thay A=-3;4;5 làm tương tự ta thấy máy báo x=2 Vậy ta kết luận x=2 nghiệm cố định Đây cách tìm nghiệm cố định tập trang 35 VD2 Tìm m cho: y = x3 − ( m + 1) x + ( m + 4m + 1) x − 4m ( m + 1) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ >1 Giải: Soạn phương trình x3 − ( A + 1) x + ( A2 + A + 1) x − A ( A + 1) = vào máy nhấn Shift + SOLVE Máy hỏi giá trị A Ta cho a=3 Tai lại tiếp tục đoán nghiệm x=-5 Máy x=1.732281591 Ta khơng quan tâm đến nghiệm nghiệm “xấu” Mục đích ta tìm nghiệm hữu tỉ để phân tích thành nhân tử Nhấn tiếp Shift + SOLVE Lần ta cho A=9 x=10 Máy x=10 Ta ghi nhận nghiệm Với A=9 cho x=-5 ta nhận kết x=2 Thử tương tự với A vài giá trị x=2, x=10 vào ta nhận thông báo x=2 Vậy x=2 nghiệm cố định phương trình VD3 Giải phương trình: sin x + cos x − cos x + 3sin x = (1) Giải: Lúc “lí trí” mách bảo ta Cần phân tích phương trình phương trình tích Hơn nữa, phải có nghiệm “đẹp” phân tích Ta dùng Shift + SOLVE để tìm nghiệm Nhập phương trình vào máy Nhấn Shift + SOLVE Ta thử x góc đặc biệt như: ± Khi thử đến nghiệm π π π ;± π ;± π máy nhanh Để kiểm tra ta nnấn: sin( _ ALPHA _X_) 14 WWW.MATHVN.COM Và coi sin(x) biến phân tích phương trình qua nhân tử ( sin x − 1) hay ( 2sin x − 1) Ta chọn phân tích theo hướng ( sin x − 1) Máy =1 = (1) ⇔ 3sin x − + − cos x + sin 2x + cos x = ⇔ 3(sin x − 1) + + (1 − 2sin x ) + sin x − cos x = ⇔ ( sin x − 1) + 2(1 − sin x) + sin x − cos x = ⇔ ( sin x − 1)(1 − 2sin x ) + 2sin x cos x − cos x = ( sin x − 1)(1 − 2sin x ) + cos x ( 2sin x − 1) = ⇔ ( sin x − 1)(1 − 2sin x + cos x ) = Đến đây, ta hoàn thành ý đồ đưa phương trình phương trình tích Việc giải phương trình đầu trở nên dễ dàng GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI FX – 570ES Câu 1:  x = + 2t x =   Trong Oxyz cho: d1 :  y = −1 + t ; d :  y = + t z = z = − t   a) Tính khoảng cách giửa d1 d2 b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2 Giải: Để sử dụng chức vectơ máy ta nhấn: MODE + (vector) Chọn vectơ A máy hỏi ta chọn hệ vectơ (Vct A(m) m?) Chọn 1:3 Nhập tọa độ vecto phương d1 (2;1;0) Nhấn tiếp Shift + STO + B để copy thông số vextơ A vào vectơ B Sửa tọa độ vectơ B thành (0;1;-1) Ta có M (2; −1; 0) ∈ d1 ; N (1;1;3) ∈ d ⇒ MN ( −1; 2;3) (Bước ghi giấy) Nhấn Shift+5(vector) a) Theo công thức: Nhấn (Dim) d ( d1 ;d ) = 3(Vct C) sau nhập thơng số vector MN ( −1; 2;3)  d1 ; d  MN  A; B  C     tương ứng với: vec tơ lưu máy  d1 ; d   A; B      tính Để tính tích có hướng hai vectơ A & B ta nhấn: ON Shift+5 3(vct A) x Để tính độ dài vector ta dùng chức ABS( cách nhấn phím Shift+hyp Để tính tích vơ hướng A & B ta nhấn ON Shift+5 3(vct A) Shift+5 B) = Vậy nên để tính độ dài cần tìm ta soạn vào hình máy tính sau: (Abs((VctAxVctB)●VctC))÷(Abs(VctAxVctB)) 11 Kết máy hiện: b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2: 15 WWW.MATHVN.COM Shift+5 7:●(dot) = Shift+5 4(vct Việc cần làm ta phải tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) gọi vector pháp tuyến a ⊥ d1 a ta thấy:  d1 = A ; d = B a ⊥ d Nên a cần tìm  d1 ; d  Để tìm a máy tính ta làm sau:   ( cần tìm ) ON Shift+5 3(vct A) x Shift+5 = Màn hình soạn thảo sau: VctAxVctB nhấn phím = để xem kết Máy hiện: Vct Ans (-1;2;2) Vậy a = ( −1; 2; ) Mp (α ) qua M(2;-1;0) Nên (α ) : − ( x − ) + ( y + 1) + ( z ) = ⇔ − x + y + z + = Thí sinh cần gi bước làm vào làm, cơng việc cịn lại máy tính Ta thấy hồn thành hình học giải tích đề thi thật nhẹ nhàng Các bạn thử làm tốn có lời giải sách giáo khoa hình học 12 hay sách tham khảo máy tính Sẽ có nhiều bất ngờ chờ bạn khám phá! SƠ ĐỒ HORNER VÀ ỨNG DỤNG: Chia đa thức P ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + an cho ( x − c ) ta có: P ( x ) = ( x − c ) ( b0 x n −1 + b1 x n − + + bn −1 x + bn ) Trong bi ( i = 0;1; 2;3; ; n ) định bội sơ đồ Horner: a0 b0 c a1 b1 =cb0+ a1 a2 b2 =cb1+ a2 a3 b3 =cb2+ a3 … -1 bi =cbi-1+ Áp dụng: VD1 Tính thương số dư phép chia: P ( x ) = x + x3 − x − x + cho x+2 Giải: Ta có sơ đồ Horner: -2 Vậy -3 -8 -2 P ( x ) = ( x + ) ( x3 − x − x + 3) + Đến đây, hiểu phần cơng dụng sơ đồ horner Trong tốn liên quan đến tham số, việc tìm nghiệm cố định phân tích thành tích làm cơng việc giải toán nhẹ nhàng nhiều Nghiệm cố định có máy tính, cịn việc chia đa thức: Hãy để sơ đồ Horner làm cho bạn Ta quay lại với ví dụ đầu phần phụ lục: VD2 Phân tích thành tích: x − ( a + 1) x + 6ax − = (1) Giải: x3 − ( a + 1) x + 6ax − = Ta có nghiệm cố định x=2 nên 2 Vậy (1) ⇔ ( x − )  x -3(a+1) -(3a-1) 6a -4 − ( 3a − 1) x +  = Đây phần làm Bài3 trang 35 VD3 Định m để phương trình: mx3 − ( 3m − ) x + ( 3m − ) x − m + = có nghiệm dương phân biệt 16 WWW.MATHVN.COM ( A) Giải: Ta dễ dàng nhận ra: a+b+c+d=0 Sơ đồ Horner: m -3m-4 m -2(m-2) ⇒ phương trình (A) có nghiệm x=1 3m+7 m-3 -m+3 ( A ) ⇔ ( x − 1)  mx − ( m − ) x + m − 3 = (A) Có nghiệm dương phân biệt ⇔ g ( x ) = mx − ( m − ) x + m − = Nên có hai nghiệm dương phân biệt khác  m ≠  ∆ ' = ( m − ) − m ( m − 3) >  m−2 ⇔ m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 3; ) ⇔ S = >0 m  m−3  P = m >   g (1) = m − ( m − ) + m − ≠ VD4 Định m để phương trình có nghiệm phân biệt: x3 − − m ( x − 1) = (1) Giải: (1) ⇔ x3 − mx + m − Dùng máy tính ta “mị” nghiệm: x=1 Sơ đồ Horner: 1 1 Vậy (1) ⇔ ( x − 1) (x -m 1-m m-1 + x +1− m) = g ( x) = x + x + − m = có hai nghiệm phân biệt khác  ∆ = 4m − > m > ⇔ ⇔ ⇔