[r]
(1)§Ị thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh
Mơn: Tốn 9Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
C©u (4 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức: P =
2
6 ) (
b/ Gi¶i phơng trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
c/ Chøng minh r»ng nÕu a, b, c số dơng thoả mÃn a + c = 2b ta có:
c a c b b
a
2
1
d/ Chøng minh r»ng: x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + với số tự nhiên m,n. Câu ( điểm)
a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2
Tìm giá trị x để đẳng thức sau đẳng thức ỳng :
b Giải phơng trình: 3 18 28 4 24 45
x x x
x = – x2 + 6x -5
c/ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña: A =
1 2
6
x x
x x
d/ Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: M =
1
2 x
x x
Câu (3 điểm) Xét đa thức P(x) = x9 + x99
a/ Chøng minh r»ng P(x) lu«n lu«n chẵn với x nguyên dơng b/ Chứng minh P(2) lµ béi sè cđa 100
c/ Gọi N số nguyên biểu thị số trị P(4) Hỏi chữ số hàng đơn vị N chữ số đợc không ? Tại ?
Câu (3 điểm)
Cho gúc nhn xOy v điểm M nằm góc Hãy tìm Ox, Oy điểm A, B cho chu vi tam giỏc MAB nh nht
Câu (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc nhọn với đờng cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng:
1 ' ' '
' '
'
CC HC BB
HB AA
HA
Câu (3 điểm)
a Cho số dơng a, b, c cã tæng b»ng Chøng minh r»ng: 1 1 1 9
c b a
b Cho số dơng a, b, c thoả mÃn điều kiƯn a + b > c vµ |a - b| < c Chứng minh phơng trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = lu«n lu«n v« nghiƯm.
c Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui H
Chøng minh r»ng:
1
1
HC HC HB
HB HA
HA
DÊu "=" xảy nào? - H
t -Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tnh
Môn: Toán
Câu
a/ P = ( 3 2)( 3 2) 3 2 1
2
2 ) ( ) (
(1 ®iÓm)
b/ x4 -30x2 + 31x - 30 = <=> (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = (*) ( 0,25 điểm)
Vì x2 - x + = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0 ( 0,25 ®iĨm)
(2)=> (*) <=> (x - 5)(x + 6) = <=>
6 5 0
6 0 5
x x x
x
(1/2 ®iĨm) c/ Ta cã:
VT =
c b
c b b
a b a
(*) (1/4 ®iĨm)
Tõ a + c = 2b => a = 2b – c thay vµo (*) ta cã (1/4 ®iĨm)
VT =
c b
c a c
b
c b b a c
b c b b
c b
b a
2 (**)
(1/4 ®iĨm) Thay b =
2
c
a
vµo (**) ta cã
VT =
c a
c a
c a
c c a
c
a 2( ) 2
2
2 VP (Đpcm) (1/4 điểm)
d Ta cã x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + (0,25 ®iĨm)
= x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) (0,25 ®iĨm)
Ta thấy x3m - x3n - chia hết cho x3 - chia hết cho x2 + x + (0,25 điểm) x3m+1 + x3n+2 + chia hết cho x2 + x + (0,25 điểm) Câu 2
a/ T×m nghiƯm nguyên phơng trình:
2x2 + 4x = 19 - 3y2 <=> 4x2 + 8x + = 42 - 6y2
<=> (2x + 2)2 = 6(7 - y2) (1/4 điểm)
Vì (2x + 2)2 => - y2 => y2 mµ y Z => y = 0; 1; 2
(1/4 ®iĨm) + Víi y = 1 => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) <=> 2x2 + 4x - 16 = 0
=> x1 = 4; x2 = -2
+ Víi y = 2 =>2x2 + 4x - = => x
1, x2 Z (loại) (1/4 điểm)
+ Với y = =>2x2 + 4x - 19 = => x
1, x2 Z (loại)
Vậy cặp nghiệm (x, y) phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1) b Ta cã:
9 ) ( ) (
3 2
x
x = (x-3)2
Vì 3(x-3)2 nên 3( 3)2 1
x
T¬ng tù : 4( 3)2
x
Do 3( 3)2 4( 3)2
x
x + =
Mặt khác : – (x - 3)2 4
Vậy vế trái “=” x – = Từ ta có x =
Vậy nghiệm phơng trình x =
c/ Cã A = 2
) (
1
2
2 ) (
1 ) ( ) 2 (
x x
x
x x
x
(1/2 điểm) Đặt y =
1
x => A = y2 – 2y + = (y – 1)2 + (1/2 ®iĨm)
=> A = => y = 1
1
x => x =
VËy A = x = (1/2 ®iĨm)
d/ Nhận xét x = M = 0, giá trị khơng phải giá trị lớn Vậy M đạt giá trị lớn với x khác Chia tử mẫu cho x2 ta đợc:
M = 1
2
1
x
x (1/2 ®iĨm)
M đạt giá trị lớn 12
x
x nhá nhÊt => 12
x
x = => x = 1 VËy M lín nhÊt b»ng 1/
3 x = 1
(3)C©u Ta cã P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 – x36 + x66)
= (x + x11)(x2 – x12 + x22)( x6 – x36 + x66) (1/4 ®iĨm)
a/ Với x chẵn x9, x99 chẵn
x lẻ x9, x99 lẻ
=> x9 + x99 chẵn với x nguyên dơng (1/4 điểm)
b/ Ta cã x11 = 2048 nªn x + x11 = 2050 (1/4 ®iĨm)
Vì x = nên thừa số cịn lại chẵn p bội 4100
VËy P(2) chia hÕt cho 100 (1/4 ®iĨm)
c/ Ta cã N = P(4) = 49 + 499 = (29)2 + (299)2 = (29 + 299)2 – 29 299 (1/4 ®iĨm)
Theo câu b số bị trf có chữ số hàng đơn vị mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác hay hiệu chữ số hàng đơn vị khác
Vậy chữ số đơn vị N khác
C©u 4
- Dựng A’ đối xứng với M qua Ox (1 điểm) - Dựng B’ đối xứng với M qua Oy
- Nối AB cắt Ox A, cắt Oy B (1 ®iĨm) => AM = AA’ (A Ox trung trùc cña A’M) BM = BB’ (B Oy trung trùc cđa B’M)
(1/2 ®iĨm) => P(AMB) = AA’ + AB + BB’ nhá nhÊt
(v× A, A, B, B thẳng hàng)
Câu 5: + Cã SABC = 2
1 BC AA’ (1/2 ®iĨm)
+ Cã SHBC = 2
1 BC HA’ (1/2 ®iĨm)
+ Cã SHAC = 2
1 AC HB’ (1/2 ®iĨm)
+ Cã SHAB = 2
1 AB HC’ (1/2 ®iĨm)
+
AA' HA' ABC
S HBC S
;
BB' HB' ABC
S HAC S
;
CC' HC' ABC
S HAB S
(1/2 ®iĨm)
=>
ABC S
ABC S
ABC S
HAB S HAC S HBC S
VËy 1
' ' '
' '
'
CC HC BB
HB AA
HA
(1/2 điểm)
Câu
a Do a + b + c = nªn
c b c a c
b c b a b
a c a b a
1 1
1 1
1 1
(1/2 ®iĨm)
VËy 1 1 1 3 3 2 22 9
b c c b a
c c a a
b b a c
b a
Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 1/3
b TÝnh biÖt sè = [(a – b)2 – c2][(a + b)2 c2]
(1/2 điểm) Vì a + b > c > vµ < | a – b| < c
nªn (a – b)2 < c2 => (a – b)2 – c2 < 0
3 x
y O
M A'
B' A
B
A
B C
C'
B'
(4)H C1
C B1
B A1 A
vµ (a + b)2 > c2 => (a + b)2 – c2> 0
Do vËy < => Phơng trình vô nghiệm (1/2 điểm)
c Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm tam giác A * Đặt S = SABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB
Ta cã:
1
1
1
1
HA HA HA
AA BC
HA BC AA S
S
T¬ng tù:
1
1
HB HB S
S
1
1
HC HC S
S
Suy ra:
1 1
1 1
3
HA HB HC S
HA HB HC S S S
3
1 1
(S S S )
S S S
Theo bất đẳng thức Côsy:
1
1
1 1
1 1
( )
9
S S S
S S S HA HB HC
HA HB HC
Dấu "=" xảy tam giác ABC