Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.[r]
(1)Đề thi học sinh giỏi môn toán 9
Thêi gian: 150 phót C©u I ( điểm) Giải phơng trình
1 2
6 10 25
x x x x
2 y2 – 2y + =
2
6
x x
Câu II (4 điểm) Cho biểu thức : A =
2
2 ( 2)
x x x
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Cho a>0; b>0; c>0
Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) 1
a b c
Câu III (4,5 điểm)
1 Giải toán cách lập phơng trình
Tỡm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phơng chữ số
2 Cho phơng trình: x2 (m+1)x+2m-3 =0 (1)
+ Chng minh phơng trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm
Câu IV (4 điểm)
Cho hỡnh thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đờng chéo AC BD cắt I
Gãc ACD = 600; gọi E; F; M lần lợt trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC.
1 Chng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác u
Câu V. (3,5 điểm)
Cho hỡnh chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đờng cao SH hình chóp
Chøng minh r»ng:AOB BOC COA 900
-Hết -Trờng THCS
Xuân Bái Đáp án Đề thi học sinh giỏi môn toán 9
Câu 1: điểm
1 Đa phơng trình d¹ng
2 x 3 x5 8 (0,5 điểm) áp dụng bất đẳng thức:
3 5
x x x x x x (0,5 ®iĨm)
(2)- ChØ dÊu “=” x¶y (3 – x) (x+5)0
LËp b¶ng xÐt dấu kết luận -5x3 (0,5 điểm)
3 Xác định đợc:
Min VT: y2 – 2y+ 3= (y – 1)2 + 2 (0,75
điểm)
Dấu = xảy y =1
- Xác định đợc:
- Max VP:
6
x x x
2 + 2x +4 nhá nhÊt
(x + 1)2 + 3 (0,75 ®iĨm)
vµ max VP b»ng
3
DÊu “=” x¶y x= -1
- Kết luận nghiệm phơng tình:xy11
(0,5 điểm)
Câu II (4 điểm)
1 Đặt x+2 = y x = y – Thay vào A đợc
2
2
2 3
y y A
y y y
(0,5 điểm)
Đặt z
y ta đợc A = 3z2- 2z + =
2
1
3
3
z
3
A (0,5 điểm)
Dấu = xảy
3
z y (0,5 ®iĨm)
Thay y = tìm đợc x=1
Kết luận đợc A =2
3 t¹i x=1 (0,5 ®iĨm)
2 áp dụng bất đẳng thức CôSi:
(a + b + c) ( 1 1 1 a b a c c b
a b c b a c a b c
(2 điểm)
Câu III. (4,5 điểm)
Gọi x chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục x+2
0 x :xN)
(0,5®iĨm)
Lập đợc phơng trình: 10 ( x+2) + x = x2 + ( x+2)2 + (0,5 điểm)
- Giải phơng trình tìm đợc x1=
- x2=
3
(loại) (0,5 điểm)
- Nhận xét kết trả lời số cần tìm 75 (0,5 ®iĨm)
2,Xác định đợc phơng trình có nghiệm phân biệt > (0,5 điểm)
Tính đợc = (m+1)2 – 4(2m –3)
= (m- 3)2+ 4 víi mäi m (0,5 ®iĨm)
+ Thay x = vào (1) giải phơng trình tìm đợc m = 3. (0,1 điểm)
KÕt luËn: m = Th× phơng trình (1) có nghiệm x = (0,5 ®iĨm)
(3)Vẽ hình đúng, ghi GT; KL D C (0,5điểm)
Chỉ đợc CFB = 900;
CEB= 900 F (1®iĨm)
Chỉ đợc E;F nhìn đoạn BC dới góc vng I
và kết luận BEFC nội tiếp đờng tròn M
tâm M bán kính
BC
E (0,5®iĨm)
2.CM đợc MF = ME =1
2BC (0,5điểm) CM đợc EF = 1
2 AB =
2BC
A B (1®iĨm)
Kết luận MEF (0,5 điểm)
Câu V. (3,5 điểm)
Gọi cạnh hình chóp a M trung điểm AB.
Tớnh đợc CH =2
3
a
CM (1 ®iĨm)
Tính đợc SH =
a S (0,5 điểm)
vuông OHC có a O
OC2 = OH2 + HC2 A
= 2
a a a
M H C (0,5 điểm)
Tơng tù: OB2 = OA2 =
2
a B (0,5 ®iĨm)
BOC cã: OB2 + OC2 = a2
Từ suy BOC 900
(0,5 điểm) Tơng tự cm AOB COA 900