[r]
(1)Phòng GD&ĐT
o0o Đề thi khảo sát chất lợng học sinh giỏiNăm học 2007-2008 Môn: Toán 8.
(Thi gian: 150phỳt, không kể thời gian giao đề)
Câu I(2đ)
a/ Giả sử a b nguyên tố víi sè vµ a + b chia hÕt cho 3.
Chøng minh r»ng: §a thøc x
a+ x
b+ chia hÕt cho ®a thøc x
2+ x + 1
b/ Cho x + y + z = Chøng minh r»ng: 2(x
5+ y
5+ z
5) = 5xyz(x
2+ y
2+ z
2)
Câu II(2đ)
.
a/ Giải biện luận phơng trình:
2 14
2 ) (
x m x
x m m
b/ Cho c
2+ 2(ab - bc - ca) = vµ b
≠
c; a + b
≠
c H·y so s¸nh
22
c b b
c a a
vµ
ba cc
Câu III(2đ)
a/.Cho a, b, c số tự nhiên thoả mÃn a b số nguyên tố 3c
2= c(a+b) + ab
Chứng minh rằng: 8c + số phơng.
b/ Cho x, y tho¶ m·n x
2+ 4xy + 5y
2– 2008 = vµ x.y
0.
Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2x
2+ 6xy + 10y
2Câu IV(1đ)
Tìm tất số tự nhiên x, y sè nguyªn tè z cho
2 1y x z
C©u V(3®)
.
a/ Cho hình bình hành ABCD, đờng cao CE, CF (E thuộc AB, F thuộc AD)
Chứng minh rằng: AD.DF + AB.AE = AC
2b/ Cho tam giác ABC có đờng phân giác BE, CF cắt O
2
CF CO BE BO
Xác định tính chất tam giác ABC
-Cán coi thi không giải thích thêm!
Họ tên thí sinh:
.SBD
Học sinh trờng:
Phòng GD&ĐT
o0o hớng dẫn chấm học sinh giỏiNăm học 2007-2008 Môn: Toán 8.
Câu Nội dung Điể
m
(2)I
1a(1®)
- Vì a, b nguyên tố với nên a, b không chia hết cho mà a + b chia hết giả sử a = 3k+1; b=3t+2
- Ta cã xa + xb + = x3k+1 + x3t+2 + 1= (x3k+1 – x) + (x3t+2 – x2) + (x2+x+ 1)
- V× x3k+1 – x = x(x3k – 1) chia hÕt cho x2+x+ 1
x3t+2 – x2 = x2(x3t – 1) chia hÕt cho x2+x+ 1
(x2+x+ 1) chia hÕt cho x2+x+ 1
- VËy xa + xb + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1
0,25 0,25 0,25 0,25
1b(1đ)
- Vì
x + y + z =
z = - x - y
- Ta cã
x
5+ y
5+ z
5=
x5 + y5 + (- x – y)5 =…….=5xyz(x
2+ y
2+ xy)
- Suy 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(2x2 + 2y2 + 2xy)
= 5xyz[(x+y)2 + y2 + x2] =5xyz(x2 + y2 + z2)
®pcm
0,25 0,50 0,25
II
2a(1®)
-§KX§ x
- Quy đồng đa PT dạng (m2 – 5m + 6)x = m – (m – 2)(m – 3)x = m
–
- NÕu m = ta cã 0x = PT v« sè nghiƯm x
- NÕu m = ta cã 0x = 1PT v« nghiƯm
- NÕu m 2; ta cã
3
m
x lµ nghiƯm
2
3
m
m
VËy m = PT cã v« sè nghiƯm x
m =
2
PT vô nghiệm
m 2; 3;
2
3
m
x lµ nghiƯm
0,25 0,25 0,25
0,25
2b(1®)
- Ta cã c2 + 2(ab - bc - ca) = c2 – 2c(b + a) + (a + b)2 – a2 – b2 = 0
(c - a - b)2 – a2 – b2 = 0
)2
)((
)2
)((
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
ab
cbc
b
ba
cac
a
ab
ac
b
bb
ac
a
- Do
b cc a c
b a b c b c
c a b a c a c c b b
c a a
)
2 )(
(
) )(
(
2 2
2
2
(3)III
3a(1đ)
- Đặt a b = x; a + b = y
2 y x a ;
2 x y b
- Ta cã 3c2 = c(a+b) + ab
) )( ( 16 4 12 2 2 2 2 2 c y c y x c c cy y x x y cy c x y cy c
- Vì x nguyên tố y + 6c > y – 2c nªn
2
1
8
1
2
6
x
c
c
y
xc
y
lµ sè chÝnh ph¬ng
0,25 0,25 0,25 0,25
3b(1®)
- XÐt 2
2 10
2008 x xy y
y xy x P
- NÕu y = th× x2 = 2008 hay x 2008 P = 2.2008 = 4016
- Nếu y 0, chia tử mẫu cho y2 và đặt
y x
t , ta cã
5 4016 4016 2 10
2008 2
2 t t t P t t t t t t t P
- Vì t2 + 4t + >0 t nªn P ≤ 4016
DÊu “=” t = hay x = vµ
5 2008 2008 y y
VËy Max P = 4016 y = ; x 2008 hc x = 0;
5 2008 y 0,25 0,25 0,25 0,25 IV (1®)
- Biến đổi 2
1 1
y x
z vỊ d¹ng (y2 - z)(x2 – z) = z2
- V× z nguyên tố vai trò x, y nh nªn
+ NÕu
x
zy
zz
x
zy
2 22 2
1
(vô lý z nguyên tố)
+ Nếu
zx
zy
zz
x
zz
y
2
2
2
2
2
2
mà z nguyên tố nªn x = y = z =
(4)V
5a(1,5®)
- Vẽ hình
- Kẻ DH, BK lần lợt vuông góc với AC
- c/m đợc ADH đồng dạng với ACF AD.AF = AC.AH (1)
- c/m đợc ACE đồng dạng với ABK AB.AE = AC.AK (2)
- c/m đợc ADH = CBK AH = CK (3)
- Tõ (1), (2), (3) ta cã AD.AF + AB.AE = AC(AH + AK) = AC2
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
5b(1,5®)
- Vẽ hình
- Đặt BC = a, AC = b, AB = c áp dụng tính chất đờng phân giác tam giác tính
đợc
c a
ab CE
;
b c a EO
BO
;
c b a
c a BE BO
- Tơng tự tính đợc
c b a
b a CF CO
- Tõ GT cã 2 2
1 ) (
) )( (
c b a c
b a
c a b a
Vậy ABC vuông A