PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.[r]
(1)PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I ( điểm)
Cho hàm số y=x3 +(1−2m)x2 +(2−m)x+m+2 (1) m tham số Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1) với m=2
2 Tìm tham số m đểđồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x+y+7=0gócα ,biết
26 cosα = Câu II (2 điểm)
1 Giải bất phương trình:
2 log2
2
1 − ≤
−x x
2 Giải phương trình: 3sin2x.(2cosx+1)+2=cos3x+cos2x−3cosx Câu III (1 điểm)
Tính tích phân: I
( )
∫
+ +
+ =
4
2 1
1
dx x x
Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB=a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA=−2IH, góc SC mặt đáy (ABC)
0
60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm)
Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: x2 +y2 +z2 ≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức:
xy z
z zx
y y yz
x x P
+ + + + +
= 2 2 2
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từđỉnh B có phương trìnhx+y+1=0, trung tuyến từđỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Câu VII.a (1 điểm)
Cho khai triển: (1+2x)10(x2 +x+1)2 =a0 +a1x+a2x2 + +a14x14 Hãy tìm giá trị a6 B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 5,5 trọng tâm G thuộc đường thẳng d:3x+y−4=0 Tìm tọa độđỉnh C
2.Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P)x+ y−z+1=0,đường thẳng d:
3 1
1
2
− − = −
− =
− y z
x
Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), vng góc với d cách I khoảng
Câu VII.b (1 điểm)
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Mơn thi: TỐN, Khối A
Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề.
Giải phương trình ( ẩn z) tập số phức:
=
− +
z i
(2)ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 MƠN:TỐN, Khối A
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu ý Nội dung Điểm
1(1đ) Khảo sát hàm số m =
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3− 3x2 +
a) TXĐ: R b) SBT
•Giới hạn: lim ; lim
x→−∞y= −∞ x→+∞y= +∞ 0,25
•Chiều biến thiên:
Có y’ = 3x2− 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2
x −∞ +∞
y’ + − +
y
−∞
4
0
+∞
Hàm số ĐB khoảng (−∞ ; 0) (2 ; +∞), nghịch biến (0 ; 2)
0,25
•Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4;
Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) =
0,25 c) Đồ thị:
Qua (-1 ;0)
Tâm đối xứng:I(1 ; 2)
0,25
2(1đ) Tìm m
Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ⇒tiếp tuyến có véctơ pháp n1 =(k;−1) d: có véctơ pháp n2 =(1;1)
Ta có
= = ⇔ = + − ⇔
+ − =
⇔ =
3 2
12 26 12
1
1 26
1
cos
2
2
1
k k k
k k
k n
n n n α
0,5 I(2đ)
Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ hai phương trình: y/ =k1 (1)
và / 2
k
y = (2) có nghiệm x
⇔
= − + −
+
= − + −
+
3 2
) (
2
) (
2
m x
m x
m x
m x
⇔
≥ ∆
≥ ∆
0 /
1
/ 0,25
có nghiệm
1 I
2
-1
4
0 x
y
(3)⇔ ≥ − − ≥ − − 2 m m m m ⇔ ≥ − ≤ ≥ − ≤ ; ; m m m m ⇔ − ≤
m
2 ≥
m 0,25
II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình
Bpt ≤ − ≤ − ≤ − ≤ − ⇔ ≤ − ≥ − − ⇔ ) ( log ) ( log log 4 log 2 2 2 x x x x x x x x 0,25
Giải (1): (1)
5 16 16 8
4 ⇔ ≤ ≤
≤ − − ≥ − − ⇔ ≤ − ≤ ⇔ x x x x x x x 0,25
Giải (2): (2)
9 17 4 4 17 4 ≤ ≤ ⇔ ≤ − − ≥ − − ⇔ ≤ − ≤ ⇔ x x x x x x x 0,25
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
16 ; ; 17
∪ 0,25
2(1đ) Giải PT lượng giác
Pt⇔ 3sin2x(2cosx+1)=(cos3x−cosx)+(cos2x−1)−(2cosx+1) ) cos ( sin cos sin ) cos ( sin
3 + =− − − +
⇔ x x x x x x
0 ) sin 2 sin )( cos
( + + + =
⇔ x x x
0,5
• )
6 sin( 2 cos sin sin 2 sin
3 + + = ⇔ − =− ⇔ −π =−
x x
x x
x
⇔ x=−π +kπ
6 0,25 • ( ) 2 cos
2 k Z
k x k x x ∈ + − = + = ⇔ = + π π π π
Vậy phương trình có nghiệm: π 2π
3
k
x= + ; π 2π
3
k
x=− + x=−π +kπ
6 (k∈Z)
0,25
(4)•Đặt dx t dt x
dx dt
x
t ( 1)
2
1
1 ⇒ = −
+ = ⇒ + +
=
2 2t t x= −
Đổi cận
x
t
•Ta có I =
dt t t t
dt t
t t t dt
t t t t
∫
∫ ∫
− + − =
− + − =
− +
−
2
2
2
4
2
2 4 2
3
1
1 ) )( 2 (
=
+ +
−
t t t
t
ln 2
0,5
=
4 ln
2 − 0,25
(1đ) Tính thể tích khoảng cách
•Ta có IA=−2IH ⇒H thuộc tia đối tia IA IA = 2IH BC = AB =2a ; AI= a; IH=
2 IA
= a
AH = AI + IH = 3a
0,25
•Ta có
2 45
cos
2
2
2 a
HC AH
AC AH
AC
HC = + − ⇒ =
Vì SH ⊥(ABC)⇒ ( ;( ))= =600
∧ ∧
SCH ABC
SC
15 60
tan a HC
SH = =
0,25
•
6 15
15 )
2 (
3
1
2
a a
a SH
S
VSABC = ∆ABC = = 0,25
IV
• BI (SAH)
SH BI
AH BI
⊥ ⇒ ⊥ ⊥
H K
I B A
S
(5)Ta có
2
1 ) ( ; ( )) ( ; ( ))
( ; (
)) ( ;
( a
BI SAH
B d SAH
K d SB
SK SAH
B d
SAH K d
= =
= ⇒
= =
V (1đ) Tim giá trị lớn nhất của P
xy z
z zx y
y xy
x x P
+ + + + +
= 2 2 2
Vì x;y;z>0, Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
xy z
z zx
y y yz
x x P
2
2 2 2
2 + +
≤ =
+ + =
xy zx
yz
2
2
0,25
+ + ≤
+ + =
+ + + + + ≤
xyz z y x xyz
xy zx yz y
x x z z y
2 2 2
1 1 1 1
2
1
= ≤
xyz xyz
0,5 Dấu xảy ⇔ x= y= z=3 Vậy MaxP =
2
1 0,25
PHẦN TỰ CHỌN:
Câu ý Nội dung Điểm
VIa(2đ) 1(1đ) Viết phương trình đường trịn… KH: d1:x+y+1=0;d2 :2x−y−2=0
1
d có véctơ pháp tuyến n1 =(1;1) d2có véctơ pháp tuyến n2 =(1;1)
• AC qua điểm A( 3;0) có véctơ phương n1 =(1;1)⇒ phương trình AC:x− y−3=0
⇒ ∩ = AC d2
C Tọa độ C nghiệm hệ: ( 1; 4)
0 2
0
− − ⇒
= − −
= − −
C y
x y x
0,25
• Gọi B(xB;yB) ⇒ )
2 ;
3 (xB yB
M + ( M trung điểm AB)
Ta có B thuộc d1 M thuộc d2 nên ta có: ( 1;0)
0 2
0
− ⇒
= − − +
= + +
B y
x y x
B B
B B
0,25
• Gọi phương trình đường trịn qua A, B, C có dạng:
2 2
2 + + + + = c by ax y
x Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn
(6)
− = = ⇔
− = + − −
− = + −
3 17
8
1
c b c
b a
c
a ⇒Pt đường tròn qua A, B, C là:
0 2
2 + − + − = y x y
x Tâm I(1;-2) bán kính R = 2
2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P)
•Gọi n=(a;b;c)≠Olà véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
0,25
• d(C;(P)) = 16 14
) (
2
3 2
2
2 + − + = ⇔ − + =
+
⇔ a ac c
c c a a
c a
= = ⇔
c a
c a
7
0,5
•TH1: a=cta chọn a=c=1 ⇒ Pt (P): x-y+z+2=0
TH2:a=7cta chọn a =7; c = ⇒Pt (P):7x+5y+z+2=0
0,25
VII.a (1 đ) Tìm hệ số của khai triển • Ta có
4 ) (
1
2 + + = + + x
x
x nên
( )10 2 14 12 10
) ( 16
9 ) ( ) ( 16
1 ) (
2
1+ x x +x+ = + x + + x + + x
0,25 • Trong khai triển (1+2x)14 hệ số x6 là: 26C146
Trong khai triển (1+2x)12 hệ số x6 là: 26C126
Trong khai triển (1+2x)10 hệ số x6 là: 26C106
0,5
• Vậy hệ số 41748
16
8
16
1
10 6
12 6
14
6 = C + C + C =
a 0,25
Tìm tọa độ của điểm C VI.b(2đ) 1(1đ)
• Gọi tọa độ điểm )
3 ; ( ) ;
( C C
C C
y x G y
x
C ⇒ + Vì G thuộc d
) 3 ; ( 3
4 3
3 + − = ⇒ =− + ⇒ − +
+
⇒ C C C C C C
x x C x
y y
(7)•
5 11
3 3 11 ) ; ( 11 ) ; (
= − − + ⇔
= ⇔
= =
∆
C C ABC
x x AB
C d AB
C d AB S
= − = ⇔ = − ⇔
5 17
1 11
6
C C C
x x x
0,5
• TH1: xC =−1⇒C(−1;6)
TH2: )
5 36 ; 17 (
17
− ⇒
= C
xC
0,25 2(1đ) Viết phương trình của đường thẳng
• (P) có véc tơ pháp tuyến n(P) =(1;1;−1) d có véc tơ phương )
3 ; ; (
.u= − −
) ; ; ( ) (P I d
I = ∩ ⇒
• ∆⊂(P);∆⊥d ⇒∆ có véc tơ phương u∆ =[n(P);u]=(−4;2;−2) =2(−2;1;−1)
0,25
• Gọi H hình chiếu I ∆⇒H∈mp(Q)qua I vng góc ∆ Phương trình (Q): −2(x−1)+(y−2)−(z−4)=0⇔−2x+ y−z+4=0 Gọi d1 =(P)∩(Q)⇒d1có vécto phương
[n(P);n(Q)]=(0;3;3)=3(0;1;1) d1 qua I
+ =
+ = = ⇒
t z
t y x ptd
4 :
1
Ta có H∈d1 ⇒H(1;2+t;4+t)⇒IH =(0;t;t)
•
− = = ⇔ =
⇔ =
3
3 2
3
t t t
IH
0,5
• TH1:
1
5
1 : )
7 ; ; (
− − = − = −
− ∆ ⇒ ⇒
= H pt x y z
t
TH2:
1 1
1
1 : )
1 ; ; (
− − = + = −
− ∆ ⇒ − ⇒ −
= H pt x y z
t
0,25 VII.b đ Giải phương trình tập số phức
ĐK: z≠i
• Đặt
z i
i z w
− +
= ta có phương trình: w3 =1⇔(w−1)(w2 +w+1)=0
(8)
-Hết -
− − =
+ − = =
⇔
= + + = ⇔
2
2 1
1
i w
i w
w
w w w
• Với =1⇔ =0
− + ⇒
= z
z i
i z w
• Với (1 3) 3
2
3
− = ⇔ − − = +
⇔ +
− = −
+ ⇒ +
−
= i i z i z
z i
i z i
w
• Với (1 3) 3
2
3
= ⇔ − = −
⇔ −
− = −
+ ⇒ −
−
= i i z i z
z i
i z i
w
Vậy pt có ba nghiệm z=0;z= z=−