dethi

M là điểm nằm bên tromng hình bình hành ABCD.[r]

ĐỀ THI chän HSG LỚP VÒNG I MƠN TỐN

Năm học 2010– 2011 Thời gian: 120 phút Câu 1:

Cho biểu thức: A =

) )( ( ) ( ) )( ( 2 2 2 y y x y x y y x y y x         

a) Chứng tỏ giá trị A khơng phụ thuộc vào x b) Tìm giá trị nhỏ A?

Câu 2:

a) Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh : ab – a – b + chia hết cho 192

b) Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn đẳng thức: y(y + 1)2 + x(x + 1) = 8xy

Câu 3:

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc b) Cho x + y + z = 111 0

z y x

Chứng minh rằng: xyz

z y x z y x      3 6 Câu 4:

Cho tam giác ABC có đường cao AH M điểm nằm B C, gọi E F hình chiếu M AB AC N trung điểm AM

a)Tứ giác HENF hình gì? Chứng minh

b) Gọi I trực tâm tam giác ABC Chứng minh đường thẳng MI, NH, EF đồng quy

Câu 5:

SABCD = S Chứng minh rằng: S1.S2 ≤ 16

1

S2.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM NĂM HỌC 2010 – 2011 Câu 1: (2,5 đ)

a) x2y2 + + (x2 – y)(1 – y) = (x2 + 1)(y2 – y + 1) ≠ , với x,y (x2 + y)(y +

4

) + x2y2 + y +

4

= (x2 + 1)(y2 + y +

4

) Rút gọn A =

1

2

 

 

y y

y y

Chứng tỏ A không phụ thuộc x

b) A =

4 ) (

) (

2

  



y y

, với y Dấu “ =” xảy  y = -1/2

Vây GTNN A y = -1/2

Vì a, b hai số phương liên tiếp nên giả sử a < b, ta có: a = (2k – 1)2 ;

b = (2k + 1)2 với k Z;k  0

ab – a – b + = (a – 1)(b – 1) = 16k2(k – 1)(k + 1) Vì k(k + 1)(k – 1) chia hết cho với k thuộc Z k2(k + 1)(k – 1) chia hết cho , với k thuộc Z Kết hợp với (3,4) =

nên ab – a – b + chia hết cho 16.12 = 192 (đpcm) b) (1 đ)

(y + 1)2 ≥ 4y

(x +1)2 ≥ 4x , với x,y

 y(y + 1)2 + x(x + 1)2 ≥ 4(x2 + y2) ≥ 8xy Đẳng thức xảy x = y =

Vậy cặp số nguyên dương tìm x = y =

Câu 3: (1,5 đ)

a) (1 đ)

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (0,5 đ)

Vì x,y,z khác 1110 xyyzzx0 z

y x

 x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2

Lại có: x + y + z =  x3 + y3 + z3 = 3xyz

Suy ra: 

            3 3 3 3 3 3 3 6

6 ( ) 2( )

z y x x z z y y x z y x z y x z y x

= xyz

xyz z y x z y x   3

9 2 2 2

(Đpcm)

Câu 4: (2,5 đ) Hình vẽ (0,25 đ) (Hình vẽ ban đầu) a) (1,25 đ)

EN = HN = 21 AM   ENH cân N

EAH HNM

ENM

ENH    



Tam giác ABC tam giác nên AH

A

B C

E

phân giác góc BAC  300



EAH  ENH 600

 Tam giác ENH tam giác đều.

Chứng minh tương tự tam giác HFN tam giác

 HE = EN = NF = HF

 HENF hình thoi. b) (1 đ)

Gọi O giao điểm EF HN, K trung điểm AI

Có NK đường trung bình tam giác AMI

 MI//NK (1)

Tam giác ABC tam giác nên trực tâm I

là trọng tâm tam giác nên I trung điểm HK  OI//NK (2)

Từ (1) (2)  M,O,I thẳng hàng  (đpcm)

Câu : (1 đ)

Qua M vẽ EF  AB ( E thuộc AB; F thuộc CD)

 EF  CD

Có S1 + S2 = 2

1

ME AB + 12 MF CD = =

2

AB.EF =

2

S 4S1S2 ≤ (S1 + S2)2 Suy ra: S1.S2 

16

S2.

A E B