Chứng minh rằng : PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ... Bài tập tự luyện:.[r]
(1)Trong q trình học tập, tơi cảm thấy lượng giác phương pháp hay việc giải nhiều toán số học, sau ví dụ vậy.
I-Một số cách chuyển toán qua lượng giác:
1/ Nếu biến x tham gia toán có điều kiện x k k 0, ta đặt x kc os , 0,
sin , ;
2 2 x k
.
2/ Nếu x , đặt x tan , 2 2;
.
3/ Nếu hai biến tham gia toán có ràng buộc:
2 2 2 , , 0
a x b y c a b c
ta đặt : sin , os , 0,2
c c
x y c
a b
4/ Nếu ba biến x, y, z tham gia tốn có ràng buộc x y z xyz xy yz zx 1 đặt
tan , tan , tan
x y z với , , 2 2;
.
5/ Một số biểu thức thường gặp khác:
Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị biến
2
x a x a tan 2 2;
2
a x
os sin x ac x a
0,
a
; 2 2
2
x a
os a x
c
0, ,3
2 2
1 x y
xy
1
x y xy
tan tan x y
, ,
2 2
II-Ứng dụng phương pháp:
1. Chứng minh hệ thức đại số: Bài toán 1:(Đại học Dược Hà Nội 1995)
Cho x, y, z > thoả mãn xy yz zx 1, tính giá trị biểut thức: 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
1 1
y z z x x y
M x y z
x y z
Giải: Đặt
tan , tan , tan , , , 0;
2 x y z
Theo giả thiết ta có tan tan tan tan tan tan 1
2
Ta có
2 2 2
2 2
1 1 tan tan os sin
tan tan
1 tan os os os cos
y z c
x
x c c c
os os os sin sin
1 tan tan
os os os os
c c c
yz
c c c c
Tương tự cho hai biểu thức lại, ta được:
(1 ) (1 ) (1 ) ( ) 2
M yz zx xy xy yz zx
(2) 2 2 2 2
1 1
1 1
bc a ca b ab c abc a b c
Giải: Đ ặt a tan ,b tan ,c tan , , 0;2
Từ giả thiết ta có :
tan tan tan tan tan tan
2
Ta có:
2
2
1
cot cot os
1 tan tan tan c
bc a
Tương tự cho biểu thức lại, ta vế trái
2
cot cot cot tan os tan os tan os cot cot cot sin sin sin 2
c c c
1
cot cot cot os cos cos
2 c
(Vì 222)
2 2
2 cot ot cot cos cos cos
c
abc a b c
(đpcm)
Một số tập tự luyện:
Bài 1: Cho xy + yz + zx = Chứng minh : a)
1 1 1 4
x y y z z x
x y y z z x
b)
2 2 2
3
x y z xyz x y z y z x z x y
Bài 2: Cho x y z, , 0, x2y2z22xyz1 Chứng minh rằng:
2 2 2
1xyz x 1 y 1 x y 1 x 1 z z 1 x 1 y
Bài 3: Cho x y z xy yz zx 1 xyz xyz, 0. Chứng minh : 2 2 2
2 2 1 1 1
1 1
4
x y z
x y z
x y z xyz
Bài 4: Cho
1 1 .1 .1 ( , , 1)
1 1 1
x y z x y z x y z
x y z x y z
Chứng minh :
1/ 2 2
2 1
(1)
1
x y xy z
z x y 2/ 2 2 2 (2) 1
xy x y z
z x y
Bài 5: Cho x, y, z > thoả mãn x y z xy yz zx 1 xyz Chứng minh
2 2 2
ym
1+y 1
0
s
z y z
yz
2. Bất đằng thức, giá trị lớn nhỏ nhất.
Bài toán 1:(Đại học kiến trúc TP.HCM 1993). Chứng minh x 1 n số tự nhiên lớn ta có: 1 1 2 (1)
n n n
x x
Giải: Vì x 1 nên ta đặt x c ost , t0;, (1) 1 ost 1 ost 2
n n n
c c
Ta có :
2n
1 ost ost os sin
2
n n n t n t
c c c
Vì ta có
t
0 sin os
2 2
t t
c
nên
2n 2
os os ; sin sin
2 2
n
t t t t
c c
2n 2
2 os sin os sin
2 2
nc t n t nc t t n
đpcm
(3)
2 2 3 2 3 4 3 3 3 2
x y xy x y
Giải: Ta có:
2
2 2 4 4 0 1 1 1
x y x y x y
Đặt x 1 sin , y 2cos , 0;2 x 1 sin , y 2 cos
2 2 3 2 3 4 3 3 2sin 2
6
A x y xy x y
Suy A 2 (đpcm)
Bài toán 3: Cho
*
0ai1,i1, 2, ,n n Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 2n
n n
a a a a a a
Giải: Đặt tan 2 i
i i
a
, cosi0 i1,n nên hiển nhiên ta có:
1cos1 1cos2 1 cosn 1 cos os1c 2 osc n (1)
Thay
2 i
2 1 tan
2 os
1 tan 2
i
i
c
thay vào (1) ta có
2
2
1
1 1
1 1
1 1
n n
i i
i i i i
a a
a a
Hay
2
1
1 1 2
n n
n
i i
i i
a a
(đpcm) Đẳng thức xảy a1 a2 an 1.
Bài tốn 4: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức:
P= 2(6 xy+x
2
) 1+2y2+2 xy với x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn hệ thức x2
+y2=1
(Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B)
Giải: Hệ thức x2
+y2=1 giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác: sin2u
+cos2u=1 Vì vậy, ta đặt: x = sinu, y = cosu
Dưới hình thức lượng giác, ta có:
P= 2(6 sinucosu+sin
2
u)
1+2 cos2u+2sinucosu
P=6 sin 2u −cos 2u+1
sin 2u+cos 2u+2 (*)
Để tìm miền giá trị P, ta biến đổi (*) thành:
(P – 6)sin2u + (P + 1)cos2u = – 2P (**) Điều kiện có nghiệm phương trình (**) là:
(P−6)2+(P+1)2≥(1−2P)2 ⇔2P2+6P−36≤0
⇔−6≤ P ≤3
Vậy, giá trị lớn nhất P 3, giá trị nhỏ nhất P – Bài tốn 5: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức:
(4)với x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn hệ thức: 36x2
+16y2=9 Giải:
Biến đổi 36x2
+16y2=9 dạng: (6x
3 )
2
+(4y
3 )
2
=1
Ta nghĩ đến việt đặt:
¿
6x
3 =cosu 4 y
3 =sinu
⇒
¿x=1
2cosu y=3
4sinu
¿{
¿
Khi đó, dạng lượng giác thì: P = 3
4sinu−cosu+5
Sử dụng bất đẳng thức: −√a2
+b2≤ asinu+bcosu ≤√a2+b2 Ta suy ra: maxP = 5+√
16+1= 25
4 minP = 5−√ 9
16+1= 55
4
Bài tốn 6: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất hàm số:
P=3y
2
−4 xy x2+y2
Giải: Biến đổi hàm P dạng:
P=3( y √x2
+y2)
2
−4( x
√x2
+y2).(
y
√x2
+y2) chú ý rằng: ¿2 sin2u −3
2cos 2u+ 3
2 nên ta đặt:
sinu= y √x2+y2
,cosu= x
√x2+y2 Lúc đó, hàm số P hình thức lượng giác là:
P = sin2u – sinu.cosu
¿2 sin2u −3
2cos 2u+ 3 2
Áp dụng bất đẳng thức: −√a2
+b2≤ asinu+bcosu ≤√a2+b2 Ta được: maxP =
minP = -1
(5)Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:
P= x √1− x+
y
√1− y Giải: Với x, y > x + y = nên ta đặt:
¿
x=sin2u
y=cos2u
¿{
¿
(0<u<π
2)
Lúc đó, P = sin
2
u cosu +
cos2u sinu =
sin3u+cos3u
sinucosu
Đặt t = sinu.cosu = √2sin(u+π
4),1≤t ≤√2 thí P=f(t)=− t
3−3t
t2−1 f '(t)=− t
4
+3 (t2−1)2<0
Nên f(t) nghịch biến [1;√2] Vậy: minP=f(√2)=√2
Bài tốn 7: Tìm a b cho hàm số:
y=ax+b
x2
+1 đạt giá trị lớn nhất 4, giá trị nhỏ nhất -1
Giải: Do hàm số y xác định với x có mặt đại lượng + x2 ta lượng gíac hóa cách đặt: x = tan α
Khi đó, hàm số y trở thành:
y=atanα+b
1+tan2α =asinαcosα+bcos
2
α y=a
2sin 2α+ b
2cos 2α+ b 2
Áp dụng công thức:
−√a2+b2≤ asinu+bcosu ≤√a2+b2 Ta được: ymax=
b 2+
1 2√a
2
+b2
ymin=b
2− 1 2√a
2
+b2
(6)b 2+
1 2√a
2
+b2=4
¿
b 2−
1 2√a
2
+b2=−1
¿
⇔
¿a=4
b=3
∨
¿a−4
b=3
¿{
¿ ¿¿
¿
¿
Bài toán 8: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = xyz x, y, z √3
3
Tính : P = 3x − x
3
1−3x2+
3y − y3 1−3y2+
3z − z3 1−3z2−
3x − x3 1−3x2.
3y − y3 1−3y2 .
3z − z3 1−3z2
Giải: Cấu tạo đại lượng, thành phần tham gia biểu thức cần tính giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:
3 tana −tan3a
1−3 tan2a =tan 3a (1)
Vì ta đặt: x = tana, y = tanb, z = tanc Khi đó: P trở thành:
P = tan3a + tan3b + tan3c – tan3a tan3b tan3c Mặt khác, ta có:
tan(a+b+c)=tana+tanb+tanc −tanatanbtanc
1−tanatanb −tanbtanc −tanctana (2)
Theo công thức lượng giác ta có
tana.tanb.tanc = tana + tanb + tanc Từ (2), ta suy ra: tan (a + b + c) =
Từ (1), ta suy ra: tan(3a + 3b + 3c) =
và từ (2), ta suy ra: P = tan3a + tan3b + tan3c – tan3a.tan3b.tan3c =
Bài toán 9: Cho x, y hai số thực thay đởi Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất hàm số:
P=(x+y)(1−xy) (1+x2)(1+y2)
Giải: Từ điều kiện x, y R có mặt biểu thức: 1+ x2 1+ y2 , ta đặt:
¿
x=tanu
y=tanv
¿{
¿
(7)= sin(u+v)
cosucosv .(1−
sinusinv cosucosv) cos
2
ucos2v
= sin(u + v) cos(u + v)
= 1
2sin(2u+2v)
Suy ra: maxP = 1
2 minP = -1 2
Bài toán 10: Cho a, b, c ba số dương thay đổi thỏa điều kiện: abc + a + c = b Tìm giá trị lớn nhất biểu thức
P= 2
1+a2−
2 1+b2+
3 1+c2
Giải: Chúng ta lại gặp biểu thức dạng: + x2, qua ta nghĩ đến việc viết lại giả thiết thành:
b= a+c
1−ac
(giống hình thức cơng thức: tan(x+y)=tanx+tany
1−tanx tany )
Cho nên ta đặt: a = tanx, c = tany (0<x , y<π
2) b = tan(x + y) ta được: P= 2
1+tan2x−
2
1+tan2(x+y)+
3 1+tan2y
¿2 cos2x −2 cos2(x+y)+3 cos2y = cos2x – cos(2x + 2y) + 3cos2y = 2sin(2x + y).siny + – 3sin2y
= −3 sin2y+2 sin(2x+y)siny −1
3sin
2
(2x+y)+3+1
3sin
2
(2x+y)
= −(√3siny − 1
√3sin(2x+y))
2
+3+1
3sin
2
(2x+y) 3+1
3= 10
3
Dấu đẳng thức xảy chỉ khi:
¿
√3 siny − 1
√3sin(2x+y)=0 sin(2x+y)=1
⇔
¿sin(2x+y)=1
siny=1
3
¿{
(8)⇔
¿
x=π
4 − 1 2arcsin
1 3+kπ y=arcsin1
3
(k∈Z)
¿{
¿
Vậy giá trị lớn nhất P là: 10
3
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng minh với x y z, , , ta có:
2 2 2
1 1 1
x y x z z y
x y x z z y
Bài 2: Cho a b c, , thoả mãn
0 , ,
1
a b c ab bc ca
, Tìm Min biểu thức : 1 1 1
a b c
S
a b c
Bài 3:
a) Cho x,y,z thoả x2y2z2 1 Tìm Max A xy yz 2zx
b) Cho a, b, c thoả mãn a29b29c2 6 k2 (k số dương) Tìm giá trị lớn nhất biểu thức
1 9
B ab ac bc.
Bài 4:(Vietnam MO 1998). Xét số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc a c b Tìm giá trị lớn nhất biểu thức 2
2
1 1
P
a b c
.
Bài 5: Cho 13 số thực a a1, 2, ,a13 khác đôi Chứng minh tồn hai số a aj, k 1j k, 13
sao cho :
2
0
1
j k i k
a a a a
.
Bài 6: Cho bốn số thực dương CMR: tồn hai số x, y cho: 2
x y x y xy
.
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất hàm số: u= 2(xy+y
2
)
1+2x2+2 xy với diều kiện x
2
+y2=1
Bài 8:Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức: P = 2(x3 + y3) – 3xy
với x, y hai số thực thỏa mãn diều kiện x2
+y2=1
(Đề tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D – 2008)
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức: P = x√1+y+y√1+x
với x, y hai số thực thỏa mãn diều kiện x2+y2=1
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức: P = x√9− y2
+y√9− x2
Bài 11: Cho x, y hai số thực khơng âm thay đởi Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức:
P=(x − y)(1−xy) (1+x)2(1+y)2
(Đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2008)
Bài 12: Cho x, y hai số thực thay đởi Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất hàm số: P=(x
2
(9)Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất hàm số: y= 1+x
4
(1+x2)2
Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất biểu thức: P = x + u, biết x, y, u, v thỏa mãn điều kiện:
¿
x2+y2=3
u2+v2=25
xv+yu≥5√3
¿{ {
¿
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987)
3. Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình: Bài tốn 1: Giải phương trình sau:
2
2
32x x 2x 1
x
ở khoảng (0;1)
Giải: Với x0;1, đặt x c ost, t 0; 2
Khi ta có phương trình:
2
2 1
32 ost cos t -1 os 1 1 ost
c c t
c
2 2 2
32 os sin os 2c t t c t 1 cost
2 2
8sin os 2t c t 1 cost 2sin 4t 1 cost 1-cos8t =1-cost
2
os8t cost 8t
2
t k
c t k k
t k
Kết hợp với 0 t 2
, ta
2
; ;
7 9
t t t
Vậy nghiệm phương trình :
2
os , os , os
7 9
x c x c x c
Bài tốn 2:(Vơ định q́c gia 1984). Giải phương trình
3
2
1 1x 1x 1 x 2 1 x (1)
Giải: ĐK:
1
1
1
x
x x
.
Đặt x c ost, 0 t ,
3
(1) sin t 1cost 1 cost 2 sint
3
2
t
os sin os sin 2 sin
2 2
t
os sin os sin os sin 2 sin
2 2 2
1
os sin sin 2 sin ost +sint sin
2 2
2
2 ost = cost =
t t t
c c t
t t t t t
c c c t
t t
c t t c t
c x
2 .
Vậy phương trình cho có nghiệm nhất
2 2 x
Bài tốn 3: Giải phương trình 3 2 1
x x
(*)
Giải: Nhận xét 1 1 1,
3 2 x 1 x ; 1 x 1 x
Đặt 1 0 x
t t
Khi ta có phương trình:
2
4
2
t t t
t
(10)
3 1
4 os os os3
2 2
t t c c c k k
Vì
5
0; ; ;
9 9
pt (1) có nghiệm
5
os ; os ; os
9 9
t c c c
.
Khi nghiệm pt (*) 2
5
log os ;log os ;log os
9 9
x c c c
.
Một số tập tự luyện:
Bài 1: (Đề thi Olympic 30-4-1994). Giải phương trình :
2
1 1
2 x x a a a a
Bài 2:(Đề thi Olympic 30-4-2000). Định m để phương trình sau có nghiệm: 4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0
Bài 3:(Thi HSG trường PTNK-ĐHQGTPHCM 2000) Giải phương trình:
2
2x 1 x2x 1 x 1
Bài 4:(IMO 1976) Cho f x( )x2 2 Đặt f x2 f f x ; f xn f f n1 x . Chứng minh pt : f xn 0 có đúng 2n nghiệm phân biệt.
Bài 5:(Đề nghị Olympic 30-4-2000, tinh Tiền Giang). Giải phương trình:
3
3
3
3
x x y x
y y z y
z z x z
.
Bài 6:(Đề dự tuyển IMO 1995, Hoa Kì) Cho số thực dương a, b, c, tìm số x, y, z cho :
2 2
4
x y z a b c
xyz a x b y c z abc
Bài 7: Giải hệ phương trình:
1 1
3
1
x y z
x y z
xy yz zx
.
4. Tính giới hạn dãy số
Bài toán 1:(Đề nghị Olympic 30-4-2000, tỉnh Đồng Tháp) Cho dãy số xác định sau: x0 2 , xn1 2xn , n . Tìm nlim xn
Giải: Ta có 1
2 os ; 2 os os
4
x c x x c c
, quy nạp ta chứng minh rằng
n+2
2 os
n
x c
Khi nlim xn nlim osc 2n+2 os0 2c
.
Bài toán 2: Cho dãy số {un} :
1
2
2 , , 1, 2,
1
n n
n
u
u u n
u
Tính u2010. Giải: Đặt u1 tan , 0;2
, chú ý 2 tan8
Khi
2
tan tan tan
8 tan tan
8 u , tan tan
8 tan 2.
8
1 tan tan
8 u
Bằng quy nạp ta chứng minh un tan n 18 , n
.
Vậy nên
2010
tan tan 2 2 1
8
tan 2009 tan
8 1 tan tan 2
(11)Bài 1: Cho hai dãy số {un} {vn} xác định sau:
0
2
0
2, 2 1 1
2 , 1 1, n n n n v
u u u
n v v v v CMR: 2
2n 2n
n n
u v
.
Bài 2:(Vietnam MO 1989). Cho dãy {xn}, n, x 1
1
3
n n n
x x x
a) Cần có thêm điều kiện x1 để dãy {xn} gồm toàn số dương.
b) Dãy số có tuần hồn hay khơng? Vì sao?
Bài 3: Cho dãy số xác định bởi:
2
1
, 1, 2,
1
2
n n
u
n
u u
Chứng minh tồn nhất số A cho sãy số {vn} :
, . n n u v n A
5. Ứng dụng tốn tích phân:
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
, 2
f x a x dx
x a sint ;
2
t
, 2
f x x a dx
xcosta 0; ;3
2
t
, 2
f x x a dx
xatant 0;
2 t
, a x
f x dx
a x
x ac os2t 0;
2
t
, f x x a x b dx
x a b a sin2t 0;
2 t
Bài thí dụ: Tính 1 1 x I dx x
Giải: Đặt x c ostdx = -sintdt , đổi cận
1
0 ,
2
x t x t
2
3 2
2
2 3
2 os
1 ost 2 t
sin 2sin os os ost
1 ost 2sin 2
2
t c
c t t
I tdt c dt c c
t c / / 3 sin
t t
(12)Nguyễn Sanh Thành