Đang tải... (xem toàn văn)
Trên đây là hướng dẫn chấm, tổ giám khảo thống nhất điểm từng phần, nếu học sinh giải theocách khác các giám khảo thống nhất để chấm..[r]
(1)SỞ GD-ĐT BÌNH PHƯỚC ĐÁP ÁN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MƠN TỐN (THPT) NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1.(5điểm)
a.Giám khảo tự vẽ (2đ)
b.(2 điểm)Hàm số 3
2
y x mx m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thảng y = x
, 3 3 3 ( )
y x m x x m => y,= xx m0 , y
, đổi dấu qua nghiệm m0 Suy để hàm số có CĐ,CT điều kiện cần đủ m0
Nếu m > hàm số có cực đại x = ymax =
2m , CT x = m ymin=0 Nếu m < hàm số có cực đại x = m ymax = 0, CT x = ymin=1
2m
Gọi A,B điểm cực trị hàm số Để A,B đối xứng qua y = x điều kiên cần đủ OA OB
=> m =
2m (m 0) m =
2 (1 điểm)Tìm tất gía trị a, b để phương trình 22
2
x ax b m bx ax
có hai nghiệm phân biệt với m
PT tương đương với hệ :
2
2
2 ( 1)(1)
2 0(2)
x ax b m bx ax bx ax
(1) (bm-1)x2 -2a(m-1)x +m –b = PT có hai nghiệm PB ,
1 0(3) 0, (4) bm
m
Từ (3) m b =
Từ (4) => , a m2 (1 )a m a2 0 m
điều xẩy khi:
2
0 1
2
1
m
a
a a
Với b =
a Từ điều kiện (2) ta có -2ax + 0 x
2a Bằng phép thử trực tiếp ta thấy x =
2a nghiệm phương trình (1) Vậy giá trị phải tìm b = ,
2 a
Câu 2: (4điểm)
1 Cho phương trình : 2cos 2x sin2 xcosx sin cosx 2x m(sinx cox)
, m tham số
a : Giải phương trình m =
a : Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0;
2
2cos 2xsin xcosxsin cosx x m (sinx cox )< = > (sinx cox ) 2(cos x sin ) sin cosx x x m 0
(2)sin cos
2(cos sin ) sin cos
x x
x x x x
< = >
3
; ;
4
x k x k x k b: (1 điểm) Để phương trình có nghiệm thuộc 0;
2
vì sinx + cosx = khơng có nghiệm thuộc 0;
nên 2(cosx sin ) sin cosx x x m 0(*) phải có nghiệm thuộc 0;
2
Đặt t = sinx – cosx x 0;
2
nên t = cos(x 4)
có tmin = t(
) = - 1, tmax = t(0) = (*)< = > 2
2t t m
để có nghiệm t 1;1 m phải thuộc tập giá trị hàm số
2
1
( ) , 1;1
2
f t t t t ; f t,( ) t 0, t 1;1
=> fmin = f(-1) = -2 , fmax = f(1) = => 2m2
2(1đ). Giải Bất phương trình : x2 4x 3 2x2 3x 1 x 1
< = > (x1)(x 3) (x1)(2x1) x Thử trực tiếp có x = nghiệm
Với x x3 ì x-1 0th bpt < => (x 3) (2x1) x1 < = > 2x 1 (x1)(2x1 => VN
Với x
bpt < = > 3 x 1 2 x 1 x < = > (3 x)(1 x)3 ln Vậy nghiệm bất phương trình cho x = ,
2 x
Câu 3.(3điểm) Giải hệ phương trình :
2
3 3
1 19
y xy x
x y x
< = >
2
3
6
19 y y
x x
y x
< = >
( )
1
( ) ( ) 19
y y x x
y
y y
x x x
đặt y u;y v x x
< =>
3 19 u v
u uv
< = > u = 1; v = - =>
1 y x y x
< = >
1
2
1
;
3
;
2
x y
x y
Câu (5 điểm)
(3)1.Chứng minh tam giác MNP tam giác Tính diện tích tam giác MNP theo a x Tìm x để diện tích nhỏ
2 x = a
hãy tính diện tích khối tứ diện B,MNP tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
1.(3đ). Ta có MN2 =MC2 + NC2 = MB2 + BC2 + NC2= 2a2 + 2x2 – 2ax => MN = 2 a2 x2 ax
Tương tự ta có MP= PN = MN => tam giác MNP Diện tích tam giác MNP SMNP =
2MN MN =
2
( )
2 a x ax SMNP = 3( ( )2 )
2 2
a a
a a đạt a
x ( hoành độ đỉnh parabol) 2.(2đ).Gọi H hình chiếu B, trên mp(MNP), suy H tâm tam giác MNP MNP đều,B,M = B,N = B,P = 2
4
a a
a
Từ B,H = , 2
2 a B N NH Vậy VB,MNP =
2
,
1 3 3
3 MNP 16
a a a
B H S
Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp B,MNP, suy O thuộc B,H OB, bán kính mặt cầu Ta có O cịn nằm đường thẳng trung trực B,N( xét mặt phẳng B,HN).
Hai tam giác vuông B,HN B,KO đồng dạng nên:
, , , ,
,
, , ,
5
2 4
12
2
a a
B O B K B N B K a
OB
B N B H B H a Câu (3 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức
1
2 1
( )
1 ( 1)
n n
n n
x x x
x n x
x số thực dương, x
1
n số nguyên dương
1
1 1
1
2 1
( ) ( ) (1 ) 2
1 2
n n
n n n n n
n
x x x x
x x x
x
( điểm)
Chứng minh (1 ) 1
2 ( 1)
n n
x x
n x
qui nạp (3 điểm) Với n = 1=> VT = VP = n = = > VT =VP =
2 x
Giả sử BĐT với n =1, 2,…, n tức (1 ) 1
2 ( 1)
n n
x x
n x
ta CM bđt với n +1 tức
1
( )
2 ( 1)( 1)
n n
x x
n x
1
1 1 1
( )
2 2 ( 1)
n n
n
x x x x x
n x
Ta CM
1
1 1
2 ( 1) ( 1)( 1)
n n n n
x x x x x x x
n x n x n n
(4) (n + 1)(1+ x)(xn-1+ …+x+1) 2n(xn + …+x+1)
(n + 1)((xn + …+x+1) + (xn-1 + …+x)) 2n(xn + …+x+1)
(n + 1)(xn-1 + …+x) (n - 1)(xn + …+x + 1) 2(xn-1 + …+x) ( n – 1) (xn + )
Ta có ( n – 1) (xn + ) - 2(xn-1 + …+x) =
1
( 1)( 1)
n
i n i
i
x x
=>
=> đpcm với n3 dấu đẳng thức xẫy x =1