Trên đây là hướng dẫn chấm, tổ giám khảo thống nhất điểm từng phần, nếu học sinh giải theocách khác các giám khảo thống nhất để chấm..[r]
(1)SỞ GD-ĐT BÌNH PHƯỚC ĐÁP ÁN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MƠN TỐN (THPT) NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1.(5điểm)
a.Giám khảo tự vẽ (2đ)
b.(2 điểm)Hàm số 3
2
y x mx m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thảng y = x
, 3 3 3 ( )
y x m x x m => y,= xx m0 , y
, đổi dấu qua nghiệm m0 Suy để hàm số có CĐ,CT điều kiện cần đủ m0
Nếu m > hàm số có cực đại x = ymax =
2m , CT x = m ymin=0 Nếu m < hàm số có cực đại x = m ymax = 0, CT x = ymin=1
2m
Gọi A,B điểm cực trị hàm số Để A,B đối xứng qua y = x điều kiên cần đủ OA OB
=> m =
2m (m 0) m =
2 (1 điểm)Tìm tất gía trị a, b để phương trình 22
2
x ax b m bx ax
có hai nghiệm phân biệt với m
PT tương đương với hệ :
2
2
2 ( 1)(1)
2 0(2)
x ax b m bx ax bx ax
(1) (bm-1)x2 -2a(m-1)x +m –b = PT có hai nghiệm PB ,
1 0(3) 0, (4) bm
m
Từ (3) m b =
Từ (4) => , a m2 (1 )a m a2 0 m
điều xẩy khi:
2
0 1
2
1
m
a
a a
Với b =
a Từ điều kiện (2) ta có -2ax + 0 x
2a Bằng phép thử trực tiếp ta thấy x =
2a nghiệm phương trình (1) Vậy giá trị phải tìm b = ,
2 a
Câu 2: (4điểm)
1 Cho phương trình : 2cos 2x sin2 xcosx sin cosx 2x m(sinx cox)
, m tham số
a : Giải phương trình m =
a : Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0;
2
2cos 2xsin xcosxsin cosx x m (sinx cox )< = > (sinx cox ) 2(cos x sin ) sin cosx x x m 0
(2)sin cos
2(cos sin ) sin cos
x x
x x x x
< = >
3
; ;
4
x k x k x k b: (1 điểm) Để phương trình có nghiệm thuộc 0;
2
vì sinx + cosx = khơng có nghiệm thuộc 0;
nên 2(cosx sin ) sin cosx x x m 0(*) phải có nghiệm thuộc 0;
2
Đặt t = sinx – cosx x 0;
2
nên t = cos(x 4)
có tmin = t(
) = - 1, tmax = t(0) = (*)< = > 2
2t t m
để có nghiệm t 1;1 m phải thuộc tập giá trị hàm số
2
1
( ) , 1;1
2
f t t t t ; f t,( ) t 0, t 1;1
=> fmin = f(-1) = -2 , fmax = f(1) = => 2m2
2(1đ). Giải Bất phương trình : x2 4x 3 2x2 3x 1 x 1
< = > (x1)(x 3) (x1)(2x1) x Thử trực tiếp có x = nghiệm
Với x x3 ì x-1 0th bpt < => (x 3) (2x1) x1 < = > 2x 1 (x1)(2x1 => VN
Với x
bpt < = > 3 x 1 2 x 1 x < = > (3 x)(1 x)3 ln Vậy nghiệm bất phương trình cho x = ,
2 x
Câu 3.(3điểm) Giải hệ phương trình :
2
3 3
1 19
y xy x
x y x
< = >
2
3
6
19 y y
x x
y x
< = >
( )
1
( ) ( ) 19
y y x x
y
y y
x x x
đặt y u;y v x x
< =>
3 19 u v
u uv
< = > u = 1; v = - =>
1 y x y x
< = >
1
2
1
;
3
;
2
x y
x y
Câu (5 điểm)
(3)1.Chứng minh tam giác MNP tam giác Tính diện tích tam giác MNP theo a x Tìm x để diện tích nhỏ
2 x = a
hãy tính diện tích khối tứ diện B,MNP tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
1.(3đ). Ta có MN2 =MC2 + NC2 = MB2 + BC2 + NC2= 2a2 + 2x2 – 2ax => MN = 2 a2 x2 ax
Tương tự ta có MP= PN = MN => tam giác MNP Diện tích tam giác MNP SMNP =
2MN MN =
2
( )
2 a x ax SMNP = 3( ( )2 )
2 2
a a
a a đạt a
x ( hoành độ đỉnh parabol) 2.(2đ).Gọi H hình chiếu B, trên mp(MNP), suy H tâm tam giác MNP MNP đều,B,M = B,N = B,P = 2
4
a a
a
Từ B,H = , 2
2 a B N NH Vậy VB,MNP =
2
,
1 3 3
3 MNP 16
a a a
B H S
Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp B,MNP, suy O thuộc B,H OB, bán kính mặt cầu Ta có O cịn nằm đường thẳng trung trực B,N( xét mặt phẳng B,HN).
Hai tam giác vuông B,HN B,KO đồng dạng nên:
, , , ,
,
, , ,
5
2 4
12
2
a a
B O B K B N B K a
OB
B N B H B H a Câu (3 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức
1
2 1
( )
1 ( 1)
n n
n n
x x x
x n x
x số thực dương, x
1
n số nguyên dương
1
1 1
1
2 1
( ) ( ) (1 ) 2
1 2
n n
n n n n n
n
x x x x
x x x
x
( điểm)
Chứng minh (1 ) 1
2 ( 1)
n n
x x
n x
qui nạp (3 điểm) Với n = 1=> VT = VP = n = = > VT =VP =
2 x
Giả sử BĐT với n =1, 2,…, n tức (1 ) 1
2 ( 1)
n n
x x
n x
ta CM bđt với n +1 tức
1
( )
2 ( 1)( 1)
n n
x x
n x
1
1 1 1
( )
2 2 ( 1)
n n
n
x x x x x
n x
Ta CM
1
1 1
2 ( 1) ( 1)( 1)
n n n n
x x x x x x x
n x n x n n
(4) (n + 1)(1+ x)(xn-1+ …+x+1) 2n(xn + …+x+1)
(n + 1)((xn + …+x+1) + (xn-1 + …+x)) 2n(xn + …+x+1)
(n + 1)(xn-1 + …+x) (n - 1)(xn + …+x + 1) 2(xn-1 + …+x) ( n – 1) (xn + )
Ta có ( n – 1) (xn + ) - 2(xn-1 + …+x) =
1
( 1)( 1)
n
i n i
i
x x
=>
=> đpcm với n3 dấu đẳng thức xẫy x =1