De thi chon doi tuyen du thi tinh vong 1

- Nếu Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm bằng trong hướng dẫn chấm.. Tính độ dài đoạn thẳng AI[r]

UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN

PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LẦN I NĂM HỌC 2010 -2011

Mơn:Tốn 9

Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề )

Câu I ( 3,5 điểm)

1 Rút gọn biểu thức:

3

1

2

3

1 1

2

P

 

 

   

2 So sánh: 1006 2011 1006 2011 và 4022 Câu II (5 điểm)

1 Giải phương trình sau:

a) 2 (3x 2)(x2 x 1) x2 2x 1

     

b)  x 4 x1 1  x25x 4  3 Cho hàm số y = f(x) = (x3 + 6x – 5) 2010.

Tính f(x0) với x0 = 33 17 33 17

Câu III (5,5 điểm)

1 Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + số phương.

2 Tìm x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ ?

2030 2

M    x y z  x  y  z

3 Cho số thực dương x; y thỏa mãn: x + y = Chứng minh rằng: x2y2(x2 + y2)

 128

Câu IV (6 điểm)

1 Cho tam giác ABC vuông A, vẽ đường cao AH trung tuyến AM (H, M

BC) Từ H kẻ HK, HM vng góc với AB AC.(KAB; N AC).

a) Chứng minh BAH CAM .

b) Chứng minh AM KN I

c) Cho BH = 4,5 cm; HC = cm Tính độ dài đoạn thẳng AI

2 Cho tam giác nhọn ABC có diện tích cm2 Vẽ đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: SAEF SBFD SCED cos2A c os2B c os2C

Hết

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm. Họ tên thí sinh: ; SBD:

0

UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN

PHÒNG GD & ĐT KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNHNăm học 2010 – 2011

Hướng dẫn chấm Biểu điểm Mơn Tốn

(Gồm 03 trang) Hướng dẫn chung:

- Chiết điểm đến 0,25 đ khơng làm trịn thêm.

- Nếu Thí sinh làm cách khác cho điểm hướng dẫn chấm. - Nếu thiếu bước kết cho điểm phần kết quả.

- Hình vẽ sai không cho điểm.

Câu Ý Nội dung Điểm

C

âu

I

1

3 3

1

2 2

3 3

1 1 1

2 2

2 3 3

2 2

1 3

4 1 1

1 2 2

4

2 3

2 3

2

3 3 3 3

2

2 3 3 3

3(3 1) 3.2

P

 

 

    

 

     

   

    

 

   

 

 

 

    

   

      

  



0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

2

So sánh: 1006 2011 1006 2011 và 4022

2.1006 2011 2.1006 2011 ó : 1006 2011 1006 2011

2 2011 2011 2011 2011

2 2011 2011

2 2011 4022

Ta c        

    

 

  

 

Vậy: 1006 2011 1006 2011  4022

0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

C

âu

I

I 1

a) 2 (3x 2)(x2 x 1) x2 2x 1

      ĐKXĐ:

3

x

2

2

2

2

x ( 1)(3x 2)

( 3x 2)

1 3x

4 ( D )

3

x x x x

x x x x

x

x x TM K

x

         

     

    

 

     

 

0,25đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ

b)  x 4 x 1 1 x2 5x 4 3

       ĐKXĐ: x1

      

      

   

   

2

2

2

4 1 5x 4

4 1 5x 4

1 5x 4

4 1 1

4 1

0

x x x x x

x x x x x x x

x x x

x x x

x

x x

x

          

             

       

       

 

       

 

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm pt x = 0

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

2

Cho hàm số y = f(x) = (x3 + 6x – 5) 2010.

Tính f(x0) với x0 = 33 17 33 17

Ta có:

 3    

3 3 3

0 17 17 17 17 3 17 17

x            x 

3

0

6 8.x 6x

    

Thay x0 vào công thức hàm số ta được:

 2010  2010 2010

0 0 0

( ) 6x 6x 6x 1

yf x  x        

0,5đ 0,25đ 0,25đ

C

âu

I

II

1

Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + số phương

Vì n2 + 2n + số phương nên đặt n2 + 2n + = k2 ( k N) Ta có: (n2 + 2n + 1) + = k2  (k + n + 1)(k – n – 1) = 7 Do k + n + > k – n – chúng nguyên dương nên :

1

1

k n k

k n n

   

 



 

   

 

Vậy n =

0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ

2

Cho số thực dương x; y thỏa mãn: x + y = Chứng minh rằng: x2y2(x2 + y2)  128 Với x, y > ta có : x2 + y2  2xy

 (x + y)2  4xy xy  4 x2y2  16 (1)

Mặt khác, x + y =  x2 + y2 = 16 – 2xy 16 – 2.4 =

hay x2 + y2 8 (2) Từ (1) (2) ta có : x2 y2(x2 + y2)  128

Dấu ‘=’ xảy x = y =

0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

3

ĐKXĐ: x1; y2; z3

     

  2  2 2

ó : 2030 2

1 4 3 2010

1 2 3 2010 2010

Tac M x y z x y z

x x y y z z

x y z

          

               

          

Vậy Mmin = 2010

Khi đó:

1 3

2

2

x x

y y

z z

    



 

   

 

  

   



(TMĐK)

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

C

âu

I

V

1 0,5đ

a

Chứng minh BAH CAM .

Vì AM trung tuyến tam giác ABC nên MA = MB = MC Suy : CAM C

Mặt khác: BAH C ( phụ với B)

Do : BAH CAM (đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

b

Chứng minh AM KN I

Xét tam giác AIN có: IAN IAK ( c/m trên)

IAK IK A ( tứ giác AKHN hình chữ nhật)

Mà IN AIK A 90  n n INê  AIAN 90

Do đó, AIN 90 hay AM KN I. (đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

c

Cho BH = 4,5 cm; HC = cm Tính độ dài đoạn thẳng AI Áp dụng hệ thức: h2 = b’.c’ cho

ABC ta có: AH  4,5.8 6 cm

Áp dụng hệ thức: 2 1

h b c cho vng AHB AHC, ta có:

2 2 2 2

1 1 1 56, 25

3,6 3,6

4,5 4,5 HK cm AN cm

HK HB HA       

2 2 2 2

1 1 1 100

4,8 4,8

8 HN cm AK cm

HN HC HA       

Lại Áp dụng hệ thức: 2 1

h b c cho tam giác vng AKN ta có:

2 2 2 2

1 1 1 36

2,88 3,6 4,8 3,6 4,8 AI cm

AI AK AN     

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

2

0,5đ

Ta có: EF EF

1/ E E 1/ D E

A A

ABC

S A FH A FH

S

S AC B AC B

 



   ( SABC 1)

Mà FH = AF.sinA ; BE = AB.sinA nên :

2 EF

E.AF.sin A E AF

cos cos os sin A

A

A A

S A A c A

AC AB AB AC

    

Tương tự ta chứng minh được: 2 D cos D cos

BF CE

S  B v S  C Vậy: SAEF SBFD SCED cos2A c os2B c os2C

0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

-