TÀI LIỆU THAM KHẢO XÁC SUẤT THỐNG KÊ .GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n c Trung TÀI LI U THAM KH O XỄC SU T TH NG KÊ GI NG VIÊN: TS NGUY N TRUNG N M H C: 2017 -2018 C TRANG CH : http://www.moon.vn/DaiHoc/TCC/ Moon.vn - H c đ kh ng đ nh Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n c Trung Ôn ế p ki n ếh c c p III: GI I TÍCH K T H P I T P H P CỄC KHỄI NI M C B N nh ngh a: Khái ni m t p h p khái ni m n n t ng cho toán h c c ng nh ng d ng c a T p h p khái ni m nguyên thu khơng đ nh ngh a xác d a khái ni m khác T p h p đ c coi k t h p đ i t ng có b n ch t (thu c tính, d u hi u ) chung T p h p th ng đ c ký hi u b ng ch A, B, C , Các ph n t c a t p h p ký hi u b ng ch th ng a, b, c, ch x ph n t c a t p h p X ta vi t : x  X (đ c : x thu c X )  ch x không ph i ph n t c a X ta vi t : x  X (đ c : x không thu c X ) T p khơng có ph n t g i t p r ng ký hi u   Bi Ề di n ế p h p: Có hai cách bi u di n t p h p nh sau (i) Li t kê ph n t : + Ví d A = { a, b, c } X = { x1, x2, , xn } (ii) Bi u di n t p h p b ng cách mơ t tính ch t : + Ví d C = { n | n s ch n } Y = { x | x nghi m ph ng trình x2 + 2x - = }  L c l ng ế p h p: S ph n t c a t p A, ký hi u |A|, g i l c l ng c a t p A N u |A| <  , ta nói A t p h u h n, n u |A| =  , ta nói A t p vơ h n Trong ch ng trình ta gi thi t t p h p h u h n  QỀan h bao hàm: Cho hai t p A, B N u m i ph n t thu c A c ng thu c B ta nói A t p c a B ký hi u A  B N u A không ph i t p c a B ta ký hi u A  B N u A  B B  A ta nói A b ng B ký hi u Moon.vn - H c đ kh ng đ nh Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n c Trung A = B N u A  B , A ≠  B ≠ A, ta nói A t p th c s c a B + Ví d (i) T p r ng  có l c l ng b ng 0, || = V i m i t p A,   A (ii) Cho đa th c P(x) Ký hi u S = {x | P(x) = 0} S t p h u h n (iii) Ký hi u N t p s t nhiên, N = {0, 1, 2, … }; Q t p s h u t ; R t p só th c Ta có N  Q  R Bây gi ta xét t p h u h n A Ký hi u t p t t c t p c a A P(A)  nh lỦ N u |A| = n , |P(A)| = 2n Ch ng minh Quy n p theo n CỄC PHÉP TOỄN T P H P Cho t p A, B, X1, X2, , Xn ( n  N ) t p c a t p “v tr ” U Ta đ nh ngh a phép toán sau + Phép hi u: Hi u c a A B, ký hi u A \ B t p: A\B = {xx A & x B} + Ph n bủ: Ph n bù c a A (trong U ) t p A = U \ A + Phép h p: H p c a A B, ký hi u A  B t p A  B = { x | x  A ho c x  B } T ng t , h p c a X1, X2, , Xn t p n X i  {x | k,1  k  n, x  X k } i 1 + Phép giao: Giao c a A B, ký hi u A  B t p AB = {xx A & x B} T ng t , giao c a X1, X2, , Xn t p Moon.vn - H c đ kh ng đ nh Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê n X i TS Nguy n c Trung  {x | k,1  k  n, x  X k } i 1 + Tích -các - Tích -các c a hai t p A, B t p A x B = { (a,b) a  A & b  B } - Tích -các c a t p X1, X2, , Xn t p X1x X2 x x Xn = { (x1, x2, , xn)  x1 X1 & x2  X2 & & xn  Xn } + Phân ho ch: - N u A  B = , ta nói A B r i - N u t p X1, X2, , Xn tho A = X1  X2   Xn chúng r i t ng đơi m t, ta nói { X1, X2, , Xn } m t phân ho ch c a t p h p A  nh lý Gi s { X1, X2, , Xn } m t phân ho ch c a t p S Khi S= X1+ X2 + + Xn  Ch ng minh Hi n nhiên  nh lý Cho t p A, B, C t p v tr U, ta có : (i) Lu t k t h p : (AB)C = A(B C) (AB)C = A(B C) (ii) Lu t giao hoán : AB = B  A AB = B A (iii) Lu t phân b : A  ( B  C ) = (A  B)  (A  C ) A  ( B  C ) = (A  B)  (A  C ) (iv) Lu t đ i ng u De Morgan: Moon.vn - H c đ kh ng đ nh Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n A B  A B n n i 1 i 1  Xi   Xi & c Trung A B  A B & n n i 1 i 1  Xi   Xi Ch ng minh (bài t p)  nh lý (v l c l ng t p h p) (i) L c l ng t p con: A  B  |A| (ii) L cl (iii) Nguyên lý bù tr Poincaré: |B| ng c a h p A  B = A+ B  A  B  n   m1  A Ai1  Ai2   Aim   1    k 1 i1  i   im  n m1  k 1  n (iv) L c l ng tích -các X1x X2 x x Xn = X1 X2  Xn  (v) L c l ng t ng đ |A| = |B| ng:  T n t i song ánh t A vào B Ch ng minh (bài t p) Moon.vn - H c đ kh ng đ nh Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n c Trung II GI I TệCH K T H P BẨI TOỄN GI I TệCH K T H P Trong th c t ta th ng g p toán sau: Cho m t t p h u h n X Các ph n t c a X đ c ch n ghép theo quy lu t Hưy tính s nhóm t o thành Ngành tốn h c nghiên c u toán lo i g i Gi i tích k t h p  Ví d : Cơng ty phát hành sách bán sách thông qua h th ng hi u sách Gi s có 12 đ u sách đ u sách ký hi u 1, 2, …, 12 Có khách hàng đ n hi u sách đ t mua, m i ng i quy n G i x1, x2, x3 l n l t quy n sách mà khách hàng th nh t, th hai, th ba đ t mua ( x1, x2, x3  {1, 2, … , 12 } ) H i có b ( x1, x2, x3 ) ? K t qu toán đ m ph thu c vào vi c giao sách: hi u sách hay công ty (i) Tr ng h p 1: Ng i giao sách hi u sách khách hàng đ t mua đ u sách khác Khi hi u sách c n bi t th t c a b ( x1, x2, x3 ) S b ( x1, x2, x3 ) s 12.11.10 = 1320 (ii) Tr ng h p 2: Ng i giao sách hi u sách khách hàng có th đ t mua đ u sách gi ng Khi hi u sách c n bi t th t c a b ( x1, x2, x3 ) x1, x2, x3 có th gi ng S b ( x1, x2, x3 ) s 123 = 1728 (iii) Tr s ng h p 3: Ng i giao sách công ty khách hàng đ t mua đ u sách khác Khi cơng ty khơng c n bi t th t c a b ( x1, x2, x3 ) S b ( x1, x2, x3 ) 12.11.10 / 1.2.3 = 1320 / = 220 (iv) Tr ng h p 4: Ng i giao sách công ty khách hàng có th đ t mua đ u sách gi ng Khi cơng ty khơng c n bi t th t c a b (x1, x2, x3 ) x1, x2, x3 có th gi ng S b ( x1, x2, x3 ) s g m tr ng h p sau: + Tr ng h p ng i đ t mua đ u sách: có 12 kh n ng + Tr ng h p ng i đ t mua đ u sách: Moon.vn - H c đ kh ng đ nh Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê ph n t ) + Tr có TS Nguy n c Trung C(12,2) = 132 kh n ng ( C(n, k) s t h p ch p k c a n ng h p ng i đ t mua đ u sách: có 220 kh n ng T ng c ng s b (x1, x2, x3 ) 12 + 132 + 220 = 364 CỄC K T H P C B N a) Nguyên lỦ nhơn: Xét tốn gi i tích k t h p t c a t p X đ c xây d ng qua k b B B B Ta gi s m i nhóm k t h p ph n c: c có n1 kh n ng c có n2 kh n ng c k có nk kh n ng Khi s nhóm k t h p n1.n2 nk b) Ch nh h p + nh ngh a: M t ch nh h p ch p k c a n ph n t m t b có th t thành ph n l y t n ph n t đư cho Các thành ph n không đ c l p l i M t ch nh h p nh sau : Ch n thành ph Ch n thành ph Ch n thành ph ch p k c a n có th đ c xây d ng qua k b g m k c k ti p nđ u : có n kh n ng n th hai : có n - kh n ng n th k : có n - k + kh n ng Nh v y, theo nguyên lý nhân, s t t c ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t A(n, k)  n(n  1) (n  k  1)  + Ví d 1: Tính s hàm đ n ánh t t p X có k ph n t Moon.vn - H c đ kh ng đ nh n! (n  k)! đ n t p Y có n ph n t Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n c Trung Gi i : M i hàm đ n ánh t X vào Y t ng ng v i m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t c a Y Nh v y s c n tìm A(n, k) = n.(n-1) (n-k+1) + Ví d 2: Quay l i ví d m c tr c Trong tr ch nh h p ch p c a 12 V y s b ng h p 1, m i b (x1, x2, x3) m t A(12, 3) = 12.11.10 = 1320 c) Ch nh h p l p + nh ngh a: M t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t m t b có th t g m k thành ph n l y t n ph n t đư cho Các thành ph n có th đ c l p l i M t ch nh h p l p ch p k c a n có th xem nh m t ph n t c a tích Xk, v i X t p n ph n t Nh v y s t t c ch nh h p l p ch p k c a n nk + Ví d 1: Tính s hàm t t p X có k ph n t đ n t p Y có n ph n t M i hàm t X vào Y t ng ng v i m t b có th t k thành ph n c a n ph n t c a Y, ph n t có th l p l i Nh v y s hàm t X vào Y nk + Ví d 2: Quay l i ví d m c tr c Trong tr ch nh h p l p ch p c a 12 V y s b ng h p 2, m i b (x1, x2, x3) m t 123 = 1728 d) Hoán v + nh ngh a : M t hoán v c a n ph n t m t cách s p x p th t ph n t Hốn v có th coi nh tr ng h p riêng c a ch nh h p không l p ch p k c a n k = n Ta có s hốn v P(n) = n! + Ví d : Có ng i x p thành hàng ngang đ ch p nh H i có th b trí ki u khác ? Gi i: M i ki u nh m t hoán v c a ng i V y s ki u nh 6! = 720 Moon.vn - H c đ kh ng đ nh Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê e) T h p + nh ngh a: M t t h thành ph n khác t h p ch p k c a n ph G i s t h p ch TS Nguy n c Trung p ch p k c a n ph n t m t b không k th t g m k l y t n ph n t đư cho Nói cách khác ta có th coi m t n t m t t p có k ph n t c a n ph n t p k c a n ph n t C(n,k) ta có : A(n,k) = C(n,k) * k! Suy C(n,k) = n! k!.(n  k)! + Ví d 1: Có n đ i bóng thi đ u vòng tròn Ph i t ch c tr n đ u bóng t t c ? Gi i : M i tr n ng v i m t t h p ch p c a n V y có C(n,2) tr n đ u + Ví d 2: Quay l i ví d m c tr c Trong tr t h p ch p c a 12 V y s b C(12, 3) = ng h p 3, m i b (x1, x2, x3) m t 12! 12.11.10   220 3!.(12  3)! 1.2.3 + H qu : Tích k s t nhiên liên ti p chia h t k! Ch ng minh Vì C(n,k) = (n-k+1).(n-k+2) n / k! s nguyên CỄC K T H P NỂNG CAO a) Hốn v l p + Ví d : Có viên bi đ , viên bi xanh viên bi tr ng H i có cách s p viên bi theo hàng ngang Ta có t t c ch tr ng đ x p viên bi Ta có C(9,3) kh n ng x p viên bi đ , C(6,2) kh n ng x p viên bi xanh, l i kh n ng x p viên bi tr ng Theo nguyên lý nhân ta có C(9,3).C(6,2) = 9! 9! 6!  3!.6! 2!.4! 3!.2!.4! cách x p + nh ngh a: Hoán v l p hốn v m i ph n t đ l p l i cho tr c Moon.vn - H c đ kh ng đ nh c n đ nh m t s l n Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n c Trung + nh lý: Gi s t p S có n ph n t , có n ph n t ki u 1, n2 ph n t ki u 2, , nk ph n t ki u k Khi s hốn v n ph n t c a S C n n1 , n2 , , nk   n! n1!.n2 ! nk ! b) T h p l p + Ví d : Gi s ta có đ u sách : Toán, Tin, Lý m i đ u sách có nh t b n photocopy H i có cách ch n quy n Gi i: Bài toán đ t ch n ph n t , không k th t cho phép l p l i M i cách ch n đ c xác đ nh nh t b i s l ng c a m i lo i sách Nh v y ta có th bi u di n m i cách ch n nh sau Tốn Tin Lý xxx | xx | x d u x ch quy n sách ch n d u | ch phân cách gi a lo i sách Nh v y m i cách ch n t ng đ ng v i t h p ch p (d u |) t ph n t Ta có s cách ch n C(8,2) = 28 + nh ngh a: T h p l p ch p k t n ph n t m t nhóm khơng phân bi t th t g m k ph n t trích t n ph n t đư cho, ph n t có th đ c l p l i + nh lý: Gi s X X có n ph n t Khi s t h p l p ch p k t n ph n t c a C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k) + Ví d : Quay l i ví d m c Trong tr h p ch p c a 12 V y s b ng h p 4, m i b (x1, x2, x3) m t t C(3 + 12 ứ 1, 3) = C(14, 3) = 14.13.12 / 1.2.3 = 364 + Ví d : Ph ng trình x1 + x2 + x3 + x4 = 10 có b nghi m nguyên không âm ? Gi i : M i b i nghi m nguyên không âm c a ph ng trình t ng ng 1-1 v i m t cách ch n 10 ph n t , ph n t ki u i l p l i x i l n, i=1,…,4 V y s b nghi m s t h p l p ch p 10 c a V y ta có s nghi m C(10 + -1 , - 1) = C(13, 3) = 286 Moon.vn - H c đ kh ng đ nh 10 Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n c Trung P(Xi = 1) = p P(Xi = 0) = ứ p Ta có E(Xi) = p & D(Xi) = p(1ứp)  i = 1, …, n ng đ Nh v y vi c l y n s n ph m t …, xn) V y theo ví d 2, x = m n xi   n n i 1 c l ng khơng ch ch c a p Theo ví d 5, m/n c ng cl  Ghi chú: m/n cl ng v i vi c l y m u có l p (x1, x2, ng v ng c a p ng hi u qu c a p + Ví d Trong m t xí nghi p, đ bi t s đ n v nguyên li u c n thi t s n xu t thành ph m ng i ta l y m u c 20: 3.0; 3.8; 3.1; 3.5; 3.5; 3.2; 3.6; 3.2; 4.0; 4.3; 3.5; 3.3; 3.6; 3.5; 3.2; 3.8 3.4; 3.0; 3.5; 4.0 G i X đ i l ng ng u nhiên ch s l ng đ n v nguyên li u c n thi t đ s n xu t thành ph m Ta c n c l ng µ = E(X) Theo ví d ví d 3, ta l y 20 x =  xi = 3.5 20 i1 làm c l ng c a µ l y s2 = làm c l ng c a 2 = D(X) T ta có th x p x ph   20 xi  x  19 i1 ng sai c a x D( x ) = 2/n  s2/n = 2 s = 0.8 V y theo công th c 3 ta đ n µ = 3.5  3*0.8 = 3.5  0.24 v i xác su t 0.889 Ta có  = c  K t qu : Moon.vn - H c đ kh ng đ nh 136 Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê HƠm Tham s cl   (x1, x2, ầ, xn) K v ng µ = E(X) x = Xác su t p Ph E  (x1, x2, ầ, xn) D  (x1, x2, ầ, xn) µ 2 n p p(1ứp)/n m/n   n xi  x  n  i 1 ng sai  c Trung Tính ch t c a  n  xi n i 1 s2 = Ph ng TS Nguy n    (x1, x2, ầ, x n) - không ch ch - v ng - hi u qu , n u X phân ph i chu n - không ch ch - v ng - hi u qu 1 n   - không ch ch    4  n n   - v ng v i µ4=E(X-µ)4  ng pháp h p lỦ c c đ i (R.A.Fisher) Gi s đ i l ng ng u nhiên X có hàm m t đ f(x, ) v i d ng c a f đư bi t, nh ng  ch a bi t c l ng  ta l y m u (x1, x2, …, xn) l p hàm L() = f(x1, ) x x f(xn, ) (1) L() g i hàm h p lý c a m u, ph thu c x1, … , xn  nh ng coi  x1, … , xn h ng  bi n V n đ đ t tìm  (x1, x2, …, xn) cho  L(  (x1, x2, …, xn)) L()    H t () = ln[L()], u ki n t  (  (x1, x2, …, xn)) () ng đ (2) ng H  (3) c l ng  (x1, x2, …, xn) xác đ nh b i u ki n g i h p lý c c đ i c a  cl ng  N u () kh vi theo  t i  (x1, x2, …, xn) ta có d (4) 0 d Ph ng trình g i ph ng trình h p lý m i nghi m c a nó, n u tho (2) ho c (3) đ u c l ng h p lý c c đ i c a  + Ví d Cho bi n ng u nhiên X có phân ph i chu n N(µ, 2), 2 đư bi t, µ ch a bi t (x1, x2, …, xn) m u c n c a X Hưy tìm c l ng h p lý c c đ i c a µ Moon.vn - H c đ kh ng đ nh 137 Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê Gi i TS Nguy n c Trung Ta có L(µ) =     n 2  e  n 2   xi   2 i 1  (µ) = ln[L(µ)] = ứ n ln 2  ứ  2  xi    n 2 i 1 n d (  ) =  xi     i 1 d V y, ph ng trình h p lý  xi    = n i 1 Gi i ph ng trình ta đ c cl  ng h p lý c c đ i c a µ  (x1, x2, …, xn) = (vì n  xi  x n i 1  d 2( ) n = ứ < 0, nên t i  hàm (µ) đ t giá tr l n nh t)  d  Ghi chú: Lý thuy t có th m r ng cho tr h ph ng trình h p lý ng h p  = (1, …, k),  ( ) = , i=1, …, k i + Ví d Cho bi n ng u nhiên X có phân ph i chu n N(µ, 2), 2 µ đ u ch a bi t (x1, x2, …, xn) m u c n c a X Hưy tìm c l ng h p lý c c đ i c a µ Gi i H ph ng trình h p lý  (  , ) n =  xi    =  i 1   (  , ) n x   2  n = =  i  2 i 1 2 Gi i ta có  2  = x    xi    Moon.vn - H c đ kh ng đ nh n n i 1 138 Hotline: 0432 99 98 98 Khóa Xác su t th ng kê TS Nguy n c Trung o hàm riêng c p n  (  , )    x      i 1 i  (  ,  ) n  ;    (  , )     Th 2 2 µ =   =    n 2 2 C=  (  , )   2 6 n  x    i i 1  2  n   (  ,  )  B=    x    =0  i    i 1  ;  2 vào đ o hàm riêng ta có n  (  , ) A=  2     2  n n. n         xi             2 2 2  i 1  n n  B2 ứ A.C =  n2 6 A