Hình ảnh cảnh đẹp 3

Chøng minh r»ng tiÕp ®iÓm lµ trung ®iÓm cña ®o¹n tiÕp tuyÕn bÞ ch¾n bëi hai tiÖm cËn... T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AB.[r]

Hệ thống tập giải tích 12 (Phn 1)

Đạo hàm

I) nh ngha đạo hàm:

Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau điểm x0 ra:

a) y = x2 + x x 0 = 2

b) y =

x 1

x0 = 2

c) y = 1 1   x x

x0 = 0

Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau (tại điểm x  R) a) y = x - x b) y = x3 - x + 2

c) y = x3 + 2x c) y =

1 1 2

  x

x Bµi3: TÝnh f'(8) biÕt f(x) = 3 x

Bài4: Cho đờng cong y = x3 Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết:

a) Tiếp điểm A(-1; -1). b) Hoành độ tiếp điểm 2.

c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5. d) Tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng y =

-12 x

+ Bµi5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)…(x + 2004).

Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)

II) phép tính đạo hàm:

Bài1: Tính đạo hàm hàm số sau:

1) y = x2 3x4x3 2x25x 3 2) y = 2x13x24x35x4

3) y = x3  3x23x12 2x 13

4) y = 2x14 3x24 x2 4x33

5) y = x1 2 x2 3 x34 6) y =

4 3

6 5 2 2

 

 

x x x

7) y =

1

3 3

 



x x

x

x 8) y =  

1 1

2 3

 

 x x

x

9) y = 4 4

1 1 1

1 2

     

      

 

 

x x x

x 10) y =

2 2 2

2

1 1 1

1

x x

x x

x x

x x

 

    

 

11) y = 1  2 233 3

x x

x  

 12) y = 3

3

1 1

x x  

13) y =

6 4

5 3

6 2

3 1

 

 

x x

x

x 14) y =

x cos x sin

x cos x sin

 

15) y = sinsinsinx 16) y = x sinx  x cosxex   



 

 

2 1 2

17) y =    



   

  

1 31 2 2 3 1 31 2

2 3

x ln

x

Bài2: Tính đạo hàm hàm số sau: 1) y = lnx

x 2) y = sinxcosx

3) y = x x

2 2

1 

  



  4) y = x xx

x x x

x x

x  

5) y =

7 5

4 3

5 4

2 3 1

 

  

x x

x x x

III) đạo hàm phía điều kiện tồn đạo hàm:

Bµi1: Cho f(x) =

x x



1 TÝnh f'(0)

Bµi2: Cho f(x) = xx 2 TÝnh f'(0)

Bµi3: Cho f(x) =

   

  

0 x nÕu 0

0 x nÕu x

x cos 1

1) Xét tính liên tục f(x) x = 0. 2) Xét tính khả vi f(x) x = 0. Bµi4: Cho hµm sè: f(x) =

1 3

3 2

2

  

x x

x .

Chứng minh f(x) liên tục x = -3 nhng khơng có đạo hàm x = -3.

Bµi5: Cho f(x) =      

 



 

0 x nÕu 1 ax -x

-0 x nÕu e

x

2 x

1

Tìm a để f'(0)

Bµi6: Cho f(x) =

  

 



 

0 1

0 x nÕu b

ax

x nÕu x sin b x cos a

IV) đạo hàm cấp cao:

Bµi1: Cho f(x) =

1 2

2 3

2 2

 

 

x x

x

x TÝnh: f(n)(x)

Bµi2: Cho f(x) =

6 11 6

8 4 3

2 3

2

  

  

x x

x

x

x TÝnh: f(n)(x)

Bµi3: Cho f(x) =

10 7

9 4 2

2 4

2 3

 

  

x x

x x

x TÝnh: f(n)(x)

Bµi4: Cho f(x) =

18 9

11 5 3

2 4

2

 

 

x x

x

x TÝnh: f(n)(x)

Bµi5: Cho f(x) = cosx TÝnh: f(n)(x)

Bµi6: Cho f(x) = cos(ax + b) TÝnh: f(n)(x)

Bµi7: Cho f(x) = x.ex TÝnh: f(n)(x)

Bµi9: Cho f(x) = ln axb TÝnh: f(n)(x)

V) đẳng thức, ph ơng trình, bất ph ơng trình với phép tốn đạo hàm:

Bµi1: Cho y =

x ln

 1

1

CMR: xy' + = ey

Bµi2: Cho y = exsinx CMR: y'' + 2y' + 2y =

Bµi3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR: y + xy' + x2y" =

Bµi4: Cho f(x) = sin32x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x Giải phơng trình: f'(x) = g(x)

Bµi5: Cho f(x) = 52 1 2 1 x

; g(x) = 5x 4xln5

 Giải bất phơng trình: f'(x) < g'(x)

Bµi6: Cho y = 1 1

2 2

2 2

2

   

x x ln x x x

CMR: 2y = xy' + lny'

IV) dùng o hm tớnh gii hn:

Tìm giới h¹n sau: 1) A =

x x x

x lim

x

3 3 3 2

0

1 1  





2)

2 0

2

3 x

x cos lim

x

x





3) 23

0

2 1 2 1

x

x x

lim

x

   

4)

x x

x sin x

lim

x   

  

 3 4 2

1 2 1

0

Khảo sát hàm số ứng dụng I) Tính đơn điệu hàm số:

1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu: 2)

Bài1: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến (-1; 1)

Bài2: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x +

đồng biến (-; -1]  [2; +)

Bài3: Tìm m để hàm số: y = mx 2m 1x m 1xm 3

2 3

đồng biến (-; 0)  [2; +)

Bài4: Tìm m để hàm số: y = m x mx 3m 2x 3

1 3 2

   

đồng biến R

Bài5: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3m(m - 2)x + đồng biến khoảng thoả

m·n:  x

2) Ph ơng pháp hàm số giải toán chứa tham số: Bài1: Cho phơng trình: x2 - (m + 2)x + 5m + = 0

1) Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn: x > 1. 2) Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn: x > 4. 3) Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn: x < 2. 4) Tìm m để phơng trình có nghiệm  (-1; 1)

Bài3: Tìm m để phơng trình: 92 2 62 2 3 842 2 0

 



  

x x x x x x

m .

m có nghiệm thoả mãn: x  21 Bài4: Tìm m để phơng trình: 3x 6 x 3x6 x = m có nghiệm

Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + = có nghiệm

x  

  

  

2 3 2;

Bài6: Tìm m để phơng trình: log23x log23x1 2m 10 có nghiệm

x  1;3 3

Bài7: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 1) x 1x 2x2 3xm2

2) x4  2mx3m4x2  2mx10 Bài8: Tìm a để: 2 1

1 2

1 3 2

   

x x

x + ax cã nghiÖm nhÊt

Bài9: Tìm m cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6)  m nghiệm với x

Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4 4 x2x  x2 - 2x + a - 18 nghiệm với x  [-2; 4]

Bài11: Tìm m để:

m  m

x x

x sin x

cos

2 2

2 1 1

3 3

2 2

1 2

 

      

  



 < x

Bài12: Tìm m để x x   x x x x

m .

m  



 



2 2

2 2 2

2 2 1 6 4

9  nghiệm với x thoả mãn:

2 1



x

Bài13: Tìm m để bất phơng trình: mx x 3  m + có nghiệm

3) Sử dụng ph ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng trình, hệ bất ph ng trỡnh:

Bài1: Giải phơng trình bất phơng trình sau: 1) x95 2x4

2) 2 2 5 5 1 3 2  5 7

  



 x  x  log x x

log

Bài2: Giải hệ bất phơng trình:

 

  

0 1 3

0 1 2 3

3 2

x x

x x

Bµi3: Giải hệ bất phơng trình:

    

   

 

0 9 5 3 3 1

0

2 3

2 2 2

2

x x x

x log x log

Bài4: Giải hệ phơng tr×nh:

     

   

   

   

2 2

2

2 3

2 3

2 3

x x x z

z z z x

y y y x

Chứng minh bất đẳng thức sau: 1)

24 2 1 2

1 x2cosx  x2 x4 x >

2)

! n x x x e

n x

    

2

1 2 x > 0; n  N*

3) - x  x

e  - x + 2

2

x x  [0; 1]

4) - x 

x e x





1

2

 - x +

 x

x



1 2

4

x  [0; 1]

5)  

2 1

2

x x x

ln    x > 0

6)

x x x

ln   1 x >

II) cực trị ứng dụng:

Bài1: Tìm điểm cực trị hàm số sau đây: 1) y = x3 + 4x2) y =

2 5 4

2

  

x x

x 3) y =

2

x x

e

e   4) y = x3(1 - x)2

Bài2: Tìm cực trị có hàm số sau (biện luận theo tham số a) 1) y = x3 - 2ax2 + a2x 2) y = x - +

1  x

a Bµi3: Chøng minh r»ng hµm sè: y =

2 2

2 2

  

x

m x

x ln có cực đại cực tiểu vi mi m.

giá trị lớn giá trị nhỏ nhất Bài1: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số:

1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1

3) y = 5cosx - cos5x víi x 

  

  

4

4; 4) y = sin x cos x x cos x sin

4 4

6 6

1 1

 

 

Bài2: Cho phơng trình: 12x2 - 6mx + m2 - +

2

12 m = 0

Gọi x1, x2 nghiệm phơng tr×nh T×m Max, Min cđa: S = x 13 x32

Bài3: Cho a.b Tìm Min cña: y =

a b b a a b b a a b b a

      

  

 

 2

2 2 2 4 4 4 4

Bµi4: Cho x, y  0; x + y = T×m Max, Min cña: S =

1 1 

 x

y y

x

Bµi5: Cho x, y  0; x + y = T×m Min cđa: S =

y y x x

 

 1

1

Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin6x + cos6x + asinx.cosx

IV) tiệp cận:

Bài1: Tìm tiệm cận hàm số: 1) y =

1 2

2 3

2 2

 

 

x x

x

x 2) y =

1 1

2 3

  

x x

x 3) y =

4) y = 2 9 2 x x  

5) y =  

2 2 1 2 x x x  

6) y = 2 1

x Bài2: Tìm tiệm cận hàm số (biện luận theo tham sè m)

1) y =

1 4 2 2    mx x

x 2) y =

3 2 2 2    mx x x Bµi3: Cho (C): y =  

2 3 1 2 2      x a x a

ax , a  -1; a  Chứng minh tiệm cận xiên (C) luôn qua điểm cố định

Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

1 2 3 2 2    x x x

1) Chứng minh tích khoảng cách từ M  (C) đến hai tiệm cận khơng đổi. 2) Tìm M  (C) để tổng khoảng cách từ M  (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ

V) Khảo sát vẽ đồ thị:

Bài1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 1) y = 2x3 + 3x2 - 1 2) y = x3 + 3x2 + 3x + 5

3) y = x3 - 3x2 - 6x + 8 4) y = -x3 + 3x2 - 4x + 3

5) y =

-3

3

x - x2 + 3x - 4

Bài2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 1) y = x4 - 2x2 2) y = -x4 + 2x2 - 1

3) y = x4 +

10 3

x2 + 1 4) y =

2

4

x

 - x2 +

Bài3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 1) y =

1 4 2    x x

2) y = 3 1 2   x x Bài4: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:

1) y =

2 3 3 2    x x

x 2) y =

1

2



x x

3) y =

1 2 2   x x

x 4) y =

1 2 13 6 2     x x x

Bài5: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 1) y =

3 5 3

1 4

1 4 3 2

 

 x x

x 2) y =

5 4 11 8 2 2      x x x x

3) y =

1 5 4 2 2 2    x x

x 4) y =

50 15 14 9 2 2     x x x x

5) y =

x x x x 2 2 1 2 2 2   

6) y = x + 2 2 1



x

VI) phép biến đổi đồ thị:

Vẽ đồ thị hàm số: 1) y = 2 1 1

    x x x

2) y =

2 9 2 2    x x x

3) y =

2 3 3 2    x x

x 4) y =

5) y =

1 2

2

 

x x x

6) y =

1 1

 

x x

7) y x 1x2 x 2

VII) tiÕp tuyÕn:

1) Phơng trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài1: Cho hàm số: y = x3 - - k(x - 1) (1)

1) Tìm k để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hồnh;

2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) giao điểm với trục tung Tìm k để tiếp tuyến chắn trục toạ độ tam giác có diện tích

Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến (C): y = x2 2x4cosx giao điểm đờng cong

víi trơc tung

Bµi3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1

a) Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y = điểm phân biệt C(0; 1), D, E.

b) Tìm m để tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với

Bài4: Cho đồ thị      

 

   

  

   

m x x g y :) P (

x x

x f y :) C (

2

2 2

2

1 1

1) Tìm m để (C) (P) tiếp xúc với nhau.

2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tiếp điểm chung (C) với (P) Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

2 1

x4 - 3x2 + 2 5

1) Gọi t tiếp tuyến (C) M có xM = a CMR: hồnh độ giao điểm t với (C)

lµ nghiệm phơng trình: x a2x2 2ax3a2 60

2) Tìm a để t cắt (C) P Q phân biệt khác M Tìm quỹ tích trung điểm K PQ Bài6: Tìm m để giao điểm (C): y =  

m x

m m x m

  

1 2

3 với trục Ox tiếp tuyến (C) song song với (): y = x - 10 Viết phơng trình tiếp tuyến

Bµi7: Cho (C) : y =

1 1 2

  x

x

vµ M bÊt kú thuéc (C) Gäi I giao điểm hai tiệm cận tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B.

1) CMR: M trung điểm A B. 2) CMR: SIAB khơng đổi

3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ Bài8: Cho (C): y =

m x

m x x

   3

2 2 (m  0, 1)

Chứng minh tiếp tuyến giao điểm (C) với Oy cắt tiệm cận đứng điểm có tung độ

Bµi9: Cho (C): y =

m x

mx x

   

4

4 3 2

Tìm m để tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = vng góc với tiệm cận đồ thị (C) Bài10: Cho đồ thị (C): y =

1 2 2

2

  

1) §iĨm M (C) với xM = m Viết phơng trình tiếp tun (tm) t¹i M.

2) Tìm m để (tm) qua B(1; 0) CMR: có hai giá trị m thoả mãn yêu cầu toán hai

tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với

3) Gọi I giao điểm hai đờng tiệm cận Tiếp tuyến M với (C) cắt hai đờng tiệm cận A B CMR: M trung điểm AB diện tích IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M (C)

2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho tríc

Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 - 3x2 biết tiếp tuyến vng góc với đờng

th¼ng: y = 3 1

x

Bµi2: Cho hµm sè (C): y = f(x) = 2

4

x - x3 - 3x2 + 7

Tìm m để đồ thị (C) ln có hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx Bài3: Cho (C): y =

2 3 3

2

  

x x

x Viết phơng trình tiếp tuyến (C) vng góc với đờng thẳng

(): 3y - x + =

Bài4: Viết phơng trình tiếp tuyến (C): y =

3 4

1 3 2 2

  

x x

x vng góc với đờng thẳng: y = - 3 x +

Bài5: Cho đồ thị (C): y =

1 1 2

2

  

x x x

Viết phơng trình tiếp tuyến (C) vuông góc với tiệm cận xiên Chứng minh rằng tiếp điểm trung điểm đoạn tiếp tuyến bị chắn hai tiệm cận

Bµi6: Cho (Cm): y = x4 + mx2 - m - 1

Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A song song với đờng thẳng y = 2x với A điểm cố định (Cm) có hoành độ dơng

Bài7: Cho đồ thị (Ca): y =

1 3

2

  

x a x x

Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vng góc với đờng phân giác góc phần t thứ hệ

toạ độ

Bµi8: Cho (C): y =

1 1 2 2

  

x x

x CMR: đờng thẳng y = có điểm cho từ điểm đó

có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với góc 450

3) Phơng trình tiếp tuyến qua điểm cho trớc đến đồ thị

Bµi1: ViÕt phơng trình tiếp tuyến qua A 



 4

12 19

; đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x3 + 3x2 +

Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến qua A(0; -1) đến (C): y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x -

Bµi3: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 2

1) Viết phơng trình tiếp tuyến qua A    



 2

9 23

; đến (C).

2) Tìm đờng thẳng y = -2 điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc với Bài4: Cho (C): y = -x3 + 3x + 2

Tìm điểm A  Oy kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài6: Tìm đờng thẳng x = điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y = 1

1 2

  x

x

ViiI) ứng dụng th:

1) Xét số nghiệm phơng trình:

Bµi1: BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa phơng trình: 3x - 4x3 = 3m - 4m3

Bài2: Tìm m để phơng trình: x3 - 3x + + m = có nghiệm phân biệt

Bài3: Tìm a để phơng trình: x3 - 3x2 - a = có ba nghiệm phân biệt có nghiệm

lớn

Bài4: Biện luận theo b số nghiệm phơng trình: x4 -2x2 - 2b + =

Bµi5: BiƯn luận theo a số nghiệm phơng trình: x2 + (3 - a)x + - 2a = vµ so s¸nh c¸c

nghiệm với -3 -1

Bài6: Tìm m để  2x2 10x 8 = x2 - 5x + m có nghiệm phân biệt

2) Sự tơng giao hai đồ thị hàm số: Bài toán số giao điểm

Bài1: Tìm k để đờng thẳng y = kx + cắt đồ thị: y =

2 3 4

2

  

x x

x hai điểm phân biƯt

Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x3 + 3x2 + mx + cắt đờng thẳng y = ba điểm phân biệt

Bµi3: Cho (Cm): y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2)

Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dơng

Bµi4: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - (m2 - 1)

Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dơng

Bµi5: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - (m3 + 1)

Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm.

Bài6: Tìm m để (Cm): y = x3 + m(x2 - 1) cắt Ox điểm phân biệt

Bài7: Tìm m để (Cm): y =

1

3x - x + m cắt Ox ba điểm phân biệt

Bài8: Tìm m để (Cm): y = x3 + 3x2 - 9x + m cắt Ox điểm phân biệt

Bài9: Tìm m để (Cm): y = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - m3 - cắt Ox điểm

Bài toán khoảng cách giao ®iĨm

Bài1: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt đờng thẳng y = x ba điểm phân biệt lập

thµnh cÊp sè céng

Bài2: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - (2m + 1)x2 - 9x cắt trục Ox ba điểm phân biệt lập thành

cÊp sè céng

Bài3: Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x4 - 5x2 + A, B, C, D phân biệt

mµ AB = BC = CD

3) Các điểm đặc biệt:

Bài1: Tìm điểm cố định (Cm): y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)

Bài2: CMR: (Cm): y = (m + 2)x3 - 3(m + 2)x2 - 4x + 2m - có điểm cố định thẳng hàng Viết

phơng trình đờng thẳng qua ba điểm cố định

Bài3: CMR: (Cm): y = (m + 3)x3 - 3(m + 3)x2 - (6m + 1)x + m + có điểm cố định thẳng hàng.

Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y =

m x

m mx x

    2 2 2

Tìm điểm Oy mà khơng có đồ thị (Cm) qua

Bµi5: Cho hä (Cm): y =

m x

m mx x



   2 2 2

Tìm điểm  Oxy mà khơng có đồ thị (Cm) qua

Bµi6: Cho (Cm): y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx + CMR: trªn Parabol (P): y = x2 + 14 cã ®iĨm

mà khơng có đồ thị (Cm) qua

Bài7: Cho họ đồ thị (Cm): y =

m x

m mx x

  

 2 2

Tìm điểm  Oxy có đờng cong họ (Cm) qua

Bµi8: T×m M  (C): y =

2 1

2

  

x x

x có toạ độ số nguyên

4) quỹ tích đại số: Bài1: Cho (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + (C): y = x3 + 2x2 + 7

CMR: (Cm) cắt (C) A, B phân biệt Tìm q tÝch trung ®iĨm I cđa AB

Bµi2: Cho (C): y =

2 3 4

2

  

x x

x đờng thẳng (D): y = mx + 1.

Tìm m để (D) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm I AB Bài3: Tìm m để (Cm): y =  

2 6 3 2

2



  

x x m

x có cực đại, cực tiểu tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu.

Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y =  

5 4 1 2

2 2

2 2

  

   

m m x

m m x m

x Tìm quỹ tích giao điểm (C

m) víi c¸c

trục Ox, Oy m thay đổi

Bài5: Cho (C): y = x3 - 3x2 đờng thẳng d: y = mx Tìm m để d cắt (C) ba điểm phâm biệt

A, O, B Tìm quỹ tích trung điểm I AB Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu y =

1 1

2

   

x m mx

x

Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng (Cm): y = mx3 - 2(m + 1)x2 + 2(m - 3)x + m -

5) tâm đối xứng, trục đối xứng:

Bài1: Tìm m  để (C): y =

-m

x3 + 3mx2 - Nhận I(1; 0) tâm đối xứng

Bài2: Cho (Cm): y = x3 + mx2 + 9x + Tìm m để (Cm) có cặp điểm đối xứng qua

gc to

Bài3: Tìm trªn (C): y =

1 2

2

  

x x

x cặp điểm đối xứng qua I

     

2 5 0; Bài4: CMR: đờng thẳng y = x + trục đối xứng đồ thị: y =

1 1   x x

Bµi5: Cho hµm sè: y =

1

2



x x

Tích phân I) nguyên hàm:

1) Xỏc định nguyên hàm công thức: Bài1: CMR hàm số: F(x) = x  ln1 x nguyên hàm hsố: f(x) =

x x



1

Bµi2: CMR hµm sè: y = x x2 aalnx x2 a 2

2 với a 0

là nguyên hµm cđa hµm sè: f(x) = x 2 a

Bài3: Xác định a, b, c để hàm số: F(x) = ax2 bxc 2x 3 nguyên hàm hàm số:

f(x) =

3 2

7 30 20 2

  

x x

x

Bài4: Tính nguyên hàm sau đây:

1) 

  



  dx

x x

2 3

1 2)

   dx

x x x

4 4 5 3 1

4

3)  

  



  dx

x 1 x

3

4)  x23x3dx

5) 3x1x- x2dx 6)     



  dx

x x

3

1

7)     



  dx

x x

4

2 1 8)

  dx

x x x2 4

9) ax3b2dx 10)    

dx x

x x4

3 4 2

11) xxaxbdx 12) 2xexdx

13) 2x  ex2dx 14)  ex e-x 2dx

15)  ex e-x  2dx 16)   dx

e e

x 5x -2 1

17) 

 dx

x 1 -x

1 18)  1-cos2xdx

19) 

cosxdx 1

x 4sin2

2) Phơng pháp đặt ẩn phụ: Tính nguyên hàm sau đây: 1) 3x14dx 2) 

 



dx x x

x 2 4

4 2

2

3)

xlnx dx

 4) 

 

dx x

x x

1 2

2

5) x x dx1 6) ex 13dx

7)  

dx x 1

x

2 8) 

 



dx x x

4 x

9) 

  x dx x

x

2 3

1

2 10)  

 dx x

1 x

2 11)

 



1 3 x

xdx

12) x x2  dx1

13) cos4xdx 14) 

x xcos sin

dx

2 2

15) x 2x-1dx 16)

 



 2

4 3

4 x

dx x

17) 2x3 13x2dx 18) sin5xcosxdx

19) tg3xdx 20)  e dx

x

1 x

21)  dx x cos

etgx

2 22) xdx

x ln x 1

 

 1

1

1 2

23) x331x2dx 24)

 

xlnx.dxln lnx

25) x x-1dx

3) Phơng pháp nguyên hàm phần: Tính nguyên hàm sau đây:

1) 2x 1cosxdx 2) x2exdx

3) lnxdx 4) exsinxdx 5) coslnxdx 6) xe xdx

7)  

  

 

 dx

x ln x ln

1 1

2 8) e2xsin2xdx

9)  

  

 

 

dx x x ln x

1 1

4) Nguyên hàm hàm hữu tỷ: Bài1: Tính nguyên hàm sau đây:

1) 



dx x

x 1

2 2

2) 

 x 1 x

dx

2

3) 



x dx

x x

2 1 4) 

 a2 x

dx

2

5) 

  3x 2

x dx

2 6) 

 

 

dx x x

x x

2 2

2 3

1

7)  

 

0) (a dx a x

x

2 2

1

8)   1

3

x dx

9)   

dx x

1 x

3 1 10) 

 4 2 3

4

x x

dx

11)

 

  dx

1 -x x

1 x

2 12) 

2x-3 x

dx

2

13) 

 

dx x 4x

x

3 3 1

14) 



 x 2

x

xdx

2

15)

 





dx 1 x

x

4 7

2

Bµi2: 1) Cho hµm sè y =

2 3

3 3 3

3 2

 

 

x x

x x

a) Xác định số A, B, C để: y =

  12   1x2 C x

B x

A

b) Tìm họ nguyên hàm hàm y Bài3: a) Xác định số A, B cho

 13  13  12

1 3

    



x B x

A x

x

b) Dựa vào kết để tìm họ nguyên hàm hàm số : f(x) =

 13

1 3

  x

x

5) Nguyên hàm hàm lợng giác: Tính nguyên hàm sau đây: 1)

x cos . x sin

dx

2) sin2xdx

3)  cosx

dx

4)  dx

2 x cos . x cos 5) 

 2cosx 5 4sinx

dx

6) 

2sinxcosx-cos x x

sin

dx

2 2

7) cos6xdx 8) tg5xdx 9) 

x cos

dx

6 10) 

x sin

dx

6

11)  dx

x x.sin cos

cos2x

2

2 12) 

x cos . x sin

dx

2 2

13) sin2x.cos3xdx 14) cosx.cos2x.sin4xdx 15) cos3x.sin8xdx 16) cos2xdx

17) sin3xdx 18) tg2xdx

19) sin2x.cosxdx 20)  dx

x cos

tgx

3

21) 

 

x cos x

sin

x cos

3 1

4 2

6) Nguyên hàm hàm vô tỷ: Tính nguyên hàm sau đây: 1)

 2 4 x

dx

2) 

 1 x 1

x dx

3)

 

 xdxx 2 4) 

x -1 x

dx

5) 

 

1 x

dx 1 -x

1 x

3 6)

 



  

 

dx x x

1 x

1 1

2

7) 

   3x x

dx 1

1 8)  x1 x1

dx

9)  4 x2dx 10)   4x x2dx

11) 

 

 3x2 4x 1 dx

II) tÝch phân :

1) Dùng phơng pháp tính tích phân: Bài1: Tính tích phân sau:

1) 



0 4

xdx

cos 2)  

 



2

0

4 4

2x cos x sin xdx cos

3)





 

 

2

04 3 5

6 7

dx x cos x

sin

x cos x

sin 4) 



0

3 5xdx

cos x cos x

5)

 

2

0

2 3

xdx sin x

cos 6) 



4

0 4

xdx sin

Bµi2: Cho f(x) =

x cos x sin

x sin



1) T×m A, B cho f(x) = A + B    

 

 

x sin x cos

x sin x cos

2) TÝnh: I =  

 

3

0

dx x f

Bµi3: Cho hµm sè: h(x) =

2 2

2 x sin

x sin 

1) Tìm A, B để h(x) =

  sinx

B x

sin x cos A

 

 2

2 2

2) TÝnh: I =   



0

2

dx x h

Bài4: Cho hàm số: f(x) = 4cosx + 3sinx ; g(x) = cosx + 2sinx 1) Tìm A, B để g(x) = A.f(x) + B.f'(x)

2) TÝnh: I =  

 

 

4

0

dx x f

x g

Bài5: Tính tích phân sau: 1) 



1

0x2 1

xdx

2)    

1 0

5 4

3 1 dx

x x

3)  

2 0

2

4 x dx

x 4) 



e x

x

e dx e

1 1

5) 

4

1

dx x e x

6) dx

x x ln

e

 

1

Bài6: Tính tích phân sau: 1)

 

 



2

0 1 4

dx x sin

x

cos 2)

 

2

0 3

xdx cos x sin

3)

 

2

0 5

xdx

cos 4) 



4

0 6

xdx tg

5)

 



4

01 sin2x

dx 6)

 



2

02 sinx

dx

7)

 



4

0a2cos2x b2sin2x

dx 8)  

2 0

2

4 x dx

9)  

1

2 2 2

2

1

dx x

x

10)

 



2

0 2 cos2x

xdx cos Bài7: Tính tích phân sau:

1) 

 



4

0

2 1

2cos x dx

x 2) 



2

0

2 3xdx

sin e x

3)   

1 0

2 2

1 e dx

x x 4)  

e

dx x ln x

1

2

5)    

1 0

2 1 dx

x ln

x 6)  

 



2

0

1 cosx dx ln

x cos

7)   

e

e

dx x

x ln

1 1 2 8)

 

 

  

  

   

9 1

0 2 5

3

1 4

1 1

2

5 dx

x x

sin x

x

2) Tính phân đẳng thức: Bài1: CMR: Nếu f(x) hàm lẻ liên tục [-a; a] thì: I =  



a a

dx x

f = 0

VD: TÝnh: I = 

 

 

 

  



  

1 1

3 2 1

dx x

x

ln

Bµi2: CMR: Nếu f(x) hàm chẵn liên tục [-a; a] th×: I =     



a a

a

dx x f dx x f

0

2

Bài3: CMR: Nếu f(x) hàm chẵn liên tục R thì: I =  

 

a a

a x

dx x f b

dx x f

0

1 VD: TÝnh: I = 

 

 

2 2

2 4

1 2

1 2

dx x

x

x

Bài4: Cho f(x) hàm số liên tục [0; 1] CMR:     

 

 

0

0 2

dx x sin f dx

VD: TÝnh: I = 

 

09 4 2

dx x cos

x sin x

Bài5: (Tổng quát hoá bài4)

Nếu f(x) liên tục f(a + b - x) = f(x) th× I =       

b a b

a

dx x f b a dx x xf

2

Bài6: Nếu f(x) liên tục f(a + b - x) = -f(x) thì: I =   0

b a

dx x f

VD: TÝnh: I =

 

   

 

 

2

0 1

1

dx x cos

x sin

ln J =   





4

0

1 tgx dx

ln

Bài7: Nếu f(x) liên tục

    

2

0; th×:  

 

2

0

dx x sin

f =  



2

0

dx x cos f

VD: TÝnh: I =

 



2

0cos x sin x

xdx cos

n n

n

J =

 



2

0cos x sin x

xdx sin

n n

n

Bài8: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn víi chu kú T th×:    

T T

a a

dx x f dx x f

0

VD: TÝnh: I = 

 

2004 0

2

1 cos xdx

3) Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Bài1: Cho hàm số: f(x) = 3x3 - x2 - 4x + ; g(x) = 2x3 + x2 - 3x - 1

1) Giải bất phơng trình: f(x)  g(x). 2) TÝnh: I =     





2 1

dx x g x

f

Bài2: Tính tích phân sau: 1)

3 0

2

3 2

dx x x

x 2) 

 

2 0

1 sinxdx

Bµi3: Cho I(t) =  

1 0

dx t

ex víi t  R. 1) TÝnh: I(t).

2) Tìm minI(t)

Bài4: Tính tích phân sau: 1)

2 0

2 2 3

dx x

x 2)      

5 0

2

2 4 3 4

dx x x x

x

Bµi5: Tính tích phân sau: 1) I = 

2 0

2 4 4

dx m x

x 2)      

2 1

2 2 2

dx m x m

x

1)

8 2

1

0 2

   



x x dx

2)

8 2 1

6

2 1

0 2 3

     



x x dx

2)

3 3 2 1 3

3

0 2

   

 





x cos x cos

dx

Bµi2: CMR: 4

2

0

2 2

2 2

e dx e e

x x



  Bµi3: Cho hµm sè: f(x) =

1

2 2



x x

CMR:  

4 2 9 2

5 3

2



f x dx 5) Tích phân truy hồi: Bài1: Cho In = tg nxdx

 

4

0 2

1) CMR: In > In + 1

2) Thiết lập hệ thức liên hệ In vµ In - 1

3) TÝnh In theo n

Bµi2: Cho In =

 

2

0

xdx sinn

1) Thiết lập hệ thức liên hệ In In - 2

2) TÝnh In ¸p dơng tÝnh I11 =

 

2

0 11

xdx sin

Bµi3: Cho In =   

1 0

2

1 x ndx

1) ThiÕt lËp hÖ thøc liên hệ In In - 1

2) TÝnh In

Bµi4: Cho In =  

1 0

1 xdx xn

1) ThiÕt lËp hƯ thøc liªn hƯ In In - 1

2) Tính In

Bài5: Tính tích phân sau: 1) In = tg nxdx

 

4

0

2 2) In =

 

2

0

xdx cos

xn

III) øng dơng cđa tÝch ph©n:

1) Tính diện tích hình phẳng: Bài1: Tính diện tích hình giới hạn đờng sau đây:

1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x2 - 2x 2)     

  

 

2 x 0; x

0 y ; x cos x sin

3)    

  

2 2

y x

x y

4)

     



 

x y

x y ; x y

2

8

8

2

5)

  

  

 

0 2

0

2

y x x

y x

6)    

 

 

5 1

2

x y

x y

Bài2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x3 - 3x + (C)

1) Viết phơng trình tiếp tuyến (d1) với (C) A có xA = Viết phơng trình tiếp tuyến (d2)

với (C) điểm uốn (C).

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

  

1

1 x

) d ( ), C (

3) TÝnh diÖn tích hình phẳng giới hạn bởi:



) d ( vµ ) d (

) C (

2 1

Bµi3: Cho hµm sè: y =

1

2 2



x x

(C)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số.

2) Tìm b cho diện tích hình phẳng giới hạn (C) đờng thẳng y = 1, x = 0, x = b

4



Bài4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1) Elíp (E): 2 1

2 2 2

 

b y a x

2) Hypebol (H): 2 1

2 2 2

 

b y a x

ElÝp (E1): 2 1

2 2 2

 

b y a x

vµ ElÝp (E2): 2 1

2 2 2

 

c y b x

Bài5: Tính diện tích phần chung hai ElÝp: (E1): 2 1

2 2 2

 

b y a x

vµ (E2): 2 1

2 2 2

 

a y b x

2) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ:

Bµi1: TÝnh thể tích vật thể tròn xoay tạo nên ta quay quanh Ox hình phẳng giới hạn

bi đờng:

  

 

 

1 0

0 x ; x

y ; e. x

y x

Bài2: Gọi (D) miền giới hạn đờng:

  

  

2

2 0

x x y y

Tính thể tích vật thể trũn xoay c

tạo thành ta quay D

1) Quanh Ox b) Quanh Oy

Bài3: Gọi (D) miền giới hạn đờng:

  

 

  

2

1

10 3

x y ; y

x y

Tính th tớch vt th trũn xoay c

tạo thành ta quay D quanh Ox

Bài4: Cho miền D giới hạn đờng tròn (C): x2 + y2 = Parabol (P): y2 =2x

1) TÝnh diƯn tÝch S cđa miỊn D.

2) TÝnh thÓ tÝch V sinh bëi A quay quanh Ox

Bµi5: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh ta quay ElÝp (E): 2 1

2 2 2

 

b y a x