Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB.. M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD. Cßn nÕu ®ãng vßi.. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê.. Ph©n tÝch ®a thøc th[r]
(1)49 §Ị lun HSG
Tốn nm 2010 Trung c
Đề số 1 Bài 1: (3 ®iĨm)
Cho biĨu thøc
3
27 : 3
2
2 x x
x x
x A
a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1
c) Víi gi¸ trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)
Giải phơng trình: a)
y y
y y
y 1 3
2 1 9
6 3 10 3
1
2
b)
2
4
2
x x
x x
(2)Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe mỏy
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN
b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + số phơng
Đề số 2 Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 4x
b) ab(a b) ac(ac)bc(2a bc)
2) Giải phơng trình
5 12 1
2 2
2
x x x x x x x x
Câu II: (2 điểm)
1) Xỏc nh a, b để da thức f(x)x32x2axb chia hết cho đa thức g(x)x2 x1
2) Tìm d phép chia đa thức ( ) 161 37 13 2006
x x x x x
x
P cho ®a thøc
)
(
x x Q
C©u III: (2 ®iĨm)
1) Cho ba sè a, b, c khác a + b + c = Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
2
2
2
2
2
b b
b a c
c a
c c
b a
a P
2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ab,bc,ca
CMR:
) )( ( ) )( ( ) )( (
2
2
b c a c
ab c c
b a b
ac b c
a b a
bc a
Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vuông ACDM MNPB Gọi K giao điểm CP NB
CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng
c) Khi M di chuyển A B khoảng cách từ K đến AB khơng đổi
2) Cho tamg gáic ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy H CMR:
' ' '
' '
'
CC HC BB
HB AA
HA
b»ng mét h»ng sè
C©u V: (1 ®iĨm):
Cho hai số a, b khơng đồng thời Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: 2 2
2
b ab a
b ab a Q
§Ị sè 3 Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a(b c)2(b c) b(c a)2(c a) c(a b)2(a b)
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 1110
(3)Rót gän biĨu thøc:
ab c ca b bc a N
2
1
1
2
2
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
x y xy x y M
b) Giải phơng trình: ( 4,5)4 ( 5,5)4
y
y Bài 3: (2điểm)
Mt ngi i xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau đợc 15 phút, ngời gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp ngời xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đờng AB
Bài 4: (3điểm)
Cho hỡnh vuông ABCD M điểm đờng chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 345
5
3 2
y x
Đề số 4 Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x x- 3x + x-2 víi x Bµi : (1,5®iĨm)
Cho abc = Rót gän biÓu thøc:
2 2
2
c ac
c b
bc b a
ab a A
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b 0
TÝnh: 4a2 b2 ab P
Bài : (3điểm)
Cho tam giỏc ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) TÝnh : ANB + ACB = ?
d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF l hỡnh vuụng
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh với số nguyên n :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23.
Đề số 5 Bài 1: (2điểm) Cho biÓu thøc:
30 11
1 20
9 12
7
5
2
2
x x x
x x
x x
x M
1) Rót gän M
2) Tìm giá trị x để M >
(4)chảy mở vòi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy
1) Tớnh thi gian nc chy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy đến đáy bể
Bµi 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên cho: 2
xy x y y x
Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD cố định, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển đoạn CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC F, đờng thẳng vng góc với AE A cát CD K
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK
2) Gọi I trung điểm KF, J trung điểm AF Chứng minh rằng: JA = JB = JF = JI
3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài cạnh tam giác AEK theo a x
4) Hãy vị trí E cho độ dài EK ngắn Bài 5: (1điểm) Cho x, y, z khác thoả mãn: 0
zx yz xy TÝnh
xy z zx y yz x N
2 2
Đề số 6 Câu I: (5 điểm) Rút gọn phân thức sau:
1)
1
1
2
x x
x x x
2)
3 ) ( 18 ) (
30 ) ( 11 ) (
2
2
a a a
a a
C©u II: (4 điểm)
1) Cho a, b số nguyên, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d b chia cho 13 d a2 b2
chia hÕt cho 13
2) Cho a, b, c số nguyên thoả mÃn abc = Tính giá trị biểu thức:
ac c
c bc
b b ac
a a A
1
1
3) Giải phơng tr×nh:
6
2 2
2
2 2
2
x x
x x x x
x x
Câu III: (4 điểm)
Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm khối lợng cơng việc Nếu hai tổ làm chung hồn thành 15 Nếu tổ I làm giờ, tổ làm làm đợc 30% công việc Nếu công việc đợc giao giêng cho tổ tổ cần thời gian hon thnh
Câu IV: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD
1) Tứ giác DFBE hình g× ? v× ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chứng minh AC2 AB.AH AD.AK
Câu V: (2 điểm)
Giải phơng trình: x 20022002 x 20032003
Đề số 7 Câu I: (2điểm)
1 Thực phÐp chia 2
x x x x
A cho
x
(5)2 Phân tích đa thức thơng thành nhân tử Câu II: (2điểm)
1 So sánh A B biết:
1 532
A vµ 6(52 1)(54 1)(58 1)(516 1)
B
2 Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44.
Câu III: (2điểm)
1 Cho tam giác có ba cạnh a, b, c tho¶ m·n: (a b c)2 3(ab bc ca)
Hái tam
giác cho tam giác ?
2 Cho ®a thøc f(x) = 100 99
x x x
x Tìm d phép chia đa thøc f(x) cho ®a thøc
1
2
x
Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE
1 Tứ giác AEHF hình ? Tại ? Chøng minh AB CF = AC AE
3 So sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC Câu V : (1 điểm)
Chứng minh nghiệm phơng trình sau sè nguyªn:
4 2003
2004
2005 2003
4 2004
3 2005
2
x x x x x
x
Đề số 8 Câu 1: (2điểm)
a) Cho 2 2 13
xy y x y
x TÝnh
xy y x N
4
b) Nếu a, b, c số dơng đôi khác giá trị đa thức sau số dơng A a3 b3 c3 3abc
Câu 2: (2 điểm)
Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = th×:
9
a c
b c b
a b a
c b
a c a
c b c
b a A
Câu 3: (2 điểm)
Mt ô tô phải quãng đờng AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đ-ờng đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đđ-ờng sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian ô tô quãng đờng AB biết ngời ú n B ỳng gi
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vng góc vơi AE cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đ-ờng thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chøng minh tø gi¸c MENF hình thoi
b) Chng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Cõu 5: (1 im)
Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x6 3x2 1 y4
Đề số 9 Bài 1: (2 điểm)
Cho
3 3
6 6
1
2 1
x x x x
x x x x M
a) Rót gän M
(6)Bµi 2: (2 điểm)
a) Tìm x biết : (2 5)3 ( 2)3 ( 3)3
x x
x
b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 n - 65 hai số phơng Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x y thoả mÃn: 4x2 17xy9y2 5xy 4y
TÝnh H x3y3xy
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: abcabc
Chøng minh: a(b2 1)(c2 1) b(a2 1)(c2 1) c(a2 1)(b2 1) 4abc
Bài 4: (4 điểm)
Cho hỡnh thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I giao điểm AC BD Qua I vẽ đờng thẳng song song với AB cắt AD BC lần lợt M N
a) Chøng minh IM = IN b) Chøng minh:
MN CD AB
2 1
c) Gọi K trung điểm DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt H E Chứng minh HM + HE = 2AK
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) TÝnh S(ABCD) theo a b.
Đề số 10
C
âu 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 x 12
b)
x
x
c) ( 2)( 11 30)
x x x
x
Câu 2: (2 điểm)
1) So sánh A B biết: A532 24(52 1)(54 1)(58 1)(516 1)
B
2) Cho 3a2 2b2 7ab
vµ 3a b0 TÝnh giá trị biểu thức:
b a
b a
P
2007 2006
2006 2005
Câu 3: (2 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 6 12 1974
x y xy x y
A
2) Giải phơng trình: 2
x y x
y
3) Chøng minh r»ng: a8 b8 c8 d8 4a2b2c2d2
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đ-ờng thẳng kẻ qua E, song song với AB c¾t AI ë G
a) Chøng minh tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh AF2 = FK FC.
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu 5: (1 điểm)
Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1) f(2) số lẻ Chứng minh đa thức f(x) nghiệm nguyên
Đề số 11 Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị cđa biĨu thøc:
4 20 4
4 19 4 1
4
4
4
4
A
b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp céng với số ph -ơng
(7)a) Cho xyz = 2006
Chøng minh r»ng:
1 2006
2006 2006
2006
xz z
z y
yz y x
xy
x
b) Tìm n nguyên dơng để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.
c) Cho a2b3c14 Chøng minh r»ng: 2 14
b c
a
Câu 3: (2 điểm) Cho phân thức:
5
1
1 1 1
3
2
3
x x
x x
x x
x x
x B
a) Rót gän B
b) T×m giá trị lớn B Câu 4: (3 điểm)
Cho M điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ hình vuông AMCD BMEF
a) Chøng minh: AE BC
b) Gọi H giao điểm AE BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng
c) Chng minh đờng thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB
Câu 5: (1 điểm)
a) Chứng minh với n N n > thì:
2
1
1
1
1
1 3 3 3 3 3
n C
b) Giải phơng trình:
) )( )( )( ( ) )( )( )(
(x x x x x x x x
Đề số 12 Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tö a)
x
x
b) (x2)(x3)(x4)(x5) 24
c) x4 4
2) Rót gän:
30 11
1 20
9 12
7
5
2
2
x x x
x x
x x x A
Câu 2: (2 điểm)
1) Tỡm a thức f(x) biết f(x) chia cho x-2 d 2, f(x) chia cho x-3 d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + đợc thơng 1-x2 cịn d.
2) Tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức sau số nguyên
1
5
2
x x x x A
Câu 3: (2 điểm) Giải phơng trình: a)
94 96
4 98
2 95
5 97
3 99
1
x x x x x
x
b) ( 1)2 ( 1) 12
x x x
x
Câu 4: (3 điểm)
Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lợt E, K, G Chứng minh rằng:
1) AE2 EK.EG
2)
AG AK AE
1 1
(8)
Tìm giá trÞ nhá nhÊt nÕu cã cđa biĨu thøc sau:
x x x B
2 16
(víi x > 0)
Đề số 13 Câu 1: (6 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử; a) 2x 2y x2 2xy y2
b) 2xy2x y2 y
c) x2 2xy y2 3x 3y10 Câu (4 điểm)
Cho biểu thức
1 1
2
4
x x x x
x x x
Q (x 1)
a) Rót gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị nhỏ Q Câu 4: (6 điểm)
Vẽ phía ngồi tam giác nhọn ABC tam giác ABD ACE Gọi M, N lần lợt trung điểm AD CE H hình chiếu N AC, từ H kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC I
a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN b) Tính góc tam giác MNI
c) Gi¶ sư gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b.
Đề số 14 Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: (a b c)3 a3 b3 c3
b) Rót gän:
9 33 19
3
45 12
2
2
2
x x
x
x x
x
Câu 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: A n3(n2 7)2 36n
chia hÕt cho 5040 với số tự nhiên n
Câu 3: (2 ®iĨm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nớc giếng Nếu làm máy bơm A hút hết nớc 12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc 15 máy bơm C hút hết nớc 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B Tính xem giếng hết nớc
b) Giải phơng trình: 2xa x 2a 3a (a số)
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ngời ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt điểm M, N
a) Chng minh: tam giỏc CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC
c) Chøng minh: gãc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích tam giác IMN lớn gấp đơi diện tích tam giác ABC Câu 5: (1 điểm) Chứng minh số:
0 sè n
09 00
1 99
224
9 sè
-n số phơng (n2)
Đề số 15 Câu 1: (2 ®iĨm)
Cho
8 14
4
2
2
a a a
a a a P
a) Rót gän P
(9)a) Chøng minh r»ng nÕu tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức:
) )( )( )(
(
x x x x
P có giá trị nhỏ Tìm giỏ tr nh nht ú
Câu 3: (2 điểm) a) Giải phơng trình:
18 42 13
1 30
11 20
9
2
2
x x x x x
x
b) Cho a, b, c lµ ba cạnh tam giác Chứng minh rằng;
3
c b a
c b c a
b a
c b
a A
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giỏc ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay
quanh ®iĨm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh:
a)
4
2
BC CE BD
b) DM, EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED Câu 5: (1 điểm)
Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi
Đề số 16 Bài 1: (2 điểm) Giải phơng trình
a) ( 9)3 (1 2)3 (6 10)3
x x x
x
b) Cho x, y tho¶ m·n: 2 2 13
y xy x y
x
Tính giá trị biểu thức:
y x
xy x H
52
2
Bài 2: (2 điểm) Cho
) (
3 )
3 (
3
2
x y
x y y x
y x
víi x,y0;
3 ,y
x ; xy.
Chøng minh r»ng: 11 xy83 y
x
Bài 3: Tìm x ngun để biểu thức y có giá trị nguyên Với
1
2
x x y
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC cân A (AB = AC > BC) Trên cạnh BC lấy M cho MB < MC Từ M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB E, kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua đờng thẳng EF
a) Cho AB =1002,5 cm TÝnh chu vi tứ giác AEMF b) Chứng minh tứ giác ANEF hình thang cân c) AN cắt BC H Chứng minh HB HC = HN HA Bài 5: (1 điểm)
Cho đa thức f(x)x3ax2bxc
Tìm a, b, c biÕt f(1)5 ; f(2)7 ; f(3)9
§Ị sè 17 Bài 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a)
x
x
b) (4x1)(12x 1)(3x2)(x1)
2) Cho abc0 vµ 2
b c
a Tính giá trị biểu thøc:
4 b c
a
(10)Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức:
) )( ( ) )( (
) )( (
2 2
2
y x
y x x
y x
y y
y x
x M
a) Rót gän M
b) Tìm cặp số ngun (x, y) để biểu thức M có giá trị -7
Bài 3: (2điểm) Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vịi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể bao nhiờu
Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ë G
a) Chøng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi
b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF AF2 = FK FC
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi
Bài 5: (1 điểm) Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số (n số tự nhiên, n 1)
Chøng minh r»ng: abc8 lµ sè chÝnh phơng
Đề số 18 Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình sau:
a) x4 4x2 5
b) x 1 2x 5
C©u 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:
x x
x x A
2
4
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > Câu 3: (2 điểm)
Hai anh em Trung Thành cuốc mảnh vờn, vµ sÏ hoµn thµnh giê 50 Nhng sau làm chung Trung bận việc khác nên không làm nữa, anh thành phải làm tiếp cuốc xong mảnh vờn Hỏi làm anh phải làm bao lâu?
Câu 4: (3 điểm)
Cho hỡnh thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD cắt AC F, AK cắt BD E Chứng minh rằng: a) EF song song với AB
b) AB2 = CD EF
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh biểu thøc:
1 18
10n n chia hÕt cho 27 với n số tự nhiên Đề số 19 Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nh©n tư: 4 12
x x
x
b) TÝnh:
2005 2003
1
7
1
1
1
A
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c hai số khác khác thoả m·n: 3a2 b2 4ab
TÝnh giá trị biểu thức:
b a
b a A
(11)b) Giải phơng trình: x2 13
Câu 3: (2 điểm) Cho A n3 3n2 2n
(n N)
a) Chứng minh A chia hết cho b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15 Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F lần lợt điểm đối xứng H qua AB, AC
a) Chøng minh E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh BEFC hình thang
c) Tỡm v trớ ca H BC để BEFC hình thang vng, hình bình hành Câu 5: (1 điểm)
Cho
13
14
2
2
b a b
ab a
Tính giá trị : P a2 b2
Đề số 20 Bài 1: (2 ®iÓm)
a) Cho x > 0, y > tho¶ m·n: x2 2xy 3y2
TÝnh giá trị biểu thức:
y x
y x A
b) Víi x 1 Rót gän biĨu thøc:
1
5
5
n n
x x
x x B
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh với giá trị nguyên x biểu thức
6 1978
1985 )
(
2
3 x x
x x
P cã gi¸ trị nguyên
Bi 3: (2 im) Mt ngi i xe đạp, ngời xe máy, ngời ô tô từ A B khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, với vận tốc thứ tự 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h Hỏi lúc ô tô cách ngời xe đạp xe máy
Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O giao điểm ba đờng trung trực, vẽ phía ngồi tam giác hai hình vng ABDE, ACGH Biết OE = OH Tính số đo góc BAC ?
Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình: ( 11)( 2 4)
x y y z z
x
Đề số 21 Câu 1: (2 ®iĨm)
a) Rót gän biĨu thøc:
a a a
a a
a a
a a
A n n 2 2
2
2 3
4
) (
2
b) TÝnh giá trị biểu thức:
1886
5 5
5 18 17 16
19
x x x x x x
B víi x =
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình 12
x y
x
b) Cho a, b, c số tự nhiên không nhá h¬n Chøng minh r»ng:
ab b
a
2
1
1
2
Câu 3: (2 điểm)
(12)Cõu 4 : (3 điểm) Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G
Chøng minh r»ng: a) AE2 = EK EG
b)
AG AK AE
1 1
c) Khi đờng thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhng qua A tích BK.DG = Const Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2 2005
x x x
M
§Ị sè 22 Câu 1: (2 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dơng ta có:
5 12 24 12 120
2
5 x x x x
x
A luôn số nguyên dơng b) Rót gän:
1
1
2 22
24 26
4 16
20 24
x x
x x
x x
x x B
Câu 2: (2 điểm)
Bạn A hỏi bạn B: năm bố mẹ anh tuổi ? B trả lời: bố mẹ tuổi Trớc tổng số tuổi bố mẹ 104 tuổi tuổi ba anh em lµ 14; 10 vµ HiƯn tỉng sè ti bố mẹ gấp lần tổng số tuổi cđa ba anh em t«i” TÝnh xem ti cđa bè mẹ bạn B ?
Câu 3: (2 ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng nÕu: xyzt (x, y, z, t Z ) th× sè :
2 2
2 y z t
x
A tổng bình phơng cđa ba sè nguyªn
b) Tìm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong có điều kiện đúng, điều kiện sai: N + 45 bình phơng số tự nhiên
2 N có chữ số tận
3 N - 44 bình phơng số tự nhiên Câu 4: (3 điểm)
Hai đờng chéo AC BD hình thoi ABCD cắt O Đờng trung trực AB cắt BD v AC ti O1 v O2
Đặt O2A = a ; O1B = b TÝnh diÖn tÝch ABCD theo a, b
Câu 5: (1 điểm) Tìm x, y, z Z tho¶ m·n:
105 )
)(
(
y y x x
x x
Đề số 23 Câu 1: (2 ®iĨm)
a) Cho 2 3
2
) (
1 3
k k
k k ak
víi k N*
TÝnh tæng S = a1a2 a3 a2007
b) Chøng minh r»ng: A n3(n2 7)2 36n
chia hÕt cho víi mäi n nguyên
Câu 2: (3 điểm)
a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời:
1
2
y
x ; 2
z
y ; z22x10
TÝnh giá trị biểu thức: A x2005 y2006 z2007
b) Chøng minh r»ng víi x, y Z th× ) )( )( )(
(x y x y x y x y y
P số phơng
c) Tìm số d phÐp chia:
2007 )
7 )( )( )(
(13)Phơng Hng có 110.000 đồng Hai ngời rủ chợ Phơng tiêu 1/5 số tiền Hng tiêu 1/6 số tiền Số tiền lại Hng nhiều số tiền lại Phơng 10.000 đồng Hỏi ngời có bao nhiờu tin
Câu 4: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD
1) Tứ giác DFBE hình ? v× ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chứng minh AC2 AB.AH AD.AK
Đề số 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình:
a) 2005
2004 2002
2003
2004
2005
1
x
b) x x
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tỉ lệ ba đờng cao tam giác Biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác tỉ lệ kết : :
C©u 3: (2 ®iĨm)
a) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: 2005
2 2004
2) .(2004 2005 ) 2005
2004 ( )
(x x x x x
P
b) Tìm số tự nhiên n để
n
n số nguyên tố Câu 4: (3 ®iĨm)
Cho tam giác ABC Kẻ đờng cao AH Gọi C’ điểm đối xứng H qua AB, B’ điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC AB I K Chứng minh IB, CK đờng cao tam giác ABC
C©u 5: (1 điểm)
Cho a, b, c 0;1 abc2 Tìm giá trị lớn biểu thức P a2 b2 c2
§Ị sè 25 Câu 1: ( điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
1
2
9 x x x x x x
x
b) Rót gän biÓu thøc:
x y
x y xy y x x
y xy
x y xy
x
2
2 3
2
2
3
C©u 2: (2 ®iĨm)
a) Có tồn cặp số tự nhiên (x, y) để số 4x4 y4
số nguyên tố không
b) Giải phơng tr×nh:
4
2 2
2
x x y
y
Câu 3: (2 điểm) Một ngời từ A đến B tử B A 17 phút, đoạn đờng AB dài km gồm đoạn lên dốc, tiếp đoạn đờng bằng, cuối đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đờng dài km Nếu vận tốc ngời lúc lên dốc 4km/h, lúc đoạn đờng km/h, lúc xung dc l km/h
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đờng chéo BD Kẻ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD
(14)b) Chứng minh đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c ba số dơng Chứng minh rằng:
2
1
a c
c c b
b b a
a
Đề số 26 Câu 1: (2 điểm)
Cho ph©n thøc:
2
2
2
2
x x x x
x x x x
A (víi x Z)
a) Rót gän A
b) Xác định x để A có giá trị nhỏ Câu 2: (2 điểm)
a) Cho x, y, z số nguyên khác
Chøng minh r»ng nÕu: x2 yza ; y2 zxb ; z2 xyc
Th× tỉng axbycz chia hÕt cho tỉng abc
b) Cho ®a thøc f(x) chia cho x-2 th× d 5, chia cho x-3 d 7, chia cho
6
2 x
x đợc thơng 1 x2 cịn d Tìm đa thức f(x). Câu 3: (2 điểm) Giải phơng trình:
3
2 x x
x
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AD lấy điểm F cho
AF = AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = AD Gọi N giao điểm FC với AB M giao điểm EC AD
a) Chøng minh MD = BN
b) Kẻ BH AC, gọi I trung điểm AH, K trung điểm CD Chứng minh BH IK
Câu 5: (1 điểm)
Tìm tất số có ba chữ số cho tổng nghịch đảo chữ số ca mi s bng
Đề số 27 Câu 1: (2 điểm)
a) Cho yx0
3 10
2
xy
y x
Tính giá trị biểu thức M xx yy
b) Rót gän biĨu thøc
4 12 4
4 11 4 1
4
4
4
4
A
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phơng trình: x4 4x3 19x2 106x 1200
b) Cho
b a b y a x
4
vµ 2
y x
Chøng minh r»ng: 1002 102
2004 1002
2004
) (
2
b a b
y a
x
(15)Câu 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD, góc vng xAy qoay quanh đỉnh A hình vuông, cạnh Ax cắt đờng thẳng BC, CD lần lợt M, N; cạnh Ay cắt đờng thẳng P Q
a) Chøng minh ANP AMQ vuông cân
b) Biết QM cắt PN R; I, K theo thứ tự trung điểm PN, QM Tứ giác AKRI hình g× ?
c) Chứng minh điểm: B, D, K, I thuộc đờng thẳng, từ suy đờng thẳng IK cố định góc vng xAy quay quanh nh A
Câu 5: (1 điểm) Cho 3
q
p Chøng minh rằng: 0pq2
Đề số 28 Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phơng trình:
0 ) ( ) ( ) 4
( 3
x x x
x
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2004 2003
2004
4
x x
x
C©u 2: (2 ®iÓm) Cho abc0 ; xyz0 ; 0 z c y b x a
Chøng minh: 2
by cz ax
Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dơng A; Cho biết ba mệnh đề P, Q, R dới có mệnh đề sai:
P = A+ 45 bình phơng số tự nhiên Q = A tận chữ số
R = A - 44 bình phơng số tự nhiên Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD; M điểm tuỳ ý BD, ME AB; MF AD (E AB, F
AD)
a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy
b) Tìm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài 5: (1 điểm)
Tìm x nguyên để y nguyên:
1
2
x x y
Đề số 29 Câu 1: (2 điểm)
Rút gän biÓu thøc: a)
4
2
2
x x
x x x
A
b)
9 15 14
4 10
7
2
2
2
x x
x x
x x x B
Câu 2: (2 điểm) a) Cho 3a2 b2 4ab
vµ b > a > TÝnh
b a
b a P
b) T×m x, y biÕt: 2 3
y xy x x
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho a, b số nguyên Chứng minh nÕu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d th× a2b2ab chia hÕt cho 19
b) Chøng minh r»ng tÝch cđa sè tù nhiªn liên tiếp cộng số phơng Câu 4: (3 ®iĨm)
Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AA’, BB’ , CC’ cắt H, gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Trên tia HG lấy điểm O cho OG =
3
(16)a) Chøng minh OM BC b) Tứ giác BHCD hình ?
c) Gi A1 , B1 , C1 điểm đối xứng H qua cạnh BC, CA, AB Tính
' '
'
1
1
CC CC BB
BB AA AA
Câu 5: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: 4 ) ( )
(
x x
P
Đề số 30 Câu 1: (2 điểm)
Cho ®a thøc A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4
a) Phân tích đa thức A thành nhân tử
b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác A> Câu 2: (2 im)
a) Giải phơng trình: 22
y xy
x
b) Cho a, b, c đôi khác 0
a b
c a c
b c b
a
TÝnh ( )2 ( )2 (a b)2
c a
c b c
b a P
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho m, n số thoả mÃn: 3m2 n4m2n
Chng minh (m-n) (4m + 4n + 1) số chớnh phng
b) Cho x, y, z số khác thoả mÃn xyzxyz m z y
x
1 1
Tính giá trị biểu thức: 2
1 1
z y x
A theo m.
Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC , trọng tâm G, BC lấy điểm P, đờng thẳng qua P theo thứ tự song song CG BG cắt AB, AC E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự I, J
a) Chøng minh: EI = IJ = JF
b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iĨm cđa EF
c) Một đờng thẳng P tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác ABC xuống đờng thẳng d gấp lần khoảng cách từ trọng tâm đến đờng thẳng d
Câu 5: (1 điểm) Tìm tất số cã hai ch÷ sè ab cho: aabb
số nguyên tố
Đề số 31 Câu 1: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc:
) )( ( ) )( (
) )( (
2 2
2
y x
y x x
y x
y y
y x
x M
a) Rót gän M
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Câu 2: (3 điểm)
a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiên chẵn biểu thức:
1 16
20
n n n
A chia hÕt cho 323
b) Cho x, y, z khác xyz0 Chứng minh rằng: Nếu x y z x y z
1 1
1
th× 2007 2007 2007 2007 2007 2007
1
1
z y x z
y
x
(17)C©u 4: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lợt trung điểm AB, BC, CD DA Các đoạn thẳng AO, BE, Cn DK cắt L, M, R, P Tính tØ sè diƯn tÝch S(MNPR) : S(ABCD)
C©u 5: (1 ®iĨm)
TÝnh tỉng ( 11)( 2)
5
1 34
1
1
n n n S
Đề số 32 Câu 1: (2 ®iĨm)
a) Ph©n tÝch 4
a thành nhân tử b) Tính :
4 20
4 18 16
4 14 12
4 10
4 4
4
4 4
4
4
4
4
A
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị biÓu thøc:
Ax15 7x14 7x13 7x2 7x2 7x 5 víi x = 6
b) Tìm n nguyên để n - chia hết cho
n
n
C©u 3: ( ®iĨm)
a) Cho ®a thøc ( ) 100 99
x x x x
x f
T×m d cđa phÐp chia f(x) cho
x
b) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau: 2004 18
3 24 12
) )(
( 2
xy x y x x y y
B
C©u 4: (3 ®iĨm)
Cho tam giác ABC vng A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE
a) Tø giác AEHF hình ? Tại ? b) Chøng minh AB AE = AC AF
c) So sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC Câu 5: (1 điểm)
Cho x2y2 xyxy
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A x3 y3
Đề số 33 Câu 1: (2 điểm)
1 Phân tích thành nhân tử: a) 10
x
x
b) ( 2)( 12) 15
x x x
x
2 Cho a, b số thoả mÃn 2 2005
b ab
a TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: 2 2 2
4
4
) (
) (
b a b a
b a b a P
C©u 2: ( điểm)
a) Cho p p2 + số nguyên tố Chứng minh p3 + số nguyên tố.
b) Tìm số dơng x, y, z thoả mÃn: x yxyz vµ xyz4
Câu 3: (2 điểm) Trên quãng đờng AB thành phố, phút lại có xe buýt theo chiều từ A đến B phút lại có xe buýt theo chiều ngợc lại Các xe chuyển động với vận tốc nh Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy phút lại gặp xe buýt từ B vể phía Hỏi phút lại có xe từ A vợt qua ngời
Câu 4: (3 điểm)
(18)b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d Tìm điểm M (d M nằm khác phía với AB) cho tia MA, MB tạo với đờng thẳng d tam giác có diện tích nhỏ
Câu 5: (1 điểm) Giải phơng trình: 2 2 2
2 2
b x
x a x b
b x a x
Đề số 34 Câu 1: (2 ®iĨm)
a) Cho
x
x
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: 2
4 1
x x x
A
b) Tìm số tự nhiên x để
8
2
x x
lµ sè phơng Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phơng tr×nh: 12
x
x
b) Giải bất phơng trình:
1
x x
Câu 3: ( điểm)
Việt (hỏi): Bạn số nhà ?
Nam (trả lời): Mình số nhà số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu nh hai chữ số cuối lập thành số phơng số gấp bốn lần số ?
Việt: Sau lúc suy nghĩ tìm số nhà Nam Hỏi số nhà Nam bao nhiờu ?
Câu 4: ( điểm)
1) Cho hai điểm A B nằm phía đờng thẳng a Hãy tìm đờng thẳng a điểm P cho tổng độ dài AP + PB bé
2) Cho góc nhọn xOy điểm A miền góc Hãy tìm hai cạnh Ox, Oy điểm tơng ứng B C cho chu vi tam giác ABC nht
Câu 5: (1 điểm)
Tìm sè x, y, z, t tháa m·n: 2 2 ( )
t z y x t z y
x
Đề số 35 Câu 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3
b) (x2 y2)3 (z2 x2)3 (y2 z2)3
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho f(x) = ax2bxc
Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) Tìm số x, y nguyên dơng tho¶ m·n: 2 13
y y x
Câu 3: ( điểm)
a) Chøng minh r»ng n5 5n3 4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn.
b) Cho tam giác có độ dài hai đờng cao cm cm Hãy tìm độ dài đờng cao thứ ba, biết độ dài đờng cao s nguyờn
Câu 4: (3 điểm)
a) Chng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đờng chéo ngũ giác
b) Cho tam giác ABC Trong hình chữ nhật có hai đỉnh nằm cạnh BC hai đỉnh lại lần lợt nằm hai cạnh AB AC, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn
C©u 5: (1 điểm)
Tìm tất số thực dơng x, y tho¶ m·n:
27
3
y xy
x
(19)a) Chøng minh r»ng:n5 n chia hÕt cho 30 với số nguyên n
b) Phân tích thành nh©n tư: 3
y xy x
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z tho¶ m·n:
4 1 2
2 1 1 1
z xy
z y x
b) Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng:
2
2 ( )
1 )
( )
(
a c c b b a A
lµ mét sè hữu tỉ
Câu 3: ( điểm)
a) Cho x, y > tho¶ m·n x + y =1 Chøng minh r»ng:
2 25 1 2
y y x x
b) Chøng minh r»ng:
2 ) (
1
13
2
n n
C©u 4: (2 ®iĨm)
Cho ®a thøc P(x) x4ax3bx2cxd víi a, b, c , d lµ h»ng sè
BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 TÝnh P(12) + P(-8) Câu 5: ( điểm)
Tìm số x, y nguyên thoả mÃn: x2y2 x2 8y2 2xy
Đề số 37 Bài 1: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nh©n tư: 4
x
A
b) Tìm số nguyên a để biểu thức
1
2
a a a
P nhận giá trị nguyên Bài 2: (4 điểm)
Đa thức P(x) chia cho x -3 d 7, chia cho x + d -9 cßn chi cho x2 - 5x + th×
đợc thơng x2 + cịn d Tỡm a thc P(x).
Bài 3: (6 điểm)
a) Biết x nghiệm phơng trình:
c b a c b
bc x c a
ac x b a
ab x
Tìm x dạng thu gọn b) Rút gọn biÓu thøc:
) 50 ) ( )( )( (
) 50 ) ( )( )( (
3
3
3
3
M
Bài 4: (6 điểm)
a) Trờn tia Ox góc xOy cho trớc điểm A Hãy tìm tia Oy góc điểm B cho OB + BA = d (với d độ dài cho trớc
b) Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyến kẻ từ B C BE CF Chứng minh BE vuông góc với CF vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2
Đề số 38 Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x43x2 2x3
b) Giải phơng trình: 3
x x
x
Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức:
a a a a a
a
P
1
2
(20)b) Tìm a để P nguyên Bài 3: (3 im)
a) Tìm số nguyên x, y, z biÕt r»ng:
yxz1xyz2xzy 3x1yz
b) Cho ®a thøc f(x) = ax2bxc víi a, b, c lµ số hữu tỉ Biết f(0), f(1), f(2) có
giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đờng cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác ABC
Chøng minh r»ng:
' ' '
' '
'
CC HC BB
HB AA
HA
Bài 5: (1 điểm)
Tìm số a b chob đa thức x2axb chia cho (x + 1) th× d 7, chia cho
(x-3) d -5
Đề số 39 Bài 1: (2 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc:
a) P (a b c)2 (a b c)2 (a b c)2 (b c a)2
b) 2
1
1
y x y x y x Q
Bài 2: ( điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (abc)(abbcca) abc
b) Tìm x, y biÕt:
2
2
y x y
x
c) Cho ( 1)( 1)
n n n
A Tìm số tự nhiên n để giá trị A số nguyên tố Bài 3: ( điểm)
Giải phơng trình:
5 125
123
121 11
119 13
117 125
5 123
7 121
9 119
11 117
13
x x x x x x x x x
x
Bµi 4: (2 ®iĨm)
Một tơ khởi hành từ A đến C, hai sau ô tô khác từ B đến C Sau
5
giờ tính từ tơ thứ lhởi hành hai tơ gặp Tính vận tốc tơ Biết B nằm đờng từ A đến C quãng đờng AB 78 km, vận tốc ô tô từ A lớn vận tốc ô tô t B l km/h
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có ba phân giác AD, BE CF Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng B, A C qua AD, BE , AD Q điểm đối xứng A qua CF Chứng minh MN // PQ
Đề số 40 Bài 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4 1 2x3 x2
b) ( 3) ( 3) ( 3)
b a c a c b c b
a
Bµi 2: (4 ®iĨm)
a) Rót gän biĨu thøc sau: (a b 1)3 (a b 1)3 6(a b)2
b) Xác định a, b để đa thức x3ax22xb chia hết cho đa thức x2 c) Tìm d phép chia đa thức ( ) 2004 2005 2005 2004 2002
x x x
x
f cho ®a thøc
x
d) Tìm x nguyên thoả mÃn: 2x
Bài 3: (2,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi M, N, P Q lần lợt trung điểm AB, CD, BD AC
(21)b) Tìm điều kiên tứ giác ABCD để MN = PQ
c) Xác định vị trí điểm I CD để AIB có chu vi nhỏ Bài 4: (1,5 điểm)
a) Tính nhanh: 998299921001210022 b) Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc:
2004
3
2
x xy y x y
A
Đề số 41 Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tö: 2
x x x
x
b) T×m giá trị nhỏ biểu thức: 2 6 12 2006
x y xy x y
A Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm thơng phần d phÐp chia ®a thøc: 1997
3
)
(x x x x x
f cho x21
b) Đa thức f(x) chia cho x-3 d 10, chia cho x+5 d cịn chia cho (x-3) (x+5) đợc thơng
x d Tìm đa thức f(x) Bài 3: (2 điểm)
Tìm số tù nhiªn x cho 1999 1997
x x
M có giá trị số nguyên tố Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD điểm M đờng chéo AC Từ M hạ MH, MK thứ tự vng góc với AB BC
a) Chứng minh rằng: AK, CH DM đồng quy
b) Tính góc tam giác DHK biết diện tích tam giác 2
4
KD HK
Bài 5: (1 điểm)
Tìm a để phơng trình sau có nghiệm nhất: 2x a 1x3
Đề số 42 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4
x x x x
x
b)
x
x
Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức:
1
1 :
1
1
1
2
3
m m
m m
m m m
m m
P
a) Rót gän P b) TÝnh P
1999 2001
m
Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dơng n phân sè:
13 21 30
6 15
2
n n
n n
tối giản b) Tìm số nguyên n để n chia hết cho 64
n
Bµi 4: (3 ®iĨm)
Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với AE, cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF, AI cắt CD M Qua E dựng đ-ờng thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chøng minh tø gi¸c MENF hình thoi
b) Chng minh rng chi vi tam giác CEM không đổi E chuyển động BC Bài 5: (1 điểm)
Tìm a để P = a4 + số nguyên tố.
(22)Phân tích đa thức thành nh©n tư: a) ( )2 ( )
y x y
x
b) (x2 x 1)(x2 3x 1) x2
Bài 2: (2 điểm)
Cho ®a thøc P(x)x5ax4bx3cx2dxe vµ cho biÕt
P(1) = ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51 TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8)
Bài 3: (2 điểm) Giải phơng tr×nh:
a)
4 4
2 2
x x
x x
b) 2
x x x
x
Bài 4: (2 điểm)
Dựng hai can lớt 2,5 lít làm để đong đợc lít rợu từ can lít đựng đầy r-ợu (các can khơng có vạch chia độ)
Bµi 5: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: P = 100 10 10 10
x
x
Đề số 44 Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử:
x
x
b) Tìm cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: P x2 y2 xy 2x 2y
Bài 2: ( 2điểm) Giải phơng trình: a) 22 33 44
x x
x
b) 2 2
x x x
x
Bài 3: ( điểm)
Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Newtơn đa thøc: 2 8
) (
1x x
Bài 4: (2 điểm)
Tỡm số tự nhiên có bốn chữ số biết số luỹ thừa bậc bốn tổng chữ số ca nú
Bài 5: (2 điểm)
Chøng minh r»ng:
1
1
2
x x
x x
§Ị sè 45 Câu 1: ( điểm)
Phân tích thành nh©n tư: a) 4 64
y x
b) 14
x x x
x
Câu 2: ( điểm)
Tỡm m để phơng trình sau có hai nghiệm: x x x1m
Câu 3: ( điểm) Cho 2006
x
x Tính giá trị biểu thức: 22
x x x
P
Câu 4: (2 điểm) Cho x, y, z > vµ xyz =1 Chøng minh r»ng:
1 1
1
1
3 3
3
3
y y z z x
x
Câu 5: ( điểm) Cho a, b, c ba số dơng thoả mÃn: abc1
Tìm GTNN cđa biĨu thøc:
c b a
(23)đề 46:
Bài 1: a)(2đ) Giải phương trình ẩn x : |x2 -1| + |a(x-1)|=0
b)(1đ) Chứng minh : a2 + b2 + c2
3
với a+b+c=1
c) (1đ) Tìm giá trị nhỏ B=(3x-1)2 - 4|3x-1| +
Bài 2: a)(2đ) Cho A(x) = 8x2 - 26x + m
B(x) = 2x -
Tìm m để A(x) chia hết cho B(x)
b)(2đ) Cho x,y,z ba số thực thỏa mãn
1 1 1 3
2 2
z y x
z y x
z y x
Tính P= (x-1)17 + (y-1)9 +(z-1)2008
Bài 3:(4đ) a) Tìm ước chung lớn 263 - 277 - 1
b) Chứng minh với n số nguyên chẵn n3 + 20n chia hết cho 48
Bài 4: (4) Cho hình vng ABCD TRên BC lấy M cho BM = 13BC TRên tia đối tia CD lấy N cho CN =
2
BC AM cắt BN I CI cắt AB K Gọi H hình chiếu M AC Chứng minh K, M, H thẳng hàng
Bài 5: (4) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC = 6Cm, góc BDC = 450 Gọi O
giao điểm hai đường chéo Tính diện tích hình thang ABCD cách
đề 47:
Bài 1: (4đ)
a) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x + y + z =1 Chứng minh : xyyz3 zx + 2
2
z y
x 14
b) Cho x, y thỏa mãn 8x2 +y2+
4
x = Xác định x, y để xy đạt giá trị nhỏ
c) Phân tích thừa số a4 - 5a3+10a + Áp dụng để giải phương trình
2
2
x
x
= 5x
Bài 2: (3đ) Một tàu thủy chạy khúc sông dài 120 Km 6h45’ Tính vận tốc nước yên lặng biết vận tốc dòng nước 4km/h
Bài 3:(4đ) a) Chứng minh ( 1
2
a +
1
2
b ) 1ab
2
với a1, b1
b) Tìm số nguyên tố p để 4p2+1 6p2 +1 số nguyên tố
Bài 4: (4) Cho tam giác ABC, M BC (M khác B M khác C) vẽ MD vng góc với AB, ME vng góc với AC ( D AB, E AC) Xác định M để diện tích tam gisc MDE lớn
Bài 5: (5) Cho hình vng ABCD, M hình vng
(24)b) Xét M thuốc AC Gọi N chân đường vng góc hạ từ M xuống AB O trung điểm AM Chứng minh CNOB có giá trị khơng đổi M di chuyển AC
đề 48:
Bài 1: (4đ)
a) Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn nhỏ x6 + y6
b) Tìm giá trị nhỏ M = 2 2 2004
x x
x
với x0
Bài 2: (4đ) a) Chứng minh với a,b,c số lẻ (a2b,b2c,c2a ) = (a,b,c) b) Tìm ước 1896
Bài 3:(3đ) a) Giải phương trình x4 - 30 x2 +31x –30 =0
b) Giải bất phương trình
1999
x
+
1997
x
1995
x
+
1993 11
x
Bài 4: (5) Cho tam giác ABC có góc Bbằng góc C = 700 Đường cao AH Các điểm E, F
theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho góc ABE = góc CBF 300 Gọi M
trung điểm AB
a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với BHE b) Chứng minh AB.BE = BC.AE
Bài 5: (4) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC Gọi BD đường phân giác tam giác ABC Đường trung trực BD cắt AC M
a) Chứng minh tam giác MAB đồng dạng với tam giác MBC b) Cho AD = 4, DC = Tìm MD
đề 49:
Bài 1: (4đ)
a) Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b =c
b) Tìm k lớn để có a3 + b3 + c3 + kabc
3
+ 27k Với a,b,c a + b + c =1
c) Chứng minh Với a,b,c > < aab
+ b c
b
+c a
c
<
Bài 2: (3đ) Chứng minh 32n + 3n +1 13
Bài 3:(3đ) Giải phương trình |x-2006|2006 + |x-2007|2007 =
Bài 4: (3) Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi có tam giác ABC tam giác vng cân A ABD ACE Chứng minh đường cao AH tam giác ABC qua trung điểm I đoạn DE
Bài 5: (3) Cho tam giác ABC có AB=c, AB= b phân giác AD=d Chng minh
c b d
1
Bài 6 (4) Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện tứ giác nửa tổng cạnh tứ giác hình thang
đề 50:
(25)a) 18 x3 - x
25
b) x2 + x + 30
c) x6 + x4 + x2 y2 + y4 - y6 d) 6x3 + 13 x2 + 4x –3
Bài 2: (4đ) Giải phương trình a)
1
x + 1
5
3
x
x
=
1
2 x
x b) | x2 -3x + | = 3x - x2 -1
c) Tìm m để phương trình (ẩn x) sau 2x2 -(2m + 7) x + 10m – 15 =0 có nghiệm phân
biệt dương
Bài 3: (2đ) a)Cho a3 - 3a b2 = b3 - 3a2 b = 10 Tính a2 + b2
b)Tìm giá trị nhỏ A = x2 +y2 + xy + x + y
Bài 4:(4đ) cho ba phân thức a abb
1 , bc
c b
1 , ac
a c
1
Chứng minh tổng ba phân thức tích chúng
Bài 5: (4đ) Cho đoạn thẳng AB điểm I nằm hai điểm A B mặt phẳng bờ AB Kẻ Ax, By vng góc với AB Trên Ax Lấy C, tia vng góc với IC I cắt By D
a) CMR : AC DB = IA IB
b) Ba điểm A, B, C cố định Xác định I để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn
Bài 6: (2đ) Gọi M, N trung điểm AD BC hình chữ nhật ABCD Trên tia đối DC lấy P Giao điểm AC với PM Q