Biết rằng gửi tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính thá[r]
(1)www.MathVn.com – book.mathvn.com – www.DantriNEWS.com
Së Giáo dục Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Giải toán máy tính CầM TAY Đề thi thức Khối 12 THPT - Năm học 2009-2010
Thi gian lm bi: 150 phút
Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm trang
Điểm toàn thi (Họ, tên chữ ký) Các giám khảo (Do Chủ tịch Hội đồng thi Số phách ghi)
B»ng sè B»ng ch÷
GK1 GK2
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, cơng thức áp dụng, kết tính tốn vào
ơ trống liền kề tốn Các kết tính gần đúng, khơng có định cụ thể, ngầm định xác tới chữ số phần thập phân sau dấu phẩy
Bài (5 điểm) Tính giá trị hàm số f x( ) x=0, 75:
( )
( )
2
3 3
2
2 sin cos
( )
log tan 1
x x
x x
f x
e- x x
+ +
=
+ + +
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài (5 điểm)
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
3
y=x - x +
2
2
2
x x
y x
+ +
=
+
(2)Bài (5 điểm) Tính gần giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:
2
4
y= - +x x- + - x
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài (5 điểm) Cho dãy hai số un xác định sau:
2
1 1; n n n ( 2,3, 4, )
u = u = u - + ku - - n= , k số nguyên dương cho trước
a) Chứng tỏ có giá trị k bé 30 giá trị dãy số nguyên Khi tính xác giá trị u10;u11;u12;u13
b) Với giá trị k tìm câu a), lập cơng thức truy hồi tính un+2 theo un+1 un Chứng minh
(3)www.MathVn.com – book.mathvn.com – www.DantriNEWS.com
Bài (5 điểm) Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm số tự nhiên:
2010
9
2
A=
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài (5 điểm)
Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu 20 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,72%/tháng Sau năm, bác An rút vốn lẫn lãi gửi lại theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi số kỳ hạn tháng thêm số tháng bác An phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà số tiền 29451583,0849007 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi kỳ hạn tháng, tháng chưa tới kỳ hạn lãi suất không kỳ hạn tháng thời điểm rút tiền ? Biết gửi tiết kiệm có kỳ hạn cuối kỳ hạn tính lãi gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, cịn rút tiền trước kỳ hạn, lãi suất tính tháng gộp vào vốn để tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím máy tính để giải
(4)Bài (5 điểm) Cho đa thức P x( )=(2x+ +3) (2x+3) (2+ 2x+3)3+ ××× +(2x+3)20
a) Tính gần
3
Pổỗ- ửữ
ố ứ
b) Tìm hệ số xác số hạng chứa
x khai triển rút gọn đa thức P(x)
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài (5 điểm)
Trong ngày thi giải tốn máy tính cầm tay (20/12/2009), bạn Bình đố bạn Châu tìm số nguyên x nhỏ cho bình phương lên số nguyên có chữ số đầu 2012 chữ số cuối 2009 Em giúp bạn Bình tìm số x viết xác số
x Nêu sơ lược cách giải
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài (5 điểm)
Tính gần nghiệm hệ phương trình:
3 log 12 27 log 25
x x
y y
ì + =
í - =
(5)www.MathVn.com – book.mathvn.com – www.DantriNEWS.com
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 10 (5 điểm) Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R=10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h=4cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Tính bán kính viên bi (kết làm trịn đến chữ số lẻ thập phân)
Cho biết công thức tính thể tích khối chỏm cầu hình cầu (O, R), có chiều cao h là:
2 hom
3
c cau
h V =ph ổỗR- ửữ
è ø
Hình Hình
(6)Sở Giáo dục Đào tạo Kú thi chän häc sinh giái tØnh Thõa Thiªn HuÕ Giải toán máy tính CầM TAY Đề thi thức Khối 12 THPT - Năm học 2009-2010
ỏp ỏn v biu im
Bài Cách giải §iĨm TP §iĨm toµn
bµi
1 ( ( ) )
2
3 3
2
2 sin cos
( )
log tan 1
x x
x x
f x
e- x x
+ +
=
+ + + Trước tính, cần chuyển
Mode tính đơn vị đo góc Radian
(0, 75) 0, 6063
f »
5
2
Phương trình cho hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số:
4
3
y=x - x +
2 2 x x y x + + =
+ là:
2
4
2
2 5
3 4
2
x x x x
x x x x
x x
+ + + +
- + = Û - + - =
+ +
Dùng chức SOLVE ta tìm hai nghiệm (khi lấy giá trị đầu 1):
1 0, 701149664
x » x2 »1, 518991639
Dùng chức CALC để tính giá trị tung độ giao điểm:
1 2, 7668
y » y2 »2, 4018
Vậy: Hai đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm
(0, 7011; 2, 7668 ,) (1,519; 2, 4018)
A B
3
Hàm số:
4
y= - +x x- + - x có tập xác định hàm số là:
5 1; é ù ê ú ë û
Đạo hàm hàm số:
( )
2
2
2
'
2
2 4
x x x x
x y
x
x x x x x
- + - - - + +
= - =
+ - - + - ´
-( ) ( )
' 5
y = Û - +x - x- - +x x- = Û - +x - x= - +x x
-( ) ( ) (2 )
2 5 (1 2,5)
x x x x x x x x x
Û - + - = - + - Û - + - = - + - £ £
3
2x 14x 32x 23 (1 x 2, 5)
Û - + - = £ £
(7)www.MathVn.com – book.mathvn.com – www.DantriNEWS.com
[ ]
2 1, 434802283 1; 2,
x= » Ỵ hai nghiệm ảo
Dùng chức CALC để tính giá trị hàm cận điểm cực đại, ta được:
Tương tự, ta có:
3
(1, 434802283) 2, 284542897; (1) 1, 732050808; (2, 5) 0, 866025403
f » f = » f = »
Vậy: ( ) 2, 2845; ( ) 0,866
Max f x » Min f x = »
4
2
1 1; n n n ( 2,3, 4, )
u = u = u - + ku - - n=
a)
1 1; 1 8
u = u = u + ku - = - k-
Để u2ỴN k- =8 , 1, , , 16Û =k 8, , 12 , 17 , 24 (k < 30)
Thử với k=8, , 12 , 17: có u u1, 2 số nguyên, u3ÏZ Khi thử với k =24 với nhiều un liên tiếp
Với k =24: Ta có:
1 1, 9, 89; 881; 8721; 86329; 854569;
u = u = u = u = u = u = u =
8 8459361; 83739041; 10 828931049
u = u = u =
11 8205571449; 12 81226783441; 13 804062262961;
u = u = u =
b) Công thức truy hồi un+2 có dạng: un+2 =aun+1+bun+2 Ta có hệ
phương trình:
3
4
9 89
10; 89 881
u au bu a b
a b
u au bu a b
= + + = ì ì Û Û = = -í = + í + = ỵ ỵ
Do đó: un+2 =10un+1-un
Chứng minh sơ lược:
Ta có:
2 2
1 1 1
5 24 24 24 24 10 24
n n n n n n n n n n
u = u- + u - - Þu - u - = u - - Þu - u u - +u- + =
(1)
Thay n n +1: 2
1 10 24
n n n n
u + - u +u +u + = (2) Trừ (1) cho (2) ta có:
( ) ( )( )
2
1 10 1 1 1 10
n n n n n n n n n n
u + -u - - u u + -u - = Û u + -u - u + +u - - u =
Dãy số đơn điệu tăng, nên: un+1+un-1-10un Ûun+1 =10un-un-1 Hay: un+2 =10un+1-un
5
Ta có: 91 ( )
2 =2 º512 mod 1000 ( )
2
9 9 9
2 =2´ = º512 º512 ´512 º352 (mod 1000)
( )
3 2
9 9 9
2 =2 ´ = º352 º912 (mod 1000)
( )
4 3
9 9 9
(8)( ) ( )
5 9
9 9 9
2 = º952 º312 (mod 1000); = º312 º552 (mod 1000);
( ) ( )
6 9
9 9 9
2 = º312 º552 (mod 1000); = º552 º712 (mod 1000);
( ) ( )
8 9
9 9 9
2 = º712 º152 (mod 1000); = º152 º112 (mod 1000);
( ) ( )
9 10 9
9 9 9
2 = º152 º112 (mod 1000); = º112 º752 (mod 1000);
( )
11 10
9 9
2 = º752 º512 (mod 1000);
Do chu kỳ lặp lại 10, nên Vậy: 92010
2
A= có ba số cuối là: 752
6
Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kỳ hạn tháng sau 1; 2; ; 4; 5; 6; kỳ hạn tháng là:
( ) (4 )
20000000 0, 72 100+ ´ ¸ 0, 78 100+ ´ ¸ A Dùng phím CALC nhập giá tri A 1; 2; 3; 4; 5; ta được: 22804326,3 đồng; 232871568,78 đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng; 27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng
Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56, Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ là: kỳ hạn
Giải phương trình sau, dùng chức SOLVE nhập cho A ; 2; ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X 0,6 (vì lãi suất không kỳ hạn thấp có kỳ hạn)
( ) (4 ) (6 )
20000000 0, 72 100+ ´ ¸ 0, 78 100+ ´ ¸ 1+ ¸X 100 A-29451583.0849007=0 X = 0,68% A =
Vậy số kỳ hạn tháng bác An gửi tiết kiệm là: kỳ hạn ; số tháng gửi không kỳ hạn là: tháng lãi suất tháng gửi không kỳ hạn 0,68%
7
a) 68375, 2807
3
Pổỗ- ửữằ
ố ứ
b) Hệ số số hạng chứa
x là:
20
5 5
5
2 3k 296031627712=9473012086784
k k
C
-=
´ = ´
å
8
Các số có chữ số mà bình phương lên có chữ số cuối 2009 là:
2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997
4485< 2012abcd <4487; 14184< 2012abcde<14189
(9)www.MathVn.com – book.mathvn.com – www.DantriNEWS.com Số cần tìm là: x = 14186747
2 201263790442009 x = 9
3 log 12 27 log 25
x x y y ì + = í - = ỵ
Đặt ; log2
x
u= > v= y, Hệ phương trình trở thành: 3 312 25 u v u v + = ì í - = ỵ
( )3
3 3
12
12 12 (1)
2 36 432 1753 (2)
25 12 25
v u
u v v u
u u u
u v u u
= -ì + = = -ì Ûï Ûì í í í - + - = - = ï - - = ỵ ỵ ỵ
Giải phương trình (2) ta nghiệm thực nhất:
6,11572639
u»
Thay vào (1) ta được: v»5,88427361
3
3x 6,11572639 log 6,11572639 1, 6483
u= » Þ »x » ;
5,88427361
log 5,88427361 59, 0667
v= y» Þ »y »
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm gần là:
(x»1, 6483; y»59, 0667)
10
Gọi x bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: 0<2x<10Û < <0 x
Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào:
2
4 416
16 10 435, 6341813
3 3
h
V =ph ỗổR- ửữ= pổỗ - ửữ= p ằ
ố ø è ø
Khi thả viên bi vào khối chỏm cầu gồm khối nước viên bi tích là:
( )2 2( )
2
4 30
2
3
x x
x
V =p x ổỗR- ửữ= p
-ố ứ
Ta có phương trình:
( )
3
2
4
4 30 416
3
V - =V px Û px - x - p = px Û3x3-30x2 +104=0 Giải phương trình ta có nghiệm: x1»9, 6257>5 (loại);
2 2, 0940