b)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc OXY tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC cân tại A.. Trong đó nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1 và 9.[r]
(1)TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI (LẦN I) Môn thi: Toán ;năm học 2010 – 2011
(Đề gồm 01 trang) Thời gian làm 180 phút Bài 1: (6 điểm) Cho hàm số y x3 x2 m2xm
3
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m0
b) Tìm a để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 3
3
3x a a
x
c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng
2 : )
( y x Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình: 6sinx2cos3x5sin2xcosx b) Giải hệ phương trình:
0
4
0
2 2
4
y x y x x
y x xy x
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy
AB = a, cạnh bên AA’ = b Gọi góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan thể tích khối chópA’BB’C’C
b)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề vng góc OXY tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC cân A Biết phương trình cạnh BC: xy20 đường phân giác góc B có
phương trình 2xy90,và đường cao qua điểm A tam giác có phương trình x y40 Bài 4: (4 điểm)
a) Từ số tự nhiên, lập số gồm chữ số khác Trong thiết phải có mặt hai chữ số
b) Cho hàm số:
2
2
x x mx
y
Tìm m để hàm số nghịch biến 0;
Bài 5: (2 điểm) Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn abc9
Chứng minh rằng: 2
2 2
2
2
ca a c bc
c b ab
b a
HẾT
Họ tên thí sinh dự thi:………
(2)TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LẦN I NĂM HỌC 2009 – 2010
Mơn: TỐN
(Đáp án – Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
I Ý
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (2,00 điểm) Tập xác định:D = R
Sự biến thiên:
y'3x2 6x,y'0x0;x2 Giới hạn hàm số vô cực:
x
x
y y ,lim lim
Bảng biến thiên:
x - + y’ + - +
y
+
- -4
Hàm số đồng biến khoảng (-;0) (2;+), nghịch biến khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại yCD 0 x = 0, hàm số đạt cực tiểu yCT 4 x =
Đồ thị:
y
-1
x
-4
0,5
0,5
0,5
0,5
2 Xác định m … (2,00 điểm)
3
Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số yx3 3x2và đường thẳng
2
3a a
y
Để pt có nghiệm 4a33a2 0
0;2 \ ) ; (
) )( (
0 ) (
2
a
a a
a a
…….(2,00 điểm)
(3)Ta có y y x m x m m ) ( ) 3 ( '
2
y’ = có hai nghiệm x1;x2 m 3và pt đường thẳng cực trị y = m xm m ) (
2
(d) Các điểm cực trị A x y 1, 1,B x 2,y2 đối xứng qua :
2
y x
(d) () trung điểm I AB (*) Ta có 1
I
x x
x suy
(*)
2
2
2 3 1
0
3
0
2 3 1 1
3 2
m m
m
m m m
m m
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II
1 Giải phương trình lượng giác (2,00 điểm) + Với cosx = pt vô nghiệm
+ Với cosx pt cho (tanx1)(3tan2 x3tanx1)0 x x k ;kZ
4
tan
1 Giải hệ phương trình (2,00 điểm)
Hệ pt cho
0 ) ( ) (
0 ) (
2 2
y x
y x
y x y x
Đặt u x2 y;v12y Khi hệ pt trở thành
0 ) (
3
2 2
2
v v x
xv u v
x u
xv u
x u v u
v u
x
3 ;
0 ; 0
Hệ pt có nghiệm: (0;0) ; (1;2) ; (2;2)
0,5 0,5 0,5 0,5 III …… (4,00 điểm)
a B’ Gọi H tâm tam giác ABC AH (ABC)
M trung điểm BC Ta có
a a b HM
H
A 2
3 '
tan
A’ C’
3 '
2
2 a
b H
A B M H
A C
(4)b
12
'
1 2
'
a b a S
H A
VAABC ABC
Vtrụ =
4
'
2 2
a b a S
H A ABC
, suy thể tích A’BB’C' là:
6
3 2
2 '
a b a V
V
V tru ABC
Tọa độ điểm B nghiệm hệ pt ) ; (
9
0
B y
x y
x y x
A Lấy điểm M(2;0) BC
Gọi M’ đối xứng với M qua đường phân giác góc B Suy M’(6;-2) AB
Suy pt AB: 7x - y - 44 = Tọa độ điểm A nghiệm hệ pt
) ; (
44
0
A y
x y
x y x
B H C Gọi H hình chiếu A lên BC, suy tọa độ điểm H nghiệm hệ pt:
) ; (
2
H y
x y
x y x
Ta thấy H trung điểm BC, suy tọa độ điểm C(-1;-3)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
IV a
b
Gọi số gồm chữ số khác là: abcdef + xếp vào vị trí từ a đến f có
6
A cách chọn + a2;3;4;5;6;7;8 có cách chọn sau xếp số + Còn lại số xếp vào vị trí có
7
A cách chọn Suy có 7.A62.A73 = 44100 số
TXD: D = R\ 2 ; 2
2
) (
14
'
x mx mx
y
0, 0;
' x
y
f(x) mx2 4mx 14 0, x 0; + Với m = không thỏa mãn
+ Với m 0 ta xét hai trường hợp:
1
0,5
(5)V
TH1:
0
0 14
0
0
m
m m
m ( vô nghiệm)
TH2:
0 / 14
0
0
0 14
0 0
0
m m
m m
P S m
(vô nghiệm)
… (2điểm)
0,5
0,5
VT = 12 22 12 22 12 22
c a b
c a
b
Ta có: +
3
2 2
2
3
1
1
ba a
a b a
b đẳng thức xảy a = b
+
a b
ba
3
3 đẳng thức xảy a = b
+ VT )
2
1
1 ( 3
c a b c a
b
3 3
1
27
c b
a (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy a = b = c =
0,5
0,5