tai lieu on HS gioi casio

Daïng 9 : TÌM NGHIEÄM GAÀN ÑUÙNG CUÛA PHÖÔNG TRÌNH Trong raát nhieàu tröôøng hôïp ñeå giaûi moät phöông trình ta chæ coù theå tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa noù (nghieäm thöôøng laø nhö[r]

(1)

CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI “GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO”

Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục Đào tạo tổ chức thi cấp khu vực “Giải tốn máy tính điện tử Casio” Đội tuyển Phổ thông Trung học Cơ sở tỉnh gồm thí sinh Những thí sinh đạt giải cộng điểm kỳ thi tốt nghiệp bảo lưu kết suốt cấp học Đề thi gồm 10 (mỗi điểm, tổng số điểm 50 điểm) làm 150 phút

Quy định: Thí sinh tham dự dùng bốn loại máy tính (đã Bộ Giáo dục Đào tạo cho phép sử dụng trường phổ thông) Casio fx-220, Casio fx-500A, Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS

 Yêu cầu em đội tuyển trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên sử dụng máy

Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS

Nếu không qui định thêm kết ví dụ tập tài liệu phải

viết đủ 10 chữ số hình máy tính

Các dạng tốn sau có sử dụng tài liệu TS.Tạ Duy Phượng – Viện toán học

một số tập trích từ đề thi (đề thi khu vực, đề thi tỉnh, huyện tỉnh Lâm Đồng) từ năm 1986 đến nay, từ tạp chí Tốn học & tuổi trẻ, Tốn học tuổi thơ

A SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH

I Dạng 1 : KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TỐN THỰC HÀNH

u cầu: Học sinh phải nắm kỹ thao tác phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, thức, phép tốn lượng giác, thời gian Có kỹ vận dụng hợp lý, xác biến nhớ máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số sử dụng biến nhớ

Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính:

a A649 13.1802 22 13 2.649.180 2

b    

2

1986 1992 1986 3972 1987

B

1983.1985.1988.1989

  



c

7 6,35 : 6,5 9,8999  12,81

C : 0,125

1

1,2 : 36 : 0,25 1,8333

5

 

 

 



 

 

 

 

d  

 

3: 0,2 0,1 34,06 33,81 4

D 26 : :

2,5 0,8 1,2 6,84 : 28,57 25,15 21

   

    

 

 

e.Tìm x biết:

1

x : 0,003 0,3

1

4 20 :62 17,81: 0,0137 1301

1 20

3 2,65 : 1,88

20 25

     

 

   

 

   

    

   

   

   

    

 

f Tìm y biết:

13 : 21 11

15,2.0,25 48,51:14,7 44 11 66

1

y 3,2 0,8 5 3,25

2

 

 

 

  



 

   

 

(2)

a

3 4

0,5 x 1,25.1,8 :

4 5,2 : 2,5

3

15,2.3,15 : 1,5.0,8

4

                                   

b  

 

2

0,15 0,35 : 3x 4,2

1

4 3 : 1,2 3,15

2 12

12,5 : 0,5 0,3.7,75 :

7 17

                     

Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị) a Tìm 12% 3a b

4 3 bieát:

 

   

2

3 : 0,09 : 0,15 :

5

a

0,32.6 0,03 5,3 3,88 0,67

2,1 1,965 : 1,2.0,045 1: 0,25

b

0,00325 : 0,013 1,6.0,625

              

b Tính 2,5%

7

85 83 :

30 18

0,004

 



 

 

c Tính 7,5%

7 17

8

55 110 217

2 :17

5 20

             

d Tìm x, nếu: : x :1,3 8,4.47   676 2,3 5: 6,25 78.0,0125 6,9  1141 

  

 

Thực phép tính:

e A113252  : 14 43 6   : 1,5 2 523,7

     

f B 12 :1 1 57  343 : 211 1212 

 

g

1 12 10

10 24 15 1,75

3 7 11

C

5 0,25 60 194

9 11 99

                        h 1

1 1,5 0,25

D : 0,8: 3 50 46

3 .0,4. 6

1

2 1: 2,2.10

2



   

 

i  

4

0,8: 1.25 1,08 :

4

5 25

E 1 1,2.0,5 :

5

0,64

25 17

                        k 1

7 2 3 90

F 0,3(4) 1,(62) :14 :

11 0,8(5) 11



(3)

Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính: a A 3 35 4  2 3203 25

b 3 3

3

54 18

B 200 126

1 2

    

 

Bài 5: (Thi khu vực 2001)

a Hãy xếp số sau theo thứ tự tăng dần:

17 10

5 16 26 245 45

a ,b ,c ,d

5 125 247 46

 

     

 

b Tính giá trị biểu thức sau: 0,(5).0,(2) : :  3 251 33   5 32 4.1 :

   

c Tính giá trị biểu thức sau: 2334 4  8899

Nhận xét: Dạng kiểm tra kỹ tính tốn thực hành dạng tốn nhất, tham

gia vào đội tuyển bắt buộc thí sinh phải tự trang bị cho khả giải dạng tốn Trong kỳ thi đa số thí sinh làm tốt dạng này, nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau:

Viết đáp số gần cách tùy tiện Để tránh vấn đề yêu cầu trước dùng máy tính để tính cần xem kỹ biến đổi không, sử dụng biến nhớ cần chia cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ

Ví dụ: Tính T = 1 9999999996 0,9999999996

 

- Dùng máy tính trực tiếp cho kết là: 9,999999971 x 1026 - Biến đổi: T=

61 9999999996 60,99999999966 ,

Dùng máy tính tính 61 9999999996 0,9999999996

  =999 999 999

Vaäy T 9999999996 9999999993

 

Như thay kết qủa nhận số nguyên trực tiếp vào máy tính ta nhận kết số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số a).

 Trong kỳ thi cấp tỉnh dạng thường chiếm 40% - 60% số điểm, kỳ

thi cấp khu vực dạng chiếm khoảng 20% - 40%

 Trong dạng thí sinh cần lưu ý: số thập phân vô hạn tuần hồn (ví dụ: 0,(4);

0,1(24); 9,895862…; … thí sinh cần biết cách biến đổi số sang số thập phân làm việc với số

II Dạng 2: ĐA THỨC

Dạng 2.1 Tính giá trị đa thức

Bài tốn: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; …

Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính

Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến)

Vieát n n

0 n

P(x) a x a x  a

    dạng P(x) ( (a x a )x a )x )x a 0  1  2   n

Vaäy P(x ) ( (a x0  0a )x1 0a )x2 0 )x0 an Ñaët b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn

Từ ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥

Giải máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M

- Thực dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak

Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính    

  

5

3

3x 2x 3x x

A

4x x 3x x = 1,8165

(4)

Aán phím: 8165 

2

( Ans ^ Ans ^ Ans x   Ans ) ( Ans ^ Ans x 3 Ans ) 

Kết quả: 1.498465582

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

Aán phím: 8165 SHIFT STO X

2

( ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X x   ALPHA X ) ( ALPHA X ^ ALPHA X x 3 ALPHA X ) 

Kết quả: 1.498465582

Nhận xét: Phương pháp dùng sơ đồ Horner áp dụng hiệu máy 220

fx-500A, máy fx-500 MS fx-570 MS nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím  xong Để

kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x0 vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị

Ví dụ: Tính    

  

5

3

3x 2x 3x x

A

4x x 3x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321

Khi ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:   235678 SHIFT STO X

Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím  xong

 Trong kỳ thi dạng tốn ln có, chiếm đến điểm thi Khả

năng tính tốn dẫn đến sai số thường khơng nhiều biểu thức phức tạp nên tìm cách chia nhỏ toán tránh vượt giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn)

Bài tập

Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: a Tính x4 5x 3x3 x 1

    x = 1,35627

b Tính P(x) 17x5 5x4 8x 13x 11x 3573

      x = 2,18567

Dạng 2.2 Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + r, r số (khơng chứa biến x) Thế x bata P( b

a

 ) = r

Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( ba), lúc dạng

tốn 2.2 trở thành dạng tốn 2.1

Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư phép chia:P=

14

x x x x x x 723

x 1,624

     



Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: 624 SHIFT STO X

ALPHA X ^14 ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X 723      

Kết quả: r = 85,92136979

Bài tập

Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia

5

x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319

x 2,318

   

 Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho  

4

x

P x 5x  4x 3x 50 Tìm phần dư r1, r2 chia P(x)

(5)

Dạng 2.3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho x – a m + r = hay m = -r = - P( ba) Như tốn trở dạng tốn 2.1 Ví dụ: Xác định tham số

1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x4 7x3 2x 13x a2

    chia heát

cho x+6 - Giải -

Số dư a ( 6) 47( 6) 6 3  213 6 

 

Ấn phím: ( ) SHIFT STO X

( ) ( ALPHA X ^  ALPHA X x3  ALPHA X x2  13 ALPHA X ) 

Kết quả: a = -222

1.2 (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? Giải –

Số dư a2 = -3 3 317 625  

  => a =    

3

3 17 625

 

    

 

3

( ) ( ( ( ) )  x 17 ( ( ) )  625 ) 

Kết quả: a = 27,51363298

Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) a2 = 757 => a = 27,51363298 a = - 27,51363298

Dạng 2.4 Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức

Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có cơng thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3

Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng qt

Ví duï : Tìm thương số dư pheùp chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – 5. Giaûi

Ta coù: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 =

( ) SHIFT STO M ALPHA M ALPHA M

ALPHA M ( ) ALPHA M ALPHA M

ALPHA M ALPHA M ( )1

      

         

      

(-5) (23)

(-118) (590) (-2950)

(14751) (-73756)

Vaäy x7 – 2x5 – 3x4 + x – = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.

Dạng 2.5 Phân tích đa thức theo bậc đơn thức

Áp dụng n-1 lần dạng tốn 2.4 ta phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n.

Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – 3. Giaûi

(6)

1 -3 -2 x4-3x2+x-2

3 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1

3 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28

3 27 q3(x)=x+6, r0 = 27

3 q4(x)=1=a0, r0 =

Vaäy x4 – 3x3 + x – = + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.

Dạng 2.6 Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức

Nếu phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri  với i = 0, 1, …, n nghiệm thực P(x) khơng lớn c

Ví dụ: Cận nghiệm dương đa thức x4 – 3x3 + x – c = (Đa thức có hai nghiệm thực gần 2,962980452 -0,9061277259)

Nhận xét: Các dạng toán 2.4 đến 2.6 dạng toán (chưa thấy xuất kỳ thi)

nhưng dựa vào dạng tốn giải dạng tốn khác phân tích đa thức thừa số, giải gần phương trình đa thức, …

Vận dụng linh hoạt phương pháp giải kết hợp với máy tính giải

rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không sử dụng cơng thức Cardano q phức tạp Do yêu cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng cách khéo léo hợp lí làm

Bài tập tổng hợp

Bài 1: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m. a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x +

b Với m vừa tìm câu a tìm số dư r cia P(x) cho 3x-2 phân tích P(x) tích thừa số bậc

c Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x-2. d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích thừa số bậc

Bài 2: (Thi khu vực 2002, lớp 9)

a Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Bieát P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9)

a Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Bieát Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13)

Bài 3: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n

a Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x –

b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm

Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)

a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.

1 Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5

3 P(x) có nghiệm x = Tìm m?

b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Bieát P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11)

Bài 5: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c Biết f( )1 ;f( 1) 3;f( )1 89

3 108   500

Tính giá trị gần f( )23 ?

(7)

2 Từ kết câu suy biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 số chẵn với số nguyên n

Bài 7: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984) Có xác số ngun dương n để (n 1)2

n 23



 số nguyên Hãy tính số lớn Bài 8: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988)

Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + cho x – số dư Chia P(x) cho x – số dư -4 Hãy tìm cặp (M,N) biết Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2)

Bài 9: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2004) Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.

a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,3648

b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

x -2,53 4,72149

34 6,15 5677

P(x)

Bài 10: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004) 1.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,175 với x= -7,1254

2.Cho x=2,1835 y= -7,0216 Tính

5 3

3 2

7x y-x y +3x y+10xy -9 F=

5x -8x y +y

3.Tìm số dư r phép chia :

5

x -6,723x +1,658x -9,134 x-3,281

4.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m7 Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2

Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005)

a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7

b Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f bieát P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)?

Bài 12: (Sở GD Phú Thọ, 2004)

Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N?

Bài 13: (Thi khu vực 2004)

Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +3

Bài 13: (Sở GD Hải Phòng, 2004)

Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7

d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7)

Bài 15: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)

a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)?

(8)

III.

Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ghi nhớ: Trước thực giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dạng tắc để đưa hệ số vào máy khơng bị nhầm lẫn

Ví duï: Dạng tắc phương trình bậc có dạng: ax2 + bx + c = 0 Dạng tắc phương trình bậc có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Dạng tắc hệ phương trình bậc có dạng: 1

2 2

a x b y c a x b y c

 

 

 



Dạng tắc hệ phương trình bậc có dạng:

1 1

2 2

3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

  

 

  



   

 Dạng 3.1 Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a

≠

0) 3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn máy

Ấn MODE MODE 2 nhập hệ số a, b, c vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím 

giá trị ghi vào nhớ máy tính

Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0 Giải

MODE MODE 

   

( ) ( )

1 85432  321458  45971 x1 = 2.308233881  x2 = -0.574671173

Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn máy góc trái hình máy R I

nghiệm nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm chưa học khơng trìn bày nghiệm giải Nếu có nghiệm thực phương trình có nghiệm kép, hai nghiệm nghiệm phức coi phương trình vơ nghiệm

3.1.2: Giải theo cơng thức nghiệm

Tính b2 4ac

  

+ Nếu  > phương trình có hai nghiệm: x1,2 b

2a

   

+ Nếu  = phương trình có nghiệm kép: 1,2 b x

2a

 

+ Nếu  < phương trình vô nghiệm

Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0 Giải

Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)

( )1 542 x  354 ( ( ) 141 )   SHIFT STO A (27,197892)

( 542 ALPHA A ) 2 354   (x1 = 1,528193632)

( 542 ALPHA A ) 2 354   (x2 = - 0,873138407)

Chú ý: Nếu đề không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải

 Hạn chế khơng nên tính trước tính nghiệm x1, x2 dẫn đến sai

số xuất biến nhớ  sau 10 chữ số làm cho sai số nghiệm lớn

 Dạng tốn thường xuất trực tiếp kỳ thi gần mà chủ yếu

(9)

Dạng 3.2 Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a≠ 0)

3.2.1: Giaûi theo chương trình cài sẵn máy

Ấn MODE MODE  nhập hệ số a, b, c, d vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím

 giá trị ghi vào nhớ máy tính

Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất nghiệm gần với chữ số thập phân phương trình x3 – 5x + = 0.

Giaûi

Ấn phím MODE MODE 

1 ( ) 1    (x1 = 2,128419064) (x2 = -2, 33005874) (x3 = 0,201639675) 

Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn máy góc trái hình máy R I

nghiệm nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm chưa học khơng trìn bày nghiệm giải

3.2.2: Giải theo cơng thức nghiệm

Ta sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc thành tích phương trình bậc bậc nhất, ta giải phương trình tích theo cơng thức nghiệm biết

Chú ý: Nếu đề không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải Dạng 3.3 Giải hệ phương trình bậc ẩn

3.3.1: Giải theo chương trình cài sẵn máy

Ấn MODE MODE nhập hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím  giá trị ghi vào nhớ máy tính

Ví dụ: (Thi vơ địch tốn Flanders, 1998)

Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình 16751x 83249y 4171583249x 16751y 108249 

 



x

y (chọn đáp số)

A.1 B.2 C.3 D.4 E.5

Giaûi –

Ấn phím MODE MODE

83249 16751 108249 16751 83249 41751     (1, 25) = (0,25)

Ấn tiếp: MODE 1 25ab/ c0 25

 (5)

Vậy đáp số E

Chú ý: Nếu hệ phương trình vơ nghiệm vơ định máy tính báo lỗi Math ERROR

3.3.2: Giải theo công thức nghiệm

Ta coù: x Dx;y Dy

D D

  với D a b 2 a b ;D2 x c b1  c b ;D2 y a c a c1 2

Daïng 3.4 Giải hệ phương trình ba ẩn Giải theo chương trình cài sẵn máy

Ấn MODE MODE nhập hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím  giá trị ghi vào nhớ máy tính

Ví dụ: Giải hệ phương trình

3x y 2z 30 2x 3y z 30 x 2y 3z 30

  

 

  



   



(10)

MODE MODE 3 30 30 30           (x = 5) (y = 5) (z = 5) 

Chú ý: Cộng phương trình vế theo vế ta x + y + z = 15 suy x = y = z =

Nhận xét:  Dạng tốn dạng dễ địi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính

chương trình cài sẵn máy tính Do kỳ thi dạng tốn chúng thường xuất dạng toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, …) mà trình giải địi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với hệ số số lẻ

Bài 1: Giải phương trình:

1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0 1.2 (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0

1.3 x3 + x2 – 2x – =0 1.4 4x3 – 3x + = 0

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

2.1 (Sở GD Đồng Nai, 1998) 1,372x 4,915y 3,1238,368x 5,214y 7,318 

 



2.2 (Sở GD Hà Nội, 1996) 13,241x 17,436y23,897x 19,372y 103,618 25,168

 



2.3 (Sở GD Cần Thơ, 2002) 1,341x 4,216y8,616x 4,224y 7,121 3,147

 



2.4

2x 5y 13z 1000 3x 9y 3z 5x 6y 8z 600

  

 

  



   



IV.

Dạng 4: LIÊN PHÂN SỐ

Liên phân số (phân số liên tục) cơng cụ tốn học hữu hiệu nhà toán học sử dụng để giải nhiều tốn khó

Bài tốn: Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số ab viết dạng:

0

0 b

a a a

b

b b

b

   

Vì b0 phần dư a chia cho b nên b > b0 Lại tiếp tục biểu diễn phân soá

1

0

1 b

b a a

b

b b

b

   

Cứ tiếp tục trình kết thúc sau n bước ta được:

0

1

n n b

a a a

1

b b a

1 a

a



   



Cách biểu diễn gọi cách biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có biểu diễn dạng liên phân số, viết gọn a ,a , ,a0 n Số vơ tỉ biểu

(11)

Vấn đề đặt ra: biểu diễn liên phân số

1

n n

a 1

a a



 



dạng ab Dạng tốn gọi tính giá trị liên phân số Với trợ giúp máy tính ta tính cách nhanh chóng dạng biểu diễn liên phân số

Ấn b/ c b/ c b/ c

n n n

a  1 a a a  1 a Ans  a 1 a Ans 

Ví dụ 1: (Vơ địch tốn New York, 1985) Biết

15

1

17 1

a b

 



trong a b số dương Tính a,b?

Giải Ta có:

15 1 1

17 1

17 1 1 1

15

15 15 7

2

   

  



Vaäy a = 7, b =

Ví dụ 2: Tính giá trị

1

A 1

2 1

3

  



Giaûi -

Ấn phím: 3 ab/ c 2 ab/ c Ans 1 ab/ c Ans SHIFT ab/ c

      ( )23

16

Nhận xét:  Dạng tốn tính giá trị liên phân số thường xuất nhiều kỳ thi

nó thuộc dạng tốn kiểm tra kỹ tính tốn thực hành Trong kỳ thi gần đây, liên phân số có bị biến thể đơi chút ví dụ như:

8,2

A 2,35 6,21

2 0,32

3,12

 

 

với dạng lại thuộc dạng tính tốn giá trị biểu thức Do cách tính máy tính liên phân số (tính từ lên, có sử dụng biến nhớ Ans)

Bài 1: (Thi khu vực lớp 9, 2002) Tính viết kết dạng phân số:

5

A 4 B 1

2 5 1

2 4 1

2 5

4

3

   

 

 Bài 2: (Thi khu vực lớp 9, 2003)

a Tính viết kết dạng phân số:

20

A 1 B 1

2 1 1

3 1 1

4

5

 

 

(12)

b Tìm số tự nhiên a b biết:

329

1

1051 1

5 1

a b

 

 

Bài 3: (Thi khu vực 2004, lớp 9) Tìm giá trị x, y từ phương trình sau: a

x x

4 1 1

1 1 1

2 1 1

3

4

 

 

b

y y

1

1 1 1

3

5



 

Bài 4: (Thi khu vực, 2001, lớp - 7) Lập qui trình bấm phím để tính giá trị liên phân số sau

 

M3,7,15,1,292 tính   M?

Bài 5: (Thi khu vực, 2001, lớp – 7, dự bị)

a Lập qui trình bấm phím để tính giá trị liên phân số sau M 1,1,2,1,2,1,2,1  tính M ?

b Tính viết kết dạng phân số:

1

A 1 1

5 1 1

4 1 1

3

2

 

 

Bài 6: (Sở GD Hải Phòng, 2003 - 2004) Cho

12

A 30 5

10

2003

  

Hãy viết lại A dạng Aa ,a , ,a0 n?

Bài 7: Các số 2, 3,  có biểu diễn gần dạng liên phân số sau:

 

2 1,2,2,2,2,2 ; 1,1,2,1,2,1 ;   3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3 Tính liên phân số

só sánh với số vơ tỉ mà biểu diễn?

Bài 8: (Phòng GD Bảo Lâm – Lâm Đồng)

Tính viết kết dạng phân số

4 D=5+

4 6+

4 7+

4 8+

4 9+

10

V.

Dạng 5: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM 5.1 Tính chất chia hết

- Một số chia hết cho (cho 9) tổng chữ số chia hết cho (cho 9) - Một số chia hết cho (cho 5) chữ số tận chia hết cho (cho 5)

Chú ý: Tính chất chia hết hệ số cụ thể

Ví dụ: Xét hệ đếm với số 12, ta có:

1 Một số viết hệ đếm số 12 chi hết cho (3, 4, 6) chữ số cuối chia hết cho (3, 4, 6)

2 Soá aa a a a an n 1 2 12 chia heát cho (cho 9) neáu a a1 12 chia heát cho (cho 9)

3 Soá aa a a a an n 1 2 12 chia heát cho 11 neáu anan 1  a a 1 chia heát cho 11

(13)

5.2 Hệ số 2

Bài tốn mở đầu: Chỉ cần 10 câu hỏi đốn số cho trước (nhỏ 1000) sau: - Số có chia hết cho khơng?(Nếu có ghi 0, khơng ghi 1)

- Thương số chia hết cho 2? (Nếu có ghi 0, khơng ghi 1)

Nếu tiếp tục ta dãy số Dãy biểu diễn số cần tìm số Vì số nhỏ 1000 có nhiều 10 chữ số biểu diễn số nên 10 câu hỏi đủ để biết số cho Đổi qua số 10 ta số cần tìm

Ví dụ: Số cho trước 999

Vì 999 = 499.2 + 1; 499 = 249.2 + 1; 249 = 124.2 + 1; 124 = 62.2 +1; …; = 1.2 + nên ta có dãy số: 11111001112 = 99910

5.3 Ứng dụng hệ số giải tốn

Trong nhiều tốn khó sử dụng hệ đếm để giải Nói cách khác, hệ đếm sử dụng phương pháp giải tốn

Ví dụ: Giả sử f:N -> N thỏa mãn: f(1)= 1; f(2n) = f(n) f(2n+1) = f(2n) + với n nguyên dương Tìm giá trị lớn n ≤ n ≤1994

Giải

Ta có: f(102) = f(2) = f(1) = 1; f(112) = f(3) = f(2.1 + 1) = f(2)+1 = 2; f(1002) =1; f(1012) =2; f(1102) =2; f(1112) =3; f(10002) =1; f(10012) =2; …

Bài tốn dẫn đến phải tìm số có chữ số lớn biểu diễn số số nhỏ 1994 Vì 1994 < 211 – nên f(n) có nhiều 10 chữ số Ta có f(1023) = f(11111112) = 10 Vậy giá trị lớn 10

Lưu yù: Ta phải chứng minh quy luật: f(n) số chữ số biểu diễn số n

Chứng minh:

1) n chẵn n = 2m = 102.m Vì m n = 102.m có số chữ số biểu diễn số (trong hệ số 2, nhân số với = 102, ta thêm số vào cuối số đó) Theo quy nạp (vì m < n), f(m) chữ số m, mà f(n) = f(2m) = f(m) nên f(n) chữ số m, tức n

2) n lẻ n = 2m + = 102.m + n có số chữ số nhiều m Ta có: f(n) = f(2m + 1) = f(m) + Áp dụng quy nạp ta có, f(m) số chữ số m nên f(n) số chữ số m cộng 1, tức số chữ số n

Nhận xét:  Dạng toán dạng tốn khó, thường xuất kỳ thi “Giải

tốn máy tính bỏ túi Casio”, sử dụng phương pháp hệ số giúp phân tích số tốn từ sử dụng phương pháp chứng minh tốn học nguyên lý để giải Nói cách khác, phương pháp giải toán

Bài 1: Tìm số q (2 ≤ q ≤ 12) biết số a = (3630)q chia hết cho Biểu diễn số a với q tìm

trong số 10 (HD: áp dụng tính chất chia heát)

Bài 2: Hai người chơi lấy số viên sỏi từ ba đống sỏi Người nhặt viên sỏi cuối thắng Người trước thường thắng Vì sao? (HD: sử dụng hệ số 2)

(14)

Baøi 4: Xác định tất hàm số f: N -> R thỏa mãn f(1) = 1; f(n) f  n 12 

  n chẵn,

n f(n) f

2

     

  n lẻ (HD: Dùng qui nạp chứng minh: f(n) số chữ số n viết

cơ số 2)

Bài 5: Giả sử f: N -> N thỏa mãn f(1) = 1; f(3) = với n nguyên dương f(2n) = f(n); f(4n+1)=2f(2n+1) - f(n); f(4n+3) = 3f(2n+1) – 2f(n) Tìm số n ≤ 1988 mà f(n) = n

VI

Daïng 6: DÃY TRUY HỒI

Dạng 6.1 Dãy Fibonacci

6.1.1 Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ tháng để đôi thỏ con, đôi thỏ sau tháng lai sinh đôi thỏ nữa, sau tháng lại sinh đôi thỏ khác v.v… giả sử tất thỏ sống

Hỏi có đơi thỏ ni từ tháng giêng đến tháng đẻ đơi thỏ đến cuối năm có đơi thỏ?

Giải

- Tháng (giêng) có đôi thỏ số

- Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số Vậy có đơi thỏ tháng

- Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số chưa đẻ Vậy có đơi thỏ tháng - Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số chưa đẻ Vậy tháng có đơi thỏ

Tương tự ta có tháng có đơi thỏ, tháng có 13 đơi thỏ, …

Như ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12)

Đây dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba tổng hai số hạng trước đó Nếu gọi số thỏ ban đầu u1; số thỏ tháng thứ n un ta có cơng thức:

u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n  2)

Daõy  un có quy luật dãy Fibonacci un gọi số (hạng) Fibonacci

6.1.2 Cơng thức tổng qt số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh số hạng thứ n dãy Fibonacci tính theo công thức sau:

n n

n 1 5

u 2                           (*) Chứng minh

Với n =

1 5

u 2                   

; Với n =

2

1

1 5

u 2                            ; Với n =

3

1

1 5

u 2                            ;

Giả sử công thức tới n  k Khi với n = k + ta có:

k k k k

k k k

k k

1 5 1 5

u u u

2 2

5

1 1 1

2

5 5

(15)

k k

1 5 5

2

5 5

1 5

2

5

 

           

 

        

         

       

 

      

 

     

   

    

 

Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) chứng minh

6.1.3 Các tính chất dãy Fibonacci:

1 Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1

Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào cơng thức ta có: u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233)

2 Tính chất 2: u2n+1 = u(n+1)+n= unun + unun+1 = 2

n n

u  u Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm sau:

u25 = 2

13 12

u u = 2332 + 1442 = 7502

3 Tính chất 3: u2n u un n  1n

 

  

4 Tính chất 4: u u1 3u u5  2n 1 u2n Tính chất 5: n tacó: u un n 2   u un n 3

6 Tính chất 6: nsố 4u u u un 2 n n 4   9là số phương

7 Tính chất 7: n số 4u u un n k n k n 2k 1   u   u u số phương2 2k k 1

8 Tính chất 8: n n 1 n n

n n

u u

lim vaø lim

u u

   



  trong  1; 2là nghiệm phương trình x2 – x – =

0, tức 1 1,61803 ; 1 0,61803

2

 

     

Nhận xét: Tính chất cho phép tính số hạng dãy Fibonacci mà khơng cần biết hết số hạng liên tiếp dãy Nhờ hai tính chất mà tính số hạng lớn dãy Fibonacci tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử khơng thể tính (kết khơng hiển thị hình) Các tính chất từ đến có tác dụng giúp việc chứng minh tốn có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp thi, tính chất giúp tìm số hạng không dãy Fibonacci mà số hạng dãy biến thể Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) khoảng Dạng tốn thường gặp kỳ thi tỉnh kỳ khu vực

6.1.4 Tính số hạng dãy Fibonacci máy tính điện tử 6.1.4.1 Tính theo cơng thức tổng qt

Ta có công thưc tổng quát dãy:

n n

n

1 5

u

2

5

      

 

     

   

    

 

Trong công thức tổng quát số hạng un phụ thuộc n, n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n phép tính

Ấn phím: 1

b/ c

1 a ( ( ( 1 ) 2 ) ) ^ Ans ( ( 1  ) 2 ) ) ^ Ans ) 

Muốn tính n = 10 ta ấn 10, dùng phím  lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn 

6.1.4.2 Tính theo dãy

Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n  2)

(16)

1 SHIFT STO B

 > laáy u2+ u1 = u3 gán vào B

Lặp lại phím:  ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

 > lấy u4+ u3 = u5 gán vào B

Bây muốn tính un ta  lần , liên tục n – lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ dãy Fibonacci?

Ấn phím: SHIFT STO A 1 SHIFT STO B  ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B

      (21)

Chú ý:  Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un dãy qui trình qui

trình tối ưu số phím ấn Đối với máy fx-500 MS ấn  , máy fx-570

MS ấn   ấn thêm  SHIFT COPY  để tính số hạng từ thứ trở

Dạng 6.2 Dãy Lucas

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n  a, b hai số tùy ý đó)

Nhận xét: Dãy Lucas dãy tổng quát dãy Fibonacci, với a = b = dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci

Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

a SHIFT STO B

 > laáy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B

Lặp lại phím:  ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vaøo A

ALPHA B SHIFT STO B

 > lấy u4+ u3 = u5 gán vào B

Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n  2)

a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Sử dụng qui trình tính u13, u17?

Giải

a Lập qui trình bấm phím

Ấn phím: 13 SHIFT STO A

8 SHIFT STO B



Lặp lại phím:  ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B



b Sử dụng qui trình để tính u13, u17

Ấn phím:                (u13 = 2584)

        (u17 = 17711)

Keát qủa: u13 = 2584; u17 = 17711

Dạng 6.3 Dãy Lucas suy rộng dạng

Tổng qt: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1 (với n  a, b hai số tùy ý đó)

a SHIFT STO B

A B > tính u3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B

Lặp lại phím: A  ALPHA A B SHIFT STO A > Tính u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

(17)

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n  2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính

un+1? Giải

Lập qui trình bấm phím

Ấn phím: 13 SHIFT STO A

3 SHIFT STO B

  

Lặp lại phím:  3 ALPHA A 2 SHIFT STO A

3 ALPHA B SHIFT STO B

  

Dạng 6.4 Dãy phi tuyến dạng

Cho Cho u1 = a, u2 = b, 2

n n n

u  u u  (với n  2)

2 a SHIFT STO B



x x > laáy u22+ u12 = u3 (u3 = b2+a2) gán vào B

Lặp lại phím: ALPHA A SHIFT STO A



x x > lấy u32+ u22 = u4 gán vào A



x x > lấy u42+ u32 = u5 gán vào B

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2

n n n

u  u u  (n  2)

a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7?

Giải

Ấn phím: SHIFT STO A

2 1 SHIFT STO B



x x



x x



x x

b Tính u7

Ấn phím:   (u6 =750797)

Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165 Kết qủa: u7 = 563 696 885165

Chú ý: Đến u7 máy tính khơng thể hiển thị đầy đủ chữ số hình phải tính tay giá trị giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ tính Ví dụ: 7507972 = 750797. (750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209

Daïng 6.5 Dãy phi tuyến dạng

Cho Cho u1 = a, u2 = b, 2

n n n

u  Au Bu  (với n  2)

2 a SHIFT STO B

  

x A x B > Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào B

  

(18)

  

x A x B > Tính u5 gán vào B

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2

n n n

u  3u 2u  (n  2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính

un+1? Giải

Lập qui trình bấm phím

2 3 1 2 SHIFT STO B

  

x x

Lặp lại phím: 3 ALPHA A 2 SHIFT STO A

  

x x

2 3 ALPHA B 2 SHIFT STO B

  

x x

Dạng 6.6 Dãy Fibonacci suy rộng dạng

Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n  3)

Ấn phím: SHIFT STO A > gán u2 = vào biến nhớ A

2 SHIFT STO B > gán u3 = vào biến nhớ B

ALPHA A  ALPHA B SHIFT STO C > tính u4 đưavào C

Lặp lại phím:  ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A > tính u5 gán biến nhớ A

ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B

  > tính u6 gán biến nhớ B

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C

  > tính u7 gán biến nhớ C

Bây muốn tính un ta   , liên tục n – lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?

Ấn phím: SHIFT STO A SHIFT STO B

ALPHA A  ALPHA B SHIFT STO C

ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A

   ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C

           (u10 = 149)

Dạng 6.7 Dãy truy hồi dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) (với n  2)

a f(n) SHIFT STO B

A  B + > tính u3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán

vào B

Lặp lại phím: A  ALPHA A B + f(n) SHIFT STO A > Tính u4 gán vào A

ALPHA B f(n) SHIFT STO B

A  B + > tính u5 gán vào B

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + 1n (n  2)

a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7?

Giải

(19)

Ấn phím: SHIFT STO A 13 SHIFT STO B SHIFT STO X

Lặp lại phím: ALPHA X SHIFT STO X

b/ c

3 ALPHA B  ALPHA A 1 a ALPHA X SHIFT STO A

 3 ALPHA A  ALPHA B a b/ c ALPHA X SHIFT STO B

b Tính u7 ?

Ấn phím:                  (u7 = 8717,92619)

Kết qủa: u7 = 8717,92619

Dạng 6.8 Dãy phi tuyến dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = F (u ) F (u )1 n  n 1 (với n  2)

Ấn phím: a SHIFT STO A

b SHIFT STO B

Laëp lại phím: F ( ALPHA B ) F ( ALPHA A ) SHIFT STO A1 

1

F ( ALPHA A ) F ( ALPHA B ) SHIFT STO B

Ví dụ: Cho u1 = 4; u2 = 5, n 2n n

5u u

u

3 5



 

  Laäp qui trình ấn phím tính un+1?

Giải

5 SHIFT STO B

Lặp lại phím: ( ( ALPHA B ) a ) ( ALPHA A xb/ c 2 ) a ) SHIFT STO Ab/ c

  

b/ c b/ c

( ( ALPHA A ) a ) ( ALPHA B x  2 ) a ) SHIFT STO B

Dạng 6.9 Dãy Fibonacci tổng quát

Tổng quát: n k i i i

u  F (u )



 u1, u2, …, uk cho trước Fi(ui) hàm theo biến u

Dạng toán tùy thuộc vào mà ta có qui trình lập dãy phím riêng

Chú ý: Các qui trình ấn phím qui trình ấn phím tối ưu (thao tác nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) áp dụng qui trình khơng cẩn thận dẫn đến nhầm lẫn sai xót thứ tự số hạng Do đó, ta sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề khơng ảnh hưởng đến đánh giá kết giải

Ví duï: Cho u1 = a, u2 = b, un 1 Au2n Bun 12 (với n  2)

Ấn phím: a SHIFT STO A > gán u1 = a vào biến nhớ A

b SHIFT STO B > Tính u2 = b gán vào B

Lặp lại phím: ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A



x x

A B > Tính u3 gán vaøo A

ALPHA A ALPHA B SHIFT STO B



x x

A B > Tính u4 gán vào B

(20)

Nhận xét:  Lập qui trình theo kiểu tất dạng tốn làm được, nhầm lẫn

nhưng tính tối ưu khơng cao Chẳng hạn với cách lập dạng 6.5 để tính un ta cần ấn   liên tục n – lần, cịn lập phải ấn n – lần

 Nhờ vào máy tính để tính số hạng dãy truy hồi ta phát quy

luật dãy số (tính tuần hồn, tính bị chặn, tính chia hết, số phương, …) giúp lập công thức truy hồi dãy dãy số

 Đây dạng toán thể rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử học toán

theo hướng đổi Trong hầu hết kỳ thi tỉnh, thi khu vực có dạng toán

Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 a Lập qui trình bấm phím để tính un+1

b Tính xác đến chữ số sau dấu phẩy tỉ số

1

u u

u ; ;u ;

u u u u

Bài 2: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1 a Tính u3; u4; u5; u6; u7

b Viết qui trình bấm phím để tính un c Tính giá trị u22; u23; u24; u25

Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho dãy số    

n n

n

2 3

u

2

  



a Tính số hạng dãy

b Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un c Lập qui trình tính un

d Tìm số n để un chia hết cho

Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1 a Lập quy trình tính un+1

b Tính u2; u3; u4; u5, u6

c Tìm cơng thức tổng quát un

Bài 5: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; 2

n n n

u  u u  Tìm số dư un

chia cho

Bài 6: (Tạp chí tốn học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1 Chứng minh: A=4un.un+2 + số phương

Bài 7: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 an+2 = 2an+1 – an + với n = 1,2,3… Tìm giá trị a100?

Bài 8: (Tạp chí tốn học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 un+1 = 2un – 3un-1 với n = 2, 3,… Chứng minh rằng:

a Dãy số có vô số số dương số aâm b u2002 chia heát cho 11

Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy un xác định bởi: u0 = 1, u1 = un+2 = n n

n n

u 9u ,n 2k

9u 5u ,n 2k

 

 

 

  

 với n = 0, 1, 2, 3, …

Chứng minh rằng: a 2000 2k

k 1995 u



 chia heát cho 20

b u2n+1 khơng phải số phương với n

Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=?

(21)

Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 =  



 

2

n n

5u u

3 u u với n3

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u8 dãy?

Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2)

Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005)

a.Cho u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)1 n+1 n   Tính u50? b Cho

2 n

1 n+1

n

3u +13

u =5 ; u = (n N; n 1)

u +5   Tính u15?

c Cho u0=3 ; u1= ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2) Tính u12 ?

Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định công thức

2 n

n

4x

x



 

 , n số tự

nhieân, n >= Biết x = 0,25 Viết qui trình aán phím tính xn? Tính x100?

VII.

Dạng 7: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP

Phương trình sai phân dạng tốn khó phức tạp, khơng nhắc đến sách giáo khoa phổ thông (cả sách cấp cấp 3) mà nguyên cứu trường đại học, cao đẳng Đối với tốn phổ thơng viết dạng toán thực tế lý thuyết dãy, lãi kép – niên khoản, cấp số … kỳ thi HSG gần dạng toán thường xuyên xuất hiện, kỳ thi cấp khu vực Trong phần trình bày kiến thức đơn giản phương trình sai phân bậc hai dạng tốn có liên quan đến kỳ thi HSG bậc THCS

Yêu cầu: Các thí sinh (trong đội tuyển trường THCS Đồng Nai) phải nắm vững kiến thức dãy truy hồi, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhấc hai ẩn số, phương pháp tuyến tính hóa

7.1 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2:

Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai với hệ số số có dạng: axn 2 bxn 1 cxn 0 (*); với n 0;1;2;  a0; b, c số

Nghiệm tổng quát:

 Nếu c = phương trình (*) có dạng: n n n n n

b

ax bx x x x

a

          có nghiệm

tổng quát n

n+1 1 x = x

 Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng a + b + c = 02  có hai nghiệm  1, việc tìm nghiệm dựa vào mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm phương trình đặc trưng phân biệt ( 1 2) phương trình (*) có nghiệm tổng qt là: x = Cn 1 1n+ C2 2n C1, C2 số gọi

số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1

(22)

Phương trình đặc trưng 2-3 28 = 0

   có hai nghiệm  1 4; 2 Vậy nghiệm tổng quát có

dạng: n n

n

u = C (-4) + C

Với n = ta có: C + C1 7( x ) Với n = ta có: -4.C + 7C1 6( x )

Giải hệ

1

C + C

-4.C + 7C

 





 =>

1 C C     

Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: n n

n

u = 5.(-4) + 2.7 Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép

b a

   nghiệm tổng quát

phương trình (*) có dạng: x = Cn 1 1n+ C n2 1n C + C n1 2 1n C1, C2 số tự

được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1

Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u0 1; u12;un 2 10un 1  25un Giải

Phương trình đặc trưng 2-10 25 = 0

   coù hai nghiệm   1 Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n

n

u = (C + C n)5 Với n = ta có: C1 1

Với n = ta có: 2

7

(C + C ).5 C

5

  

Vaäy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: n

n

7 u = (-1+ n)5

5

Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng khơng có nghiệm thực nghiệm tổng qt phương trình (*) có dạng: x =n r C cosnn  C sin n2  r A2B ;2  arctg ;AB

b

A ;B

2a 2a



  ; C1, C2 số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví dụ 3: Tìm nghiệm phương trình sai phân: n n n

1

u 1;u ;u u u

2  

   

Giải

Phương trình đặc trưng 2- 1 = 0

   có hai nghiệm phức 1,2 i

2



 

Ta coù: A 1;B 3;r 1;

2



    

Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n

n n

u = C cos C sin

3

 



Với

1

u 1;u

2

  C1 = vaø C cos1 C sin2

3

 

  => C2 =

Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n

n u = cos

3



Bài tập

Tìm nghiệm un phương trình sau: a u0 8;u13;un 2 12un  un 1

b u0 2;u1 8;un 2 8un 1  9un 0 c u0 1;u 16; u1  n 2  8un 1 16un 0

(23)

Dạng tổng quát: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; … Dạng tắc: xn+2 =f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; …

Ví dụ: Tính giá trị dãy: 2

0 n n n

u u 1; u  u u ; n 2  

7.2.2 Phương pháp tuyến tính hóa:

7.2.2.1 Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng tuyến tính: Ví dụ 1: Cho dãy

2 n

0 n

n

u

u u 1;u ; n

u 



     Tìm dạng tuyến tính dãy cho?

Giải

Gọi số hạng tổng quát dãy có dạng: un aun 1 bun 2 c (*)

Cho n = 1; 2; ta u3 3; u4 11; u5 41 Thay vào (*) ta hệ:

a b c 3a b c 11 11a 3b c 41

              => a b c        

Vaäy un 4un 1  un 2

Chú ý: Ta dùng phương pháp qui nạp để chứng minh cơng thức

7.2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 2: Cho dãy n n

0 n

n n

u u

1

u ;u ;u ; n

2 3u   2u 

    

 Tìm cơng thức tổng qt dãy

Giải

Ta thấy un 0(với n) un = un-1 = un-2 = u2 = u1 = Vơ lí Đặt n

n v

u

 khi vn 3vn 1  2vn 2 có phương trình đặc trưng     2 có nghiệm

1 1; 2

   

Công thức nghiệm tổng quát: n

n

v C C 2 Với n = 0; ta có: C 1;C1 2

2

 

Vaäy  1 2n 1 hay n n 1 u

1 

 

7.2.2.3 Phương pháp biến đổi tương đương:

Ví dụ 3: Cho daõy

0 n n n

u 2;u  6 33;u   3u  8u 1; n 2   Tìm cơng thức tổng qt dãy

Giải

Bình phương hai vế phương trình cho ta có: 2

n n n n

u   6u u u 1

Thay n + n ta được: un2 6u un n 1 un 42 1

Trừ vế hai phương trình ta được: un 1  un 1  un 1  6un un 1 0

Do

n n n

u   3u  8u 1 neân un 1 3un 9un 1 un 1

Suy un 1  6unun 1 0 có phương trình đặc trưng

2 6 1 0

     có nghiệm 1,2  3 Công thức nghiệm tổng quát un C 31  8nC 32  8n

Từ giá trị ban đầu suy ra: C1,2 66

 

Vậy số hạng tổng quát:        

n n

n

8 66 8 66

u

8

    

 Bài tập

Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau: u 0; u 5u 24u 12

(24)

Bài 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số: n n 2 n u u 1;u

2 u



 

 

7.3 Một số dạng tốn thường gặp:

7.3.1 Lập cơng thức truy hồi từ cơng thức tổng qt:

Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số      

n n

n

3

u

2 Lập cơng thức truy hồi để tính



n

u theo un 1 , un

Giải

 Cách 1:

Giả sử un 2 aun 1 bunc (*)

Với n = 0, 1, 2, ta tính u0 0;u 1; u1 6; u3 29;u4 132 Thay vào (*) ta hệ phương trình :

a c 6a b c 29 29a 6b c 132

             => a b c        

Vaäy un 2 6un 1  7un

Chú ý: Với ta giả sử un 2 aun 1 bunthì tốn giải nhanh

 Caùch 2:

Đặt   1 2;  2    1   1 chứng tỏ  1, nghiệm phương

trình đặc trưng 6 7 0 6 7

          ta có:    12    22

Suy ra: n n n

1 1

    

n n n

2 2

    

Vaäy n n n n n n  n n 1  n n

1 2 (6 1 ) (61 2 ) 62 1 2

                  

hay 3 2n 2  3 2n 2 6 3  2n 1  3 2n 1  3  2 n 3 2n

   

   

            

n n n n n n

3 3 3

6

2 2 2 2 2 2

                                  

tức un 2 6un 1  7un

7.3.2 Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:

Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy sốu0 2;u 10 u1 n 1 10un  un 1 (*) Tìm cơng thức tổng

quát un dãy? Giải

Phương trình đặc trưng phương trình (*) laø: 10 1 0

     có hai nghiệm 1,2  5

Vaäy n n  n  n

n 1 2

u   C C  C 6 C 6

Với n = 0; ta có hệ phương trình sau:

   

1

C C

5 C C 10

          

=> C C     

Vậy số hạng tổng quát un 5 6  n 6 n

7.3.3 Tính số hạng thứ n dãy biết công thức truy hồi:

Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp nhiều dẫn đến thao tác sai, ta tìm cơng thức tổng qt cho số hạng un theo n sau thực tính

(25)

Giải

 Cách 1:

10 SHIFT STO B

Lặp lại phím: 10 ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A

10 ALPHA A  ALPHA B SHIFT STO B

Bây muốn tính u100 ta   96 lần

 Cách 2:

Tìm cơng thức tổng qt un 5 6  n 6 n

( 2 ) 100 ( 2   ) 100 

Nhận xét: Như cách nhanh xác nhiều so với cách thời gian để tìm cơng thức tổng qt Do số hạng cần tính nhỏ ta dùng cách 1, cịn lớn ta dùng cách

VIII.

Dạng 8 : MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ TRỢ GIÚP GIẢI TỐN Với máy tính điện tử, xuất dạng đề thi học sinh giỏi toán mới: kết hợp hữu suy luận tốn học với tính tốn máy tính điện tử Có tốn khó khơng địi hỏi phải nắm vững kiến thức tốn (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà q trình giải cịn phải xét loại trừ nhiều trường hợp Nếu khơng dùng máy tính thời gian làm lâu Như máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, dạng tốn thích hợp kỳ thi học sinh giỏi tốn kết hợp với máy tính điện tử (Trích lời dẫn Tạ Duy Phượng - Viện tốn học)

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)

Tìm tất số tự nhiên n (1010n2010) cho an  20203 21n số tự nhiên

Giải

Vì 1010  n  2010 neân 203,5  41413  an  62413  249,82

Vì an nguyên nên 204  n  249 Ta coù an2 = 20203 + 21n = 21.962 + + 21n

Suy ra: an2 – = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n). Do đó, a 12n a a 1n   n   chia hết cho

Chứng tỏ (an - 1) (an + 1) chia hết cho Vậy an = 7k + an = 7k –

* Neáu an = 7k – thi 204  n =7k-1 249 => 29,42  k  35,7 Do k nguyeân neân

 

k 30;31;32;33;34;35 Vì a 7k(7k 2)2n    chia hết cho 21 nên k là: 30; 32; 33; 35 Ta có:

k 30 32 33 35

n 1118 1406 1557 1873

an 209 223 230 244

* Neáu an = 7k + thi 204  n =7k-1 249 => 29,14  k  35,57 Do k nguyeân nên

 

k 30;31;32;33;34;35 Vì a 7k(7k 2)2n    chia heát cho 21 nên k là: 30; 31; 33; 34 Ta có:

k 30 32 33 35

(26)

Như ta có tất đáp số

Ví dụ 2: Tính A = 999 999 9993 Giải

Ta coù: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999.

Từ ta có quy luật:   

n chữsố n chữ số nchữ số nchữ số

99 99 00 299

 

   

Vaäy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999.

Bài 1: (Thi khu vực, 2002, lớp 9, dự bị)

a Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 số có ba chữ số đầu bốn chữ số cuối 1, tức n3 = 111 1111.

b Tìm số tự nhiên n cho (1000  n  2000) cho an  57121 35n số tự nhiên

c Tìm tất số tự nhiên n cho n2 = 2525******89, dấu * vị trí khác là số khác

d Tìm tất số n có ba chữ số cho n69 = 1986 , n121 = 3333

Bài 2: (Thi khu vực 2003, lớp 9, dự bị)

a Tìm chữ số a, b, c để ta có: a5 bcd 7850 

b Tìm số có khơng q 10 chữ số mà ta đưa chữ số cuối lên vị trí số tăng lên gấp lần

c Hãy tìm chữ số cuối số 224

2 1 (Số Fecma thứ 24)

d Giải phương trình x2 – 2003 x + 2002 = với  x là phần nguyên x.

Bài 3: (Thi khu vực 2003, lớp 12) Tìm số dư chia 20012010 cho số 2003.

Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 10)

a Tìm ước số nguyên tố nhỏ lớn số 2152 + 3142.

b Tìm số lớn nhỏ số tự nhiên dạng 1x2y3z4 chia hết cho

Bài 5: (Sở GD Cần Thơ 2003) Số 312 – chia hết cho hai số tự nhiên nằm khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó?

Bài 6: (Thi khu vực 2002, lớp 12) Tìm UCLN hai số sau: a = 24614205; b = 10719433

Bài 7: Kiểm nghiệm máy tính số dạng 10n + hợp số với n = 3, …, 10 Chứng minh rằng, số dạng 10n + số nguyên tố n có dạng n = 2p (Giả thiết: 10n + số nguyên tố n = n = 2)

Bài 8: Tìm tất cặp số ab cdsao cho đổi ngược hai số tích khơng đổi, tức là:

ab cd ba dc   (Ví dụ: 12.42 = 21.24 = 504)

Bài 9: Tìm phân số mn xấp xỉ tốt ( m,n  m

n

   nhỏ nhất), m, n số có

hai chữ số

Bài 10: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2005) Cho số tự nhiên n (5050 n8040) cho

an = 80788 7n số tự nhiên

a an phải nằm khoảng nào?

b Chứng minh an dạng sau: an = 7k + an = 7k – (với k

N)

Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 k 2 2k a

(k k)

 

(27)

Nhận xét: Dạng thực chất thi học sinh giỏi tốn, nâng cao ý nghĩa mục

đích đưa máy tính vào trường phổ thơng, phù hợp với nội dung tốn SGK đổi Nhờ máy tính bỏ túi giúp cho ta dẫn dắt tới giải thuyết, quy luật toán học, nghiên cứu toán học nghiêm túc

 Trong kỳ thi tỉnh dạng chiếm khoảng 20% - 40%, kỳ thi khu vực

khoảng 40% - 60% số điểm thi Có thể nói dạng tốn định thí sinh tham dự kỳ thi có đạt giải hay không Như vậy, yêu cầu đặt phải giỏi tốn trước, giỏi tính

 Hiện nay, đa số thí sinh có mặt đội tuyển, phụ huynh nhận định

chưa xác quan điểm môn thi này, thường đánh giá thấp mơn tốn (thậm chí coi mơn thi mơn học khơng thức, mang tính chất hình thức “thử cho biết”) thực tế hầu hết thí sinh đạt giải thí sinh hồn thành tập dạng Trong xu hướng toán học đại kết hợp hữu suy luận tốn học máy tính điện tử (vi tính), chương trình học khóa, SGK ln có tập sử dụng máy tính điện tử

IX.

Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH Trong nhiều trường hợp để giải phương trình ta tìm nghiệm gần (nghiệm thường số thập phân vơ hạn), phương trình ứng dụng sống thực tế phần lớn thuộc dạng phương trình này, phương trình có nghiệm ngun hữu hạn mà

Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = có nghiệm a,b

Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1) Lấy giá trị x1 (đủ lớn) tùy ý khoảng nghiệm a,b Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1) (2) Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), …, tiếp tục bước n + mà cho giá trị liên tiếp … = xn-1 = xn = xn+1 giá trị x nghiệm gần phương trình f(x) =

Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần phương trình:x16 + x – = 0. Giải

Ta coù: x16 + x – = <=> x = 168 x Choïn x1 = 2.

Dùng phép lặp: x = 168 x

Ấn phím: 16 SHIFT x ( Ans )    

Kết quả: 1,128022103

Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần x x 1

Giải

Ta có: x = + x Chọn x1 =

Dùng phép lặp: x = + x

Ấn phím:  Ans 1    

Kết quả: 2,618033989

Nhận xét:  Phương pháp lặp để tìm nghiệm gần phương trình, xét cách làm

tương đối đơn giản, cần thay vị trí có x g(x) biến nhớ Ans, sau ấn phím

 giá trị theo lại thay vào g(x) Nhưng dạng toán mà hay bị sai đáp số

(28)

phức tạp sai số lớn dẫn đến đáp số không xác, có trường hợp chọn biểu thức x = g(x) thực phép lặp làm tràn nhớ máy tính tải

Ví duï: Ở ví dụ biến đổi x = – x16, cho x = giá trị ban đầu sau ba lần thực phép lặp máy tính báo lỗi Math ERROR Ở ví dụ 2, biến đổi xx 1 2 chọn

x = giá trị ban đầu có hai nghiệm số nguyên, chọn x = 15 sau số lần lặp máy báo lỗi Math ERROR Nhưng x = + x x ban đầu lớn máy cho nghiệm 2,618033989 sau số lần lặp hiển nhiên chọn x ban đầu âm

 Như dùng phép lặp để tìm nghiệm gần x = g(x), việc hội tụ

của dãy  xn g x n 1  (các giá trị x1 > x2 >… > xn-1 = xn = xn+1)tùy thuộc vào điều kiện hội tụ

hàm x = g(x) giá trị ban đầu x1 đoạn a,b chứa nghiệm có thỏa mãn có kết Một phường trình đa thức tìm nhiều nghiệm gần đúng, làm cần ghi rõ dùng phép lặp cẩn thận biến đổi hàm x = g(x) cho phù hợp

Bài tập tổng hợp (Xem đề thi chương sau)

X.

Dạng 10: THỐNG KÊ MỘT BIẾN

Đây dạng tốn nói đến nhiều cách sách tham khảo Yêu cầu thành viên đội tuyển tự nghiên cứu phương pháp giải dạng toán vấn đề có liên quan đến nhớ máy tính giải dạng tốn

Ví dụ: Một vận động viên bắn súng, có số điểm lần bắn số lần bắn theo bảng sau:

Điểm số 10

Số lần bắn 25 42 14 15

Hãy tính

n n

x;x; n; ; ?

Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS) MODE MODE

10 SHIFT ; 25 DT SHIFT ; 42 DT

………

6 SHIFT ; DT

Đọc số liệu

SHIFT S.VAR 1 (x= 8,69)

AC SHIFT S.SUM 2 (x 869 )

AC SHIFT S.SUM 3 (n 100 )

AC SHIFT S.VAR 2 ( n 1,12)

SHIFT S.VAR 1 ( 2n 1,25)

Chú ý: - Trước nhập toán thống kê khác nên xóa liệu cũ máy

- Nếu số liệu cho chưa lập dạng bảng tần số cần lập bảng tần số giải - Không để máy nhận số liệu không rõ ràng từ số nhớ, thống kê hai biến, hồi quy

(29)

XI.

Dạng 11: LÃI KÉP – NIÊN KHOẢN

Bài toán mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng r% n tháng Tính vốn lẫn lãi A sau n tháng?

Giaûi

Gọi A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)

Thaùng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 ………

Thaùng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy A = a(1 + r)n (*)

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng

Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính đại lượng khác sau: 1)

A ln

a n

ln(1 r)

 

; 2)r n A

a

  ; 3)

n a(1 r) (1 r) A

r

 

    

 ; 4) n

Ar a

(1 r) (1 r)



 

    

(ln công thức Lôgarit Nêpe, máy fx-500 MS fx-570 MS phím ln ấn trực tiếp)

Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng Tính vốn lẫn lãi sau tháng?

Giaûi

Ta coù: A = 58000000(1 + 0,7%)8

58000000 ( 007 ) ^ 8  Kết quả: 61 328 699, 87

Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để 70 021 000đ Hỏi phải gởi tiết kiệm với lãi suất 0,7% tháng?

Giaûi

Số tháng tối thiểu phải gửi là:

 

70021000 ln

58000000 n

ln 0,7%

  Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)

b/ c

ln 70021000 a 58000000 ln ( 007 )  

Kết quả: 27,0015 tháng Vậy tối thiểu phải gửi 27 tháng

(Chú ý: Nếu không cho phép làm trịn, ứng với kết số tháng tối thiểu 28 tháng)

Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm tháng lãnh 61 329 000đ Tìm lãi suất hàng tháng?

Giải

Lãi suất hàng tháng: r 61329000 58000000

 

(30)

b/ c x

8 ^ 61329000 a 58000000 SHIFT %   Kết quả: 0,7%

Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 10 tháng lãnh vốn lẫn lãi bao nhiêu?

Giải Số tiền lãnh gốc lẫn laõi:  

10

10 580000.1,007 1,007 1

580000(1 0,007) (1 0,007)

A

0,007 0,007

  

    

 

580000 007 ( 007 ^10 )    007

Kết quả: 6028055,598

Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng phải gửi quỹ tiết kiệm tháng Với lãi suất gửi 0,6%?

Giaûi

Số tiền gửi hàng tháng:    10  10 

100000000.0,006 100000000.0,006

a

1,006 1,006

1 0,006 0,006

 

  

  

 

100000000 006 ( 006 ( 006 ^10 ) )    Kết quả: 9674911,478

Nhận xét:  Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm:

+ Gửi số tiền a lần -> lấy vốn lẫn lãi A + Gửi hàng tháng số tiền a -> lấy vốn lẫn lãi A

 Cần phân tích tốn cách hợp lý để khoảng tính đắn  Có thể suy luận để tìm cơng thức từ 1) -> 4) tương tự toán mở đầu  Các tốn dân số áp dụng công thức

(31)

CHƯƠNG II: MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI “GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO” Qui định:  Yêu cầu em đội tuyển trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên sử

dụng máy Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS để giải

Nếu khơng qui định thêm kết đề thi phải viết đủ 10 chữ

số hình máy tính

 Trình bày giải theo bước sau:

- Lời giải vắn tắt

- Thay số vào công thức (nếu có) - Viết qui trình ấn phím

- Kết

Nhận xét: - Qua chương “Các dạng tốn thi học sinh giỏi giải tốn máy tính điện tử Casio” ta rút nhận xét sau:

1 Máy tính điện tử giúp củng cố kiến thức tăng nhanh tốc độ làm tốn

2 Máy tính điện tử giúp liên kết kiến thức toán học với thực tế

3 Máy tính điện tử giúp mở rộng kiến thức toán học

- Qua đề thi tỉnh, thi khu vực năm, đặc biệt từ năm 2001 đến (tháng 05/2005), đề thi thể rõ nét nhận xét Có thể nhìn thấy đề thi từ năm 2001 đến soạn theo định hướng sau đây:

1 Bài thi học sinh giỏi “Giải tốn máy tính điện tử” phải thi học sinh giỏi tốn có trở giúp máy tính để thử nghiệm tìm quy luật tốn học tăng tốc độ tính tốn.

2 Đằng sau toán ẩn tàng định lý, chí lý thuyết tốn học (số học, dãy truy hồi, phương trình sai phân, ….)

3 Phát huy vai trị tích cực tốn học máy tính giải tốn thực tế.

Đề 1:

(Thi chọn đội tuyển thi vòng huyện trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên năm 2004)

Baøi 1:

1.1 Thực phép tính (kết viết dạng hỗn số)

A = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 0,993 1.2 Tính giá trị biểu thức (làm tròn với chữ số thập phân)



     

  



 

  

3

2

1

8,9543 981,635 : 7

113 : 3 4 5 6 7

815

1 6

589,43111 3,5 :1 : 3,9814 7

173 9

513

B

1.3 Rút gọn biểu thức (kết viết dạng phân số)

      



      

4 4 4 4

(1 4)(5 4)(9 4)(13 4)(17 4)(21 4)(25 4)

(3 4)(7 4)(11 4)(15 4)(19 4)(23 4)(27 4)

C

1.4 Cho cotg = 0,06993 (00 <  < 900) Tính:

      



    

4

3

tg (1 cos ) cot g (1 tg )

(sin tg )(1 3sin )

D

1.5 Tính:  

h ph gi h ph gi h ph gi

(8 47 57 51 ).3

18 47 32 : 27

(32)

Baøi 2:

2.1 Cho đa thức P(x) = 5x7 + 8x6 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,1394

b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x + 2,312)

c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm trịn đến chữ số hàng đơn vị)

x -2,53 4,72149

34 36,15 567

P(x)

2.2 Giải hệ phương trình sau:

  

 

 



2

x y 55,789

x 6,86

y

2.3 Tìm góc  hợp trục Ox với đường thẳng y = ax + b qua

hai điểm A(0;-4) B(2;0)

Bài 3:

3.1 Cho ABC có ba cạnh a = 17,894 cm; b = 15,154 cm; c = 14,981 cm

Kẻ ba đường phân giác ABC cắt ba cạnh A1, B1, C1

Tính phần diện tích giới hạn ABC A1B1C1?

3.2 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn bán kính R, có cạnh a = 3,657 cm; b = 4,155 cm; c = 5,651 cm; d = 2,765 cm Tính phần diện tích giới hạn đường tròn tứ giác ABCD?

3.3 Cho bảng số liệu sau Hãy tính Tổng số trứng (x); số trứng trung bình gà (x); phương sai (x2) độ lệch tiêu chuẩn (x)?

Số lượng trứng 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Số gà mẹ 10 14 25 28 20 14 12

3.4 Dân số tỉnh Lâm Đồng năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30 048 288 người Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm tỉnh Lâm Đồng năm đó?

(Kết làm trịn hai chữ số thập phân)

3.5 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền 000 000đ với lãi suất 0,45% tháng Hỏi sau năm người nhận tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Bài 4:

4.1 Cho ABC vuông A, có AB = c, AC = b

a Tính khoảng cách d từ chân đường phân giác góc vng đến cạnh góc vng?

b Với b = 5,78914 cm; c = 8,911456 cm Tính khoảng cách đó?

4.2 Tìm số tự nhiên a nhỏ mà a2 bắt đầu chữ số 15 kết thúc 56?

Baøi 5:

5.1 Cho daõy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2)

(33)

a an phải nằm khoảng nào?

b Chứng minh an dạng sau: an = 7k + an = 7k – (với kN)

Đề 2:

(Thi thử vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai năm 2004)

Baøi 1:

1.1 Thực phép tính

A = 6712,53211 : 5,3112 + 166143,478 : 8,993 1.2 Tính giá trị biểu thức (làm trịn với chữ số thập phân)



 

  



 

  

3

2

9

8,9 91,526 : 6

113

5

1 6

635,4677 3,5 : : 3,9 7

183 11

513

B

1.3 Rút gọn biểu thức (kết viết dạng phân số)

      



      

4 4 4 4

(1 6)(7 6)(13 6)(19 6)(25 6)(31 6)(37 6)

(3 6)(9 6)(15 6)(21 6)(27 6)(33 6)(39 6)

C

1.4 Cho cotg = 0,05849 (00 <  < 900) Tính:

       



    

4 3

3

tg (sin cos ) cot g (sin tg )

(sin tg )(1 3sin )

D

1.5 Tính:  

h ph gi h ph gi

(8 45 23 12 56 23 ).3

16 47 32 :

E Baøi 2:

2.1 Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,3648

b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

x -2,53 4,72149

34 36,15 567

P(x)

2.2 Giải hệ phương trình sau:

  

 

 



2

x y 66,789

x 5,78

y

2.3 Tìm góc  hợp trục Ox với đường thẳng y = ax + b qua

hai điểm A(0;-8) B(2;0)

Bài 3:

3.1 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Cho biết AB = 0,5 , BC = 1,3 Tính AC , AH , BH , CH gần với chữ số thập phân?

3.2 Cho tam giác ABC có AB = 1,05 ; BC = 2,08 ; AC = 2,33 a)Tính độ dài đường cao AH

b)Tính độ dài trung tuyến AM c)Tính số đo góc C

d) Tính diện tích tam giác ABC

3.3 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền 10 000 000đ với lãi suất 0,55% tháng Hỏi sau năm người nhận tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị)

(34)

4.1 Cho daõy u1 = 3; u2 = 11; un +1 = 8un - 5un-1 (n2)

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u1 đến u12 dãy?

4.2 Cho daõy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = 



 

2

n n

5u u

3 u u với n3

Đề 3:

(Thi vòng huyện Phòng GD – ĐT huyện Bảo Lâm năm 2004)

Bài :

1.Tính A=3123 2581 4521

52   28

2.Tính B=( 3+1) 6-2 2+ 12+ 18- 128

3.Tính

3

1,6: 1,25 1,08- :

2

5 25

C= + +0,6.0,5:

1 5

0,64- -2 25 17

   

   

   

 

 

 

4.Tính

4 D=5+

4 6+

4 7+

4 8+

4 9+

10

5.Giải hệ phương trình sau : 8,3681,372xx 4,9155,124yy7,3183,123

 



6.Cho M=12 +25 +37 +54 +67 +892 2 2

2 2 2

N=21 +78 +34 +76 +23 +Z

Tìm Z để 3M=2N

Bài :

1.Tìm h biết : 3 3

1 1

= + +

h 3,218 5,673 4,815

2.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,175 với x= -7,1254 3.Cho x=2,1835 y= -7,0216

Tính

5 3

3 2

7x y-x y +3x y+10xy -9 F=

5x -8x y +y

4.Tìm số dư r phép chia :

5

x -6,723x +1,658x -9,134 x-3,281

5.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m7 Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2

Bài :

1.Tính P=sin25 12'28''+2cos45 -7tg27o o o o o

cos36 +sin37 13'26''

(35)

3.Cho sina = 0,4578 (góc a nhọn) Tính: Q=

2

cos a-sin a tga

4.Cho cotgx = 1,96567 (x góc nhọn) Tính

2 3

3

tg x(1+cos x)+cotg x(1+sin x) S=

(sin x+cos x)(1+sinx+cosx)

5.Cho u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)1 n+1 n   Tính u50 6.Cho

2 n

1 n+1

n

3u +13

u =5 ; u = (n N; n 1)

u +5   Tính u15

7.Cho u0=3 ; u1= ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2) Tính u12

Bài :

1.Cho tam giác ABC vuông A với AB=4,6892 cm ; BC=5,8516 cm Tính góc ABC (bằng đơn vị đo độ), tính độ dài đường cao AH phân giác CI

2.Cho cánh hình bên

Các khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp ngơi AC=BD=CE= … = 7,516 cm Tìm bán kính R đường trịn qua đỉnh

3.Cho tam giác ABC vuông cân A Trên đường cao AH, lấy điểm D, E cho AE=HD=

4

AH Các đường thẳng BE BD cắt cạnh AC F G Biết BC=7,8931 cm a Tính diện tích tam giác ABE

b Tính diện tích tứ giác EFGD

Đề 4:

(Thi chọn đội tuyển thi khu vực Tỉnh Lâm Đồng năm 2004)

Bài 1: Thực phép tính:

1.1 Tính 4x6 + 3x4 – 2x3 +7x2 + 6x – 11 với x = -3,1226 1.2 Tính 4x6 + 3x4 – 2x3 +7x2 + 6x – 11 với x =

2

3 5

1

 

1.3 Tính

2 2

x y z 2xy

x z y 2xz

  

   với x=

3



; y= 1,5; z = 13,4 1.4 Cho cotg = 0,05849 (00 <  < 900) Tính:

2

3

tg (sin cos ) cot g

sin tg

    



   D

1.5  

h ph gi h ph gi

(8 45 23 12 56 23 ).3

16 47 32 :

E

1.6 Tính (1,23456789)4 + (0,76543211)4 – (1,123456789)3.(0,76543211)2 – - (1,23456789)2 (0,76543211)3 + 16 (1,123456789).(0,76543211) 1.7 Tính tổng số (999 995)2

1.8 Tính tổng 12 chữ số thập phân sau dấu phẩy

12 11

(36)

1.9 Tính 9999999996 0,9999999996 999999999

 

1.10 Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7

Bài 2:

1 Tính I 1 9999999992 0,9999999992

  

2 Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f bieát P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)?

Bài 3:

1 Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 vaø k 2

2k a

(k k)

 

 Tính k=?

2 Cho tam giác ABC với cạnh BC = 5,1123; AB = 3,2573; AC = 4,7428 Tính đường phân giác AD?

3 Tia phân giác chia cạnh huyền thành hai đoạn 135

222

7 Tính hai cạnh góc vuông?

Bài 4:

1 Tính H = (3x3 + 8x2 + 2)12 với  

317 38

x

5 14



 

 

2 Cho tam giác ABC với cạnh BC = 14; AB = 13; AC = 15 Gọi D, E, F trung điểm BC, AC, AB  Q BE FD; R   DF FC; P   AD EF. Tính:

2 2 2

2 2

AQ AR BP BR CP CQ

m

AB BC AC

    



 

3 Cho hình thang vng ABCD, đường cao AB Cho góc BDC = 900;Tìm AB, CD, AC với AD=3,9672; BC=5,2896

4 Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=?

Đề 5:

(Thi chọn đội tuyển TP Hồ Chí Minh - 2003)

Bài 1) Tìm số nhỏ có 10 chữ số biết số chia cho dư chia cho 619 dư 237 Bài 2) Tìm chữ số hàng đơn vị số : 172002

Bài 3) Tính : a) 214365789 897654 (ghi kết dạng số tự nhiên) b) (ghi kết dạng hỗn số )

c) 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913 (ghi kết dạng hỗn số )

Bài 4) Tìm giá trị m biết giá trị đa thức f(x) = x4 - 2x3 + 5x2 +(m - 3)x + 2m- x = - 2,5 0,49.

Bài 5) Chữ số thập phân thứ 456456 sau dấu phẩy phép chia 13 cho 23 :

Bài 6)Tìm giá trị lớn hàm số f(x) = -1,2x2 + 4,9x - 5,37 (ghi kết gần xác tới chữ số thập

phân)

Bài 7) Cho u1 = 17, u2 = 29 un+2 = 3un+1 + 2un (n ≥ 1) Tính u15

Bài 8) Cho ngũ giác ABCDE có độ dài cạnh 1.Gọi I giao điểm đường chéo AD BE Tính :

(chính xác đến chữ số thập phân)

a) Ðộ dài đường chéo AD

b) Diện tích ngũ giác ABCDE : c) Ðộ dài đoạn IB :

d) Ðộ dài đoạn IC :

Bài 9) Tìm UCLN BCNN số 2419580247 3802197531

Đề 6:

(Đề thi thức năm 2002 cho học sinh Trung học Cơ sở)

(37)

Câu 1.1

Câu 1.2

Bài 2 Tính giá trị biểu thức viết kết dạng phân số hỗn số:

Câu 2.1

Câu 2.2

Bài 3

Câu 3.1 Cho biết sin = 0,3456 ( ) Tính:

Câu 3.2 Cho biết cos2 = 0,5678 ( ) Tính:

Câu 3.3 Cho biết ( ) Tính:

Bài 4 Cho hai đa thức:

Câu 4.1 Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho (x-2)

Câu 4.2 Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) với giá trị m, n vừa tìm được, chứng tỏ đa thức R(x)chỉ có nghiệm

Bài 5 Cho dãy số xác định công thức , n số tự nhiên, n >=

Câu 5.1. Biết x 1 = 0,25 Viết qui trình ấn phím liên tục để tính giá trị xn

(38)

Bài 6

Câu 6.1 Cho biết thời điểm gốc đó, dân số quốc gia B a người ; tỉ lệ tăng dân số trung bình năm quốc gia m%

Hãy xây dựng cơng thức tính số dân quốc gia B đến hết năm thứ n

Câu 6.2 Dân số nước ta tính đến năm 2001 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta tỉ lệ tăng dân số trung bình năm 1,2%?

Câu 6.3 Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người tỉ lệ tăng dân số trung bình năm bao nhiêu?

Bài 7 Cho hình thang vng ABCD có:

AB = 12,35 cm, BC =10,55cm, (Hình 1)

Câu 7.1 Tính chu vi hình thang ABCD

Câu 7.2 Tính diện tích hình thang ABCD

Câu 7.3.Tính góc cịn lại tam giác ADC

Bài 8 Tam giác ABC có góc B = 120 0, AB = 6,25 cm,

BC = 12,50 cm Đường phân giác góc B cắt AC D ( Hình 2)

Câu 8.1 Tính độ dài đoạn thẳng BD

Câu 8.2 Tính tỉ số diện tích tam giác ABD ABC

Câu 8.3 Tính diện tích tam giác ABD

Bài 9 Cho hình chữ nhật ABCD Qua đỉnh B, vẽ đường vng góc với đường chéo AC H Gọi E, F, G thứ tự trung điểm đoạn thẳng AH, BH, CD (xem hình 3)

Câu 9.1 Chứng minh tứ giác EFCG hình bình hành

Câu 9.2 Góc BEG góc nhọn, góc vng hay góc tù? sao?

(39)

Câu 9.4 Tính độ dài đường chéo AC

Bài 10

Câu 10.1 Cho đa thức cho biết

P(1)=1, P(2)=4, P(3)=9 , P(4)=16, P(5)=15 Tính giá trị P(6), P(7), P(8), P(9)

Câu 10.2 Cho đa thức cho biết Q(1)=5, Q(2)=7, Q(3)=9, Q(4)=11 Tính giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13)

Đề 7:

(Chọn đội tuyển thi khu vực Tỉnh Phú Thọ – năm 2004)

Bài 1: Tìm tất số N có dạng N = 1235679x4y chia hết cho 24

Bài 2: Tìm cặp hai số tự nhiên nhỏ có tổng bội 2004 thương

Bài 3: Giải phương trình 31 32 3x 13  855

    

     

Bài 4: Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33, biết P(N) = N + 51 Tính N?

Bài 5: Tìm số bình phương có tận chữ số Có hay khơng số bình phương có tận chữ số 4?

Bài 6: Có số tự nhiên ước N = 1890.1930.1945.1954.1969.1975.2004 không chia hết cho 900?

Bài 7: Cho dãy số tự nhiên u0, u1, …, có u0 = un+1.un-1 = kun.k số tự nhiên 7.1 Lập quy trình tính un+1

7.2 Cho k = 100, u1 = 200 Tính u1, …, u10 7.3 Biết u2000 = 2000 Tính u1 k?

Bài 8: Tìm tất số có chữ số thỏa mãn:

1 Số tạo thành ba chữ số cuối lớn số tạo thành ba chữ số đầu đơn vị Là số phương

Bài 9: Với số nguyên dương c, dãy số un xác định sau: u1 = 1; u2 = c;

n n-1 n-2

u =(2n+1)u -(n -1)u , n2 Tìm c để ui chia hết cho uj với i  j  10

Bài 10: Giả sử f : N -> N Giả sử f(n+1) > f(n) f(f(n)) = 3n với n nguyên dương Hãy xác định f(2004)

Đề 8:

(Đề thi thức thi khu vực lần thứ tư – năm 2004)

Bài 1: Tính kết tích sau: 1.1 M = 2222255555.2222266666 1.2 N = 20032003.20042004

Bài 2: Tìm giá trị x, y dạng phân số (hoặc hỗn số) từ phương trình sau:

x x

2.1 1 1

1 1 1

2 1 1

3

4

 

 

y y

2.2 1 1

1 1 1

3

5

 

 

Bài 3:

3.1 Giải phương trình (với a > 0, b > 0): a b x 1    a b x 

3.2 Tìm x biết a = 250204; b = 260204

(40)

4.1 Hỏi trung bình năm dân số xã Hậu Lạc tăng phần trăm

4.2 Với tỉ lệ tăng dân số vậy, hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc bao nhiêu?

Bài 5: Cho AD BC vuông góc với AB, AED BCE  , AD = 10cm, AE = 15cm, BE = 12cm

Tính:

5.1 Tính diện tích tứ giác ABCD (SABCD) diện tích tam giác DEC (SDEC) 5.2 Tính tỉ số phần trăm SDEC SABCD

Bài 6: Hình thang ABCD (AB // CD) có đường chéo BD hợp với BC góc DAB Biết AB

= a = 12,5cm; DC = b = 28,5cm Tính: 6.1 Độ dài đường chéo BD

6.2 Tỉ số phần trăm diện tích tam giác ABD diện tích tam giác BDC

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A với AB = a = 14,25cm; AC = b = 23,5cm; AM, AD thứ tự đường trung tuyến đường phân giác tam giác ABC Tính:

7.1 Độ dài đoạn thẳng BD CD 7.2 Diện tích tam giác ADM

Bài 8: Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: 8.1 Các hệ số b, c, d đa thức P(x)

8.2 Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – 8.3 Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +

Bài 9: Cho dãy số    

n n

n

5 7

u

2

  

 với n = 0, 1, 2, 3, …

9.1 Tính u0, u1, u2, u3, u4

9.2 Chứng minh un+2 = 10un+1 – 18un 9.3 Lập quy trình ấn phím liên tục tính un+2

Bài 10: Cho dãy số

n n

n

3 5

u

2

     

    

   

   

, với n = 0, 1, 2, … 10.1 Tính u0, u1, u2, u3, u4

10.2 Lập cơng thức tính un+1

10.3 Lập quy trình ấn phím liên tục tính un+1

Đề 9:

(Đề dự bị thi khu vực lần thứ tư – năm 2004)

Bài 1: Giải phương trình

x 71267162 52408 x 26022004    x 821431213 56406 x 26022004    1

Bài 2: Một người gửi tiết kiệm 1000 đôla 10 năm với lãi suất 5% năm Hỏi người nhận số tiền nhiều (hay hơn) ngân hàng trả lãi suất 125 % tháng (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

Bài 3: Kí hieäu q(n) n n

 

 



   

 

với n = 1, 2, 3, …  x phần ngun x Tìm tất số nguyên dương n cho q(n) > q(n + 1)

Bài 4:

4.1 Lập qui trình tính số Phibônacci u0 = 1; u1 = 1; un+1 = un + un+1

(41)

khơng cắt Hỏi có loại hình vng kích thước khác độ dài cạnh hình vng

4.3 Với số tự nhiên n, tìm hai số tự nhiên a b để cắt hình chữ nhật a x b ta n hình vng kích thước khác

Bài 5: Điền số từ đến 12 lên mặt đồng hồ cho ba số a, b, c ba vị trí kề (b nằm a c) thỏa mãn tính chất: b2 – ac chia hết cho 13.

Bài 6: Dãy số un xác định sau: u0 = 1; u1 = 1; un+1 = 2un – un-1 + với n = 1, 2, 3, … 6.1 Lập qui trình tính un

6.2 Với n  tìm số k để tính uk = un.un+1

Bài 7: Tìm tất cặp số nguyên dương (m,n) có bốn chữ số thỏa mãn:

7.1 Hai chữ số m hai chữ số n vị trí tương ứng Hai chữ số lại m nhỏ hai chữ số tương ứng n đơn vị

7.2 m n số phương

Bài 8: Dãy số  un tạo theo qui tắc sau: số sau tích hai số trước cộng với 1, u0 = u1 =

8.1 Lập qui trình tính un

8.2 Có hay khơng số hạng dãy  un chia hết cho 4?

Baøi 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 1960

Bài 10: Một số có chữ số gọi số vng (squarish) thỏa mãn ba tính chất sau: Khơng chứa chữ số 0;

2 Là số phương;

3 Hai chữ số đầu, hai chữ số hai chữ số cuối số phương có hai chữ số

Hỏi có số vuông? Tìm số

Đề 10:

(Đề thức Hải Phịng – năm 2003)

Bài 1: Biết

20032004 a

2

243 b

1

c 1

d e

  

 

Tìm chữ số a, b, c, d, e?

Bài 2: Tính độ dài cạnh a, b, c bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác a, b, c tỉ lệ với 20, 21, 29 chu vi tam giác 49,49494949(m)

Bài 3: Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc

a Xác định góc tam giác ABC

b Biết độ dài BC  54,45 cm, AD phân giác tam giác ABC Kí hiệu S0 S

diện tích hai tam giác ADM ABC Tính S0 tỉ số phần trăm S0 S?

Baøi 4: a Cho sin x 15, sin y

10

 Tính A = x + y?

b Cho tg 0,17632698 Tính B

sin x cosx

  ?

Baøi 5: Cho

2 3

x

2 2

 

 

   

a Tính giá trị gần x0? b Tính x = x0 - cho nhận xét>

(42)

d Với a, b vừa tìm được, tìm nghiệm cịn lại phương trình câu c?

Bài 6: Cho    

n n

n

1 5

u

2

    



a Tìm u1, u2, u3, u4, u5

b Tìm cơng thức truy hồi tính un+2 theo un+1 un? c Viết qui trình bấm phím liên tục tính un?

Bài 7: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(-3) = -41. a Tìm hệ số a, b, c đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +

d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x + 4)(5x + 7)

Bài 8: Cho hình thang ABCD có cạnh đáy nhỏ AB Độ dài cạnh đáy lớn CD, đường chéo BD, cạnh bên AD p Cạnh bên BC có độ dài q

a Viết cơng thức tính AC qua p q

b Biết p  3,13cm, q3,62cm Tính AC, AB đường cao h hình thang

Đề 11:

(Đề dự bị Hải Phịng – năm 2003)

Bài 1: Cho  

317 38 2

x

5 14

 



 

a Tìm x

b Tính A = (3x8 + 8x2 + 2)25.

c A viết dạng thập phân có chữ số? d Tổng chữ số A vừa tìm bao nhiêu?

Bài 2: Có 480 học sinh dự trại hè ba địa điểm khác 10% số học sinh địa điểm một, 8,5% số học sinh địa điểm hai 15% số học sinh địa điểm ba tham quan địa danh lịch sử Địa danh lịch sử cách địa điểm 60km, cách địa điểm hai 40km, cách địa điểm ba 30km Để trả đủ tiền xa với giá 100đ/1người/1km, người tham quan phải đóng 4000đ Hỏi có người địa điểm tham quan di tích lịch sử

Bài 3: Cho tam giác ABC có đường cao BD = 6cm, độ dài trung tuyến CE = 5cm Khoảng cách từ giao điểm BD với CE đến AC 1cm Tìm độ dài cạnh AB?

Bài 4: Hình thang ABCD (AB//CD) có AB  2,511cm; CD  5,112cm; C  29015'; D  60045'

Tính:

a Cạnh bên AD, BC

b Đường cao h hình thang c Đường chéo AC, BD

Bài 5: Hai hình chữ nhật cắt nhau:

(43)

B

N

Q P

D C

M

A

Bài 6: Người ta phải làm kèo sắt Biết AB  4,5cm; CD 1BD 3 ; AM = MD = DN = NB

Viết cơng thức tính độ dài sắt làm kèo biết hao phí sản xuất 5% (làm tròn đến mét)

Q P

D

A B

C

M N

Baøi 7: Cho

1 B

1 1 1 1 1 2 2 2 2



  

a Tính gần B b Tính 2 B

2 a Tính  2

2,0000004 C

1,0000004 2,0000004



 ;  2

2,0000002 D

1,0000002 2,0000002





b Tính C D

Bài 8: a Tìm số tự nhiên x, y, z cho 3xyz – 5yz + 3x + 3z = b Viết qui trình bấm phím tính tốn

Bài 9: Biết phương trình x4 – 18x3 + kx2 – 500x – 2004 = có tích hai nghiệm -12 Hãy tìm k?

Đề 12:

(Đề học sinh giỏi THCS tỉnh Thái Nguyên – năm 2003)

Bài 1: a Viết quy trình tính

3

A 17 12 5

1 1 23 1

1 12 1

17

2003 2003

  

 

b Tính giá trị A

Bài 2: Tìm x biết:

13 : 2,5 7

15,2.0,25 48,51:14,7 14 11 66

11

x 3,2 0,8. 3,25

2

 

 

 

  



 

   

 

Bài 3: Tính A, B biết: A sin34 36' tan18 43'00 '' 0' cos78 12 cos1317''

 

 ;

0

tan 26'36'' tan 77 41' B

cos67 12' sin 23 28'

 

 Bài 4: Cho dãy số xác định công thức 3n

n

x x

3



 

(44)

b Tính x12, x51

Bài 5: Tìm UCLN của: a 100712 68954 b 191 vaø 473

Bài 6: Một tam giác có ba cạnh với độ dài 30,735cm; 40,980cm; 51,225cm Tính diện tích tam giác

Bài 7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d coù P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)

Bài 8: Khi chia đa thức P(x) = 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức (x - 2) ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x).

Bài 9: Viết qui trình bấm phím tìm thương số dư phép chia 123456789 cho 23456 Tìm giá trị thương số dư

Bài 10: Tìm tất ước số – 2005

Đề 13:

(Đề chọn đội tuyển thi khu vực tỉnh Thái Ngun – năm 2003)

Bài 1: Tính A0,19981998 0,019981998 0,0019981998 2  

Bài 2: Tìm tất ước nguyên tố số tìm

Bài 3: Phần nguyên x (là số nguyên lớn không vượt x) kí hiệu  x Tìm  B

biết:

2

2 2

B 1 1 1

1

2 10

 

   

Bài 4: Phương trình sau gọi phương trình Fermat: n n n

1 n n

x x x x x  x Phát biểu

bằng lời: Tìm số có n chữ số cho tổng lũy thừa bậc n chữ số số ấy Trong số sau đây, số nghiệm phương trình: 157; 301; 407; 1364; 92727; 93064; 948874; 174725; 4210818; 94500817; 472378975

Bài 5: Một người muốn sau hai năm phải có 20 000 000đ (hai mươi triệu đồng) để mua xe máy Hỏi phải gửi vào ngân hàng khoản tiền hàng tháng bao nhiêu, biết lãi suất tiết kiệm 0,075% tháng

Bài 6: Tìm tất nghiệm phương trình x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0.

Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường vng góc với đường chéo CA H Biết BH = 1,2547cm; BAC 37 2850 ' ''

 Tính diện tích ABCD

Bài 8: Cho tam giác ABC có B 120

 , BC = 12cm, AB = 6cm Phân giác B cắt cạnh AC

tại D Tính diện tích tam giác ABD

Bài 9: Số 211 – số nguyên tố hay hợp số?

Bài 10: Tìm UCLN hai số 7729 vaø 11659

Đề 14:

(Đề thi học sinh giỏi THCS tỉnh Thái Nguyên – năm 2004)

Bài 1: Tính:

a A = 1,123456789 – 5,02122003 b B = 4,546879231 + 107,356417895

Bài 2: Viết số sau dạng phân số tối giản a C = 3124,142248

b D = 5,(321)

Bài 3: Giả sử  2100

0 200

(45)

Bài 4: Phải loại số tổng 1 1 12 12 12 14 16       để kết Bài 5: Cho tam giác nội tiếp đường tròn Các đỉnh tam giác chia đường tròn ba cung có độ dài 3, 4, Tìm diện tích tam giác?

Bài 6: Tìm số tự nhiên a lớn để chia số 13511; 13903; 14589 cho a ta số dư

Bài 7: Cho số nguyên, cộng ba số ta số 180; 197; 208; 222 Tìm số lớn số nguyên đó?

Đề 15:

(Đề chọn đội tuyển thi khu vực tỉnh Thái Nguyên – năm 2004)

Bài 1: Tìm chữ số thập phân thứ 15 sau dấu phẩy 2003

Bài 2: Tìm chữ số thập phân thứ 2004 sau dấu phẩy kết phép chia cho 53?

Bài 3: Tính 20120032.

Bài 4: Tìm số hạng nhỏ tất số hạng dãy n 2003

u n

n

 

Baøi 5: Tính

3

54 200 126

1

M

5

 

 

 Baøi 6: Cho sin 2x 15 22' 

 với 00 < x < 900 Tính sin2x cos5x tan 7x : cos3x  

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 3,14; BC = 4,25; CA = 4,67 Tính diện tích tam giác có đỉnh chân ba đường cao tam giác ABC

Đề 16:

(Tạp chí Tốn học & tuổi trẻ năm 2005)

Bài 1: Tìm UCLN BCNN hai số A = 1234566 B = 9876546

Bài 2: Tính giá trị biểu thức    

 

2 2

2

x 3y 5z 2x y x 2y z

A

x x 5y z

      



    taïi

9

x ;y ;z

4

  

Bài 3: Tìm số nguyên dương x vaø y cho x2 + y2 = 2009 x > y.

Bài 4: Tính gần (độ, phút, giây) góc A tam giác ABC biết AB = 15cm, AC = 20cm BC = 24cm

Bài 5: Tính gần diện tích tam giác ABC biết A 12B 14C AB = 18cm

Bài 6: Tính gần giá trị biểu thức M = a4 + b4 + c4 a + b + c = 3, ab = -2, b2 + c2 = 1.

Bài 7: Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 5, 4, 3, 1, -2 x = 1, 2, 3, 4, Tính giá trị a, b, c, d, e tính gần nghiệm đa thức

Bài 8: Cho bốn điểm A, B, C, D, E đường trịn tâm O bán kính 1dm cho AB đường kính, OC AB CE qua trung điểm OB Gọi D trung điểm OA Tính diện tích

tam giác CDE tính gần góc CDE (độ, phút, giây).

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có cạnh AB = 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, DA = 7dm Tính gần bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp góc lớn (độ, phút, giây) tứ giác

Bài 10: Dãy số  an xác định sau: n n n

1

a 1,a 2,a a a

3

 

    với n N * Tính

(46)

Bài 11: Tính gần giá trị nhỏ lớn phân thức A 2x22 7x

x 4x

 



 

Bài 12: Tìm nhóm ba chữ số cuối (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) số:

2 15 16

1 14    15

Bài 13: Tính gần góc nhọn x (độ, phút, giây) sin x.cosx sin x cosx    2

Bài 14: Điểm E nằm cạnh BC hình vng ABCD Tia phân giác góc EBD, EAD cắt cạnh BC, CD tương ứng M, N Tính gần giá trị nhỏ tỉ số MNAB Tính gần (độ, phút, giây) góc EAB MN 6AB 7

Bài 15: Hai đường trịn bán kính 3dm 4dm tiếp xúc với điểm A Gọi B C tiếp điểm hai đường trịn với tiếp tuyến chung ngồi Tính gần diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC hai cung nhỏ AB, AC

Đề 17:

(Tạp chí Tốn học tuổi thơ 2 tháng năm 2005)

Bài 1: Tính giá trị biểu thöc M 12 3 3 1 4 14

       

 Bài 2:

2.1 Tìm gần (đến 10 chữ số) tất nghiệm thực phương trình bậc ba:

3 3

a)8x  6x 0  b)x x  2x c)16x 12x    10 0 

2.2 Trong phương trình trên, phương trình có nghiệm hữu tỉ Chứng minh? 2.3 Tính xác nghiệm phương trình dạng biểu thức chứa

Baøi 3:

3.1 Dãy số a ,a , ,a , k xây dựng sau: Chữ số an 1 tổng chữ số

số 10 an Hãy chọn số (có số chữ số 6, 7, 8, 9, 10) thực quy trình Điều xảy ra? Hãy chứng minh nhận định ấy?

3.2 Dãy số a ,a , ,a , k có tính chất: Chữ số an 1 tổng bình phương chữ số

số 10 an Hãy chọn số (có số chữ số 6, 7, 8, 9, 10) thực quy trình Điều xảy ra? Hãy chứng minh nhận định ấy?

Baøi 4:

4.1 Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương chúng số phương 4.2 Có hay khơng n số tự nhiên liên tiếp (2< n < 11) có tổng bình phương chúng số phương?

Bài 5: Tìm số tự nhiên có tính chất: Nếu viết liên tiếp bình phương lập phương nó, sau đảo ngược số nhận ta nhận số lũy thừa bậc sáu số ban đầu

Bài 6: Một hàm f: N > N cho số tự nhiên n giá trị f(n) số tự nhiên, theo công thức f(f(n)) = f(n) + n

6.1 Hãy tìm hai hàm số f: R -> R cho f(f(x)) = f(x) + x với x 6.2 Chứng minh hàm số khác thỏa mãn

Đề 18:

(47)

Baøi 1: Cho A 847 847

27 27

   

1.1 Tính máy giá trị A 1.2 Tính xác giá trị A

Bài 2: Một người mua nhà trị giá hai trăm triệu đồng theo phương thức trả góp Mỗi tháng trả ba triệu đồng

2.1 Sau bao laâu trả hết số tiền

2.2 Nếu phải chịu lãi suất số tiền chưa trả 0,04% tháng tháng kể từ tháng thứ hai trả ba triệu thi sau trả hết số tiền

Bài 3: Điểm kiểm tra mơn tốn lớp 9A 9B thống kê sau (n điểm số, bảng số học sinh đạt điểm n):

n 10

9A 7 4

9B 1 15 10 1

3.1 Tính điểm trung bình mơn học hai lớp Tính phương sai độ lệch tiêu chuẩn? 3.2 Gọi 3, điểm yếu; 5, điểm trung bình; 7, điểm 9, 10 điểm giỏi Tính tỉ lệ phần trăm số học sinh đạt điểm yếu, trung bình, khá, giỏi hai lớp Kết luận?

Bài 4:

4.1 Tìm chín số lẻ dương khác n ,n , ,n1 9thỏa mãn

1

1 1

n n  n 

4.2 Tồn hay không sáu, bảy, tám số lẻ dương có tính chất trên?

Bài 5:

5.1 Chứng minh phương trình Pell x2 – 2y2 = có nghiệm nguyên dạng: xn = 3xn-1 + 4yn-1; yn = 2xn-1 + 3yn-1 với n = 1, 2, … x0 = 3; y0 =

5.2 Lập qui trình tính (xn; yn) tính với n = 1, 2, … tràn hình

Bài 6: Cho ngũ giác có cạnh độ dài a1 Kéo dài cạnh ngũ giác để năm cánh có mười cạnh có độ dài b1 Các đỉnh lại tạo thành đa giác Tiếp tục trình dãt ngũ giác lồng Xét dãy:

 1 2   

S a ,b ,a ,b ,  c ,c ,c ,

6.1 Chứng minh phần tử dãy S tổng hai phần tử đứng trước

6.2 Chứng minh cn u a u bn 1  n 1 với un số hạng dãy Phibonacci, tức dãy

 n n n 1

F1,1,2,3,5, ,u  u u 

6.3 Biết a1 = Lập quy trình máy Casio tính an bn Tính an bn tràn hình

Đề 19:

(Tạp chí Tốn học tuổi thơ 2 tháng 03 năm 2005)

Bài 1: Cho hai số a = 3022005 b = 7503021930 1.1 Tìm UCLN BCNN hai số a, b

1.2 Lập qui trình bấm phím liên tục tính UCLN(a,b) 1.3 Tìm số dư chia BCNN(a,b) cho 75

Baøi 2: Cho x1000 + y1000 = 6,912 vaø x2000 + y2000 = 33,76244 Tính x3000 + y3000.

(48)

1

3.1 A 2

2 3

3 4

4 5

5

  

 



1

3.2 B 1

1 1

4 1

3 1

8 1

2

  

 

  Bài 4: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: y 318 x 1 318 x 1

     

Bài 5: Cho dãy số  bn xác định sau: bn+2 = 4bn+1 – bn; b1 = 4, b2 = 14

5.1 Chứng minh diện tích tam giác với cạnh bk-1, bk, bk+1 số nguyên 5.2 Chứng minh bán kính đường trịn nội tiếp tam giác tính theo cơng thức

  k k

k

r 3

2

 

   

 

 

Baøi 6:

6.1 Bao nhiêu số có tám chữ số tạo thành từ chữ số mà hai chữ số không đứng cạnh

6.2 Bao nhiêu số có chín chữ số tạo thành từ chữ số mà hai chữ số không đứng cạnh

6.3 Bao nhiêu số có mười chữ số tạo thành từ chữ số mà hai chữ số không đứng cạnh

Đề 20:

(Sở GD –ĐT Hà Nội - 1996)

Bài 1: Tìm x với x =

4

7

2,3144 3,785



Bài : Giải phương trình : 1,23785x2 +4,35816x – 6,98753 = 0

Bài : Tính A biết : A = 22g25ph18gix2,6 7g47ph35gi9g28ph16gi

Bài :

Bài 4.1. Tìm góc C ( độ phút ) tam giác ABC biết a = 9,357m; b = 6,712m; c = 4,671m

Bài 4.2. Tìm độ dài trung tuyến AM tam giác ABC

Bài 4.2. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 5. Đơn giản biểu thức sau : 9 5 39 5

  

Bài : Số tiền 58000đ gửi tiết kiệm theo lãi kép ( Sau tháng tiền lãi nhập thành vốn) Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84155đ Tính lãi suất / tháng (tiền lãi 100đ tháng)

Bài : Cho số liệu :

Biến lượng 135 642 498 576 637

Tần số 12 23 14 11 Tính tổng số liệu, số trung bình phương sai

n

 (n2 lấy số lẻ)

Bài : Cho tam giác ABC coù B 49 72 '

 ; C 73 52  ' Caïnh BC = 18,53 cm Tính diện tích

Bài : Tìm nghiệm gần ( lấy hai số lẻ thập phân) phương trính : x2 + sinx – = 0

(49)

Bài 11 : Tính khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp cánh nội tiếp đường trịn bán kính R = 5,712

Baøi 12 : Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhọn) Tính sin (A + B – C)

Bài 13 : Tìm n để n!  5,5 1023  (n + 1!)

Đề 21:

(Vòng chung kết Sở GD – ĐT Hà Nội - 1996)

Bài 1: Tính A = 3x5 32x423x3 x

4x x 3x

   

  

x = 1,8165

Baøi :

Bài 2.1 : Cho tam giác ABC có a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m Tính đường cao AH bà bán kính r đường trịn nội tiếp

Bài 2.2 : Tính đường phân giác AD tam giác ABC

Baøi : Cho tgx = 2,324 ( 00 < x < 900) Tính A = 8cos x 2sin x cos x3

3 2cos x sin x sin x

 

 

Bài : Cho tam giác ABC có chu vi 58cm, B 5718  ' '; C 82 35  ' ' Tính độ dài cạnh AB,

BC, AC

Baøi : Cho cosx = 0,81735(0 < x < 90) Tính : sin3x cos7x

Bài : Tính ( độ phút) góc hợp hai đường cheo tứ giác lồi nội tiếp đường trịn có cạnh : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68

Bài : Có 100 người đắp 60m đê chống lũ, nhóm đàn ơng đắp 5m/người, nhóm đàn bà đắp 3m/người, nhóm học sinh đắp 0,2m/người Tính số người nhóm

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình x2 – tgx – = ( lấy số lẻ)

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình x2 - 5 x - =

Bài 10 : Tìm nghiệm gần phương trình x6 - 15x – 25 = 0

Bài 11 : Hai vectơ v1



v2



có v1



= 12,5 ; v2



= vaø

1

v v v v

2



 

   

Tính góc(v1



,v2



) độ phút

Bài 12 : Tìm nghiệm gần phương trình : x9 + x –10 = 0

Bài 13 : Tìm nghiệm gần phương trình : x3 – cosx = 0

Bài 14 : Tìm nghiệm gần phương trình x – cotgx = ( < x <

2



)

Đề 22:

(Sở GD – ĐT Thanh Hóa - 2000)

Baøi :

Bài 1.1 : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 3,74, AC = 4,51 Tính đường cao AH

Bài 1.2 : Tính góc B tam giác ABC độ phút

Bài 1.3 : Kẻ đường phân giác góc A tam giác ABC cắt BC I Tính AI

Bài : Cho hàm số y = x4 + 5x3 – 3x2 + x – Tính y x = 1,35627.

Bài : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6 Tình tọa độ (xo ; yo) đỉnh S Parabol

Bài : Tính B = 3h47ph55gi 5h11ph45gi6h52ph17gi

Bài : Tính A = 2

3x 2x 3x x 4x x 3x

   

   Khi x = 1,8156

(50)

Baøi 7: Cho tgx = 2,324 Tính A = 3

8cos x 2sin x cos x 2cos x sin x sin x

 

Bài 8: Cho sinx =

5 Tính A =

2

2 cos x 5sin 2x 3tg x 5tg 2x 6cotgx

 

 Bài 9: Tính a để x4 + 7x3 + 13x + a chia hết cho x6.

Baøi 10 : Giải phương trình : 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0

Bài 13 : Tìm nghiệm gần phương trình : x - x =

Bài 14 : Giải hệ phương trình :

Bài 15 : Dân số nước 65 triệu Mức tăng dân số năm 1,2% Tính dân số nước sau 15 năm

Đề 23:

(Sở GD – ĐT Thanh Hóa - 2000)

Baøi :

Baøi 1.1 : Cho tam giác ABC ( 900 < x < 1800) sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6 Tính BC

Bài 1.2 : Tính độ dài trung tuyến AM tam giác ABC

Bài : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6 Tìm tọa độ (xo; yo) đỉnh S Parabol

Bài : Tính A =

3

7

1,815.2,732 4,621

Baøi 4: Cho cosx = 0,7651 (00 < x < 900) Tính A = 2

cos x sin x cos x sin x

 

 Bài 5: Cho sinx =

5 Tính A =

2

2 cos x 5sin 2x 3tg x 5tg 2x 6cotgx

 

 Baøi 6: Cho x =

5 Tính A =

2

3

2

4

5log x 2(log x) 3log 2x 12(log 2x) 4log 2x

 



Bài : Tính A để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6

Bài : Dân số nước 65 triệu Mức tăng dân số năm 1,2% Tính dân số nước sau 15 năm

Bài 9: Giải hệ phương trình :

2

x

0,681 y

x y 19,32

   

  



Bài 10 : Tìm nghiệm phương trình :x - x 13 

Bài 11 : Tìm nghiệm gần phương trình : 8x3 + 32x – 17 = 0

Baøi 12 : Cho < x <

2



(51)

Đề 24:

(Sở GD - ĐT Đồng Nai - 1998)

Bài : Giải phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0

Bài : Giải hệ phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) :

Bài : Tìm số dư phép chia :

3

x 6,723x 1,875x 6, 458x 4,319 x 2,318

   



Bài : Một ngơi năm cánh có khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp 9,651 Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp qua đỉnh )

Bài : Cho  góc nhọn có sin = 0,813 Tìm cos 5.

Bài 6: Tìm thời gian để động tử di chuyển hết đoạn đường ABC dài 127,3 Km biết AB = 75,5km di chuyển với vận tốc 26,3km/giờ đoạn BC di chuyển vận tốc 19,8km/giờ

Baøi : Cho x, y làhai số dương, giải hệ phương trình

Bài : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 15, BC = 26(cm) Kẻ đường phân giác BI ( I nằm AC) TÍnh IC

Bài : Tính (Kết ghi phân số vàsố thập phân) : A = 3123 2581 4521 52   23

Baøi 10 : Cho số liệu :

Số liệu 173 52 81 37

Tần số

Tìm số trung bình X, phương sai  2x( )2n ( Kết lấy số lẻ)

Câu 11 : Tính B =

3

17

816,13 712,35



Câu 12 : Tìm nghiệm gần phương trình : x3 + 5x – = 0

Câu 13: Tính C = g phg giph ggi ph gi

6 47 29 58 38 31 42



Câu 14 : Tìm nghiệm gần phương trình : x + x 0

 

Câu 15 : Cho hình thang cân có hai đường cheo vng góc với Đáy nhỏ dài 15,34, cạnh bên dài 20,35cm Tìm độ dài đáy lớn

Đề 25

(Vòng chung kết Sở GD – ĐT Đồng Nai - 1998)

Bài : Giải phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 2,354x2 - 1,542x - 3,141 = 0

Bài : Giải hệ phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 1,372x 4,915y 3,1238,368x 5, 214y 7,318 

 

 Baøi : Tìm số dư phép chia : x3 6,723x3 1,875x2 6,458x 4,319

x 2,318

   



Bài : Một năm cánh có khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp 9,651 Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp qua đỉnh )

Baøi : Cho  góc nhọn có sin = 0,813 Tìm cos 5.

1,372x – 4,915y = 3,123 8,368x + 5,214y = 7,318

(52)

Bài : Cho tam giác ABC có ba cạnh a = 8,32 ; b = 7,61; c = 6,95 (cm) Tính góc A độ, phút, giây:

Baøi : Cho x, y làhai số dương, giải hệ phương trình

Bài : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 15, BC = 26(cm) Kẻ đường phân giác BI ( I nằm AC) Tính IC

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình : x9 + x – = 0

Bài 10. Cho số liệu :

Số liệu 173 52 81 37

Tần số

Tìm số trung bình X, phương sai  2x( )2n ( Kết lấy số lẻ)

Câu 11 : Tính B =

3

17

816,13 712,35



Câu 12 : Tìm nghiệm gần phương trình : x3 + 5x – = 0

Câu 13 : Cho tam giác ABC có ba cạnh a = 15,637 ; b = 13,154; c = 12,981 (cm) Ba đường phân giác cắt ba cạnh A1, A2, A3 Tính diện tích tam giác A1A2A3

Câu 14 : Tìm nghiệm gần phương trình : x + 32 0

 

Câu 15 : Cho hình thang cân cóa hai đường cheo vng góc với Đáy nhỏ dài 15,34, cạnh bên dài 20,35cm Tìm độ dài đáy lớn

Đề 26

(Sở GD – ĐT TP Hồ Chí Minh - 1998)

Bài : Tìm số dư phép chia : (Kết lấy số lẻ ) :

11

x x x x x 723 x 1,624

    



Bài : Giải Phương trình (ghi kết số lẻ): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0518 = 0

Baøi :

Bài 3.1 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 12,357; b= 11,698; c = 9,543 (cm) Tính độ dài đường trung tuyến AM

Bài 3.2 : Tính sinC

Bài : Cho cosx = 0,8157 Tính sin3x (00 < x < 900)

Baøi : Cho 00 < x < 900 vàsinx = 0,6132 Tính tgx.

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình : 3x - x 0 

Bài : Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1,678, công bội q =

9 Tính tổng Sn 17 số

hạng (kết qủa lấy số lẻ)

Bài : Qua kỳ thi, 2105 học sinh xếp theo điểm số sau Hãy tính tỷ lệ phần trăm (lấy số lẻ) học sinh theo loại điểm Phải ấn lần phím chia để điền xong bảng với máy tính Casio có K

Điểm 10

Soá h/s 27 48 71 293 308 482 326 284 179 52 35

Tỉ lệ

Bài : Cho hình thang cân có hai đường cheo vng góc với Đáy nhỏ dài 13,72 Cạnh bên dài 21,867cm Tính diên tích S (S lấy số lẻ)

Baøi 10 : Cho x,y laø hai số dương, giải hệ phương trình :

Bài 11 : Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp 3,9017 1,8225 (cm) Tìm khoảng cách hai tâm hai đường tròn

(53)

Bài 12 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 7,615; b = 5,837; c = 6,329 (cm) Tính đường cao AH

Đề 27

(Vòng chung kết Sở GD – ĐT TP Hồ Chí Minh - 1998)

Bài : Giải phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) 2,3541x2 7,3249x 4, 2157 0

  

Bài 2: Giải hệ phương trình (ghi kết qủa đủ số lẻ thập phân): 3,6518x 5,8426y 4,6821

1, 4926x 6,3571y 2,9843

 

 

 

 Bài 3: Giải phương trình (tìm nghiệmgần đúng) : x3 + 2x2 – 9x + = 0

Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , biết trung đoạn d = 3,415(cm) Góc hai cạnh bên đáy 42017’ Tính thể tích.

Bài :

Bài 5.1 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 12,758; b = 11,932; c = 9,657(cm) Tính độ dài đường phân giác AD

Bài 5.2 : Vẽ đường phân giác CE, CF Tính diện tích S1 tam giác DEF

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình : x3 – 2xsin(3x-1) + = 0.

Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn bán kính R với cạnh a = 3,657; b= 4,155; c = 5,651; d = 2,765(cm) Tính R

Bài : Tìm nghiệm âm gần phương trình :x10 – 5x3 + 2x – = 0

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình :

Bài 10 : Cho tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = 7,268 (cm) góc B = 48030’; C = 63042’ Tính diện tích tam gác ABC.

Bài 11 : Cho tứ giác lồi ABCD có cạnh 18, 34, 56, 27 (cm) B D  = 2100 Tính diện

tích tứ giác

Đề 28

(Thành đoàn niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996)

Bài : Tính x =

4 2.3

5

(1,345) (3,143) (189,3)

Bài : Giải phương trình : 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0

Baøi : Tính A = 2

3x 2x 3x x 4x x 3x

   

   Khi x = 1,8156

Biến lượng 135 642 498 576 637

Taàn số 12 23 14 11 Tính tổng số liệu, số trung bình phương sai

n

 (n2 lấy số lẻ)

Bài : Hai lực F1 = 12,5N F2 = 8N có hợp lực trung bình cộng chúng Tìm góc hợp hai lực (Tính độ phút)

Bài 6: Một viên đạn bắn từ nòng súng theo góc 40017’ phương nằm ngang với vận tốc 41,7m/s Cho g = 9,81m/s2, tính khoảng cách từ nơi bắn đến chỗ đạn rơi.

Bài : Tính độ cao viên đạn đạt câu

Bài : Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 ( ba góc nhọn) Tính sin(A+ B-C)

Bài : Tìm n để n!  5,5.1028  (n+1)!

(54)

Baøi 11 :

Bài 11.1 : Cho tam giác ABC có a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m Tính đường cao AH bà bán kính r đường trịn nội tiếp

Bài 11.2 : Tính đường phân giác AD tam giác ABC

Bài 12 : Tìm nghiệmgần phương trình : x2 + sinx – = 0

Bài 13 : Tìm nghiệmgần phương trình : 2x3 + 2cosx + = 0

Bài 14 : Tính khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp cánh nội tiếp đường trịn bán kính R = 5,712

Bài 15 : Cho tam giác ABC có  '

B 49 72 ; C 73 52  ' Caïnh BC = 18,53 cm Tính diện tích

Bài 16 : Một viên đạn buộc chặt vào sợi dây dài 0,87m Một người cầm đầu dây dây phải quay vòng phút sợi dây vẽ nên hình nón có đường sinh tạo với phương thẳng đứng góc 52017’ Biết g = 9,81m/s2.

Đề 29

(Thành đoàn niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996 Vịng chung kết)

Bài : Giải phương trình tìm nghiệm gần : x3 – 7x + = 0

Bài : Cho tam giác ABC có chu vi 58cm,  '

B 57 18 ; C 82 35  ' Tính độ dài cạnh AB,

BC, AC

Bài : Một hình vng chia thành 16 (mỗi cạnh ơ) Ơ thứ đặt hạt thóc, thứ hai đặt hạt , ô thứ ba đặt hạt, đặt liên tiếp đến cuối cùng(Ơ gấp đơi trước) Tính tổng hạt thóc đặt vào 16 hình vng

Bài : Một vật trượt có ma sát mặt phẳng nghiêng góc 43025’ so với mặt nằm ngang với gia tốc 3,248m/s2 cho g= 9,81m/s2 Tính hệ số ma sát.

Bài : Có 100 người đắp 60m đê chống lũ, nhóm đàn ơng đắp 5m/người, nhóm đàn bà đắp 3m/người, nhóm học sinh đắp 0,2m/người Tính số người nhóm

Bài : Cho cosx = 0,81735(0 < x < 90) Tính : sin3x cos7x

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình x2 – tgx – = ( lấy số lẻ)( x 0

2



   ) Bài : Tính gia tốc rơi tự độ cao 25km biết bán kính trái đất R = 64000km gia tốc g = 9,81m/s2.

Bài : Cho –1 < x < Tìm nghiệm gần phương trình : cosx + tg3x =

Bài 10 : Tìm nghiệm gần phương trình : 2cos3x – 4x – =

Baøi 11 : Cho tgx = 2,324 Tính A = 8cos x 2sin x cos x3 3 2

2cos x sin x sin x

 

Bài 12 : Tìm nghiệm phương trình : 3x 34 x 1

   

Bài 13 : Tìm nghiệm gần phương trình x6 - 15x – 25 = 0

Bài 14 : Tìm nghiệm gần phương trình x2 - x2 +7x + = 0

Bài 12 : Tính ( độ phút) góc hợp hai đường cheo tứ giác lồi nội tiếp đường trịn có cạnh : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68

Bài 14 : Tìm nghiệm gần phương trình x2 - 5 x - =

Đề 30

(Thành đoàn niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996 Vịng chung kết)

Bài : Tính thể tích V hình cầu bán kính R = 3,173

Bài :

Bài 2.1 : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 3,74, AC = 4,51 Tính đường cao AH

(55)

Số liệu 15 17 63

Tần số 14

Tìm số trung bình X, phương sai  2x( )2n

Bài : Cho hàm số y = x4 + 5x3 – 3x2 + x – Tính y x = 1,35627

Bài : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6 Tình tọa độ (xo ; yo) đỉnh S Parabol

Bài : Tìm giao điểm Parabol (P) với trục hồnh

Bài : Tính bán kính hình cầu tích V= 137,45dm3

Bài : Cho sinx = 0,32167 (0o < x < 900 ) Tính A = cos2x – 2sinx- sin3x

Bài : Tính B = 3h47ph55gi 5h11ph45gi6h52ph17gi

Câu 10 : Tính diện tích hình trịn nội tiếp tam giác có cạnh dài a= 12,46

Định dạng
Số trang	55
Dung lượng	2,19 MB