Dang 3. Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực(VDT

Câu [2D4-2.3-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho sớ phức z thỏa mãn A z = z − z = − + 3i + z Tính z z = B z= C 13 D z= 25 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh Chọn A Gọi z = a + bi , ( a, b∈ ¡ )  a + b2 − 2a = − + a z − z = − + 3i + z ⇔ a + b − ( a − bi ) = − + 3i + a + bi ⇔   2b = + b b = b = a =   ⇔ ⇔  3a − ≥ ⇔ b =  a + = 3a −  2 ⇒ z = + 3i ⇒ z = a + = a − ( )  Câu [2D4-2.3-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Tính mô đun số phức mãn z ( + 2i ) + z ( − i ) + − i = với i A thỏa đơn vị ảo B z C D Lời giải Tác giả: Lê Vũ; Fb: Lê Vũ Chọn B z = x + yi , x, y Ỵ ¡ Giả sử: Ta có: z ( + 2i ) + z ( − i ) + − i = Û ( x + yi ) ( + 2i ) + ( x − yi ) ( − i ) + − i = Û ( x − y + ) + ( x − 1) i = Û  2x − y + = y =   Û x = x −1= Þ z =1 +2i Þ z = Câu [2D4-2.3-3] (Kim Liên 2016-2017) Tìm tập hợp thời hai điều kiện z= T z số ảo A T = { − − i;1 − i; − + i;1 + i} C T = { − + i} B gồm tất số phức T = { − i;1 + i} D T Lời giải z thỏa mãn đồng = { − − i} Tác giả: ; Fb: Xuan Thuy Delta Chọn A z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Đặt ⇒ z = ( x + yi ) = x − y − xyi Khi z2 z = ⇔ x2 + y = sớ ảo nên ta có x2 − y2 =  x = 1, y =  x = 1, y = −  ⇔ 2  x + y =  x =  x = ±  x = − 1, y = ⇔ 2 ⇔  2   x − y =  y =  x = − 1, y = − Từ ta có hệ  x − y = Câu [2D4-2.3-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho sớ phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ A ) P = thỏa mãn B ( + i ) z + z = + 2i Tính P = a + b P=− C P= D P = − Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Sang ; Fb:Nguyen Thanh Sang Chọn D Ta có: ( + i ) z + z = + 2i ⇒ ( + i ) ( a + bi ) + ( a − bi ) = + 2i ⇔ a + bi + ia − b + 2a − 2bi = + 2i  3a − b = ⇔ a − b =  a = ⇔ b = −  Vậy Câu P = a + b = − [2D4-2.3-3] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái)Cho số phức z = a + bi ( a, b∈ ¡ ) thỏa mãn z + + 3i − z i = Tính S = 2a + 3b A S = −6 B S = C S Lời giải = − D S = Tác giả: Lê thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy Chọn A ( )  a = −   + b = b + ( *) 2 z + + 3i − z i = ⇔ ( a + 1) + b + − a + b i = Ta có  a + = ⇔ ⇔ 2 b + − a + b =  b ≥ −3   b ≥ − ⇔  * ⇔ ( )  2 b=− ⇔ b= −  + b = b + ( )   3  a = −1   b = − Vậy  Câu ⇒ S = 2a + 3b = − [2D4-2.3-3] (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Gọi z phức A z = z Số phần tử thỏa mãn điều kiện B z S tập hợp số C Lời giải D Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng Chọn C z =0 ⇔  4 ⇔ z z − = z = z ⇔ z = z  z = Ta có: ( +) +) z = ⇔ z = z = ⇔ z4 ⇒S  z = −1 z = ⇔ z = i 2  = ⇔ z − z + =  z = −i ( )( ) có phần tử PT 42.1 A ) w = m Chọn C Cho số phức w B thỏa mãn w = 2m w = ( − i ) z , biết z = m Tính w C w Lời giải = 2m D w = 4m Lấy môđun vế w = ( − i ) z , ta được: w = ( − i ) z = ( − i ) z = − 2i z = 2m PT 42.2 Có số phức A Vô số B z z+1 thỏa mãn z = z − số ảo? C Lời giải D Chọn A ⇒ z = Ta có z = z.z = z +1 z +1 z ⇔ + =0 z +  z + 1 z+1 z + z + 1 z − ⇔ + + =0 −1 ÷= ⇔ z −1  z − 1 z − số ảo z −1 z −1 z ⇔ Câu z+1 z +1 + =0 z − 1− z ∀ z ≠ [2D4-2.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ; a, b ≠ 0) thỏa mãn 5  2a + b z + z =  − 2i ÷ z S= 3  Tính 2a − b A S = −2 − B S = 2 − C S = 2− 2 D S = 2 + Lời giải Tác giả:Vũ Thị Thu Thủy ; Fb:Vũ Thị Thu Thủy Chọn A Đặt z = a + bi (a, b ∈ R; a, b ≠ 0) , ta có 5 (a + bi) + 4( a − bi) = ( − 2i) a + b2 ⇔ 5a − 3bi = a + b − 2(a + b )i 3 2  a = a +b  ⇔  − 3b = − 2( a + b2 )  Chia (1) cho (2) Vậy chọn đáp án A (1) (2) Từ suy b = 2a > ⇒ S = a > 0, b > 2+2 = − 2 − 2− 2 Câu [2D4-2.3-3] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) a,b z = a + bi S = a + 2b2 − ab A S = (với số thực B S = − a +b ≠ 2 ) thỏa mãn điều kiện S = C Cho số z (2 + i − z ) = z D phức Tính S = Lời giải Tác giả:Nguyễn Thành Biên ; Fb:Bien Nguyen Thanh Chọn D Ta có: z (2 + i − z) = z ⇔ ( a − bi ) (2 + i − a − bi ) = a + b2 ⇔ ( a − 2b ) i + 2a + b − 2a − 2b =  a − 2b = ( 1) ⇔ 2  2a + b − 2a − 2b = ( ) Từ ( 1) ⇒ a = 2b thay vào ( 2) + Với + Với Vậy Câu b = ⇔ b =  ta được: 10b − 5b = b = ⇒ a = (Loại) b= ⇒ a=1 S = a + 2b2 − ab = [2D4-2.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 14) z ( z − + 3i) + 4i = (4 + 5i) z A B Có sớ phức C z thỏa mãn D Lời giải Tác giả:Huỳnh Minh Khánh ; Fb:Huỳnh Khánh Chọn A Đặt t = z ( t ≥ 0) Ta có: ( z − + 3i ) t + 4i = (4 + 5i) z ⇔ z (t − − 5i) = 2t − (3t + 4)i Lấy môđun vế ta được: z (t − − 5i) = 2t − (3t + 4)i ⇔ t (t − 4) + 25 = 4t + (3t + 4) t≥0  t≥0  ⇔2 ⇔ 4 2  t ( (t − 4) + 25 ) = ( 4t + (3t + 4) )  t − 8t + 28t − 24t − 16 = t ≥ ⇔  (t − 2)(t − 6t + 16t + 8) = ⇔ Với t = (TMĐK) t = ,ta có: 2( z − + 3i) + 4i = (4 + 5i) z ⇔ 2[ x − + ( y + 3)i ] + 4i = (4 + 5i )( x + yi ) ⇔ 2( x − 2) + (2 y + 10) = x − y + (5 x + y )  x − y = −4  x = ⇔ ⇔ ⇒z=2 x + y = 10 y =   z Vậy có sớ phức thỏa yêu cầu Câu 10 [2D4-2.3-3] (Sở Lạng Sơn 2019) Giả sử ( + i) z z - ( 1- 2i) z = + 3i A M = 19 B z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z1 - z2 = Tính M = z1 + 3z2 M =19 C M = 25 D M =5 Lời giải Tác giả: Trần Đức Hiếu; Fb: Tran Duc Hieu Chọn A ( + i) z z - ( 1- 2i ) z = + 3i Û Û z Gọi ( z - 1) +( z + 2) ù= 10 zé ê ë( z - 1) +( z + 2) i ú û 2 = 10 Û z + z - 10 = Û z = Û z = z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i Ta có: z1 = z2 =1 Þ a12 + b12 = a22 + b2 = Ta có: z1 - z2 =1 Þ ( a1 - a2 ) +( b1 - b2 ) =1 Þ a1a2 + b1b2 = Ta có: M = z1 + z2 = ( 2a1 + 3a2 ) +( 2b1 + 3b2 ) i = ( 2a1 + 3a2 ) +( 2b1 + 3b2 ) 2 2 = ( a12 + b12 ) +12 ( a1a2 + b1b2 ) + ( a2 + b2 ) = 19 Vậy chọn Câu 11 [2D4-2.3-3] (Chuyên Bắc Giang) Tìm mơ đun A sớ phức ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i A Chọn B B C D số z biết Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Diệu; Fb: dieuptnguyen Ta có ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ z ( + i ) − − i + ( − i ) z + − i = − 2i ⇔ z ( + i ) = − ( − i ) z ( 1) Đặt z = a + bi Ta có: với a ; b∈ ¡ z ( + i ) = ( a + bi ) ( + i ) = 2a − 2b + ( 2a + 2b ) i − ( 1− i) z = − ( − i ) ( a − bi ) = − a + b + ( a + b ) i   a =  2a − 2b = − a + b 3a − 3b = ⇔  b = − ⇔ ( 1) ⇔  Do   2a + 2b = a + b a + b = 2  1  1 1 z = − i ⇒ z =  ÷ +− ÷ = Vậy  3  3 3 Câu 12 [2D4-2.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Có sớ phức z số ảo A B z thỏa mãn C z = z+ z + z− z D Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hồng Gấm; Fb: Nguyễn Thị Hồng Gấm Phản biện: Nguyễn Văn Mạnh, Fb: Nguyễn Văn Mạnh Chọn D Giả sử z = a + bi ; ( a, b ∈ ¡ a2 = b2 ⇔ a=b Khi ) , ta có z = a2 − b2 + 2abi số ảo ( 1) z = a − bi suy z + z = a , z − z = b Ta có z = z = ab nên kết hợp với giả thiết suy ab = a + b ( 2) a = b =  a = b = −2  ⇔  a = −b = 2   a = b  a = b =  a = −b = −2 a =2a  ⇔ ⇔   a = b =  a = b =  a = b Kết hợp ( 1) ( ) ta hệ  ab = a + b Vậy có sớ phức thỏa mãn Câu 13 [2D4-2.3-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Phương trình z nhiêu nghiệm phức? A B C D =z có bao Lời giải Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú Chọn B Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ z = z ⇔ ( a + bi ) 3 ) = a − bi ⇔ a3 + 3a 2bi − 3ab − b3i = a − bi 2 ⇔ ( a − 3ab − a ) + ( 3a b − b + b ) i = ⇔ ⇔  a3 − 3ab − a =   3a b − b + b = ⇔   a − 3b − =   a =  2  3a − b + =  b =   a =   b =  a =   b = ±1    a = ±1  b =   a = b2 = − l ( )  Vậy phương trình z =z có nghiệm phức Câu 14 [2D4-2.3-3] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Có sớ phức z + z + z − z = 12 z + − 3i = z − + i A B thỏa mãn ? C D Lời giải Tác giả: Trịnh Đăng Hùng ; Fb: Trịnh Đăng Hùng Chọn D Đặt z z = a + bi ⇒ z = a − bi  z + z + z − z = 12  32a + 22bi = 12   ⇔   ( a + 2) + ( b − 3) i = ( a − 4) + ( 1− b) i Từ giả thiết ta có  z + − 3i = z − + i  a + 2b =  3a + 2b = ⇔ ⇔ , ( 1)  2 2 a − b = a + + b − = a − + − b ( ) ( ) ( ) ( )   - TH1: - TH2: - TH3: - TH4:  3a + 2b = ⇔ ( 1) ⇔   3a − b =  a =  b = ⇒ z= + i  ( thỏa mãn) a ≥ 0, b ≥ a ≥ 0, b <  3a − 2b = ⇔ ( 1) ⇔  3a − b =  a < 0, b ≥   − 3a + 2b = a = ⇔ ( 1) ⇔  3a − b =   b = , ( loại) a < 0, b <  a= −   − 3a − 2b =  ⇔ ( 1) ⇔   3a − b = b = − ⇒ z= − − i  ( thỏa mãn) Vậy có sớ phức thỏa mãn ⇒  a = −   b = − , ( loại) chọn D Câu 15 [2D4-2.3-3] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Cho số phức z2 − 2z + z + z + số thực Có sớ phức A B z thỏa mãn z số thực z + z + z − z = z2 C Lời giải D ? Chọn B Cách z − 2z + z + z + số thực nên z2 − 2z + z − 2z + 2 2 = ⇔ z − z + z + z + = z + z + z − 2z + z + 2z + z + 2z + ( )( ) ( )( ⇔ z z − z.z − 16 z + 16 z = ⇔ z ( z − z ) − ( z − z ) = ( ) ⇔ z − ( z− z) = ⇔ z2 = Đặt z = a + bi với z − z ≠ ( 1) b ≠ , a∈ ¡ z + z + z − z = z ⇔ a + b = ( 2) a =  b = ⇔ 2  a + b =  a b =  a =   a = ⇔ ⇔    a + b =  b =   b = − Từ ( 1) ( ) ta có  a + b = Cách Đặt z = a + bi Do z với a, b∈ ¡ số thực nên b≠ ) 2 a + bi ) − ( a + bi ) + ( a − b − 2a + ) + ( 2ab − 2b ) i ( z − 2z + = = 2 2 a + bi + a + bi + ( a − b + 2a + ) + ( 2ab + 2b ) i ( ) ( ) z + 2z + z − 2z + z + z + số thực nên phần ảo ⇔ − ( a − b − 2a + ) ( 2ab + 2b ) + ( 2ab − 2b ) ( a − b + 2a + ) = ⇔ 4b ( a + b2 − ) = ⇔ a + b2 = b ≠ Mặt khác z+ z + z− z = z ⇔ 2a + 2b = a + b ⇔ ( a + b ) = a + b2 ⇔ ( a + ab + b ) = ( a + b ) a = ⇔ Thay ( 1) vào ( ) ta có ( + ab ) = 16 ⇔ ab = b = mà Với b≠ nên nhận a= a = ta b = ± nên z = ± 2i Câu 16 [2D4-2.3-3] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình)Cho hàm sớ bảng biến thiên -∞ x -1 f(x) f ( x) có +∞ 2 -∞ -∞ Phương trình ) ( f 2x − x2 = A B có nghiệm? C D Lời giải Tác giả: Hoàng Kiên; Lưu Tâm, Fb: Hoàng Kiên, Lưu Tâm Chọn B Cách 1: Ta có: f ( − ( x − 1) Khi f ( )    =3⇔      ) x − x2 = ⇔ f ( ) − ( x − 1)2 = − ( x − 1) = x1 ∈ ( −∞ ; − 1) → − ( x − 1) = x2 ∈ ( −1;0 ) → − ( x − 1) = x4 ∈ ( 0;1) (*) − ( x − 1) = x3 ∈ ( 1; ) → 2 (*) ⇔ ( x − 1) = − x4 > 0, ∀ x4 ∈ ( 0;1) , phương trình ln có nghiệm phân biệt f Vậy ( ) x − x2 = Cách 2: TXĐ: có nghiệm phân biệt D = [ 0;2] t = − x + x , t ∈ [ 0;1] Đặt Dựa vào BBT f ( x) ta có: f (t ) = có nghiệm thỏa mãn Suy phương trình Ta có: t = − x2 + x ⇔ − x2 + x − t = (*) ∆ ′ = − t > 0, ∀ t ∈ ( 0;1) Có Suy (*) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f ( ) ∀ t ∈ ( 0;1) − x2 + x = có nghiệm phân biệt Câu 17 [2D4-2.3-3] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho số phức z + = z + − 10i A w = z − + 3i B w = + 3i C w = − + 7i z thỏa mãn z =5 Tìm sớ phức w = − + 8i Lời giải D w = − + 8i Chọn D Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Ta có  x + y = 25  z =  x + yi = ⇔ ⇔  z + = z + − 10 i x + + yi = x + + y − 10 i ( )  ( x + 3) + y = ( x + 3) + ( y − 10 )    x + y = 25 ⇔ ⇔ 20 y = 100  Từ ta có  x = 25 − 52 = ⇔  y =  x =   y = Suy w = z − + 3i = − + 3i + 5i = − + 8i z = 5i Câu 18 [2D4-2.3-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho số phức z= mãn hai điều kiện z phức thỏa z sớ ảo Tổng bình phương phần thực tất sớ A z B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai Chọn B Đặt z = x + yi ( x , y ∈ ¡ ) z = ( x + yi ) = x − y + xyi số ảo x − y = ⇔ x = ± y Ta có: Mặt khác: z = ⇔ x2 + y2 = ⇔ x2 + y2 =  x =1   y =1   x = −1  x = ± y x = ± y  y = ⇔ ⇔    2 x + y =  y =  x =   y = −1   x = −1   y = −1 Suy ra:  Vậy tổng bình phương phần thực Câu 19 [2D4-2.3-3] (ĐH Vinh ( ) Lần 1) Có sớ phức z − + z − z i + z + z i 2019 = ? A B C Lời giải z thỏa mãn D.3 Tác giả: Trần Thị Thơm ; Fb: Tranthom Chọn D Giả sử z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi Ta có: z − = a − + bi , z − z = 2bi , z + z = 2a i 2019 = ( i ) 1009 i = ( − 1) 1009 i = −i ( ) 2019 =1 Do z − + z − z i + z + z i ⇔ ( ( a − 1) + b2 ) + ( 2b ) i + 2a ( − i ) =  ( a − 1) + b = ⇔ ⇔ ⇔ ( a − 1) + b2 + b i − 2ai =  b − 2a =  a =   b =  a = ⇔  b =    b =    ⇔  b =  a =   b = −  a = b  a − 2a + b =  b − b = ⇔  a = b  a = b  Vậy có sớ phức z thỏa mãn u cầu tốn Phân tích: *) Kiến thức trọng tâm liên quan đến toán: Sử dụng kiến thức số phức liên hợp, moddun số phức, hai số phức nhau, phép tốn sớ phức Cụ thể: 1.1 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) z = a − bi ( Đổi dấu phần ảo z ) a = a ' a + bi = a ′ + b ′i ⇔  (a, b, a ', b ' ∈ ¡ ) b = b ' 1.2 Hai số phức nhau:  1.3 Môđun số phức: z = a + bi = a + b  i k = ( i ) k = ( − 1) k  in =  k k  i k +1 = ( i ) i = ( − 1) i 1.4 Tính i n :  *) Lỗi học sinh hay gặp: + Khi lấy moddun: z = a2 + b2 + Nhầm lẫn phần thực, phần ảo *) Lưu ý với lớp tốn tìm z : Khi tìm z mà giả thiết tốn ngồi việc cho có z , z ,… ta thường sử dụng phép thay trực tiếp z = quan để tìm mới liên hệ phần thực, phần ảo z *) Các : Mức độ vận dụng z , a + bi (a, b ∈ ¡ ) yếu tố liên ... , phương trình ln có nghiệm phân biệt f Vậy ( ) x − x2 = Cách 2: TXĐ: có nghiệm phân biệt D = [ 0;2] t = − x + x , t ∈ [ 0;1] Đặt Dựa vào BBT f ( x) ta có: f (t ) = có nghiệm thỏa mãn Suy phương. .. ( 1) ( ) ta hệ  ab = a + b Vậy có sớ phức thỏa mãn Câu 13 [2D4-2.3-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Phương trình z nhiêu nghiệm phức? A B C D =z có bao Lời giải Tác giả:... thỏa mãn Suy phương trình Ta có: t = − x2 + x ⇔ − x2 + x − t = (*) ∆ ′ = − t > 0, ∀ t ∈ ( 0;1) Có Suy (*) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f ( ) ∀ t ∈ ( 0;1) − x2 + x = có nghiệm phân biệt Câu