Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021
Mơn thi: Tốn - Lớp: 10
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm) Cho parabol P :yx2 bxc ( ,b c tham số thực)
a) Tìm giá trị ,b c biết parabol P qua điểm M3;2 có trục đối xứng đường thẳng x 1
b) Với giá trị ,b c tìm câu a), tìm m để đường thẳng d y: x m cắt parabol P hai điểm phân biệt ,A B cho tam giác OAB vuông O (với
O gốc tọa độ)
Câu 2 (7 điểm)
a) Giải phương trình: 2
3 3 3 6 3
x x x x b) Tìm m để bất phương trình
2
2 1
3 4
x mx
x x
vô nghiệm
c) Giải hệ phương trình: 2
3
x y x y
x y y x
Câu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A1;1 B 2; 4 Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân A
Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác ABC có M trung điểm AC, N điểm thuộc cạnh
BC thỏa mãn NC2NB Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh rằng: 2 1
3 3
IN IB IC
b) Biểu diễn vectơ IA theo hai vectơ IB IC
c) Giả sử độ dài cạnh BCa CA b AB, , c Chứng minh rằng:
Nếu a IA4 b IB5 c IC0 tam giác ABC
Câu 5 (2 điểm) Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn x 1,y 1,z 1 1 1 1 2
x y z
Tìm giá trị lớn biểu thức Ax1y1z1 -HẾT -
Cán coi thi khơng giải thích thêm!
Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021
Mơn thi: Tốn - Lớp: 10
I Hướng dẫn chung II Đáp án thang điểm
Câu Đáp án Điểm
Câu (4 điểm)
a) Cho parabol P :yx2bx c ( ,b c tham số thực) Tìm giá trị ,b c
biết parabol P qua điểm M3; 2 có trục đối xứng đường thẳng x 1 Do parabol P có trục đối xứng đường thẳng x 1 nên ta có
1
2
b
b
Do parabol P qua điểm M3; 2 nên ta có
2
2 3 b 3 c c 3b7 c 3.2 7 1 Vậy b2,c 1
1
b) Với giá trị ,b c tìm câu a), tìm m để đường thẳng d y: x m cắt parabol P hai điểm phân biệt ,A B cho tam giác OAB vuông O (với
O gốc tọa độ)
Với b2,c 1 ta có P :yx22x1
Phương trình hồnh độ giao điểm P d
2
2
x x x m x x m (1)
Để d cắt P điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt 13
13
4
m m
0.5
Khi giả sử nghiệm phương trình (1) x x1, 2 hoành độ điểm ,
A B
Do A B, d A x 1; x1 m ,B x2; x2 mOA x 1; x1 m OB x, 2; x2 m
0.5
Tam giác OAB vuông O
1 2 2
OA OB x x x m x m x x m x x m (2) 0.5
Do x x1, 2 nghiệm phương trình (1) nên theo định lí Vi-et ta có
1
3
x x
x x m
Khi (2) 2
2( 1)
2
m
m m m m m
m
Kết hợp với điều kiện 13
m ta có giá trị m cần tìm m 1,m2
0.5
Câu (7 điểm)
a) Giải phương trình: x23x 3 x23x 6 Phương trình cho tương đương với
2
3 3
x x x x 0.5
(3)2
2
3
0
3 3
x x x x
x x x x
0.5
2
1
3
3 3
x x
x x x x
0.5
2
3
x x
2
1
Do
3 3
x x x x
0.5
1 x x
Vậy phương trình cho có nghiệm x1,x2
0.5
b) Tìm m để bất phương trình
2 2 x mx x x
vơ nghiệm
Bất phương trình
2 2 x mx x x
vô nghiệm bất phương trình 2 x mx x x
(1) nghiệm với x
0.5
Ta có
(1)x2mx 2 x2 3x4 Do x23x 4 0, x 2x2m3x 2 (2)
0.5
Bất phương trình (2) nghiệm với x 0 0.5
2
3 16 4
m m m
Vậy để bất phương trình
2 2 x mx x x
vô nghiệm 7 m
0.5
c) Giải hệ phương trình: 2
3
x y x y
x y y x
Đặt
2
x y a
x y b
a b, 0 Suy
2
3
a b x y 0.5
Hệ phương trình cho trở thành
2 2
2 5 (1)
3 (2)
a b a b
b a b a b b
0.5
Thay (1) vào (2) ta
2 2 2
5 2 b b 3b 1 5b 23b260
13 b b
0.5
Với 13
5
b a (Loại a0) Với b 2 a
0.5
Khi ta có 2 1
2
2
x y x y x
x y y
x y
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x y; 1; 1
0.5
Câu (2 điểm)
(4)Gọi C x y ; điểm cần tìm
Để tam giác ABC vng cân A AB AC
AB AC
(1)
0.5
Ta có AB 3;3 ,ACx1;y1 Từ (1) suy 0.5
2 2 2 2 2
3 0
1 18
3 1
x y x y
x y
x y
0.5
2 2 2
2 2
4
1 18
4
4
x
y x
y x y x y
x
x
x x x
x
y
Vậy có hai điểm C thỏa mãn điều kiện toán C2; 2 C4; 4
0.5
Câu (5 điểm)
Cho tam giác ABC có M trung điểm AC, N điểm thuộc cạnh BC thỏa mãn
2
NC NB Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh rằng:
3
IN IB IC
b) Biểu diễn vectơ IA theo hai vectơ IB IC
c) Giả sử độ dài cạnh BC a CA, b AB, c Chứng minh rằng:
Nếu a IA4 b IB5 c IC0 tam giác ABC a) Do NBC thỏa mãn NC2NB nên ta có
2NBNC0
2 IB IN IC IN
2IB IC 3IN
2
3
IN IB IC
1
b) Do M trung điểm AC nên ta có 1
2
IM IA IC 0.5
Do I trung điểm MN nên ta có IMIN 0 0.5
1
0 2IA 2IC 3IB 3IC
2IA 3IB 6IC
0.5
1
2IA 3IB 6IC
3
IA IB IC
0.5
c) Theo câu b) ta có 5
3
IA IB IC IA IB IC Khi 0.5
3 a IA4 b IB5 c IC0 a4IB5IC4 b IB5 c IC 0 0.5
4 b a IB c a IC
(5)Do IB IC không phương nên từ (1) suy 0
b a
a b c
a c
Từ suy tam giác ABC tam giác
0.5
Câu (2 điểm)
Cho ba số thực , ,x y z thỏa mãn x1,y1,z1 1 x y z Tìm giá trị lớn biểu thức Ax1y1z1
Từ 1
x y z
1 1 1 1
1 y z y z
x y z y z y z
Tương tự ta có z 1.x
y z x
x 1.y
z x y
0.5
Suy
2 2
2 2
1 1
1
8 x y z
xyz x y z
0.5
8 1
1 x y z
xyz xyz
1 1 1
8
x y z
8
A
0.5
Vậy giá trị lớn biểu thức A
8 đạt
3
x y z 0.5
-Hết -