phuong phap toa do trong khong gian

Chöùng minh D SCD vuoâng vaø tính (theo a) khoaûng caùch töø H ñeán maët phaúng (SCD).. a) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm [r]

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š

BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 TẬP

ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

1 Định nghĩa phép toán

· Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng

· Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta coù: uuur uuur uuurAB BC AC+ =

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta coù: uuur uuur uuurAB AD AC+ =

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: uuur uuur uuur uuuurAB AD AA+ + '=AC'

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA IBuur uur r+ =0; OA OBuuur uuur+ =2OIuur

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA GB GCuuur uuur uuur+ + =0r; OA OB OCuuur uuur uuur+ + =3OGuuur

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur+ + + =0r; OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur+ + + =4OGuuur

+ Điều kiện hai vectơ phương: a b phương ar r (r ¹0r)Û $ Ỵ!k R b ka:r = r

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý Ta có:

1

OA kOB

MA kMB OM

k

;

-= =

-uuur uuur

uuur uuur uuur

2 Sự đồng phẳng ba vectơ

· Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b cr r, ,r , a br r khơng phương Khi đó: a b cr r, ,r đồng phẳng Û$! m, n Ỵ R: c ma nbr= r+ r

· Cho ba vectơ a b cr r, ,r không đồng phẳng, xr tuỳ ý Khi đó: $! m, n, p Ỵ R: x ma nb pcr = r+ r+ r

3 Tích vơ hướng hai vectơ

· Góc hai vectơ khơng gian:

uuurAB u AC v=r,uuur= Þr ( , )u vr r =·BAC (00 £·BAC£1800)

·Tích vơ hướng hai vectơ không gian: + Cho u vr r, ¹0r Khi đó: u v u vr r r r = cos( , )u vr r

+ Với ur =0r hoặc vr=0r Qui ước: u vr r =0 + u vr r^ Ûu vr r =0

+ ur = ur2

CHƯƠNG III

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian:

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi

i j k, ,

r r r

vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz.

Chú ý: r ri2 = j2 =kr2=1 vaø r r r r r ri j i k k j = = =0

2 Tọa độ vectơ:

a) Định nghóa: ur =(x y z; ; )Û =u xi y j zkr r r r+ +

b) Tính chất: Cho ar=( ; ; ),a a a1 2 3 br =( ; ; ),b b b k R1 2 3 Ỵ · a br± =r (a b a1± 1; 2±b a2; 3±b3)

· kar =( ;ka ka ka1 2; 3)

· 12 12

3

a b

a b a b

a b

ì = ï

= Û í =

ï = î r r

· r0=( ; ; ),0 0 ir=( ; ; ),1 0 rj =( ; ; ),0 kr=( ; ; )0

· ar phương b br(r¹0r) Û a kb k Rr = r ( Ỵ )

1

2 2

1

3

0

a kb a a a

a kb b b b

b b b

a kb

, ( , , )

ì = ï

Û ớ = = =

ù = ợ

· a b a b a br.r= 1 1 + 2 2 +a b3 3 · a br r^ Û a b a b1 1+ 2 2+a b3 3=0

· 2 2

1

ar =a +a +a · 2

1 2

ar = a +a +a

· 1 2 3

2 2 2

1 3

a b a b a b a b

a b

a b a a a b b b

cos( , )

.

+ +

= =

+ + + +

r r r

r r

r (với a br, r ¹0r)

3 Tọa độ điểm:

a) Định nghĩa: M x y z( ; ; )ÛOMuuur =( ; ; )x y z (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý: · M Ỵ (Oxy) Û z = 0; M Ỵ (Oyz) Û x = 0; M Ỵ (Oxz) Û y =

·M Ỵ Ox Û y = z = 0; M Ỵ Oy Û x = z = 0; M Ỵ Oz Û x = y = 0

b) Tính chất: Cho A x y z( ;A A; A), ( ;B x y zB B; B)

· uuurAB=(xB-x yA B; -y zA B; -zA) · 2

B A B A B A

AB = (x -x ) +(y -y ) +(z -z )

· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k(k≠1):

1 1

A B A B A B

x kx y ky z kz

M

k ; k ; k

ổ - - -

ỗ - - - ÷

è ø

· Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:

2 2

A B A B A B

x x y y z z

Mổỗ + ; + ; + ư÷

è ø

· Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:

3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

Gổỗ + + ; + + ; + + ư÷

è ø

· Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD:

4 4

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

Gổỗ + + + ; + + + ; + + + ư÷

è ø

4 Tích có hướng hai vectơ:(Chương trình nâng cao)

a) Định nghóa: Cho ar =( , , )a a a1 2 3 , br=( , , )b b b1 2 3

[ ] 3 1 ( )

2 3 1 2

2 3 1

a a a a a a

a b a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

, = Ù = çỉ ; ; ư÷ = - ; - ;

-ỗ ữ

ố ứ

r r

r r

Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số

b) Tính chất:

· éër ri j, ù =û kr; ëérj k,rûù=ir; [ ]k ir,r r= j · [ , ]a br r ^ ar; [ , ]a br r ^ br · [ , ]a br r =a br .sin ,r ( )a br r · a br r, phương Û [ , ]a br r =0r c) Ứng dụng tích có hướng:

· Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a br r, cr đồng phẳng Û [ , ].a b cr r r=0

· Diện tích hình bình hành ABCD: SYABCD = ëéuuur uuurAB AD, ùû

·Diện tích tam giác ABC:

2

ABC

SD = ëéuuur uuurAB AC, ùû

·Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢: VABCD A B C D ' ' ' ' = [uuur uuur uuurAB AD AA, ] ' ·Thể tích tứ diệnABCD:

6

ABCD

V = [uuur uuur uuurAB AC AD, ]

Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc,

tính góc hai đường thẳng

– Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương

[ ] [ ]

0

0

a b a b

a b phương a b a b c đồng phẳng a b c

,

, , ,

^ Û =

Û =

Û =

r r

r r

r

r r

r r

r r

r r r r

5 Phương trình mặt cầu:

· Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x a- )2+ -(y b)2+ -(z c)2 =R2

· Phương trình x2+y2+z2+2ax+2by+2cz d+ =0 với a2+b2+c2- >d 0 phương trình

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm

– Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian

Bài 1. Viết tọa độ vectơ sau đây:

2

ar = - +r ri j; br=7ir-8kr; cr= -9kr; dr =3ir-4rj+5kr Bài 2. Viết dạng xi yj zkr r+ + r vectơ sau đây:

1

2

a= ỗổ ; ; ửữ

ố ứ

r ; br=( ; ; )4 0- ; 3

c = ỗổ ; ; ư÷

è ø

r ; 1

3 5

d = ỗổp; ; ö÷

è ø

r

Bài 3. Cho: ar=(2 3; ;- ),br=(0 1; ;- ),cr=(1 2; ; ) Tìm toạ độ vectơ ur với:

a)

2

ur = ar- br+ cr b) u ar r= -4br-2cr c)

ur = - br+ cr

d) ur =3a br- +r 5cr e) 2

ur= ar- br- cr f)

4

u ar r= - br- cr

Bài 4. Tìm tọa độ vectơxr, biết rằng:

a) a xr r+ =0r với ar=(1 1; ;- ) b) a xr r+ =4ar với ar =(0 1; ;- )

c) ar+2x br =r với ar =(5 1; ;- ), br =(2 3; ;- ) Bài 5. Cho ar= -( ; ; )1

a) Tìm y z để br=( ; ; )2 y z phương với ar

b) Tìm toạ độ vectơ cr, biết a cr r ngược hướng cr =2ar

Bài 6. Cho ba vectơ ar=(1 1; ; ,- ) br=(4 1; ;- ), cr =(3 1; ;- ) Tìm:

a) ( )a b cr r.r b) a b cr2( )r.r c) a b b c c ar2r r+ 2r r r+

d) 3ar-2( )a b b c br.r r+r2r e) 4a c br r. +r2-5cr2 Bài 7. Tính góc hai vectơ ar br:

a) ar =(4 1; ; ,) br= -( 3; ; ) b) ar=(2 4; ; ,) br=(6 3; ;- )

c) ar=( ; ; ),2 2- br =( ;0 - 2; ) d) ar=( ; ;3 2 3),br=( ;3 1; )

-e) ar= -( ; ; ),4 br=(2 2 0;- ; ) f) ar=( ; ; ),3 1- br=( ; ; )2 1

-Bài 8. Tìm vectơ ur, biết rằng:

a) 3

5 11 20

a b c

a u ( ; ; ),, u b.( ; ; ),, u c( ; ; )

ì = - = - =

-í = - = - =

ỵ

r

r r

r

r r r r r b) 1 1

6

a b c

u a( ; ; ),, u b( ; ; ),, ( ; ; )u c

ì = - = - =

-í ^ ^ =

-ỵ

r

r r

r

r r r r r

c) 1 2

3

a b c

a u ( ; ; ),, ( ; ; ),b u , ( ; ; )c u

ì = = - - =

-í = = =

ỵ

r

r r

r

r r r r r d) 3

16

a b c

a u ( ; ; ),, b u.( ; ; ),, ( ; ; )c u

ì = - = - =

-í = = =

-ỵ

r

r r

r

r r r r r

e) 1

5

a b c

a u ( ; ; ),, b u( ; ; ), , ( ; ; )c u

ì = = - =

-í = - = - ^

ỵ

r

r r

r

r r r r r

Bài 9. Cho hai vectơ a br,r Tìm m để: a) 2 2

2

a b

u ( ; ; ),a mb v ma b vuông góc( ; ; )

ì = - =

-í

= + =

-ỵ

r r

r r

r r r r b)í = -ì =ỵau ma( ; ; ),3 1- 3b vb=( ; ; )=2 13a-+2mb vuông góc r

r

r r

r r r r

c) 2 1

3

a b

u ma( ; ; ),b vaø v( ; ; )a mb phương

ì = - =

-í = - = +

ỵ

r r

r r

Bài 10. Cho hai vectơ a br, Tính X, Y bieát:

a) a b

X a b

,

ì = =

í

= -ỵ

r r

r

r b) ì =íY a ba ( ; ; ),2 2- - b =6, a b- =4 = +

ỵ

r r

r r

r r

c) a b ( )a b 1200

X a b Y a b

, , ,

,

ì = = =

í

= - = +

ỵ

r r

r r

r r

r r d) ì = - -íX a b Y a ba ( ; ; ),2 2, b =6, ,( )a b =600

= - = +

ỵ

r r

r r

r r

r r

Bài 11. Cho ba vectơ a b cr, ,r r Tìm m, n để cr r=[ ]a b,r : a) ar=(3 2; ;- - ),br=(1 2; ;m c), r=(5 7; ; )

b) ar=(6 2; ;- m b), r=(5; ;n -3),cr =(6 33 10; ; )

c) ar=(2 1; ; ,) br=(5 4; ; ,) cr =(m n; ;1)

Bài 12. Xét đồng phẳng ba vectơ a b cr, ,r r trường hợp sau đây:

a) ar=(1 1; ; ,- ) br =(0 2; ; ,) cr=(4 3; ; ) b) ar=(4 4; ; ,) br=(2 2; ; ,- ) cr=(1 1; ; ) c) ar= -( 2; ;- ),br =(1 1; ; ,) cr = -( 2 1; ; ) d) ar=(4 5; ; ,) br=(3 3; ; ,) cr =(2 1; ; )

e) ar=( ; ; ),2 br = -( ; ; ),1 cr=( ; ; )3 4- f) ar=( ; ; ),5 8- br= -( ; ; ),2 cr=( ; ; )1 7

-g) ar=( ; ; ),2 3- br =( ; ; ),1 2- cr=( ; ; )3 1- h) ar=( ; ; ),2 3- br = -( ; ; ),1 2- cr=( ; ; )3

-Bài 13. Tìm m để vectơ a b cr r, ,r đồng phẳng: a) ar=(1; ; ,m 2) br=(m+1 1; ; ,) cr=(0;m-2 2; )

b) ar=(2m+1 2; ; m-1);br=(m+1 2; ;m+2),cr=( ;2m m+1 2; )

c) ar=(m+1; ;m m-2),br=(m-1;m+2;m c), r=(1 2; ; ) d) ar=(1 2; ; ,- ) br=(m+1;m-2 1; -m c), r=(0;m-2 2; )

Bài 14. Cho vectơ a b c ur r r, , ,r Chứng minh ba vectơ a b cr r, ,r không đồng phẳng Biểu diễn vectơ ur theo vectơ a b cr r, ,r :

a) (2 0) (1 2) (2 1)

3 7

a b c

u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;

ì = = - =

-í =

-ỵ

r

r r

r b) (1 9) (3 1) ( 7)

4 13

a b c 2

u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;

ì = - = - =

-í = -

-ỵ

r

r r

r

c) (1 1) (0 1) (1 0)

8

a b c

u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;

ì = = - =

í =

-ỵ

r

r r

r d) (1 2) (2 0) (0 4)

1 22

a b c

u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;

ì = = - =

í = -ỵ

r

r r

r

e) (2 1) ( 5) (2 6)

3

a b c

u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;

ì = - = - =

-í = ỵ

r

r r

r f) (2 1) (1 2) ( 2)

4

a b c

u ( ; ; ); ; , ; ; , ; ;

ì = - = - = -

-í =

-ỵ

r

r r

r

Bài 15. Chứng tỏ bốn vectơ a b c dr r, , ,r r đồng phẳng:

a) ar= - -( 1; ; ,) br=(4 2; ;- - ),cr = - -( 2; ; ,) dr = - -( ;2 11 1; ) b) ar=(2 1; ;- ),br=(2 1; ;- ),cr= -( 2; ; ,) dr=( ; ; )2 11

-Bài 16. Cho ba vectơ a b cr r, ,r không đồng phẳng vectơ dr Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng:

a) b c d ma nbr, ,r r= r+ r (với m, n ≠ 0) b) a c d ma nbr r, ,r = r+ r (với m, n ≠ 0)

c) a b d ma nb pcr, ,r r= r+ r+ r, (với m, n, p ≠ 0) d) b c d ma nb pcr r, ,r = r+ r+ r, (với m, n, p ≠ 0)

VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích.

– Sử dụng cơng thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép tốn vectơ khơng gian

– Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt:

· A, B, C thẳng hàng Û AB ACuuur uuur, phương Û AB k ACuuur= uuur Û éëuuur uuurAB AC, ù =û 0r

· ABCD hình bình hành Û AB DCuuur uuur=

· Cho DABC có chân E, F đường phân giác ngồi góc A DABC trên BC Ta có: EB AB EC

AC =

-uuur uuur

, FB AB FC

AC =

uuur uuur

· A, B, C, D không đồng phẳng Û AB AC ADuuur uuur uuur, , không đồng phẳng Û éëuuur uuur uuurAB AC AD, ùû ¹0

Bài 1. Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M:

· Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz · Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a)M( ; ; ) b) M( ; ; )3 2- c) M( ; ; )-1 3- d) M( ; ; )1

-e) M( ; ; )2 7- f) M( ;22 15 7- ; ) g) M( ; ; )11 10- h) M( ; ; ) Bài 2. Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M¢ đối xứng với điểm M:

· Qua gốc toạ độ · Qua mp(Oxy) · Qua trục Oy

a) M( ; ; ) b) M( ; ; )3 2- c) M( ; ; )-1 3- d) M( ; ; )1

-e) M( ; ; )2 7- f) M( ;22 15 7- ; ) g) M( ; ; )11 10- h) M( ; ; ) Bài 3. Xét tính thẳng hàng ba ñieåm sau:

a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) B C 0 b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 1 B -4 C -9

c) A( ; ; ), (10 12 B -20 4; ; ), (C -50 4; ; )- - d) A( ; ;-1 10- ), ( ; ; ), ( ; ; )B 8- C 2

-Bài 4. Cho ba điểm A, B, C

· Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác

· Tìm toạ độ trọng tâm G DABC

· Xác định điểm D cho ABCD hình bình haønh

· Xác định toạ độ chân E, F đường phân giác góc A

DABC BC Tính độ dài đoạn phân giác

· Tính số đo góc DABC

· Tính diện tích DABC Từ suy độ dài đường cao AH DABC

a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 3- B C12 b) A( ; ; ), ( ;0 13 21 B11 23 17- ; ), ( ; ; )C 19

c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 7- B -5 2- C1 3- d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )4 B -2 1- C

e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 2- B1 1- C -1 3- f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )4 B 4- C

-g) A(1 0; ; ,) ( B 0 1; ; ,) ( C 1; ; ) h) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 6- B C -1 Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm:

a) A( ; ; ) , B( ; ; )-2 b) A( ; ; ), ( ; ; )1 1- B11 c) A( ; ; ), ( ; ; )4 B

-d) A( ; ; ), ( ; ; )3 2- B1 1- e) A( ; ; ), ( ; ; )3 7- B -5 2- f) A( ; ; ), ( ; ; )4 B -2 1

-Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm:

a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 1 B -1 C 1- b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-3 B 0 C -5 3

c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 2- B1 1- C -1 3- d) A( ; ; ), ( ;0 13 21 B11 23 17- ; ), ( ; ; )C 19

Bài 7. Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M

· Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ? · Tìm tọa độ điểm M

a) A(2 7; ; ,- ) ( B 2; ;- ) b) A( ; ; ), ( ; ; )4 2- B 1- c) A( ; ; ), (10 12 B -20 4; ; ) d) A( ; ; ), ( ; ; )3 2- B1 1- e) A( ; ; ), ( ; ; )3 7- B -5 2- f) A( ; ; ), ( ; ; )4 B -2 1

-Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D

· Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện

· Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD

· Tính góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD

· Tính thể tích khối tứ diện ABCD

· Tính diện tích tam giác BCD, từ suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ A a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 3- B1 0 C 2- D - -3 b) A(1 0; ; ,) ( B 0; ; ,) ( C 0 1; ; ,) ( D -2 1; ;- )

c) A(1 0; ; ,) ( B 1; ; ,) ( C 2; ; ,) ( D 1 1; ; ) d) A(2 0; ; ,) ( B 0; ; ,) ( C 0 6; ; ,) ( D 6; ; ) e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 B 2- C D - -5 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )5 2- B 1- C 4- D1

g) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 B -1 C -1 D1 1- h) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-3 B 2- C 2- D

i) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 B -1 C D -7 k) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -3 B -2 4 C 9 1- D 0 Baøi 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'

· Tìm toạ độ đỉnh cịn lại

· Tính thể tích khối hộp

a) A(1 1; ; ,) (B 2; ; ,) (D 1 1; ; , ' ; ;- ) (C 5- ) b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )2 3- B1 0 C 2- A - -3

c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )0 B1 1- D 0 A -1 d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )0 2 B C -1 1 C

-Bài 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB)

b) Chứng minh S.ABC hình chóp

c) Xác định toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH

Bài 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4) a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB)

b) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP tứ diện c) Vẽ SH ^ (ABC) Gọi S¢ điểm đối xứng H qua S Chứng minh S¢ABC tứ diện

Bài 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp a) Phân tích vectơ OI AGuur uuur, theo vectơ OA OC ODuuur uuur uuur, ,

b) Phân tích vectơ BIuur theo vectơ FE FG FIuuur uuur uur, ,

Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH

a) Phân tích vectơ uuurAE theo vectơ uuur uuur uuurAC AF AH, , b) Phân tích vectơ uuurAG theo vectơ uuur uuur uuurAC AF AH, ,

Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N trung điểm AD BB¢ Chứng minh MN ^ A¢C

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu

Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu

Dạng 1:(S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

(S): (x a- )2+ -(y b)2+ -(z c)2 =R2 Dạng 2:(S) có tâm I(a; b; c) và qua điểm A:

Khi bán kính R = IA

Dạng 3:(S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

– Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB:

2 2

A B A B A B

I x x I y y I z z

x = + ; y = + ;z = +

– Bán kính R = IA =

2

AB

Dạng 4:(S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz d+ =0 (*).

– Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S)

Dạng 5:(S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước:

Giải tương tự dạng

Dạng 6:(S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:

– Xác định tâm J bán kính R¢ mặt cầu (T)

– Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):

2 2 2 2 2 0

x +y +z + ax+ by+ cz d+ = với a2+b2+c2- >d 0

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2+b2+c2-d

Bài 1. Tìm tâm bán kính mặt cầu sau:

a) x2+y2+z2-8x+2y+ =1 0 b) x2+y2+z2+4x+8y-2z- =4 0

c) x2+y2+z2-2x-4y+4z=0 d) x2+y2+z2-6x+4y-2z-86 0=

e) x2+y2+z2-12x+4y-6z+24 0= f) x2+y2+z2-6x-12y+12z+72 0=

g) x2+y2+z2-8x+4y+2z- =4 0 h) x2+y2+z2-3x+4y=0

i) 3x2+3y2+3z2+6x-3y+15z- =2 0 k) x2+y2+z2-6x+2y-2z+10 0=

Bài 2. Xác định m, t, a, … để phương trình sau xác định mặt cầu, tìm tâm bán kính mặt cầu đó:

a) x2+y2+z2-2(m+2)x+4my-2mz+5m2+ =9 0

b) x2+y2+z2-2 3( -m x) -2(m+1)y-2mz+2m2+ =7 0

c) x2+y2+z2+2(cosa +1)x-4y-2cos a z+cos2a+ =7 0

d) x2+y2+z2+2 2( - cos2a)x+4(sin2a-1)y+2z+cos4a + =8 0

e) x2+y2+z2-2ln t x+2y-6z+3lnt+ =8 0

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R:

a) I( ; ; ),1 5- R= b) I( ; ; ),5 7- R=2 c) I( ; ; ),1 2- R=5 d) I( ; ; ),2 3- R=3 Bài 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A:

a) I( ; ; ), ( ; ; )2 1- A5 b) I( ; ; ), ( ; ; )0 2- A 0 c) I( ; ; ), ( ; ; )3 1- A

-d) I( ; ; ), ( ; ; )4 2- - A 0 e) I( ; ; ), ( ; ; )4 2- A1

-Bài 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:

a) A( ; ; ), ( ; ; )2 1- B b) A( ; ; ), ( ; ; )0 2- B 1- c) A( ; ; ), ( ; ; )3 1- B

-d) A( ; ; ), ( ; ; )4 3- - B e) A( ; ; ), ( ; ; )2 5- B 3- f) A( ; ; ), ( ; ; )6 5- B -4 Bài 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:

a) A(1 0; ; ,) ( B 1; ; ,) ( C 2; ; ,) ( D 1 1; ; ) b) A(2 0; ; ,) ( B 0; ; ,) ( C 0 6; ; ,) ( D 6; ; )

c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 B 2- C D - -5 d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )5 2- B 1- C 4- D1

e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )6 3- B C 1- D f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )0 B C -2 2 D1

-Bài 7. Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với:

a) íì( ) (AP( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 0º OxzB)-1 C

-ỵ b)

2 1 3

A B C

P( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )Oxy

( ) ( )

ì

í º

ỵ

Bài 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T), với: a) 12 2 2

2

I

T x y z x y z

( ; ; ) ( ) :

ì

-í + + - + - + =

ỵ b) 2

3 2

2

I

T x y z x y z

( ; ; ) ( ) :

ì

-í + + - + - + =

ỵ

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu

Cho hai maët cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2)

· I I1 2 < R R1- 2 Û (S1), (S2) · I I1 2 >R R1+ 2 Û (S1), (S2)

· I I1 2 = R R1- 2 Û (S1), (S2) tiếp xúc · I I1 2 =R R1+ 2Û (S1), (S2) tiếp xúc

· R R1- 2 <I I1 2<R R1+ 2 Û (S1), (S2) cắt theo đường tròn

Bài 1. Xét vị trí tương đối hai mặt cầu: a) 22 22 22 4

4

x y z x y z

x y z x y z

ìï + + - + - - = í

+ + + - - + =

ïỵ b)

2 2

2 2

1

6 10 21

x y z

x y z x y z

( ) ( ) ( )

ìï + + - + - =

í

+ + - - - - =

ïỵ

c) 22 22 22 10

4 2

x y z x y z

x y z x y z

ìï + + - + - + =

í

+ + - - + - =

ïỵ d)

2 2 2

8 15 12 25

x y z x y z

x y z x y z

ìï + + - + - - = í

+ + + - - + =

ïỵ

e) 22 22 22

6

x y z x y z

x y z x y z

ìï + + - - + + = í

+ + - + - - =

ïỵ f)

2 2 2

4 2 2

x y z x y z

x y z x y z

ìï + + + - + - = í

+ + - + - - =

ïỵ

Bài 2. Biện luận theo m vị trí tương đối hai mặt cầu:

a) 22 122 22 64 2

4

x y z

x y z m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ìï - + - + + = í - + + + - = + ïỵ b)

2 2

2 2

3 81

1 3

x y z

x y z m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ìï - + + + + = í - + - + - = -ïỵ

c) 222 222 122 25 2

1

x y z

x y z m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ìï + + - + - = í + + + + + = -ïỵ d)

2 2

2 2

3 16

1 3

x y z

x y z m

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu 1 Tập hợp điểm mặt cầu

Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P)

– Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M Chẳng hạn có dạng: (x a- )2+ -(y b)2+ -(z c)2 =R2

hoặc: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz d+ =0

–Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có)

2 Tìm tập hợp tâm mặt cầu

– Tìm toạ độ tâm I, chẳng hạn: x f ty g t z h t

( ) ( ) ( )

ì = ï

= í ï = ỵ

(*)

– Khử t (*) ta có phương trình tập hợp điểm – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có)

Bài 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2) Tìm tập hợp điểm M(x; y; z) cho: a) MA2+MB2=30 b) MA 2

MB = c)

2 2 0

MA +MB =k k( > )

Bài 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3) Tìm tập hợp điểm M(x; y; z) cho:

a) MA2+MB2=124 b)

2

MA

MB = c) ·AMB=900

d) MA = MB e) MA2+MB2=2(k2+1) (k>0) Bài 3. Tìm tập hợp tâm I mặt cầu sau m thay đổi:

a) x2+y2+z2-4x-6y+2(m-3)z+19 2- m=0

b) x2+y2+z2+2(m-2)x+4y-2z+2m+ =4 0

c) x2+y2+z2+2x-4y+2(m+1)z+2m2+ =6 0

d) x2+y2+z2-4 2( +cos )m x-2 2( + sin )m y-6z+cos2m+ =1 0

1 Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phương mặt phẳng

· Vectơ nr¹0r VTPT (a) giá nr vng góc với (a)

· Hai vectơ a br,r không phương cặp VTCP (a) giá chúng song song nằm (a)

Chú ý: · Nếu nr VTPT (a) knr (k ≠ 0) VTPT (a) · Nếu a br,r cặp VTCP (a) nr r=[ ]a b,r VTPT (a).

2 Phương trình tổng quát mặt phẳng

Ax By Cz D+ + + =0với A2+B2+C2>0

· Nếu (a) có phương trình Ax By Cz D+ + + =0 nr=( ; ; )A B C VTPT (a)

· Phương trình mặt phẳng qua M x y z0( ; ; ) có VTPT 0 0 0 nr=( ; ; )A B C laø: A x x( - 0)+B y y( - 0)+C z z( - 0)=0

3 Các trường hợp riêng

Chú ý: · Nếu phương trình (a) khơng chứa ẩn (a) song song chứa trục tương ứng

· Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z

a b c+ + =

(a) cắt trục toạ độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4 Vị trí tương đối hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a): A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1=0

(b): A x B y C z D2 + 2 + 2 + 2=0

· (a), (b) cắt Û A B C1: :1 1¹A B C2: 2: 2 · (a) // (b) Û 1 1

2 2

A B C D

A = B =C ¹ D · (a) º (b) Û 12 12 12 12

A B C D

A = B =C = D

· (a) ^ (b) Û A A1 2+B B1 2+C C1 2 =0

5 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0

( ) 0

0 2 2 2

Ax By Cz D

d M

A B C

,( )a = + + +

+ +

III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Các hệ số Phương trình mặt phẳng (a) Tính chất mặt phẳng (a)

D = Ax By Cz+ + =0 (a) qua gốc toạ độ O

A = By Cz D+ + =0 (a) // Ox (a) É Ox

B = Ax Cz D+ + =0 (a) // Oy (a) É Oy

C = Ax By D+ + =0 (a) // Oz (a) É Oz

A = B = Cz D+ =0 (a) // (Oxy) (a) º (Oxy)

A = C = By D+ =0 (a) // (Oxz) (a) º (Oxz)

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng (a) ta cần xác định điểm thuộc (a) VTPT

Dạng 1:(a) đi qua điểm M x ; y ; z( 0 0 0) coù VTPT nr=(A; B;C):

(a): A x x( - 0)+B y y( - 0)+C z z( - 0)=0

Dạng 2:(a) đi qua điểm M x ; y ; z( 0 0 0) có cặp VTCP a br,r:

Khi VTPT (a) nr r=[ ]a b,r

Dạng 3: (a) đi qua điểm M x ; y ; z( 0 0 0) song song với mặt phẳng (b): Ax + By + Cz + D = 0:

(a): A x x( - 0)+B y y( - 0)+C z z( - 0)=0

Daïng 4: (a) đi qua điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi ta xác định VTPT (a) là: nr= ëéuuur uuurAB AC, ùû

Dạng 5:(a) đi qua điểm M đường thẳng (d) khơng chứa M:

– Trên (d) lấy điểm A VTCP ur – Một VTPT (a) là: nr = ëéuuurAM u,rùû

Dạng 6:(a) đi qua điểm M vng góc với đường thẳng (d):

VTCP ur đường thẳng (d) VTPT (a)

Dạng 7:(a) qua đường thẳng cắt d1, d2:

– Xác định VTCP a br,r đường thẳng d1, d2 – Một VTPT (a) là: nr r=[ ]a b,r

– Lấy điểm M thuộc d1 d2 Þ M Ỵ (a)

Dạng 8:(a) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định VTCP a br,r đường thẳng d1, d2

– Moät VTPT (a) là: nr r=[ ]a b,r Laỏy moọt ủieồm M thuoọc d1 ị M ẻ (a)

Dạng 9:(a) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2:

– Xác định VTCP a br,r đường thẳng d1, d2 – Một VTPT (a) là: nr r=[ ]a b,r .

Dạng 10:(a) qua đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (b):

– Xác định VTCP ur (d) VTPT nrb (b) – Một VTPT (a) là: nr= ëéu nr r, bùû

– Lấy điểm M thuộc d Þ M Ỵ (a)

Dạng 11:(a) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt (b), (g):

– Xác định VTPT n nr rb, g (b) (g) – Một VTPT (a) là: nr= ëéu nr rb, gùû

Dạng 12: (a) qua đường thẳng (d) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước:

– Giả sử (a)có phương trình: Ax By Cz+D+ + =0(A2+B2+C2 ¹0)

– Lấy điểm A, B Ỵ (d) Þ A, B Ỵ (a) (ta hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d M( ,( ))a =k, ta phương trình (3)

– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn laïi)

Dạng 13:(a) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H:

– Một VTPT (a) là: n IHr =

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xác định mặt phẳng học lớp 11

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M có VTPT nr cho trước:

a) M 3;1;1 , n( ) r= -( 1;1;2) b) M 2;7;0 , n(- ) r =(3;0;1) c) M 4; 1; , n( - - ) r =(0;1;3)

d) M 2;1; , n( - ) r =(1;0;0) e) M 3;4;5 , n( ) r =(1; 3; 7- - ) f) M 10;1;9 , n( ) r = -( 7;10;1)

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước, với: a) A( ; ; ), ( ; ; )2 1 B 1- - b) A( ; ; ), ( ; ; )1 4- - B c) A( ; ; ), ( ; ; )2 4- B

-d) A 1; 1;0 , B 1; 1;5

2

ỉ - ỉ -

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø e)

2 1

A 1; ; , B 3; ;1

3

æ ổ-

ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø f) A( ; ; ), ( ; ; )2 6- B - -1

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M có cặp VTCP a br,r cho trước, với: a) M( ; ; ),1 3- ar=( ; ; ),2 br =( ; ; )3 1- b) M( ; ; ),1 3- ar= - -3 2; ; ),br =( ; ; )0 c) M( ; ; ),-1 ar =( ; ; ),2 br=( ; ; )3 d) M( ; ; ),-4 ar =( ; ; );6 3- br=( ; ; )3

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M song song với mặt phẳng ( )b cho trước, với:

a) M(2 5; ; ,) ( ) (b = Oxy) b) M(1 1; ; ,- ) ( )b :2x y- + =3 c) M(-1 0; ; ,) ( )b :x-2y z+ -10 0= d) M(3 5; ;- ),( )b :- + - =x z

e) M( ; ; ), ( ) :2 5- b x+2y z- + =5 f) M( ; ; ), ( ) :1 1 b 10x-10y+20z-40 0=

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M song song với mặt phẳng toạ độ, với:

a) M(2 5; ; ) b) M(1 1; ;- ) c) M(-1 0; ; ) d) M(3 5; ;- )

e) M( ; ; )2 5- f) M( ; ; ) 1 g) M( ; ; )-1 h) M( ; ; )3

-Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:

a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 4- B 1- C -2 3- b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )0 0 B - -2 C

-c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-1 B 3- C d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 2- B1 0- C

-e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 0- B C - - -1 1 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 0 B 0- C 0

-Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm A vng góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với:

a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 4- B 1- C -2 3- b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )0 0 B - -2 C

-c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-1 B 3- C d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 2- B1 0- C

-e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 0- B C - - -1 1 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 0 B 0- C 0

-Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua hai điểm A, B vuông góc với mặt phẳng (b) cho trước, với:

a) ( )3 1

2

A B

x y z

( ; ; ), ( ; ; ) :

b

ì -

-í - + - =

ỵ b) ( )

2 2

A B

x y z

( ; ; ), ( ; ; ) :

b

ì - -

-í + - + =

ỵ c) ( )

2

A B

x y z

( ; ; ), ( ; ; ) :

b

ì - -

-í + - - =

ỵ

d) ( )3

2 2

A B

x y z

( ; ; ), ( ; ; ) :

b

ì - -

-í - - + =

ỵ

Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng (b), (g) cho trước, với:

b) M( ; ; ),1 2- ( )b :2x y z+ - - =2 0,( )g :x y z- - - =3

c) M( ; ; ),2 0- ( )b :2x+3y-2z+ =5 0,( )g :3x+4y- - =8z

d) M( ; ; ),5 ( )b :3x-4y+ + =3z 0,( )g :3x-2y+5z- =3

Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với:

a) M(1 3; ;- ),( )P :2x-3y z+ - =5 0,( )Q : x3 -2y+5z- =1

b) M(2 1; ;- ),( )P x y z: - + - =4 0,( )Q : x y z3 - + - =1

c) M(3 1; ; ,) ( )P :19x-6y-4z+27 0= ,( )Q : x42 -8y+ +3z 11 0=

d) M(0 1; ; ,) ( )P :5x-3y+2z- =5 0,( )Q :2x y z- - - =1

Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:

a) ( ) :P y+2z- =4 0, ( ) :Q x y z+ - - =3 0, ( ) :R x y z+ + - =2

b) ( ) :P x-4y+2z- =5 0, ( ) :Q y+4z- =5 0, ( ) :R 2x y- +19 0=

c) ( ) :P 3x y z- + - =2 0, ( ) :Q x+4y- =5 0, ( ) :R 2x z- + =7

Bài 12. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vng góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:

a) ( ) :P 2x+3y- =4 0, ( ) :Q 2y- - =3z 0, ( ) :R 2x y+ - - =3z

b) ( ) :P y+2z- =4 0, ( ) :Q x y z+ - + =3 0, ( ) :R x y z+ + - =2

c) ( ) :P x+2y z- - =4 0, ( ) :Q 2x y z+ + + =5 0, ( ) :R x-2y- + =3z

d) ( ) :P 3x y z- + - =2 0, ( ) :Q x+4y- =5 0, ( ) :R 2x z- + =7

Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước khoảng k, với:

a) ( ):P x y- - =2 0, ( ) :Q 5x-13y+2z=0, ( ; ; ),M k=2

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài 1. Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau:

a)

3

x y z

x y z

ì + - + =

í + - - =

ỵ b)

3

x y z

x y z

ì - + + =

í - + - =

ỵ c)

5 5 3

x y z

x y z

ì + - - =

í + - + = î

d) 6

12 12

x y z

x y z

ì - - + =

í - - - =

ỵ e)

2 25 5 10

2

x y z

x y z

ì - - + =

ï

í - - + =

ïỵ f)

3 23 33

x y z

x y z

ì - - - =

í - - + = ỵ

Bài 2. Xác định m, n để cặp mặt phẳng sau: · song song · cắt · trùng

a)

7

x my z

nx y z

ì + - - =

í + - + =

ỵ b)

5 11

3

x y mz x ny z

ì - + - =

í + + - =

ỵ c)

2 6

x my z

nx y z

ì + + - =

í - - + = ỵ

d)

2

x y mz x ny z

ì - + - =

í + + - =

ỵ e)

2 6

x y z

mx y z

ì + + - =

í - - - =

ỵ f)

3 3

x y mz x y z

ì - + - =

í + - + =

ỵ

g)

2

x my z x y nz

ì + - + =

í + + - =

ỵ h)

2

3

x ny z x y mz

ì - + - =

í - + - =

ỵ i)

3 2 10

x m y z

m ( x )y mz

( )

ì - - + - =

í + - + - =

ỵ

Bài 3. Xác định m để cặp mặt phẳng sau vng góc với

a)

3 15

x y mz

x y z

ì - + + =

í + - + =

ỵ b)

2 3

m x my z

mx m y z

( )

( )

ì - - + + =

í + - + - =

c) 12

7

mx y mz

x my z

ì + + - =

í + + + =

ỵ d)

3 2 10

x m y z

m ( x )y mz

( )

ì - - + - =

í + - + - =

ỵ

e) 3

2

x y z

mx y z

ì - - =

í + - - =

ỵ f)

3 3

x y mz

x y z

ì - + - =

í + + + =

ỵ

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song

Hình chiếu điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng.

· Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D =

( ) 0

0 2 2 2

Ax By Cz D

d M

A B C

,( )a = + + +

+ +

· Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng

· Điểm H hình chiếu điểm M (P) Û MH n phương H ,( )P

ỡ ẻ ợ

uuuur r

à Điểm M¢ đối xứng với điểm M qua (P) Û uuuuurMM¢ =2MHuuuur Bài 1. Cho mặt phẳng (P) điểm M

· Tính khoảng cách từ M đến (P) · Tìm toạ độ hình chiếu H M (P)

· Tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua (P)

a) ( ) :P 2x y- +2z- =6 0, M( ; ; )2 5- b) ( ) :P x y+ +5z-14 0= , M( ; ; )1

-c) ( ) :P 6x-2y+ +3z 12 0= , M( ; ; )3 2- d) ( ) :P 2x-4y+4z+ =3 0, M( ; ; )2

-e) ( ) :P x y z- + - =4 0, M( ; ; )2 1- f) ( ) :P 3x y z- + - =2 0, M( ; ; )1 Bài 2. Tìm khoảng cách hai mặt phẳng:

a)

2

x y z

x y z

ì - + + =

í - + + =

ỵ b)

6

x y z

x y z

ì - + + =

í - + - =

ỵ c)

2 5

x y z

x y z

ì - + + =

í + - - = ỵ

d)

4

x y z

x y z

ì - + + =

í - + + =

ỵ e)

2 5

x y z

x y z

ì - + + =

í + - - =

ỵ f)

3

x y z

x y z

ì + - + =

í + - + =

ỵ

Bài 3. Tìm tập hợp điểm cách mặt phẳng khoảng k cho trước: a) 6x-3y+2z- =7 0, k=3 b) 3x-2y-6z+ =5 0, k=4

c) 6x-2y+ +3z 12 0= , k=2 d) 2x-4y+4z-14 0= , k=3 Bài 4. Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng:

a)

2

x y z

x y z

ì - + + =

í - + + =

ỵ b)

6

x y z

x y z

ì - + + =

í - + - =

ỵ c)

2 5

x y z

x y z

ì - + + =

í + - - = ỵ

d)

4

x y z

x y z

ì - + + =

í - + + =

ỵ e)

2 5

x y z

x y z

ì - + + =

í + - - =

ỵ f)

3

x y z

x y z

ì + - + =

í + - + =

ỵ

Bài 5. Tìm tập hợp điểm có tỷ số khoảng cách đến hai mặt phẳng k cho trước:

a) 24 24 10 03

3

x y z

x y z

k ì + - - = ïï + - + = í ï = ïỵ

b) 66 22 03

2

x y z

x y z

k ì - + + = ïï - + - = í ï = ïỵ

c) 62 32 01

7

x y z

x y z

k ì + - - = ïï + - + = í ï = ïỵ

a) ( ) :P 2x+2y z+ - =5 0, ( ; ; )N 2- b) ( ) :P x y+ +5z-14 0= , ( ; ; )N

-c) ( ) :P 6x-2y+ +3z 12 0= , ( ; ; )N 2- d) ( ) :P 2x-4y+4z+ =3 0, ( ; ; )N

-e) ( ) :P x y z- + - =4 0, ( ; ; )N 1- f) ( ) :P 3x y z- + - =2 0, ( ; ; )N Bài 7. Tìm điểm M trục Ox(Oy, Oz) cách hai mặt phẳng:

a)

5

x y z x y z ì + - + = í - + - =

ỵ b)

2 2

x y z

x y z

ì + - + =

í + + - =

ỵ c)

2

x y z

x y z

ì - + + =

í + - - =

ỵ

d)

4

x y z

x y z

ì - + + =

í - + + =

ỵ e)

2 5

x y z

x y z

ì - + + =

í + - - =

ỵ f)

3

x y z

x y z

ì + - + =

í + - + =

ỵ

Bài 8. Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) (Q):

a) A(1 3; ;– , ( ) :) Q 2x-4y z- + =4 b)A(3 2; ; – , ( ) :) Q 6x-2y+ +3z 12 0=

Bài 9. Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) cách điểm A khoảng k cho trước:

a) ( ) :Q x+2y-2z+ =5 0, ( ; ; ),A 4- k=4 b) ( ) :Q 2x-4y+4z+ =3 0, ( ; ; ),A 4- k=3 Bài 10. Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) khoảng k:

a) ( ) :Q 3x y- +2z- =3 0,k = 14 b) ( ) :Q 4x+3y-2z+ =5 0,k= 29

VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a): A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1=0

(b): A x B y C z D2 + 2 + 2 + 2 =0

Góc (a), (b) bằng bù với góc hai VTPT n nr r1, 2

( ) 2 2

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2

n n A A B B C C

n n A B C A B C

cos ( ),( )

.

a b = = + +

+ + + +

r r r r

Chú ý: · 00£(·( ),( )a b )£900 ·

1 2

A A B B C C

( ) ( )a ^ b Û + + =

Bài 1. Tính góc hai mặt phẳng:

a)

5

x y z x y z ì + - + = í - + - =

ỵ b)

2 2

x y z

x y z

ì + - + =

í + + - =

ỵ c)

2

x y z

x y z

ì - + + =

í + - - =

ỵ

d) 4

2

x y z

x z

ì + - + =

í + - =

ỵ e)

2 2 12

x y z

y z

ì - - + =

í + + =

ỵ f)

3 3 4

x y z

x y z

ì - + + =

í + + - =

ỵ

Bài 2. Tìm m để góc hai mặt phẳng sau a cho trước: a)

0

2 3 90

m x my z

mx m y z

( ) ( ) a ì - - + + = ï + - + - = í ï = ỵ b)

2 12 45

mx y mz

x my z

a ì + + - = ï + + + = í ï = ỵ c)

2 3 90

m x my mz

mx m y z

( ) ( ) a ì + + - + = ï + - + - = í ï = ỵ d)

2 1 30

mx y mz

m x m y m z

( ) ( ) ( ) a ì - + + = ï + + - + - - = í ï = ỵ

Bài 3. Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC vng góc với đôi Gọi g

b

a, , góc hợp mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

Cho mặt phẳng (a): Ax By Cz D+ + + =0 mặt cầu (S): (x a- )2+ -(y b)2+ -(z c)2=R2

· (a) (S) điểm chung Û d I( ,( ))a >R

· (a) tiếp xúc với (S) Û d I( ,( ))a =R (a) tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau:

– Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vng góc với (a) – Tìm toạ độ giao điểm H d (a)

H tiếp điểm (S) với (a)

· (a) cắt (S) theo đường tròn Û d I( ,( ))a <R

Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vng góc với (a)

– Tìm toạ độ giao điểm H d (a)

H tâm đường tròn giao tuyến (S) với (a) Bán kính r đường trịn giao tuyến: r= R2-IH2

Bài 1. Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S): a) 22 22 2

6

P x y z

S x y z x y z

( ) : ( ) :

ì + + - =

í + + - - + + =

ỵ b) 2

2

1 16

P x y z

S x y z

( ) :

( ) : ( ) ( ) ( )

ì - + - =

í - + - + + =

ỵ

c) 2 22 211

2 2

P x y z

S x y z x y z

( ) : ( ) :

ì + - - =

í + + + - - + =

ỵ d) 2

2

6 13

P x y z

S x y z x y z

( ) : ( ) :

ì - + + =

í + + - - - + =

ỵ

e) P x y z

S x2 y2 z2 x y z

( ) : 2

( ) : 2 10

ì + + =

í + + - + - + =

ỵ f)

P z

S x2 y2 z2 x y z

( ) :

( ) : 16 22

ì - =

í + + - + - + =

ỵ

Bài 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S):

a) ( ) :P 2x-2y z- - =4 0; ( ) :S x2+y2+z2-2(m-1)x+4my+4z+8m=0

b) ( ) :P 4x-2y+4z- =5 0; ( ) : (S x-1)2+ +(y 2)2+ -(z 3)2=(m-1)2

c) ( ) :P 3x+2y-6z+ =7 0; ( ) : (S x-2)2+ -(y 1)2+ +(z 1)2 =(m+2)2

d) ( ) :P 2x-3y+6z-10 0= ; ( ) :S x2+y2+z2+4mx-2(m+1)y-2z+ +3m2+5m- =4 0 Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:

a) I( ; ; ), ( ) :3 2- - P 2x y- - + =3z b) I( ; ; ), ( ) :1 P 6x+6y-7z+42 0=

c) I( ; ; ), ( ) :1 P x+2y+2z+ =3 d) I( ; ; ), ( ) :-2 1 P x+2y-2z+ =5

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) ( ) : (S x-3)2+ -(y 1)2+ +(z 2)2 =24 M( ; ; )-1

b) ( ) :S x2+y2+z2-6x-2y+4z+ =5 taïi M( ; ; )

c) ( ) : (S x-1)2+ +(y 3)2+ -(z 2)2=49 taïi M( ; ; )7 5

-d) ( ) :S x2+y2+z2-2x-2y-2z-22 0= song song với mặt phẳng 3x-2y+6z+14 0=

e) ( ) :S x2+y2+z2-6x+4y+2z- =11 0 song song với mặt phẳng 4x+ -3z 17 0=

f) ( ) :S x2+y2+z2-2x-4y+4z=0và song song với mặt phẳng x+2y+2z+ =5 0

h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; – 1), D(4; 1; 0)

i) Tiếp xúc với mặt cầu: x2+ y2 +z2-10x+2y+26z-113=0 song song với đường

thaúng: 1 13

2

x y z

d : + = - = +

- ,

7

x y z

d : + = + =

Bài tập ơn: Phương trình mặt phẳng Bài 1. Cho tứ diện ABCD

· Viết phương trình mặt tứ diện

· Viết phương trình mặt phẳng chứa cạnh song song với cạnh đối diện

· Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh song song với mặt đối diện

· Viết phương trình mặt phẳng qua cạnh AB vng góc với (BCD)

· Viết phương trình mặt phẳng trung trực cạnh tứ diện

· Tìm toạ độ điểm A¢, B¢, C¢, D¢ điểm đối xứng với điểm A, B, C, D qua mặt đối diện

· Tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện đến mặt đối diện

· Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm I bán kính R (S)

· Viết phương trình tiếp diện (S) đỉnh A, B, C, D tứ diện

· Viết phương trình tiếp diện (S) song song với mặt tứ diện

a) A(5 3; ; ,) ( B 2; ; ,) ( C 4; ; ,) ( D 6; ; b) ) A(1 0; ; ,) ( B 1; ; ,) ( C 2; ; ,) ( D 1 1; ; )

c) A(2 0; ; ,) ( B 0; ; ,) ( C 0 6; ; ,) ( D 6; ; d) ) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 B 2- C D - -5 e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )5 2- B 1- C 4- D1 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )0 B C -2 2 D1

-Bài 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt ba trục toạ độ điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1)

a) Tìm phương trình tổng quát (P) (Q) b) Tính độ dài đường cao hình chóp O.ABC c) Tính góc hai mặt phẳng (P), (Q)

Bài 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) D(1; 3; 3) a) Chứng minh ABCD tứ diện

b) Chứng minh tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đơi vng góc

1 Phương trình tham số đường thẳng

· Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M x y z0( ; ; ) có VTCP 0 0 0

1

ar =( ; ; )a a a :

12

3

o o o

x x a t

d y y a t t R

z z a t

( ) : ( ) ì = + ï = + Ỵ í ï = + ỵ

· Nếu a a a1 3¹0 0

1

x x y y z z

d

a a a

( ) : - = - = - đgl phương trình tắc d

2 Vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d, d¢ có phương trình tham số là:

00 12

0

x x ta d y y ta z z ta

: ì = + ï = + í ï = + ỵ

vaø 00 12

0

x x t a d y y t a z z t a

: ¢ ¢ ¢ ì = + ï ¢ í = ¢ + ¢ ¢ ï = ¢ + Â Â ợ

à d // dÂ Û 1

0 2

0 3

a a phương x ta x t a

heä y ta y t a ẩn t t vô nghiệm z ta z t a

, ( , ) ¢ ì ï ì + = ¢ + ¢ ¢ ï ï í í + = ¢ + ¢ ¢ ¢ ï ï ¢ ¢ ¢ + = + ï ỵ ỵ r r Û

0 0

a a phương M x y z, ( ; ; )Â d ỡ ẽ Â ợ r r Û 0

a a phương

a M M không phương

, , ¢ ỡ Â ợ r r uuuuuur

r [ ]

0 0

0

a a a M M

, , ì ¢ = ù ớộ Â ạự ùở ỷ ợ r r r uuuuuur r r

· d º d¢ Û 00 12 00 12

0 3

x ta x t a

heä y ta y t a ẩn t t có vô số nghiệm z ta z t a

( , ) ¢ ¢ ¢ ì + = + ï + = ¢ + ¢ ¢ ¢ í ï + = ¢ + ¢ ¢ ỵ Û

0 0

a a phương M x y z, ( ; ; )Â d ỡ

ớ ẻ Â

ỵ r r

Û a a M M đôi phươngr r, ,¢ uuuuuur0 0¢ Û [a ar r, ¢]=ëéa M Mr,uuuuuur0 0¢ùû=0r

· d, d¢ cắt Û hệ 00 12 00 12

0 3

x ta x t a y ta y t a z ta z t a

¢ ¢ ¢ ì + = + ï + = ¢ + ¢ ¢ í ù + = Â + Â Â ợ

(ẩn t, t¢) có nghiệm

Û

0

a a không phương a a M M đồng phẳng

, , , Â ỡ Â Â ợ r r uuuuuur

r r Û [[ ]]

0 0

0

a a

a a M M

, , ỡ Â ù Â Â = ùợ r r r uuuuuur r r

· d, d¢ chéo Û 1

0 2

0 3

a a không phương x ta x t a

heä y ta y t a ẩn t t vô nghiệm z ta z t a

, ( , ) ¢ ì ï ì + = ¢ + ¢ ¢ ï ï í í + = ¢ + ¢ ¢ ¢ ï ï ¢ ¢ ¢ + = + ï ỵ ỵ r r

Û a a M M không đồng phẳngr r, ,¢ uuuuuur0 0¢ Û [a a M Mr r, Â]uuuuuur0 0Â ạ0

à d ^ dÂ Û a ar r^ ¢ Û a ar r ¢ =0

3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Cho mặt phẳng (a): Ax By Cz D+ + + =0 đường thẳng d: 00 12

0

x x ta y y ta z z ta

ì = +

ï = + í

ï = + ỵ

Xét phương trình: A x( 0+ta1)+B y( 0+ta2)+C z( 0+ta3)+ =D (aån t) (*) · d // (a) Û (*) vô nghiệm

· d cắt (a) Û (*) có nghiệm

· d Ì (a) Û (*) có vô số nghiệm

4 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu

Cho đường thẳng d: 00 12

0

x x ta y y ta z z ta

ì = +

ï = + í

ï = + ỵ

(1) mặt cầu (S): (x a- )2+ -(y b)2+ -(z c)2=R2 (2)

Để xét VTTĐ d (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*)

· d (S) điểm chung Û (*) vô nghieäm Û d(I, d) > R

· d tiếp xúc với (S) Û (*) có nghiệm Û d(I, d) = R

· d cắt (S) hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt Û d(I, d) < R

5 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao)

Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP ar điểm M

d M d M M a0

a

, ( , )= éë ùû

uuuuur r r

6 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau(chương trình nâng cao)

Cho hai đường thẳng chéo d1 d2

d1 qua điểm M1 có VTCP ar1, d2 qua điểm M2 có VTCP ar2

1 2 2

1

a a M M d d d

a a

,

( , )

,

é ù

ë û

=

é ù

ë û

uuuuuur r r

r r

Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng (a) chứa d2 song song với d1

7 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song

Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (a) song song với khoảng cách từ một điểm M d đến mặt phẳng (a)

8 Góc hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a ar r1, 2 Góc d1, d2 bằng bù với góc a ar r1, 2

( )

1

1

a a a a

a a

cos ,

= r r r r

r r

9 Góc đường thẳng mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP ar=( ; ; )a a a1 2 3 mặt phẳng (a) có VTPT nr =( ; ; )A B C

Góc đường thẳng d mặt phẳng (a) góc đường thẳng d với hình chiếu d¢ nó (a)

(· )

2 2 2

1

Aa Ba Ca d

A B C a a a

sin ,( )

a = + +

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng

Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP

Dạng 1:d qua điểm M x y z0( ; ; ) có VTCP 0 0 0 ar=( ; ; )a a a1 2 3 :

12

3

o o o

x x a t

d y y a t t R

z z a t

( ) : ( )

ì = +

ï = + Ỵ

í

ï = + ỵ

Dạng 2:d qua hai điểm A, B:

Một VTCP d ABuuur

Dạng 3:d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) song song với đường thẳng 0 0 0 D cho trước:

Vì d // D nên VTCP D VTCP d

Dạng 4:d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: 0 0 0

Vì d ^ (P) nên VTPT (P) VTCP d

Dạng 5:d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q): · Cách 1: Tìm điểm VTCP

– Tìm toạ độ điểm A Ỵ d: cách giải hệ phương trình Pìí( )( )Q

ỵ (với việc chọn giá trị cho ẩn)

– Tìm VTCP d: ar = ëén nr rP Q, ùû

· Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

Dạng 6:d qua điểm M x y z0( ; ; ) vuông góc với hai đường thẳng 0 0 0 d1, d2: Vì d ^ d1, d ^ d2 nên VTCP d là:

1 d d

a= ëéa a, ù û

r r r

Dạng 7:d qua điểm M x y z0( ; ; ) , vng góc cắt đường thẳng D0 0 0

· Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng D

0

H

M H u ì Ỵ D

í ^

ỵuuuuur rV

Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0, H

· Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với d; (Q) mặt phẳng qua A chứa d Khi d = (P) Ç (Q)

Dạng 8:d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) cắt hai đường thẳng 0 0 0 d1, d2:

· Cách 1: Gọi M1 Ỵ d1, M2 Ỵ d2 Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ đó suy phương trình đường thẳng d

· Cách 2: Gọi (P) = (M d0, )1 , (Q) = (M d0, )2 Khi d = (P) Ç (Q) Do đó, VTCP d có thể chọn ar= ëén nr rP Q, ùû

Dạng 9:d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2:

Tìm giao điểm A = d1 Ç (P), B = d2 Ç (P) Khi d đường thẳng AB

Dạng 10:d song song với D cắt hai đường thẳng d1, d2:

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D d1, mặt phẳng (Q) chứa D d2 Khi d = (P) Ç (Q).

Dạng 11:d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: · Cách 1: Gọi M Ỵ d1, N Ỵ d2 Từ điều kiện

2

MN d MN d

ì ^

í ^

· Cách 2:

– Vì d ^ d1 d ^ d2 nên VTCP d là:

1 d d

ar= ëéa ar r, ùû – Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d d1, cách:

+ Lấy điểm A d1 + Một VTPT (P) là:

1

P d

nr = ëéa ar r, ùû – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d = (P) Ç (Q)

Dạng 12:d hình chiếu đường thẳng D lên mặt phẳng (P):

· Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D vng góc với mặt phẳng (P) cách: – Lấy M ỴD

– Vì (Q) chứa D vng góc với (P) nên nrQ = ëéa nr rD, Pùû Khi d = (P) Ç (Q)

Dạng 13:d qua điểm M, vng góc với d1 và cắt d2:

· Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ^ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN

· Cách 2:

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2

Khi d = (P) Ç (Q)

Bài 1. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có VTCP ar cho trước: a) M(1;2; 3),- ar= -( 1;3;5) b) M(0; 2;5),- ar=(0;1;4) c) M(1;3; 1),- ar=(1;2; 1)

-d) M(3; 1; 3),- - ar=(1; 2;0)- e) M(3; 2;5),- ar= -( 2;0;4) f) M(4;3; 2),- ar= -( 3;0;0)

Bài 2. Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: a) A(2 1; ;- ) (, B 4; ; ) b) A(1 0; ;- ) (, B 2; ; ) c) A(3 5; ;- ) (, B 1; ;- )

d) A(2 0; ; ) (, B 2; ; ) e) A(1 7; ;- ) (, B 4; ; ) f) A(-2 3; ; ) (, B 2; ;- )

Bài 3. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng

D cho trước:

a) A(3 4; ;- ), DºOx b) A(2 3; ; ,- ) D ñi qua M( ; ; ), ( ; ; )5 N 2- c) 3 42

5

x t

A y t

z t

( ; ; ), :- D ì = -ïí = + ï = -ỵ

d) 2

x y z

A( ; ; ), :- D + = - =

-e) 3 42

x t

A y t

z t

( ; ; ), :- D ì = +ïí = ï = -ỵ

f) 3 2

x y z

A( ; ; ), :- D + = - = +

Bài 4. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) cho trước:

a) A(-2 3; ; ), (P) x:2 -3y+6z+19 0= b) A(1 0; ;- ), P mp toạ độ( ) : c) A(3 1; ; , ( ) :) P 2x-5y+ =4 d) A( ; ; ), ( ) :2 6- P 2x-3y+6z+19 0=

Bài 5. Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước:

a) 2

3

P x y z

Q x y z

( ) : ( ) :

ì + + + =

í - - - =

ỵ b)

2 3

P x y z

Q x y z

( ) : ( ) :

ì - + - =

í + - + =

ỵ c)

3 6

P x y z

Q x y z

( ) : ( ) :

ì + - + =

í + + - =

d)

1

P x y z

Q x y z

( ) : ( ) : ì + - + = í + + - = ỵ e)

P x z Q y

( ) : ( ) :

ì + - =

í - =

ỵ f)

2 1

P x y z

Q x z

( ) : ( ) :

ì + + - =

í + - =

ỵ

Bài 6. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) 1 23 2 12

1

x t x t

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ), :ìïí = -= + , :ìïí = -= +

ï = + ï =

-ỵ ỵ

b) 1 1 12 2 32

3

x t x t

A d y t d y t

z z t

( ; ; ),- :ìïí = += - + , :ìïí = - += +

ï = ï = +

ỵ ỵ

c) 1 12 2 12

3 3

x t x

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ),- :ìïí = -= - - , :ìïí = - +=

ï = - ï = +

ỵ ỵ

d) 4 1 27 2 19

4 12

x t x t

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ), :ìïí = -= - + , :ìïí = - += +

ï = + ï =

-ỵ ỵ

e) 1 31 2 23

2 2

x t x t

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ),- - :ìïí = += + , :ìïí == - +

ï = - + ï =

-ỵ ỵ

f) 1 2

2

x t x t

A d y t d y t

z t z

( ; ; ), :- ìïí = -= , :ìïí = -=

ï = - ï =

ỵ ỵ

Bài 7. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng D cho trước:

a) 2

x t

A y t

z t

( ; ; ), :- D ì =ïí = -ï = ỵ

b) 4 13

x t

A d y t

z t

( ; ; ), :- - ì = - +ïí = -ï = - + ỵ

c) 31 2

x t

A y t

z t

( ; ; ), :- - D ì = +ïí = + ï = - + î

d)

x t

A y t

z t

( ; ; ), :- D ì =ïí = ï = -ỵ

e) 12 3

x t

A y t

z t

( ; ; ), :- D ì = -ïí = ï = -ỵ

f) 1 12

x t

A y t

z

( ; ; ), :- D ì = +ïí = - + ï = ỵ

Bài 8. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) 1 23 2 12

1

x t x t

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ), :ìïí = -= + , :ìïí = -= +

ï = + ï =

-ỵ î

b) 1 1 12 2 32

3

x t x t

A d y t d y t

z z t

( ; ; ),- :ìïí = += - + , :ìïí = - += +

ï = ï = +

ỵ ỵ

c) 1 21 2 21

2

x t x t

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ), :- - ìïí = - -= - + , :ìïí = - += +

ï = - ï =

-ỵ î

d) 1 1 32 2

3

x t x t

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ),- :ìïí = += - + , :ìïí = -=

ï = - + ï =

ỵ ỵ

e) 1 22 2 14 3

x t x t

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ),- :ìïí = -= + , :ìïí = - += +

ï = + ï = - +

ỵ ỵ

f) 1 43 2 13

2 2

x t x t

A d y t d y t

z t z t

( ; ; ), :- ìïí = += - + , :ìïí = +=

-ï = + ï =

-ỵ ỵ

Bài 9. Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) 2 1 1

P y z

x t

x y z

d d y t

z ( ) : : , : ì + = ïï - ì = -ï í = = í = + ï -ï = ï ỵ ỵ b)

6 2

1

3 2

1

P x y z

x t x t

d y t d y t

z t z t

( ) : : , : ì + + + = ïï ìï = + ìï = -í í = - í = + ï ï ï = + = -ï ỵ î î c)

2 3

7

4

4 12

P x y z

x t x t

d y t d y t

z t z t

( ) : : , : ì - + - = ïï ìï = - + ìï = + í í = - í = - + ï ï ï = + = -ï ỵ ỵ ỵ d)

3

1

2 2

3 3

P x y z

x t x

d y t d y t

z t z t

Bài 10. Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng D cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) 1

2

1 2

1

1 2 3

x y z

x y z

d

x y z

d : : : D ì - -= = ï -ïï + = = -í -ï - + + ï = = ïỵ

b) 1

2

1 1

1 2

4

x y z

x y z

d

x y z

d : : : D ì = - = -ï -ïï - = + = -í ï + + ï = = ïỵ

c) 1

1 2 :

1 2 :

1 4 :

5

- +

-ìD = =

ï ï - + -ï = = í ï + + ï = = ïỵ

x y z

x y z

d

x y z

d

d) 1

2

1

3

2

7

1

x y z

x y z

d

x y z

d : : : D ì + + -= = ï - -ïï - = + = -í ï - - -ï = = ïỵ

-Bài 11. Viết phương trình tham số đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2 cho trước:

a) 1 43 2 42

2

x t x t

d y t d y t

z t z t

:ìïí = += - , :ìïí = -= +

ï = - + ï =

-ỵ ỵ

b) 1 23 2 22

2 4

x t x t

d y t d y t

z t z t

:ìïí = - += + , :ìïí = - += +

ï = + ï = - +

ỵ ỵ

c) 1 12 2 13

3

x t x t

d y t d y t

z t z t

:ìïí = += + , :ìïí = += +

ï = - ï = +

ỵ ỵ

d) 1 33 2 21

1 2

x t x t

d y t d y t

z t z t

:ìïí = - -= + , :ìïí = - +=

-ï = + ï = +

ỵ ỵ

Bài 12. Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu đường thẳng D mặt phẳng (P) cho trước:

a) 22 13 31

2

x y z

P x y z

: ( ) : D ì + - -ï = = í -ï - + + = ỵ

b) 13 22 32

3

x y z

P x y z

: ( ) : D ì - - + ï = = í -ï + - + = ỵ

c) 11 21 23

2

x y z

P x y z

: ( ) : D ì + - -ï = = í -ï - + - = î

d) 2 1 11

1

x y z

P x y z

: ( ) : D ì -ï = = í -ï + - + = ỵ

e) 32 42 11

2

x y z

P x y z

: ( ) : D ì - + -ï = = í ï + + + = ỵ

f) 11 22 1

2

x y z

P x y z

: ( ) : D ì - -ï = = í - -ï - - + = î

g) 24 02

x y z

x z

P x y z

: ( ) : D ì ì - - - = ï í + - = í ỵ ï - + - = ỵ

h) 2 01

2

x y z

x z

P x y z

: ( ) : D ì ì - - - = ï í + - = í ỵ ï + - - = ỵ

Bài 13. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng

d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước:

a) 1 1 2

3 1 1

x

x y z

A d d y t

z t

( ; ; ), : - = - = , :ì = -ïí = ï = + ỵ

b) 1 1 1 2 22

2 1 1

x

x y z

A d d y t

z t

( ; ; ), : - = + = , :ì =ïí = +

- ï = - -ỵ

c) 1 2 1

6 3

x y z x y z

A( ; ; ),- - d : + = - = ,d : - = + =

-Bài 14. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng sau:

a) Chứa cạnh tứ diện tứ diện ABCD

b) Đường thẳng qua C vng góc với mp(ABD) c) Đường thẳng qua A qua trọng tâm tam giác BCD

Bài 15. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) hai trung tuyến:

1

6

3 : )

( 1 = - =

y z

x

d ,

1

2

4 : )

( 2 =

-=

- y z

x

d Viết phương trình tham số đường thẳng sau:

a) Chứa cạnh tam giác ABC b) Đường phân giác góc A

Bài 16. Cho tam giác ABC có A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 1- - B1 7- C -5 14 3- Viết phương trình tham số đường thẳng sau:

a) Trung tuyến AM b) Đường cao BH

c) Đường phân giác BK d) Đường trung trực BC DABC

Bài 17. Cho bốn điểm S( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 1- A3 1- B1 C a) Chứng minh S.ABC hình chóp

b) Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh hình chóp c) Viết phương trình đường vng góc chung SA BC

Bài 18. Cho bốn điểm S( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 3- A 2 3- B1 3- C1 5- a) Chứng minh S.ABC tứ diện

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng

Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:

· Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng

· Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng

Bài 1. Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

a) 1 2 {

2

x y z

d : - = + = - ; d : x= - +t y; = -t z; = - + t

-b) d1:{x= +5 2t y; = -1 t z; = -5 t; d2:{x= +3 2t y'; = - -3 t z'; = -1 t' c) d1:{x= +2 2t y; = - +1 t z; =1; d2:{x=1; y= +1 t z; = -3 t

d) 1 2

9 6

x y z x y z

d : - = - = - ; d : - = - =

-e) 1 2

2

x y z x y z

d : - = + = - ; d : - = + = +

f) 1 2

4 12

x y z x y z

d : - = = + ; d : - = - =

- -

-g) 1 2 2 2

2

x y z x y z

d :íì x y- + z- = ; d :ìíx y+ - + =z

+ - + = - + - =

ỵ ỵ

h) 1 { 2 3

2

x y z

d : x= t y; = t z t; = - ; d :ìí - + + =x -y z- - =

ỵ

Bài 2. Chứng tỏ cặp đường thẳng sau chéo Viết phương trình đường vng góc chung chúng:

a) d1:{x= -1 2t y; = +3 t z; = - -2 3t d; 2:{x=2t y'; = +1 t z'; = -3 2t'

b) d1:{x= +1 2t y; = -2 2t z; = -t d; 2:{x=2t y'; = -5 3t z'; =4

c) d1:{x= -3 2t y; = +1 4t z; = -4t 2;d2:{x= +2 3t y'; = -4 t z'; = -1 2t'

d) 1 2 1

3 2

x y z x y z

d : - = + = ;d : = - = +

-e) 1 2 1

1

x y z x y z

d : - = - = - ;d : - = - =

-f) 1 2 1

2 2

x y z x y z

d : - = - = - ;d : - = + =

-g) 1 2 2 2

2

x y z x y z

d :íì x y- + z- = ; d :ìíx y+ - + =z

+ - + = - + - =

ỵ ỵ

Bài 3. Tìm giao điểm hai đường thẳng d1 d2:

a) d1:{x=3t y; = -1 2t z; = +3 t; d2:{x= +1 t y'; =2t z'; = +4 t'

b) 1 2 {

2

x y z

d :ì + + + =í x y ; d : x= +t y; = - +t z; = -t - + =

ỵ

c) 1 2

2

x y z x z

d :ìí x y z- - - = ; d :ìíy- - =z

+ + + = + + =

ỵ ỵ

d) 1 2 3

1

x y x y z

d :ìíx y z+ + = ; d :ìí x y+ - + =

- + - = - + =

Bài 4. Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt Khi tìm toạ độ giao điểm chúng: a) d1:{x= +1 mt y t z; = ; = - +1 2t; d2:{x= -1 t y'; = +2 2t z'; = -3 t'

b) d1:{x= -1 t y; = +3 2t z m t; = + ; d2:{x= +2 t y'; = +1 t z'; = -2 3t'

c) 1 2

3

x y z x y mz

d :íìx y+ - =+ - - = ; d :íì x y z++ + - =+ - =

ỵ ỵ

VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:

· Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng

· Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng

Bài 1. Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm giao điểm (nếu có) chúng:

a) d x:{ =2t y; = -1 t z; = +3 t; ( ) :P x y z+ + -10 0= b) d x:{ = -3t 2;y= -1 4t z; =4t-5; ( ) :P 4x-3y-6z- =5

c) 12

4

x y z

d: - = - = - ; ( ) :P x+ y z- - =

d) 11 3

2

x y z

d: + = - = ; ( ) :P x- y+ z- =

e) 13 4

8

x y z

d: - = - = - ; ( ) :P x+ y- z+ =

f) 16

2

x y z

d:ì +í x y z+ + = ; ( ) :P x z- - = - + - =

ỵ

g) 10 17

5

x y z

d:ìí + + + =x y z+ + - = ; ( ) :P y+ z+ = ỵ

Bài 2. Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để:

i) d cắt (P). ii) d // (P) iii) d^(P). iv) dÌ(P).

a) 3

2

x y z

d P x y z

m m

: - = + = + ; ( ) : + - - =

-b) 3

2

x y z

d P x y z

m m

: + = - = - ; ( ) : + + - =

-c) 3

4

x y z

d:ì -í x y+ + =z ; ( ) :P x y m- +( + )z- =

- + + =

ỵ

d) d x:{ = +3 4t y; = -1 4t z; = - +3 t; ( ) : (P m-1)x+2y-4z n+ - =9

e) d x:{ = +3 2t y; = -5 3t z; = -2 2t; ( ) : (P m+2)x+ +(n 3)y+ - =3z Bài 3. Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để:

a) d x m t y:{ = + ; = -2 t z; =3t cắt ( ) :P 2x y z- + - =5 điểm có tung độ

b)

2

x y

d:ì -í + + =y z- =

ỵ cắt ( ) :P 2x y+ +2z-2m=0 điểm có cao độ –1

c)

3

x y

d:ì +í - - =x z- =

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu

Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:

· Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính

· Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu

Bài 1. Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S) Tìm giao điểm (nếu có) chúng:

a) 2 2 2 4 1 0

2 1

x y z

d: = - = - ; ( ) :S x +y +z - x+ z+ =

-b) 12 2 2 16

2

x y z

d:ìí - - =x + - - =z ; ( ) : (S x- ) + -(y ) +z = ỵ

c) 2 2 2 2 14 0

2

x y z

d:ì -í + + =x y - - = ; ( ) :S x +y +z - x+ y- = ỵ

d) 2 2 4 2 10 8 0

2

x y z

d:ì -í + + =x y - - = ; ( ) :S x +y +z + x- y- z- = ỵ

e) d x:{ = - -2 t y t z; = ; = -3 t; ( ) :S x2+y2+z2-2x-4y+2z- =2 0

f) d x:{ = -1 2t y; = +2 t z; = +3 t; ( ) :S x2+y2+z2-2x-4y+6z- =2 0

g) d x:{ = -1 t y; = -2 t z; =4; ( ) :S x2+y2+z2-2x-4y+6z- =2 0 Bài 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S):

a) 12 2 12 8

2

x y z m

d:ì -í + + =x y - + = ; ( ) : (S x- ) + -(y ) + +(z ) = ỵ

b) d x:{ = -1 t y m t z ; = + ; = +2 t; ( ) :S x2+y2+z2-2x+4z+ =1 0

c) 2 2 2 4 0

2

x y

d:ì -í x z- = ; ( ) :S x +y +z + x- y+ z m+ = + - =

ỵ

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d: a) I( ; ; );1 1- d x:{ = +1 4t y; = -3 2t z; = -4t

b) I( ; ; );1 1- d x:{ = -1 t y; =2;z=2t

c) 2 1 2

x y z

I( ; ; );- d: - = + =

-d) 1 2

x y z

I( ; ; );- d: - = =

-e) 2 1

x y

I( ; ; );- d:ì -í - =z - =

ỵ

Bài 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) bán kính R = Viết phương trình tiếp tuyến d của

(S), biết:

a) d qua A(0; 0; 5) Ỵ(S) có VTCP ar=( ; ; )1 2

b) d qua A(0; 0; 5) Ỵ(S) vng góc với mặt phẳng: ( ) :a 3x-2y+2z+ =3

Bài 5. Cho tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện, với: a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3)

VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách

1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

· Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP ar

d M d M M a0

a

, ( , )= éë ùû

uuuuur r r

· Cách 2: – Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d – d(M,d) = MH

· Cách 3: – Gọi N(x; y; z) Ỵ d Tính MN2 theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) – Tìm t để MN2 nhỏ

– Khi N º H Do d(M,d) = MH

2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo d1 d2

d1 qua điểm M1 có VTCP ar1, d2 qua điểm M2 có VTCP ar2

1 2 2

1

a a M M d d d

a a

,

( , )

,

é ù

ë û

=

é ù

ë û

uuuuuur r r

r r

Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng (a) chứa d2 song song với d1

3 Khoảng cách hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng kia.

4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song

Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (a) song song với khoảng cách từ một điểm M d đến mặt phẳng (a)

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d:

a) 1 42

x t

A d y t

z t

( ; ; ), :ì = -ïí = + ï = -ỵ

b) 12

x t

A d y t

z t

( ; ; ), :- ì = +ïí = ï = -ỵ

c) 0

1

x y z

A( ; ; ), :d - = - = d) 1

1 2

x y z

A( ; ; ), :d + = - = +

-e) 1 1 2

x y z

A( ; ; ), :- d + = - = +

- f)

2

3 2

x y z

A( ; ; ), :- d ì + -í + + + =x y z- = î

Bài 2. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo Tính khoảng cách chúng: a) d1:{x= -1 2t y; = +3 t z; = - -2 3t; d2:{x=2t y'; = +1 t z'; = -3 2t'

b) d1:{x= +1 2t y; = -2 2t z; = -t; d2:{x=2t y'; = -5 3t z'; =4

c) d1:{x= -3 2t y; = +1 4t z; = -4t 2; d2:{x= +2 3t y'; = -4 t z'; = -1 2t'

d) 1 2 1

3 2

x y z x y z

d : - = + = ; d : = - = +

-e) 1 2 1

1

x y z x y z

d : - = - = - ; d : - = - =

-f) 1 2 1

2 2

x y z x y z

d : - = - = - ; d : - = + =

-g) 1 2 2 2

2

x y z x y z

d :íì x y- + z- = ; d :ìíx y+ - + =z

+ - + = - + - =

Bài 3. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với Tính khoảng cách chúng: a) d1:{x= +3 2t y, = +4 3t z, = +2 t d; 2:{x= +4 4t y, = +5 6t z, = +3 2t

b) 1 2

2 12

x y z x y z

d : - = + = - ; d : + = - = +

- -

-c) 1 1

2

x y z x y z

d : - = - = + ; d : + = + =

-d) 1 2 10 2

22

x y z

x y z

d d

x y z

:ìí - - - =+ - - = ; : + = - =

-ỵ

Bài 4. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách chúng: a) d x:{ = -3t 2;y= -1 4t z; =4t-5; ( ) :P 4x-3y-6z- =5

b) d x:{ = -1 2t y t z; = ; = +2 2t; ( ) :P x z+ + =8

c) 2

2

x y z

d:ì - +í x y z+ = ; ( ) :P x- y+ z+ = + - - =

ỵ

d) 3 2

4

x y z

d:ì -í x y+ + =z ; ( ) :P x y- - z- =

- + + =

ỵ

VẤN ĐỀ 6: Góc

1 Góc hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a ar r1, 2 Góc d1, d2 bằng bù với góc a ar r1, 2

( )

1

1

a a a a

a a

cos ,

= r r r r

r r

2 Góc đường thẳng mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP ar=( ; ; )a a a1 2 3 mặt phẳng (a) có VTPT nr =( ; ; )A B C

Góc đường thẳng d mặt phẳng (a) góc đường thẳng d với hình chiếu d¢ nó (a)

(· )

2 2 2

1

Aa Ba Ca d

A B C a a a

sin ,( )

a = + +

+ + + +

Bài 1. Tính góc hai đường thẳng:

a) d1:{x= +1 2t y, =–1+t z, = +3 4t; d2:{ x=2– ,t y=–1 3+ t z, = +4 2t

b) 1 2

2

x y z x y z

d : - = + = - ; d : + = - = +

-

-c) 1 3 2 {

2

x y z

d :ìí - + + =x -y z- - = ; d : x= t y; = t z; =– +t ỵ

d) 1 2 2 {

7 17

x z

d :ìí - + - =x - + =y z ; d : x= + t y; =– ; z= –t î

e) 1 2 2

2 3

x y z x y z

d d

x z

: - = + = + ; :ì +í - - =

+ - = ỵ

f) 1

2 1

x y z

g) 1 2

2 0

x y z x y z

d :ìí x y z- + - = ; d :ìíx y z- + - =

- + + = + + =

ỵ ỵ

h) 1 2

3 7

x y z x y z

d :íì x+- +y z- + =- = ; d :íì x y+ -- + z+ =+ =

ỵ ỵ

Bài 2. Chứng minh hai đường thẳng sau vng góc với nhau:

a) 1 15 2

7 34 11

x z x y z

d :íì y- z- = ; d :ìí x- - - =y

+ + = - - =

ỵ ỵ

b)

Bài 3. Tìm m để góc hai đường thẳng sau a:

a) { {

1 2 2 2 60

d : x= - +t y; = -t ;z= +t; d : x= +t y; = +t ;z= +mt; a = b)

Bài 4. Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P)::

a) 1 2 10

1

x y z

d: - = - = + ; ( ) :P x y– – z– =

-

b) d x:{ =1;y= +2 t45;z= +3 t; ( ) :P x45+ + =z 4 0

c)

3

x y z

d:ì +í + - =x y- z+ = ; ( ) :P x y z+ – + = ỵ

d) 3

2

x y z

d:ì +í x y- + =z ; ( ) :P x– y+ z– = - + + =

ỵ

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1) a) Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện đôi vng góc với b) Tính góc AD mặt phẳng (ABC)

c) Tính góc AB trung tuyến AM tam giác ACD

d) Chứng minh AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 6. Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC)

b) Tính góc tạo SC (ABC) góc tạo SC AB c) Tính khoảng cách từ C đến (SAB) từ B đến (SAC) d) Tính khoảng cách từ C đến AB khoảng cách SA BC

Bài 7. Cho tứ diện SABC có S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5) a) Tìm phương trình hình chiếu SA, SB mặt phẳng (ABC)

b) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tính góc tạo SM NP góc tạo SM (ABC)

VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác

1 Viết phương trình mặt phẳng

·Dạng 1: Mặt phẳng (P) qua điểm A đường thẳng d: – Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C

– Một VTPT (P) laø: nr= ëéuuur uuurAB AC, ùû

·Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2: – Xác định VTCP ar d1 (hoặc d2)

– Trên d1 lấy điểm A, d2 lấy điểm B Suy A, B Ỵ (P) – Một VTPT (P) laø: nr= ëéa ABr,uuurùû

·Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt d1, d2: – Lấy điểm A Ỵ d1 (hoặc A Ỵ d2) Þ A Ỵ (P)

– Xác định VTCP ar d1, br d2 – Một VTPT (P) là: nr r=[ ]a b,r

· Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):

– Xác định VTCP a br,r đường thẳng d1, d2 – Một VTPT (P) là: nr r=[ ]a b,r

– Lấy ủieồm M thuoọc d1 ị M ẻ (P)

· Dạng 5: Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác định VTCP a br,r đường thẳng d1, d2

– Một VTPT (P) là: nr r=[ ]a b,r .

2 Xác định hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d

· Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d – Khi đó: H = d Ç (P)

· Cách 2: Điểm H xác định bởi:

d

H d MH a ỡ ẻ

ớ ^

ợuuuur r

3 Điểm đối xứng M' điểm M qua đường thẳng d · Cách 1: – Tìm điểm H hình chiếu M d

– Xác định điểm M¢ cho H trung điểm đoạn MM¢

· Cách 2: – Gọi H trung điểm đoạn MM¢ Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M¢ – Khi toạ độ điểm M¢ xác định bởi: MM ad

H d

'

ì ^

ớ ẻ ợ

uuuuur r

4 Xác định hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng (P)

· Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với (P) – Khi đó: H = d Ç (P)

· Cách 2: Điểm H xác định bởi:

P

H P

MH n phương

( ) ,

ỡ ẻ ợuuuur r

5 im i xng M' điểm M qua mặt phẳng (P) · Cách 1: – Tìm điểm H hình chiếu M (P)

– Xác định điểm M¢ cho H trung điểm đoạn MM¢

· Cách 2: – Gọi H trung điểm đoạn MM¢ Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M¢ – Khi toạ độ điểm M¢ xác định bởi:

P

H P

MH n phương

( ) ,

ì Ỵ í

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A đường thẳng d:

a) 22 3

x t

A d y t

z t

( ; ; ),- :ì = +ïí = -ï = + ỵ

b) 21

x t

A d y t

z t

( ; ; ),- :ì = -ïí = - + ï = -ỵ

c)

x y z

A( ; ; ),- d: - = + = - d)

2

x y z

A( ; ; ),- d: + = + =

-e) 2

x y z

A( ; ; ),- d:ì - +í + + + =x y z- =

ỵ f)

3

2

x y z

A( ; ; ),- d:ì +í x y z- + =

- + - = ỵ

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d1, d2:

a) 1 { 2

3

x y z

d : x= + t y; = + t z t; = - ; d : + = - = +

b) 1 2

2 4

x y z x y z

d : - = + = - , d : + = - =

-c) 1 2

2 12

x y z x y z

d : - = + = - ; d : + = - = +

- -

-d) 1 2

2

x y z x y z

d : - = - = + ; d : + = + =

-Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng cắt d1, d2: a) d1:{x=3t y; = -1 2t z; = +3 t; d2:{x= +1 t y'; =2t z'; = +4 t'

b) 1 2 {

2

x y z

d :ì + + + =í x y ; d : x= +t y; = - +t z; = -t - + =

ỵ

c) 1 2

2

x y z x z

d :íì x y z-+ + + =- - = ; d :íìy+- - =z+ =

ỵ ỵ

d) 1 2 3

1

x y x y z

d :ìíx y z+ + = ; d :ìí x y+ - + =

- + - = - + =

ỵ ỵ

Bài 4. Cho hai đường thẳng chéo d1, d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2:

a) d1:{x= -1 2t y; = +3 t z; = - -2 3t d; 2:{x=2t y'; = +1 t z'; = -3 2t'

b) d1:{x= +1 2t y; = -2 2t z; = -t d; 2:{x=2t y'; = -5 3t z'; =4

c) d1:{x= -3 2t y; = +1 4t z; = -4t 2;d2:{x= +2 3t y'; = -4 t z'; = -1 2t'

d) 1 2 1

3 2

x y z x y z

d : - = + = ;d : = - = +

-e) 1 2 1

1

x y z x y z

d : - = - = - ;d : - = - =

-f) 1 2 1

2 2

x y z x y z

d : - = - = - ;d : - = + =

-g) 1 2 2 2

2

x y z x y z

d :íì x y- + z- = ; d :ìíx y+ - + =z

+ - + = - + - =

ỵ ỵ

Bài 5. Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M đường thẳng d điểm M¢ đối xứng với M qua đường thẳng d:

a) 12

x t

M d y t

z t

( ; ; ),- :ì = +ïí = ï = -ỵ

b) 1 42

x t

M d y t

z t

c) 12

x t

M d y t

z t

( ; ; ),- :ì =ïí = -ï = - + ỵ

d) 1 22

x t

M d y t

z t

( ; ; ),- :ì = -ïí = + ï = ỵ

e) 1 2 2

x y z

M( ; ; ),- d: - = + = - f) 2

2

x y z

M( ; ; ), d: + = + =

-g) 2

x y z

M( ; ; ),- d:ì -í x y z+ - - =- =

ỵ h)

4

2

y z

M( ; ; ),- d:ì + - =í x y z- - + = ỵ

Bài 6. Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M mặt phẳng (P) điểm M¢ đối xứng với M qua mặt phẳng (P):

a) ( ) :P 2x y- +2z- =6 0, M( ; ; )2 5- b) ( ) :P x y+ +5z-14 0= , M( ; ; )1

-c) ( ) :P 6x-2y+ +3z 12 0= , M( ; ; )3 2- d) ( ) :P 2x-4y+4z+ =3 0, M( ; ; )2

-e) ( ) :P x y z- + - =4 0, M( ; ; )2 1- f) ( ) :P 3x y z- + - =2 0, M( ; ; )1

BAØI TẬP ƠN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1. Tìm trục Ox điểm M cách đường thẳngD:

2 2

1

1= = +

- y z

x mặt phẳng

2x y 2z

( ) :a - - =

Bài 2. Cho điểm A(1; 0; 0) B(0; 2; 0) Viết phương trình mp(a) qua AB tạo với

mp(Oxy) góc 600

Bài 3. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(3; –1; 1) nằm mp(a): x – y + z – = hợp với đường thẳngD:

2

2

z y

x

=

-= góc 450

Bài 4. Gọi (a) mặt phẳng qua A(2; 0; 1) B(–2; 0; 5) hợp với mp(Oxz) góc 450 Tính khoảng cách từ O đến mp(a)

Bài 5. Chứng minh đường thẳng D1:

4

2

1 =

-+ =

- y z

x vaø

2

D :

ï ỵ ï í ì

-=

+ =

+ =

t z

t y

t x

3

2

3

cùng nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng

Bài 6. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) đường thẳng 2

3 2

x y z

d: + = - =

-a) Chứng minh đường thẳng d đường thẳng AB thuộc mặt phẳng b) Tìm điểm I thuộc d cho IA + IB nhỏ

Bài 7. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3) 1) Chứng minh ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện

2) Tìm điểm M cho :MAuuur+2uuur uuur uuuur rMB-2MC+3MD=0 3) Xác định toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD

4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB, AC, BC 5) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với trục Oz

8) Viết phương trình mặt phẳng qua A chắn nửa trục dương Ox, Oy, Oz điểm I , J, K cho thể tích tứ diện OIJK nhỏ

9) Viết phương trình mặt phẳng qua A chắn nửa trục dương Ox, Oy, Oz điểm I , J, K cho OI + OJ + OK nhỏ

10) Viết phương trình mặt phẳng qua C, song song với trục Oy vng góc với mặt phẳng x + 2y – 3z =

11) Viết phương trình mặt phẳng qua A qua giao tuyến hai mặt phẳng : (P): x + y + z – =0, (Q):3x – y + z – =

12) Viết phương trình mặt phẳng qua A chứa đường thẳng :

3

x- = y- = z+ -

13) Tìøm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d: 1

3

x+ y+ z

-= = tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d: 3

2

x y z

x y z

ì + - + =

í - - + =

ỵ

14) Tìm trục Oz điểm M cách điểm A mặt phẳng (P): x + 3y + =

15) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P): x – y – z – = vng góc với đường thẳng D:

2

x+ y- z

-= =

16) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc cắt đường thẳng:

x y= = +z

17) Tìm điểm P thuộc mặt phẳng (P): 2x – 3y – z +2 = cho PA+PB nhỏ 18) Chứng minh đường thẳng AB đường thẳng d :

3

x y= - = z- thuộc

mặt phẳng Tìm điểm N thuộc d cho NA + NB nhỏ

19) Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với đường thẳng:

1

x- y- z = = cắt đường thẳng:

2

x y z x y z ì + - + =

í - + - =

ỵ

20) Viết phương trình hình chiếu đường thẳng AB lên mặt phẳng (P): x + 3y – z = 21) Tính góc tạo bỡi đường thẳng AB với mặt phẳng (BCD)

22) G trọng tâm DABC, G’ điểm thuộc mặt phẳng (P): 2x – 3y + z +3 = Chứng minh rằng: G A' 2+G B' 2+G C' 2 nhỏ G' hình chiếu G lên

(P) Tìm toạ độ điểm G’

23) Lập phương trình mặt cầu qua A, B, C có tâm thuộc mp(Oxy)

24) Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S):x2+y2+z2-6x-2y+4z+ =5 0 taïi B

25) Lập phương trình mặt phẳng qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+z2-4x+2y-6z+ =5 0

Để giải tốn hình không gian phương pháp tọa độ ta thực bước sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp

Bước 2: Dựa vào giả thiết toán xác định tọa độ điểm có liên quan

Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán

Chú ý: Thông thường ta dựa vào yếu tố đường thẳng vng góc với mặt phẳng để chọn hệ trục Oxyz cho dễ xác định toạ độ điểm liên quan.

Ví dụ 1:

Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với H hình chiếu O (ABC)

1 Chứng minh DABC có ba góc nhọn Chứng minh H trực tâm DABC Chứng minh 2 12 12 12

OH =OA +OB +OC

4 Gọi a =·((OAB ABC),( ) ,) b =·((OBC BCA),( ) ,) g =·((OAC ACB),( )) Chứng minh cos2a+cos2b+cos2g =1.

Giaûi:

Chọn hệ trục Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0)

1 Chứng minh DABC có ba góc nhọn:

Ta có: uuur uuurAB AC. = -( ; ; )( ; ; )a b 0 -a 0 c =a2>0

·BAC

Þ nhoïn

Tương tự: · ·ABC ACB, nhọn Vậy DABC có ba góc nhọn

2 Chứng minh H trực tâm DABC:

Ta có phương trình mp (ABC):

1

x y z bcx acy abz abc

a b c+ + = Û + + - =

OH ABC

OH ^(ABC)Þ ur =nr( ) =( ; ;bc ac ab)

Þ Phương trình đường thẳng OH: x bcty act t R

z abt ( )

ì =

ï = ẻ

ớ ù = ợ

Thay x, y, z vào phương trình mp(ABC): (b c2 2+a c2 2+a b t abc2 2) =

V GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

MỘT SỐ VÍ DỤ

C

B

A x

z

y H

2 2 2

abc t

a b b c c a Þ =

+ +

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

ab c a bc a b c

H

a b b c c a ; a b b c c a ; a b b c c a

ỉ

Þ çç ÷÷

+ + + + + +

è ø

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

a

AH ab ac bc b c

a b b c c a b

BH ac a b bc a c

a b b c c a

( ; ; )

( ; ; )

ì

= -

-ï

ï + +

Þ í

ï = -

-ï + +

ỵ uuur

uuur

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

0

0

a

AH BC ab ac bc b c b c

a b b c c a b

BH AC ac a b bc a c a c

a b b c c a

( ; ; )( ; ; )

( ; ; )( ; ; )

ì

= - - - =

ï

ï + +

Þ í

ï = - - - =

ï + +

ỵ

uuur uuur uuur uuur

AH BC

BH AC

ì ^

Þ í Þ

^

ỵ H trực tâm DABC

3 Chứng minh 2 12 12 12

OH =OA +OB +OC

2 2 2

abc OH d O ABC

a b b c c a

( , ( ))

-= =

+ +

2 2 2

2 2

1 a b b c c a

OH a b c

+ +

Þ =

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 a b b c c a

OA OB OC a b c a b c

+ +

+ + = + + =

2 2

1 1

OH OA OB OC

Þ = + +

4 Chứng minh cos2a + cos2b + cos2g =

Nhận xét: cosa = cos ((·OAB), (ABC)) = cos(nr(OAB),nr(ABC))

Goïi n nr r= (ABC) =( ; ;bc ac ab)

1 OAB 0 OBC 0 OAC

nr r=n( )= =kr ( , , ); nr =nr( )= =ir ( , , ); nr =nr( )= =rj ( , , )

2 2 2

1

n n n n n n

cos a cos b cos g cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )

Þ + + = r r + r r + r r

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b b c a c

a b b c c a a b b c c a a b b c c a

= + +

+ + + + + +

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) O, lấy điểm S cho OS = 2a

1 Tính cosin góc j tạo hai mặt phẳng (SAB) (SAC)

2 Trên đoạn OH lấy điểm I Đặt OI = m (0 < m < a) Mặt phẳng (a) qua I, vng góc với AH cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q

a Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x b Tìm m để diện tích MNPQ lớn

Giải: Gọi D trung điểm AB

3

2 3

1

4 3

OD OH

BC a

AH BC

a

OD BC

Þ ^

= Þ =

Þ = =

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:

0 0 0 0 0

a

O( ; ; ), Dổỗ ; ; ư÷, H( ; a ), ( ; ;S a)

è ø

2

0 0

3

a a

A( ; a; ), Bỉ ; ;a ư, Cỉ ; ;a

ị - ỗ ữ ỗ- ữ

ố ø è ø

1 Tính cosj:

Vẽ BE SA^ E ÞCE ^ SA (vì SA^(BCE))Þ j=·BEC

0 2

SA=( ; ;a a) = a( ; ; )

uur

Phương trình đường thẳng SA:

2

x

y a t t R

z t ( )

ì =

ï = - + Ỵ

í ï = ỵ

Phương trình mp(BCE): (y a 2z – ) + =

Thay x, y, z vào phương trình (BCE), ta được:

a

a t t t

- + + = Þ =

3

5

a a

Eỉ ; ;

ị ỗ - ữ

ố ứ

2

5 3 5

3

2

5 3 5

3

a a a a

EB

a a a a

EC

; ; ( ; ; )

; ; ( ; ; )

ỡ =ổ - ử=

-ù ỗ ữ

ï è ø

Þ í ỉ ư

ù = -ỗ - ữ= -

-ù ố ø

ỵ uuur uuur

2 2

5 3 3

35 3

85 17

85 85

a a EB EC

a

( ; ; )( ; ; )

cosj cos( , )

- -

-Þ = = = =

ổ

ỗ ữ

è ø

uuur uuur

Vaäy

17

cosj=

z S

E

A

D x

M B

y H

C P

N I m Q O a

j

2 Ta coù: I(0; m; 0), OH a= ( ; ; )0

Þ phương trình mp(MNPQ): y – m = a Tính SMNPQ:

Ta có:

2

2

3

a a

AB =ổỗ ; a; ửữ= ( ; ; )

è ø

uuur

; 2

3

a a

AC= -ổỗ ; a; ửữ= - ( ;- ; )

è ø

uuur

2

2 3

3

a a

SB=ổỗ ; ;a - aửữ = ( ; ; - )

è ø

uur

; 2 3

3

a a

SC= -ổỗ ; ;a - aư÷ = - ( ; - ; )

è ø

uur

Phương trình đường thẳng AB:

x t

y a t t R

z ( )

ì =

ï = - + ẻ

ớ ù = ợ

0

a m

M AB= ầ(MNPQ)ị Mổỗ + ; ;m ư÷

è ø

Phương trình đường thẳng AC:

x t

y a t t R

z ( )

ì =

ï = - - Ỵ

í ï = î

0

a m

N AC= ầ(MNPQ)ị Nổỗ- - ; ;m ửữ

ố ứ

Phương trình đường thẳng SB:

2 2

x t

y t t R

z a t

( )

ì =

ù = ẻ

ớ

ù = -ợ

2

2

m

Q SB= ầ(MNPQ)ị Qổỗ ; ;m a- mửữ

ố ứ

Phương trình đường thẳng SC:

2 2

x t

y t t R

z a t

( )

ì =

ï = - Ỵ

í

ï = + î

2

2

m

P SC= ầ(MNPQ)ị Pỗổ- ; ;m a- mửữ

ố ø

Þ 2 2 2 0

3 3

m a a m a m

MQ=ổỗ - ; ; a- mửữ; MP=ổỗ- - ; ; a- mữử; MN =ỗổ- - ; ; ư÷

è ø è ø è ø

uuur uuur uuuur

( )

2

2 2

2

2

1

1 4

0 0

2 3 3

1 4

2 3 3 3 3 3

2

3

MNPQ

MNPQ

S MQ MP MP MN

m m a m a

m a m a m m am a

S m am a

[ , ] [ , ]

( )

; ; ; ;

( )

( )

= +

ỉỉ - ư ỉ - ưư

ỗ ữ

= ỗ ữ + ỗỗ ữữ

ỗố ứ ố ứữ

ố ứ

ổ - -

= ỗỗ + ữữ = - + +

è ø

Þ = - + +

b/ Tìm m để (SMNPQ)max: Bảng xét dấu:

m –¥

3

a +

¥

2

3m 2am a

- + + –¥

3

a

–¥

2

2

3 3

MNPQ a a

S

Þ £ =

Vậy

3 3

MNPQ a a

S max khi m

( ) = =

Caùch khaùc:

2

2

2 3

3 3 3

MNPQ coâsi

a

a m m

a a

S a m m

( )

( )

( )

é ỉ ư ù

ờ - +ỗ + ữ ỳ

ổ ố ứ ỳ

= - ỗ + ữ Ê ê ú =

ë û

è ø

3

3

MNPQ a a a

S max a m m m

( )

Þ = Û - = + Û =

Ví dụ 3:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA= a, OB = b, OC = c Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp (S) OABC Tính bán kính r (S)

2 Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) (OMP) vng góc 12 12 12

a b c

Û = +

Giải:

Chọn hệ trục Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

1 Tính r:

Ta có: VI AOB. +VI OBC. +VI OCA. +VI ABC. =VOABC

3 OAB OBC OCA ABC

r(S S S S ) abc.

D D D D

Þ + + + =

2 2 2

2 2 2

2

0

1

6

ABC

S AB AC

a b a c

a b b c c a

r ab bc ca a b b c c a abc

[ , ]

[( ; ; ), ( ; ; )]

( ) ( )

D =

= -

-= + +

Þ + + + + + =

uuur uuur

Vaäy

2 2 2

abc r

ab bc ca a b b c c a =

+ + + + +

C z

y

x

B A

O

a P b

c M

2 Chứng minh (OMN) ^ (OMP) 12 12 12

a b c

Û = +

Ta coù: 0

2 2 2

b c a c a b

Mốổỗ ; ; ứữử,Nỗốổ ; ; ứữử, Pổỗố ; ; ư÷ø

4 4

OMN bc ac ab

n( ) =[OM ON, ] =ổỗ ; ;- ửữ

ố ứ

uuur uuur r

4 4

OMP bc ac ab

n( )=[OM OP, ] = -ổỗ ; ; - ư÷

è ø

uuur uuur r

0

OMN OMP

OMN OMP n( ) (n )

( ) ( )

Þ ^ Û r r =

2 2 2

2 2 2

2 2

1 1

16 16 16

b c a c a b a c b b c

a b c

( )

Û - + + = Û + = Û = +

Ví dụ 4:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD = 2a Trên tia Az^(ABCD) lấy điểm S Mặt phẳng (a) qua CD cắt SA, SB K L

1 Cho SA = 2a, AK = k (0£ £k 2a)

a Tính diện tích tứ giác CDKL Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ b Chứng tỏ khoảng cách hai đường thẳng KD BC không đổi

c Tính k theo a để (a) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần tích Gọi M, N trung điểm SC, SD Tìm quỹ tích giao điểm I AN, BM S di động tia Az

Giaûi:

1. Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a)

0 0 2

AK k K k k a

n KC KD a k a

( ; ; ),

[ , ] ( ; ; )

a

= Þ £ £

= uuur uuur = r

Phương trình( ) : (a k y-2a)+2az= Û0 ky+2az-2ak =0

SB a= ( ; ;- )

uur

Phương trình đường thẳng SB:

x a t

y t R

z t ( )

ì = + ï

= ẻ

ớ ù = -ợ

0

k

SB L L a k

( )a ầ = ị ổỗ - ; ; ửữ

è ø

a/ SCDKL = SDCKL + SDCKD:

( )

2 2 2

1

2 2 0

2

1

4 4

2

CK CL CK CD

k

a a k a k a a k a

a k a k a a k a k a k

[ , ] [ , ]

[( ; ; , ; ; ] [( ; ; ,( ; ; )]

= +

æ

= ỗ - - - - + - - - ÷

è ø

ỉ -

-= ỗ + + + ữ= +

ố ø

uuur uuur uuur uuur

z

S

B x

C

y

D N

M

K L

a 2a

A

k

Xeùt 2 2

2

4 4

4

4 4 4

a k k ak a

f k a k f k

k a

/

( ) = - + Þ ( )= - + - <

+

Bảng biến thiên:

k –¥ 2a +¥

f/(k) –

f(k) 2a2

a2 2

Vaäy: S 2a2 k 0

max = Û =

S a2 2 k 2a

min = Û =

b/ d(KD, BC) 2 0

0 2

KD BC DC a k a a

a k a

KD BC

[ , ] [ ; ; ), ( ; ; )]( ; ; )

[ ; ; ), ( ; ; ]

[ , ]

-= =

-uuur -uuur -uuur

uuur uuur = a (không đổi)

* Chú ý: CD đoạn vng góc chung KD BC c/ Tính k để

2

S CDKL S ABCD

V . = V .

Ta coù:

2

4

a ak

d S

k a

( , ( ))a = -+

3

3

1

3

1

3

2 4

6

3

S CDKL CDKL

S ABCD ABCD

a a k a k

V d S S

a

V SA S

a a k a k a

k a do k a

( )

( , ( ))

( )( )

( ) ( )

a -

-Þ = =

= =

-

-Þ =

Û = - £

2 Quỹ tích I:

0 0

2 2

a s s

S Azẻ ịS( ; ; ),s s> ị Mỗổ ; ;a ửữ, Nổỗ ; ;a ửữ

ố ứ ố ø

1

2

2

BM = - ( ;a - a s; - ); AN = ( ; ; )a s

uuur uuur

Þ Phương trình đường thẳng BM: 11 1

1

x a at

y at t R

z st

( )

ì = +

ï = - Ỵ

í ï = -ỵ

Phương trình đường thẳng AN: 2 2

2

x

y at t R

z st

( )

ì =

ï = Ỵ

í ï = ợ

0

I =(AN) (ầ BM) ị I( ; a s; ) Ta coù: IDuur=( ; ;0 -s) Þ IDuur uur/ / AS

Ví dụ 5:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a 2;·ASB= a

1 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Tìm a để tâm mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp trùng

Giải:

Ta có: AC = BD = 2a Gọi SO đường cao SO= h

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h)

0 0

C a( ; ; ), ( ;D a; )

Þ -

-1 Tâm I R (S) ngoại tiếp chóp S.ABCD

Do S.ABCD hình chóp tứ giác nên I OSỴ ÞI( ; ; )0 z0

Phương trình mặt cầu (S): 2

2

x +y +z - z z d+ =

2 2 2

2 2 2

0

2

2

0

2 2

a d

A S S

h z h d

d a

h a

z

h

h a h a h a

I R a

h h h

, ( ) ; ; , ỡ + = ù ẻ ị ớ - + = ùợ ỡ = -ù ị = -ùợ ổ - ổ - + ị ỗ ữ = ỗ ÷+ = è ø è ø

Mặt khác: SA SB a 2h 02a h 2h2 2

SA SB a h a h

( ; ; )( ; ; )

cos

a = = - - =

+ + uur uur a h cos cos a a Þ =

- (a nhọn DSAB cân S)

Vaäy:

2

a R

cos ( cos )a a

=

-2

a

OI ( cos )

cos ( cos ) a

a a

-=

-2 Tâm J r (S/) nội tiếp chóp S.ABCD: Ta có: J OSỴ Þ J( ; ; ),0 r OJ r=

2

2

2 2

2

2 2

1

2

3 3

1

4

2

2

1

S ABCD tp S ABCD xp SAB

tp xp ABCD

r a h

V S V h a

S S SA SB a h

S S S a h a

a a h

r

a a h

; ( )

sin ( )sin

( )sin

cos ( cos ) sin cos

( )sin

D a a

a a a a a a = = = = = = + Þ = + = + + -Þ = = + -+ +

Vaäy:

1

a

OJ cos ( cos ) r

sin cos a a a a -= = + -z S

x A 2 3 B y

3 Tìm a để I º J

1

1

2 1

a a

I J OI OJ ( cos ) cos ( cos )

sin cos cos ( cos )

( cos )( sin cos ) cos ( cos )

a a

a

a a

a a

a a a a a

-º Û = Û =

+

-Û - + - =

-1

1

45o

sin do

do nhoïn)

( cos ) (sin cos ) (sin cos )(sin cos )

sin cos ( sin cos )

(

a a a a a a a a

a a a a

a a

Û - + - = Û - - + =

Û = + - >

Û =

Vaäy I Jº Ûa =45o

Ví dụ 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = b, SA = 2a vng góc với đáy Trên cạnh SA lấy điểm M, AM = m (0£ m £ 2a)

1 Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện hình Tính diện tích thiết diện? Tìm vị trí M để diện tích thiết diện lớn

3 Tìm vị trí M để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần tích Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a) ÞC a b( ; ; ), ( ; ; ) (0 M 0 m 0£ m£ 2a)

Ta coù: nr(MBC)=[MB MCuuur uuur, ]= b m( ; ; )0 a

SD=( ; ;b - a)

uuur

Þ Phương trình mặt phẳng (MBC): mx az ma+ - =0

Phương trình đường thẳng SD:

2

x

y b bt t R

z at ( )

ì = ï

= + Ỵ

í ï = -ỵ

Gọi

2

ab mb

N SD MBC N m

a

( ) ỉ ; - ;

= Ç ị ỗ ữ

ố ứ

1 Hỡnh tớnh diện tích BCMN

Ta có: 0 0

2

ab mb

MN BC b MB a m

a

; ; ; ( ; ; ); ( ; ; )

ổ -

=ỗ ữ = =

-è ø

uuuur uuur uuur

MN BC BCMN

BC MB

ì

Þ í Þ

^

ỵ P hình thang vuông

2 2

2 2

BCMN MB a m ab mb ab mb

S MN BC b a m

a a

( ) + ỉ -

-= + = ỗ + ữ= +

ố ứ

2 Tìm vị trí M để SBCNM lớn nhất:

Ta coù: 4 2

4

m b

S a m m a

a

( ) = ( - ) +

a b

D y

x B

S z

2a M

m A

2 2

2 2

4

4

m b a m m b m am a

S m a

a m a a m a

/

( ) é ( - ) ù - +

-Þ = ê- + + ú =

ê + ú +

ë û

2

2

m a

S( )/ = Û m= ( ± )

m –¥ 2

2

a( - ) 2

2

a( + ) 2a +¥

m

S( )/ – + –

m

S( ) ab 71 8

ab +

71

8

ab -

2

ab

71 2

8

ab a

Smax + m ( + )

Þ = Û =

71 2

8

ab a

Smin = - Û m= ( - )

3 Tìm vị trí M để

S BCNM S ABCD

V . = V .

Ta coù:

2 2a ma

d S MBC

m a

( , ( ))=

-+

2

2 2

2

1 4

3 12

1

2

3

S BCNM

S ABCD

a ma ab mb b a m a m

V m a

a

m a

a b

V a ab

( )( )

- - -

-Þ = + =

+

= =

Yêu cầu toán 2

4

a m a m a

( - )( - )

Û =

2 6 4 0 3 5

m am a m ( )a (vì m 2a)

Û - + = Û = - £

Vaäy AM = (3- 5) a

Ví dụ 7:

Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a

1 Chứng minh A C/ ^(AB D/ /) Tính góc j (DA¢C) (ABB¢A¢) Trên cạnh AD/, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0< <k a 2) a Chứng minh MN // (A/D/BC)

Giaûi:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a)

AM = DN = k 0

2 2

k k k k

Mæ ; ; ử, Nổ ; a ;

ị ỗ ữ ỗ - ữ

ố ứ ố ứ

1 Chứng minh A C/ ^(AB D/ /):

Ta coù:

0

A C a a a

AB a a

AD a a

/ / / ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ì = -ïï í = ï = ïỵ uuuur uuuur uuuur

2 2

2 2 0

AB D AB D AB D

n AB AD a a a

A C n a a a a a a

A C n

/ / / / / / / / ( ) / ( ) / ( ) , ( ; ; ) , ( ; ; ), ( ; ; ) Þ = = - -é ù = é - - - ù= ë û ê ú ë û Þ uuuur uuuur r

uuuur r r

uuuur rP

Vaäy A C/ ^(AB D/ /)

Caùch khaùc: 0

A C AB A C AB A C AB D

A C AD A C AD

/ / / / / / / / / / / ( ) ì ì ï = Þ ï ^ Þ ^ í í ^ ï = ỵ ïỵ uuuur uuuur uuuur uuuur

Tính j: 2

1

n =[DA DCuuuur/, ] ( ;= a a; )

r uuur

nr2 =nr(ABB A/ /)= =rj ( ; ; )0

2 2 2 2

n n a

a n n cosj Þ = = = r r

r r

Vaäy j =45o

2 a Chứng minh MN // (A/D/BC):

2

2 2

1

A D BC

MN k a k k

n n( / / ) BA BC/ a

( ; ; ) [ , ] ( ; ; ) = - -= = = -uuuur uuuur uuur r r

Ta coù:

2

a

MN n = - (k k- )= uuuur r

MN (A D BC/ / ) (do M (A D BC/ / )

Þ P Ï )

b/ Tìm k để MNmin:

Ta có: 6 4 2 2 2

MN = ( k - ak+ a )

k –¥

3

a

2

a +¥

MN2 a z

A/ D/

B/ C/

A D

B C

k y

z

a

2 3

a a

MNmin k

Þ = Û =

Khi

3

a

k= 1

3

a

MN = ( ; ; - )

uuuur

1 1 0

1 1 0

a

MN AD a a MN AD

a MN BD

MN BD a a

/

/

( ; ; )( ; ; )

( ; ; )( ; ; )

ì

= - =

ï ì

ï ^

ị ớ ịớ

^ ợ

ù = - - =

ïỵ

uuuur uuuur uuuur uuur

Vậy MN đoạn vng góc chung AD/ BD

Ví dụ 8:

Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vuông ADD/A/.

1 Tính bán kính R mặt cầu (S) qua điểm C, D/, M, N.

2 Tính bán kính r đường trịn (C) giao (S) mặt cầu (S/) qua A/, B/, C, D Tính diện tích S thiết diện tạo mặt phẳng (CMN) hình lập phương

Giaûi:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a)

0 0

2 2

a a a

Mỉ ; ; ư,Nỉ ; ;

ị ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

1 Tính R:

Phương trình mặt cầu (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2gz d+ =0

C D M N, /, , Î( )S , suy ra:

2 2

2

2 2

2 2

3

0

2

a a a d

a a a d

a a d

a a a d

( ) ( ) ( ) ( )

a b

b g

a

b g

ì - - + =

ï

- - + =

ï ï

í - +

ï ï

- - + =

ï î

(1) – (2) suy ra: a = g (2) – (4) suy ra: d = a2

5

4

4

a a

( ) ( )

a g b

Þ = =

Þ =

Þ Phương trình mặt caàu (S): 2 5 0 2

a a a

x +y +z - x- y- z a+ =

A/ D/

C/

B/

A

D

C B

y

x

z

N

a K

L

2 2 2

2 5 35

4 4 16

a a a a

R =ỗổ ữử +ổỗ ữử+ổ ửỗ ữ -a =

ố ø è ø è ø

Vaäy 35

4

a

R=

2 Tính r:

Phương trình mặt cầu (S¢): x2+y2+z2-2a/2x-2b/y-2g/z d+ / =0

A B C D/, /, /, Ỵ( ),S/ suy ra:

2 2

2

2

3 2

2

a a d

a a d

a a a a d

a a d

/ / / /

/ / / /

/ / g

a

a b g

b

ì - + =

ï

ï - + =

í

- - - + =

ï

ï - + =

ỵ

0

a d

/ / / , /

a b g

Þ = = = =

2 2 0

S/ x y z ax ay az

( ) :

Þ + + - - - = bán kính

2

a R/ =

Dễ thấy C(a; a; 0) ẻ( )S/ ị ẻC ( )C

Gọi I I J, , tâm (S), (S/ /) vaø (C)

5

4 4 2

a a a a a a

Iỉ ; ; ư,I/ỉ ; ;

ị ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Ta coù: JC ^ II/

II CI r d C II

II

/ /

/

[ , ]

( , )

Þ = =

uur uur

3 3

4 4 4

a a a a a a

II/ = -ổỗ ; - ữử; CI =ỗổ ; - ; ửữ

ố ứ è ø

uur uur

1

a II CI/

[ , ] ( ; ; )

Þ uur uur =

-14 19

r a Þ =

3 Tính S:

2

2

CMN a

nr( ) =[CM CNuuur uuur, ]= - ( ;- ; )

Þ Phương trình mặt phẳng (CMN): 2x y- +3z a- =0

Phương trình đường thẳng AA¢: 00

x

y t R

z t ( )

ì = ï

= Ỵ

í ï = ỵ

Phương trình đường thẳng DD¢: xy a t R0

z t ( )

ì = ï

= Ỵ

í ï = ợ

Goùi K =(CMN)ầ AA L/, =(CMN)ầ DD/

I/

R/

C (C)

(S)

I R

( )

2 0

3

1

1

0

2 3

CMKL

a a

K L a

S S CM CK CK CL

a a a a a a a a a a

; ; , ; ;

[ , ] [ , ]

; ; , ; ; ; ; , ; ;

ỉ ổ

ị ỗố ữứ ỗố ữứ

ị = = +

ỉ éỉ ư ỉ ưù éỉ ử ổ ửự

= ỗỗ ờỗ- - ữ ç- - ÷ú + êç- - ÷ ç- ÷ú ÷÷

è ø è ø è ø è ø

ë û ë û

è ø

uuur uuur uuur uuur

2 14

a

S

Þ =

BÀI TẬP

Bài 1. Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC=a 3, (a>0) đường cao OA=a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB

vaø OM

HD: Chọn hệ trục tọa độ cho: O( ; ; ), ( ; ;0 0 A 0 a 3), ( ; ; ), ( ;B a 0 C a0 0; )

Þ 15

5

a d AB OM( ; )=

Bài 2. Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ

HD: Chọn hệ trục tọa độ cho: O( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )0 0 A a 0 B b0 C 0 c

Þ 27

3

V

a b c

min = Û = = =

Bài 3. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy DABC vuông C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C

qua M Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SHB) (SBC)

HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H(1;0;0)

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G DABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) 60o

HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0),

3 2

a a a a

Gổỗ ; ; ửữ, Sổỗ ; ; xửữ

ố ứ ố ứ

Þ

3

a x=

Bài 5. Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB,

SC Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vng góc với (SBC)

HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), 3

a

Aổỗỗ ; 0; 0ửữữ

è ø (SO = h)

Þ 2 10

12 16

AMN SBC a AMN a

AMN SBC n( ) (n ) h S AM AN

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C'

HD: Chọn hệ trục toạ độ cho:

3 3

0 0 0 0

2 2 2 2

a a a a a a a a

A( ; ; ), Bỗổ ; ; ữử,Cỗổ- ; ; ư÷, '( ; ; ), 'A a B çỉ ; ;a Cư÷, 'ỉç- ; ;aư÷

è ø è ø è ø è ø

Þ ( ) 21

7

a d A B B C' ; ' ' =

Bài 7. Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB = 3, AC = AD = Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)

Bài 8. Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh 1, O trọng tâm tam giác DABC I

là trung điểm cuûa SO

a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ số thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC

b) H chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh IH qua trọng tâm G

DSAC

HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: O(0; 0; 0), 0

Aổỗỗ ; ; ö÷÷

è ø;

3

Bổỗỗ- ;- ; ửữữ

ố ứ;

3

Cổỗỗ- ; ; ửữữ

ố ứ;

6 0

3

Sổỗỗ ; ư÷÷

è ø;

6 0

6

Iổỗỗ ; ; ửữữ

ố ứ

1

SBCM SABC

V V

( )

( )

Þ =

Bài 9. Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1D

HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A1 (0;0;2a), 1 2

a a

C ổỗỗ ; ; aửữữ

ố ứ, D(0;a;a)

ị Giỏ tr ln

1

2 15

DC M a

S = khi M º A

Bài 10. Cho tứ diện SABC có đáy DABC vuông cân B, AB = a, SA^(ABC) SA = a

AH SB^ H, AK SC^ K a Chứng minh HK SC^

b Gọi I HK BC= Ç Chứng minh B trung điểm CI c Tính sin góc j SB (AHK)

d Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC

ĐS: a/ HK SCuuur uur =0; c/

6; d/

3

a SJ JC R= , =

Bài 11. Cho tứ diện SABC có đáy DABC vuông cân B, AB = a, SA^(ABC) SA a= Gọi D trung điểm AC

a Chứng minh khoảng cách từ A đến (SBC) gấp đôi khoảng cách từ D đến (SBC)

chóp SAMN

c Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (SBC)

ÑS: a/ 6

3

A a B a

d = ;d = b/

18

a d/

3

Bài 12. Cho DABC cạnh a Trên đường thẳng d^(ABC) A lấy điểm S, SA = h a Tính d(A, (SBC)) theo a h

b Đường thẳng D^(SBC) trực tâm H DSBC, chứng tỏ D qua điểm cố định S di động d

c D cắt d S/ Tính h theo a để SS/ nhỏ nhất.

ÑS: a/

2

3

ah

a + h ; b/ Trọng tâm DABC d/

2

2

a a ; h=

Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA^(ABCD) SA a= Mặt phẳng (P) qua A ( )a ^SC; (P) cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K

a Chứng minh AH SB AK SD^ , ^ b Chứng minh BD // (a) BD // HK

c Chứng minh HK qua trọng tâm G DSAC d Tính VS.AHMK

ĐS: a/ uuur uur uuur uuurAH SB AK SD = =0 b/

BD n a = ; BD= HK

uuur r uuur uuur

;

c/ HG/ / GK; d/

18

a .

Bài 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, SA^(ABCD) ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = 2a N trung điểm SD

a Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN)

b Tính cosin góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC)

c Gọi M trung điểm SA Tìm điều kiện a b để ·

3

CMN

cos =

Trong trường hợp tính VS.BCNM

ĐS: a/

2

2 2 4 5

a ab

a b

; ;

+ b/ 20 5

b

a + b ; c/

3

a a b V= ; =

Bài 15. Trong mp(P) cho hình vng ABCD Trên tia Az^( )a lấy điểm S Đường thẳng

1 SBC

( ) (D ^ ) S cắt (P) M, ( ) (D2 ^ SCD) S cắt (P) N Gọi I trung điểm MN a Chứng minh A, B, M thẳng hàng; A, D, N thẳng hàng

b Khi S di động Az, chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định

c Vẽ AH ^ SI H Chứng minh AH đường cao tứ diện ASMN H trực tâm

DSMN

d Cho OS = 2, AB = Tính VASMN

ĐS: a/ MA h AB NA h ADuuur= 2uuur uuur, = 2uuur; b/ 2 0 2

h h

Iổỗ- ;- ; ửữẻAC;

c/ AH ^(SMN MN SH SM AH); ^ ; ^ ; d/ 16

3

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có SA^(ABCD), đáy ABCD hình vng cạnh a Trên cạnh BC, CD lấy điểm M, N Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a)

a Tìm hệ thức x y để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) 45o b Tìm hệ thức x y để (SAM) (^ SMN)

ÑS: a/ 4a4-4a x y3( + +) 2axy x y( + -) x y2 =0 b/ x2-ax ay+ =0

Bài 17. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a 2, đường cao SO, cạnh bên

a

a Tính thể tích hình chóp Xác định tâm Ivà bán kính R hình cầu (S) nội tiếp hình chóp b Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD Q R Tính diện tích thiết diện

c Chứng tỏ mặt phẳng (MNP) chia hình chóp hai phần tích

ĐS: a/

3

a a

V = ;OI R= = b/ a2 2 c/ 2

3

a .

Bài 18. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, đường cao SO Mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB tạo với đáy góc 300 cắt cạnh SC,

SD M, N

a Tính góc AN với (ABCD) BD b Tính khoảng cách AN BD c Tính thể tích hình khối ABCDMN

ÑS: a/

13

sinj= b/

22

a c/ 5 3

48

a .

Bài 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O Trên tia Oz^(ABCD) lấy điểm S, mặt phẳng (SAD) tạo với đáy góc a

a Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung SA CD

b Mặt phẳng (b) qua AC vng góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

ĐS: a/ a 2.sina b/ cos2a

Bài 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB= 2, AD = 4, AA¢ = Gọi I, J trung điểm AB, CD¢ Gọi M, N thỏa uuurAM mAD BN mBB= uuur uuur, = uuuur/ (0£ £m 1)

a Tính khoảng cách từ A đến (BDA¢) b Chứng minh I, M, J, N đồng phẳng

c Xác định tâm K bán kính R mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA¢ d Tính bán kính r đường trịn giao (S) (BDA¢)

ĐS: a/ 12

7 b/ [ , ].IN IJ IM =0

uur uur uuur

c/ K( ; ; ),1 R= 14; d/ 5 26

7

Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh Gọi M, N trung điểm AB DD¢

a Chứng minh MN // (BDC¢) Tính MN d(MN, (BDC¢))

c Tính bán kính R đường trịn (ABD)

ĐS: a/

3

MN n = ; MN = ; d= ;

uuuur r

b/ V =1;j =30o; c/ 2

3

Bài 22. Cho lăng trụ OAB.O¢A¢D đáy DOAB vuông O, OA= a, OB = b, OO/ = h Mặt phẳng (P) qua O vng góc AB¢

a Tìm điều kiện a, b, h để (a) cắt cạnh AB, AA/ I, J (I, J không trùng A, B, A/). b Với điều kiện tính: SDOIJ tỉ số thể tích phần thiết diện chia lăng trụ

ÑS: a/ a h< b/ 2

2 2 2

2

2 3

V

a b a b h a

S

V

h a( b ) ; a h b h a

+ +

= =

+ +

-Bài 23. Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vng A, SC^(ABC) SC = AB = AC =

2

a Các điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a Tính độ dài đoạn MN, tìm t để đoạn MN ngắn

b Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA

ĐS: a/ 3 4 2

3

a a

MN = t - at+ a ; min= ,t= b/ MN^ AM MN CN, ^

Bài 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB= 3, BC = Cạnh bên

SA^(ABC) vaø SA =

a Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

b Trên AB lấy điểm E với AE = x Mặt phẳng (P) qua E song song với SA BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Tìm x để diện tích lớn

ÑS: a/ 41

2

SI IC R= ; = b/

2

S x

max = , =

Bài 25. Cho tam giác SAD hình vng ABCD cạnh a nằm mặt phẳng vng góc Gọi I trung điểm AD, M trung điểm AB, F trung điểm SB

a Chứng minh mặt phẳng (CMF) (^ SIB)

b Tính khoảng cách đường thẳng AB SD CM SA

ÑS: b/ 3

2

a ; a

Bài 26. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc

·BAD=60o Gọi M trung điểm cạnh AA¢ N trung điểm cạnh CC¢ a Chứng minh điểm B¢, M, D, N thuộc mặt phẳng b Tính cạnh AA¢ theo a để tứ giác B¢MDN hình vng

Bài 1: (A–2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC)

ĐS: 10

16

a S=

Bài 2: (A–2002) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho hai đường thẳng:

1

2

x y z

x y z

:

A ì -í + - + =+ - =

ỵ

1 2

x t

y t

z t

:

D ì = +ïí = +

ï = + ỵ

a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 song song với đường thẳng D2 b Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳngD2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ

ÑS: a/ ( ) :P 2x z- =0 b/ H( ; ; ) 3 Baøi 3: (B–2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a

a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D

b Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N

ÑS: a/

6

a ; b/

1

MP ^C N

Bài 4: (D–2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD)

ÑS: 34

17

Bài 5: (D–2002) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + = đường thẳng dm: 1

2

m x m y m

mx m z m

( ) ( )

( )

ì + + - + - =

í + + + + =

ỵ (m tham số)

Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)

ÑS:

2

m= -

Bài 6: (A–2003) Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A/C, D].

ĐS: 120o

Bài 7: (A–2003) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có A trùng với gốc hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A/(0; 0; b) (a >0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC/.

a Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a b b Xác định tỷ số a

b để hai mặt phẳng (A

ÑS: a/

4

a b; b/

1

a b =

Bài 8: (B–2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ·BAD=60o Gọi M trung điểm cạnh AA/ Nlà trung điểm cạnh CC/ Chứng minh bốn điểm B/, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MDN hình vng.

ĐS: a

Bài 9: (B–2003) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) điểm C cho uuurAC=( ; ; )0 Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA

ÑS:

Bài 10: (D–2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đường thẳng:

3

k x ky z

d kx y z

( ) : ì +í - + + =- + =

ỵ

Tìm k để đường thẳng (dk) vng góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + =

ÑS: k =

Bài 11: (D–2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng D Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với D AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a

ÑS:

2

a a

R= ; AH=

Bài 12: (A–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S( ; ;0 2) Gọi M

trung điểm cạnh SC

a Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM

b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

ĐS: a/ 30

o;

Bài 13: (B–2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy j((0o< <j 90o) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo j Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a j

ĐS: 2

6

a

.tan ;j tanj

Bài 14: (B–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) đường thẳng

d: 13

1

x t

y t

z t

ì = - + ï

= -í

ï = - + ỵ

ĐS: 4

3

x y z

( ) :D + = + =

Bài 15: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a; 0; 0), B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b >

a Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a, b

b Cho a, b thay đổi, thỏa mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 lớn

ÑS: a/

2

ab

a +b ; b/ 2; a b= =2

Bài 16: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z – = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P)

ĐS: (x-1)2+y2+ -(z 1)2 =1.

Bài 17: (A–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: 3

1

x- = y+ = z

-và mặt phẳng (P): 2x y+ -2z+ =9

a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)

b) Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng D nằm mặt phẳng (P), biết D qua A vng góc với d

ÑS: a) I1( ; ; ), ( ; ; )-3 I2 1- b) A(0; –1; 4); D:

x t y

z t

ì = ï

= -í ï = + ỵ

Bài 18: (B–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ với A(0; –3; 0), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0), B¢(4; 0; 4)

a) Tìm toạ độ đỉnh A¢, C¢ Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC¢B¢)

b) Gọi M trung điểm A¢B¢ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC¢ Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A¢C¢ điểm N Tính độ dài đoạn MN

ĐS: a) A¢ (0; –3; 4), C¢ (0; 3; 4); (S): 32 576 25

x + +(y ) +z =

b) (P): x+4y-2z+12 0= ; MN = 17

2

Bài 19: (D–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 2

3 12

x y z x y z

d vaø d

x y

: - = + = + :ì + - - =í + - =

- ỵ

a) Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2

b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ)

ÑS: a) (P): 15x+11y-17z-10 0= b) SDOAB =

Bài 20: (A–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢

a) Tính khoảng cách hai đường thẳng A¢C MN

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A¢C tạo với mặt phẳng Oxy góc a, biết

1

cosa =

ĐS: a) d(A¢C, MN) =

2 b) (Q1): 2x y z- + - =1 0, (Q2): x-2y z- + =1

Bài 21: (A–2006) Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O¢, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường trịn đáy tâm O¢ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO¢AB

ÑS: V = 3

12

a

Bài 22: (B–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng:

1 1 2 11

2 1 2

x t

x y z

d vaø d y t

z t

: = - = + :ì = +ïí =

ï = +ỵ

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng

ÑS: a) (P): x+3y+5z- =3 b) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1)

Bài 23: (B–2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD =

2

a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

ÑS: VAINB =

36

a

Bài 24: (D–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng:

1 2 2 1

2 1

x y z x y z

d : - = + = - vaø d : - = - = +

-

-a) Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1

b) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vng góc với d1 cắt d2

ĐS: a) A¢ (–1; –4; 1) b) D:

1

x- y- z

-= =

-

-Bài 25: (D–2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM

ÑS: V = 3 3

50

a .

Bài 26: (A–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1 2 11

2 1 3

x t

x y z

d vaø d y t

z

: = - = + :ì = - +ïí = +

- ï =

ỵ

a) Chứng minh d1 d2 chéo

đường thẳng d1, d2

ÑS: b) d:

7

x- y z+ = =

-

Bài 27: (A–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP

ĐS: VCMNP = 3

96

a .

Bài 28: (B–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): x2+y2+z2-2x+4y+2z- =3 0, (P): 2x y- +2z-14 0=

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn

ÑS: a) (Q): y-2z=0 b) M( ; ; )- - -1

Bài 29: (B–2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC

ÑS: d(MN, AC) =

4

a

Bài 30: (D–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) đường thẳng D:

1

x- y+ z

= =

-

a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB)

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D cho MA2+MB2 nhỏ

ÑS: a) d: 2

2 1

x y- z

-= =

- b) M(–1; 0; 4)

Bài 31: (D–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, · ·ABC BAD= =900, BA = BC =

a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh DSCD vng tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

ÑS: d(H, (SCD)) =

3

a

Bài 32: (A–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng

2

x y z

d: - = =

-a) Tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn

Bài 33: (A–2008) Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A¢ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A¢.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA¢, B¢C¢

ĐS: V =

2

a

4

cosj=

Bài 34: (B–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(– 2; 0; 1)

a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y z+ - =3 cho MA = MB = MC

ÑS: a) x+2y-4z+ =6 0 b) M(2; 3; –7)

Bài 35: (B–2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB =

3

a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN

ÑS: V = 3

3

a ;

5

cosj =

Bài 36: (D–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3)

a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

ÑS: a) x2+y2+z2-3x-3y-3z=0 b) H(2; 2; 2)

Bài 37: (D–2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA¢ = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ khoảng cách hai đường thẳng AM, B¢C

ĐS: V =

2 a ; d = 7

a

Bài 38: (A–2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm

của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

ĐS: V = 3 15

5

a

Bài 39: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y z- - =4

và mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-4y-6z- =11 0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt

cầu (S) theo đường trịn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn

ĐS: H(3; 0; 2), r =

Bài 40: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z- =1 va

hai đường thẳng 1 2

1 2

x y z x y z

: , :

D + = = + D - = - = +

đường thẳng D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

ÑS: 18 53

35 35 35

Mổỗ ; ; ö÷

è ø

Bài 41: (B–2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có BB¢ = a, góc đường thẳng BB¢

và mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C ·BAC=600 Hình chiếu vuông

góc điểm B¢ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A¢.ABC theo a

ÑS: V = 9

208

a

Bài 42: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)

ĐS: (P): 4x+2y+7z-15 0= (P):2x+ - =3z 0

Bài 43: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z- =5

và hai điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ

ÑS: D:

26 11

x+ y z

-= =

-

Bài 44: (D–2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A¢B¢C¢ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA¢ = 2a, A¢C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A¢C¢, I giao điểm AM A¢C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

ÑS: V = 4

9

a , d = 2 5

a

Bài 45: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P): x y z+ + -20 0= Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

ÑS: 1

2

Dổỗ ; ;- ư÷

è ø

Bài 46: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 2

1 1

x y z

:

D + = - =

-và mặt phẳng (P): x+2y- + =3z Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng D

ÑS: d: 23

x t

y t

z t

ì = - + ï

= -í ï = -ỵ