Trong các bài t ập mục VII từ BT2 đến BT5 hãy vi ết phương tr ình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị h àm s ố. Về các điểm cực trị phải thoả mãn một số điều kiện nào đó.[r]
(1)Chủ đề I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
1 Hàm số dạng y = ( ) ( ) f x
g x (1) TXĐ: D = x D g(x) g 0D \ x g D g(x) = 0g
2 Hàm số dạng y = f x ( ) (2) TXĐ: D = x D f(x) f 0
3 Hàm số có dạng y = lnf(x) TXĐ: D = x D f(x) > 0f
Do ta chuyển tốn tìm tập xác định hàm số vào chủ đề phương trình hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình
II TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 Tìm tập giá trị định nghĩa.
ĐN. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D y một giá trị thuộc tập giá trị f(x) phương trình f(x) = y có nghiệm thuộcD.
PP Tìmđiều kện y để phương trình f(x) = y có nghiệm Phương pháp thường dùng cho hàm số có tập xác địnhR.
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị hàm số y = 1
x x
Giải:TXĐ.R \ 1 Phương trình y =
1
x x
2
1 yx y x x
( 2)
1
y x y x
y 2
Vậy tập giá trị hàm số là R \ 2
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị hàm số y =
2
2
2
x x x
Giải:TXĐ.R \
2
Phương trình y =
2
2
2
x x x
2
2yx + y = 2x - x - 1
x
2
2 (2 1)
1
x y x y
x
4y2 + 4y + + 8y + 4y2 + 12y + 0: Bất phương trình thoả với y Vậy tập giá trị hàm số là R.
Ví dụ 3. Tìm tập giá trị hàm số y =
2
1 x x
(2)y =
2
1 x x
2
yx - y = x x
2
0
x yx y x
y2- 4y y y
Vậy tập giá trị hàm số (; 0)(4;)
Ví dụ 4. Tìm tất giá trị m để ph ương trình (m-1)sinx + m(cosx - 2) = có nghiệm
Giải:
Phương trình tương đương m(sinx+ cosx - 2) = sinx (1)
Do sinx + cosx nên sinx + cosx - < Suy sinx + cosx - 0
(1) sin
sin cos
x
x x = m (2)
Đặt y = sin sin cos
x x x
TXĐ:R
Gọi y giá trị thuộc tập giá trị hàm số Khi phương trình y = sin
sin cos
x
x x có nghiệm
y = sin
sin cos
x
x x (y - 1)sinx + ycosx - 2y =
Phương trình có nghiệm khi (y - 1)2 + y2 (- 2y)2
2y2 + 2y -
- - - + y
2
Vậy phương trìnhđã cho có nghiệm - - m - +
2
BTII.1.
1) Tìm tập giá trị hàm số a)
2
1
x y
x
b) 2
x y
x
2) Tìm tất giá trị m để ph ương trình sauđây có nghiệm : sinx - 2cosx +
= - 2m sinx +
HD Cho hàm số y = f(x) xác định trên D Phương trình f(x) = k có nghiệm trên D chỉ k thuộc tập giá trị f(x)
3) Chứng minh -
2
cos cos
1 cos
x x
x x
, với (0; ) HD Tìm tập giá trị hàm số
2
cos cos
2 cos
x x
y
x x
(3)4)* Tìm ađể tập giá trị hàm số y x2 x a
chứa đoạn [0; 1]
5)* Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số
3
12 ( ) 36 x x a y
x
HD Tìm tập giá trị hàm số
3
12 ( ) 36 x x a y
x
2 Tìm tập giá trị phương pháp bất đẳng thức.
PP Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục D
Nếu m f(x) M, x D tập xác định f(x) [m; M] Nếu m f(x), x D tập xác định f(x) [m; +) Nếu f(x) M tập xác định f(x) ( - ; M]
Chú ý khơng có dấu bất đẵng thức phải thêm điều kiện giới hạn Ví dụ: f(x) > m, x D khơng thể kết luận tập giá trị f(x) (m; +)
mà phải có thêm điều kiện
0
lim
xx f(x) = m
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị hàm số y = 2
x x
Giải:Ta có 2
1
x x
, x R, y =
2
x x
liên tục R Vậy tập giá trị hàm số y =
2
2
x x
[-1; 1]
Ví dụ 2. y = x2 x x2 x
Giải:Ta có: y =
2
2
1
x
x x x x =
2
2
1 3
( ) ( )
2 4
x
x x
2
2
1
( ) ( )
2
x x x
=
1
2
x x x
1
2
x x x
= 2
x x =
Dấu khơng xảy hệ sau vơ nghiệm:
0
1
0 ( )( )
2)
0 x
x x x
x
Mặt khác ta có lim ( 2 2 1)
x x x x x = 2
2 lim
1
x
x
x x x x
= -
2
lim ( 2 1)
x x x x x = 2
2 lim
1
x
x
x x x x
=
(4)BTII.2 Tìm tập giá trị hàm số sau 1) y = x22x 3 x22x3 2) y = 4x2
3) y = (x2)(3 ) x 4) y = x 3 6x
3 Tìm tập giá trị phương pháp khảo sát biến thiên của hàm số.
PP Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục D Khảo sát lập bảng biến thiên, ta thấy tập giá trị hàm số
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị hàm số y = 2
x x
Giải:TXĐ:R
Ta có y' =
2
2
2(1 ) (1 )
x x
x
=
2 2
2(1 ) (1 )
x x
Bảng biến thiên:
Thấy tập giá trị [ -1; 1]
Ví dụ 2. y = x2 x x2 x
Giải:TXĐ:R
Ta có: y' =
2
2
2
x x x
-
2
2
x x x
* Nếu
2
x
2
y' * Nếu x
2
y' (x2- x + 1)(2x + 1)2 (x2 + x + 1)(2x - 1)2
-2x2 + 2x + x2- x + 2x2 + 2x - x2- x -
x2 1- x hay
2 x y' * Nếu x < -
2 y'
(x2- x + 1)(2x + 1)2 (x2 + x + 1)(2x - 1)2
-2x2 + 2x + x2- x + 2x2 + 2x - x2- x -
x2 1 x 1hoặc x hay với x < -
2 y' Bảng biến thiên:
Vậy tập giá trị hàm số (- 1; 1)
BTII.3 Tìm tập giá trị hàm số sau 1) y = x22x 3 x22x3
x - - + y' + -y 0 1
-1 0
x - + y' +
(5)2) y = x + 4x2 3) y = x + 4x2 4) y = x 4 4x
III ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
1 Điểm cố định.
ĐN.Điểm M(x0; y0) gọi điểm cố định đồ thị hàm số y = f(m, x), m
tham số, M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(m, x)
PP M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(m, x) y0 = f(m, x0), m
hay phương trình y0 = f(m, x0), thoảm
Vậy M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số y = f(m, x) khi ph ương trình y0 = f(m,
x0), thoảm Từ suy x0, y0
Ví dụ 1. Tìmđiểm cố định họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m -
Giải:M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số y = m(x- 1) + m - khi phương trình
y0 = m( x0- 1) + m - 1, thoảm.
mx0- - y0 = thoảm x0 = 0, y0 =
Ví dụ 2.Cho hàm số y = x3- 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) (1) 1) Chứng minh đồ thị luôn qua điểm cố định
2) Tìm tất cảcác giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn
Giải:
1) M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số
y = x3- 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) khi phương trình : y0 = x
3
0 - 3(m + 1)x
0 + 2(m
2
+ 4m + 1)x0- 4m(m +1 ) thoảm
(2x0- 4)m2- (3 x20- x0 + 4)m + x - x
2
0 + x0- y0 = thoảm
0
3
0 0
2
3
3
x
x x
x x x y
x0 = 2, y0 =
2) Từ 1) cho ta thấy y = ph ương trình:
x3- 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) = có nghiệm x = Vì phương trình tương đương với ( x- 2)[x2- (3m + 1)x + 2m(m +1)] = Thấy nghiệm x = 2, x = 2m, x = m +
Ta phải có:
2
1
2
2
1 m m
m m m m
m >
2 m 1
Bài tập III.1.1
(6)2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt
Bài tập III.1.2 Tìmđiểm cố định đồ thị hàm số sau 1) y = x4 + mx2- m -
2) y =
2
2
x x n x n
3) y =
2
2x (1 m x) m x m
4) y = x3- (m + 1)x2- (2m2- 3m + 2)x + 2m( 2m - 1)
Điểm khơng có đồ thị n qua.
ĐN.Điểm M(x0; y0) gọi điểm khơng có đồ thị đồ thị hàm số y = f(m, x),
đó m tham số, qua M(x0; y0) không thuộc đồ thị hàm số y = f(m, x)
PP M(x0; y0) không thuộc đồ thị hàm số y = f(m, x) y0 = f(m, x0),
không thoảm hay phương trình y0 = f(m, x0), vơ nghiệm m
Từ suy x0, y0
Ví dụ 1. Tìm tất điểm mặt phẳng m khơng có đồ thị họ đường thẳng: y = m(x - 2) + m2- qua
Giải: GọiM(x0; y0) điểm y0 = m(x0- 2) + m2- 1, vô nghiệm m
m2 + (x0- 2)m - - y0 = 0, vô nghiệm m
(x0- 2)2- 4(1 + y0) <
y0 >
1 4(
2
x x )
Đó ph ần parabol y = 4(
2
4
x x ) (phần mặt phẳng chứa điểm (0; 1)
Ví dụ 2. Tìm tất điểm đường thẳng y = cho đồ thị họ y =
2
m x +
x qua
Giải: GọiM(x0; 1) điểm =
2 0
m x +
x , vơ nghiệm m Phương trình
2
0
0
x m = x - x
(1)
Thấy hệ (1) vô nghiệm m x0 = x0 <
Đó tập hợp điểm thuộc đ ường thẳng y = 1, có hồnh độ x <
Bài tập III.2.1.
1) Tìm tất điểm mặt phẳng cho đồ thị họ đồ thị sau qua:
2
x + mx - y =
x - m
2) Tìm tất điểm mặt phẳng cho đồ thị họ đồ thị sau qua:
2
(m - 2)x - (m - 2m + 4) y =
x - m
3. Điểm có số đồ thị qua.
f(x)=(x^2-4x)/4
-8 -6 -4 -2
-8 -6 -4 -2
(7)ĐN.Điểm M(x0; y0) có k đồ thị họ đồ thị hàm số y = f(m, x) qua M(x0; y0) thuộc
vào k đồ thị họ
PP. Điểm M(x0; y0) có k đồ thị họ đồ thị hàm số y = f(m, x) phương trình
y0= f(m, x0) có k nghiệm m
Ví dụ. Chứng minh điểm mặt phẳng bên phải trục tung có hai đồ thị họ đồ thị hàm số
2
(m + 1)x - m y =
x - m qua
Giải: Gọi A(x0; y0) , x0 > Xét phương trình
2
0
0
(m + 1)x - m y =
x - m (1)
(1)
2 2 2
2 2 2
2
2
yx - ym = mx + x - m m - (x + y)m - x + x y = (1)
x - m x - m
Δ = (x + y) + 4x - 4xy = x + 2x y + y + 4x - 4xy = = y + 2(x - 2x)y + x + 4x
δ' = (x - 2x) x - 4x = - 4x
< 0, x >
Δ > 0, x > 0, y
Suy (1) có hai nghiệm phân biệt
Bài tập III.3.1.
1) Chứng minh điểm mặt phẳng không thuộc trục tung có hai đồ thị họ đồ thị hàm số
2
x - mx - m y =
x + m qua
2) Những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có bao nhi đồ thị họ đồ thị hàm số sau qua: y = x4- 2mx2 + m2 + qua
3) Cho hàm số
2
- x + mx - m y =
x - m , (Cm) a) Khảo sát hàm số m =
b) Tìm mđể hàm số có cực đại, cực tiểu Khi viết ph ương trìnhđường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu hàm số
c) Tìm mặt phẳng điểm có hai đồ thị họ (Cm) qua
IV VẤN ĐỀ ĐỐI XỨNG. 1 Trục đối xứng.
Ta xét trục đối xứng đường thẳng vng góc trục hoành
ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có trục đối xứng l đường thẳng x = x0 qua phép biến
đổi x = x + X0 y = Y
hàm số cho trở thành Y = f(x0 + X) hàm số chẵn
Ví dụ 1:Chứng tỏ đồ thị hàm số y = x4- 4x3- 2x2 + 12x - có trục đối xứng Từ suy hồnh độ giao điểm đồ thị với trục hoành
Giải:
Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị hàm số
Khi qua phép biến đổi: x x0 X y Y
hàm số cho trở thành:
(8)= x04 4x Xo3 6x Xo2 2 4x X0 3 X4 4x0312x X02 12x X0 2 4X3
2x02 4x X0 2X2+
0
12 12
1
x X
Y hàm số chẵn X
3
0 0
4
4 12 12
x
x x x
Suy ra: x0 =
Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng đường thẳng x =
*Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành.
Theo trên, x0 = Y = X4- 8X2 +
Hoành độ giao điểm đồ thi với trục hồnh nghiệm phương trình: y = Y = X4- 8X2 + =
X2 = 10
X = 4 10 , X = 4 10
Suy phương trình có nghiệm: x = 1 4 10 , x = 1 4 10
Hoành độ giao điểm với trục hoành : x = 1 4 10 , x = 1 4 10
***Từ ví dụ ta suy phương pháp giải phương trình bậc bốn vế trái phương trình hàm mà đồ thị cuả có trục đối xứng
Ví dụ 2:Giải phương trình x4 + 8x3 + 12x2- 16x + = Đặt y = x4 + 8x3 + 12x2- 16x +
Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị hàm số
Khi qua phép biến đổi: x x0 X y Y
hàm số cho trở thành:
Y = (x0 + X)4 + 8(x0 + X)3 + 12(x0 + X)2- 16(x0 + X) + =
= x04 4x Xo3 6x Xo2 2 4x X0 3 X4
-3 2
0 0
8x 24x X 24x X 8X
2
0
12x 24x X 12X
0
16 16
3
x X
Y hàm số chẵn, suy ra: x0 = -
Y = X4- 12X2 + 35
Y = X2 = 5, X2 = X = 5, X = Suy bốn nghiệm X =- 5, X = -
Bài tập tương tự:
(9)ĐS ố: x = 2
, x =
BT2 Giải phương trình 6x4 + 24x3 + 23x2- 2x - = ĐS ố: x =-
3
, x = -
BT3 Chứng tỏ đồ thị hàm sốy = x4 + 8x3 + 12x2- 16x + có trục đối xứng Từ suy hoành độ giao điểm đồ thị với trục hồnh
BT4 Tìm tất giá trị a để đồ thị hàm số sau có trục đối xứng: y = ax4 + 4x3- 2ax2 +
2 Tâm đối xứng.
ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có tâm đối xứng M0(x0, y0) qua phép biến đổi
0
x = x + X y = y + Y
hàm số cho trở thành Y = f(x0 + X) - y0 hàm số lẻ
Ví dụ 1:Chứng tỏ đồ thị hàm số y = 4x3- 2x2 + 12x - có tâm đối xứng
Giải:
Với M0(x0, y0) : Qua phép biến đổi
0
x = x + X y = y + Y
hàm số cho trở thành
3
0 0
Y = 4(x + X) - 2(x + X) + 12(x + X) + - y0 =
= 4x0312x Xo2 12x X0 2 4X3
-2
0
2x 4x X 2X
+
+ - y0
Y hàm số lẻ 30 2
0 0
12x - =
4x - 2x + - y =
0
0
1 x =
6 97 y =
98
Vậy, đồ thị hàm số có tâm đối xứng M0 97; 98
**Chú ý: Bài tốn u cầu tìm tâmđối xứng hay chứng minh đồ thị có tâm đối xứ ng ta tìm tâmđối xứng
Đối với hàm số bậc ba, bạn tâm đối xứng l điểm uốn đồ thị, khơng chứng minh " có tâm đối xứng"
Ví dụ 2:Tìm tâmđối xứng đồ thị hàm số
2
x - 2x y =
x -
(10)Giả sử M0(x0, y0) tâm đối xứng Qua phép biến đổi
0
x = x + X y = y + Y
hàm số cho trở thành
2 2
0 0 0
0
0
2
0 0 0 0
0
( ) 2( ) 2( 1)
( ) 1
(2 2)
1
x X x X X x X x x
y Y
x X x X
X x y X x x x y y
Y
x X
Y phải hàm số lẻ, mẫu thức hàm số lẻ, tử thức phải hàm số chẵn Suy ra: 0
0 0
1
2 0
x x
x y y
Vậy tâm đối xứng đồ thị M0(1, 0)
**Chú ý: Nếu bạn dùng tính chất giao điểm hai tiệm cận l tâm đối xứng để thấy M0(1, 0),
rồi cho dù bạn dùng định lý để chứng minh M0(1, 0) tâm đối xứng đồ thị, qua phép
biến đổi x = + X y = + Y
hàm số cho trở thành
2
(1 X) 2(1 X) X Y
X X
hàm số lẻ
thì lời giải chưa trọn vẹn bạn chưa trả lời câu hỏi: cịn khơng ?
Ví dụ :Chứng minh rằngM(- 1; - 2) tâm đối xứng đồ thị hàm số
2
x y =
x +
Giải:
Qua phép biến đổi x = -1 + X y = + Y
hàm số cho trở thành
2 2
( ) 1
2
( )
X X X X
Y Y
X X X
Y hàm số lẻ Suy đpcm
Bài tập tương tự:
BT1 Chứng tỏ đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng: 1) y = - 3x
2x - 2) y =
2
2x + x - x - 3) y = 2x3- 3x2 +
BT2 Tìm tâmđối xứng đồ thị hàm số: 1) y = + 3x
2x - 2) y =
2
2x - x - x + 3) y = x3- x2 + x -
**Chú ý: Cần đủ để điểm M'(x'; y') điểm đối xứng M(x: y) qua i) M0(x0; y0)
0
x + x' = 2x y + y' = 2y
Đặc biệt qua O(0; 0)
x + x' = y + y' =
ii) Đường thẳng y = m x = x' y + y' = 2m
Đặc biệt qua trục hoành
x = x' y = - y'
(11)3i) Đường thẳng x = m x + x' = 2m y = y'
Đặc biệt qua trục tung
x = - x' y = y'
4i) Phân giác y = x x' = y y' = x
, phân giác y = - x
x' = - y y' = - x
5i) Đường thẳng Ax + By + C = : Xem Ph ương pháp toạ độ mặt phẳng
Ví dụ1 :Tìm tất cặp điểm M,N đồ thị hàm số
2 x x y x
đối xứng qua I (0; 5/2) Giải: Gọi M(x1 y1), N(x2 y2) Ta có
2 1 1 x x y x , 2 2 2 x x y x
, x1 + x2 = 0, y1 + y2 =
Suy ra: x1 = - x2 , y1 = - y2 ,
2 1 1 x x y x
,
-2 1 1 x x y x
Suy ra:
2 1 x x x + 1 x x x
Ví dụ2 :Tìm phương trìnhđường cong đối xứng với đ ường cong
2 2 x x y x
qua đường
thẳng y =
Giải: Gọi đồ thị hàm số
2 2 x x y x
(C), đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = là ( D)
M'(x'; y') ( D) M(x; y) đối xứng M'(x'; y') M(x; y) (C)
2 ' ' x x y x x x y y Suy
2 2
' ' ' ' ' '
4 ' '
' ' '
x x x x x x
y y
x x x
hay
2 2 x x y x
hàm số
có đồ thị( D). Bài tập tương tự:
BT1 Với giá trị m trênđồ thị hàm số y = x3- (m + 3)x2 + mx + m + có cặp điểm đối xứng qua O Tìm cặp điểm m =
BT2 Cho hàm số y = x3 + 2x2- 4x -
Chứng tỏ đồ thị cắt trục hoành A(-3; 0) Tìm Bđối xứng A qua tâm đối xứng đồ thị
BT2 Viết phương trìnhđường cong đối xứng đường cong y = x3 + 3x2- qua đường thẳng x =
V VẤN ĐỀ TIẾP XÚC. 1 Tiếp tuyến đồ thị
1.1 Tiếp tuyến M0(x0; y0).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến tạiM0(x0; y0) (C) là:
(12)1.2 Tiếp tuyến qua M0(x0; y0).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Gọid đường thẳng qua M0(x0; y0).Khi phương trình
d y = k( x - x0) + y0 d tiếp tuyến của(C) chỉ hệ phương trình sau có nghiệm:
0
( ) ( ) ( )
'( )
f x k x x f x f x k
(nghiệm x hệ hoành độ tiếp điểm)
VD1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
2
1 x y
x
, (C) :
1) Tại M(3; 9/2) 2) Đi qua N(2; 0)
Giải: Ta có y ' =
2
2 ( 1)
x x
x
1) y'(3) = 3/2 Suy phương trình tiếp tuyến 3( 3)
2
y x hay
2
y x
2) Gọid đường thẳng qua N(2; 0) Khi ph ương trình d y = k(x - 2)
d tiếp tuyến của(C) chỉ hệ phương trình sau có nghiệm:
2
2
( 2) (1)
2
(2) ( 1)
x
k x x
x x k x
Thay kở (2) vào (1) ta có:
2
2
0
2
( 2) 4
1 ( 1) ( 1) ( 2)
3
x x
x x x
x
x x x x x x
i) x = suy k = Ta có tiếp tuyến y =
ii) x =
3 suy k =
Ta có tiếp tuyến y =
(x - 2)
VD2 Tìm trênđường thẳng y = điểm kẻ đ ược hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
2
1 x y
x
hai tiếp tuyến vng góc với Giải.Vì y' =
2
2 ( 1)
x x
x
nên x = điểm cực trị dơ M(2; 4) điểm cực trị
đồ thị hàm số Suy đường thẳng y = tiếp tuyến đồ thị
Gọi A(a; 4) điểm thuộc đường thẳng y = đường thẳng qua A tạo với đ ường thẳng y = góc 450 nghĩa tạo với trục hồnh góc 450 có hệ sốgóc hoặc-1
i) Tiếp tuyến có hệ số góc 1: y = x - a +
Xét hệ phương trình
2
2
4
2 ( 1)
x
x a x
x x x
(13)Suy khơng có tiếp tuyến có hệ số góc tạo với đ ường thẳng y = góc 450 ii) Tiếp tuyến có hệ số góc - 1: y = - x + a +
Xét hệ phương trình
2
2
4 (1)
2
1 (2) ( 1)
x
x a x
x x x
Từ (2) suy 2x2- 4x + = x = Từ (1) suy
2 2
2 (2 1)
4
1 1
x x x x x x
a x
x x x
Do đó:
i) Khi x = +
2 Suy a = 2 1 Ta có A( 2 1 ; 4) ii) Khi x = -
2 Suy a = 2 1 Ta có A( 2 1 ; 4)
VD3 Cho y = 2x3- 3(m + 3)x2 + 18mx -
1) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành
2) Chứng minh parabol y = x2 có hai điểm khơng thuộc đồ thị (1) dù m lấy giá trị
Giải: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành khi hệ sau có nghiệm
3
2
2 3( 3) 18 (1) ( 3) (2)
x m x mx
x m x m
Từ (2) suy x = 3, x = m Thay vào (1):
i) x = 3: 54 - 27(m +3) + 54m - = 27m = 35 m = 35 27
ii) x = m: 2m3- 3(m + 3)m2 + 18m2- = m3- 9m2 + = m = 1, m =
2 Haiđồ thị tiếp xúc.
ĐN. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D).
(C) (D) gọi tiếp xúc điểm chung M0(x0; y0) nếu tiếp tuyến (C) và
(D) tạiM0(x0; y0) trùng nhau.
Đlý:Cần đủ để(C) (D) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x
(nghiệm hệ hoành độ tiếp điểm)
VD1 Cho hàm số
2
1 x x y
x
(C)
1) Tìm trục tung điểm từ kẻ đ ược tiếp tuyến đến đồ thị (C).
2) Tìm tất giá trị a để (C) tiếp xúc parabol y = x2 + a
Giải:
(14)d tiếp tuyến của(C) chỉ hệ phương trình sau có nghiệm:
2
2
1
(1)
2
(2) ( 1)
x x
kx a x
x x
k x
Thay kở (2) vào (1):
2
2 2
2
1
( 1)( 1) ( ) ( 1)
1 ( 1)
x x x x
x a x x x x x x a x
x x
ax2- 2(a + 1)x + a - =
i) a = 0: Phương trình có nghiệm
ii) a 0: Phương trình có nghiệm ' 3a + a - 2) (C) tiếp xúc parabolkhi hệ phương trình sau có nghiệm:
2
2
2
1
(1)
2
2 (2) ( 1)
x x
x a x
x x
x x
Từ (2) suy x = 22
( 1) x x
x = 2x
2
- 5x + = x = Thay vào (1) ta có a = -
VD2 Cho hàm số y = (x -1)2(x + 1)2, (C)
1) Tìm trục tung điểm từ kẻ đ ược tiếp tuyến đến đồ thị (C).
2) Tìm tất giá trị b để (C) tiếp xúc parabol y = 2x2 + b
Giải:
1) Gọi điểm thuộc trục tung A(0; a) đ ường thẳngd qua A: y = kx + a
d tiếp tuyếncủa(C) chỉ hệ phương trình sau có nghiệm:
4
3
2 (1) 4 (2)
x x kx a
x x k
Thay aở (2) vàp (1): 3x4- 2x2 = - a (3)
Đặt f(x) = 3x4- 2x2 , Suy f '(x) = 12x3- 4x Hàm số đạt cực tiwr x =
3
Suy minf(x) = -
Hệ phương rình có nghiệm khi phương trình (3) có nghiệm - a - a
4 2) (C) tiếp xúc parabol y = 2x2 + b hệ phương trình sau có nghiệm
4 2
3
2 + b (1) 4 (2)
x x x
x x x
Từ (2) suy x = , x =
i) x = 0: b = ii) x = 2: b = -
Bài tập tương tự:
(15)2) Gọi A điểm cố định có hồnh độ dương (Cm) Tìm mđể tiếp tuyến A (Cm) song song với đường thẳng y = 2x
BT2 Cho hàm số y= 3x
3
- mx2 + (2m - 1)x - m + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi (C) của hàm số m =
2) Qua A(4/9; 4/3) kẻ tiếp tuyến đến (C) Viết phương trình tiếp tuyến 3) Với giá trị m hàm số (1) nghịch biến (- 2; 0)
BT3 Cho hàm số y = mx2- mx -
1
mx y
x
1) Chứng minh hai đồ thị hai hàm số có điểm cố định
2) Tìm m để điểm cố định trở thành tiếp điểm Viết phương trình tiếptuyến chung tiếp điểm
BT4 Cho hàm số y = 2x3- 3(m + 1)x2 + 18mx - (1) 1) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành
2) Chứng minh parabol y = x2 có hai điểm khơng thuộc đồ thị hàm số (1) dù m lấy giá trị
HD.
1) Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm:
3
2
2 3( 3) 18 (1) ( 3) (2)
x m x mx
x m x m
Để ý (2) có nghiệm x = 3, x = m
2) Gọi điểm M0(x0; y0) hệ phương trình sau vơ nghiệm m:
3
0 0
2
0
2 3( 3) 18 (1) (2)
y x m x mx
y x
Suy phương trình x02 2x033(m3)x0218mx08 vơ nghiệm m
0 0
2x (3m10)x 18mx 8 0vô nghiệm m
0 0
(18x 3x m) 2x 10x 8 vô nghiệm m
BT5 Cho hàm số y =- x4 + 2mx2- 2m + có đồ thị (Cm)
1) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua hai điểm cố định A, B 2) Tìm mđể tiếp tuyến (Cm) A B vng góc với
BT6 Tìm mđể hai đường cong y = x3- y = - mx2 tiếp xúc với Từ suy m > để phương trình x3 + mx2- = có nghiệm
BT7 Viết phương trình tiếp tuyến chung cặp đường cong sau: 1) y = x2- 2x + y = x2- 4x +
2) y = x2- 5x + y = - x2- x - 14
***Chú ý: Đường thẳng y = px + q tiếp tuyến parabol y = ax2 + bx + c chỉ phương trình ax2 + bx + c = px + q hay ax2 + (b - p)x + c - q = có nghiệm kép, tức
= (b - p)2- 4a(c - q) = 0
VD Viết phương trìnhđường thẳng qua A(1; 2) tiếp xúc parabol y = 2x2 + x +
Giải: Đường thẳngd qua A: y = k(x - 1) +
d tiếp tuyến parabol khi ph ương trình 2x2 + x + = k(x - 1) + có nghiệm kép
(16)3 Họ đường thẳng tiếp xúc đ ường cong cố định.
Bài toán Chứng minh họ đường thẳng (dm) luôn tiếp xúc đường cong cố
định
Phương pháp. Tìm điểm mặt phẳng mà họ đường thẳng (dm) không qua với m Biên tập hợp cần tìm làđường cong cố định cần tìm
VD1 Chứng minh tiệm cận xiên họ: y =
2
(m 1)x m x m
luôn tiếp xúc parabol
cố định
Giải:Họ tiệm cận xiên (dm) : y = (m + 1)x + m2 + m
M(x: y) điểm thuộc mặt phẳng cho khơng có đ ường thẳng (dm) qua
phương trình y = (m + 1)x + m2 + m vô nghiệm m m2 + (x + 1)m + x - y = vô nghiệm m
= (x + 1)2- 4(x - y) < y < - 4(x - 1)
2
Ta chứng minh (dm) tiếp xúc với parabol y =
-1 4(x - 1)
2
Thật vậy, xét phương trình: (m + 1)x + m2 + m = -
4(x - 1)
2
4(m + 1)x + 4m2 + m = - (x - 1)2
x2 + 2(2m + 1)x 4m2 + m + =
Phương trình có nghiệm kép với m Suy điều phải chứng minh
VD2 Chứng minh họ đường thẳng phụ thuộc thâm số :
(x1) cos(y1) sin 4 0 (d) luôn tiếp xúc đường tròn cố định
Giải:M(x; y) điểm thuộc mặt phẳng cho khơng có đ ường thẳng họ qua
phương trình (x1) cos(y1) sin 4 vơ nghiệm
(x - 1)2 + (y - 1)2 < 16
Xét đường tròn: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 16 có tâm I(1; 1), R = Ta có d(I, d) = 2 2
cos sin
= R Suy họ đường thẳngd tiếp xúc đường tròn cố định: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 16
Bài tập tương tự:
BT1 Chứng minh họ đường thẳng 4x - 2my + m2 = luôn tiếp xúc parabol cố định
BT2 Chứng minh tiệm cận xiên họ: y =
2
mx x m x m
luôn tiếp xúc parabol cố
định
BT3 Chứng minh họ đường thẳng xcosysincos sin 2 0ln ln tiếp xúc đườngtrịn cố định
VI VẤN ĐỀ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ.
ĐLý. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D).
Xét hệ phương trình ( ) ( ) y f x y g x
(17)Từ hệ phương trình suy phương trình: f(x) = g(x) ( phương trình cho biết hồnh độ điểm chung (nếu có) (C) (D)).
(C) (D) có điểm chung hệ ( ) ( ) y f x y g x
hay phương trình f(x) = g(x)
có nhiêu nghiệm Từ có hai toán:
i) Biện luận số điểm chung hai đồ thị (C) (D) dựa vào hệ phương trình ( )
( ) y f x y g x
hay phương trình f(x) = g(x)
ii) Biện luận số nghiệm ph ương trình f(x) = g(x) hay hệ phương trình ( ) ( ) y f x y g x
dựa
vào số điểm chung hai đồ thị (C) (D)
VD1 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx +1, (Cm)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
2) Chứng minh với m đồ thị (Cm) luôn cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2x2+ hai điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB
3) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm C(0; 1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D, E vng góc với
Giải. 2) Xét phương trình x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2+ x2 + mx - = (*) Thấy phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt Suy đpcm
Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) điểm chung Khi x1, x2 nghiệm (*)
x1 + x2 = - m, x1x2 = - và:
3
1
y x x , y2 x232x227 Gọi I(x; y) trung điểm AB : x =
1
( )
2
m
x x m = - 2x, x1 + x2 = 2x
3 2
1
1 2
1
2
y y
y x x x x + = 1 23 1 2( 1 2) 1 22 1 2
2 x x x x x x x x x x
= 2
8 3( 6)(2 ) 2( 6) 2 x x x = 4x
3
+ 4x2 + 18x + 19 Suy quỷ tích y = 4x3+ 4x2 + 18x + 19
3) Xét phương trình x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 3x2 + mx =
2 (1)
3 (2) x
x x m
Với (1), ta có C(0; 1)
(2) có hai nghiệm phân biệt khi - 4m > m < 4/9
Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) làcác điểm chung khác C Khi x1, x2 nghiệm (2)
x1 + x2 = - x1x2 = - m và:
2
1 1
'
y x x m,
2 2
'
y x x m
Theo giả thiết : 1 y y1' 2' 3x126x1 m3x226x2m Khai triển dạng tổng tích x1,
x2 Áp dụng Viet Ta có giá trị cần tìm m
VD2 Cho hàm số y = x3- 3x2 +
(18)2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm ph ương trình x3- 3x2 + - m = Giải: 1) Bạn tự giải
2) pt x3- 3x2 + - - m =
x3- 3x2 + = + m
Đặt y = x3- 3x2 + có đồ thị (C)
y = + m họ đường thẳng vng góc trục tung cắt trục tung 1+m.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
i) + m < - + m >
m < - m > 1: nghiệm
ii) + m = - + m = m = - m = 1: nghiệm 3i) - < + m < - < m < 1: nghiệm
VD3 Cho hàm số
2
1 x y
x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm ph ương trình:
2
1 x
x a x
Giải: 1) Bạn tự giải 2) Đặt
2
1 x y
x
có đồ thị (C)
y = - x + a họ đường thẳng có hệ số góc bằng- khơng đổi, cắt trục trung a.
Chú ý hai vị trí tiếp tuyến: Đường thẳng y =- x + a tiếp
tuyến khi hệ pt sau có nghiệm:
2
2
1
1 ( 1)
x
x a x
x x
x
3 2 2
Suy ra: 2x2- 4x + =
1
2 x
Suy
2 2
2 (2 1)
1 1
x x x x x x
a x
x x x
1
2
x a = 23
1
x a = 2 Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
i) a < 2 a > 2 : Hai nghiệm phân biệt ii) 2 < a < 2 : Vô nghiệm
f ( x ) = x ^ - x ^ +
- - - - 2
- - - - 2
x f ( x )
y =1+m 1+m
f(x)=(x^2)/(x-1)
-8 -6 -4 -2
-8 -6 -4 -2
x f(x)
3 2
(19)3i) a = 2 : 1
x ; a = 23: 1 x
VD4 Cho hàm số y = 3x , (C)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C).
2) Tuỳ theo m, biện luận số nghiệm phương trình x3- 3mx - 3m =
Giải: 1) Bạn tự giải 2) Phương trình
3x = mx + m Đặt y =
3x có đồ thị (C).
y = mx + m họ đường thẳng quay xung quanh I( - 1; 0) cố định có hệ số góc m.
Để ý đường thẳng y = mx + m tiếp tuyến hệ số góc m = 9/4 Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
i) m < 9/4 : nghiệm ii) m = 9/4 : x = - 3/2
3i) m > 9/4: nghiệm phân biệt
Bài tập tương tự: BT1 Cho hàm số
2
4
2
x x
y x
1) Khảo sát biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm tất giá tri k để đường thẳng y = kx + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B 3) Tìm quỷ tích trung điểm I đoạn AB
BT2 Cho hàm số
1
x y
x
1) Khảo sát biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm tất giá tri a để đường thẳng y = ax + khơng có điểm chung với (C).
3) Từ điểm A thuộc trục tung kẻ đ ược tiếp tuyến đến (C). BT3 Cho hàm số
2
( 0) x x a
y a
x a
(1)
1) Xác định a để tiệm cận xiên qua (2; 0) Khi khảo sát biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm tất giá tri a để đồ thị hàm số (1) cắt đườngthẳng y = x- hai điểm phân biệt Gọi y1, y2 tung độ giao điểm , tìm hệ thức liên hệ y1, y2 khơng phụ thuộc a
BT4 Cho hàm số y = x2 + (2m + 1)x + m2-
1) Chứng minh với m đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = x hai điểm phân biệt khoảng cách hai điểm n ày không đổi
2) Chứng minh với m đồ thị luôn tiếp xúc đ ường thẳng cố định Xác định phương trìnhđường thẳng
HD. 2) Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến cố định khi :
Phương trình x2 + (2m + 1)x + m2- = ax + b có nghiệm kép với m
Phương trình x2 + (2m - a + 1)x + m2- - b = có nghiệm kép với m -8 -6 -4 -2
-8 -6 -4 -2
x
(20) = (2m - a + 1)2- 4(m2- - b) = , m
4(1 - a)m + (1 - a)2 + 4(1 + b) = , m
a = 1, b = -
BT5 Cho hàm số y = x4 + 2x2-
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).
2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm ph ương trình: cos4t + 2cos2t + a - =
3) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm t > ph ương trình:e4t + 2e2t + 2a - = 0
BT6 Cho hàm số y = x x2
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).
2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm ph ương trình: x x2 = mx
BT7 Cho hàm số
2
2 x x y
x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).
2) Từ đồ thị (C) suy rađồ thi (D) của hàm số
2
2 x x y
x
3) Dựa vào (C), biện luận theo a số nghiệm ph ương trình
2
2 x x
x
= ax - a + VII VẤN ĐỀ QUỶ TÍCH ĐẠI SỐ.
Bài tốn: Tìm quỷ tich điểm M(x; y) : ( ) ( )
x m
y m
, m tham số
Phương pháp giải: Khử m hệ để liên hệ y = f(x) Chú ý:
1) Quỷ tich điểm M(x; y) : ( ) x x y m
, m tham số, đường thẳng x = x0
2) Quỷ tich điểm M(x; y) :
0
( )
x m
y y
, m tham số, đường thẳng y = y0
3) Nếu tham số m có điều kiện phải suy điều kiện x y để hạn chế quỷ tích
VD1 Tìm quỷ tích đỉnh parabol y = x2- (m - 1)x - m2-
Giải: Đỉnh parabol I(x; y):
2
1 ( 1)
( 1)
x m
y x m x m
Suy ra: y = x2- (2x+1 - 1)x - (2x + 1)2- = - 5x2- 4x - Quỷ tích y = - 5x2- 4x -
VD2 Cho hàm số
2
2 ( 2)
1
x m x
y
x
1) Với giá trị m hàm số đạt cực đại, cực tiểu 2) Tìm quỷ tích điểm cực đại v điểm cực tiểu
(21)1)
2
2
2
y'=
( 1)
x x m
x
Hàm số có cực trị
2
1
x x m
x
có hai nghiệm phân
biệt = 2m > m >
2) Với m > Các điểm cực trị x1, x2 nghiệm phương trình: 2x2- 4x + - m = (1)
i) Quỷ tích cực đại.
Gọi M(x; y) điểm cực đại đồ thị Ta có:
2
2
2
2
( ) (2 )
2 2 2 2 2(2 )
2
m x
m x
y m m m x x
Ta có y = 2x2 x <
ii) Quỷ tích cực tiểu.
Gọi N(x; y) điểm cực đại đồ thị Ta có:
2
2
2
2
( ) (2 2)
2 2 2 2 2(2 2)
2
m x
m x
y m m m x x
Ta có y = 2x2 x >
Bài tập tương tự:
BT1 Tìm quỷ tích đỉnh parabol y = 2x2- 2(m + 1)x + (m - 1)2
BT2 Cho hàm số
2
2
2
x mx y
x
Tìm tất giá trị m để hàm số cho có cực trị Tìm quỹ tích điểm cực trị đồ thị hàm số
BT3 Cho hàm số
2
4
x x m
y
x
Chứng minh rằng, với m làm cho hàm số có cực trị
các điểm cực trị đồ thị hàm số luôn thuộc đ ường thẳng cố định
BT4 Cho hàm số 2
1
m y x
x
Tìm tất giá trị m để hàm số cho có cực trị Tìm quỹ tích điểm cực trị đồ thị hàm số
BT5 Cho hàm số
2
2
2
x mx m
y
x
, (1)
1) Tìm tất giá trị m để hàm số cho có cực trị Tìm quỹ tích điểm cực trị đồ thị hàm số
2) Tìm điểm mà đồ thị hàm số (1) qua với m
VIII VẤN ĐỀ SUY ĐỒ THỊ.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).
Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số:
(22)3) y = f x b( ) ằng cách:
Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía trục hoành (cả điểm thuộc trục hoành) Lấy đối xứng qua trục hoành phần (C) nằm phía trục hồnh
4) y = f( x ) bằng cách:
Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía bên phải trục tung (cả điểm thuộc trục tung) Lấy đối xứng qua trục tung phần (C) vừa giữ nguyên
5) y = f(x)
Giữ nguyên đồ thị (C) phầnnằm phía trục hồnh (cả điểm thuộc trục hồnh) Lấy đối xứng qua trục hoành phần (C) vừa giữ nguyên
VD Từ đồ thị (C) của hàm số
2 x y x
, suy rađồ thị hàm số đây:
1) x y x
, 2)
2 x y x
, 3)
2 x y x
, 4)
2 x y x
, 5)
2 x y x Giải: Đặt
2 ( ) x f x x
Khi đó:
1) x y x
= - f(x) 3)
2 x y x
= f x( ) 2) x y x
= f(- x) 4)
2 x y x
= f( x ) 5) y = f(x)
Ta có đồthị
IX CÁC CÂU HỎI KHÁC.
Về cặp điểm thuộc hai nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ nhất. VD1 Tìm hai nhánh đồ thị hàm số
1 x y x
cặp điểm có khoảng cách nhỏ
Giải: Gọi cặp điểm cần tìm M(x1; y1), N(x2; y2) Gọi I(1; 2) giao điểm hai tiệm cận
Qua phép chuyển hệ trục theo OI: x X y Y
hàm số cho trở thành
1 2 X Y X
Y 2X
X X
Y
X
Trong hệ trục IXY: M(X1; Y1), N(X2; Y2),
1
1
,
Y Y
X X
Ta xem X1 < X2 > Khi đó:
2
2 2 2
1 2 2
1 2
1 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
4 4
( )
MN X X Y Y X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
(23)Dấu đẳng thức xảy
1
1 2
2
1 2
1
1
1
X X
X X X X
X X X X X
X X
Suy X2 =1, X1 = - 1, Y2 = 1, Y1 = - Do x2 = 2, x1 = 0, y2 = 3, y1 =
Như M( 0; 1), N(2; 3)
VD2 Tìm hai nhánh đồ thị hàm số
1
y x x
cặp điểm có khoảng cách nhỏ
Giải: Gọi cặp điểm cần tìm M(x1; y1), N(x2; y2) Gọi I(1; 1) giao điểm hai tiệm cận
Qua phép chuyển hệ trục theo OI: 1 x X y Y
hàm số cho trở thành
1
1
Y X
X
Y X
X
Trong hệ trục IXY: M(X1; Y1), N(X2; Y2), 1 2
1
1
,
Y X Y X
X X
Ta
có thể xem X1 < X2 > Khi đó:
2
2 2 2
1 2 2
1 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
MN X X Y Y X X X X X X
X X X X
2
1 2
1 2 2
2
(X X ) 4X X
X X X X X X X X
2 4 2 X X
X X
4 2 2
Dấu đẳng thức xảy
1 2
2 4
1 2
1
1 1
2
2
X X X X X X
X X X X X
X X 2 4 X X X 4
2 4 4 4 4
1 1
, , 2,
2 2
X X Y Y
4
2 4 4 4 4
1 1
1 , , 2,
2 2
x x y y
4
4 4
1 1
1 ;1 , ;1
2 2
M N
Bài tập tương tự:
BT1 Tìm hai nhánhđồ thị 2 x y x
cặp điểm có khoảng cách nhỏ
BT2 Tìm hai nhánh đồ thị
2 x x y x
(24)2 Về phương trìnhđường qua điểm cực trị. 2.1 Cho hàm số
2
ax + bx + c y =
mx + n (am 0, tử khơng chia hết mẫu) có cực trị Khi đóđường thẳng y = 1 (2ax + b)
m đi qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số
hàm số cho
Thật vậy: Giả sử hàm sốđạt cực trị x0 Hiển nhiên y'(x0) =
2
2
0 0
0
0
0 0
(2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c) y' =
(mx + n)
(2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c) '( )
(mx + n) (2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c) =
y x
2
0
0
0
ax + bx + c
(2ax + b) mx + n m
1
y(x ) (2ax + b) m
Đẳng thức cuối cho ta suy đpcm
2.2. Cho hàm đa thứcy = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0) có cực trị Nếu phép chia đa thức:ax3 + bx2 + cx + d cho đạo hàm là 3ax2 + 2bx + c dư mx + n
thìđường thẳngy = mx + nlà đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho
Thật vậy, giả sử hàm sốđạt cực trị x0 Hiển nhiên y'(x0) =
Khi từ : ax3 + bx2 + cx + d = (3ax2 + 2bx + c)Q(x) + mx + n
suy ra:
3
0 0 0 0
y(x ) = ax + bx + cx + d = y'(x )Q(x ) + mx + n = mx + n
2.3 Tổng quát:Cho hàm đa thức y = P(x) có cực trị
Nếu phép chia đa thức P(x) = P'(x).Q(x) + r(x) thìđồ thị hàm số y = r(x) đi qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = P(x) cho
VD1 Cho hàm số
2
x - 2x + m + y =
x + m -
1) Khảo sátsự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số m =- 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A(6; 4)
3) Tìm tất giá trị m để hàm số cho có cực trị Viết phương trìnhđường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số cho
Giải: 3)
2
2
(2x-2)(x+m-1)- (x -2x+m+2) 2( 1) '
(x + m-1) (x + m-1)
x m x m
(25)2
2( 1) (1) '
x + m - (2)
x m x m
y
Hàm số cho có cực trị phương trình (1) có nghiệm phân biệt thoả (2)
2
2
' ( 1)
1 (1- m) +2(m-1)(1-m) - 3m
m m
m m
: Thoả m
Giả sử M(x; y) điểm cực trị đồ thị hàm số cho
0 =
2
(2x -2 )(x + m - 1)- (x - 2x + m + 2) '
(x + m - 1) y
2
(2x - )(x + m - 1)- (x - 2x + m + 2) = x - 2x + m +
2x - y = 2x - x + m -
Suy ra, đường thẳng y = 2x -2 đường thẳng qua điểm cực trị
VD2 Cho hàm số y =- x3 + 3mx2+ 3(1 - m2)x + m3- m2 (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số m = 2) Tìm k để phương trình - x3 + 3x2 + k3 = có nghiệm phân biệt
3) Viết phương trìnhđường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) (ĐH&CĐ - A2002)
Giải: 3) Cách y' = - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) = -3(x - m)2 + y' = x = m - 1, x = m +
Hai điểm cực trị M(m - 1; - m2 + 3m - 2), N(m + 1; - m2 + 3m +2) Đường thẳng MN có phương trình y = 2x - m2 + m
Cách Giả sử M(x; y) điểm cực trị đồ thị hàm số cho suy = y' = - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2)
Ta có y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3- m2 = (x/3 - m/3)(- 3x2 + 6mx + - 3m2) + 2x - m2 + m = 2x - m2 + m
Suy ra, đường thẳng y = 2x - m2 + m đường thẳng qua điểm cực trị
Bài tập tương tự:
BT1 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3mx +
Tìm tất giá trị m để hàm số có cực trị Viết phương trìnhđường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho
BT2 Cho hàm số
2
x - x + m + y =
x - m (1)
1) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có cực trị
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 3) Tìm qỷ tích điểm cực trị đồ thị hàm số (1)
BT3 Trong tập mục VII từ BT2 đến BT5 viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số
3 Về điểm cực trị phải thoả mãn số điều kiện đó. VD1 Cho hàm số
2
x - mx + m y =
x - m , (m 0) (1)
(26)2) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời cực trị trái dấu
HD 2) y' =
2
2
x - 2mx + m - m (x - m)
Hàm số có cực trị khi ph ương trình y' = có nghiệm phân biệt m >
Gọi x1, x2 điểm cực trị Khi x1, x2 nghiệm phương trình: x2- 2mx + m2 + m =
Các cực trị tương ứng y1 = 2x1- m, y2 = 2x2- m
Ta phải có y1 y2 = (2x1- m)(2x2- m) <
VD2 Cho hàm số
2 2
x - m x + 2m 5m + y =
x
, (1)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) m = Viết ph ương trình tiếp tuyến (C) qua A(1; 0)
2) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời điểm cực trị thuộc khoảng (0; 2m)
VD3 Cho hàm số y = x4- 2mx2 + 2m + m4
1) Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu
2) Viết phương trình parabol điểm cực trị đồ thị hàm số cho
3) Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số đỉnh tam giác
HD 1) y' = 4x3- 4mx = 4x(x2- m)
Thấy hàm sốcó cực đại cực tiểu khi m > 2) x4- 2mx2 + 2m + m4 = (4x3- 4mx)
4
x
- mx2 + 2m + m4 Suy parabol qua ểm cực trị y = - mx2 + 2m + m4
3) Ba điểm cực trị hàm số là - m , 0, m Khi ba điểm cực trị đồ thị:
B(- m ; m4- m2 + 2m), A(0; m4 + 2m) , C( m ; m4- m2 + 2m)
Do tính chất đối xứng đồ thị nên thấy tam giác ABC cân đỉnh A
Cần đủ để tam giác ABC ABC = 600 hệ số góc (AB)
B A
B A
y y x x
2
3 m
m
3 m
VD4 Cho hàm số y = 2x3 + ax2-12x - 13
f ( x ) = x ^ - x ^ +
- - - - 2
- - - - 2
x f ( x )
C B
(27)1) Tìm tất giá trị a để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số cách trục tung Viết ph ương trìnhđường thẳng qua hai điểm cực trị
2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a =3
Giải: 1) y' = 6x2 + 2ax - 12 (1)
Thấy phương trình y' = có nghiệm phân biệt với a Suy hàm số ln ln có hai cực trị Gọi x1, x2 điểm cực trị hàm số Khi x1, x2 nghiệm (1)
Các điểm cực trị đồ thị hàm số cách trục tung x1 + x2 = a =
Bạn tự viết phương trìnhđường thẳng qua hai điểm cực trị
VD5 Cho hàm số
2
x + mx - m + y =
x-
1) Khảosát biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số m =-
2) Viết phương trình parabolđi qua điểm cực đại, cực tiểu (C) tiếp xúc đường thẳng 2x - y - 10 =
3) Trong trường hợp tổng quát, xácđịnh m để cực đại cực tiểu đồ thị hàm số hai phía đường thẳng 9x- 7y - =
Giải: 2) Hai điểm cực trị (C) M(4; 7) N(-2; - 5) Giả sử parabol y = ax2 + bx + c (a 0), (P)
M(4; 7) N(-2; - 5) thuộc (P) 16
4
a b c a b c
4 (1) 2 (2)
a b c a b
Đường thẳng 2x - y - 10 = tiếp xúc parabol hệ sau có nghiệm
2
2 10 (3) 2 (4) ax bx c x
ax b
Từ (2) (4) suy x = thay vào (3) ta có a + b + c = - Từ suy a = 1, b = 0, c = -
Cách 2. Hai điểm cực trị (C) M(4; 7) N(-2; - 5) Giả sử parabol y = ax2 + bx + c (a 0), (P)
M(4; 7) N(-2; - 5) thuộc (P) 16
4
a b c a b c
4 (1) 2 (2)
a b c a b
Đường thẳng 2x - y - 10 = tiếp xúc parabol pt sau có nghiệm kép:
2
2 10 (3) ax bx c x
(b - 2)2- 4a(c + 10) =
Cách 3. Hai điểm cực trị (C) M(4; 7) N(-2; - 5)
Parabol qua M, N có pt d ạng : y = a(x - 4)(x + 2) + bx + c (a 0), (P) 3)
2
x + mx - m + y =
x-
2
2
(2x + m)(x - 1) - (x + mx - m + 8) x y' =
(x - 1) (x - 1)
x
y' = x2- 2x - =
Gọi x1, x2 điểm cực trị Khi x1, x2 nghiệm phương trình: x2- 2x - =
Các cực trị tương ứng y1 = 2x1 + m, y2 = 2x2 + m
Ta phải có (9x1- 7y1- 1)(9x2- 7y2- 1) < (- 5x1- 7m - 1)(- 5x2- 7m - 1) <
25x1x2 + 5(7m + 1)(x1 + x2 ) + (7m + 1)2 < 25(- 8) + 10(7m + 1) + (7m + 1)2 <
49m2 + 84m - 189 < 7m2 + 12m - 27 < - < m < 9/7
VD6 Cho hàm số
2
mx + 2mx + m + y =
(28)2) Tìm m để (C) có cực đại cực tiểu nằm góc phần t thứ góc phần tư thứ ba mặt phẳng Oxy
3) Tìmm để (C) cắt Ox hai điểm phân biệt Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm
Giải: 1) Ta có y = mx + 3m + 1
m x
Để có tiệm cận đứng 4m + Để có tiệm cận xiên 4m + m Suy m - 1/4 m
2) y' =
2
2
2
( 1)
mx mx m
x
2 (1) '
x - (2 )
mx mx m
y
Hàm số cho có cực trị phương trình (1) có nghiệm phân biệt thoả (2)
2
0
1
' 0
4
m
m m m m
m
Gọi x1, x2 điểm cực trị Khi x1, x2 nghiệm phương trình: mx2- 2mx - 3m - =
Các cực trị tương ứng y1 = 2mx1 + 2m, y2 = 2mx2 + 2m
Để ý hai điểm cực tr ị đồ thị nằm hai phía đ ường thẳng x = Điểm cực tiểu M đồ thị nằm phía tr ên điểm cực đại N đồ thị
i) Với m <- 1/4 : N nằm bên phải đường thẳng x = nên khơng thể thuộc góc phần tư thứ ba Nhưng M thuộc vào góc phần tư thứ ba N khơng thể thuộc góc phần tư thứ Vậy m <- 1/4 không thoả
ii) m > 0: M nằm bên phải đường thẳng x = thể thuộc góc phần t thứ ba Suy M thuộc góc phần thư thứ nhất, N thuộc góc phần t thứ ba
(Để ý với x1< < x2 M(x2; y2), N(x1; y1))
1
0 (3) (4) (5) y
x y
với
2
4
1 m m
x
m
(3) hiển nhiên khio m >
(4) hiển nhiên (1) có hai nghiệm trái dấu m > (5)
2
2
4
2 m m 4
y m m m m m
m
< hiển nhiên m >
Tóm lại: m > thoả điều kiện toán
VD7 Cho hàm số
2
mx + (2 - m )x - 2m - y =
x - m , (1)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =-1 Từ suy đồ thị hàm số
2
- x - x + y =
(29)2) Tìm m để (1) có cực trị Chứng minh với m vừa tìmđược, đồ thị hàm số (1) ln ln tìm hai điểm mà tiếp tuyến đồ thị hai điểm vng góc
HD 2) Hàm số y = mx + 2-
x m , y' = m +
1 (x m )
m < hàm số có cực trị.
Trên đồ thị hàm số (1) ln ln tìmđược hai điểm mà tiếp tuyến đồ thị hai điểm vng góc hệ phương trình sau có nghiệm:
2
1
(1)
1
(2)
( )
m k
x m
m
x m k
Để ý hệ k m
k m
ln có nghiệm k nên