Co ly thuet 1 HPA

Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của các phần đó nằm trên một đường thẳng (mặt phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng) đó.. Phương pháp đối xứn[r]

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1

MỞ ĐẦU

Cơ học khoa học nghiên cứu chuyển động học vật chất Trong đó, chuyển động học dời chỗ vật chất từ vị trí sang vị trí khác không gian, theo thời gian

Cơ học lý thuyết phần Cơ học nghiên cứu quy luật chung chuyển động học

Môn cơ học lý thuyết chia làm ba phần:  TĨNH HỌC VẬT RẮN

 ĐỘNG HỌC

 ĐỘNG LỰC HỌC

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1 gồm hai phần TĨNH HỌC

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 GS.TSKH Đỗ Sanh-Cơ học ( tập 1), - NXB Giáo dục

 GS.TSKH Đỗ Sanh-Bài tập học ( tập 1), - NXB Giáo dục

 Chu Tạo Đoan-Cơ học lý thuyết (tập 1),-NXB Giao thông vận tải

 Cơ học lý thuyết – GS.TSKH Đào Huy Bích, Phạm Huyễn – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999

CÁC THÀNH PHẦN ĐIỂM

 Điểm kì: 20%  Điểm thảo luận: 20%  Điểm cuối kì: 60%

HÌNH THỨC THI

 Thi kì: Tự luận – tập

Phần I

TĨNH HỌC VẬT RẮN

Tĩnh học vật rắn phần nghiên cứu

trạng thái cân bằng vật rắn tuyệt đối

Phần I

TĨNH HỌC VẬT RẮN

 Chương 1: Các khái niệm bản hệ tiên đề tĩnh học

 Chương 2: Cân hệ lực không gian

 Chương 3: Trường hợp riêng: Hệ lực phẳng

 Chương 4: Ma sát

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

1 Mở đầu Đặt toán tĩnh học 2 Các khái niệm bản về lực 3 Hệ tiên đề tĩnh học

1 MỞ ĐẦU ĐẶT BÀI TOÁN TĨNH HỌC

1.1 Đối tượng nghiên cứu 1.2 Sự cân vật rắn 1.3 Lực

1 MỞ ĐẦU ĐẶT BÀI TOÁN TĨNH HỌC 1.1 Đối tượng nghiên cứu

- Vật rắn tuyệt đối vật mà khoảng cách điểm khơng thay đổi chịu tác dụng vật khác

- Vật rắn tuyệt đối mơ hình vật rắn thực tế biến dạng chúng thể bỏ qua q bé khơng đóng vai trị quan trọng trình khảo sát Vật rắn tuyệt đối gọi tắt vật rắn

1.2 Sự cân vật rắn

- Khái niệm chuyển động hay cân vật rắn có tính tương đối

- Khảo sát cân vật rắn luôn gắn liền với vật làm mốc

- Hệ quy chiếu: Vật làm mốc dùng để khảo sát cân hay chuyển động vật gọi hệ quy chiếu.

Vật A: Hệ quy chiếu

Vật B

ĐN Cân vật rắn: Một vật rắn gọi cân (hoặc đứng yên) vật nào khoảng cách từ điểm vật đến điểm gốc hệ quy chiếu luôn không đổi

1.2 Sự cân vật rắn

1 MỞ ĐẦU ĐẶT BÀI TOÁN TĨNH HỌC

O

M

1.3 Lực

Lực đại lượng dùng để đo tác dụng tương hỗ (tương tác) vật, mà kết làm cho vật thay đổi trạng thái chuyển động hoặc bị biến dạng

Các đặc trưng lực:  Điểm đặt lực

 Phương chiều lực

A F



Đường tác dụng lực (giá lực).

Biểu diễn lực hệ tọa độ Đề các

cos Z .

F

 

x y z

F X e Y e  Z e    

Trong hệ toạ độ Đềcác vng góc véc tơ lực biểu diễn dạng:

F

trong đó: , , x y z

e e e   là véc tơ đơn vị trục toạ độ x, y, z

, ,

X Y Z hình chiếu F lên trục tọa độ

Độ lớn :F F  X Y  Z Hướng xác định bởi:F

cos X ,

F

  cos Y ,

F

1.4 Bài toán tĩnh học

Bài toán tĩnh học đặt thiết lập các điều kiện cân vật rắn chịu tác dụng hệ lực

Tập hợp lực tác dụng lên vật rắn gọi hệ lực

2 CÁC KHÁI NIỆM BỔ SUNG VỀ LỰC

2.1 Các định ngh a v h l cĩ ề ệ ự

2.2 Mômen lực một điểm.

2.3 Mômen lực một trục. 2.4 Véctơ mơmen

2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ HỆ LỰC

Hệ lực tương đương: Hai hệ lực tương đương là hai hệ lực có tác dụng học lên vật rắn Ký hiệu:

 F F1, , ,2 Fn   P P1, , ,2 Pm 

     



Định lý:

Điều kiện cần đủ để vật rắn cân hệ lực tác dụng lên cân bằng.

 Hệ lực cân bằng: Hệ lực cân hệ lực

không làm thay đổi trạng thái học vật rắn Ký hiệu: ( , , , ) 0F F 1 2 Fn 

2.2 MÔMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐiỂM

Khi lực tác dụng lên vật, làm cho vật quay quanh điểm Tác dụng lực đặc trưng đầy đủ mômen lực điểm

Định nghĩa: Mômen lực điểm O vectơ, ký hiệu xác định công thức:

( )

O m F 

( )

O

m F   r F 

r

trong véctơ định vị

A O

F

( )

o m F 

r

Ta xác định véc tơ sau:m Fo( )

) (F mo 

      

 Phương: vng góc với mặt

phẳng chứa điểm O lực

 Chiều: Có chiều cho

nhìn từ đầu mút xuống gốc thấy vòng quanh O theo

chiều ngược chiều kim đồng

hồ

 Độ lớn: mo(F) F.d

F

F

Với d khoảng cách vuông góc lấy từ tâm lấy mơmen O đến đường tác dụng lực

(=0 F = d = 0) 2.2 MÔMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐiỂM

A O d F ( ) o

m F 

Nếu đặt O hệ tọa độ Oxyz, ký hiệu:

( )

x y z

o

e e e m F r F x y z

X Y Z

                   

Trong đó: e e e  x, ,y z véctơ đơn vị trục tọa độ

 X Y Z

F  , ,

 x y z

r  , ,

Hình chiếu mo(F) lên ba trục tọa độ:

( )

ox

m F yZ zY

thì

Ví dụ 1.1 A D C B A' D' C' B' y z x a F F x e y e z e

 2

A

m F 

 1

A

m F 

Khối hình lập phương cạnh a, chịu tác dụng lực hình vẽ Tìm véc tơ mơmen lực đỉnh A.1

,

F F 

 

1

( )

A x

m F   aF e

2 2 ( ) 2 A x y a

m F F e

a F e                  Đáp số:

Mô men lực trục đặc trưng cho tác dụng lực làm vật quay quanh trục đó.

2.3 MƠMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT TRỤC

  O A B A' B' F

F

d'

F

) (F m 

F

F

Định nghĩa: Mômen lực trục ∆, ký hiệu , , số đại số tích hình chiếu lên mặt phẳng π vng góc với trục ∆ khoảng cách d' từ giao điểm O trục ∆ với mặt phẳng π đến ,lấy dấu cộng quay xung quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng

F

Định lý liên hệ mô men lực một điểm mô men lực một trục.

F

( ) O ( )

m F hc m F  

 

  

Mômen lực trục ∆ qua diểm O hình chiếu lên trục ∆ mơmen điểm O





O

A B

A'

B'

F

F

d'

( ) O

Z

2

, F F 

Cho lực tác dụng vào khối lập phương, cạnh a, điểm đặt đỉnh A Tìm mơ men lực đối với trục ba trục tọa độ.

Ví dụ 1.2

  22

x

m F aF

  22

y

m F  aF

Đáp số

 2 sin ,

x

m F F a 

 2 sin ,

y

m F  F a 

 O y

z F F C B' A' C' O'

2.4.1 Vectơ hệ lực khơng gian

• Định nghĩa:

Véctơ hệ lực không gian, ký hiệu tổng hình học vectơ biểu diễn lực hệ lực:

R

1

1

n

n k

k

R F F  F F



     

2.4 VÉC TƠ CHÍNH VÀ MƠMEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC KHƠNG GIAN.

• Phương pháp xác định vectơ chính

a Phương pháp vẽ

1

F

2

F

3

F

1

F F2



3

F

R

O

3

F

2

F

2.4.1 Vectơ hệ lực không gian

b Phương pháp chiếu

1

1

n

x n k

k

R X X X X



    

1

1

n

y n k

k

R Y Y Y Y



    

1

1

n

z n k

k

R Z Z Z Z

      n n k k

R F F F F



    

    

Ký hiệu:

 x, y, z 

R  R R R

2.4.1 Vectơ hệ lực khơng gian

 

1 1, ,1 F  X Y Z

 

2 2, 2,

F  X Y Z

 , , 

n n n n F  X Y Z

2.4.1 Vectơ hệ lực khơng gian

2 2

x y z

R  R  R  R

cos Rx ;

R

  cos Ry ;

R

  cos Rz .

R

 

Vậy mô đun phương chiều véc tơ xác định bởi:

 x, y , z 

Ví dụ:

Xác định véc tơ hệ lực gồm ba lực

sau:  

1 1, 2, 3

F 

 

2 4, 5, 7

F  

 

3 2, 8, 1

F 

Bài giải:

 7, 5, 11

R 

Ta có:  R  72 52 112  195

   

 

7

cos , ; cos , ;

195 195

11 cos ,

195

R Ox R Oy

R Oz

  



 



• Định nghĩa:

Mơmen hệ lực khơng gian tâm O, ký hiệu vectơ tổng hình học vectơ mômen của lực thuộc hệ lực tâm O:

O

M

1

( )

n n

O O k k k

k k

M m F r F

 

  

    

2.4.2 Mơmen hệ lực không gian mợt tâm

•Cách xác định

Các thành phần vectơ mơ men theo trục toạ độ Đề các:

( ) ( )

Ox Ox k k k k k

M  m F  y Z  z Y

( ) ( )

Oy Oy k k k k k

M m F  z X  x Z

( ) ( )

Oz Oz k k k k k

M  m F  x Y  y X

2.4.2 Mômen hệ lực khơng gian một tâm

b Phương pháp chiếu

 , , 

O Ox Oy Oz

Ví dụ 1: Cho hệ lực gồm ba lực, đó:

 

1 1, 2, 3

F 

 

2 4, 5, 7

F  

 

3 2, 8, 1

F 

Bài giải:

đặt A (2,-1,0) đặt B (0,-2,0) đặt C (3,1,2)

Xác định mơmen hệ lực gốc toạ độ O

  1, 2, 3

F  F2  4, 5, 7  

 

3 2, 8, 1

F 

Áp dụng CT:

 2, 1, ;

OA  



Vậy lực véc tơ định vị tương ứng là:

 0, 2, ;

OB  



 3, 1, 2

OC 



( ) ( )

Ox Ox k k k k k

M  m F  y Z  z Y

 1 1  2 2   3 3 

Ox

M  y Z  z Y  y Z  z Y  y Z  z Y Ox

M  ( 1).3 2.0     ( 2).7 ( 5).0     1.1 2.8 

32

Ví dụ

Khối hình lập phương chịu tác dụng lực hình vẽ Hãy tính véctơ mơmen hệ lực tâm A

A D A' D' C' B' y z F F e y e z e F F Đáp số  

1

2 ; 2 ; 2 x y

R F F F

R F

  

F

F d

2.5 Ngẫu lực.

a Định nghĩa

Ngẫu lực hệ gồm hai lực song song ngược chiều, cường độ không đường tác dụng.

b Các đặc trưng ngẫu lực

+ Mặt phẳng tác dụng + Chiều quay

+ Cường độ tác dụng:

m = F.d

→ Để biểu diễn đặc trưng ngẫu lực người ta dùng vectơ mômen ngẫu lực: m

Chú ý:

Vectơ mômen ngẫu lực vectơ tự điểm đặt.

Độ lớn: m = F.d

m

 Phương: vng góc với mặt phẳng tác dụng

Chiều: Có chiều cho nhìn từ đầu mút xuống gốc thấy ngẫu lực quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

B

Nhận xét:

 Vectơ mô men ngẫu lực tổng mô men của lực tạo thành ngẫu lực điểm bất kỳ

Tác dụng ngẫu lực không thay đổi ta tuỳ ý

thay đổi lực tạo thành ngẫu lực vectơ mơ men ngẫu lực khơng đổi, hay nói khác đi,

vectơ mơ men ngẫu lực hồn tồn đặc trưng cho ngẫu lực đó.

( , ) O ( ) O( )

m m F F     m F   m F 

d1

1

F

1

F

d2

F F

3 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC CÁC HỆ QUẢ

3.1 Hệ tiên đề tĩnh học

3.1.1 Tiên đề 1 (Tiên đề hệ hai lực cân bằng).

Điều kiện cần đủ để hệ hai lực cân bằng hai lực có cùng đường tác dụng, ngược chiều cường độ.

A

B

F

'

3 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC CÁC HỆ QUẢ

3.1.2 Tiên đề 2 (Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng).

Tác dụng hệ lực không thay đổi thêm bớt hai lực cân bằng.

 F F1, , ,2 Fn   F F1, , , , ,2 F F Fn  ;( ,F F) 0

         

3.1.3 Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực).

Hệ hai lực đặt điểm tương đương với lực đặt điểm đặt chung có vectơ lực vectơ chéo hình bình hành mà hai cạnh hai vectơ biểu diễn hai lực thành phần.

F

1 F

2

F O

 1, 

F  F F 

F F F    

3.1.4 Tiên đề 4 (Tiên đề tác dụng phản tác dụng)

Lực tác dụng lực phản tác dụng hai vật có đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau có cường độ.

Chú ý:

Lực tác dụng lực phản tác dụng hai lực cân chúng tác dụng vào hai vật rắn khác

B

A F

F

3.1.5 Tiên đề 5 (Tiên đề hoá rắn).

Một vật biến dạng cân tác dụng hệ lực hố rắn lại cân bằng.

3.2 CÁC HỆ QUẢ 3.2.1 Hệ quả 1:

Tác dụng lực không thay đổi trượt

lực dọc theo đường tác dụng nó.

B FB



A FA



  FA F F FA, B, B  ;

     

( ,F F B B ) 0; FB FA

B

F 

   FA FB .

   

Lại có: ( , ) 0

A B

3.2.2.Kết quả thu gọn hệ lực đồng quy. n n k k

R F F F F



    

    



Hệ quả 2:

Hệ lực đồng quy có hợp lực đặt điểm đồng quy biểu diễn vectơ hệ

nếu vectơ khác không, cân

O

1

F F2  F F R n F O

3.2.3 Kết quả thu gọn hệ ngẫu lực.

Tập hợp nhiều ngẫu lực tạo thành hệ ngẫu lực

Hệ quả 3. Nếu mơmen hệ ngẫu lực khác không, hệ ngẫu lực tương đương với ngẫu lực có mơ men mơ men hệ; cịn mơ men hệ khơng hệ ngẫu lực cân bằng.

4 LIÊN KẾT, PHẢN LỰC LIÊN KẾT. TIÊN ĐỀ GiẢI PHÓNG LIÊN KẾT.

4.1 Vật rắn tự vật rắn không tự do.

Vật rắn tự do vật rắn thực di chuyển vơ bé từ vị trí xét sang vị trí lân cận

Ngược lại, hay số di chuyển vật bị cản trở vật khác vật gọi vật rắn không tự do.

Những điều kiện cản trở di chuyển vật khảo sát gọi liên kết đặt lên vật

Trong tĩnh học, ta nghiên cứu loại liên kết thực tiếp xúc hình học vật thể khảo sát với vật thể khác, liên kết hình học

4 LIÊN KẾT, PHẢN LỰC LIÊN KẾT. TIÊN ĐỀ GiẢI PHÓNG LIÊN KẾT.

4.2 Phản lực liên kết

Vật gây liên kết ngăn cản chuyển động vật khảo sát, tức mặt học tác dụng vào vật khảo sát lực

Các lực vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát gọi phản lực liên kết

4.3 Các tính chất phản lực liên kết.

Tính chất thụ động

Phản lực liên kết xuất không xác định trước mà

phụ thuộc vào lực cho trước tác dụng lên vật khảo sát kết cấu liên kết (tựa, lề, dây buộc,…) vật gây liên kết

C D

B

Phương, chiều phản lực liên kết

Theo định nghĩa, phản lực liên kết phải có chiều ngăn cản chuyển động vật nên ngược với xu hướng chuyển động vật

4.3 Các tính chất phản lực liên kết.

C D

B

A

Dây ngăn cản chuyển động cầu dọc theo phương AB dây

 Liên kết tựa

Liên kết tựa xuất vật rắn khảo sát tựa lên vật gây liên kết

N N2



1

N

4.4 Các liên kết thường gặp phản lực liên kết tương ứng.

A

N

B

N

C

N

T

1

T 

2

T T1



Liên kết dây mềm, thẳng

 Liên kết lề

Hai vật có liên kết lề chúng có trụ (chốt) chung Liên kết lề cho phép vật quay quanh trục cố định

Phản lực liên kết phân tách thành hai thành phần vng góc nằm mặt phẳng thẳng góc với đường trục tâm lề

B Y

B

X B Y B X C B A C B B A y R

R R

 Liên kết gối

Liên kết gối dùng để đỡ dầm khung…

• Gối cố định: có phản lực liên kết

tương tự liên kết lề • Gối di động: Phản lực liên kết gối di động vng góc với phương di động gối, giống liên kết tựa

B

Y

A

 Liên kết gối cầu

Liên kết gối cầu thực nhờ cầu gắn vào vật chịu liên kết đặt vỏ cầu gắn liền với vật gây liên kết Phản lực gối cầu qua tâm O của vỏ cầu Thông thường phản lực gối cầu được phân tich thành thành phần vng

góc z

y x

A

X

A

Y R

A

Z

 Liên kết cối

Liên kết cối cho phép vật rắn quay quanh trục Oz Phản lực liên kết cối được phân thành thành phần vuông góc z

O

Z

z

y



O

Y

O

 Liên kết ngàm

Hai vật có liên kết ngàm chúng

gắn cứng với

Ngàm phẳng:

A

Y

A

m

A

X

A

X

A

Y

A

Ngàm không gian:

O

z

y

x 

A

Y

A

Z

x

m

y

m

z

 Liên kết thanh

Liên kết hình thành nhờ thỏa mãn điều kiện sau:

 Chỉ có lực tác dụng hai đầu

 Trọng lượng không đáng kể

 Những liên kết hai đầu thực nhờ

bản lề, gối cầu.

Phản lực liên kết nằm dọc theo đường thẳng nối hai đầu thanh, hướng vào thanh chịu kéo hướng khỏi thanh chịu nén (ứng lực)

O1 O2

A B

A S

4.5 Tiên đề giải phóng liên kết.

Vật rắn khơng tự ( tức vật chịu liên kết) cân xem vật rắn tự cân bằng giải phóng liên kết, thay tác dụng liên kết giải phóng phản lực liên kết tương ứng.

B

C

O D C

C

B

P

A Y

C N

1

P  NE N

+ Thu gọn hệ lực khơng gian.

+ Tìm điều kiện cân hệ lực không gian

Chương 2

1 THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN VỀ MỘT TÂM

1.1 Thu gọn hệ lực không gian về một tâm

1.2 Biến đổi tâm thu gọn.

1.3 Các kết quả thu gọn tối giản

1 THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN VỀ MỘT TÂM

1.1 Thu gọn hệ lực không gian về một tâm

1.1.1 Định lý dời lực song song.

A

F FB

 FB FA

 Lực đặt điểm A tương đương với lực

đặt điểm B ngẫu lực có mơ

men mơ men FA đối với điểm B.

B A

F F

 ,  ;

A B

F  F m 

 

B A

m m F   

1.1.1 Định lý dời lực song song.

A

F FB

 FB FA   

A

F

Lực đặt điểm A tương đương với lực

đặt điểm B ngẫu lực có mơ men bằng mơ men điểm B.

A

B

B

F 

A

F

A

F

 F ;( ,F F )



 F F B, B  0; FB FA

 F F F  A, B, B 



Chứng minh:



Tại B đặt:

B

B

F

m NHẬN XÉT:

Nếu ta có: FB  m thì:  FB , m FA với: FA FB ;

B

AF

B

m d

F





 

A có vị trí cho ngược với chiều A  B

1.1.2 Thu gọn hệ lực

) , ,

,

(F1 F2 Fn Xét hệ lực không gian:

Áp dụng định lý dời lực song song ta dời lực điểm O

 '  '  

1 , ; 1, O

F  F m  F F m  m F

 ',  ; ' ,  

n n n n n n O n

F  F m  F F m  m F

 F F , , , F   F F , , , F  ; m F m F ( ),  ( ), , m F ( )  

 F F1, , ,2 Fn   R MO, O 

    



Vậy hệ lực không gian tương đương với lực đặt O mômen ngẫu lực Lực véctơ hệ, cịn bằng mơmen hệ điểm O.

O

R

O

M RO MO

1 n k k R F     ( ) n

O O k

k

M m F





  

1.2 Biến đổi tâm thu gọn.

1.2.1 Biến đổi tâm thu gọn.

) , ,

,

(F1 F2 Fn

Xét hệ lực không gian:

     

1 ' '

( , , , )F F  Fn  R MO, O  R mO , O RO ; MO

Ta thu gọn hệ lực O O':

Mặt khác: ( , , , )F F  F  R M ,   ; M n m  F

trong đó: RO' RO R.

 

 RO', mO' RO  MO 



 

Vậy thay đổi tâm thu gọn ta lực đặt tâm mới, có giá trị khơng đổi (bằng véctơ chính), cịn ngẫu lực có liên hệ với ngẫu lực thu gọn ban đầu theo biểu thức:

 

' ' .

O O O O

M M  m R

1.2.2 Các bất biến hệ lực không gian.

• Véctơ đại lượng bất biến

• Tích vơ hướng véctơ mơmen đại lượng bất biến (đúng véc tơ khác khơng)

. O .( O ( ) O ) . O

0, O R  M 

0, O

R  M R  

0, O

R  M 

1.3 Các kết quả thu gọn tối giản Hệ lực cân bằng.

Hệ lực tương đương với ngẫu lực. Hệ lực có hợp lực

O

O

O

R

O

M

O

R

'

O

R

O

R

0, O. 0

R  M R   Hệ tương đương với hệ

đinh ốc động lực.

O

O

M RO

 MO



O

M 

'

O

M

'

O

R

O

R

O

R

O O'

//

O O

1.4 Định lý Varinhông

Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực mơmen hợp lực tâm bằng tổng mômen lực thành phần tâm ấy.

   

1

n

O O k O

k

m R m F M



 

  

2.1 Định lý

2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN

2.2 Các phương trình cân của hệ lực không gian.

2.1 Định lý

Điều kiện cần đủ để hệ lực khơng gian cân bằng véctơ mơmen hệ lực đối với điểm đồng thời không.

1

0 ( , , , )

( )

n

k k

n n

R F

F F F

M m F

                        

2.2 Các phương trình cân

hệ lực không gian.

Để giải toán, ta thường sử dụng phương trình hình chiếu hệ phương trình véctơ trên hệ trục tọa độ Đề các:

1 0 n x k k R X    0 n y k k R Y    0 n z k k R Z   

( )

n

x x k

k

M m F



  

1

( )

n

y y k

k

M m F



  

1

( )

n

z z k

k

M m F



2.3 Phương trình cân một vài hệ lực đặc biệt.

0 0 0 x y z R R R        

 Hệ ngẫu lực:

0 0 x M M     

 Hệ lực song song

Chọn hệ trục tọa độ cho trục Oz song song với phương lực Ta có ba phương trình cân bằng:

1 1

0 ( ) 0

( ) 0

n

z k k

n

x x k k

n

y y k k

R Z

M m F

M m F

                       x y

z F1



2

F

n

3 CÁC BÀI TOÁN VÀ VÍ DỤ

3.1 Các bước giải tốn cân bằng.

Các tốn tĩnh học có thể được chia thành hai loại sau:

 Hãy tìm mối quan hệ lực hoạt động

để cho vật cân bằng, biết lực hoạt động hãy tìm vị trí cân vật

CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG

 Bước 1: Chọn vật để khảo sát cân bằng.

 Bước 2: Giải phóng liên kết cho vật khảo sát.

Vật chọn để xét cân vật chịu tác dụng lực cần tìm:

- vật rắn

- “vật ” nhiều vật ghép lại

- phần tưởng tượng tách từ vật - nút, điểm tập trung dây,

 Bước 1: Chọn vật để khảo sát cân

 Bước 2: Giải phóng liên kết cho vật khảo sát.

 Bước 3: Thành lập phương trình cân bằng.

 Bước 4: Giải hệ phương trình cân nhận xét kết quả.

 Ví dụ 3.1

3.2 CÁC VÍ DỤ.

Tấm hình chữ nhật có trọng lượng P = 1kN, giữ cân vị trí nằm ngang nhờ hai lề A,B dây treo IK tạo góc α = 300 với mặt phẳng

1 ;

T  kN

Đáp số

7

,

12 12

B B

Y  kN Z  kN

3

, ;

12 12

A A

 Ví dụ 3.2

Vật nặng P = 100N được treo vào đầu O giá treo tạo ba trọng lượng không đáng kể, gắn với với tường bản lề

Tìm ứng lực thanh.

O

A C

D 45o

45o

C

B D

O

Y Z

45o

30o

BÀI GIẢI:

A

S

C

S

D

S

P

H

 Khảo sát nút O  Phân tích lực

 Lập hệ PT cân bằng  Giải hệ PT

 Ví dụ 3.3

Q

 ,  ,

4 b a x y  

 

Tìm phản lực chân bàn Các kích thước cho hình vẽ

 Ví dụ 3.3

2

, ,

3 6

A B C

Q P Q P Q P

N   N   N  

Bài tập:

3-1  3-12; 3-16  3-18.

trang 72  79, sách Bài tập học (tập 1),

Chương 3

TRƯỜNG HỢP RIÊNG: HỆ LỰC PHẲNG

1 KHÁI NIỆM MÔMEN ĐẠI SỐ

2 HỢP LỰC CỦA HỆ LỰC PHÂN BỐ PHẲNG

3 CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG

1 KHÁI NIỆM MÔMEN ĐẠI SỐ

Đối với hệ lực phẳng, ta đưa khái niệm mômen đại số lực điểm:

Mômen đại số lực điểm O, ký hiệu , số đại số: O  

m F F

  .

O

m F F d

trong F trị số lực, d khoảng cách từ O đến đường tác dụng lực, lấy dấu "+" lực quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, lấy dấu "-" trường hợp ngược lại

F

O

B

A

d

 1  2    

1

N

O O O O N O k

k

M m F m F m F m F



        

O

M

Mô men hệ lực phẳng điểm O số đại số, ký hiệu , tổng mô men đại số lực hệ lực điểm O:

2 HỢP LỰC CỦA HỆ LỰC PHÂN BỐ PHẲNG

Xét đoạn dầm AB dài l, chịu tác dụng hệ lực phân bố song song chiều với cường độ phân bố q(x):

q(x)

B

d l

Q

Sau ta sẽ xác định hợp lực :

Hệ lực song song có hợp lực, ký hiệu Q

Q

2 HỢP LỰC CỦA HỆ LỰC PHÂN BỐ PHẲNG

0

( ) ;

l

A

R q x dx

0

( )

l

A

M  q x x dx

Thu gọn hệ lực điểm A:

( )

m Q M

Giả sử hợp lực đặt C cách A đoạn AC = d

Theo định lý Varinhông:

q(x)

B

Q

A

( ) . .

A A

2 HỢP LỰC CỦA HỆ LỰC PHÂN BỐ PHẲNG

0

( ) ;

l

A

R q x dx

0

( ) ;

l

A

M  q x x dx

Vậy: q(x) B d l Q A C . A A

M  R d

0 ( ) ( ) l l

q x xdx d

q x dx

 



( ) ;

l

Kết luận:

Q

      

  có đường tác dụng qua trọng

tâm hình phân bố lực

 Có chiều chiều với lực thành phần hệ lực phân bố.

 Hệ lực phân bố có cường độ phân bố lực tuyến tính

2

Q  ql l d

3 

 Hệ lực phân bố có cường độ phân bố lực

q(x) = q = const.

Q ql

l

q

l/2

Q

d = l/2

Các trường hợp đặc biệt:

Q

3 CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG

3.1 Các phương trình cân hệ lực phẳng Từ điều kiện cân hệ lực khơng gian ta có phương trình cân hệ lực phẳng sau đây:

1 1

0 0 ( ) 0

n n n

k k O k

k k k

X Y m F

  

  

   

trong đó: x ┴ y, O điểm bất kỳ.

y z

F



O

1 1

( ) ( ) 0

n n n

A k B k k

k k k

m F m F X

  

  

    

Dạng 2:

1 1

( ) ( ) ( )

n n n

A k B k C k

k k k

m F m F m F

  

  

     

Dạng 3:

trong đó: trục x không ┴ AB.

Cho dầm AB, có đầu A ngàm vào tường, cân tác dụng lực ngẫu lực hình vẽ

3.2 Các ví dụ

Biết: F 200 ;N M 180Nm q; 30 / ;N m  60 ;0 a 1 m Bỏ qua trọng lượng dầm Tìm phản lực liên kết đầu A

 

   

100 ,

100 60 ,

400

A

A

A

X N

Y N

M Nm



 



3.2 Các ví dụ

0

200 ; 180 ; 30 / ; 60 ; 1

4 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ VẬT RẮN

Nội lực: lực tương tác vật hệ

Chú ý:

Vectơ mơmen hệ nội lực không

0 ( ) 0

i i i i

k O O k

k k

R  F  M  m F  

Ngoại Lực: Là lực vật hệ tác

i k

F

 CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ VẬT RẮN

Điều kiện cân vật tách riêng

Điều kiện cân tồn hệ hố rắn (xem tồn hệ vật rắn nhất), hay gọi điều kiện cân ngoại lực (vì hố rắn lại hệ nội lực triệt tiêu)

Vậy ta có hai phương pháp giải tốn hệ vật:

 Phương pháp tách vật

Ví dụ 3.2:

Cho hệ hình vẽ: α = 30o, AB = 60m,

BC = 20m Trên đoạn AE chịu tác dụng hệ lực phân bố

đều với cường độ q=20kN/m, AD = 40m, AE = 70m Bỏ qua

trọng lượng dầm cột chống Xác định phản lực

liên kết A, lực tương hỗ B ứng lực thanh chống CC, DD q

B

Hoá rắn: A D B q C S B Y B X D S A Y A X C q B E

Tách vật BC: q

Tách vật AB:

B

Y

A

D

q

A

X

A

Y

D

S

'

B

X

B SC



B

Y

B

X C

q

B

Ví dụ 3.3:

Cho hệ hình vẽ Thanh bỏ qua trọng lượng, hai quả cầu có trọng lượng P Kích thước ghi hình Xác định phản lực liên kết A, D, C lực tương hỗ B.

2m 2m

1m 1m 1m

A B C D

D



Y C

N

A



Y

A



X



P P

D



Tách vật B 2m 2m A  P A  X A  Y B  N B  N

1m 1m 1m B

C D



P

C

N D



Y

D



Ví dụ 3.4

Giàn phẳng gồm chịu lực hình vẽ đỡ gối di động A, gối cố định B Tìm phản lực gối ứng lực Biết:

1 1 , 2 , 3 .

F  kN F  kN F  kN

C

A B

M

1m 1m

1

F

2

F F3



0

A M B y C A B M 1m 1m F

F F3



60 300

C A B M 1m 1m y x F

F F3



0

60 300

A N B Y B X AM S 60 AC S  F ' S 60 CM S B X F BM

S 300

' BM

S

BC

S

1 , 2 , 3

13 11 ;4 0, 4

A B B

N  X  Y 

Hoá rắn hệ ta tìm được:

A AM S 60 AC S A N F 0

cos 60

sin 60

k AM AC

k A AC

X S S

Y F N S

              M ' AM S 60 CM S BM S ' 0

cos 60

sin 60

k AM BM CM k CM

X S S S

Y S              B B X F 30 ' BM S BC S

' cos300 0

k B BM BC

X X  S  S 



A AM S 60 AC S A N F M ' AM S 60 CM S BM

S B

B Y B X F 30 ' BM S BC S Đáp số: 3

, , 0,

2

AC AM CM

S  kN S  kN S 

3

,

4

BM BC

S  kN S  kN

13 11 ;4 0, 4

A B B

Ví dụ 3.5:

Cho hệ hình vẽ Cho P = 50kN,

q = 5kN/m, M=200kNm, KB = KD Trọng lượng ACB P1= 100kN, trọng lượng BD P2 = 60kN Tìm phản lực liên kết ngàm A, lề B gối di động D

1m

3m

q

A

B C

D K

P

Ví dụ 3.6:

Vật nặng P treo vào nút (1,2) giàn gồm (1,2,3,4,5) bố trí hình vẽ giữ cố định nhờ ba 6, 7, Thanh bỏ qua trọng lượng xem nối với nối với tường lề Tìm ứng lực

1

2

5

600

600

Bài tập:

1-1  1-20; trang 24  32;

2-1  2-25 trang 48  58;

BÀI TẬP NỘP (lớp 44M)

Nhóm 1: A & B & C: 1-9, 2-6, 2-8, 3-4, 4-14.

Nhóm 2: D & Đ: 1-5, 2-2, 2-12, 3-5, 4-5.

Nhóm 3: H: 1-10, 2-8b, 1-13, 3-9, 4-4.

Nhóm 4: L & N: 1-13, 2-9, 2-13, 3-8, 4-3.

Phần I

TĨNH HỌC VẬT RẮN

 Chương 1: Các khái niệm hệ tiên đề tĩnh học

 Chương 2: Cân hệ lực không gian  Chương 3: Trường hợp riêng: Hệ lực phẳng  Chương 4: Ma sát

Chương MA SÁT

1 PHẢN LỰC LIÊN KẾT TRÊN CÁC MẶT TỰA KHÁI NIỆM VỀ MA SÁT VÀ SỰ PHÂN LOẠI.

2 ĐỊNH LUẬT MA SÁT COULOMB

3 CÂN BẰNG CỦA CÁC VẬT RẮN CHỊU CÁC

3 CÂN BẰNG CỦA CÁC VẬT RẮN CHỊU CÁC

LIÊN KẾT CÓ MA SÁT

1.PHẢN LỰC LIÊN KẾT TRÊN CÁC MẶT TỰA KHÁI NIỆM VỀ MA SÁT VÀ SỰ PHÂN LOẠI.

1.1 Mơ hình phản lực liên kết mặt tựa

Trong thực tế, vật rắn tiếp xúc với luôn xảy miền nhỏ

1.2 Khái niệm về lực ma sát

Thu gọn hệ phản lực miền tiếp xúc điểm tiếp xúc đó, ta lực ngẫu lực Ta phân tích lực ngẫu lực thành thành phần pháp tuyến tiếp tuyến:

( , ms )

R  N F 

( l , x )

Vậy hệ phản lực liên kết tương đương với thành phần phản lực:

 Thành phần phản lực tiếp

tuyến ký hiệu ngăn cản chuyển động trượt xu hướng trượt vật bề mặt liên kết; gọi lực ma sát trượt.

ms

F

 Thành phần phản lực pháp tuyến

thường thấy, ngăn cản chuyển động theo phương pháp tuyến bề mặt vật;

 Thành phần ngẫu lực ngăn cản

lăn vật bề mặt liên kết; gọi ngẫu lực ma sát lăn.

l ms

M

 Thành phần ngẫu lực

ngăn cản xoay vật xung quanh pháp tuyến mặt liên kết, gọi

x ms

Cường độ thành phần lực ma sát: lực ma sát trượt, ngẫu lực ma sát lăn, ngẫu lực ma sát xoay phụ tḥc vào tính chất vật lý bề mặt, chất liệu tạo nên vật (sắt, đồng, gỗ ) kết cấu liên kết, lực cho trước tác dụng lên vật.

1.3 Phân loại ma sát

 Dựa vào trạng thái học vật ta phân loại ma

sát thành: ma sát tĩnh ma sát động

 Ma sát tĩnh: là ma sát xuất vật

trạng thái đứng yên hay có xu hướng chuyển động tương đối vật vật

 Ma sát động: là ma sát xuất vật

 Dựa vào tính chất bề mặt tiếp xúc ta có:

ma sát khô ma sát nhớt

 Ma sát khô: là ma sát xuất bề mặt vật tiếp xúc trực tiếp (khơng có các lớp bơi trơn dầu, mỡ).

 Ma sát nhớt: Khi bề mặt vật tiếp

2 ĐỊNH LUẬT MA SÁT COULOMB

2.1 Định luật ma sát trượt.

Lực ma sát trượt tĩnh xuất ngăn cản trượt hoặc xu hướng trượt tương đối hai vật tiếp xúc thỏa mãn bất đẳng thức:

trong đó, f hệ số ma sát trượt tĩnh - đại lượng Các định luật ma sát xây dựng từ thực nghiệm vật lý

.

ms

2.2 Định luật ma sát lăn.

2.2 Định luật ma sát lăn.

Ngẫu lực ma sát lăn xuất ngăn cản lăn tương đối vật tiếp xúc thỏa mãn bất đẳng thức:

trong đó, k hệ số ma sát lăn – thứ nguyên chiều dài – đặc trưng cho chất vật lý vật tiếp xúc

. l

ms

M k N

Định luật ma sát xoay cũng được phát biểu tương

Định luật ma sát xoay cũng được phát biểu tương

tự.

3 CÂN BẰNG CỦA CÁC VẬT RẮN CHỊU CÁC

3 CÂN BẰNG CỦA CÁC VẬT RẮN CHỊU CÁC

LIÊN KẾT CÓ MA SÁT

LIÊN KẾT CÓ MA SÁT

3.1 Các bước giải toán cân vật chịu liên kết có ma sát.

Bước 1: Chọn vật khảo sát giải phóng liên kết

cho vật toán chưa xét đến ma sát

Bước 2: Đặt thêm lực, ngẫu lực ma sát.

3 CÂN BẰNG CỦA CÁC VẬT RẮN CHỊU CÁC

3 CÂN BẰNG CỦA CÁC VẬT RẮN CHỊU CÁC

LIÊN KẾT CÓ MA SÁT

LIÊN KẾT CÓ MA SÁT

3.1 Các bước giải toán cân vật chịu liên kết có ma sát.

Bước 3: Viết phương trình cân cho hệ lực tác dụng lên vật (gồm lực ma sát)

Hơn các lực ma sát phải thỏa mãn BĐT ma sát.

Bước 4: Giải hệ gồm phương trình BPT Chú ý:

Chú ý: Nghiệm hệ gồm phương trình Nghiệm hệ gồm phương trình các bất phương trình mợt miền nghiệm (thể

các bất phương trình mợt miền nghiệm (thể

dưới dạng bất đẳng thức).

3.2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 4.1:

Một vật rắn nằm mặt phẳng khơng nhẵn có hệ số ma sát f, nghiêng so với mặt phẳng ngang góc α

Xác định góc α để vật cân với giá trị trọng lượng P

Ví dụ 4.2:

Thanh đồng chất AB, có trọng lượng P, đầu B tựa vào tường không nhẵn, đầu A tựa vào sàn nhẵn nằm ngang chịu tác dụng lực Q hình vẽ Hệ số ma sát tường f Tìm giá trị lực Q để cân vị trí nghiêng góc α với phương nằm ngang

a

A

B C

P

Q

Ví dụ 4.3:

Vật B có trọng lượng P nằm mặt khơng nhẵn có dạng phần tư cung tròn giữ cân nhờ lực kéo T theo phương ngang đặt vào dây BA Cho hệ số ma sát trượt f = tgφ Tìm lực kéo T

α

O

Q α

Trên mặt nằm ngang có bánh xe đồng chất tâm O, bán kính R, trọng lượng P, chịu lực Q hình vẽ Xác định trị số Q để bánh xe cân bằng Biết hệ số ma sát trượt f, hệ số ma sát lăn k.

Trên mặt nằm ngang có bánh xe đồng chất tâm O, bán kính R, trọng lượng P, chịu ngẫu lực M lực Q hình vẽ Xác định trị số mômen M Q để bánh xe cân bằng Biết hệ số ma sát trượt f, hệ số ma sát lăn k.

Ví dụ 4.5:

O

M

Phần I

TĨNH HỌC VẬT RẮN

 Chương 1: Các khái niệm hệ tiên đề tĩnh học

 Chương 2: Cân hệ lực không gian

 Chương 3: Trường hợp riêng: Hệ lực phẳng

 Chương 4: Ma sát

Chương

1.TÂM CỦA HỆ LỰC SONG SONG.

1.1 Định nghĩa

Điểm hình học C gọi tâm hệ lực song song xác định công thức:

1 n k k k C n k k F r r F       

Cho hệ lực song song với (hệ có hợp lực), có điểm đặt tương ứng

0

k

F   

1, 2, n F F  F

1, 2, n

M M M

k

F

k

F

trong đó, thành phần hình chiếu lực trục ∆ song song với lực

k k

r OM

1.2 Tính chất

Hợp lực hệ lực song song qua điểm C

và quay thành phần quanh điểm đặt của chúng góc α điều kiện giữ nguyên điểm đặt giá trị lực thành phần hợp lực chúng quay quanh tâm C góc α.

C M1

M M

α α

1

F

F  R



1 F

2 ĐỊNH NGHĨA TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN.

Khảo sát vật rắn nằm gần trái đất Vật chịu tác dụng lực hấp dẫn trái đất, gọi trọng lực P vật

k k k k

C

k

P r P r

r P P           

Tâm C hệ trọng lực xác định công thức:

C M1 M2 Mk k P   P   P   P

; ;

k k k k k k

C C C

P x P y P z

x y z

P P P

  

  

1 1

; ;

x xdP y ydP z zdP

Công thức xác định tọa độ trọng tâm vật rắn:

k k C P r r P     ( ) 1 . C V r rdP P    

3.CÁC ĐỊNH LÝ VỀ

TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN ĐỒNG CHẤT

3.1. Định lý 1:

Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng trọng tâm nằm tâm (trên trục, mặt phẳng) đối xứng.

3.2 Định lý 2:

3.3 Định lý 3

(định lý Guynđanh 1)

Diện tích S mặt trịn xoay sinh đường cong phẳng AB quay quanh trục đồng phẳng , khơng cắt nó, được xác định cơng thức: trong đó, L độ dài

2

S   Ld

x C

ds

dl B

3.4 Định lý (định lý Guynđanh 2)

Thể tích V vật trịn xoay sinh

bởi phẳng quay quanh trục ∆ và

khơng cắt nó, xác định công thức:

2

V   Sd

trong đó, S diện tích phẳng; d khoảng

3.5 Các phương pháp tìm trọng tâm vật rắn.

3.5.1 Phương pháp đối xứng. Áp dụng định lý

Ví dụ

3.5.2 Phương pháp phân chia

Chia vật thành phần đã biết trọng tâm, áp dụng CT: k k C P r r P    

Ví dụ: Tìm trọng tâm phẳng đồng chất, hình chữ L, với kích thước hình vẽ b d d O1 O2 A B C D E G H y X

Với véc tơ định vị trọng tâm phần thứ k

k

3.5.2 Phương pháp phân chia k k C P r r P     1 2 P S P S    

1 2 1 2

1 2

c

P x P x S x S x

x

P P S S

 

 

 

 

 

Ví dụ:

3.5.2 Phương pháp phân chia

Ví dụ:

a b d d O1 O2 A B C D E G H y X

P P

1 2

C

S x S x

x S S      2 ; ; ; .

2 2 2

S b d S a d d

d a d a d

x x d

  

 

3.5.3 Phương pháp khối lượng âm (phương pháp bù).

Khi vật bị kht nhiều lỗ có hình thù khác mà trọng tâm lỗ khoét tìm được, ta áp dụng phương pháp phân chia trên, với điều kiện lỗ khoét có khối lượng mang dấu âm

Ví dụ: Tìm trọng tâm trịn đồng chất, có bán kính R, bên

trong bị cắt O R

3.5.4 Phương pháp tích phân.

Nếu vật khối đồng chất tích V :

( ) ; C V r rdV V    

Nếu vật mặt đồng chất có diện tích S :

1 ; C S r rdS S    

Nếu vật đồng chất, có chiều dài L :

1 ; C r rdL L     ( ) 1 ; C V r rdP P  

  P .V

Ví dụ

Tìm trọng tâm nửa đĩa trịn đồng chất, có bán kính R

O x

y

R

O x

y

R



h/2

h/2

R

C xc

O

B

A

x y

α α

3.5.4 Phương pháp áp dụng định lý Guynđanh.

Ví dụ

Ví dụ

Tìm trọng tâm nửa đĩa trịn đồng chất, có bán kính R

O x

y

4.TRỌNG TÂM CỦA MỘT SỐ VẬT RẮN ĐỒNG CHẤT  Trọng tâm đồng chất điểm

giữa thanh.

C B

A

a a

 Trọng tâm hình bình hành, hình chữ nhật,

hình vng,đường trịn, mặt trịn, khối hộp chữ nhật, khối lập phương đồng chất tâm chúng.

C r

Trọng tâm tam giác đồng chất giao

của đường trung tuyến

C

Trọng tâm cung tròn đồng chất AB có

bán kính R góc tâm: AOB 2

sin

C

x R 

R

C O

B y

Trọng tâm quạt tròn đồng chất AOB

có bán kính R góc tâm AOB 2

2 sin 3

C

R

x 



 R

C xc

O

B

A

x y

Trọng tâm khối hình chóp, khối hình

nón đồng chất

Trọng tâm khối hình chóp, khối hình nón nằm đoạn thẳng nối từ đỉnh S đến trọng tâm O đáy, chia đoạn theo tỷ lệ:

C

S

C

S 1

4