Luong giac

Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.. Một số phương trình l[r]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI KHƠNG MẪU MỰC

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một số toán phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, khơng nằm phương pháp nêu hầu hết sách giáo khoa

Một số phương trình lượng giác thể tính khơng mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại không mẫu mực

Sau phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực thường gặp

I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế tổng bình phương số hạng (hay tổng số hạng không âm) vế cịn lại khơng áp dụng tính chất:

  

    

0 0

2

B A B

A Bài Giải phương trình:

0 sin tan sin tan

3 2x 2x x x 

GIẢI

m n Z

n x

m x

x x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

 

    

 

  

     

  

  

 

  

  

 

  

  



  

 

, 6

2 sin

3 tan

0 sin

0 tan

0 ) sin ( ) tan (

0 sin sin tan tan

0 sin tan sin tan

2

2

2

 

ĐS x  2k

6 

 (kZ)

II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình )

( ) (x g x

f  , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A → R: )

, ( , )

(x A x a b

f    g(x) A,x(a,b) đó:

       A x g A x f x g x f ) ( ) ( ) ( ) (

Nếu ta có f(x) A g(x) A, x(a,b) kết luận phương trình vơ ngiệm

Bài Giải phương trình:

cos5xx2 

GIẢI x

x x

x 2

5

cos

cos    

Vì 1cosx1 nên 0 x2 11x1

mà   cos 0,  1,1 cos 0,  1,1

2 ,

,

1          

      

   x x x x

Do x2 0 cos5 x0 nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Bài Giải phương trình:

cos

sin1996x 1996x (1)

GIẢI (1) sin1996xcos1996xsin2xcos2x

) cos ( cos ) (sin

sin2x 1994x  2x  1994x

 (2)

Ta thấy x x x

x x           , ) (sin sin sin

sin 2 1994

1994

Mà x x x

x x            , ) cos ( cos cos

cos 2 1994

1994

Do (2) ( , )

Vậy nghiệm phương trình là: ( ) k Z k

x  

ĐS ( )

2 k Z k

x  

Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây:



    

 

  

 

  

 

  



1 sin

1 sin

1 sin

1 sin

sin sin

bx ax bx ax bx

ax



    

 

  

   

 

   

 

1 sin

1 sin

1 sin

1 sin

sin sin

bx ax bx ax bx

ax

Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng:

1 cos

sin

1 cos sin

1 cos

cos

1 cos cos

  

  

bx ax

bx ax

bx ax

bx ax

III PHƯƠNG PHÁP ĐỐN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM

Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thông sụng sau:

Dùng tính chất đại số

Áp dụng tính đơn điệu hàm số

Phương trình f(x)0 có nghiệm x(a,b) hàm f đơn điệu (a,b) f(x)0 có nghiệm x

Phương trình f(x)g(x) có nghiệm x(a,b), f(x) tăng (giảm) (a,b), g(x) giảm (tăng) (a,b) phương trình f(x)g(x) có nghiệm x

Bài Giải phương trình:

1 cos

2

x

GIẢI

Ta thấy phương trình có nghiệm x0

Đặt

2 cos ) (

2

 

 x x

x

f biểu thức hàm số có đạo hàm

0 , sin

) (

' x  xx x

f (vì x  sinx,x)

 Hàm f đơn điệu tăng 0,

 f(x)0 có nghiệm 0,

Vậy phương trình cho có nghiệm x0 B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài 1: Giải phương trình: sin cos

2   

x x

x

x (1)

GIẢI

Ta có (1) x2 2xcosxcos2xsin2x2sinx10

  

  

  

 

 



  

 

1 sin cos

0 sin

0 cos

0 ) (sin )

cos

( 2

x x x x

x x

x x

x

Phương trình vơ nghiệm Bài 2: Giải phương trình:

1 cos

sin4x 15x

GIẢI Ta có: sin4xcos15x1

x x

x

x 15 2

4

cos sin

cos

sin   



) cos ( cos )

1 (sin

sin2 x x  x  13 x

 (1)

Vì sin2x(sin2 x1)0,x Và cos2x(1cos13x)0,x Do (1)

   

 

  

0 ) cos ( cos

0 ) (sin sin

13

2

x x

      

  

    

   

1 cos

0 cos

1 sin

0 sin

x x x x

) , (

2 2

Z n m

n x

n x

m x

m x

 

       

   

      

   

  

 



ĐS x k

2 hay x2k , (kZ) C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI

Bài 3: Giải phương trình:

4 ) ( cos

sin4x x  (1)

2 cot ) cos sin ( 2,3,4, )

1

(tanx x n  n x n x n GIẢI

1 Ta có:

(1)

4

) 2 cos(

) cos (

2

   

  

 





x x

(1cos2x)2 (1sin2x)2 1

2 ) cos(

1 sin cos

  

 





x

x x

( )

4

Z k k x

k x

 

  

   

 



2.Với điều kiện

2



k

x ta có tanx cotx ln dấu nên: cot tan

cot tan cot tan cot

4

tan         

n x x

x x

x x

Dấu "=" xảy

2 tan

4 tan cot

4

tan     

 x x x x

Với n2: phương trình cot

4 tan

2

    



 

x

x có nghiệm cho bởi:

) ( arctan

1

tanx  x k kZ

Với nZ,n2 thì:

1 sin cos

sin

cosnx nx 2x 2x

Dấu xảy ( , )

1 2

2

2

Z m k m

n khi k x

hay k x

m n khi k x

 

    

  

 

 



  



(đều không thoả mãn điều kiện

2



k

x phương trình) Vậy với n2,nZ phương trình vơ nghiệm

ĐS ( )

2

arctan k k Z

x   

Bài 4: Giải phương trình:

1 cos

1 cos cos

1

cos    

x x

x

x (1)

GIẢI Điều kiện:

  

 

0 cos

0 cos

x x

Khi (1)  cosxcos2 x cos3xcos23x 1 Vì

4

) (

1 2

2        

a a a

a a Do

4 cos

cosx x

4 cos

cos x x cos cos

1 cos

cos    

 x x và x x

Dấu xảy  

     

  

     

 

 

 x

x x x

x

x x

2 cos

2 cos

4 cos cos

4 cos cos

2

Bài 1: Giải phương trình: x x

x

3 cos 2 sin

sin   

HƯỚNG DẪN

x x

x x

x

x x x

x x x

  

  



 

 

, sin

, cos sin

, cos cos

, sin sin

4

3

2

2

Vậy phương trình tương đương:

   

 

 

1 sin

1 cos sin

4 3

x x x

ĐS ( )

2 k k Z

x   

Bài 2: Giải phương trình:

2 tan

sinx x x với

2 0 x

HƯỚNG DẪN Dễ thấy phương trình có nghiệm x0 Đặt f(x)sinxtanx2x liên tục 

   

2 ; 

Có đạo hàm: 

        

 

2 ; ,

0 cos

) cos )(cos

1 (cos )

(

' 2

2 

x x

x x

x x

f

0 cos cos

2 1 cos

5

1         

x x

x f

 đơn điệu tăng     

2 ;  Bài 3: Giải phương trình:

cos4xcos2x2 5sin3x

ĐS ( )

2 k k Z

x   

Bài 4: Giải phương trình: x x

x

x sin cos sin

cos4    ĐS xk(kZ)

Bài 5: Giải phương trình:

1 sin

2   

ĐS

   

  

 

k y

x

2

hay

   

 

 

 

k y

x

2

1