Tham khảo đề thi - kiểm tra ''thi thử đại học môn toán năm 2012_đề số 11-20'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 11) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x +1 (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trục tung tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình: log ( x + 1) + ( x − 5) log( x + 1) − x = 2) Tìm nghiệm phương trình: cos x + cos x + sin x = thoả mãn : x − < Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ x ln( x + x + 1)dx Câu IV: (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ∆ABC tam giác vuông B AB = a, BC = b, AA’ = c ( c ≥ a + b2 ) Tính diện tích thiết diện hình lăng trụ bị cắt mặt phẳng (P) qua A vng góc với CA′ Câu V: (1 điểm) Cho số thực x, y, z ∈ (0;1) xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x y z + + 2 − x − y − z2 II PHẦN RIÊNG (3 điểm): A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x = −t ; y = −1 + 2t ; z = + t ( t ∈ R ) mặt phẳng (P): x − y − z − = Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm (P), cắt vng góc với (d) 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = Viết phương trình đường thẳng d qua I(1;1) cắt (E) điểm A B cho I trung điểm AB z − w − zw = Câu VII.a: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số phức: 2 z + w = −1 B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị nhỏ 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho D ABC cân có đáy BC Đỉnh A có tọa độ số dương, hai điểm B C nằm trục Ox, phương trình cạnh AB : y = 7(x - 1) Biết chu vi D ABC 18, tìm tọa độ đỉnh A, B, C x + x − x + = y −1 + ( x, y ∈ R ) Câu VII.b: (1 điểm) Giải hệ phương trình: y + y − y + = 3x −1 + Trang 14 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 12 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3m x + 2m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) trục hồnh có điểm chung phân biệt Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình: (sin x − sin x + 4) cos x − =0 2sin x + 2) Giải phương trình: 8x + = Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: x +1 − π sin xdx (sin x + cos x) I =∫ Câu IV: (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), ∆ABC vng cân đỉnh C SC = a Tính góc ϕ mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Câu V: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: − x − + x − (2 − x)(2 + x) = m II PHẦN RIÊNG (3 điểm): A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox, Oy A B cho (OA+3OB) nhỏ 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x − y + z − = để ∆MAB tam giác Câu VII.a: (1 điểm) Tìm hệ số x 20 khai triển Newton biểu thức n + x5 ÷ , x biết rằng: 1 1 Cn0 − Cn1 + Cn2 + + (−1) n Cnn = n +1 13 B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (∆) : 3x − y − = cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆1 ) có phương trình { x = 2t ; y = t; z = ; (∆2 ) giao tuyến mặt phẳng (α ) : x + y − = ( β ) : x + y + z − 12 = Chứng tỏ hai đường thẳng ∆1 , ∆2 chéo viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vng góc chung ∆1 , ∆2 làm đường kính Câu VII.b: (1 điểm) Cho hàm số y = x + (2m + 1) x + m + m + Chứng minh với m, 2( x + m) hàm số ln có cực trị khoảng cách hai điểm cực trị không phụ thuộc m Trang 15 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 13 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x + 3m − Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = + m x + 4m có đồ thị (Cm) (m tham số) ( ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Xác định m cho đường thẳng (d): y = − x + m cắt đồ thị (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB ngắn Câu II: (2 điểm) sin x − cos x + 4sin x = 1) Giải phương trình: x y − x + y = 2) Tìm m để hệ phương trình: có ba nghiệm phân biệt 2 m ( x + y ) − x y = e xe x + dx Câu III: (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ x − x dx ; J = ∫ x x (e + ln x ) Câu IV: (1điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a điểm M cạnh AB cho AM = x, (0 < x < a) Mặt phẳng (MA'C') cắt BC N Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' Câu V: (1 điểm) Cho x, y hai số dương thay đổi thoả điều kiện 4(x + y) – = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = + x 4y II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: x + y + = ; ∆2: x – 3y – = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng d: x – 6y – 10 = tiếp xúc với ∆1, ∆2 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox có hồnh độ dương, C thuộc Oy có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (OBC), tan·OBC = Viết phương trình tham số đường thẳng BC Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: z − 2(2 + i) z + + 4i = tập số phức B Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 1(155; 48), M2(159; 50), M3(163; 54), M4(167; 58), M5(171; 60) Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M(163; 50) cho đường thẳng gần điểm cho 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mp(Oxy) cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S Câu VII.b (1 điểm) Chứng minh : 8a − 8a + ≤ , với a thuộc đoạn [–1; 1] Trang 16 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 14 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x −1 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (C) x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận (C) nhỏ Câu II (2 điểm) x + y = 1) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: x x + y y = − 3m 2) Giải phương trình: cos23x.cos2x – cos2x = Câu III (1 điểm) Tính tích phân: π I = ∫ ( x + sin x) cos xdx Câu IV (1 điểm) Trên cạnh AD hình vng ABCD có độ dài a, lấy điểm M cho AM = x (0 ≤ m ≤ a) Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng (ABCD) điểm A, lấy điểm S cho SA = y (y > 0) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y x Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM, biết x2 + y2 = a2 Câu V (1 điểm) Cho x, y, z số dương thoả mãn: 1 + + = Chứng minh rằng: x y z 1 + + ≤1 2z + y + z x + y + z x + y + 2z II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) x2 y2 + = Tìm toạ độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y2 + z2 –2x + 2y + 4z – = x y −1 z x −1 y z = , ∆2 : = = hai đường thẳng ∆1 : = Viết phương trình tiếp diện mặt cầu −1 −1 −1 (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng ∆1 ∆1 Ayx + 5.C yx = 90 Câu VII.a (1 điểm) Giải hệ phương trình: x x 5 Ay − 2.C y = 80 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = 8x Giả sử đường thẳng d qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng x 1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 + 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng ∆ có phương trình tham số { x = −1 + 2t ; y = − t ; z = 2t Một điểm M thay đổi đường thẳng ∆ , xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Câu VII.b Tính đạo hàm f ′ (x) hàm số f ( x ) = ln giải bất phương trình sau: ( − x) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (E): 6π f '(x) > π ∫ sin t dt x+ Trang 17 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 15 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số: y = 3x − x3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng y = – x điểm kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình.: 3sin x − 2sin x =2 sin x.cos x 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x( x − 1) + 4( x − 1) Câu III (1 điểm): Tính tích phân π x =m x −1 I= esin x sin x.cos3 x dx ∫ Câu IV (1 điểm): Cho hình nón đỉnh S, đường trịn đáy có tâm O đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn đáy ·ASB = 2α , ·ASM = 2β Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R, α β Câu V (1 điểm): Cho: a + b + c = Chứng minh: abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + (y + 1)2 = 25 điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) hai điểm A, B phân biệt cho MA = 3MB 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;–2) Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC), tìm tọa độ điểm H Câu VIIa (1 điểm) Giải phương trình: log 22 x + ( x − 7) log x + 12 − x = B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C D 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác BD là: x−2 y −3 z −3 x −1 y − z − = = = = , d2 : 1 −2 −2 Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC ∆ ABC tính diện tích ∆ ABC d1 : Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: 2008 x = 2007 x + Trang 18 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 16 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y= 2x − x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3;0) N(–1; –1) Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 4cos4x – cos2x − cos x + cos 2) Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: K= π + sin x 3x = ∫ + cos x ÷.e dx x Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh bên Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Câu V: (1 điểm) Gọi a, b, c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 52 ≤ a + b + c + 2abc < 27 II PHẦN RIÊNG: (3 điểm) A Theo cương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh 5x – 2y + = 4x + 7y – 21 = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm trùng với gốc tọa độ O 2) Trong khơng gian với hệ toạ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x −1 y z + = = mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 2 Câu VII.a: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = cos x π với < x ≤ sin x(2cos x − sin x) B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 3y – = đường tròn (C): x2 + y2 – 4y = Tìm M thuộc (D) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3;1) 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x−2 y z−4 = = −2 hai điểm A(1;2; –1), B(7; –2;3) Tìm (d) điểm M cho khoảng cách từ đến A B nhỏ Câu VII.b: (1 điểm) Cho α = cos 2π 2π + i sin ÷ Tìm số phức β cho β = α 3 Trang 19 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 17 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = 2x −1 x −1 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB vuông O Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: cos x ( cos x − 1) = ( + sin x ) sin x + cos x x + y − xy = (a) 2 x + + y + = (b) π Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I= ∫ (e cos x + sin x ) sin xdx Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi M, N trung điểm AD, SC Tính thể tích tứ diện BDMN khoảng cách từ D đến mp(BMN) Câu V: (1 điểm) Chứng minh rằng: e x + cos x ≥ + x − x2 , ∀x ∈ R II PHẦN RIÊNG: (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 2) cắt đường trịn (C) có phương trình ( x − 2) + ( y + 1) = 25 theo dây cung có độ dài 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 6z − 11= mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi 6π Câu VII.a: (1 điểm) Lập số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Hãy tính xác suất để lập số tự nhiên chia hết cho B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d1: 3x – 4y + 27 = 0, phân giác góc C có phương trình d 2: x + 2y – = Tìm toạ độ điểm A 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; –1; 0), B(1; –1; 2), C(2; – 2; 1), D(–1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua D cắt ba trục tọa độ điểm M, N, P khác gốc O cho D trực tâm tam giác MNP 1004 + C2009 + C2009 + + C2009 Câu VII.b: (1 điểm) Tính tổng: S = C2009 Trang 20 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 18 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = 2x − x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu II (2 điểm) x x π x − ÷ 2 2 1) Giải phương trình: + sin sin x − cos sin x = 2cos 1 2) Giải bất phương trình: log (4 x − x + 1) − x > − ( x + 2) log − x ÷ e ln x I = ∫ + 3x ln x ÷dx x + ln x a Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = SA = a , ·SAB = ·SAC = 300 Câu III (1 điểm) Tính tích phân: Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c = biểu thức P = 3 Tìm giá trị nhỏ 1 +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : x − y + = d2: 3x + 6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − = Gọi A’ hình chiếu A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A′ , B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn (C) giao (P) (S) Câu VIIa (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x − x y = x B Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y − = Viết phương trình tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm 16 (H) ngoại tiếp hình chữ nhật sở (H) 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( P ) : x + y − z + = đường thẳng (d ) : x+3 = y + = z − , điểm A( –2; 3; 4) Gọi ∆ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm (d) (P) đồng thời vuông góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn 23 x +1 + y − = 3.2 y + x (1) Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình x + + xy = x + (2) Trang 21 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 19 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi d đường thẳng qua điểm A(3; 4) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vng góc với Câu II (2điểm) 1) Giải hệ phương trình: x + + y ( x + y ) = y ( x + 1)( x + y − 2) = y 2) Giải phương trình: sin x.sin x + cos x cos3 x =− π π tan x − ÷tan x + ÷ 6 3 (x, y ∈ R ) Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ x ln( x + x + 1)dx Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + + 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM: x + y + = phân giác CD: x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số { x = −2 + t; y = −2t; z = + 2t Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (D) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (D) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆ có khoảng cách đến (D) lớn Câu VII.a (1điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x2 khai triển nhị thức Niutơn n x + ÷ , biết n số nguyên dương thỏa mãn: x 22 23 2n +1 n 6560 2Cn0 + Cn1 + Cn2 +L + Cn = ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) n +1 n +1 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + = 0, d2: x + 2y – 7= tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 điểm C thuộc d2 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2 + MB + MC e x − y + e x + y = 2( x + 1) Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình x + y e = x − y + Trang 22 (x, y ∈ R ) Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 20 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = x3 − 3x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 1 2) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: G(x)= 2sin x + ÷ − 2sin x + ÷ + 2 2 Câu II (2,0 điểm) 1) Tìm m cho phương trình sau có nghiệm nhất: ln(mx) = 2ln( x + 1) sin x.(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = 2sin x 2) Giải phương trình: Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim x →0 e2 x − x + 3x + − − x Câu IV (1,0 điểm) Xác định vị trí tâm độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = 1, CD = 10, DB = 5, BC = 13 x + y = 2 x + + y + = m Câu V (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm với x ≥ : II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác 1 4 ABC với đỉnh: A(–2;3), B ;0 ÷, C (2;0) 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm x + y + 11 = x − y +1 z −1 M ( −4; −5;3) cắt hai đường thẳng: d ' : = = d '' : y − z + = −5 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm n cho Cn1 + 6Cn2 + 6Cn3 = 9n − 14n , Cnk số tổ hợp chập k từ n phần tử B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với tiêu điểm F1 ( −1;1) , F2 ( 5;1) tâm sai e = 0,6 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vng góc x − 2z = mặt phẳng P : x − y + z + = 3 x − y + z − = đường thẳng d : Câu VII.b (1,0 điểm) Với n nguyên dương cho trước, tìm k cho C2nn − k C2nn + k lớn nhỏ Trang 23 Ôn thi Đại học e •J= xe x + ∫ x( e x + ln x ) dx = e ∫ d ( e x + ln x ) e x + ln x = ln e x + ln x e = ln ee + e Câu IV: Ta có A'M, B'B, C'N đồng quy S Đặt V1 = VSBMN, V2 = VSB'A'C' , V = VMBNC'A'B' Ta có a ( a − x) SB a − x = ⇒ SB = , (0< x < a) SB ' a x Xét phép vị tự tâm S tỉ số k = 1− V a−x x a4 ta có: = ÷ Mà V2 = S ∆ A ' B ' C ' SB ' = V2 a a 6x a x a3 x x Do đó: V = V2 − V1 = 1 − 1 − ÷ ÷÷ = 1 + 1 − ÷+ 1 − ÷ x a a a 2 a3 x x x x a ⇔ + − + − = a ⇔ − Theo đề V = ÷ ÷ ÷ + 1 − ÷− = (*) a a a a a4 x ⇒ V1 = − ÷ ; 6x a x Đặt t = − ÷, t > (vì < x < a), PT (*) ⇔ t2 + t – = ⇒ t = ( − 1) ⇒ x = − a a 20 − 15 x Câu V: Ta có: 4(x + y) = ⇒4y = – 4x ⇒ S = + = , với < x < x 4y x(5 − x) Dựa vào BBT ⇒ MinS = đạt x = 1, y = Câu VI.a: 1) Tâm I giao điểm d với đường phân giác góc tạo ∆1 ∆2 2) Câu VII.a: z = − i; z = + 3i z Câu VI.b: 1) Đường thẳng d: y = ax + b gần điểm cho M i(xi; yi), i = 1, , điều kiện cần f (a) = ∑ ( y1 − y i ) bé nhất, y i = axi + b i =1 Đường thẳng d qua điểm M(163; 50) ⇒ 50 = 163a + b ⇒ d: y = ax – 163a + 50 Từ đó: f (a) = (48 − 155a + 163a − 50) + (50 − 159a + 163a − 50) + (54 − 163a + 163a − 50) + + (58 − 167 a + 163a − 50) + (60 − 171a + 163a − 50) 2 = (8a − 2) + (4a) + + (8 − 4a) + (10 − 8a) = ( 80a − 129a + 92 ) (P) ⇒ f(a) bé a = 129 13027 129 13027 x− ⇒b = − Đáp số: d: y = 160 160 160 160 2) OABC hình chữ nhật ⇒ B(2; 4; 0) ⇒ Tọa độ trung điểm H OB H(1; 2; 0), H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng OCB + Đường thẳng vng góc với mp(OCB) H cắt mặt phẳng trung trực đoạn OS (mp có phương trình z = ) I ⇒ I tâm mặt cầu qua điểm O, B, C, S + Tâm I(1; 2; 2) bán kính R = OI = + 22 + 22 = ⇒ (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 2) = Câu VII.b: Chứng minh : 8a − 8a + ≤ , với a ∈ [–1; 1] Đặt: a = sinx, đó: 8a − 8a + ≤ ⇔ 8sin x(sin x − 1) + ≤ ⇔ − 8sin x cos x ≤ ⇔ − 8sin x cos x ≤ ⇔ − 2sin 2 x ≤ ⇔ cos x ≤ ( với x) Hướng dẫn Đề số 14 Câu I: 2) Lấy M(x0; y0) ∈ (C) d1 = d(M0, TCĐ) = |x0 + 1|, d2 = d(M0, TCN) = |y0 – 2| −3 Cô − si d = d1 + d2 = |x0 + 1| + |y0 - 2| = |x0 + 1| + x0 + ≥ Dấu "=" xảy x0 = −1 ± u + v = u + v = ⇔ Câu II: 1) Đặt u = x , v = y (u ≥ 0, v ≥ 0) Hệ PT ⇔ uv = m u + v = − 3m Trang 27 Ôn thi Đại học ĐS: ≤ m ≤ 2) Dùng công thức hạ bậc ĐS: x = k π (k ∈ Z ) π − 1 a a3 Câu IV: V = ya (a + x ) V = a (a − x )(a + x )3 Vmax = x = 36 1 1 Câu V: Áp dụng BĐT Côsi: ( x + y )( + ) ≥ ⇒ + ≥ x y x y x+ y Câu III: I = 1 1 1 1 1 ≤ + ≤ + + + ÷ 2x + y + x x + y x + z ÷ 16 x y x z Tương tự cho hai số hạng lại Cộng vế với vế ta đpcm 2 3 2 3 Câu VI.a: 1) A ; ÷, B ; − ÷ 7 7 Ta có: 2) (P): y + z + 3+ = (P): y + z + 3− = x = Câu VII.a: y = Câu VI.b: 1) Áp dụng cơng thức tính bán kính qua tiêu: FA = x1 + 2, FB = x2 + AB = FA = FB = x1 + x2 + 2) Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM Vì AB khơng đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t ;1 − t ;2t ) AM + BM = (3t ) + (2 5) + (3t − 6) + (2 5) r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ;2 v = −3t + 6;2 ( r | u |= Ta có r | v |= ( 3t ) ( + ( 3t − ) ( ) ) ( ) ) r r r r r r ⇒ AM + BM =| u | + | v | u + v = 6;4 ⇒| u + v |= 29 ( + r r r r Mặt khác, ta ln có | u | + | v |≥| u + v | Như AM + BM ≥ 29 r r 3t = ⇔ t =1 Đẳng thức xảy u , v hướng ⇔ −3t + ⇒ M ( 1;0;2 ) ( AM + BM ) = 29 Vậy M(1;0;2) minP = Câu VII.b: f ( x ) = l− 3ln ( − x ) ; f '( x ) = −3 ( ) 11 + 29 ) ( − x) ' = 3− x ( − x) 6π t π 1− cost 3 π sin dt = dt = (t − sint)|0 = (π − sinπ ) − (0 − sin0) = Ta có: ∫ ∫ π0 π0 π π π 2x −1 x < −2 t > sin dt x−3 x+ < ∫ )( ) ⇔ 1 Khi đó: π ⇔ 3 − x x + ⇔ ( < x Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 nghiệm (1) x +x m m Trung điểm AB I ; x1 + x2 + m ÷ ≡ I − ; ÷ ( theo định lý Vi-et) 2 Ta có I ∈ MN ⇒ m = –4, (1) ⇒ 2x – 4x = ⇒A(0; –4), B(2;0) x = kπ cos x = 3x Câu II: 1) PT ⇔ cos2x + cos =2⇔ ⇔ m8π ( k ; m ∈ ¢ ) ⇔ x = 8nπ 3x cos = x = 2x + 2) Nhận xét; x = ± nghiệm PT PT ⇔ 3x = 2x −1 Dựa vào tính đơn điệu ⇒ PT có nghiệm x = ± π π x x x 2 + 2sin cos e dx x + sin x x 2= + ∫ e x tan dx = π2 = + tan K = ∫ Câu III: Ta có e x x x + cos x 2cos 2cos 2cos 2 2 Câu IV: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M trung điểm BC ·AMS = α Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, I ∈ SO; N hình chiếu I SM, MI phân giác ·AMS = α a tanα ( Với a độ dài cạnh đáy) a2 a2 a2 ⇒a= Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2 ⇔ tan α + = 1− 12 12 4 + tan α α α 4π tan tan α 2 r = OI = OM.tan = Vậy V = 2 ( + tan α ) + tan α Ta có SO = OM tanα = Câu V: Vì a + b + c = nên độ dài cạnh nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: – a, – b, – c ≥ (1 − a)(1 − b)(1 − c ) > – (a + b + c) ≥ 3 (1 − a )(1 − b)(1 − c) > ⇔ 27 28 56 ⇔ ≥ ab + bc + ca − abc > ⇔ < 2ab + 2bc + 2ca + 2abc ≤ 27 27 56 52 ⇔ < (a + b + c ) − (a + b + c + 2abc ) ≤ ⇔ ≤ a + b + c + 2abc < 27 27 Trang 30 Ôn thi Đại học Câu VI.a: 1) Giả sử AB: 5x – 2y + = 0; AC: 4x + 7y – 21 = ⇒A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = ⇒ B(–4; –7) A nằm Oy, đường cao AO nằm trục Oy ⇒ BC: y + = 2a 2a = 2) Gọi A(a; 0; 0) ∈ Ox ⇒ d ( A; ( P)) = ; d ( A; d ) = 8a − 24a + 36 2 +1 + 2a 8a − 24a + 36 d(A; (P)) = d(A; d) ⇔ = ⇔ 4a = 8a − 24a + 36 ⇔ 4a − 24a + 36 = 3 ⇔ 4( a − 3) = ⇔ a = Vậy có điểm A(3; 0; 0) Dấu đẳng thức xảy a = b = c = + tan x tan x − tan x π 1+ t Đặt t = tanx ⇒ t ∈ (0; 3] Khảo sát hàm số y = nửa khoảng 0; 2t − t 3 t + 3t − 4t x = y’ = ; y’ = ⇔ (2t − t ) x =1 Câu VII.a: Vì cosx ≠ nên chia tử mẫu hàm số cho cos3x ta được: y = Từ BBT ⇒ giá trị nhỏ hàm số x = Câu VI.b: 1) M ∈ (D) ⇒ M(3b+4; b) ⇒ N(2 – 3b; – b) π N ∈ (C) ⇒ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = ⇒ b = 0; b = 38 4 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) N(2;2) M ; ÷, N − ; ÷ 5 5 uuu r 2) Ta có AB = (6; −4;4) ⇒AB//(d) Gọi H hình chiếu A (d) Gọi (P) mặt phẳng qua A (P) ⊥ (d) ⇒ (P): 3x – 2y + 2z + = H = (d)∩ (P) ⇒ H(–1;2;2) Gọi A′ điểm đối xứng A qua (d) ⇒ H trung điểm AA′ ⇒A′ (–3;2;5) Ta có A, A′ , B, (d) nằm mặt phẳng Gọi M = A′ B∩(d) Lập phương trình đường thẳng A′ B ⇒ M(2;0;4) Câu VII.b: Gọi β = r( cosϕ + isinϕ) ⇒ β3 = r3( cos3ϕ + isin3ϕ) r = 3 r = 3 2π 2π + i sin ⇒ Ta có: r ( cos3ϕ + isin3ϕ) = cos ÷⇒ π 2π k 2π 3 + k 2π + 3ϕ = ϕ = 2π 2π 2π 2π +k +k Suy β = 3 cos ÷+ i sin ÷÷ Hướng dẫn Đề số 17 Câu I: 2) Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): x + (m − 3) x + − m = 0, (*) có nghiệm phân biệt xA xB ⇒A(xA; xA + m), B(xB; xB + m), x A + xB = − m Theo định lí Viét: x A xB = − m uuu r uuu r Để ∆OAB vng O OA.OB = ⇔ x A xB + ( xA + m ) ( xB + m ) = ⇔ x A x B + m ( x A + x B ) + m = ⇔ m = −2 Câu II: 1) PT ⇔ (1 + sin x)(1 − sin x)(cos x − 1) = 2(1 + sin x)(sin x + cos x) Trang 31 x ≠ (*) Ôn thi Đại học π 1 + sin x = x = − + k 2π 1 + sin x = ⇔ ⇔ ⇔ sin x + cos x + sin x cos x + = ( + sin x ) ( cos x + 1) = x = π + k 2π 2) (b) ⇔ x + y + ( x + 1).( y + 1) = 14 ⇔ xy + ( xy ) + xy + = 11 (c) p =3 p ≤ 11 ( c ) ⇔ p + p + = 11 − p ⇔ ⇔ Đặt xy = p p = −35 p + 26 p − 105 = (a) ⇔ ( x + y ) = xy + • p = xy = − 35 (loại) xy = ⇒x= y= 1/ Với x + y = ( Vậy hệ có hai nghiệm là: π π ∫e Câu III: I = cos x π • I1 = ∫e cos x sin xdx + • p = xy = ⇒ x + y = ±2 xy = ⇒x= y=− 2/ Với x + y = −2 3; ) , ( − 3; − ) ∫ sin x.sin xdx sin x.dx Đặt cosx = t ⇒ I1 = π • I2 = ∫0 sin x.sin xdx = π 1 sin x sin x − = cos x − cos3 x dx = ÷ ( ) ∫0 2 π 2 = 3 Câu IV: Gắn hệ trục toạ độ cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; a), uuur uuuu r a2 a2 a2 a a a a M 0; ; ÷, N ; ; ÷ ⇒ BN , BM = − ; − ; ÷ 2 2 r uuur a uuur uuuu ⇒ VBMND = BN , BM BD = 24 r 1 uuur uuuu a2 S BMN = BN , BM = Mặt khác, VBMND = S BMN d ( D,( BMN ) ) , 3V a ⇒ d ( D,( BMN ) ) = BMND = S BMN ⇒ I =2+ Câu V: Xét hàm số: f ( x ) = e x + cos x − − x + x2 , x ∈ R f ′ ( x ) = e x − sin x − + x ⇒ f ′′ ( x ) = e x + − cos x > 0, ∀x ∈ R ⇒ f ′ (x) hàm số đồng biến f ′ (x) = có tối đa nghiệm Kiểm tra thấy x = nghiệm f ′ (x)=0 x2 Dựa vào BBT f(x) ⇒ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ e x + cos x ≥ + x − , ∀x ∈ R Câu VI.a: 1) d: a(x – 1)+ b(y –2) = ⇔ ax + by – a – 2b = ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) (C) đến d a = 2a − b − a − 2b 2 d ( I,d ) = = ⇔ a − 3b = a + b ⇔ 8a + 6ab = ⇔ 2 a = − b a +b • a = 0: chọn b = ⇒ d: y – = • a = − b : chọn a = 3, b = – ⇒ d: 3x – y + = Trang 32 Ôn thi Đại học 2) Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = (D ≠ 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường trịn có chu vi 6π nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (β) h = R − r = 52 − 32 = Do 2.1+ 2(−2) − 3+ D D = −7 = ⇔ −5 + D = 12 ⇔ D = 17 (loaïi) 22 + 22 + (−1)2 Vậy (β) có phương trình 2x + 2y – z – = Câu VII.a: Gọi A biến cố lập số tự nhiên chia hết cho 5, có chữ số khác * Số số tự nhiên gồm chữ số khác nhau: A85 − A74 = 5880 số * Số số tự nhiên chia hết cho có chữ số khác nhau: A74 + A63 = 1560 số 1560 13 ⇒ P(A) = = 5880 49 ur x − y +1 = Câu VI.b: 1) Đường thẳng BC có VTCP là: U = ( 3; −4 ) ⇒ phương trình BC: −4 ⇒ Toạ độ điểm C ( −1;3) + Gọi B’ điểm đối xứng B qua d2, I giao điểm BB’ d2 x − y +1 ⇔ 2x − y − = ⇒ phương trình BB’: = 2 x − y − = x = ⇔ ⇒ I (3;1) + Toạ độ điểm I nghiệm hệ: x + y − = y =1 x B ' = x I − xB = ⇒ B′ (4;3) + Vì I trung điểm BB’ nên: y = y − y = B' I B + Đường AC qua C B’ nên có phương trình: y –3 =0 y −3 = x = −5 ⇔ ⇒ A(−5;3) + Toạ độ điểm A nghiệm hệ: 3 x − y + 27 = y = 2) Theo giả thiết ta có M(m; 0; 0) ∈Ox , N(0; n; 0) ∈Oy , P(0; 0; p) ∈ Oz uuur uuuu r uuur uuuu r DP = ( 1; −1; p − 1) ; NM = ( m; − n;0 ) DP.NM = m + n ⇒ uuur uuuu uuuu r r Ta có : uuur DN PM = m + p DN = ( 1; n − 1; −1) ; PM = ( m;0; − p ) x y z −1 1 + + = Phương trình mặt phẳng (α): + + = Vì D ∈(α) nên: m n p m n p m+n=0 uuur uuuu r uuur uuuu r m + p = ⇔ m = −3 DP ⊥ NM DP.NM = D trực tâm ∆MNP ⇔ uuur uuuu r ⇔ uuur uuuu r ⇔ n = p = − 1 + + =1 DN ⊥ PM DN PM = m n p x y z Kết luận, phương trình mặt phẳng (α): + + =1 −3 3 1004 + C2009 + C2009 + + C2009 Câu VII.b: S = C2009 (1) 2009 2008 2007 1005 ⇔ S = C2009 + C2009 + C2009 + + C2009 (2) (vì Cnk = Cnn − k ) 1004 1005 2009 ⇒ S = C2009 + C2009 + C2009 + + C2009 + C2009 + + C2009 = ( + 1) ⇒ S = 22008 Hướng dẫn Đề số 18 Trang 33 2009 Ôn thi Đại học −1 2x − 3 , x0 ≠ , y'(x0) = Câu I: 2) Ta có: M x0; ( x0 − 2) x0 − Phương trình tiếp tuyến ∆ với ( C) M : ∆ : y = −1 2x − (x − x0) + x0 − ( x0 − 2) 2x − ; B( 2x0 − 2;2) Toạ độ giao điểm A, B (∆) hai tiệm cận là: A 2; x − yA + yB 2x0 − x A + xB + x0 − = = yM ⇒ M trung điểm AB = = x0 = xM , x0 − 2 Mặt khác I(2; 2) ∆IAB vng I nên đường trịn ngoại tiếp ∆IAB có diện tích: x0 − 2 − ÷ = π ( x0 − 2)2 + ≥ 2π S = π IM = π ( x0 − 2) + x − ( x − 2) Ta có: Dấu “=” xảy (x0 − 2) = x0 = 1 ⇔ ⇒ M(1; 1) M(3; 3) (x0 − 2)2 x0 = x = kπ x x x ⇔ x = kπ Câu II: 1) PT ⇔ sin x sin − ÷ 2sin + 2sin + ÷ = ⇔ 2 x = π + k 4π 1 1 2) BPT ⇔ x[ log2(1− 2x) + 1] < x < ÷ ⇔ < x < x < 2 e e ln x 2e + 5− 2 + 2e3 dx + 3∫ x ln xdx = 2(2 − 2) + Câu III: I = ∫ = 3 x + ln x Câu IV: Dùng định lí cơsin tính được: SB= a, SC = a Gọi M trung điểm SA Hai tam giác SAB SAC cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA Suy SA ⊥ (MBC) Ta có VS.ABC = VS.MBC + VA MBC = 1 MA SMBC + SA.SMBC = SA.SMBC 3 Hai tam giác SAB SAC Do MB = MC ⇒ ∆MBC cân M Gọi N trung điểm BC ⇒ MN ⊥ BC Tương tự MN ⊥ SA 2 a a 3a a MN = AN − AM = AB − BN − AM = a − − = ⇒ MN = 16 4 2 Do đó: VS.ABC = 2 2 1 a a a3 SA MN.BC = a = 16 Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có 1 1 1 ( x + y + z ) + + ÷ ≥ 3 xyz =9⇒ + + ≥ (*) x y z x+ y+z xyz x y z 1 +3 +3 ≥3 a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có : a + 3b + + 1 a + 3b 1.1 ≤ = ( a + 3b + ) ( ) 3 b + c + + 1 b + 3c 1.1 ≤ = ( b + 3c + ) ( ) 3 c + 3a + + 1 c + 3a 1.1 ≤ = ( c + 3a + ) ( ) 3 1 Suy ra: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ ( a + b + c ) + 6 ≤ + = 3 Áp dụng (*) ta có P = Trang 34 Ôn thi Đại học a + b + c = ⇔ ⇔ a=b=c= P ≥ Do Dấu = xảy a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1 Vậy P đạt giá trị nhỏ a = b = c = r r a = (2; − 1) a = (3;6) Câu VI.a: 1) d1 VTCP ; d2 VTCP ur uu r Ta có: a1 a2 = 2.3 − 1.6 = nên d1 ⊥ d d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: d : A( x − 2) + B ( y + 1) = ⇔ Ax + By − A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I ⇔ d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A − B A = 3B ⇔ = cos 450 ⇔ A2 − AB − 3B = ⇔ 2 2 A + B + (−1) B = −3 A * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x + y − = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x − y − = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = ; d : x − y − = 2) Dễ thấy A′ ( 1; –1; 0) Phương trình mặt cầu ( S): x + y + z − x − y − z + = 5 29 ⇒ (S) có tâm I ;1;1÷ , bán kính R = 2 +) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc với (P) x = / + t 5 1 ⇒H ; ; ÷ d: y = + t 3 6 z = 1+ t 75 29 75 31 186 , (C) có bán kính r = R − IH = = − = = 36 36 6 Câu VII.a: Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): x ≥ x ≥ x = 2 | x − x |= x ⇔ x − x = x ⇔ x − x = ⇔ x = x = x − x = −2 x x − x = IH = Suy ra: S = ∫( ) x − x − x dx + ∫( x ) − x − x dx = 52 + 16 = 3 Câu VI.b: 1) (H) có tiêu điểm F1 ( −5;0 ) ; F2 ( 5;0 ) Hình chữ nhật sở (H) có đỉnh M( 4; 3), x2 y Giả sử phương trình tắc (E) có dạng: + = ( với a > b) a b 2 ( 1) (E) có hai tiêu điểm F1 ( −5;0 ) ; F2 ( 5;0 ) ⇒ a − b = M ( 4;3) ∈ ( E ) ⇔ 9a + 16b = a 2b ( 2) a = + b a = 40 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ: 2 2 9a + 16b = a b b = 15 2 2 Vậy (E): x = 2t − 2) Chuyển phương trình d dạng tham số ta được: y = t − z = t + x2 y2 + =1 40 15 Gọi I giao điểm (d) (P) ⇒ I ( −1;0;4 ) r r * (d) có vectơ phương a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến n ( 1; 2; −1) Trang 35 Ôn thi Đại học r r r r ⇒ a, n = ( −3;3;3) Gọi u vectơ phương ∆ ⇒ u ( −1;1;1) x = 1− u uuuu r ⇒ ∆:y = u Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( −1 − u; u;4 + u ) , ⇒ AM ( − u; u − 3; u ) z = + u uuuu rr AM ngắn ⇔ AM ⊥ ∆ ⇔ AM u = ⇔ −1(1 − u ) + 1(u − 3) + 1.u = ⇔u= −7 16 Vậy M ; ; ÷ 3 3 x ≥ −1 x = x +1 ≥ x ≥ −1 ⇔ ⇔ x = ⇔ x ≥ −1 Câu VII.b: PT (2) ⇔ 3 x + + xy = x + x(3x + y − 1) = 3 x + y − = y = − 3x 8 * Với x = thay vào (1): + y − = 3.2 y ⇔ + y = 12.2 y ⇔ y = ⇔ y = log 11 11 x ≥ −1 * Với thay y = – 3x vào (1) ta được: 23 x +1 + 2−3 x −1 = 3.2 (3) y = − 3x Đặt t = 23 x +1 Vì x ≥ −1 nên t ≥ t = 3− (loaïi ) x = log2(3+ 8) − 1 (3) ⇔ t + = ⇔ t2 − 6t + 1= ⇔ ⇔ 3 t t = 3+ y = − log (3+ 8) x = x = log (3 + 8) − 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm y = log 11 y = − log (3 + 8) Hướng dẫn Đề số 19 Câu I: 2) d có phương trình y = m(x – 3) + Hoành độ giao điểm d (C) nghiệm phương trình: x = x − x + = m( x − 3) + ⇔ ( x − 3)( x − m) = ⇔ x − m = Theo ta có điều kiện m > y '( m ) y '( − m ) = −1 ⇒ (3m − m )(3m + m ) = −1 ⇔ 9m − 36m + = ⇔ m = 18 ± 35 (thỏa mãn) x2 + + x+ y−2=2 y Câu II: 1) y = nghiệm Hệ PT ⇔ x + ( x + y − 2) = y x2 + =1 x2 + u + v = , v = x + y − Ta có hệ ⇔ u = v =1 ⇔ y Đặt u = y uv = x + y − = Nghiệm hpt cho (1; 2), (–2; 5) π π π π 2) Điều kiện: sin x − ÷sin x + ÷cos x − ÷cos x + ÷ ≠ 6 3 6 3 Trang 36 Ôn thi Đại học π π π π Ta có tan x − ÷tan x + ÷ = tan x − ÷cot − x ÷ = −1 6 3 6 6 PT ⇔ sin x.sin x + cos3 x cos3 x = − cos x cos x − cos x + cos x cos x + cos x ⇔ × + × = 2 2 π x = + kπ (loaïi) 1 ⇔ 2(cos x + cos x cos x) = ⇔ cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = − π + kπ π Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ , (k ∈ Z) 2x + du = dx u = ln( x + x + 1) x + x +1 ⇒ Câu III: Đặt dv = xdx v = x 1 1 1 1 2x + dx x2 x3 + x dx − ∫ I = ln( x + x + 1) − ∫ dx = ln − ∫ (2 x − 1) dx + ∫ 2 20 x + x +1 x + x +1 2 x + x +1 3π ⇒ I = ln − 12 Câu IV: Gọi M trung điểm BC, gọi H hình chiếu vng góc M lên AA’ Khi (P) ≡ (BCH) Do góc ·A ' AM nhọn nên H nằm AA’ Thiết diện lăng trụ cắt (P) tam giác BCH a a Do tam giác ABC cạnh a nên AM = , AO = AM = 3 a2 a2 a Theo S BCH = ⇒ HM BC = ⇒ HM = 8 3a 3a 3a − = 16 A ' O HM AO.HM a a a Do ∆A’AO ∆MAH đồng dạng nên ⇒ A 'O = = = = AO AH AH 3a 1aa a3 Thể tích khối lăng trụ: V = A′O.S ABC = A′O AM BC = a= 23 12 1 1 Câu V: Ta có a2+b2 ≥ 2ab, b2 + ≥ 2b ⇒ = ≤ 2 a + 2b + a + b + b + + 2 ab + b + 1 1 1 ≤ , ≤ Tương tự 2 2 b + 2c + bc + c + c + 2a + ca + a + 1 1 1 ab b P≤ + + = + + = ÷ ab + b + bc + c + ca + a + ab + b + b + + ab + ab + b ÷ 1 P = a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn a = b = c = 2 Câu VI.a: 1) Điểm C ∈ CD : x + y − = ⇒ C ( t ;1 − t ) AH = AM − HM = t +1 − t ; Suy trung điểm M AC M ÷ Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − = I (điểm K ∈ BC ) Suy AK : ( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − y + = Trang 37 Ôn thi Đại học x + y −1 = ⇒ I ( 0;1) Tọa độ điểm I thỏa hệ: x − y +1 = Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK ⇒ tọa độ K ( −1;0 ) x +1 y = ⇔ 4x + 3y + = Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình: −7 + 2) Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆, ( P ) P ( D ) ( P ) ⊃ ( D) Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH ≤ IA IH ⊥ AH d ( ( D ) , ( P ) ) = d ( I , ( P ) ) = IH Mặt khác H ∈ ( P ) Trong (P), IH ≤ IA ; maxIH = IA ⇔ H ≡ A Lúc (P) vị trí (P0) ⊥ IA A r uu r r Vectơ pháp tuyến (P0) n = IA = ( 6;0; −3) , phương với v = ( 2;0; −1) Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2( x − 4) − 1.( z + 1) = x − z − = 2 0 n 2 n n Câu VII.a: Ta có I = ∫ (1 + x) dx = ∫ ( Cn + Cn x + Cn x +L + Cn x ) dx 1 = Cn0 x + Cn1 x + Cn2 x +L + Cnn x n +1 ÷ n +1 0 22 23 2n +1 n 3n +1 − Mặt khác I = (2) Cn + Cn +L + Cn (1) (1 + x) n +1 = n +1 n +1 n +1 22 23 2n +1 n 3n +1 − Từ (1) (2) ta có 2Cn0 + Cn1 + Cn2 +L + Cn = n +1 n +1 n +1 − 6560 Theo = ⇔ 3n +1 = 6561 ⇒ n = n +1 n +1 ⇒ I = 2Cn0 + k 7 7−k k 14−43k k Ta có khai triển x + ÷ = ∑ C7 x ÷ = ∑ k C7 x x 0 2 x 14 − 3k =2⇔k =2 Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa mãn 21 Vậy hệ số cần tìm C72 = Câu VI.b: 1) Do B ∈ d1 nên B(m; – m – 5), C ∈ d2 nên C(7 – 2n; n) + m + − 2n = 3.2 m = −1 ⇔ Do G trọng tâm ∆ABC nên ⇒ B(–1; –4), C(5; 1) 3 − m − + n = 3.0 n = ( ) 83 17 338 x+ y− =0 27 27 7 2) Gọi G trọng tâm ∆ABC ⇒ G ; ;3 ÷ 3 u u u r uuu r uuur uuu r uuur uuur Ta có F = MA2 + MB + MC = ( MG + GA ) + ( MG + GB ) + ( MG + GC ) uuur uuu r uuu r uuuur = 3MG + GA2 + GB + GC + MG (GA + GB + GC ) = 3MG + GA2 + GB + GC F nhỏ ⇔ MG2 nhỏ ⇔ M hình chiếu G lên (P) − −3−3 19 ⇔ 3 MG = d (G ,( P )) = = 1+1+1 3 56 32 104 64 GA2 + GB + GC = + + = 9 ⇒ PT đường tròn ngoại tiếp ∆ABC: x + y − 19 64 553 Vậy F nhỏ ÷ + = M hình chiếu G lên (P) 3 3 Trang 38 Ôn thi Đại học x− y v v (1) u = x + y e = x + y + e = u + e = u + ⇔ u Câu VII.b: Đặt Hệ PT ⇔ x + y ⇔ u v e = x − y + v = x − y e = v + e − e = v − u (2) • Nếu u > v u < v (2) vơ nghiệm • Nên (2) ⇔ u = v Thế vào (1) ta có eu = u+1 (3) Xét f(u) = eu – u – , f ′ (u) = eu – Từ BBT f(u) ta có f(u) = ⇔ u = x + y = x = ⇔ Do (3) có nghiệm u = ⇒ v = ⇒ x − y = y = Hướng dẫn Đề số 20 5 = t ⇒ t ∈ − ; g ( x ) = f ( t ) = t − 3t + 2 27 −27 − 54 + 32 49 3 f − ÷ = − − + = =− ; 8 2 Câu I: 2) Đặt 2sin x + f CD = f ( ) = 4; f CT = f ( ) = 0; ⇒ Max = 4, Min = − 49 25 125 − 150 + 32 125 f ÷= − + = = 8 2 x > − 1, mx > Câu II: 1) ĐKXĐ: Như trước hết phải có m ≠ Khi đó, PT ⇔ mx = ( x + 1) ⇔ x + (2 − m) x + = (1) Phương trình có: ∆ = m − 4m • Với m ∈ (0;4) ⇒ ∆ < ⇒ (1) vơ nghiệm • Với m = , (1) có nghiệm x = −1 < ⇒ loại • Với m = , (1) có nghiệm x = thoả ĐKXĐ nên PT cho có nghiệm • Với m < , ĐKXĐ trở thành −1 < x < Khi ∆ > nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) Mặt khác, f (−1) = m < 0, f (0) = > nên x1 < −1 < x2 < , tức có x2 nghiệm phương trình cho Như vậy, giá trị m < thoả điều kiện tốn • Với m > Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) Áp dụng định lý Viet, ta thấy hai nghiệm dương nên giá trị m > bị loại Tóm lại, phương trình cho có nghiệm khi: m ∈ (−∞;0) ∪ { 4} kπ 2) ĐKXĐ: x ≠ cho sin x ≥ Khi đó, VT = sin x + cos x + sin x cos x + cos x sin x = (sin x + cos x)(sin x − sin x cos x + cos x) + sin x cos x(sin x + cos x) = sin x + cos x sin x + cos x ≥ PT ⇔ sin x + cos x = 2sin x ⇔ (sin x + cos x) = 2sin x (1) π π + kπ ⇔ x = + kπ π Để thoả mãn điều kiện sin x + cos x ≥ , nghiệm là: x = + 2kπ 2x 2x e − 2x + 1 − 2x + + e −1 x = = Câu III: Ta có: x 3x + − − x 3x + − − x − x + e x − x ( x + + + x) − x + + e2 x − x + = = ÷ x x x (3x + 4) − (2 + x) 3x + − − x (1) ⇔ + sin x = 2sin x ⇔ sin x = 1(> 0) ⇔ x = Trang 39 Ôn thi Đại học −2 e2 x − 3x + + + x −2 x e x − ÷ x( 3x + + + x) − + + = = ÷ x + 2x + 2x 1+ x 2x ÷ − x − x2 + 2x + e2 x − x + ⇒ lim = −( −1 + 2).4 = −4 x →0 3x + − − x Câu IV: Ta có: CD = 10 = AC + AD ; DB = = AD + AB ; BC = 13 = AB + AC ; Do tứ diện ABCD có ba mặt ba tam giác vng đỉnh A Lấy điểm E, F, G, H cho đa diện ABEC.DGHF hình hộp chữ nhật Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện mặt cầu ngoại tiếp hình hộp Tâm mặt cầu trung điểm I 1 14 đoạn AH, cịn bán kính R = AH = + 32 + 12 = 2 x x−3 + Câu V: Đặt f ( x ) = x + + (3 − x) + ⇒ f ′( x ) = x +3 (3 − x) + ( ) 2 ≤ x ≤ f ′( x ) = ⇔ x x − x + 14 = (3 − x) x + ⇔ 2 x + 18 x − 27 = −9 ± 15 Dễ kiểm tra hai nghiệm bị loại nhỏ Vậy, đạo hàm hàm số đổi dấu [ 2;∞ ) , f ′(3) > nên f ′( x ) > 0, ∀x ≥ Do đó, giá trị nhỏ f ( x ) f (2) = + Phương trình thứ hai có ∆ ' = 81 + 54 = 135 = 9.15 , hai nghiệm: x1,2 = f ( x ) = ∞ Từ suy ra: hệ phương trình cho có nghiệm (với x ≥ ) Cũng dễ thấy lim x →∞ m ≥ + Câu VI.a: 1) Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC chân đường phân giác góc A 2 9 ÷ + ( −3) d− DB AB = 4 = ⇔ ⇒ 4d − = − 3d ⇒ d = DC AC 2−d 42 + ( −3) x+2 y −3 x+2 y −3 = ⇔ x + y − = ; AC: = ⇔ 3x + y − = −3 −3 Giả sử tâm I đường trịn nội tiếp có tung độ b Khi hồnh độ − b bán kính b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có: b − = 5b ⇒ b = − 3 ( − b ) + 4b − = b ⇔ b − = 5b ⇒ b − = −5b ⇒ b = 32 + 42 Rõ ràng có giá trị b = hợp lý Vậy, phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC là: 2 1 1 x− ÷ +y− ÷ = 2 2 2) Mặt phẳng P’ qua đường thẳng d’ có phương trình dạng: m ( x + y + 11) + n ( y − z + ) = ⇔ 2mx + ( 3m + n ) y − 2nz + 11m + n = Để mặt phẳng qua M, phải có: m( −8 − 15 + 11) + n( −5 − + 7) = ⇔ n = −3m Chọn m = 1, n = −3 , ta phương trình P’: x + z − 10 = ur Đường thẳng d” qua A ( 2; −1;1) VTCP m = (2;3; −5) Mặt phẳng P” qua M d” có uuur r ur hai VTCP m MA ( 6;4; −2 ) n ( 3;2; −1) Vectơ pháp tuyến P” là: Phương trình AD: ur 3; −5 −5;2 2;3 p= , , ÷ = ( 7; −13; −5 ) 2; −1 −1;3 3;2 Trang 40 Ôn thi Đại học Phương trình P”: 7( x + 4) − 13( y + 5) − 5( z − 3) = ⇔ x − 13 y − z − 29 = Đường thẳng d phải giao tuyến P’ P” nên có phương trình: x + z − 10 = 7 x − 13 y − z − 29 = Câu VII.a: Điều kiện: n ≥ Theo giả thiết thì: n + 3n(n − 1) + n(n − 1)(n − 2) = 9n − 14n ⇔ n − 9n + 14 = ⇔ n = c =5 Câu VI.b: 1) Giả sử M ( x, y ) điểm thuộc elip Vì bán trục lớn elip a = = e 0,6 nên ta có: MF1 + MF2 = 10 ⇔ ( x + 1) + ( y − 1)2 + ( x − 5) + ( y − 1)2 = 10 ( x − 2) ( y − 1) + =1 25 16 2) Mặt phẳng Q qua d có phương trình dạng: m ( x − z ) + n ( 3x − y + z + ) = ⇔ ⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( −2m + n ) z + 5n = (Q) ⊥ (P) ⇔ 1.(m + 3n) − 2( −2n) + 1.( −2m + n) = ⇔ − m + 8n = Chọn m = 8, n = 1, ta phương trình Q: 11x − y − 15 z + = Vì hình chiếu d’ d P giao tuyến P Q nên phương trình d’ là: x − y + z + = 11x − y − 15 z + = Câu VII.b: Ta chứng minh C2nn + k C2nn− k giảm k tăng, tức là: C2nn + k C2nn− k > C2nn+ k +1C2nn− k −1 (3) Thật vậy, ta có chuỗi biến đổi tương đương sau đây: ( 2n + k ) !( 2n − k ) ! > ( 2n + k + 1) !( 2n − k − 1) ! (3) ⇔ n!( n + k ) !n !( n − k ) ! n!( n + k + 1) !n !( n − k − 1) ! 2n − k 2n + k + n n > ⇔ +1> + n−k n + k +1 n−k n + k +1 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên; từ suy (3) Do đó, C2nn + k C2nn − k lớn k = nhỏ k = n ⇔ Trang 41 ... Trang 16 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 14 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x −1 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (C) x +1 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ... Trang 17 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 15 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số: y = 3x − x3 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ... Trang 18 Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 16 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y= 2x − x +1 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ