Tài liệu ôn thi đại học môn Toán năm 2014 bao gồm những nội dung về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; ý phụ câu khảo sát hàm số; phương trình lượng giác; tích phân; số phức; thể tích khối chóp;... Mời các bạn tham khảo.
TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 PHẦN I: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số dạng toán mà phải gặp đề thi đại học phải thường xun làm tập dạng cách thục Hãy làm làm lại nhiều lần khơng làm thường xuyên quên A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Tập xác định hàm số Sự biến thiên: - Chiều biến thiên Tính đạo hàm cấp tìm nghiệm đạo hàm (nếu có) Kết luận tính đơn điệu hàm số - Cực trị hàm số - Giới hạn hàm số đường tiệm cận (nếu có) đồ thị hàm số - Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị B VÍ DỤ MINH HỌA VD1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = - x4 - x2 + Giải: Tập xác định: D = R VD2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 4x3 - 6x2 + Giải: TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 VD3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = Giải: Tập xác định: D = R \ { − 1} Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: Ta có y ′ = ( x + 1) > với x ≠ - Hàm số đồng biến khoảng (- ∞ ; -1) vµ ( -1; + ∞ ) * Cực trị: Hàm số khơng có cực trị * Giới hạn vô cực: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang: y = x →+∞ x →−∞ lim y = +∞; lim + y = −∞ ; tiệm cận đứng: x = - x →( −1) x →( −1) − * Bảng biến thiên: x -∞ -1 y’ + +∞ y Đồ thị: +∞ + -∞ 2x +1 x +1 TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 −−−−−−−−−o−0o−−−−−−−−−− PHẦN II: Ý PHỤ CÂU KHẢO SÁT HÀM SỐ I CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số f có cực trị y ' đổi dấu Hàm số f khơng có cực trị y ' khơng đổi dấu Hàm số f có cực trị y ' đổi dấu lần Hàm số f có cực trị (cực đại cực tiểu) y ' đổi dấu lần Hàm số f có cực trị y ' đổi dấu lần Hàm số f đạt cực đại x0 nếu: Hàm số f đạt cực tiểu x0 nếu: Hàm số f có đạo hàm đạt cực trị x0 => f ' (x0) = Chú ý: Đối với hàm số bất kỳ, hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm triệt tiêu đạo hàm khơng xác định II PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) −Tính đạo hàm giá trị f ' ( x0 ) − Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k − Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 − Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A ( xA ; y A ) ∉ ( C ) TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 − Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k, ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A − Điều kiện tiếp xúc ( d ) ( C ) hệ phương trình sau phải có nghiệm: f ( x ) = k ( x − x A ) + y A f ' ( x ) = k III CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỒNG BIẾN−NGHỊCH BIẾN Cho hàm sơ y = f ( x ) có tập xác định miền D − f(x) đồng biến D ⇔ f ' ( x ) ≥ , ∀x ∈ D − f(x) nghịch biến D ⇔ f ' ( x ) ≤ , ∀x ∈ D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D) −−−−−−−−−o−0o−−−−−−−−−− PHẦN III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I CƠNG THỨC Hệ thức LG sin α + cos α = π α ≠ + kπ ÷ π = tan α + 1 α ≠ + k π ÷ 2 cos α Công thức LG thường gặp sin ( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa tan α = sin α cos α Công thức cộng: tan α cot α = cos α cot α = ( α ≠ kπ ) sin α = cot α + ( α ≠ kπ ) sin α cos ( a ± b ) = cos a cos b msinasinb tan ( a ± b ) = tana ± tanb mtanatanb sin 2a = 2sin a.cos a cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − 2sin a Công thức nhân: cos 3a = cos a − 3cos a sin 3a = 3sin a − 4sin a tan 3a = Tích thành tổng: Tổng thành tích: tan a − tan a − tan a [cos(a−b)+cos(a+b)] sina.sinb = [cos(a−b)−cos(a+b)] sina.cosb = [sin(a−b)+sin(a+b)] a+b a−b sin a + sin b = 2sin cos 2 cosa.cosb = TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 a+b a−b sin 2 a+b a −b cos a + cos b = cos cos 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 sin(a ± b) tan a ± tan b = cos a.cos b Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a) sin2a = (1−cos2a) a Biểu diễn hàm số LG theo t = tan 2t 1- t 2t sin a = ; cos a = ; tan a = 2 1+ t 1+ t 1− t2 sin a − sin b = cos Phương trìng LG u = v + k 2π * sinu=sinv ⇔ u = π − v + k 2π * cosu=cosv⇔u=± v+k2π * tanu=tanv ⇔ u=v+kπ * cotu=cotv ⇔ u=v+kπ ( k ∈ Z ) II MỘT SỐ PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác: a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải phương trình ta dùng cơng thức LG để đưa phương trình phương trình LG b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải phương trình ta đặt t hàm số LG Phương trình bậc sinx cosx: Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm a + b ≥ c b c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a đặt = tan α , ta được: sinx+tanαcosx= cos α a a c c ñaë t ⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos α ⇔ sin(x+ α )= cos α = sin ϕ a a 2 Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a + b , ta được: a b c sin x + cos x = a2 + b2 a + b2 a + b2 a b = cos β ; = sin β Khi phương trình tương đương: Đặt: 2 a +b a + b2 đặ t c c cos β sin x + sin β cos x = sin ( x + β ) = = sin ϕ hay a + b2 a + b2 Phương trình bậc hai sinx cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*) TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 π + kπ + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0 π = tan x + x ≠ + kπ ÷ Chú ý: 2 cos x Cách 2: Áp dụng cơng thức hạ bậc Phương trình đối xứng sinx cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx± cosx Điều kiện | t | ≤ Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x = π π Lưu ýcá c cô ng thứ c : sin x + cos x = sin x + ÷ = cos x − ÷ 4 4 π π sin x − cos x = sin x − ÷ = − cos x + ÷ 4 4 −−−−−−−−−o−0o−−−−−−−−−− PHẦN IV: TÍCH PHÂN I BẢNG NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ: ∫ 0.dx = C ∫ dx = x + C ax ∫ a dx = +C ln a ∫ cos xdx = sin x + C x x n +1 ∫ x dx = + C (n # -1) n +1 n dx ∫ x = ln x + C x x e dx = e +C ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C dx ∫ cos x = tgx + C dx = − cot gx + C 10 ∫ sin x II Các tính chất tích phân: a Tính chất 1: ∫ f ( x )dx = a Nếu tích phân có cận cận kết Tính chất 2: b a a b ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx Trong tính tích phân muốn đảo cận thêm dấu “ - “ vào trước tích phân TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 b Tính chất 3: b ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx a ∈R k a Trong tích phân có hệ số k chuyển hệ số ngồi dấu tích phân Tính chất 4: b b b a a a ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ]dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Đây tính chất tách tích phân, tùy trường hợp mà tách nhiều tích phân Tính chất 5: c b c a a b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx Đây tính chất tách miền tích phân Tính chất 6: b Tích phân ∫ f ( x ) dx b b b a a a ∫ f ( x )dx = ∫ f ( t )dx = ∫ f ( u )dx = phụ thuộc vào hàm số f ( x ) , cận a b mà khơng phụ thuộc vào a cách kí hiệu biến số tích phân A Phương pháp 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VÀO VI PHÂN NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP: b * Tích phân I = ∫ f ( x ) dx ta đưa “ g ( x ) ” vào vi phân phải đạo hàm g ( x ) , ta có g ( x ) a b ’ tích phân ta trở thành: I = ∫ a f ( x )d ( g ( x ) ) g ( x )' + Ta thấy tích phân có thay đổi sau: dx thành d ( g ( x ) ) tích phân phải chia cho g ( x ) ’ + Và g ( x ) ’ thường rút gọn với tử số * Lưu ý chọn để đưa vào vi phân: Cái thường thành phần Tích phân gần gần giống(liên quan đến Tích phân cần tính), đạo hàm TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 mà thường giúp cho Tích phân rút gọn đưa Tích phân dạng B Phương pháp 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT t NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP: Tích phân có n f ( x ) thường ta đặt t = n f ( x) Tích phân có dạng phân số thử ta đặt t = mẫu Trong câu tích phân có thành phần phức tạp ta đặt t = Và quan trọng ta đặt đạo hàm mới, phải giúp tích phân thu gọn dễ biễu diễn lại Các em xem ví dụ phần để nắm rõ quy trình phương pháp đặt t C Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP: b Ví dụ ta tính: C* = ∫ A.Cdx ta làm theo bước sau: a Bước 1: Đặt u = A du = Bdx ⇒ dv = Cdx v = D Giải thích: - A Cdx ta có sẵn đề Lưu ý phải ưu tiên chọn Cdx trước, cịn lại A( xác định B dễ xác định D - Xác định B cách: Ta tính đạo hàm A B - Xác định D cách: Ta tính ∫ Cdx D Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần được: b b b b C* = ( u.v ) − ∫ vdu hay C* = ( A.D ) − ∫ D.Bdx a a a a TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 Bước 3: Tính ( u.v ) b a b ∫ vdu a * Các dạng thường gặp Tích phân phần nguyên tắc đặt: - Dạng 1: Pn ( x ) sin ( nx ) dx ; ∫ ∫ P ( x ) cos( nx ).dx ; ∫ P ( x ).e n nx n dx ; ∫ Pn ( x ).a nx dx u = Pn ( x ) Đối với dạng ta đặt: nx nx dv = sin ( nx ) / cos( nx ) / e / a dx Đặc biệt: Pn ( x ) đa thức ví dụ ( )( ) x / ( x + 1) / x − / 3x + x Tùy vào bậc Pn ( x ) mà ta phải phần lần - Dạng 2: Pn ( x ) ln( nx ) dx ; ∫ ∫ P ( x ) log ( nx ).dx n a u = ln ( nx ) / log a ( nx ) dv = Pn ( x ) dx Đối với dạng ta đặt: - Dạng 3: sin ( nx ) / cos( nx ) / ln ( nx ) / e nx / a nx kết hợp với Đối với dạng ta phải sử dụng tích phân phần đến lần Tuy nhiên dạng gặp −−−−−−−−−o−0o−−−−−−−−−− PHẦN 5: SỐ PHỨC TÓM TẮT KIẾN THỨC Khái niệm số phức: • Dạng đại số số phức là: z = a + b.i (a, b ∈ R i2 = –1) • Ta gọi a phần thực, b phần ảo i đơn vị ảo số phức z • Mơ đun số phức z z = a + b • Số phức liên hợp z z = a − b.i • Tập hợp số phức kí hiệu C a = c b = d • Hai số phức nhau: a + b.i = c + d.i ⇔ Chú ý: • Nếu a = z = b.i số ảo (số ảo) • Nếu b = z = a số thực • Số vừa số thực, vừa số ảo TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 • Tập số thực tập tập số phức: R ⊂ C • Từ i2 = –1 ta suy i3 = –i ; i4 = Tổng quát: in = i4.q + r = ir (0 ≤ r < , r ∈ N) • Trong mp(Oxy) điểm M(a ; b) gọi điểm biểu diễn hình học số phức z = a + b.i Phép toán tập số phức Với hai số phức z1 = a + b.i z2 = c + d.i bất kì, ta có: • z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i • z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i • z1.z2 = ac + ad.i + bc.i + bd.i2 = (ac – bd) + (ad + bc).i • z1 (a + b.i)(c − d.i) ac + bd bc − ad = = + i (z ≠ 0) z2 c2 + d c + d c2 + d Chú ý: • Tính chất phép cộng nhân tập C tập R • (a + b.i)2 = a2 + 2ab.i + b2.i2 = (a2 – b2) + 2ab.i • (a + b.i)3 = a3 + 3a2b.i + 3a b2.i2 + b3.i3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3).i Phương trình bậc hai với hệ số thực Trên tập số phức C, cho phương trình a.z2 + b.z + c = (a, b, c ∈ R a ≠ 0) (*) Nếu ∆ = b2 – 4ac < pt(*) có hai nghiệm phức là: • z1 = −b − i ∆ & 2a z2 = −b + i ∆ 2a Chú ý: • Hai nghiệm z1 z2 hai số phức liên hợp Dể thấy: z1 + z2 = − b c & z1.z2 = a a • Nếu hai số phức z1 = a + b.i z2 = a – b.i có tổng S = z1 + z2 = 2a tích P = z1.z2 = a2 + b2 z1 z2 hai nghiệm phương trình: z2 – Sz + P = −−−−−−−−−o−0o−−−−−−−−−− PHẦN VI: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU Cơng thức tính thể tích khối chóp: V= Bh h h B : diệ n tích đá y với u cao h: chiề Khối chóp tam giác + Đáy đa giác + Mặt bên tam giác cân Khối chóp tứ giác TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 + Đường cao đoạn thẳng nối từ đỉnh đến tâm đáy + Đường cao vng góc với mp đáy Chú ý: Tam giác tâm, trực tâm ,trọng tâm tam giác Hình vng tâm giao điểm đường chéo hình vng KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VNG GÓC VỚI ĐÁY Cơng thức tính thể tích khối chóp: V= Bh B : diệ n tích đá y với u cao h: chiề h h Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy,đường cao cạnh bên KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Cơng thức tính thể tích khối chóp: V= Bh h B : diệ n tích đá y với u cao h: chiề h Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy, đường cao đường cao mặt bên xuất phát từ đỉnh khối chóp −−−−−−−−−o−0o−−−−−−−−−− PHẦN VII: LOGARIT & MŨ I CƠNG THỨC MŨ n 123 • a = a.a a n thua so (n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R) • a1 = a ∀a • a0 = ∀a ≠ −n • a = • n a m n an = am (n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R / { 0} ) ( a > 0;m,n∈ N ) TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 − • a m n = = m an n m a • am.an = am+ n • am n = am− n a (am)n = (an)m = am.n • • (a.b)n = an.bn a b • ( )n = an bn II CÔNG THỨC LOGARIT loga N = M • • • • • dn ⇔ aM = N N1 ) = loga N1 − loga N2 N2 • loga( loga 1= loga a = • loga Nα = α loga N loga aM = M loga N2 = 2.loga N alogaN = N loga(N1.N2) = loga N1 + loga N2 a logb c log a =c b • loga N = loga b.logb N loga N loga b loga b = logb a • logb N = • log k N = a loga N k −−−−−−−−−o−0o−−−−−−−−−− PHẦN VIII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I Phương trình đường thẳng: Phương trình tham số đường thẳng: Giả sử mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương r u = (a; b) Khi phương trình tham số đường thẳng ∆ : TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 x = x0 + at ∆: (t Tham số) (1) y = y0 + bt Phương trình tổng quát đường thẳng: Bằng cách khử tham số t hai phương trình (1) ta có phương trình tổng qt ∆ có dạng: ax + by + c = , với a + b ≠ *Nhận xét: r a, Nếu ∆ có phương trình: ax + by + c = , với a + b ≠ ∆ có vectơ pháp tuyến n = (a; b) r r Và nhận u = (b; −a) làm vectơ phương ( lấy véc tơ phương u = (−b; a) b, Đường thẳng có phương trình y = kx + b dạng tổng quát hệ số k dược gọi hệ số góc số b gọi tung độ gốc Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét hai dường thẳng: ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = Tọa độ giao điểm ∆1 ∆ nghiệm phương trình: a1 x + b1 y + c1 = (I) a2 x + b2 y + c2 = Ta có trường hợp sau: + Nếu hệ (I) có nghiệm ( x0 ; y0 ) ∆1 cắt ∆ điểm M ( x0 ; y0 ) + Nếu hệ (I) có vơ số nghiệm ∆1 trùng với ∆ + Nếu hệ (I) vơ nghiệm ∆1 song song với ∆ Góc hai đường thẳng Trong mặt phẳng hệ tọa độ đề vng góc cho hai đường thẳng: ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = Gọi ϕ góc nhọn tạo ∆1 ∆ ta có: Cosϕ = a1a2 + b1b2 a12 + a22 b12 + b22 TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 r r Chú ý: + ∆1 ⊥ ∆ ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 + b1b2 = + Nếu ∆1 , ∆ có hệ số góc k1 , k2 ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k1.k2 = −1 Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = tính theo công thức: d ( M , ∆) = ax + by0 + c a + b2 II Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn có tâm bán kính cho trước Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) tâm I(a;b) bán kính R có phương tình tổng qt là: ( x − a ) + ( y − b) = R (1) + Nhận xét: Phương trình (1) viết dạng x + y − 2ax − 2by + c = với c = a + b − R Ngược lại phương trình x + y − 2ax − 2by + c = là phương trình đường tròn (C) với điều kiện a + b − c > Khi đường trịn có tâm I(a;b) bán kính R = a + b − c Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) có phương trình: ( x − a ) + ( y − b) = R Tại điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đường tròn là: ( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = III Phương trình đường Elip Định nghĩa đường elip Cho hai điểm cố định F1 , F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2 Elip tập hợp điểm M mạt phẳng cho: F1M + F2 M = 2a Các điểm F1 , F2 gọi tiêu điểm Độ dài F1F2 = 2c gọi tiêu cự Elip Phương trình tắc Elip TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 Chon hệ trục tọa độ Oxy cho F1 = (−c;0), F2 = (c;0) (E)={M| F1M + F2 M = 2a } có phương trình tắc là: x2 y + =1 a b2 (a>b) Với b = a − c Liên hệ đường tròn Elip Từ hệ thức b = a − c ta thấy tiêu cự Elip nhỏ Elip có dạng gần đường trịn x ' = x a Nếu phép co y ' = b y (Với 0 R Điểm M nằm mặt cầu (S) IM < R Điểm M nằm mặt cầu (S) IM = R Điểm M thuộc mặt cầu (S) (Hay Thay tọa độ điểm M vào PT mặt cầu thỏa mãn) TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 Vị trí tương đối hai mặt cầu: Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2) • I1I < R1 − R2 ⇔ (S1), (S2) • I1I > R1 + R2 ⇔ (S1), (S2) • I1I = R1 − R2 ⇔ (S1), (S2) tiếp xúc • I1I = R1 + R2 ⇔ (S1), (S2) tiếp xúc ngồi • R1 − R2 < I1I < R1 + R2 ⇔ (S1), (S2) cắt theo đường tròn II MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT MP : r Vectơ pháp tuyến mpα : nr ≠ véctơ pháp tuyến α Û nr ⊥ α Cặp véctơ phương mpα : r r r r a không phương b cặp vtcp (α) Û a , b có giá song song với (α) nằm (α) Quan hệ vtpt n cặp vtcp a , b : n = [ a , b ] Pt mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n =(A;B;C): A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = (α) : Ax + By + Cz + D = ta có n = (A; B; C) Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: điểm thuộc mp véctơ pháp tuyến *) Các bước viết phương trình tổngr quát mặt phẳng: B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) ( vectơ vng góc với mặt phẳng) B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng B3: Thế vàp pt: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt dạng: Ax + By +Cz + D = *) Chú ý: Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = r a VTPT (P) n = ( A; B; C ) b Nếu điểm M(x1; y1; z1) ∈ (P) Ax1+By1+Cz1+D=0 Trong trường hợp chưa tìm vectơ pháp tuyến tìm hai vectơ không r r r r r phương a; b có giá song song nằm mp Khi VTPT mp là: n = a; b TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG: Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D r= (P’):urA’x + B’y +C’z + D’ = Khi (P) (P’) có vecto pháp tuyến n = ( A; B; C ); n ' = ( A '; B '; C ' ) r ur n = k n ' A B C D ( A; B; C ) = k ( A '; B '; C ' ) ⇔ (P) // (P’) ⇔ (Hoặc = = ¹ ) A2 B2 C D2 D ≠ kD ' D ≠ kD ' r ur n = k n ' A B C D ( A; B; C ) = k ( A '; B '; C ' ) ⇔ ( P ) ≡ ( P ') ⇔ (Hoặc = = = ) A2 B2 C D2 D = kD ' D = kD ' r ur (P) cắt (P’) ⇔ n ≠ k n ' ⇔ ( A; B; C ) ≠ ( A '; B '; C ') (Hoặc A1 : B1 : C ¹ A2 : B2 : C ) r r Trong trường hợp AA’ +BB’ +CC’ = ⇔ n ⊥ n ' ⇔ hai mặt phẳng vng góc Chú ý: r Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = suy (P) có VTPT n = ( A; B; C ) r Nếu (P’) // (P) (P’) nhận n = ( A; B; C ) VTPT r Nếu ( P ) ⊥ ( P ') (P’) chứa song song với giá n = ( A; B; C ) KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG: Định lý: Cho điểm M(x0; y0; z0) mp (P) :Ax + By +Cz + D = d ( M , ( P )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C III ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Viết PTTS, PTCT đường thẳng B1: Tìm toạ độ vectơ phương (a; b; c) ( vectơ có giá song song trùng với đường thẳng B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng x = x0 + at B3: PTTS: y = y0 + bt z = z + ct PTCT: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c Với a1, a2, a3 ¹ Chú ý a) Nếu đường thẳng d giao tuyến hai mp (P):Ax+By+Cz+D = (P’): A’x+B’y+C’z+D’ = r uur uur B C C A A B ; ; ÷ B ' C ' C ' A' A' B ' Khi đt d có VTCP: u = nP ∧ nP ' = Muốn tìm điểm thuộc d ta cho x = x (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z uuur b) Đường thẳng d qua điểm A, B d có VTCP AB c) Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng(P) d có VTCP VTPT (P) d) đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ d ∆ có VTCP e) hai đường thẳng vng góc hai vectơ phương chúng vng góc TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG r Cho ∆ qua M(x0; y0; z0) có vectơ phương u = ( a; b; c ) ur ∆ ’ qua M’(x’0; y’0; z’0) có vectơ phương u ' = ( a '; b '; c ' ) x = x0 + at x = x '0 + a ' t ' có PTTS là: ∆ y = y0 + bt ; ∆ ' y = y '0 + b ' t ' z = z + ct z = z ' + c 't ' 0 r ur r ur *) Nếu thấy u = ku ' lấy tọa độ điểm M ∈ ∆ vào phương trình đường thẳng ∆ ’ Xảy khả năng: TH1: M ∈ ∆ ' hai đường thẳng trùng TH2: M ∉ ∆ ' đường thẳng song song *) Nếu thấy u ≠ ku ' giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng x0 + at = x '0 + a ' t ' y0 + bt = y '0 + b ' t ' z + ct = z ' + c ' t ' TH3: hệ có nghiệm hai đường thẳng cắt TH4: hệ vơ nghiệm hai đường thẳng chéo *) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = hai đường thẳng vng góc VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG x = x0 + at Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = đường thẳng d: y = y0 + bt z = z + ct x = x0 + at ( 1) ( 2) y = y0 + bt Xét hệ phương trình ( 3) z = z0 + ct Ax + By + Cz + D = ( ) Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = (*) TH1: (*) vơ nghiệm d (P) khơng có giao điểm hay d (P) song song TH2: (*) có nghiệm t d (P0 có giao điểm hay d (P) cắt điểm TH3: (*) có vơ số nghiệm d (P) có vơ số giao điểm hay d nằm mặt phẳng (P) Chú ý: Trong trường hợp d // (P) d ⊂ ( P ) VTCP d VTPT (P) vng góc Khi d // (P) khoảng cách d (P) khoảng cách từ điểm d đến mặt phẳng (P) TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 −−−−−−−−−o−0o−−−−−−−−−− PHẦN X: ĐỀ THI THỬ A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2,0 điểm ) Cho hàm số : y = 2x − có đồ thị ( C ) x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận hoành độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị thoả mãn IA2 + IB = 40 Câu II : ( 2,0 điểm ) Giải phương trình : sin x + cos x + sin x + cos x + = x − y ( x + y ) + = Giải hệ phương trình: ( x + 1) ( x + y − ) + y = ( C ) Tìm đồ thị ( C ) điểm M có ( C ) cắt hai đường tiệm cận A B ∫x Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: I = − x dx Câu IV : ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên a , góc tạo mặt bên mặt đáy 450 Tính thể tích khối chóp Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc 1 1 Chứng minh rằng: a(2a − 1)2 + b(2b − 1)2 + c(2c − 1) ≥ B PHẦN TỰ CHỌN: (3,0 điểm)(Thí sinh làm phần, phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn: Câu VIa : (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm K (3 ; 2) đường tròn (C ) : x + y − x − y + = với tâm I Tìm tọa độ điểm M ∈ (C ) cho ∠IMK = 600 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK Câu VII a.(1,0 điểm): Giải phương trình : iz − 2(1 − i ) z − = B Theo chương trình nâng cao Câu VIb: ( 2,0 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M ( 2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương trình: x = + 2t y = −1 + t z = −t Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d Câu VII b.( 1,0 điểm ) Giải bất phương trình sau : 8.3x + x +9 x +1 ≥9 x .Hết ĐÁP ÁN Câu I Ý Nội dung Cho hàm số : y = Điểm 1,00 2x − có đồ thị ( C ) x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Tập xác định: D = R \ { − 1} Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: 0,25 Ta có: y ' = x + > ∀x ≠ −1 ( ) Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) * Cực trị: Hàm số khơng có cực trị * Giới hạn vô cực: 0,25 2x −1 = => đường thẳng y = tiệm cận ngang x →±∞ x →±∞ x + 2x −1 2x −1 lim− = +∞; lim+ = −∞ => đường thẳng x = −1 tiệm cận đứng x →−1 x + x →−1 x + lim y = lim * Bảng biến thiên: x y' y - ∞ + 0,25 +∞ -1 || + +∞ || −∞ Đồ thị: 1 Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm A ;0 ÷ 2 Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm B ( 0; −1) Đồ thị hàm số có giao điểm tiệm cận I ( −1; ) 0,25 TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 (Học sinh tự vẽ đồ thị) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) Tìm đồ thị ( C ) điểm M có hồnh độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị ( C ) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn : IA2 + IB2 = 40 1,00 * TCĐ ( d1 ) : x = −1 ,TCN ( d ) : y = ⇒ I ( −1; ) giao tiệm cận 0,25 * Gọi M x0 ; x0 − ÷ ∈ ( C ) , ( x0 > ) x0 + 2x −1 * Phương trình tiếp tuyến với ( C ) M : ( ∆ ) : y = x + ( x − x0 ) + x + ( ) * ( ∆ ) ∩ ( d1 ) = A −1; x0 − ÷ , ( ∆ ) ∩ ( d ) = { B ( x0 + 1; ) } x0 + 36 + ( x0 + 1) = 40 ( x0 + 1) − 10 ( x0 + 1) + = 2 ⇔ * IA + IB = 40 ⇔ ( x0 + 1) x > x0 > ⇒ M ( 2;1) Giải phương trình : sin x + cos x + sin x + cos x + = ⇔ x0 = II ( y0 = 1) 0,25 0,25 0,25 1,00 sin x + cos x + sin x + cos x + = ⇔ ( sin x + cos x ) + ( cos x − sin x ) + sin x + cos x = ⇔ ( sin x + cos x ) ( cos x + 1) = −π sin x + cos x = x = + kπ ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) cos x = −1 x = ± 2π + k 2π Giải hệ phương trình: x − y ( x + y ) + = ( x + 1) ( x + y − ) + y = x − y ( x + y ) + = x + = y ( x + y ) (1) ⇔ y ( x + y ) ( x + y − ) + y = (2) ( x + 1) ( x + y − ) + y = Do y = không thỏa mãn hệ nên: y ≠ ( ) ⇔ ( x + y ) ( x + y − ) + = ⇔ x + y = x2 + = y x = 0, y = ⇔ Khi hệ trở thành x = −1, y = x + y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;1) , (-1;2) 0,5 0,5 1,00 0,5 0,5 TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 III 1,00 Tính tích phân: I = ∫ x − x dx 1 0 I = ∫ x − x3 dx = ∫ x − x x dx Đặt t = − x3 ⇒ t = − x3 ⇒ 2tdt = −3x 2dx ⇒ Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x =1⇒ t = 0,5 −2 tdt = x dx 0,5 => I =∫x 2 t3 t5 2 2 − x x dx = − ∫ ( − t ) t.tdt = ∫ ( t − t ) dt = − ÷ = = 31 30 15 45 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên a , góc tạo mặt bên mặt đáy 450 Tính thể tích khối chóp IV (Học sinh tự làm) => Câu lấy Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc V 1 1,00 1,00 Chứng minh rằng: a(2a − 1)2 + b(2b − 1) + c(2c − 1) ≥ (Học sinh tự làm) => Câu lấy 10 VI a Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm K (3 ; 2) đường tròn (C ) : x + y − x − y + = với tâm I Tìm tọa độ điểm M ∈ (C ) cho ∠IMK = 600 1,00 * Ta có (C ) : ( x − 1) + ( y − 2) = Suy tâm I(1 ; 2) bán kính R = * Nhận thấy IK = Suy K ∈ (C ) * Do M ∈ (C ) ∠IMK = 600 Suy ∆IMK Do u cầu tốn ⇔ Tìm M ∈ (C ) cho KM = R = * Giả sử M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) ⇔ ( x0 − 1)2 + ( y0 − 2)2 = (1) 2 Ta có KM = ⇔ ( x0 − 3) + ( y0 − 2) = (2) 0,25 0,25 0,25 M (2 ; + ) Từ (1) (2) suy M (2 ; − ) a Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK 0,25 1,00 TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 x a y b z c Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒ ( P) : + + = uu r IA = (4 − a;5;6), uuu r JK = (0; −b; c), VII a 77 a= uur a + b + c = JA = (4;5 − b;6) 77 uur ⇒ −5b + 6c = ⇒ b = IK = (−a;0; c) 77 − 4a + 6c = c= 0,50 Giải phương trình : iz − 2(1 − i ) z − = 1,00 * Ta có : ∆ ′ = (1 − i ) + 4i = 2i * Gọi w = x + yi ( x, y ∈ R ) bậc ∆ 0,25 0,50 x − y =o x = x = −1 ⇒ hay ⇒ ∆ = ± (1 + i ) * Ta có : y = y = − 2 xy = ⇒ z1 = VI 0,50 (1 − i ) + ( + i ) = i i z = (1 − i ) − (1 + i ) = −2 i b Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M ( 2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích * Gọi d ĐT cần tìm A ( a;0 ) , B ( 0; b ) giao điểm d với Ox, Oy, x a y b + = 1, ab = a b * Khi ab = 2b + a = Nên: b = 2; a = ⇒ d1 : x + y − = suy ra: d : + = Theo giả thiết, ta có: * Khi ab = −8 2b + a = −8 Ta có: b + 4b − = ⇔ b = −2 ± 2 Với b = −2 + 2 ⇒ d : ( − ) x + ( + ) y − = Với b = −2 − 2 ⇒ d3 : ( + ) x + ( − ) y − = b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương trình: 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 x = + 2t y = −1 + t z = −t Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vng góc với d Vì H ∈ d nên tọa độ H có dạng : (1 + 2t ; − + t ; −t) 0,25 0,50 TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2014 uuuu r Suy : MH = (2t − ; −2 + t ; − t) r Vì MH ⊥ d d có vectơ phương u = (2 ; ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(−2 + t) + (− 1).(−t) = ⇔ t = Vì thế, uuuu r MH = 2 1 ;− ;− ÷ 3 3 Suy ra, phương trình tham số đường thẳng MH là: VII b Giải bất phương trình sau : 8.3x + ĐK : x ≥ +9 x x +1 x = + t y = − 4t z = −2t 0,25 1,00 ≥9 x (1) 0,25 8.3 x+ x +9 ⇔8.3 x + x ⇔8.3 x −x ⇔8.3 x −x Đặt t = x −x x +1 ≥9 +9.32 x ≥ 32 x 2( x −x ) +9.3 ≥1 2( x −x ) +9.3 −1 ≥ x 0,25 ( 2) t ≤ −1 > Khi ta có : ( ) ⇔ 9t + 8t − ≥ ⇔ t≥ ( loai ) ⇒ x − x ≥ 3−2 ⇔ x − x ≥ −2 ⇔ x ≥ x − Với 0 ≤ x ≤ Vậy nghiệm BPT x ≥ ⇔2≤ x≤4 x − x + ≤ x ∈ [ 0; 4] t≥ 0,25 0,25 HẾT CHÚC CÁC EM ÔN THI TỐT VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO ... trình đường thẳng qua M ( 2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương... trục Oy điểm B ( 0; −1) Đồ thị hàm số có giao điểm tiệm cận I ( −1; ) 0,25 TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 (Học sinh tự vẽ đồ thị) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) Tìm đồ thị... tìm vectơ pháp tuyến tìm hai vectơ không r r r r r phương a; b có giá song song nằm mp Khi VTPT mp là: n = a; b TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TỐN NĂM 2014 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG: