ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ c¸c h×nh vu«ng BCDE vµ ACFG... K lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung lín GH.[r]
(1)UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2004 - 2005 Mơn : Tốn (Vịng 1)
Đề thức Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (8 điểm)
Cho parabol ( ) :
P y x
1 Viết phơng trình tiếp tuyến (P), biết tiếp tuyến qua điểm (2;1)
A
2 Gọi d đờng thẳng qua điểm A(2;1)và có hệ số góc m Với giá trị m đờng thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt M N, tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi
3 Tìm quĩ tích điểm M0 từ kẻ đợc hai tiếp tuyến parabol (P) hai tiếp tuyến ny vuụng gúc vi
Bài 2: (4điểm)
Giải hệ phơng trình:
2 19
7
x y xy x y xy
Bài 3: (8 điểm)
Cho na ng trũn đờng kính AB cố định C điểm thuộc nửa đ-ờng trịn phía ngồi tam giác ABC, vẽ hình vng BCDE ACFG Gọi Ax, By tiếp tuyến nửa đờng tròn
1 Chứng minh C di chuyển nửa đờng trịn cho đờng thẳng ED ln qua điểm cố định đờng thẳng FG qua điểm cố định khác
2 Tìm quĩ tích điểm E G C di chuyển nửa đờng trịn cho
3 Tìm quĩ tích điểm D F C di chuyển nửa đờng tròn cho
HÕt
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : tốn (Vịng 1)
(2)Bài 1 ý Nội dung Điểm
1. 8,0
1.1 (2,0 ®iĨm)
Phơng trình đờng thẳng d1 qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b = 2a + b,
suy b = - 2a, d1: y = ax - 2a+1
0,50
Phơng trình cho hồnh độ giao điểm d1 (P) là:
2
1
2
3x ax a x ax a 0.50
Để d1 tiếp tuyến (P) cần đủ là:
'
2
9 24 12 2
3
a
a a
a
2,0
Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là:
1
2 : 3; :
3
d y x d y x
0,50
1.2 (4,0 ®iĨm)
Phơng trình đờng thẳng d qua A(2; 1) có hệ số góc m là:
1
y mx m 0,50
Phơng trình cho hồnh độ giao điểm d (P) là:
2
1
2 (2)
3x mx m x mx m 0,50
Để d cắt (P) điểm phân biệt cần đủ là:
2
9 24 12
3
m m m m
2
4 4
0
3 3
m m
4
2
3 (*)
3
4 2
3
4
3
m m
m m m
m
(3)Với điều kiện (*), d cắt (P) điểm M N có hồnh độ x1 x2
nghiệm phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I MN là:
1
2
2 2
; 1;
3
3 3
2
2
1 1
3
x x x
m x x
x x m
x I
y mx m y x x
1,0
Vậy m thay đổi, quĩ tích I phần parabol 2
3
y x x ,
giới hạn x1;x3 0,50
1.3 (2,0 điểm)
Gọi M x y0( ; )0 0 điểm từ vẽ tiếp tuyến vng góc đến (P) Phơng trình đờng thẳng d' qua M0 có hệ số góc k là: y kx b , đờng thẳng
qua M0 nªn y0 kx0 b by0 kx0, suy pt cña d': y kx kx 0y0 0,50
Phơng trình cho hồnh độ giao điểm d (P) là:
2
0 0
1
3 3
3x kx kx y x kx kx y (**) 0,50 §Ĩ tõ M0 kẻ tiếp tuyến vuông góc tới (P) phơng trình:
2
0
9k 12kx 12y
có nghiệm phân biệt k k1, 2 k k1 21
0 12 y y 0,50 Vậy quĩ tích điểm M0 từ vẽ đợc tiếp tuyến vng góc (P)
đờng thẳng
4
y
0,50
2. (4,0 ®iÓm)
22 19 3 19
3 19
7 7
S x y
x y xy x y xy S P
P xy
x y xy x y xy S P
(1) 1,0
Giải hệ (1) ta đợc: (S1; P6), (S 2;P5) 1,0
Giải hệ phơng tr×nh tÝch, tỉng:
6 x y xy
vµ
5 x y xy
ta cã c¸c
nghiệm hệ phơng trình cho là:
3 6
; ; ;
2 1 6 1 6
x x x x
y y y y
(4)3. 8,0
3.1
Gäi K giao điểm Ax GF, I giao điểm By ED Ta có:
900
BEIBCA
EBI CBA (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) BEBC,
Do đó:
BEI BCA BI BA
mà By cố định, suy điểm I
cố định
+ Tơng tự, K ccố định
+ Vậy C di chuyển nửa đờng trịn (O) dờng thẳng ED qua điểm I cố định đờng thẳng GF qua
điểm K cố định 3,0
3.2 Suy quĩ tích I nửa đờng trịn đờng kính BI (bên phải By,
,
C A EI C B E B ); quĩ tích K na ng trũn ng kớnh
AK(bên trái Ax, C A GA C, B G K ) 2,0
3.3 Xét tam giác BEI BDK, ta
cã:
1
BE BI BDBK
0
45
EBI IBD KBD IBD EBI KBD
Do đó:
90
BEI BDK BDK BEI
+ Vậy: Quĩ tích D nửa đờng trịn đờng kính BK
+ Tơng tự, quĩ tích F nửa đờng trịn đờng kính AI 3,0
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : Tốn (Vịng 2)
Đề thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao ) Bi 1: (7 im)
1 Giải phơng tr×nh: x 1 24 x x 9 64 x 2
(5)2 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c số không âm b số trung bình cộng a c ta cã:
1
a b b c c a Bài 2: (6 điểm)
1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ
2
3
x x
y x
2 Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
2 2 3 2 4 3 0 x y xy x y Bài 3: (7 điểm)
Cho đờng trịn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB CD vng góc với E điểm cung AD Nối EC cắt OA M, nối EB cắt OD N
1 Chøng minh r»ng tÝch OM ON
AM DN số Suy giá trị nhỏ cđa tỉng OM ON
AM DN , cho biết vị trí điểm E ?
2 Gọi GH dây cung cố định đờng tròn tâm O bán kính R cho GH khơng phải đờng kính K điểm chuyển động cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi tam giác GHK lớn
HÕt
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : tốn (Vịng 2)
(6)Bài ý Nội dung Điểm
1. 7,0
1.1 (2,0 ®iĨm)
4
1
x x x x
2
4 x 1 x 3 2
4 x 1 x 3 2 (1) y 1 y 3 2 y x 0;x 0 (2)
(1)
1,0
0 y 1: y 1 0, y 0 , nªn (2) 1 y 3 y y1 (thoả ĐK)
1 x
nghiệm phơng trình (1)
1y3: y1 0, y 0 , nªn pt (2) y 1 y 2 0y0
do pt (2) có vơ số nghiệm y (1 y3), suy pt (1) có vơ số nghiệm x (
1x81 ) 1,0
y3: y1 0, y 0 , nªn pt (2) y 1 y 2 y3, pt v« nghiƯm
VËy tËp nghiƯm cđa pt (1) lµ: S
1; 81
1,01.2 (3,0 ®iĨm)
1
1 1
(*)
a b b c c a
a b c a c a b c
0,50
Ta cã:
1 c b
A
a b c a a b c a
c b
a b c a b c
0,50
Theo gi¶ thiÕt:
2
a c
b a c bb a c b , nªn:
b a b a
b a A
a b b c c a a b b c c a
1,0
1
b a b c c a
A
c a b c
b c c a b c c a
(7)
2. 6,0 2.1 (3,0 ®iĨm)
2
2
3
x x
y x
(xác định với xR)
2
1 (**)
y x x y
0,5
y1: pt (**) cã nghiÖm
3
x y1: để pt (**) có nghiệm thì:
2
9 4(y 1)(y 5) 4y 24y 11
1,0
2
25 5 11
3 3
4 y y 2 y 2 y y
1,0
Vậy tập giá trị y lµ 11;
2
, 11;
2
Max y Min y
0,5
2.2 (3,0 ®iĨm)
2 2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0
x y xy x y x y x y y (***) 0,5
§Ĩ pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì:
3y 22 4 2
y2 4y 3
y2 4y 8 lµ sè chÝnh ph¬ng
22 4 8 2 12
y y k k y k
Z
(y k y)( k) 12 ( )a
1,0
Ta cã: Tæng
y 2 k
(y 2 k) 2( k2) số chẵn, nên y k; (y k) chẵn lẻ Mà 12 tích 1.12 2.6 3.4, nên có hệ phơng trình sau:2 2 6 2
; ; ; ;
2 2 2
y k y k y k y k
y k y k y k y k
0,5
Giải hệ pt ta có nghiệm nguyên cña pt (a):
y2;k2 ,
y2;k2 ,
y6;k 2 ,y6;k2 0,5
Thay giá trị y2;y6 vào pt (***) giải pt theo x có nghiệm nguyên (x; y) là:
(x1;y2), (x3;y2);(x11;y6),(x9;y6) 0,5
3. 7,0
(4 đ) 3.1 Ta có: COM CEDvì:
900
O E ; C chung Suy ra:
(1)
OM CO ED CO
OM
ED CE CE
Ta cã: AMCEAC v×:
C chung,
45
A E Suy ra:
(2)
AM AC EA AC
AM
EA EC CE
Tõ (1) vµ (2): (3)
OM OC ED ED
AM AC EA EA 1,0
ONB EAB
O E 90 ;0 B chung
ON OB ON OB EA (4)EA EB EB
(8)
( , 45 ) DN DB DB ED(5)
DNB EDB B chung D E DN
ED EB EB
Tõ (4) vµ (5): (6)
ON OB EA EA
DN DB ED ED Tõ (3) vµ (6):
1
OM ON AM DN
Đặt x OM , y ON
AM DN
Ta có: x, y không âm và:
2 2 22
x y x y xy x y xy
DÊu "=" xÈy khi: 1
2
x y
x y xy
1,0
VËy: Tæng
min
1
2
OM ON OM ED
khi EA ED
AM DN AM EA
E trung điểm dây cung AD 1,0
3.2 (3,0 ®iĨm) GKH
có cạnh GH cố định, nên chu vi lớn tổng KG KH
lín nhÊt
Trên tia đối tia KG lấy điểm N cho KN = KH Khi đó, HKN cân K Suy
ra 1
2
GNH GKH vµ
KG KH KG KN GN
mµ 1
2
GKH GH (gãc néi
tiếp chắn cung nhỏ GH cố định), GNH khơng đổi Vậy N chạy cung tròn (O') tập hợp cỏc im nhỡn
đoạn GH dới góc
4GOH
không đổi 1,5
GN dây cung cung tròn (O') nên GN lớn GN đờng kính cung trịn, suy GHK vng H, KGH KHG (vì lần lợt phụ với hai góc nhau) Khi đó, K trung điểm cung lớn GH