SKKNphong VN time

Nã cßn gióp häc sinh chñ ®éng ph¸t hiÖn vµ chøng minh ®îc nh÷ng kiÕn thøc míi mµ kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nhê thÇy d¹y nhiÒu.... C¸c kiÕn thøc n©ng cao nµy gióp häc sinh kh¸, giái gi¶i quyÕ[r]

Đề tài:

phỏt huy kh nng t sáng tạo học sinh khá giỏi việc học số định lý tam giác vuông

á

p dụng dạy : Đối với học sinh giỏi lớp, ôn học sinh giỏi.

-* -A- Đặt vấn đề:

I/ lời mở đầu:

Trong quỏ trỡnh ging dy toán trờng trung học sở, việc phát huy cho học sinh khả t sáng tạo, thói quen suy nghĩ sâu sắc trớc vấn đề cơng việc địi hỏi ngời dạy ln phải thực thật tốt Nó giúp phát huy lực t cho đối tợng học sinh Gây hứng thú học tập cho học sinh , giúp học sinh có lực tự học tốt

Trong trình giảng dạy hình học tơi phát số định lý tam giác vuông Nếu mở rộng định lý vào tam giác nhọn (có ba góc nhọn); tam giác tù có định lý cho kết khác Từ kết giúp học sinh có nhìn bao qt vấn đề Các kết tìm đợc giúp ta giải đợc số toán nâng cao cho đối tợng học sinh giỏi giúp học sinh hiểu đợc mối quan hệ định lý hình học Tạo hứng thú khám phá toán học, giúp học sinh học tập hình học tốt

II/ Thực trạng :

1) Thực trạng:

Qua công tác giảng dạy toán nói chung môn hình học lớp 8, trờng THCS Định Long nói riêng Trong năm qua thấy đa số học sinh:

- Khơng chịu đề cập tốn theo nhiều cách khác nhau, không sử dụng hết kiện tốn

- Khơng biết vận dụng vận dụng cha thành thạo phơng pháp suy luận giải tốn, khơng biết sử dụng toán giải áp dụng phơng pháp giải cách thụ động

- Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho tốn hay mở rộng lời giải tìm đợc cho tốn khác, hạn chế việc rèn luyện lực giải toán

Từ thực trạng đa số học sinh lớp 8, trờng THCS Định Long nh dẫn tới kết đa số em cảm thấy học mơn hình khơ khan, khó hiểu, khơng có hứng thú cao mơn hình, điều ảnh hởng khơng nhỏ tới việc học tập em Chính mà tơi mạnh dạn áp dụng lồng ghép vào tiết luyện tập, buổi bồi dỡng số phơng pháp nhằm " phát triển t " em, điều đem lại kết khả quan : Đa số em lớp mà tơi giảng dạy có ý ham mê mơn hình nhiều dẫn đến kết , chất lợng mơn tốn lớp có chuyển biến tích cực Chính mà định nêu số biện pháp đợc thử nghiệm có kết tốt, để đồng nghiệp tham khảo góp ý thêm cho tơi

Tríc t«i cha áp dụng sáng kiến vào giảng dạy bồi dỡng học sinh khá giỏi, thực tế điều tra học sinh bồi dỡng năm trớc nhận thấy nh sau:

Sè häc sinh tham gia båi dìng

Số học sinh làm đợc khó

Số học sinh khơng làm đợc khó

Số hs phát huy đợc tính tích cực

10 (=40%) (=60%) (=70%)

B - giải vấn đề: I/ Các giải pháp thực hiện:

Để phát triển " T học sinh " thông qua việc phát triển thêm số định lý học hình học lớp 8, Ngoài việc ý đến việc giúp em chiếm lĩnh kiến thức SGK mà cịn trọng đến tính t mở rộng thong định lý, tính chất để pát triển thành định lý, tính chất tổng quát Qua buổi dạy bồi dỡng, từ toán SGK phát triển thêm thành nhiều khác, từ sách đọc thêm mà đa nhiều khác tơng tự Từ rèn luyện em số phơng pháp suy luận giải tập hình học nh: Phơng pháp phân tích tổng hợp, phơng pháp so sánh, phơng pháp tơng tự, phơng pháp tổng qt hố

II/ c¸c biƯn ph¸p tỉ chøc thùc hiƯn:

Do điều kiện khơng cho phép sau xin đa số vấn đề mà tơi thấy vận dụng vào q trình bồi dỡng, giảng dạy hình lớp 8,9 phù hợp

1 Vấn đề thứ nhất:

Trong trình giảng dạy định lý " Hệ thức lợng tam giác vuông " ta chứng minh đợc phát biểu định lý sau:

Định lý:" Trong tam giác vuông tích cạnh huyền với đờng cao tơng ứng bằng tích hai cạnh góc vng "

a.h = b.c ( BC=a; AB=c; AC=b )

Từ điều suy ra:

b.c = 2.SABC

Vậy tam giác vng tích hai cạnh góc vng hai lần diện tích tam giác

Một vấn đề đặt là: Nếu tam giác ABC tam giác thờng tích b.c quan hệ với diện tích tam giác ABC ? ( bc > 2SABC hay bc < 2SABC ) Ta có định

lý sau

Định lý:

Trong mt tam giỏc tớch hai cạnh lớn hai lần diện tích tam giác đó

Chøng minh:

Không tính tổng quát giả sử ABC cã ba gãc nhän CHAB ; H AB Trong tam giác vuông HAC ta có:

AC HC (bằng ABC vuông A, HA)

vậy ta có: AB.AC  AB.AH  AB.AC  2SABC ( ®fcm )

dÊu b»ng s¶y HA hay AC=AH tam giác ABC vuông

Kt qu tt p giúp ta chứng minh đợc nhiều toán.Xét ví dụ sau

Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c, d dơng

a2 c2 b2 c2

  + a2d2 b2d2  a b c d    

Bài tốn ta chứng minh cách đơn giản nhờ bất đẳng thức Bunhiacỗpxki Song nêu cách giải ( phơng pháp hình học )

Xét tứ giác ABCD có ACBD , O giao điểm hai đờng chéo OA=a, OC=b,

OB=c, OD=d, (a, b, c, d d¬ng )

theo định lý py-ta-go ta có: AB=

2

a b ; BC= b2c2 ;

AD= a2 d2

 ; BD= b2d2 ;

AC=a+b ; BD=c+d ta cần phải chøng minh AB.BC + AD.CD  AC.BD

áp dụng định lý ta vừa chứng minh

AB.BC  2SABC

AD.CD  2SACD

Suy ra: AB.BC + AD.CD  2SABCD = AC.BD (®fcm )

hay a2 c2 b2 c2

  + a2d2 b2d2  a b c d    

2 Vấn đề thứ hai:

Cũng phần hệ thức lợng tam giác vuông ta đợc học định lý py-ta-go Nội dung định lý phát biểu nh sau:

Định lý: "Trong tam giác vuông bình phơng cạnh huyền tổng bình ph-ơng hai cạnh gãc vu«ng "

Một vấn đề đặt tam giác ABC có góc A nhọn ; tù quan hệ a2

tổng b2 + c2 nh ? Ta chứng minh đợc kết sau:

* NÕu gãc A nhän th× a2 < b2 + c2 (1)

* NÕu gãc A tï th× a2 > b2 + c2 (2)

a) Chøng minh (1):

Không tính tổng quát giả sử B < 900 (hình trên), gọi H hình chiếu vuông

góc C AB, H phải thuộc đoạn thẳng AB ( H khác A, H khác B) suy ra:

BC2 = BH2 + CH2 = (BA-AH)2 +AC2-AH2 =AB2 +AC2 - 2AB.AH < AB2 + AC2

vËy a2< b2 + c2 (®fcm)

b) Chøng minh (2):

Ta cã ¢ tï ( ¢> 900 ) gọi H hình chiếu vuông góc C AB A nằm

giữa B H Suy ra:

BC2 = BH2 +CH2 = ( AB+AH )2 + AC2 -AH2 =AB2+AC2+2AB.AH >AB2+AC2

Vậy ta có kết đẹp nh sau: * Nếu Â=900 a2 = b2+c2

* Nếu Â<900 a2 < b2+c2

* Nếu Â>900 th× a2 > b2+c2

víi AB = c; AC =b; BC =a;

3 Vấn đề thứ ba:

Trong SGK hình học ( cũ ) trang 51 " Đờng trung bình tam giác" có nêu hai nh lý sau

Định lý 1: Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền c¹nh hun

AM = BC/2

Định lý 2: Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh cạnh ấy thì tam giác tam giác vuông.

"Trong tam giác , trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng nữa cạnh đối diện với đỉnh đó "

* Câu hỏi đặt : Trong tam giác , trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn ( hay đỉnh góc tù ) so với cạnh đối diện với đỉnh nh nào? Khơng khó khăn để trả lời câu hỏi

*) Tr ờng hợp ( trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn ):

Cho tam gi¸c ABC có Â < 900, M trung điểm BC Ta so sánh AM với

BC/2

Không tính tổng quát giả sử B< 900 (hình vẽ) Gọi H hình chiếu vuông

góc C AB H phải thuộc đoạn thẳng AB ( H khác A H khác B )

Suy ra: AHM = AHC+ CHM > AHC = 900

suy góc H góc lớn tam giác AHM AM > HM Mặt khác theo định lý HM = 1/2.BC nên AM > 1/2.BC ( đfcm )

*) Tr ờng hợp ( Trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù )

Cho tam giác ABC có Â>900 M trung ®iĨm cđa BC Ta so s¸nh AM víi

BC

dễ thấy M trung điểm AD ACD < 900 Theo định lý AD/2 < CM

suy AM < BC/2 (®fcm)

Vậy ta có thêm hai định lý sau:

*Định lý 3a: Trong tam giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn lớn hơn nữa cạnh đối diện với đỉnh đó

Bằng phơng pháp phản chứng ta dễ dàng chứng minh đợc hai định lý khác:

*Định lý 3b: Trong tam giác trung tuyến ứng cạnh, lớn nữa cạnh góc đối diện với cạnh góc nhọn

*Định lý 4b: Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh, nhỏ nữa cạnh góc đối diện với cạnh tù

4 Vấn đề thứ t :

Theo định lý (ở vấn đề thứ ba ) AM = BC/2 hay ma = a/2

Một vấn đề đặt có hệ thức tổng quát tính độ dài trung tuyến tam giác ABC không?

Khi học đến định lý py-ta-go phát triển thêm đợc hai kết quả:

a2 < b2+c2 với  < 900 a2 > b2+c2 với  > 900 Ta chứng minh đợc định lý

sau:

*Định lý 5: Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c độ dài ba đờng trung tuyến tơng ứng ma, mb, mc thì:

ma2 =

2 2

2

4

b  c  a

mb2 =

2 2

2

4

a  c  b

(*)

mc2 =

2 2

2

4

a  b  c

khơng tính tổng quát, giả sử H thuộc tia MB Theo định lý py-ta-go ta có AB2 = AH2+BH2 = AH2+/ MB-MH/ 2 = AH2+MB2+MH2-2MB.MH =

= AM2+BC2/4 - 2MB.MH

AC2 = AH2+HC2 = AH2+/MC+MH/ 2 = AH2+BC2/4+2MB.MH  AB2+AC2 = 2AM2+BC2/2

 AM2 = (2AB2+2AC2-BC2)/4 hay m a2 =

2 2

2

4

b  c  a

chứng minh tơng tự có tiếp hai hệ thức cịn lại, định lý cơng thức tính đờng trung tuyến tam giác thờng lớp 11 Phần hệ thức lợng sách nâng cao

Một câu hỏi đặt là: Giữa định lý 1; định lý 3a, 4a định lý có quan hệ logic với Vậy liệu định lý có phải định lý bao trùm cho định lý 1, 3a, 4a hay không? Ta chứng minh

Chøng minh: Tõ ma2 =

2 2

2

4

b  c  a

 ma2 -

4

a = 2

2

b c  a

+) Nếu  = 900 a2 = b2 + c2 (py-ta-go) suy

2 2

2

b c  a =0.

VËy ma2 -

4

a = 0

hay ma = a/2 (do ma > 0) Đây nội dung định lý

+) Nếu  < 900, ta chứng minh đợc a2 < b2 + c2 ( vấn đề thứ hai )



2 2

2

b c  a

>  ma2 -

4

a >  m

Đây nội dung định lý 3a

+) Nếu Â> 900 ta chứng minh đợc: a2 > b2 + c2 ( vấn đề thứ ba )



2 2

2

b c  a

<  ma2 -

4

a < m

a < a/2 Đây lµ néi dung

định lý 4a

C/ KÕt luËn:

Qua giảng thân thấy với cách chủ động tự nêu vấn đề giải vấn đề có giúp đỡ giáo viên làm cho học sinh có hứng thú học giúp học sinh khắc hoạ cụ thể định lý Giúp học sinh có thói quen " thắc mắc " học tốn học khái niệm, định lý Có khả tự tìm tịi thêm số kiến thức ( kiến thức nâng cao ) Các kiến thức nâng cao giúp học sinh khá, giỏi giải đợc số tập khó Khi học thấy kết em hiểu nắm định lý tam giác vuông ( thực chất nhiều trờng hợp đặc biệt tam giác bất kỳ ).

Sau vËn dông sáng kiến vào giảng dạy bồi dỡng cho học sinh giỏi, tôi điều tra cho kết nh sau:

Sè häc sinh tham gia båi dìng

Số học sinh làm đợc khó

Số học sinh khơng làm đợc khó

Số hs phát huy đợc tính tích cực

10 (=60%) (=40%) (=90%)

Đây vấn đề nhỏ mà đa vào dạy bồi dỡng, nhằm phát huy giúp học sinh giỏi nâng cao khả tự học, tự giải vấn đề Bài học cho kết tốt Mong đồng nghiệp góp ý bổ sung, cho đề ti c hon thin hn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Định long,tháng năm 2006

Ngời thùc hiÖn