Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu c«ng viÖc trªn ®[r]
(1)đề thi học sinh giỏi MễN : TỐN Lớp : 8
§Ị sè
Bài : a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết
A = 10x2 – 7x – B = 2x – Bài : Cho x + y = x y 0 Chứng minh
3 3 22 2 0
1 1 3
x y
x y
y x x y
Bài : Cho a2 – 4a +1 = Tính giá trị biểu thức P =
2
1
a a a
Bài : Tìm a để M có giá trị nhỏ M =
2
2
2 2009
a a a
với a o
Bài : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB AC E F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N trung điểm EF c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA
Bài : Cho tam giác ABC vuông cân A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vng góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC D Tìm tỉ số BD
DC
HƯỚNG DẪN
Bài : a) x3- 5x2 + 8x - = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)
= ( x – ) ( x – ) 2
b) Xét 10 5
2 3
A x x
x
B x x
Với x Z A B
2x Z ( 2x – 3)
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; -2; ; A B ( 0,25 đ)
Bài : ( 1,5 đ) Biến đổi 1 1
x y
y x =
4
3
( 1)( 1)
x x y y
y x
=
4
2
( ) ( 1)( 1)
x y x y
xy y y x x
( x+y=1
y-1=-x x-1=- y) (0,25đ)
=
2
2 2 2
( )
( 1)
x y x y x y x y xy x y y x y yx xy y x x
(0,25đ)
=
2
2 2
( 1)
( )
x y x y
xy x y xy x y x y xy
(0,25đ)
(2)=
2
2 2
( )
( )
x y x x y y xy x y x y
= 2
( 1) ( 1) ( 3)
x y x x y y xy x y
(0,25đ)
= 2
( ) ( ) ( 3)
x y x y y x xy x y
=
2
( ) ( 3)
x y xy xy x y
(0,25đ)
= 2
2( )
x y x y
Suy điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài : (0,75đ) Ta có a2 - 4a + = a2 – a + = 3a a2 a
a
=3 (0,25đ) P = a4 a22 a2 a 1.a2 a
a a a
=
2
a a
a
(0,25đ) Mà a2 a a2 a 2a
a a a
= 3+2 =
Suy P = = 15 (0,25đ) Bài : ( đ) M =2008( 2 2 2008)
2008
a a
a
=2008 2 .2008 20082
2008
a a
a
(0,25đ) = 2007 2 2008 20082
2008
a a a
a
(0,25đ) = 2007 ( 2008)2 2007
2008 2008 2008
a a
(0,25đ)
Dấu “=” xảy a – 2008 = a = 2008
Vậy giá trị nhỏ M 2007
2008 a = 2008 (0,25đ) Bài :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận : DF DC
AM MC ( Do AM//DF) (1)
DE BD
AM BM ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) (2) DE DF BD DC BC
AM BM BM
( MB = MC) ( 0,25đ)
DE + DF = AM ( 0,25đ)
Câu b ( đ) : AMDN hình bành hành Ta có NE AE
ND AB (0,25đ)
NF FA DM DM AE
ND AC MC BM AB (0,5 đ)
NE NF
ND ND => NE = NF (0,25đ)
Câu c : ( 0,75đ) AMC FDC đồng dạng
2
AMC FDC
S AM
S FD
FNA FDC đồng dạng
2
FNA FDC
S NA
S FD
(3)
2
AMC FDC
S ND
S FD
2
FNA FDC
S DM
S DC
AMC FNA
FDC FDC
S S
S S
2
ND FD
2
DM DC
4
1 16
ND DM FD DC
(0,25đ)
S2FDC 16 SAMC.SFNA (0,25đ)
( Do x y 2 0 x y 2 4xy x y 4 16x y2 với x 0; y 0)
N
E
D M C
A
B F
Bài : ( đ)
Kẻ MI // BC ( I AD) MI =
BD
Ta có : MI MH
DC HC ( Do MI // BC)
2
BD MH
DC HC ( 1) ( 0,25đ) MAH ACH đồng dạng ( g-g)
2
MH MA
AH AC ( ABC vuông cân A nên AB = AC )
AH = MH ( 0,25đ) AMC vng , ta có AH2 = MH HC
4MH2 = MH.HC HC = MH ( 0,25đ)
Thay vào (1) ta có :
2 4
BD MH
DC MH
1
BD
DC ( 0,25đ)
I M
D H
C B
A
(4)Bài 1: Cho biểu thức M = 6 x x x x x : 10 2 x x x
a) Rút gọn M
M= 6 x x x x x : 10 2 x x
x =
) ( ) )( ( x x x x x x
: 62 x
M = 62
) )( ( x x
x = 2 x
1
b)Tính giá trị M x =
2
: x =
2
x =
2
x = -21 Với x = 21 ta có : M =
2 =
=32 Với x = - 12 ta có : M =
2 =
=52 Bài 2: Cho a, b, c x, y, z số khác khác 0, đồng thời thoả mãn
0 z c y b x a
và 1
c z b y a x
Chứng minh 2
2 2 2 c z b y a x HD Từ 0
z c y b x a
0
xyz cxy bxz ayz
ayz + bxz + cxy =
Từ 1
c z b y a x 2 2 2 c z b y a x + ab xy + bc yz + ac xz
= 1 2
2 2 2 c z b y a x + abc xyc + abc yza + acb xzb =1 Mà ayz + bxz + cxy = 2ayz + 2bxz + 2cxy = (Do abc0)
Hay 2
2 2 2 c z b y a x (đpcm)
Bài 3: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A <
a Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 -
a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b.Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác) Vậy A<
Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B =
1 ) ( 3 x x x x B = ) ( 3 x x x x
= 2(3( 1)1) 1
x x x x
=( 23(1)(1) 1)
x x x = x Do x2 +1>0 nên B =
1
2
x 3 Dấu ''='' xãy x = Vậy GTLN B 3 x =
Bài : Cho hình vng ABCD Hai điểm I,J thuộc hai cạnh BC CD cho góc IAJ =450 Đường chéo BD cắt AI AJ tương ứng H K Tính tỉ số
J
I HK
Giải: Từ giả thiết góc HAJ = góc HDJ =450, suy tứ giác AHJD nội tiếp, từ góc AHJ
=1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân H Suy
2
AJ
AH (1)
H
K
A B
(5)Xét tương tự ta có
2
AI
AK (2)
Từ (1) (2) suy AHK ~AJI Do J
I HK
=
2
AJ
AH .
Đề số Câu 1
Cho T=
2
3 2
( 1) ( 4) :
2 ( 1) ( 2)
x x x x x x
x x x x x
.
a/ Rút gọn T b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn
HD*TX§ x1 a/ Rót gän T=
2
3 2
( 1) ( 4) :
2 ( 1) ( 2)
x x x x x x
x x x x x
=
2
3 2
( 1)
: 2 2
x x
x x x x x
=
2
( 1) ( 1)( 2)
x
x x x x
=
1
(x1) 1
b/ Để T đạt giá trị lớn
(x1) 1 nhá nhÊt mµ (x+1)2 +1>1
Vậy x=-1 T=1 lớn
Bi 2: Chứng minh xx(12 yzyz) yy(12 xzxz)
Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1 Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
HD Từ GT (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2
x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0 xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) =
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = (x -y)xy xyz(xyz)xzyz =
Do x - y 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x2-4xy+5y2=16
HD
Ta có: x2-4xy+5y2=16 x2-4xy+4y2+y2 = 16 (x-2y)2+y2 = 16
Vì x, yZ nên (x-2y)Z
Tổng hai bình phương hai số ngun 16 có khả xảy a)
(x-2y)2=0 x=8; y=4
y2=16 x=-8; y=-4
(6)b) y2=0 x=4; y=0
(x-2y)2=16 x=-4; y=0
Vậy phương trình có nghiệm nguyên: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4)
Câu (2 điểm): Một ngời xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách 80km Một nửa sau ngời xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trớc ngời xe máy 10 phút Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe máy
HD Gọi vận tốc ngời xe máy x km/h (x > 0)
=> vËn tèc cña ngời xe ô tô 1,5x km/h thời gian ngời xe máy là: 80
x (h) , thời gian ngời xe ô tô là:
80
1,5x ( h)
theo bµi ta cã pt: 80
x -
80 1,5x=
2
3 (ô tô trớc 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) = (h)
giải pt đợc x= 40 Vậy vận tốc ngời xe máy 40 km/h, vận tốc ngời xe ô tô 60 km/h
Bài 4: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt G
a) Chứng minh GH qua trung điểm BC
b) ABC ~ AEF c) BDF = CDE
d) H cách cạnh tam giác DE Giải
a)BG AB, CH AB, nên BG // CH
Tương tự BH AC, CG AC nên BH//CG
Tứ giác BGCH có cặp cạnh đối song song nên hình bình hành
Do hai đường chéo cắt trung
điểm đường.Vậy GH qua trung điểm M BC
b) Do BE CF đường cao tam giác ABC nên tam giác ABE ACF vuông
Hai tam giác vng ABE ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng Suy ACAB AFAE
AF
AC AE AB
(1)
Hai tam giác ABC AEF có góc A chung (2) Từ (1) (2) suy ABC ~ AEF
c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy BDF ~ EDC BDF = CDE
d) Ta cóBDF = CDE 900 - BDF = 900 -CDE 900 - BDF = 900-
CDE ADB - BDF = ADC -CDE ADF = ADE
Suy ra: DH tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH tia phân giác góc EFD Suy H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H cách ba cạnh tam giác DEF
H A
B C
G D
(7)Đề số
Bài 1
a) Chứng minh r»ng ph©n sè 3n
5n +
+ phân số tối giản "nN ;
b) Cho ph©n sè
2
n A
n + =
+ (nN) Có số tự nhiên n nhỏ 2009 cho phân số A cha tối giản Tính tổng tất số tự nhiên
Lêi gi¶i
a) Đặt d = ƯCLN(5n + ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay M d d = VËy ph©n sè 3n
5n +
+ phân số tối giản
b) Ta có A n 29 n = - +
+ Để A cha tối giản phân số 29
n+5 ph¶i cha tèi gi¶n Suy n
+ phải chia hết cho ớc dơng lớn 29 Vì 29 sè nguyªn tè nªn ta cã n + M 29
n + =29k (k N) hay n=29k –
Theo điều kiện đề ≤ n = 29k – < 2009
≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề
Tỉng cđa c¸c sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690
Bµi 2 Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn 1 1
a + + =b c a+ +b c
Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ suy :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a +b +c =a +b +c
Lêi gi¶i Ta cã : 1 1
a + + =b c a+ +b c
1 1
0 a + + -b c a+ +b c =
a b a b ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +
c(a b c) ab
(a b)
abc(a b c) + + +
+ =
+ + (a + b)(b + c)(c + a) =
a b b c c a é + = ê
ê + = ê
ê + = ë
a b b c c a é =-ê ê =-ê ê =-ë
®pcm
Từ suy : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091
a +b +c =a +( c)- +c =a
2009 20091 2009 2009 12009 2009 20091
a +b +c =a + -( c) +c =a
20091 20091 20091 2009 20091 2009 a +b +c =a +b +c
(8)HD : B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + MinB = :
Bài : Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm khối lợng công việc Nếu hai tổ làm chung hồn thành 15 Nếu tổ I làm giờ, tổ làm làm đợc 30% cơng việc Nếu cơng việc đợc giao riêng cho tổ tổ cần thời gian để hoàn thành
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt G
a) Chứng minh GH qua trung điểm BC b) ABC ~ AEF
c) BDF = CDE
d) H cách cạnh tam giác DEF Giải
a)BG AB, CH AB, nên BG // CH
Tương tự BH AC, CG AC
nên BH//CG
Tứ giác BGCH có cặp cạnh đối song song nên hình bình hành
Do hai đường chéo cắt trung
điểm đường.Vậy GH qua trung điểm M BC
b) Do BE CF đường cao tam giác ABC nên tam giác ABE ACF vuông
Hai tam giác vng ABE ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng Suy
AF
AE AC AB
AF
AC AE AB
(1)
Hai tam giác ABC AEF có góc A chung (2) Từ (1) (2) suy ABC ~ AEF
c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy BDF ~ EDC BDF = CDE
d) Ta cóBDF = CDE 900 - BDF = 900 -CDE 900 - BDF = 900-
CDE ADB - BDF = ADC -CDE ADF = ADE
Suy ra: DH tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH tia phân giác góc EFD Suy H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H cách ba cạnh tam giác DEF
Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức :
3 3 2
1 1 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷
ỗ ỗ ỗ
= ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ
ố ứ ố ứ ố ø
+ + +
Lêi gi¶i
H A
B C
G D
(9)Đặt S = a + b P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab =
S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) =
S - 3SP Do : 1 a b S;
a b ab P +
+ = = 12 12 a2 2 2b2 S2 22P;
a b a b P
+
-+ = =
3 3
3 3 3
1 a b S 3SP
a b a b P
+
-+ = =
Ta cã : A =
3
3
1 S 3SP S 2P S
S P S P S P
-
-+ +
=
2 2 2
2 4 4
S 3P 3(S 2P) (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
Hay A =
3 3
1
P =a b
VÝ dơ 4 Cho a, b, c lµ ba sè phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ
thuộc vào giá trị x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - -
-= + +
- - -
Lêi gi¶i
C¸ch 1
2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - = Ax
2 – Bx + C
víi : A 1
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - ;
B a b b c c a (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - ;
C ab bc ca (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - -
Ta cã : A b a c b a c (a b)(b c)(c a)
- + - +
-= =
- - - ;
B (a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) (a b)(b c)(c a)
+ - + + - + +
-=
- -
-2 2 2
b a c a a c
0 (a b)(b c)(c a)
- + - +
-= =
- - - ;
C ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - +
-= =
- - -
(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - -
-= = =
- - -
VËy S(x) = 1"x (đpcm)
Cách 2
t P(x) = S(x) – đa thức P(x) đa thức có bậc khơng vợt q Do đó, P(x) có tối đa hai nghiệm
NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = "x Suy S(x) = "x ®pcm
(10)VÝ dô Cho x x
+ = Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau : a)
2
1 A x
x
= + ; b) 3
1 B x
x
= + ; c) 4
1 C x
x
= + ; d) 5
1 D x
x
= +
Lêi gi¶i a)
2
2
1
A x x
x x
ổ ửữ
ỗ
= + = +ỗ ữữ- = - =
ỗố ứ ;
b)
3
3
1 1
B x x x 27 18
x x x
æ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
= + = +ốỗỗ ứữữ- ỗỗố + ữữứ= - = ;
c)
2
4
4
1
C x x 49 47
x x
ổ ửữ
ỗ
= + =ỗ + ữữ- = - =
ỗố ứ ;
d) A.B x2 12 x3 13 x5 x 15 D
x x x x
ổ ửổữ ửữ
ỗ ỗ
=ỗỗ + ữữỗỗ + ữữ= + + + = +
ố øè ø D = 7.18 – = 123
Ví dụ 5 Xác định số a, b, c cho : 2 ax2 b c
(x 1)(x 1) x x +
= +
+ - + -
Lêi gi¶i Ta cã :
2
2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - +
-+ = =
+ - + - +
§ång phân thức với phân thức 2
(x +1)(x- 1), ta đợc :
a c a b a b c b c
ì + = ì
=-ï ï
ï ï
ï ï
ï - = Û ï
=-í í
ï ï
ï - = ï =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
VËy 2 2x 1 (x 1)(x 1) x x
-= +