Bai tap Nguyen ham Tich phan

[r]

GIẢI TÍCH 12 NGUYÊN HAØM

15.1: Chứng minh hàm số F (x) nguyên hàm hàm số f (x) ,với : a) F(x) = ln x x2 1 C; f(x) = ,( )

1

2 x R

x  

b) F(x) = ln 2 x

tg C ; f(x) = ,( , ) sin

1 x k k Z

x   

c) F(x) = ln

2 4

x

tg   C

  ; f (x) = cos ,( 2 , )

1 x k k Z

x    

d) F(x) =1 2

2 ln( )

x x a a x x a

      

 ; f (x) = x2a

15.2: Chứng tỏ hàm số F(x) = x  ln(1 x) nguyên hàm R hàm số: f(x) =

1 x

x

 15.3

: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) ,sao cho F(x) thoả điều kiện cho trước: a) f(x) = sinx.cos2x.sin3x , biết F ( /6) =

b) f(x) = cos5x , bieát F(0) = 1 c) f(x) = sin6x + cos6x , bieát F(/12) =  d) f(x) = (tgx – cotgx)2 , bieát F(/4) = 5 e) f (x) = sin2x sin2x

e , bieát F(0) =

15.4: Tìm nguyên hàm hàm số sau : a)

2

5

( ) 2

f x x x

x

 

  

 

; b)

2

(3 2)

( ) 4 x f x

x 

 ; c) f (x) = (sin cos

2 2

x x

 )2

d) f (x) = 2x3x4x

; e) f (x) = 2x.22x.23x ; f) f(x) = (3x – 22 x)2

15.5: Tìm nguyên hàm hàm soá :

a) f (x) = (2x3+x2+1)4 (3x2+x) ; b) f (x) = (4x+6)5 (x23x4)3 ; c) f (x) = 2 1

2 3

x

x x



  ; d) f (x) =

2

3

3 2 1

( 1)

x x

x x x

 

   ;

h) f (x) = tg3x+tg5x; k) f(x) = cos3xcos3x ; l) f(x) = cos2x.cos2x.

15.6: Tìm nguyên hàm hàm số sau:

a) f(x) = cos3x + cos3x ; b) f(x) = cos4xtg3x ; c) f(x) = sin4xsin32x;

d) f(x) = 5/(1 - cos6x) ; e) f(x) = 16sin3x - 12x ; f) f(x) = sin4x + cos4x.

g) f(x) = sin4(x/2) ; h) f(x) = tg5x k) f(x) = sin6x + cos6x

15.7: Tìm họ nguyên hàm hàm số : a)f(x) = 2 2

1 x

x x  ; b) g(x) = cosxcos2xsin4x ; c) f(x) = cos

3x.sin8x

15.8: Tìm nguyên hàm hàm số : a) f(x) =

sin(x-4 

)(2+sin2x) ; b) f(x) = 1

1 1

x  x ;c) f(x) =

ln( )

3 ln

ex

x x

 15.9: a) Xác định số A,B cho : 3

3 1

( 1) ( 1) ( 1)

x A B

x x x



 

  

b) Dựa vào kết ,tìm nguyên hàm f (x) = (3x + 1)/(x + 1)3.

15.10: a) Tìm số A,B,C để: f(x) =

2 3

3 3 3

3

 

 

x x

x x

= ( 1)2 1 2

A B C

x x x b) Tìm họ nguyên hàm hàm soá f(x)

15.11: Chứng minh hàm số : f (x) = sin cos

sin cos

a x b x

c x d x



 (với c

2+ d20) có họ nguyên hàm daïng : F (x) = Ax + Blncsinx d cosx + C 15.12: Tìm nguyên hàm hàm số : f (x) = 2

1

(x a ) (x b ) (a,b,hằng số) 15.13: Định a,b,c để hàm số F (x) nguyên hàm f (x) :

a)F (x) = (ax2+bx+c) x2 4x

 ; f (x) = (x-2) x2 4x

b) F (x) = (ax2+bx+c) ex ; f(x) = (x-3) ex

15.14: Tìm họ nguyên hàm hàm số :

a) f (x) = cos5xtgx; b) cos3xtgx; c) f (x) = cotg2 (2x+/4)

d)

x x x

f

2 sin

sin )

(



 ; e) 1002

2001

) ( ) (

x x x

f



 ; f)

x x x

f

cos sin

2 )

(

 



XVI. TÍCH PHÂN

A .Dùng định nghóa,tính chất tích phân ,bảng nguyên hàm:

16.1: Tính tich phân sau : a)

0(x 1)(2x3)dx

 ; b) 21

3 5

2 x

dx x



 

 ; c)

2

2 4

1

x x

dx x

  

 ;

d)

2

1

2 1

2 x

dx x



 

 



 

 ; e)

2

1

1 2

x x

dx x

 

   

 



 

 ; f ) 21 3 2

xdx

x x

  

16.2: Tính tích phân sau: a)

3

3 2

dx x x x

 



 

 

 ; b) 1 2

1

x x

e e dx

 

 ; c) 01 2 2.

x x

e e dx

 

 ;

d) 1 2 

0 2 3

x x x

x   e dx

 ; e) 01 2x x

dx e e

 ; f)



01



tgx dx

16.3: Tính tích phân : a)

1 x 4x 3dx

  

 ; b)04maxx2,5x 6 dx; d)  

3 2

2min x 2,x dx

 



16.4: Tính: I(

) x x dx

    ,rồi vẽ đồ thị hàm số I( ) theo biến  16.5: Tính tích phân : a)

2

4

cos 2 sin cos

xdx

x x

 

 ; b) 4

0 cos 2

x dx



 ; c)

4 sin

dx x

 

 ; d)

0 tg dx



 ;

ñ)

0 8cos

1 sin xdx

x





 ; e)

4

cotg xdx

 

 ; f) 2 4

0 (sin x cos )x dx







16.6: Tính tích phân : a)

0 cos cos sin 4x x xdx



 ; b) cos3xsin 8xdx



 ; c) cos3xsinxdx





d)

0 1 sin xdx

 ; e) 1 sin

dx x





 ; f) 02 1 cos 2xdx







16.7: Tính tích phân : a) 2

2

3 1

4 3

x

dx

x x





 

 ; b)

2

0 ( 1)( 2)( 3)

x dx

x x x

 ; c) 12

1 1

dx x  x



16,8: Tính tích phân : a) I =

0 sin

sin cos

xdx

x x





 vaø J = 02

cos

sin cos

xdx

x x





 ;

b) I =

x

x x

e dx e e



 vaø J = 01 x

x x

e dx

e e

 





16.9: a) Tính đạo hàm hàm số F(x) = ln 2

2 1

2 1

x x

x x

 

  ;b) Tính I =

2

4

1 1 x

dx x

 



16.10: a) Chứng minh y = ln x x2 a2 y/=

2

1

x  a (a > 0) b) Tính tích phân I = 32

2

2 a a

dx x  a



16.11: a) Chứng minh hàm số F(x) =

2

1 1

ln x

x

 

(x0)

laø nguyên hàm hàm số f (x) = 1 2 1

x x



 b) Tính: I =

3

2

1 1

dx

x x



16.12: Tính tích phân: f (t) =

3

(4sin )

2 t

x dx

 Giải phương trình f (t) =

16.13: a) Tìm hai soá a,b cho: f (x) = 2

2 1

a bx

x x  =

4 2

( 2)( 1)

x

x x



  b) Tính F (t) =

0 ( ) t

f x dx

 với t > Suy : lim ( )t

F t

 

B.Phương pháp đổi biến số.

16.14: Tính tích phân :

a) 2 2

0 a dx

a x

 ; b)

2

0 a

dx a  x

 (a > 0); c) x 1

dx e 

 ; d) 13 2 2

4 dx

x  x

 ;

e) 44

3 4

xdx x 

 ; f)

0x 1x dx

 g) 01 5x (1 x3 6) dx; h)

2 0(1 )

dx x 

 16.15: Tính tích phân :

a) I = 24

1 1 x x

 

 dx; b) J =

3

6

1

( )

4 4 1

x x dx

x x x



  

 ; c) K =03x5 1x dx2

16.16: Tính tích phân : a)

0

sin cos

3 sin 2

x x

dx x



 

 ; b) 01 3x 1 x dx2 ; c)

2 2

3 1

dx x x 



16.17: Tính tích phân : a) 22

0 1 1

x dx x  

 ; c)01 2x (1 x dx)8 ; b)

2

1 2 cos 1

dx

x x 

  

 0 

16.18: a) Chứng minh f (t) hàm số liên tục đoạn 0;1 : 2

0 f(sin )x dx f(cos )x dx

 



 

b) Tính tích phân : I =

3

0

sin

sin cos

xdx

x x





 ; J =

5

5

0

cos

sin cos

xdx

x x



