Xin giới thiệu tới các bạn học sinh Đề kiểm tra định kì lần 1 môn Toán của Trường THCS & THPT Nguyễn Khuyến TPHCM cơ sở 3A. Đề thi gồm có 5 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết. Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.
GV: MTH TRƯỜNG THCS & THPT NGUYỄN KHUYẾN TPHCM Cơ sở 3A ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KÌ LẦN 1 Mơn Tốn . Thời gian : 150 phút Câu 1 ( 2điểm ) Cho hàm số y = x + (3m + 1) x 2 - 3 (với m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác 2 cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên. 3 x - 3 Câu 2 (2 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . x - 2 1) Viết phương trình tiếp tuyến D với đồ thị ( C ) sao cho D cắt trục hồnh tại A mà OA = 6 2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng · và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho cơsin góc ABI , với I là giao 2 17 tiệm cận Câu 3. ( 3 điểm ) 3sin 2 x + s inx - 3 1) Giải phương trình : + - sin 3 x = 0 . c otx ( 2) Giải bất phương trình : + x - x + ) ( x + 1) + 4x x + £ x x 2 - x + 5 . 2 xy ì 2 ï x + y + x + y = 1 3) Giải hệ phương trình : í ï x + y = x 2 - y ỵ Câu 4 (2điểm ) 1) Cho hình lăng trụ ABC A¢B¢C ¢ , với AB = a , BC = a , · ABC = 60 0 , hình chiếu vng góc của A¢ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của D ABC ; AA¢; ( ABC ) ) = 60 Tính V (· 0 A¢ . ABC d ( G; ( A¢ BC ) ) ( ) ( ) 2) Trong mặt phẳng Oxy , cho D ABC với A 6; , B -5; - 5 M là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MC = 2 MB Tìm tọa độ điểm C biết MA = AC = 9 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên . Câu 5. ( 1 điểm ) 2 Cho hai số a > 0, b > 0 thỏamãn ( a + 2b ) + 3a b = ( a + b )( a + 2 b 2 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2ùé 2 ù é a + b3 8 b 3 ë( a + b ) + 2a + 5b û ë( a - b ) + 2a + 5 b û A = + 3 + b3 a ab ( a + 2 b 2 ) Cảm ơn thầy Hải Mơng trí (mongtrihai@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl) ĐÁP ÁN Câu1. 1) ( 1 điểm ) Học sinh Tự làm é x = 0 2) y ¢ = x + ( 3m + 1) x = 0 Û ê 2 ( 0,25 điểm ) ê x = - 3m + 1 ë 2 1 Để hàm số có 3 cực trị Û m < - ( 0,25 điểm ) 3 Tọa độ các điểm cực trị 2 æ -3m - ( 3m + 1) ỉ -3m - 1 ( 3m + 1 ) A ( -3 ) , B ỗ - 3ữ , C ỗ - 3ữ (0,25im) ỗ ữ ỗ ữ 4 è ø è ø æ -3m - ( 3m + 1 ) 4 5 ỉ -3m - ÷ Û m = - ( A v BC = AB 9.4 ỗ + DABC cõn ữ = 4ỗỗ ữ 16 ố ø è ø 0,25 điểm) Câu 2 . ỉ 2x - 1)Gi M ỗ x ; ữ ẻ (C ) , x0 ¹ 2 x0 - ø è 3 Phương trình tiếp tuyến D tại M: y = - ( x0 - 2)2 ( x - x0 ) + x0 - x0 - ( 0,25 điểm) Với A = ( D ) Ç x Þ A ( x0 - x0 + 6; 0 ) ( 0,25 điểm) é x = 0 Mà OA = 6 Û x0 2 - x 0 + = 6 Û ê 0 (0,25điểm) ë x0 = 3 3 é ( D ) : y = - x + ê 2 (0,25 điểm) Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm : ê êë ( D ) : y = - x + 6 ỉ 2x - 2) I(22).Gi M ỗ x ; ữ ẻ (C ) , x0 ¹ 2 x0 - ø è Phương trình tiếp tuyến D tại M: y=- ( x0 - 2) ( x - x0 ) + x0 - x0 - ( 0,25 điểm ) ỉ 2x - Giao điểm của D với các tiệm cận: A ỗ 2; (0,25im) ữ , B(2 x - 2;2) x è ø · IA · Do cos ABI = nên tan ABI = = Û IB = 16.IA2 Û ( x0 - 2)4 = 16 ( 0, 25 IB 17 điểm ) éx = Ûê ë x0 = Kết luận: ( 0, 25 điểm ) æ 3ử Ti M ỗ 0; ữ phngtrỡnhtiptuyn: y = - x + è ø æ 5ử Ti M ỗ 4; ữ phngtrỡnhtiptuyn: y = - x + è ø Câu 3. 1) Ta có : ĐK: sin x ¹ 0 ( 0,25 điểm ) s inx ( 3sin 2 x + s inx - 3 ) Pt Û + - sin 3 x = 0 cos x Û 3sin x + s in x - 3s inx + 3cos x - 2sin 3 x.cos x = 0 ( 0,25điểm) Û 3s inx ( sin 2 x - 1 ) + 2sin 2 x (1 - s inx.cos x ) + 3cos x = 0 Û 3cos x ( s inx.cos x - 1) = sin 2 x (1 - s inx.cos x ) és inx.cos x = 1 (0,25điểm) Û ( cos x.s inx - 1) 3cos x + 2sin 2 x = 0 Û ê 2 ë 2cos x - 3cos x - = 0 ésin x = 2 ( PTVN ) ê 2 p ê écos x = 2 Û x=± + k 2 p ( k Ỵ Z ) ê ê 3 1 ê êcos x = 2 ë ë 2 p So với điều kiện , ta được nghiệm của phương trình : x = ± ( k Ỵ Z ) ( 0,25đểm) 3 2) Ta có : x 3x 2 + x - 1 2 Pt Û + x - x + ( x + 1) + £ 0 ( 0,25 điểm ) x + + x 2 - x + 5 ( ( ) ) ( ) é ù x ( x - 1 ) Û ( x + 1) ê + x 2 - x + + ú £ 0 ( 0,25 điểm ) 2 x + + x x + 5 ë û Û ( x + 1) é x + + x - x + + ( x + 1)( x - x + ) + x 2 - x + 5ù £ 0 ( 0,25 ú ëê û điểm ) Û x + £ Û x £ - 1 (0,25 điểm) ì x + y > 0 3) Ta có : Điều kiện : í 2 ỵ x - y > 0 2 Hpt Û ( x + y ) é( x + y ) - 1ù - xy éë( x + y ) - 1ùû = 0 (0,25 điểm) ë û é x + y = 1 Û ( x + y - 1) éë( x + y )( x + y - 1) - xy ùû = 0 Û ê (0,25điểm) 2 ë x + y + x + y = 0 ( PTVN ) é x = Þ y = 0 Với x + y = 1 thay vào pt ( 2 ) , ta được : x 2 + x - = 0 Û ê (0,25điểm) ë x = -2 Þ y = 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình : (1;0 ) , ( - 2;3 ) Câu 4 1) ( HS tự vẽ hình ) Ta có : A¢G ^ ( ABC )ị AÂG lngcaohỡnhchúp AÂ.ABC v AG lhỡnhchiuca AAÂ lờnmtphng ( ABC ) ; Gọi M là trung điểm của BC 2a 3 2 a · AI = AÂAG =60 ị AÂG = AG.tan 60 0 = ( 0,25 điểm) 3 3 Trong D ABC có AC = AB + BC - AB.BC cos600 = 3a 2 Þ AC = a 3 Lại có : AB + AC = 4 a = BC 2 Þ D ABC vng tại A 1 a 3 ¢ Do đó : VA¢. ABC = S DABC . A G = (0,25 điểm) 3 ì AK ^ BC GI MG 1 AB AC a 3 Dựng : í = = Þ GI = AK = = Þ GI P AK Þ AK MA 3 3.BC 6 ỵGI ^ BC Kẻ GH ^ A¢I ì BC ^ GI Với í Þ BC ^ GH Þ GH ^ ( AÂBC ) ị d ộởG( AÂBC )ựỷ = GH(0,25im) ỵ BC ^ A¢G Khi đó : AG = Trong D A¢GI vng tại G , với GH = A¢G.GI A¢G + GI 2 = 2a 51 51 ( 0,25 điểm ) 2 Câu 5 : Cho hai số a > 0, b > 0 thỏamãn ( a + 2b ) + 3a b = ( a + b )( a + 2 b 2 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2ùé 2 ù é a + b3 8 b 3 ë( a + b ) + 2a + 5b û ë( a - b ) + 2a + 5 b û A = + 3 + b3 a ab ( a + 2 b 2 ) Ta có (a 2 + 2b ) + 3a b = ( a + b )( a + 2b ) ³ 4ab ( a + 2 b 2 ) 2 a 2 b ỉ a 2b ỉ a 2b ị ỗ + ữ + 4ỗ + ữ Û + ³ 3 . ( 0,25 đ) èb a ø è b a ø b a 3 4 æ a 2b ö æ a 2b ö æ a 2b ö æ a 2b ổ a 2bử A= ỗ + ữ - ỗ + ữ + ỗ + ữ +1 = ỗ + ữ + 3ỗ + ữ + 1 èb a ø è b a ø è b a ø a + 2b èb a ø è b a ø a + 2 b b a b a 4 hàm số f ( t ) = t 3 + 3t - + 1, tẻ [ 3+Ơ ) t 4 3t + 3t 2 + 4 2 ¢ f ( t ) = 3t + + = > 0, "tẻ ( 3+Ơ).(0,5im) t t lim f ( t ) = +Ơ, f ( 3)= tđ+Ơ 97 Bngbinthiờn Dựa vào bảng biến thiên , ta được 97 A = min f ( t ) = , khi a = b = c = 1 [3; +¥ ) 3 ( 0,25 điểm ) Cảm ơn thầy Hải Mơng trí (mongtrihai@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl) ... -3 m - ( 3m + 1) ö æ ö -3 m? ?- 1? ? ( 3m + 1? ?) A ( 0; -3 ) , B ỗ - 3ữ , C ỗ - 3ữ (0,25im) ỗ ữ ỗ ữ 4 è ø è ø æ -3 m? ?- ( 3m + 1? ?) 4 5 ỉ -3 m - ÷ Û m = - ( A BC = AB 9.4 ỗ + DABC cõn ữ = 4ỗỗ ÷ 16 ... - 1? ? - xy éë( x + y )? ?- 1? ?û = 0 (0,25 điểm) ë û é x + y = 1? ? Û ( x + y - 1) éë( x + y )( x + y - 1) - xy ùû = 0 Û ê (0,25điểm) 2 ë x + y + x + y = 0 ( PTVN ) é x = Þ y = 0 Với x + y =? ?1? ?... 3s inx ( sin 2 x - 1? ?) + 2sin 2 x (1 - s inx.cos x ) + 3cos x = 0 Û 3cos x ( s inx.cos x - 1) = sin 2 x (1 - s inx.cos x ) és inx.cos x = 1? ? (0,25điểm) Û ( cos x.s inx - 1) 3cos x + 2sin