Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.. Bài 6 (3 đ). a) Có nhận xét gì về tứ giác OMBN ..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
AN GIANG Năm học 2009 – 2010
Mơn: TỐN Lớp:
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
Chứng minh số sau số nguyên:
1/ 52 12 (5 27)
3 3 3
a=ổỗ - + ư÷ +
- -
-è ø
2/ b= 4+ 5 48 10 3+ - + Bài 2: (6,0 điểm)
1/ Cho phương trình ẩn x, tham số m:
2-2( +1) + 2+2 - =3 0
x m x m m
Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 cho
2
2008<x < <x 2013
2/ Giải hệ phương trình: ( )
2
3
3
2( )
6
ì + = +
ï í
ï + =
ỵ
x y x y xy
x y
Bài 3: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ hàm số:
( ) ( )
3 2 1 1 2 1 1
= + + + + + - +
y x x x x
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến A C đồng quy với đường thẳng BD M
Chứng minh rằng: AB CD = BC AD Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC kéo dài phía C, lấy điểm M Một đường thẳng D qua M cắt cạnh CA, AB N P Chứng minh rằng: BM CM
BP - CN không đổi, M D thay đổi
-Hết - ĐỀ CHÍNH THỨC
(2)Ubnd tØnh b¾c ninh
Sở giáo dục Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học: 2009 - 2010 Mơn thi: tốn – lớp - thcs
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Ngày thi 14 tháng năm 2010
C©u 1 (3,5 ®iĨm)
1) Rót gän biĨu thøc: 3
2 4
+ +
-+ + - -
2) Cho hµm sè f(x) = (x3 + 6x - 5)2010 TÝnh f(a), víi a = 3 3+ 17 +3 3- 17
C©u 2 (4,5 ®iĨm)
1) Giải hệ phương trình:
2
2
2
x 2x y 2y x
y 2y z 2z y
z 2z x 2x z
ì - + = ïï - + = í ï - + = ïỵ
2/ Giải phương trình:
3 x -x - =x
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O, R) nội tiếp h×nh thang ABCD (AB//CD), víi E; F; G; H theo thứ tự tiếp điểm (O, R) với c¹nh AB; BC; CD; DA
1) Chøng minh EB GD
EA = GC Từ đó, tính tỷ số EB
EA,biÕt: AB= 4R
3 vµ BC=3R
2) Trên cạnh CD lấy điểm M nằm hai điểm D G cho chân đường vng góc kẻ từ M đến DO điểm K nằm (O, R) Đường thẳng HK cắt (O, R) điểm T (khác H) Chứng minh MT = MG
Câu 4 (4,0 điểm)
1/ Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức R(b + c) = a bc Hãy xác định dạng tam giác ABC
2/ Giả sử tam giác ABC góc tù, có hai đường cao AH BK Cho biết AH BC BK AC HÃy tính góc tam giác ABC
Câu (4,0 điểm)
1/ Tìm tất cặp số tự nhiên n k để (n4 +42k 1+ ) số nguyên tố
2/ Cho số thực a b thay đổi thỏa mãn a3+b3 =2 Tìm tất giá trị nguyên (a + b)
-HÕt - (§Ị thi gồm 01 trang)
Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh: Chữ ký giám thị 2:
(3)(4)THI CH N H C SINH GI I C P T NH L P THCS T NH BÌNH NH MƠN TỐN Th i gian: 150 phút Ngày 18 03 2009
Bài 1: (3 i m)
Tìm t t c c p s nguyên (m, n) cho 2n3 mn2 3n2 + 14n 7m = Bài 2: (3 i m)
Cho x, y, z s th c khác 1 x y x Ch ng minh r ng yz zx xy2 2 2
x y z
Bài 3: (3 i m)
Gi i h ph ng trình:
x y
x 20 y Bài 4: (4 i m)
Cho i m O thu c mi n c a tam giác ABC Các tia AO, BO, CO c t c nh tam giác ABC l n l t t i G, E, F
Ch ng minh r ng OA OB OC AG BE CF Bài 5: (4 i m)
Cho ng tròn (O), ng kính AB Trên tia ti p n Ax v i ng tròn (O) l y i m C cho AC = AB ng th ng BC c t ng tròn (O) t i D, M m t i m thay i o n AD G i N P l n l t chân ng vng góc h t M xu ng AB AC, H chân ng vng góc h t N xu ng ng th ng PD
a) Xác nh v trí c a M tam giác AHB có di n tích l n nh t
b) Ch ng minh r ng M thay i, HN i qua m t i m c nh Bài 6: (3 i m)
Ch ng minh: 17 1 18
2 100
(5)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP GIA LAI Năm học: 2009 – 2010
- Mơn thi: TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể phát đề) ĐỀ BÀI:
Câu 1: (2,5 điểm)
Chứng minh 21975+52010 chia hết cho Câu 2: (2,5 điểm)
Chứng minh xy+ (1+x2)(1+y2)=1, x 1+y2 +y 1+x2 =0 Câu 3: (3 điểm)
Cho số dương a b c, , Chứng minh bất đẳng thức: 2 a b b c c a
a b c ab bc ca
+ + +
+ + £ + +
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho phương trình x2-2(m-1)x m+ - =3 0, mỴ¡
a) Chứng minh với mỴ¡, phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
x x2
b) Tìm số nguyên m để nghiệm x1 x2 số nguyên Câu 5: (4 điểm)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P):
4
y= x đường thẳng (d):
1
y mx= + , mỴ¡ Chứng minh với mỴ¡: a) (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B b) Diện tích tam giác AOB không nhỏ m+1 Câu 6: (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA CB M N Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI P Chứng minh góc IPB vng
(6)(7)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP HÀ NỘI Năm học 2009-2010
Mơn: Tốn
Ngày thi : 31 - - 2010 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang)
Bài I (4 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
A = (x31+x3-x2010 2009) với 3(2 5) 17 383
5 14
x= +
-+
-Bài II (4 điểm)
1) Giải phương trình : x4+3x3-2x2-6x+ =4 0
2) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:
xy x y a+ + = +
2
x y xy+ =a
Bài III (4 điểm)
1) Giải bất phương trình:
4
4
1
2
x x x x x x x
+ + + £
- + - +
2) Tìm giá trị lớn của:
B = 3 13 3 13 3 13
1 1
x +y + + y + +z +z +x + Với x, y, z số dương x, y, z =
Bài IV (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) D điểm thuộc cung nhỏ AC (D khác A C) Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ D tới đường thẳng AB, AC Gọi P giao điểm đường thẳng MN, BC
1) Chứng minh DP BC vng góc với
2) Đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC Tính IO với R = 5cm, r = 1,6cm
Bài V (2 điểm)
Tìm số x, y nguyên dương để C số nguyên dương với C =
1 x x
xy +
- Hết - ( Giám thị khơng giải thích thêm)
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
(8)(9)SỞ GD & ĐT HỊA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009-2010 Đề thức Đề thi mơn: tốn
Ngày thi: 25 tháng năm 2010
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1: ( điểm)
1 Rút gọn biểu thức: 3 : 7 3
ỉ + -
-ỗ ữ
ỗ - + ữ
è ø
2 Biết:(x+ x2+5)(y+ y2+5)=5; Tính giá trị của biểu thức A= x + y
3 Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: ( n+ 1)( n+3)(n + 5)( n+ 7) + 15 ( yêu cầu phân tích thành nhân tử bậc nhất)
Bài 2: ( điểm)
1 Giải phương trình: x3 + 3x2 + x – = Giải hệ phương trình: 32 3
20
x x y y
x xy
ì + = +
ï í
+ - =
ïỵ
3 Cho hàm số y = mx + 1- x+ m ( m tham số)
Tìm m đểđồ thị hàm số đường thẳng cắt trục tọa độ thành tam giác có diện tích
Bài 3: ( điểm)
1 Cho hình thang cân ABCD biết đáy AB = 10, CD =22 DB phân giác góc ADC Tính diện tích hình thang
2 Cho đường tròn (O; R) ( I ; r) cắt điểm A, B Biết R = 3; r = OI =5 Một cát tuyến qua B cắt đường tròn C D
Chứng minh rằng: Tam giác ACD tam giác vng với vị trí cát tuyến CD Bài 4: ( điểm) Cho số a, b thảo mãn a ³1; b ³ 4, Tìm giá trị nhỏ tổng: A = a b
a b
+ + +
Bài 5:( điểm) Tìm số phương có chữ số thỏa mãn chữ số hàng ngìn hàng trăm nhau; Chữ số hàng chục hàng đơn vị
(10)(11)(12)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2009 – 2010
Mơn thi: TỐN LỚP - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4,5 điểm):
a) Cho hàm số f (x) (x= 3+12x 31)- 2010 Tính f (a)tại a = 316 5- + 316 5+
b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x2+xy y ) 7(x 2y)+ = +
Câu 2 (4,5 điểm):
a) Giải phương trình: x2 = x3-x2 + x2 -x
b) Giải hệ phương trình:
2
1 1
2
x y z
2
4 xy z
ì + + = ïï
í
ï - =
ïỵ Câu 3 (3,0 điểm):
Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz =
Tìm giá trị lớn biểu thức: 3 3 3
1 1
A
x y y z z x
= + +
+ + + + + +
Câu 4. (5,5 điểm):
Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ
một điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng:
a) MI.BE BI.AE=
b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cốđịnh
Câu 5. (2,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH ^PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn
- - - Hết - - -
(13)Sở giáo dục đào tạo
Tỉnh ninh bình đề thi chọn học sinh giỏi lớp THCS Năm học 2009- 2010 Mơn: Tốn
C©u (4,0 ®iĨm):
1. Rót gän biĨu thøc: 1
1 5 9 13 2006 2010
P= + + + +
+ + + +
2. Cho x=35( 1)+ -35( 1)- Tính giá trị biểu thức: A = x3 +15x
Câu (6,0 điểm):
1. Giải hệ phương trình sau: 22 22 2( 2)
2 16
x y xy x y xy
ì + + - =
ï í
+ - =
ïỵ
2. Giải phương trình: 16x4+ =5 43 x3+x
C©u (6,0 ®iĨm):
Cho tam gi¸c ABC cã ·BAC=600, AC = b, AB = c (víi b > c) §êng kÝnh EF
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC M Gọi I J chân đường vng góc hạ từ E xuống đường thẳng AB AC Gọi H K chân đường vng góc hạ từ F xuống đường thẳng AB AC
1. Chứng minh tứ giác AIEJ CMJE néi tiÕp
2. Chứng minh ba điểm I, J, M thẳng hàng IJ vng góc với HK 3. Tính độ dài cạnh BC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
theo b, c C©u (2,0 ®iĨm):
Cho x > 0, y > x y+ Ê4
Tính giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: M x y 5 x y = + + + Câu (2,0 điểm):
Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa m·n: 5x - 3y = 2xy - 11
(14)(15)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM 2009-2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MƠN: TỐN ( BẢNG B)
Ngày thi: 25/3/2010 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1: ( 3,5 điểm )
Cho biểu thức :
xy 2y 1 yz 2y 1 zx 2x 1
A
xy x y yz y z zx z x 1
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + +
( với x;y;z số thực có giá trị khác -1) Chứng minh A số
nguyên
Bài 2: ( 3,5 điểm )
Tìm số tự nhiên a cho A=a2 +10a +136 có giá trị số phương Bài (4điểm)
Giải phương trình: 2
2 7 1
3x - +x 3x- +5x 2+ = x
Bài 4.( điểm )
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, C điểm cung AB, M điểm thuộc cung BC ( điểm M khác B C ) AM cắt OC I Kẻ CK vng góc với AM ( KỴAM), OK cắt BC N
a) Chứng minh IKNC tứ giác nội tiếp
b) Khi M di chuyển cung BC tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ICM ln nằm đường thẳng cố định
Bài 5: ( điểm )
Trục thức mẫu: 3
2 A
2 2 4
=
+ +
(16)(17)1
Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình Đề thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (3 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 4
2x y +2y +y +5x 2y 5xy+ = +2x +1
Bài (3 điểm)
Gii h phng trỡnh:
( 2) ( )
2
3 85
4xy x y
3 x y
1 13
2x
x y
ì + + + =
ï +
ï í
ï + =
ï +
ợ Bài (3 điểm)
Chứng minh rằng: NÕu ®a thøc P(x) = x4 + bx3 + cx2 + bx + cã nghiƯm th× 2b + c 2
Bài (3 điểm)
Cho x; y số thực thoả mÃn: 4x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa
biĨu thøc: A 2x 3y 2x y
+ =
+ + Bµi (3 điểm)
Từ điểm E đường tròn tâm O kẻ tiếp tuyến với đường tròn A B Gọi M điểm nằm đoạn AB (M khác A B, MA MB) Gọi C D điểm đường tròn cho M trung điểm CD Các tiếp tuyến đường tròn C D cắt F Chứng minh tam giác OEF tam giác vuông
Bài (3 điểm)
Cho đường tròn (O; R) điểm A, B nằm ngồi đường trịn cho OA = R Tìm điểm M đường tròn cho tổng MA + 2.MB đạt giá trị nhỏ
Bµi (2 ®iĨm)
Một tam giác vng có số đo cạnh số tự nhiên có chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số đo cạnh huyền ta số đo cạnh góc vng Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
- HÕt
(18)K× thi chọn HSG Tỉnh Thanh Hóa Năm học: 2009 - 2010
Bài (4 điểm )
Cho biÓu thøc: P = 1
1 2
x x x x x x x x
x
x x x x x
ỉ + - - + - +
ỗ ữ
ỗ - - ữ + -
-è ø
a) Rót gän biĨu thøc P
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P
(5 49 20 6)( )
4 11
x= + -
-Bài (5 điểm )
a) Gii phương trình: 2 213
3
x x
x - x+ + x + +x = b) Giải hệ phương trình: ( 2 )
4
x x y
y xy
+ =
ì
ớ =
-ợ
Bài (3 điểm ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A = (x y y z z x)( )( ) y z z x x y
x y z
ỉ + + +
+ + + ỗỗ + + ữữ
ố ứ
Với x, y, z ba số thực dương thay đổi có tổng
Bµi (6 ®iĨm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt hai tiếp tuyến B C đường tròn (O) tương ứng M N Đường thẳng d cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E khác A MC cắt NB F Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ACN MBA đồng dạng; hai tam giác MBC BCN đồng dạng
b) Tứ giác BMEF nội tiếp đường trßn
c) Khi d thay đổi ln qua A đường thẳng EF ln ln qua điểm cố định
Bµi (2 ®iÓm )
(19)UBND TỈNH TIỀN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập – Tự – Hạnh phúc
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH Khố ngày 23/3/2010
Mơn: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu
Câu 1: ( 5,0 điểm)
1 Giả sử số a, b thoả mãn:
3
3
a 3ab 233
b 3a b 2010
ì - =
ï í
- =
ïỵ Tính
2
P a= +b
2 Với giá trị b hai phương trình: 2011x2+bx 1102 0+ =
1102x +bx 2011 0+ = có nghiệm chung
Câu 2: ( 5,0 điểm)
1 Giải phương trình: x 1- + x3+x2+ + = +x 1 x4-1 Cho phương trình: y2 +my p 0+ = có hai nghiệm
1
y y Định m p
để
1
1 y+ 2
1
1 y+ nghiệm phương trình Câu 3: ( 2,0 điểm)
Một thầy giáo cịn trẻ dạy mơn tốn hỏi tuổi trả lời
sau: “ Tổng, tích, hiệu, thương tuổi tơi đứa trai cộng lại 216” Hỏi thầy giáo tuổi?
Câu 4: ( 3,0 điểm)
Giả sử phương trình bậc hai ax2+bx c 0+ = có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1]
Xác định a, b, c để biểu thức ( )( )
( )
a b 2a c P
a a b c
-
-=
- + đạt giá trị nhỏ giá trị lớn
nhất
Câu 5: ( 5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, qua A ta vẽđường thẳng d di động Gọi B’, C’ hình chiếu B C xuống d; H chân đường cao tam giác ABC
1 Chứng minh đường trịn đường kính B’C’ qua điểm cốđịnh Tìm tập hợp trung điểm M B’C’
Hết
* Ghi chú: Thí sinh khơng được sử dụng máy tính
(20)Sở GD Tp Hồ Chí Minh
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ NĂM 2009 THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT
Bài (4 đ) Thu gọn biểu thức sau a) 3 13 48
6
A
b)
2
a b a b b b
B
a ab ab a ab a ab
với a b, 0,a b
Bài (4 đ). Cho phương trình m3x23m1 x m1 m 4 a) Định mđể phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Định mđể phương trình có nghiệm âm
Bài (3 đ). Giải phương trình sau: a) 8 x7 2 4x3 x 1 b) x 17x2 x 17x2 9
Bài (3 đ)
a) Với nlà số nguyên dương Hãy tìm ước chung lớn số 21n4 14n3
b) Cho , ,a b c số thực dương Chứng minh
ab bc ca
a b c c a b
Bài (3 đ).Cho hai đường tròn O O cắt điểm ,A B Qua A kẻ đường thẳng cắt O M cắt O N Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng MN qua điểm cố định
Bài (3 đ). Cho đường tròn O đường kính ABvà tia tiếp tuyến Ax Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường trịn O với Clà tiếp điểm Đường vng góc với ABtại Ocắt
BC N
a) Có nhận xét tứ giác OMBN
b) Trực tâmHcủa tam giác MAC di động đường cố định M di động tia
Ax
Hết
(21)SỞ GD-ĐT TRÀ VINH ***
Đề thi thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP THCS NĂM HỌC 2009-2010
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề _
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức
P = 1 x : x 2 x 3 x 2
x 1 x 5 x 6 x 2 3 x
1- Rút gọn P
2- Tính P x 3
Bài 2: (4 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng: D1: y = 3x + 6; D2: y =
1 x 1
2 ; D3: y 2x
Gọi A giao điểm D1 D2, B giao điểm D1 D3, C giao điểm D2 D3
1- Vẽ D1, D2 D3 Tìm tọa độ A, B, C 2- Tính diện tích tam giác ABC
3- Tính số đo A, B, C tam giác ABC (độ, phút, giây)
Bài 3: (4 điểm)
1- Giải phương trình:
2
2
x 3x 3 x 6x 3
x 4x 3 x 5x 3
53 12 2- Giải hệ phương trình:
y 4x 5
2 y 2x x y 1 7
Bài 4: (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH, HB 20cm, HC 45cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M N tiếp điểm khác H)
1- Tính diện tích tứ giác BMNC
2- Gọi I giao điểm đường thẳng CN đường thẳng HA Tính độ
dài AI, IN
3- Gọi J giao điểm đường thẳng AM đường thẳng CB Tính độ
dài JM, JB
Bài 5: (3 điểm)
Cho đường tròn (O, R), đường kính AB cố định đường kính CD quay quanh điểm O Các đường thẳng AC AD cắt tiếp tuyến B đường tròn theo thứ tự E F
1- Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn
2- Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh điểm I di động đường thẳng cố định đường kính CD quay quanh điểm O
T h i n g y -4 -2
(22)-sở giáo dục đào tạo
TUYÊN QUANG
kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh lớp thCS năm học 2009 - 2010
* môn: toán
Thi gian lm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang)
- Câu (4 điểm). Rút gọn biểu thức sau:
1)
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
P
a b a c b c b a c a c b
= + +
- - - , a b c, , số đôi khác
2) 2
2
x x x x
Q
x x x x
+ - + -
-=
+ - - - - , x³2
Câu (4 điểm) Tỡm x, y, z tha hệ sau:
ï ỵ ï í ì -= -= -= -x z z z y y y x x 2 3 3 Câu (4 điểm)
1) Chứng minh chữ số tận (chữ số hàng đơn vị) số tự nhiên n n5
như
2) Tìm số nguyên tố p để 5p2+1 số nguyên tố
Câu (6 điểm). Cho ng trũn tõm O, bán kính R > khơng đổi hai đường kính cố định AB, CD vng góc với Lấy điểm I đoạn OC (I không trùng với O C); dựng đường tròn tâm I bán kính IA, đường trịn cắt tia AD AC M N (khác điểm A)
1) Chứng minh ba điểm I, M, N thẳng hàng
2) Từ M kẻđường thẳng song song với AC, đường thẳng cắt CD K Chứng minh rằng: DM.DA = DK.DO
3) Tính tổng MA + NA theo R
C©u (2 ®iÓm). Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:
4 4 3
a +b +c ³a +b +c
……….HẾT………
(23)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
VĨNH LONG NĂM HỌC : 2009 - 2010
Mơn thi : TỐN LỚP
Thời gian làm : 150 phút Ngày thi: 21 – 03 – 2010
Bài 1: (4 điểm)
Tìm giá trị tham số thực m để phương trình sau có nghiệm chung
x2 + mx + = (1) x2 + 4x + m = (2)
Bài 2: (2 điểm)
Tìm số nguyên t cho 5t
17
+ một số nguyên
Bài 3: (4 điểm)
Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ
2
x 48 10 x
3 x x
ổ
+ = ỗ - ÷
è ø
Bài 4: (3 điểm)
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng:
1
(p a)(p b)(p c) abc
8
- - - £
Bài 5: (4 điểm).
Cho tam giác ABC vuông A D điểm trân cạnh AC (khác với A C) Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC E Từ B, kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với
đường tròn (D) Gọi M tung điểm BC, N giao điểm BF AM Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn AN = NF
Bài 6: (3 điểm)
Tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD, có AB = BC = 5, CD = Tính bán kính nửa đường tròn
(24)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 - ĐỀ THI MƠN: TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ——————————
Câu (2.5 điểm)
Giải hệ phương trình: ( )( )
2
2
8
16 16
y x x
x y x xy y
ì = + +
ï í
- + = +
-ïỵ
Câu (2.0 điểm)
Tìm tất số ngun dương n có tính chất với số nguyên lẻ a mà a2 £n n chia hết cho a
Câu (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) AD BE CF, , ba đường cao
(D BC E CA FỴ , Ỵ , ÎAB) Đường thẳng EF cắt BC ,G đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O
điểm M
1 Chứng minh bốn điểm ,A M E F, , nằm đường tròn
2 Gọi N trung điểm cạnh BC H trực tâm tam giác ABC Chứng minh GH ^ AN
Câu (1.5 điểm)
Chứng minh rằng:
( )
2 3
1 1
( )( )( )
2
a b c abc a b b c c a abc a b b c c a
+ + +
+ + + ³
+ + + + + + với , ,a b c>0
Câu (1.0 điểm)
Mỗi vng đơn vị bảng kích thước 10 10´ (10 dòng, 10 cột) ghi số nguyên dương
không vượt 10 cho hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh
của bảng hai số nguyên tố Chứng minh có sốđược ghi 17 lần
—Hết—
(Cán coi thi khơng giải thích thêm)