Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt.[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt
ðƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT1 ðường tiệm cận ñứng ñường tiệm cận ngang:
• ðường thẳng y =y0ñược gọi ñường tiệm cận ngang ( gọi tắt tiệm cận ngang) ñồ thị hàm số y = f x
( )
nếu lim( )
0x→+∞f x =y xlim→−∞f x
( )
=y0• ðường thẳng x =x0ñược gọi ñường tiệm cận ñứng ( gọi tắt tiệm cận ñứng) ñồ thị hàm số
( )
y = f x
( )
0
lim
x x f x
−
→ = +∞ xlimx0
( )
f x+
→ = +∞hoặc xlimx0
( )
f x−
→ = −∞hoặc xlimx0
( )
f x+
→ = −∞ ðường tiệm cận xiên:
ðường thẳng y =ax +b a
(
≠ 0)
ñược gọi ñường tiệm cận xiên ( gọi tắt tiệm cận xiên) ñồ thị hàm số y = f x( )
nếu lim( )
( ) (
)
x→+∞f x f x ax b
= − + = lim
( )
( ) (
)
x→−∞f x f x ax b
= − + = Trong
đó lim
( )
, lim( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = − lim
( )
, lim( )
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
Ví dụ : Tìm tiệm cận hàm số :
( )
)
2
x
a f x
x
− =
+
( )
2
) x
b f x
x
+ =
Giải :
( )
)2
x
a f x
x
− =
+
Hàm số ñã cho xác ñịnh tập hợp ℝ\ 2
{ }
( )
( )
1
2
2
lim lim lim , lim lim lim 2
2 2
1
x x x x x x
x x x x
f x f x y
x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞
− −
− −
= = = = = = ⇒ =
+ + + + tiệm
cận ngang ñồ thị x → −∞ x → +∞
( )2
( )
( )2 ( )2( )
( )22
lim lim , lim lim
2
x x x x
x x
f x f x x
x x
− − + +
→ − → − → − → −
− −
= = −∞ = = +∞ ⇒ = −
+ + tiệm cận ñứng
ñồ thị x → −
( )
2 − x → −( )
2 +( )
(
)
1
2
lim lim lim
2
x x x
f x x
x
x x x x
→−∞ →−∞ →−∞
− −
= = = ⇒
+
+ hàm số f khơng có tiệm cận xiên x → −∞
( )
(
)
1
2
lim lim lim
2
x x x
f x x
x
x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
− −
= = = ⇒
+
+ hàm số f khơng có tiệm cận xiên x → +∞
( )
) x
b f x
x
(2)Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt
Hàm số ñã cho xác ñịnh tập hợp ℝ\ 0
{ }
( )
2
1
1
lim lim lim 1,
x x x
x x
f x y
x x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
= = − + = − ⇒ = − tiệm cận ngang ñồ thị x → −∞
( )
2
1
1
lim lim lim 1,
x x x
x x
f x y
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
= = + = ⇒ = tiệm cận ngang ñồ thị x → +∞
( )
( )
0 0
1
lim lim , lim lim
x x x x
x x
f x f x x
x x
− − + +
→ → → →
+ +
= = −∞ = = +∞ ⇒ = tiệm cận ñứng ñồ thị
khi x →0− x →0+
( )
22
1 1
lim lim lim
x x x
x
f x x x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
+
= = = ⇒hàm số f khơng có tiệm cận xiên x → −∞
( )
22
1 1
lim lim lim
x x x
x
f x x x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+ +
= = = ⇒hàm số fkhơng có tiệm cận xiên x → +∞
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Tìm tiệm đồ thị hàm số sau :
( )
)
3
x
a f x
x
− =
+
( )
2)
3
x
b f x
x
− −
= +
( )
)
3
c f x x
x
= + − −
( )
3
)
2
x x
d f x
x
− +
=
+
( )
2
) x
e f x x
x
−
= + −
( )
232 )
2
x f f x
x x
+ =
−
( )
1 )
1
x x g f x
x
+ + =
−
( )
2
1 )
5
x x h f x
x x
+ + =
− − +
2 Tìm tiệm cận ñứng tiệm cận ngang ñồ thị hàm số sau :
( )
)
2
x
a f x
x
+ =
+
( )
)
2
b f x
x
= + −
( )
)
1
x x
c f x
x
+ =
−
( )
)
1
x
d f x
x
+ =
+
( )
)
e f x x
x
= − +
( )
2 )3
x x
f f x
x
+ =
−
( )
(
)
21
)
2
g f x x
x
= − + −
( )
322 )
1
x x h f x
x
− =
+
( )
2
2
)
2
x i f x
x x
+ =
−
( )
)
1
x
j f x
x
= −
( )
)
1
x k f x
x
= −
( )
)
4
x
l f x
x
= −
( )
)
m f x = x − +x
( )
)
n f x = +x x + x
( )
)
o f x = x +
( )
)
p f x x
x
= +
( )
21 )
1
x x q f x
x
+ + =
−
3 Tìm tiệm ñồ thị hàm số sau :
( )
)
a f x = x + +x
( )
)
b f x = x + x −
( )
)
c f x = +x x +
( )
)
d f x = x − x +
( )
)
e f x = +x x −
( )
)
(3)