Bài soạn ÔN TẬP HHGT12

CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM. A. Lí thuyết cần nhớ : 1.Tọa độ của vectơ Đònh nghóa: → u = ( x ; y ; z ) ⇔ → u = x → i + y → j + z → k Các tính chất : → u = ( x ; y ; z ) , → v = ( x’ ; y’ ; z’ ) • → u + → v = ( x + x’ ; y + y’; z + z’ ) • → u - → v = ( x – x’ ; y – y’; z – z’ ) • k → u = ( kx ; ky ; kz ) 2. Tọa độ của điểm : Đònh nghóa : M ( x ; y ; z ) ⇔ →− OM = x → i + y → j + z → k Các tính chất : A ( x A ; y A ; z A ) , B ( x B ; y B ; z B ) ta có ; • AB = ( x B – x A ; y B – y A ; z B – z A ) • AB = 222 )()()( ABABAB zzyyxx −+−+− • MA = kMB ( k ≠ 1) ⇔          − − = − − = − − = k kzz z k kyy y k kxx x BA M BA M BA M 1 1 1 • M là trung điểm của đoạn AB ⇔          + + = + + = + + = k zz z k yy y k xx x BA M BA M BA M 1 1 1 3 .Biểu thức tọa độ cua3tích vô hướng của hai vectơ : Cho hai vectơ → a = ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) , → b = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) ta có : • → a → b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 • → a ⊥ → b ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0 • | → a | = 2 1 2 1 2 1 zyx ++ • cos ϕ = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 . zyxzyx zzyyxx ++++ ++ 4 . Tích có hướng của hai vectơ: a. Đònh nghóa : Cho hai vectơ → a = ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) , → b = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ). Tích có hướng của hai vectơ → a và → b là một vectơ kí hiệu là [ → a , → b ] và [ → a , → b ] =         22 11 22 11 22 11 ;; yx yx xz xz zy zy b. Các tính chất : • → a cùng phương với → b ⇔ [ → a , → b ] = 0 • [ → a , → b ] ⊥ → a , [ → a , → b ] ⊥ → b • |[ → a , → b ]| = | → a |.| → b |sin ϕ c.Diện tích tam giác : Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức: S ABC ∆ = 2 1 |[AB, AC ]| d.Thể tích : • Thể tích V của hình hộp ABCD. A’B’C’D’ được tính bởi công thức: V = |[AB, AD ].AA’| • Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi công thức : V = 6 1 |[AB , AC ].AD | e. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ : Ba vectơ → a , → b , → c đồng phẳng ⇔ [ → a , → b ]. → c = 0 B. BÀI TẬP : 1/ Cho ba vectơ → a = ( 2;1 ; 0 ), → b = ( 1; -1; 2) , → c = (2 ; 2; -1 ). a. Tìm tọa độ của vectơ : → u = 4 → a - 2 → b + 3 → c . b.Chứng minh rằng 3 vectơ → a , → b , → c không đồng phẳng . c.Hãy biểu diển vectơ → w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ → a , → b , → c . 2/ Cho 3 vectơ → a = (1; m; 2), → b = (m+1; 2;1 ) , → c = (0 ; m-2 ; 2 ) .Đònh m để Vectơ đó đồng phẳng . 3/ Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ). a.Xác đònh điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành . b.Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo. c.Tính diện tích tam giác ABC , độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A. d.Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC vẽ từ A. 4/ Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a.Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng. b.Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD . c.Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D. d.Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D . II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG . A. Lí thuyết cần nhớ : 1. Đònh nghóa : • Vectơ → n ≠ → 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với ( α ). Kí hiệu : → n ⊥ ( α ) • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ → a , → b ≠ → 0 và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong (α ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( α ). Chú ý : Nếu ( α ) có cặp vectơ chỉ phương → a , → b thì (α ) có một vectơ pháp tuyến → n = [ → a , → b ] 2. Phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng ( α ) qua M 0 ( x 0 ;y 0 ; z 0 ) có vtpt → n = ( A; B; C ) có phương trình là : A ( x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0 B.Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng : • Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó • Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng. 1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau: a. (α) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz . b. (α) là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ). c. (α) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz . 2/Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: a. (α) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz . b. (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) . c. (α) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng : x + y – z = 0 . d. (α) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng : ( α 1 ): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (α 2 ): 5x – 4y + 3z +1 = 0 . 3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng : (α 1 ): 2x + 3y – 4 = 0 , (α 2 ) : 2y – 3z – 5 = 0 , (α 3 ) : 2x + y – 3z –2 = 0. a. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) quiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của (α 1 ) ,(α 2 ) b. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến của (α 1 ) ,(α 2 ) đồng thời vuông góc với (α 3 ) . 4/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : ( d 1 ) :    =−−= =−+− 012 0542 zyx zyx , (d 2 ) :      = += −= tz ty tx 2 32 1 . a. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d 1 ) và song song với (d 2 ). b. Viết phương trình mặt phẳng (α 1 ) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) . III. ĐƯỜNG THẲNG A. Lí thuyết cần nhớ • Vectơ → u ≠ → 0 nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng (d) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d). • Đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) có vectơ chỉ phương → u = ( a; b; c) có : phương trình tham số là :      += += += ctzz btyy atxx 0 0 0 Phương trình chíng tắt : c zz b yy a xx 000 − = − = − . • Phương trình tổng quát của đường thẳng :    =+++ =+++ 0'''' 0 DzCyBxA DCzByAx (1) trong đó A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0, A’ 2 +B’ 2 +C’ 2 ≠ 0 , A:B:C ≠ A’:B’:C’. Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vếc tơ chỉ phương → u = ( '' ; '' ; '' BA BA AC AC CB CB ) B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng : Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau: • Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng. • Viết phương trình hai mặt phẳng phân biệt và chứa đường thẳng đó. Chú ý : • Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương. • Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt làm vtcp. C.Một số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp: 1/ Bài toán 1:Viết phương trình hình chiếu vông góc của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (α ). Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua đường thẳng (d ) và vuông góc với (α ). ( Mặt phẳng (β ) nhận vtcp của(d) và vtpt của (α ) làm cặp vtcp ) • Hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên (α ) là giao tuyến của (α ) và (β ). 2/ Bài toán 2: Viết phương trính đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ) , (d 2 ) cho trước .( M ∉ (d 1 ),(d 2 )) . Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d 1 )) • Viết phương trình mặt phẳng (M,(d 2 )) • (d) = (M,(d 1 )) ∩ (M,(d 2 )). 3/ Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d ) qua M cắt đường thẳng (d 1 ) và vuông góc với (d 2 ). Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và (d 1 ). • Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua Mvà (β )⊥ (d 2 ). • (d) = (α) ∩ (β). 4/ Bài toán 4: Viết phương trình đương thẳng (d ) đi qua điểm M cắt đường thẳng ( ∆ ) và vuông góc với ( ∆ ). Cách giải: • Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với ( ∆ ). • Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và ( ∆ ). • (d) = (α) ∩ (β) . Ghi chú :Ta có thể giải bài toán như sau. • Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với ( ∆ ). • Tìm giao điểm N của ( ∆ ) và(α ). • Viết phương trình đường thẳng MN đó là đường thẳng (d) cần tìm. 5/ Bài toán : Cho đường thẳng ( ∆ ) và mặt phẳng (α ) cắt nhau tại điểm M .Viết phương tình đường thẳng (d) đi qua M nằm trong (α ) và (d)⊥ ( ∆ ). Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và (β)Vuông góc với (d) . • (d) = (α)∩ (β). 6/ Bài toán 6 : Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) có vtcp → u và cắt hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) cho trước. Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d 1 ) và nhận → u làm một vtcp. • Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d 2 ) và nhận → u làm một vtcp. • (c) = (α)∩ (β). Chú ý : Nếu ( ∆ ) là đường vuông góc chung của (d 1 ) ,(d 2 ) thì ( ∆ ) có vtcp là tích có hướng của hai vtcp của (d 1 ), (d 2 ) . D.Bài tập : 1/ Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ( ∆ ): a. Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3). b. Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2) c. Qua D(3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 4y – zz +5 = 0 2/ Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát    =+−+ =−+− 0242 01023 zyx zyx . Hãy viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của (d). 3/ Cho đường thẳng (d) :    =−+− =− 0323 02 zyx zx và mặt phẳng (α): x –2y + z +5 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α). 4/ Cho hai đường thẳng: (d 1 ) zy x =+= − 2 3 1 , (d 2 ):    =+ =+−+ 01 02 x zyx . a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vuông góc với (d 1 ) và cắt (d 2 ). b. Viết phương trình đường thẳng (∆ )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vuông góc với hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). 5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng : 3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d): 2 1 2 4 3 2 − = − + = − zyx 6/ Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng : (d 1 ):      −= +−= = tz ty tx 3 4 , (d 2 ):      −= +−= −= tz ty tx 54 3 21 . 7/ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng : (d 1 ): z yx = − + = − 1 1 2 1 , (d 2 ):    =++− =−+− 0122 042 zyx zyx IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. A. lí thuyết : Cần nắm vững vò trí tương đối giữa hai đường thẳng , vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. B. Bài tập :Làm các bài 1,2,3,4 trang 97+98 (SGK). C. Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng , tên đường thẳng: 1/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) • trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M và (∆)⊥ (α) • Tìm giao điểm của (∆) với (α) đó là điểm cần tìm. 2/ Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α) • Tìm hình chiếu vng góc H của Mtrên (α) . • M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’. 3/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d). • Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (d). • Tìm giao điểm của (α) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm. 4/ Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) . • Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d). • M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’. D. Bài tập : 1/ Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :      += += += tz ty tx 21 2 1 . a. Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d). b. Tìm điểm M’ đối xưng với M qua (d). 2/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (α) : x + 2y – z + 4 = 0. a. Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng . b. Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (α). 3/ Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + x – 2 = 0 , và đường thẳng (d) : 3 2 12 1 − + == − zyx . a. Chứng minh (d) cắt (α) . b. Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (α). c.Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A vuông góc với (d) đồng thời nằm trong mặt phăng (α). 4/ Cho (d) : 2 3 12 21 + = − + = − z m y m x , (α) : x +3y – 2z – 5 = 0. Đònh m để: a). (d) cắt (α) b). (d) // (α) c). (d) ⊥ (α). V. KHOẢNG CÁCH , GÓC : A. Lí thuyết : Cần học thuộc các công thức : khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và đến đường thẳng , khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Góc giữa hai đường thẳng , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng . B. Bài tâp: 1,6,8 (trang 102) và 1,2,3,4 (trang 105). 1/ Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng: 2x + 3y +z –17 = 0 . 2/ Cho đường thẳng (d):      = −= += tz ty tx 3 2 21 và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z +1 = 0. Tìm các điểm M ∈ (d) sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 3 . 3/ Cho hai đường thẳng (d 1 ): 5 4 3 3 2 2 − + = − = − zyx và (d 2 ): 1 4 2 4 3 1 − − = − − = + zyx Tìm hai điểm M,N lần lượt trên (d 1 ) và (d 2 ) sao cho độ dài đoạn MN nỏ nhất. VI. MẶT CẦU: A. Lí thuyết cần nhớ: 1/ Phương trình Mặt cầu: a.Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là: ( x- a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = R 2 b. Phương trình : x 2 +y 2 +z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a 2 +b 2 +c 2 - d > 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R= dcba −++ 222 2/ Vò trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng :(SGK). B.Các dạng bài tập thườg gặp: 1/ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau : a) x 2 + y 2 + z 2 – 8x + 2y +1 = 0 b) x 2 + y 2 + z 2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0 c) 3x 2 + 3y 2 + 3z 2 + 6x – 9y + 12z – 4 = 0 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau : a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; 3 ) và đi qua điểm M( 3 ; 2 ; 4 ). b) (S) có đường kính AB với A(1; 4 ; 5), B ( 3; -2; 7 ). c) (S) có tâm I( 0 ; 4; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 2x + y – 2z + 8 = 0 d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; 6 ) , B( 3; -1; 0 ), C( 0; -7; 3 ), D( -2; 1; -1 ). 3/ Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1; - 3; 1 ) C( 2; 2; 3 ) và có tâm I nằm trên mặt phẳng Oxy. 4/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 = 4và mặt phẳng (α): x + z = 2. a) Chứng minh rằng mp(α) cắt mặt cầu (S). b) Xác đònh tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn ( C ) là giao tuyến của (α) với (S). 5/ Cho (d) :      += +−= −= tz ty tx 2 21 và mặt phẳng (α) :2x - y – 2z –2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm I ∈ (d) cách (α) một đoạnbằng 2 và cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến là đườngtròn có bán kính bằng 3 . 6/ Cho đường thẳng (d): 2 1 1 1 2 + = − = zyx và hai mặt phẳng (α):x+ y -2z +5 = 0 , (β) : 2x – y + z + 2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm trên (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) , (β). 7/ Cho dường tròn ( C ) :    =++− =+++−++ 0122 017664 222 zyx zyxzyx a) Tìm tâm và bán kinh của ( C ). b) Lập phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn ( C ) và có tâm trên mặt phẳng x + y + x + 3 = 0. 8/ Lập phương trình mặt tiếp diện của mặt cầu (S):x 2 +y 2 +z 2 – 6x– 2y+4z+5 = 0. . phẳng. B. Bài tập :Làm các bài 1,2,3,4 trang 97+98 (SGK). C. Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng , tên đường thẳng: 1/ Tìm hình chiếu vuông góc. vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt làm vtcp. C.Một số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp: 1/ Bài toán 1:Viết phương trình hình chiếu vông