[r]
(1)SỠ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT-DTNT CON CUÔNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 11 NĂM HỌC 2009-2010 (Thời gian 180 phút)
Câu I: (4điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc lập thành cấp số cộng, Và sinA+sinB+sinC=
3+√3
Tìm góc tam giác ABC
Biết chu vi p=3+√3 Tìm bán kính đường trịn nội tiếp
Δ ABC .
CâuII: (4điểm)
Giải phương trình : 2+sinx=
3(1+cosx) sinx
Tìm nghiệm nguyên phương trình: cosπ
8(3x−√9x
2
+160x+800)=1 Câu III: (4 điểm)
Tìm giới hạn: limx→0
2010
√3x+1−2009√2x+1 x
Cho dãy số xác định công thức sau:
u1=4
un=1
2un−1+3
¿
{¿ ¿ ¿ ¿
(n∈N ,n≥2)
Hãy tìm cơng thức: un=?,limun=?
Câu IV: (4điểm) Chứng minh với ∀n≥2,n∈N ta có
Cn2
(n−1)2+
2Cn3
(n−1)3+
3Cn4
(n−1)4+ .+
(n−1)Cnn (n−1)n =1
Câu V: (4điểm) Cho hình chóp S.ABC Có ABC tam giác cạnh a, mặt bên hợp với đáy góc α
Tìm - Chiều cao SH hình chóp theo a α
- Diện tích mặt bên theo a α .
(2)ĐÁP ÁN BÀI THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 11 Câu I:
Câu 1:
* A, B, C Là ba cạnh tam giác ta giả sử π >A>B>C
Ta có A+B+C=1800
và A+C = 2B ⇒ B = 600
0,25 đ 0,25
đ
sinA+sinB+SinC=3+√3
2 ⇔sinA+sinC=
2
⇔2 sin
A+C
2 cos
A−C
2 =
2⇔2 sin 120
0 cos A−C
2 =
⇔cos A−C
2 =
√3 ⇔
A−C
2 =30
⇔A−C=600
Mặt # ta có: A + C =2B=1200
⇒ A = 900, B = 300
Vậy ba góc là: 300, 600, 900
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 2:
ABC tâm giác vuông Ta giả sử A=900, B= 600, C=300
R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Ta có BC = 2R
AB = R, AC = R √3
0,25 đ 0,25
đ 0,25
(3)Nửa chu vi + √3 ⇔ R(3+ √3 ) = 2(3+ √3 )
⇔ R =
⇒ BC = 4, AB = 2, AC = √3
0,25 đ 0,25
đ 0,25
đ SΔ ABC=
1
2AB.AC=2√2
r= SΔ ABC
p = 2√2 3+√3
0,25 đ 0,25
đ CâuII: Câu 1:
lim
x→0
2010
√3x+1−2009√2x+1
x =limx→0
2010
√3x+1−1−2009√2x+1+1
x
⇒lim x→0
2010
√3x+1−2009√2x+1
x =limx→0( 2010
√3x+1−1
x −
2009
√2x+1−1
x )
= limx→0
2010
√3x+1−1
x −limx→0
2009
√2x+1−1
x
lim
x→0
2010
√3x+1−1
x =limx→0
(2010√3x+1−1)(2010√(3x+1)2009+2010√(3x+1)2008+ +1)
x(2010√(3x+1)2009+2010√(3x+1)2008+2010√(3x+1)2007+ +1)
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
(4)
lim x→0
2010
√3x+1−1
x =limx→0
3 2010
√(3x+1)2009+2010√(3x+1)2008+ +1 =
2010
lim
x→0
2009
√2x+1−1
x =limx→0
(2009√2x+1−1)(2009√(2x+1)2008+2009√(2x+1)2007+ +1)
x(2009√(2x+1)2008+2009√(2x+1)2007+ +1)
lim x→0
2009
√2x+1−1
x =limx→0
2 2009
√(2x+1)2008+2009√(2x+1)2007+ +1
=20092
limx→0 2010
√3x+1−2009√2x+1
x = 2010− 2009= 2007 2009 2010 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu II:
Ta có un=
2un−1+3
, un−1=
1
2un−2+3
⇒un−un−1=1
2(un−1−un−2)=
1
22(un−2−un−3)= =
2n−2(u2−u1)
⇒ u2−u1=u2−u1 u3−u2=
1
2(u2−u1) u4−u3=
1
22(u2−u1)
……… ……… ……… un−un−1=
1
2n−2(u2−u1)
Cộng lại ta được: un=u1+(u2−u1)(1+
1 2+
1 22+
1 23+ .+
1 2n−2)
(5)đ
Mà
1+1
2+ 22+
1 23+ +
1 2n−2=
1−
2n−1 1−1
2
=2(2
n−1
−1)
2n−1
u2−u1=1
un=4+
2(2n−1−1)
2n−1
⇒lim(4+2(2
n−1−1)
2n−1 )=lim[4+2(1−
1
2n−1)]=6
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ Câu III: Câu 1|
Điều kiện: sin x ¿ ⇔ x ¿ k π , k ¿ Z
Đặt t=tan
x
2
Ta có
2+ 2t
1+t2=
3(1+1−t
2
1+t2)
2t
1+t2
⇔2t3−t2+2t−3=0
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
(6)⇔
¿ [t−1=0
[2t2+t+3=0[¿ ⇔t=1 t=1⇔tan
x
2=1⇔
x
2=
π
4+kπ ,k∈Z
⇔ x=
π
2 +2kπ , k∈Z ( thoả mãn với điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
π
2+2kπ , k∈Z
đ 0,5đ
0,25 đ 0,25 đ Câu 2:
⇔π
8(3x−√9x
2
+160x+800)=2kπ
, k ¿Z
⇔3x−√9x2+160x+800=16k , k∈Z
⇔√9x2+160x+800=3x−16k , k∈Z
3x−16k≥0 (96k+5)x=256k2−800
¿ {¿ ¿ ¿
¿ , k∈Z
3x−16k≥0 (1) x=8k
2−25
3k+5 (2)
¿
{¿ ¿ ¿
¿ k∈Z
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Từ (2) ta có x=
8k
3 − 40
9 − 25
9(3k+5)⇔9x=24k−40−
25 3k+5
Vì x∈Z⇒ 25
3k+5∈Z⇒3k+5 là ước của 25
0.25 đ 0,25 đ
(7)⇒
¿
[3k+5=±1 [3k+5=±5 [3k+5=±25
[¿
⇔
¿
[k=−4
3 ∉Z
[k=−2 [k=0 [k=−10
3 ∉Z
[k=20
3 ∉Z
[k=−10 [¿
.Với k = -2 x = -7 thoả mãn (1)
.Với k = x = -5 không thoả mãn (1) Với k =-10 x = -31 thoả mãn (1)
Vậy phương trình có nghiệm ngun là: x = -7, x = -31
0,5đ 0,25 đ
Câu IV
Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) Trong mặt phẳng (ABC) qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB, AC, BC M, N, P
Dựa vào định lí ba đường vng góc
⇒SM⊥AB , SN⊥AC , SP⊥BC
∠SMH=∠SNH=∠SPH=α
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,5đ ⇒ΔSNH=ΔSNH=ΔSPH⇒HM=HN=HP
⇒ H tâm đường tròn nội tiếp Δ ABC 0,5đ
A
H B
C S
M P
(8)Do Δ ABC ⇒ H trọng tâm tam giác ABC đ
Ta có AP =
a√3
⇒ PH =
a√3
Mà tanα=
SH
HP⇒SH=HP tanα=
a√3 tanα
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Từ HA=HB=HC ⇒ SA=SB=SC
⇒ΔSAB=ΔSBC=ΔSAC
Ta có cosα= HP
SP ⇒SP= HP cosα =
a√3 cosα
⇒SΔ SAB=SΔ SAC=SΔ SBC=1
2 SP.BC=
a2√3 12cosα
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ
Câu5: Xét hàm số:
f(x)=x(1+1
x) n
, (n≥2, n∈Z)
⇒f'(x)=(1+1
x) n
−n.x(1+1
x) n−1
x2=(1+
1
x) n
−n
x(1+
1
x) n−1
(9)
=(1+1
x)
n−1
(1+1
x− n x)
=(1+1
x)
n−1
(1+1−n
x ) (1)
0,25 đ 0,25 đ f (x)=x[Cno+Cn1. 1
x+Cn2. 1
x2+ +Cn
n 1
xn]
=Cn0.x+Cn1+Cn2. 1
x +Cn
3. 1
x2+ .+Cn
n. 1
xn−1
⇒f'(x)=Cn0−(Cn
2
x2 +
2.Cn3 x3 +
3 Cn4
x4 + +
(n−1)Cnn
xn )
(2) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ từ (1) (2) ta có
(1+1
x) n−1
.(1+1−n
x )=Cn
0
−(Cn
2
x2+
2 Cn3 x3 +
3.Cn4
x4 + +
(n−1)Cnn
xn ) (3)
0,5đ
Trong (3) thay x=n-1 ta
0=Cn0−( Cn
2
(n−1)2+
2 Cn3
(n−1)3+
3 Cn4
(n−1)4+ +
(n−1)Cnn (n−1)n )
⇔ Cn
2
(n−1)2+
2 Cn3
(n−1)3+
3.Cn4
(n−1)4+ +
(n−1)Cnn
(n−1)n =1
0,5đ
0,5đ
(10)