BÀI TẬP SỐ PHỨC THAM KHẢO 1. Thực hiện Các phép tính. a. Tính căn bậc hai của số phức sau:[r]
(1)§Ị tun sinh míi
1
/
0
1 2sin sin
x dx x
2
0
2 xdx x
3
11
dx x x
4 e dx x x x ln ln
5
2
2 )
ln(x x dx
6 /
sin sin 3cos x x dx x /
sin cos cos x x dx x / sin
(e x cos ) cosx x dx / 2 sin cos 4sin x dx x x
10 )
(x e xdx
11
ln
3
ln
x x e e dx 12 /
sin sin sin 3x x x dx 13 / 4
cos (sinx x cos )x dx 14 / cos xdx
15 x x dx
x
16 e dx x x 2ln
17
0
2 1 x dx x
18 e xdx x x ln
19
3 1 x dx x
20
2 2x 1dx x
21
0
2 1) (x exdx
22
3 dx x x x 23 / / 4cos cos
tgx
dx
x x
24
2 dx x x 25 sin cos x x dx x
26 01 x e dx 27 /
xtg x dx
28
dx x
x
29
) 2
(x x dx
30 2 ) (x dx
e x x
31
4
1
2
x dx
32
0
2 2 1)
( x x e xdx
(2)35
1 x x xdx
36
1
1 x dx x
37
1
0
2 5 2 2x x
dx
38 2 ) ln( dx x x 39 / sin cos x dx x 40 / sin 3cos x dx x
41
0
3 2. x x dx
42 ) (x xdx 43
/ 2004 2004 2004 sin sin cos x dx x x 44
/ 4sin cos x dx x
45
0
2
3 x 3 dx x
46
13
3
dx x x
x
47
0
2 1 x dx x 48 / sin x
e x dx
49
0
3 1x .dx x
50
/
0
1 2sin sin
x dx x
51
0
2 2x 4 x
dx
52 e dx x x ln
53
/
0 3 1 dx x x 54 / cos3 sin x dx x 55 / 2 sin
sin 2cos cos xdx x x x 56
/ 2
sin sin cos
x xdx
x x
57 e dx x x ln 58
2/ 4
0
.cos
x x dx
59
2 dx x x x x
60 ) (x xdx
61 e x x dx ln 62
/ 4sin cos x dx x 63 /
0 (sin cos ) cos
dx
x x x
64 x
x e x dx
65 ln dx e x x 66 dx x x x
0
2 ) ( 67 / (1 )sin x tgxtg xdx
68
0
2)
(3)69 2 ) ln( dx x x
70
0
2 1 dx x
x
71 x xdx 72 / / sin cos sin
x x dx x
73
0
2 5) ln(x dx x 74 / cos (sin cos 3)
x dx x x 75 /
(x 1) cosx dx 76 / cos 2sin
x dx x
77 ln 2dx e e x x 78
/ 4sin cos x dx x 79 / 2 cos 5sin cos
x dx x x 80 / cos x dx x
81
13
3
dx x x
x
82
3 1 x dx x
83 e dx x x x ln ) (
84
x dx
x2 2
85 1dx x x 86 ln
0 ( x 1)3
x
e dx e
87
1
3
2 1)
(e x dx x x
88 /
0
5 1 cos3 sin cos
n dx x x x 89 /
0 cos
x dx x
90
0
2 1 x dx x 91 ln ln 2 dx e e x x
92 dx e x x
93 e dx x x x ln
94 3 x x dx
95 ln ln 1e dx
ex x
96
2
0
sin
x x dx
97
3 ln ln e dx x x x 98 / 2
(2x 1) cos x dx
99
6
2 2x 4x dx
100 /
(x 1)sin 2x dx
101
10
5 x x dx
102 e dx x x x 1 2ln
(4)103
3
.ln e
x xdx
(§H D 07) 104
0
tg x dx cos x
( §H A08 )
105
4
sin
sin 2 sin cos
x dx
x x x
(§H B08) 106
3
lnx dx x
( §H D08 ) 107 I(cos3 x1)cos2 xdx (Khối A 2009)
BÀI TẬP SỐ PHỨC
PHẦN I.
(5)
1 Xác định phần thực , phần ảo số phức sau : a) z = + 5i b) z = i c) z = d) z =
2 Biểu diễn số phức sau mặt phẳng phức a) z = + 2i
1
b) z = 2i c) z = d) z = 4i ÑS : a) A(3;2) b) B(0; 2) c) M(3;0) d) N( 2;4)
3 Cho số phức z 2i,z i,z 3i a) Biểu diễn số mặt phẳng phức
b) Viết số phức liên hợp số phức biểu diễn chúng mặt phẳng phức c) Viết số đối số phức biểu diễn chúng mặt phẳng phức
Giaûi a) K(3;2)
1
2
3
, M(2;1) , N(1; 3)
b) z 2i có số phức liên hợp z = 2i , biểu diễn điểm K(3; 2) z i có số phức liên hợp z = i , biểu diễn điểm M(2; 1) z 3i c
3
2
ó số phức liên hợp z = 1+3i , biểu diễn điểm N(1;3) c) z 2i có số đối 2i , biểu diễn điểm K'( 3; 2)
z i có số đối i , biểu diễn điểm
3
M'( 3; 1) z 3i có số đối 3i , biểu diễn điểm N'( 1; 3)
4 Cho z = (2a 4) + (3b + 6)i với a,b Tìm điều kiện a b để : a) z số thực b) z số ảo
a) b = b) a =
5 Tìm số thực a,b cho z = z với trường hợp sau :
a) z = ( 3a 6) + i , z = 12 + (2b 9)i
a = 6, b = b) z = (2a 5) (3b 1)i , z = (2b 1) + (3a 5)i a = 2, b =
VẤN ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
1 Tính z + z , z z , z z với :
a) z = 3+2i , z = + 3i HD : a) z + z = 7+5i , z z = i , z z = + 17i b) z = 2-3i , z = + 4i b) z + z = 7+ i , z z = 7i,
2 2
2
z z = 22 7i Tìm nghịch đảo số phức sau :
a) z = + 4i b) z = 2i c) z = + 3i
1 z 1 HD : z = a + bi z.z = |z| a b a) i b)
z a b z 5 z 5 5
2
1 i c) i
z 13 13 Thực phép tính sau :
1 6i 2i
A = (1 i) B = (2 + 4i) D = (1+ i) 13i E = F = G =
(1 i)(4 3i) 3i 6i
1 3 2i 4i
H I = / ( i) J = K =
2 5i 2 i i
(6)7 HD : A 2i,B 12 16i,D 15i,E i,
50 50
F 39i,G 11 29i , H= i 25 25 25 50 29 29
1 16 13
I i J = 3i K = i
2 17 17
2
4 Xác định phần thực phần ảo số phức sau :
a) i + (2 4i) (3 5i) b) ( 5i) c) (2 + 3i)(2 3i) d) i(2 i)(3+i) Ñs : a) 2i b) 23+10 2i c) 20 d) 7i
2
2
1 3 5 Cho z = i
2 2 1
Hãy tính : , z,z ,(z) ,1 z z z
1 1 3
HD : Vì |z| = Ta coù : z i z ,(z) 1 ,1 z z 0
z 2 2
6 Giải phương trình sau tập số phức : với ẩn z a) iz + i =
2
b) (2 + 3i)z = z c) (2 i)z = 0
d) (iz 1)(z + 3i)(z 2+3i) = e) z 4 0
VẤN ĐỀ CĂN BẶC HAI VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
1 Tìm bậc hai số phức sau :
a) z = b) z = c) z = + 12i d) z = i
e) z = 1+ 3i f) z = 17+ 20 2i g) z = + 6i h) z = 46 14 3i
ÑS : a)
2
Gọi w = a+bi bậc hai số phức z = , tức w a 1,b
co ù2 laø b) 3i c) + 3i, 3i d) (1 i) e) + 3i, 3i
f) + 2i , 2i g) +3i, 3i h) 7 3i , 7 3i
2 2
2
2 Giải phương trình bậc hai sau tập số phức : a) z z b) z 2z c) z z
d) z ( i)z 2i
1 5 1 3i
HD : a) b) 2i c) d) 2; i
2 2
(7)PHẦN II.
BÀI TẬP SỐ PHỨC THAM KHẢO 1 Thực Các phép tính
a i i i i
b
2 i 3
i i
Đáp số : a b
7 14 3 i
7
2. Giải phương trình :
a (3 + 4i)z = (1 + 2i)(4 + i) b 2iz + = 5z + 4i c 3z(2 – i) + = 2iz(1 + i) + 3i Đáp số: a z 42 19i
25 25
b z 23 14i
29 29
c z 23 19i 89 89
3. Tính : + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20
Hướng dẫn: Tính tổng cấp số nhân có cơng bội + i Đáp số: -210 + (210 + 1)i. 4. Tìm x y để:
a (x + 2y)2 = yi b (x – 2i)2 = 3x + yi
Đáp số: a x x 2;
y y
b
x x
;
y y 16
5. Tính:
a (1 + i)2 b (1 + i)3 c (1 + i)4 d (1 + i)5
Đáp số: a 2i b -2 + 2i c -4 d -4 – 4i
6. Tính bậc hai số phức sau:
a 1 2i b 16 – 30i c + 6i d – i
Đáp số:a (1 i 2) b (5 3i) c (3 i) d i
2
7. Giải phương trình:
a 2z2 + 3z + = 0 b) z2 2z 5 0
c) z2 4z20 0 d) 3z2 z 0
e z4 – 3z2 + = 0 f)z4 z2 12 0
g) z2 + (3 – 2i )z + (5 – 5i) = h z2 – (2+ i)z+ (-1 + 7i) =
ĐS:a) 31i
4
e) 1i ; 1i
2 2
g) -1 + 3i, -1 – i h – i, -1 + 2i
8. Gọi , hai nghiệm phương trình: z2 + (2 – i)z + + 5i = Không giải phương trình, tính:
a 2
b 4 c
d
2
Đáp số: a -3 - 14i b -55 + 24i c 79 27i 34 34
d -63 + 99i
9. Giải phương trình :
a z3 – = 0 b z3 + = 0 c z4 – = 0 d z4 + = 0
ĐS: a)1; 3i; 3i
2 2
b) -1;1 1i; 3i
2 2 c) 1; i; -1; -I d)
2 2
i i
2 2
(8)PHẦN III.
MỘT SỐ ĐỀ THI NĂM TRƯỚC Câu : ( Đề TN 2008, phân ban lần I )
Tính giá trị biểu thức : P (1 3 )i (1 3 )i Câu : ( Đề TN 2006, phân ban )
Giải phương trình sau tập số phức : 2x2 5x 4 0 Câu : ( Đề TN 2007, phân ban L2)
Giải phương trình sau tập số phức : x2 6x25 0 Câu ( Đề TN 2008, phân ban L2)
Giải phương trình sau tập số phức : x2 2x 2 0
PHẦN IV.
MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ
Câu Tìm mơđun số phức z 1 4i(1 ) i 3.
Câu Cho số phức 1
1
i z
i Tính giá trị z2010 .
Câu Cho số phức z 1 i 3 .Tính z2( )z
Câu Tính giá trị biểu thức Q = ( + 5i )2 + ( - 5i )2.
Câu Cho số phức:z 1 2i 2i2 Tính giá trị biểu thức A z z . .
Câu Thực phép tính sau:
a i(3 i)(3i) b 2 3 i(5i)(6 i)
Câu Tìm phần thực phần ảo số phức sau:(2+i)3- (3-i)3.
Câu Giải phương trình sau tập hợp số phức: z2 2z17 0
Câu Giải phương trình : 2 1 3
1 2
i i
z
i i
Câu Giải phương trình sau tập hợp số phức: 6 10 0
x x
Câu 10 Giải phương trình 8 0
x tập số phức
Câu 11 Giải phương trình x2 3x 3 0 tập số phức
(9)A Kiến thức cần nhớ:
o Số phức có dạng z = a +bi với a : phần thực ; b: phần ảo (a ,b R i2 = -1)
o Số i: đơn vị ảo ; z = bi gọi số ảo( số ảo )
o
'
' '
'
a a a bi a b i
b b
o Số phức z = a +bi biểu diễn điểm M(a ; b) mp tọa độ
o Độ dài véctơ OM mô đun số phức z , tức z OM a bi a2b2
o Số phức liên hợp z = a + bi số z a bi
o Chú ý : z z z z
B Bài tập :
Câu 1 : Tìm phần thực phần ảo số phức z , biết :
a) z = + i b) z = 2 i c) z = 2 d) z = -7i d) z = i + e) z = 2 i Câu 2 : Tìm số thực x, y thõa mãn
a) (3x-2 )+( 2y+1)i = (x+1)-(y-5)i b) 2x y 2y x i x 2y3 x2x1i
Câu 3 : Tính z , biết a z) 2 )i b z ) i c z5 )d z i
Câu 4 : Tìm số phức z , biết a) |z| = z số ảo b) |z| = phần thực = lần phần ảo Câu 5 : Tìm z biết z 1 i )b z 2i )c z5 )d z7i
Câu 6 : Cho số phức + 3i ; 1+2i ; 2-i
a) Biểu diễn số mặt phẳng b) Viết số phức liên hợp số Câu 7 : Trên măt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đk
a) Phần thực = -2 b) Phần ảo = c) Phần thực thuộc khoảng ( -2;2) d) Phần ảo thuộc đoạn [1 ; 3] e) Phần thực phần ảo thuộc đoạn [-2;2]
f) |z| = g) |z|
Câu 8 : Hãy biểu diễn số phức z mp tọa độ , biết | z | phần ảo z thuộc [-1/2;1/2] VẤN ĐỀ 2 PHÉP CỘNG ,TRỪ VÀ PHÉP NHÂN ,CHIA SỐ PHỨC.
A Kiến thức cần nhớ:
* ( a + bi ) + ( c + di) = (a + c ) + (b + d)i * ( a + bi )( c + di) = (a c - bd ) + (ad + bc)i
* ( a + bi ) - ( c + di) = (a - c ) + (b - d)i *
a bi c di a bi
c di c di c di
Chú ý : z = a + bi z z 2a zz z2 a2 b2
B Bài tập :
Câu 1 : Thực phép tính : a) 3 5 i 4 i b) 4 5 i 7 i c) 2 3i 1 7i
d) 2 3 i 4 i e) -2i + 6i f) – ( 3+2i) g) 5i – 7i Câu 2: Thực phép tính : a) 3 5 i 2 4 i b) 1 i 3 7 i c) 5 i
d) 3 4 i i e) 3 4 i2 f) 3 4 i3 g) i2008i2009i2010
2i 1i 2i 2i(2 ) i 4 i a b
x y
M
(10)Câu 4: Cho 2
z i, Tính 1/z; z; z2 ;
3
z ; 1+ z + z2 Câu 5: Tìm mơđun số phức z , biết a)
1 i z
i
b) z i 48 2 i Câu 6: Giải pt : a) iz + 2- i = b) ( + 3i)z = z – 1; c) (2-i)z- = 0; d)
3 2 i z 4 5 i 7 3i
e) 1 3 i z 2 5 i 3 i z f) 2
z
i i
i
g)
2
3 13
z i z i h)
2
3
4
2
iz iz
z i z i
i)
2 2
2
1
z z
VẤN ĐỀ 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A Kiến thức cần nhớ:
Căn bậc hai số phức :
Số có bậc hai
Mỗi số phức khác ln có hai bậc hai đối ( khác 0)
Đặc biệt ,số thực a > có hai bậc ± (vì a2 a) số thực a< có hai bậc ± i
Cách giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = ; a, b, c R a 0 ? tập số phức
.
Tính = b2 – 4ac , xét trường hợp sau:
+ Δ = : pt có nghiệm kép x1 = x2 = b/ 2a
+ Δ > : pt có nghiệm phân biệt x1,2 =
+ Δ< 0: pt khơng có nghiệm thực.Nhưng có nghiệm số phức phân biệt x1,2 =
B : Bài Tập:
Câu 1: Nghiệm pt x4 + = tập hợp số phức : A/ ±(1-i) B/ ±(1+i) C/ ±2i D/ A,B
đúng
Câu 2:Tìm bậc số :-2,-3,-5,-6,-8,-9,-10,-12 Câu Giải pt sau tập hợp số phức
a) x² + = b) -x² + 2x – = c) x4 – 3x2 – = d) x4 – = 0 Câu Giải pt sau tập số phức:
a/ z2 – z + = b / 3z2-2z = c / 4z2-z+3=0 d / z3+2z-3= 0 e/ z4 – = f/ z4 – z2 – =
0
Câu Tìm số phức biết tổng chúng tích chúng Các đề thi tốt nghiệp :
Câu Giải phương trình (S) :8z2 4z 0
tập số phức (TN năm 2009_Chuẩn) Câu Giải phương trình 2z2 iz 0
tập số phức (TN năm 2009_NC ) Câu Cho z 1 2i 2i2 Tính A= z z.
Câu Tìm nghiệm phức pt : z2z 2 4i
Câu 10 Giải pt : a) x2 2 i 3x2 0i b) x2 + 4x +5 = c) x3 + = 0
Câu 11 Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z mp tọa độ thỏa mãn đk : z z 3 4 Câu 12 Tìm nghiệm pt z z2
(11)Câu 14: Cho 2
z i, tính z2+z+3