Hinh hoc vi phan

Định lí 5.5.3 (Đặc trưng Euler) Giả sử M là một mặt định hướng, com- pắc và được chia ra bởi một lưới các điểm thành các tam giác cong (được gọi là tam giác phân hoá). Kí hiệu σ là tam g[r]

Mục lục

1 Đường mặt bậc hai

1.1 Siêu phẳng afin

1.1.1 Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương trình tuyến tính

1.1.2 Đa tạp tuyến tính phương pháp toạ độ

1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) hình học

1.2 Đường bậc hai với phương trình tắc

1.2.1 Ellipse

1.2.2 Hyperbola

1.2.3 Parabola

1.3 Đưa phương trình đường bậc hai mặt phẳng dạng tắc

1.4 Phân loại siêu mặt bậc không gian chiều 10

1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát dạng tắc 14

1.6 Phân loại dời hình đường bậc hai mặt phẳng Euclid 16 1.7 Phân loại dời hình mặt bậc hai không gian Euclid chiều 16

1.8 Phương pháp toạ độ cong 17

1.8.1 Các đường bậc tham số hoá 18

1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoá 18

1.9 Bài tập củng cố lý thuyết 19

2 Lý thuyết đường cong Rn 20 2.1 Cung tham số hố cung quy 20

2.2 Độ dài đường cong Rn Đường trắc địa 21

2.3 Mục tiêu trực chuẩn Mục tiêu Frénet Độ cong Độ xoắn 24

2.4 Định lí 27

2.5 Bài tập củng cố lý thuyết 29

3 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng 30

3.1 Tích tensơ khơng gian véctơ 30

3.2 Tích ngồi tích tensơ đối xứng 31

3.3 Đại số tensơ 32

3.4 Đại số 33

4 Lý thuyết mặt cong R3 34 4.1 Mảnh tham số hố quy mặt tham số hoá 34

4.2 Mục tiêu Darboux đường cong mặt dìm 34

4.3 Dạng toàn phương 36

4.4 Đạo hàm Weingarten ký hiệu Christoffel 40

4.5 Đạo hàm thuận biến 42

4.6 Độ cong Riemann 44

4.7 Các định lí lí thuyết mặt dìm 46

5 Đường cong mặt cong 49 5.1 Đường cong mặt 49

5.2 Độ cong pháp dạng độ cong trắc địa đường cong mặt 50

5.3 Phương độ cong Gauss 52

5.4 Một số tính chất đặc trưng đường mặt cong 52

5.5 Định lí Gauss -Bonnet 54

5.6 Bài tập củng cố lý thuyết 58

6 Định lý ánh xạ ngược Định lý ánh xạ ẩn 60 6.1 Định nghĩa đạo ánh tính chất 60

6.2 Đạo hàm riêng vi phân 65

6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược 68

6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn 70

6.5 Bó hàm trơn 71

6.6 Bài tập củng cố lý thuyết 73

7 Đa tạp khả vi 74 7.1 Định nghĩa Ví dụ 74

7.2 Ánh xạ trơn đa tạp 75

7.3 Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc 77

7.3.1 Không gian tiếp xúc Phân thớ tiếp xúc 77

7.3.2 Không gian đối tiếp xúc Phân thớ đối tiếp xúc 78

7.4 Đa tạp Đa tạp thương 79

7.4.1 Điều kiện dìm điều kiện ngập 79

7.4.3 Định lí Godeman 81

7.4.4 Ví dụ 82

7.5 Tôpô đa tạp 82

7.6 Bài tập củng cố lý thuyết 83

7.7 Sơ lược hình học Riemann tổng quát 84

Giới thiệu

Ở trường phổ thơng, hình học dạy học theo quan điểm hình học Euclid Các vật thể hình học cấu thành từ mảnh phẳng mảnh cầu.Quan hệ so sánh vật thể hình học thực cácphép dời hình;hai vật thể hình học xem chúng chồng khít lên qua phép dời hình

Đại số tuyến tính hình học giải tích xét vật thể hình học cấu thành từ cácmảnh phẳngvà mảnh bậc tổng quát Các quan hệ so sánh xét cácphép biến đổi tuyến tính afin Các đường bậc hai đưa dạng tắc, mặt bậc hai khơng gian 3-chiều đưa 17 dạng tắc Trong hình học đại số phương pháp phân loại nghiên cúu đường mặt siêu mặt bậc hay, tổng quát hơn, bậc Phép biến đổi cho phép phép biến đổi đa thức song hữu tỉ

Quan điểm nói phát triển ngữ cảnh củahình học vi phân mà vật thể cấu tạo từ cácmảnh tham số hố toạ độ địa phương,mà nói chung hàm toạ độ địa phương hàm trơn Các phép biến đổi phép vi phơi Do vật thể hình học hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều theo nghĩa định trơn chu vật thể hình học mơn hình học Phương pháp nghiên cứu hình học vi phân tương đối đa dạng Trước hết hình học vi phân sử dụng phép tính vi phân tích phân không gian Euclid Rn để xây dựng phép tính vi phân tích phân tương ứng

trên vật thể hình học Đồng thời vận dụng phương pháp tôpô, tôpô đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng, để tìm tính chất đối tượng hình học

Giáo trình biên soạn khn khổ chương trình cho sinh viên năm cuối đại học Các tác giả dạy chương trình cho lớp Đại học Huế,Đại học Thái nguyên, Đại học Quy Nhơn Thực tế giảng dạy gợi ý cho các tác giả chọn lọc nội dung này, cho vừa phải, không nhiều không nghèo nàn

Giáo trình gồm có chương sau: Chương đuợc dành cho việc nhìn lại lý thuyết đuờng mặt bậc Mục đích chương tạo khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục Chương dành cho việc nghiên cứu đường cong không gian Euclid n-chiềụ Chương dành cho việc xây dựng lại khái niệm tensơ đại số tensơ Chương chương trọng tâm, dành cho lý thuyết mặt cong không gian Euclid R3 Trong chương chúng tơi trình bày phép tốn vi phân nhiều chiều cho ánh xạ trơn, đồng thời nhấn mạnh định lí ánh xạ ẩn định lí ánh xạ ngược Hai định lí đóng vai trị trung tâm việc nghiên cứu đa tạp Rn xác định hệ phương trình hàm Trong chương chúng tơi trình bày lý thuyết tổng qt đa tạp khả vi Đó đối tượng trung tâm hình học vi phân

Cuối chương có số tập bổ sung cho phần lí thuyết Các tập luyện tập bản, cần đuợc giảng viên chọn từ nguồn khác Giáo trình biên soạn lần đầu khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp cho việc biên sọan, nội dung hình thức giáo trình

Chương 1

Đường mặt bậc hai

Trong chương hệ thống hoá lại khái niệm kết nghiên cứu đường mặt Đại số tuyến tính Hình học giải tích cách nhìn thống tham số hoá toạ độ hoá Cách nhìn thống cho hình dung sơ phương pháp nghiên cứu hình học vi phân cổ điển

1.1 Siêu phẳng afin

Trong Đại số tuyến tính, siêu phảng afin đóng vai trò bản, cácm-phẳng xem giao hệ siêu phẳng afin

Trong hình học afin, siêu mặt afin đối tượng Các giao siêu mặt bậc cho ta đối tương kiểu nhát cắt cầu, nhát cắt ellipsoid, v.v

1.1.1 Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương trình tuyến tính

Để giải hệ phương trình tuyến tính ta sử dụng thuật khử Gauss-Jordan thực phép biến đổi sơ cấp ma trân hệ phương trình cho Chúng tơi cho học viên biết kĩ vấn đề liên quan

1.1.2 Đa tạp tuyến tính phương pháp toạ độ

Ta xét toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) phương trình véctơ ϕ(x) = b, ϕ : V → W ánh xạ tuyến tính Khơng gian nghiệm m-phẳng afin dạng x0 +L với L mặt phẳng qua gốc

Toạ độ hố khơng gian véctơV vàW cách chọn không gian sở tuyến tính, ta quy tốn giải hệ phương trình tuyến tính

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát với n biến m phương trình Ax = b, với x =

    x1 x2 xn    

và cột vế phải b =

    b1 b2 bm    

Theo Định

lý Kronecker-Kapelli, hệ phương trình có nghiệm rank[A] = rank[A|b] Nghiệm hệ không gian afin Nếu ta chọn toạ độ hoá cách chọn sở không gian nghiệm bổ sung thành sở toàn Rn thì ta nói rằng: Có thể tách biếnx= (x, y) với

x= (x1, , xn−r), y= (y1, , yr) cho r= rank[A]và ma trận 



a1,n−r+1 a1,n

ar,n−r+1 ar,n





là khả nghịch Các biến x1, , xn−r biến tự Các biến y1, , yr

biến phụ thuộc, hàm tuyến tính theox1, , xn−rtheo quy tắc Cramer

cho hệ

a1,n−r+1y1+ .+a1,nyr = b1− Pn−r

i=1 a1,ixi

ar,n−r+1y1+ .+ar,nyr = br−

Pn−r i=1 ar,ixi

Như ta tìm sở khơng gian nghiệm mà véctơ nghiệm tương ứng với x= (x1, , xn−r)củax0+L Nói cách

khác, ta có đẳng cấu afin Rn−r và không gian afinx

0+L Nếu

xem không gian afin vật thể hình học độc lập phép biến đổi hình học cho phép phép biến đổi afin Việc chọn cách tách biến cho phép "tọa độ hố" khơng gian (đa tạp) afin

Bài tốn việc làm nói thực hay khơng hệ phương trình phi tuyến (khơng tuyến tính phương trình có bậc lớn 2) Trả lời câu hỏi này, hình học vi phân dùng tồn cơng cụ vi tích phân giải tích Đó nội dung hình học đa tạp khả vi Tuy nhiên để có điều ta phải huy động tồn phép tính vi tích phân Rn dạng tổng quát

1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) hình học

Trong khơng gian, điều quan trọng chấp nhận phép biến đổi Nếu chấp nhận đủ nhiều phép biến đổi coi biến đổi tương đương có đủ nhiều vật thể hình học đồng với

Nếu hạn chế xét phép biến đổi hình học tuyến tính có nhóm biến đổi nhóm tuyến tính tổng quát G=GL(Rn) = GL

n(R)

của không gian, gồm tất phép biến đổi tuyến tính khả nghịch Chúng ta thu hình học afin [aphin]

Nếu hạn chế hẹp hơn, chấp nhận phép biến đổi bảo toàn khoảng cách, tích vơ hướng, có nhóm O(n) biến đổi trực giao hình học hình học Euclid

1.2 Đường bậc hai với phương trình tắc

1.2.1 Ellipse

Trong hình học giải tích, ellipse định nghĩa quỹ tích điểm M mà tổng khoảng cách đến hai điểmF1vàF2 cho trước đại lượng không

đổi 2a Các điểmF1 F2 gọi tiêu điểm

Gọi khoảng cách hai điểmF1 vàF2 là2d Chọn trung điểm đoạn

F1F2 gốc O hệ toạ độ Descartes, chọn véctơ e1 cho OF~ = de1

Bổ sung thêm véctơ e2 để có sở trực chuẩn thuận hướng

vậy có hệ toạ độ Descartes O,e1,e2 Trong hệ toạ độ điểm M có

toạ độ (x, y) ta có phương trình đường ellipse x2

a2 +

y2

b2 = 1, với b=

√

a2−d2

1.2.2 Hyperbola

Trong hình học giải tích, hyperbola định nghĩa quỹ tích điểm M mà trị tuyệt đối hiệu khoảng cách đến hai điểm F1 F2 cho trước

Gọi khoảng cách hai điểmF1 vàF2 là2d Chọn trung điểm đoạn

F1F2 gốc O hệ toạ độ Descartes, chọn véctơ e1 cho OF~ = de1

Bổ sung thêm véctơ e2 để có sở trực chuẩn thuận hướng

vậy có hệ toạ độ Descartes O,e1,e2 Trong hệ toạ độ điểm M có

toạ độ (x, y) ta có phương trình đường ellipse x2

a2 −

y2

b2 = 1, với b=

√

d2−a2

1.2.3 Parabola

Trong hình học giải tích, parabola định nghĩa quỹ tích điểmM mà khoảng cách đến điểmF đường thẳng` mặt phẳng cho trước Qua điểm F, ta hạ đường vng góc với đường thẳng ` điểm P Gọi trung điểm đoạn P F gốc toạ độ O Chọn véctơ trực chuẩn e1 e2 cho OF~ =pe2 Gọi(x, y) toạ độ điểm M hệ

toạ độ O,e1,e2 Khi ta có phương trình đường parabola

x2 = 4py

1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng dạng tắc

Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, đường bậc hai tổng quát mặt phẳng Euclid afin 2-chiều đưa số đường tắc sau:

1 Đường ellipse

x2 a2 +

y2 b2 =

2 Đường ellipse ảo:

x2 a2 +

y2

b2 =−1

3 Đường hyperbola

x2

a2 −

y2

b2 =

4 Đường parabola

x2

5 Cặp hai đường thẳng song song

x2 a2 =

6 Cặp hai đường thẳng ảo song song:

x2

a2 =−1

7 Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau:

x2 a2 +

y2 b2 =

8 Cặp hai đường thẳng cắt nhau:

x2 a2 −

y2 b2 =

9 Cặp hai đường thẳng trùng nhau:

x2 =

1.4 Phân loại siêu mặt bậc khơng gian chiều

Định lí 1.4.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mặt bậc hai tổng quát không gian Euclid ba chiều đưa số 17 mặt tắc sau:

1 Mặt ellipsoid:

x2 a2 +

y2 b2 +

z2 c2 =

2 Mặt ellipsoid ảo:

x2 a2 +

y2 b2 +

z2

c2 =−1

3 Mặt nón ảo:

x2 a2 +

y2 b2 +

4 Mặt elliptic hyperboloid tầng

x2

a2 +

y2

b2 −

z2

c2 =

5 Mặt elliptic hyperboloid hai tầng

x2

a2 +

y2

b2 −

z2

c2 =−1

6 Mặt nón bậc hai:

x2 a2 +

y2 b2 −

z2 c2 =

7 Mặt elliptic paraboloid

x2 p +

y2

q = 2z, p >0, q >0

8 Mặt trụ elliptic

x2 a2 +

y2 b2 =

9 Mặt trụ elliptic ảo:

x2 a2 +

y2

b2 =−1

10 Cặp mặt phẳng ảo cắt nhau:

x2 a2 +

y2 b2 =

11 Mặt hyperbolic paraboloid:

x2 p −

y2

q =±2z, p > 0, q >0

12 Mặt trụ hyperbolic:

x2 a2 −

y2

b2 =±1

13 Cặp hai mặt phẳng cắt nhau:

x2 a2 −

14 Mặt trụ parabolic x2 = 2pz, p >0.

15 Cặp hai mặt phẳng song song:

x2 =k2, hay x=±k, k 6=

16 Cặp hai mặt phẳng ảo song song:

x2 =−k2, hay x=±ik, k 6=

17 Cặp hai mặt phẳng trùng nhau:

x2 =

Chứng minh Định lí chứng minh cách chọn phép đổi toạ độ thích hợp làm biến phần tuyến tính Dạng tồn phương hệ số tự định đạng mặt cong

Trường hợp 1:Dạng tồn phương có ba giá trị riêng khác 0: λ1, λ2, λ3:

Phương trình đưa dạng

λ1x2+λ2y2+λ3z2 =c

1a Các giá trị λ1, λ2, λ3 dấu, quy λ1 >0, λ2 >0, λ3 >0

1 Nếu c >0 ta đặt a2 = λc

1, b

2 = c λ2, c

2 = c λ3

2 Nếu c <0, ta đặt a2 = −λc

1, b

2 = −c λ2,c

2 = −c λ3

3 Nếu c= ta đặt a2 = λ1

1, b

2 = λ2, c

2 = λ3

1b Các giá trị riêng khác dấu, quy λ1 >0, λ2 >0, λ3 <0

4 Nếu c >0 ta đặt a2 = λc

1, b

2 = c λ2, c

2 = c

−λ3

5 Nếu c <0, ta đặt a2 = −λc

1, b

2 = −c λ2,c

2 = −c

−λ3

6 Nếu c= ta đặt a2 = λ1

1, b

2 = λ2, c

2 =

−λ3

Trường hợp 2:Có giá trị riêng khơng, ví dụλ1 6= 0, λ2 6=

0, λ3 = 0:

2a λ1 λ2 dấu: λ1 > 0, λ2 >0, λ3 = Khi có giá trị riêng

λ3 = hệ số tự lại làm triệt tiêu Nếu hệ số bậc theo z

7 Nếu hệ số bậc theo z triệt tiêu, ta có phương trình dạng λ1x2+λ2y2 =c

Ta có ba trường hợp:

8 Nếu c >0 ta đặt a2 = c λ1, b

2 = c λ2, c

2 = c

−λ3

9 Nếu c <0, ta đặt a2 = −c λ1, b

2 = −c λ2,c

2 = −c

−λ3

10 Nếu c= ta đặt a2 = λ1, b

2 = λ2, c

2 =

−λ3

2b λ1 λ2 khác dấu: λ1 >0, λ2 <0, λ3 =

11 Nếu c >0 ta đặt a2 = λc

1, b

2 = c

−λ2

12 Nếu c <0, ta đặt a2 = −λc

1, b

2 = −c

−λ2

13 Nếu c= ta đặt a2 = λ1, b

2 =

−λ2

Trường hợp 3: Có giá trị riêng khác 0, ví dụ λ1 6= 0, λ2 =

λ3 = Khi phương trình tổng qt có dạng

λ1x2+ 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0 =

NếuD=pa2

2+a23 6= ta thực phép đổi toạ độ trực giao: 





x = x0 y = a3

Dy

0+a2

Dz

0

z = −a2

Dy

0

+a3

Dz

0

Trong hệ toạ độ này, phương trình có dạng λ1x02+ 2a1x0 + 2Dz0+a00 =

Thực phép tịnh tiến toạ độ

 



x0 = −a1

λ1 +x

y0 = y z0 = −a00

D +z

14 Nếu D= phương trình tổng qt có dạng λ1x02+ 2a1x0+a00 =

Thực phép tịnh tiến toạ độ theo trục xta nhận phương trình dạng:

λ1x2+a00 =

có ba trường hợp:

15 λ1 >0, a00 <0, ta đặtk2 =

−a00 λ1

16 λ1 >0, a00 >0, ta đặtk2 = a00

λ1

17 λ1 >0, a00 = 0, chia hai vế choλ1

1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng qt về dạng tắc

Giả sử (O,e1, ,en) ( ˜O,˜e1, ,˜en)là hai hệ toạ độ Descartes với

[˜e1, ,e˜n] = [e1, ,en]A,

OO˜ =

n X

i=1

biei

là phép chuyển toạ độ

x= (x1, , xn)7→x˜= (˜x1, ,x˜n) với

x=A˜x+b, tức

xi =

n X

j=1

Aijx˜j+bj

Nói cách khác qua phép biến đổi tọa độ, ~

OM =O~O˜+OM˜~ =b+

n X

j=1

Siêu mặt bậc quĩ tích điểm M không gian Euclid afin AV

thoả mãn phương trình 0-điểm hàm bậc

q(M) = ϕ(OM , ~~ OM) + 2f(OM~ ) +c= 0,

trong phần bậc ϕlà khơng đồng Nếu siêu mặt bậc cóđiểm tâm đối xứngO, tức là˜ −OM˜~ thoả mãn phương trìnhq(M) =

~ ˜

OM thoả mãn, viết gốc tọa độ O˜ phần bậc triệt tiêu ˜

f( ˜OM) = ˜ϕ(O~O,˜ OM˜ ) +f( ˜OM) =

Giả sử M điểm siêu mặt xét Đường thẳng D có phương e qua M gồm điểm có dạng OM~ +te Cho nên giao với siêu mặt bậc cho S :q(M) = gồm điểm màt thoả mãn phương trình

At2+ 2Bt+C = 0,

vớiA =ϕ(e,e),B =f(e)+ϕ(OM,e),C =q(M) Phươngelàphương không tiệm cận ϕ(e,e)6=

Nếu véctơ e không thuộc hạt nhân ϕ, tức ϕ(e,e) 6= siêu phẳng kính liên hợp với phương e cho

ϕ(OM,e) +f(e) =

Hai véctơ u,v không gian afin AV liên hợp với qua hàm (bậc

2) ϕ , ϕ(u,v) = Véctơ tự e gọi phương hàm bậc hai q(M) liên hợp với tất véctơ vng góc với nó, tức ϕ(e,u) = 0, với mọiu⊥e

Kết qủa hình học giải tíchphân loại siêu mặt bậc hai thể định lý sau:

Định lí 1.5.1 Mỗi siêu mặt bậc hai S :q(M) =ϕ(OM, OM) + 2f(OM) + c= không gian Euclid afin AV, phép biến đổi afin đẳng cự,

đều đưa dạng tắc hệ toạ độ tắc (O,e1, ,en)

với ei phương q(M):

1 Trường hợp có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x1)2+ .+λr(xr)2 +c với

r ≤n, λi 6= 0, λ1 ≥ .≥λr, điểm gốc O tâm đối xứng

2 Trường hợp khơng có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x1)2+ .+λr(xr)2−

Nhận xét 1.5.2 Nếu trường hợp λ1 ≥ .≥λr >0 ta thêm phép

biến đổi siêu việt đưa tọa độ Descartes toạ độ cực

     

    

x1 = rcos(θ

1) .cos(θn−1)

x2 = rcos(θ

1) .sin(θn−1)

xn−1 = rcos(θ

1) sin(θ2)

xn = rsin(θ 1)

với r ∈ (0,∞), (θ1, , θn−1) ∈ [0,2π)n−2 ×(−π2,π2), siêu mặt ellipsoid

có dạng r2+c= Tương tự trường hợp có λ

i với dấu âm, ta xét

hàm lượng giác hyperbolic, có kết tương tự Như việc mở rộng nhóm biến đổi cho phép mô tả cấu trúc siêu mặt bậc hai

1.6 Phân loại dời hình đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid

Chúng ta xét nhóm phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự mặt phẳng Dễ dàng nhận thấy " Hai dường bậc mặt phẳng tương đương dời hình với chúng thu từ phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự" Ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.6.1 GọiT nhóm phép tịnh tiến mặt phẳng,O(2) nhóm biến đổi trực giao (quay phản xạ) Khi nhóm phép biến đổi dời hình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(2)nR2

1.7 Phân loại dời hình mặt bậc hai trong khơng gian Euclid chiều

Tương tự trên, xét nhóm phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự không gian Euclid afin 3-chiều Dễ dàng nhận thấy " Hai mặt bậc không gian Euclid 3-chiều tương đương dời hình với chúng thu từ phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự" Ta có mệnh đề sau

1.8 Phương pháp toạ độ cong Chúng ta nhắc lại số phép biến đổi toạ độ quen biết:

• Toạ độ cực mặt phẳng

x = rcosϕ, y = rsinϕ,

(

r = px2+y2,

ϕ = arccos√ x

x2+y2,

với 0< r <∞,0≤ϕ < 2π

• Toạ độ cực hyperbolic mặt phẳng

x = rcoshϕ, y = rsinhϕ

• Toạ độ cầu không gian 3-chiều

 



x = rcosθcosϕ, y = rcosθsinϕ, z = rsinθ

   

  

r = px2+y2 +z2,

ϕ = arccos√ x

x2+y2,

θ = arcsin√ z x2+y2+z2,

với 0< r <∞,0≤ϕ < 2π,−π

2 ≤θ < θ

• Toạ độ trụ khơng gian 3-chiều

 



x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z

• Toạ độ cầu không gian n-chiều

   

  

x1 = rcosθ

1 .cosθn−1,

x2 = rcosθ

1 .sinθn−1,

xn = rsinθ

1.8.1 Các đường bậc tham số hoá

Trong hệ toạ độ thích hợp đường bậc có dạng đơn giản Ví dụ hệ toạ độ elliptic

x

a = rcosϕ, y

b = rsinϕ,

   r = q x2

a2 +

y2

b2,

ϕ = arccos x

a

q x2 a2+

y2 b2

phương trình đường ellipse trở thành r= 1,0≤ϕ < 2π

Hệ qủa 1.8.1 Qua phép biến đổi toạ độ elliptic nói trên, đường ellipse biến thành đoạn đóng-mở

Các phép biến đổi toạ độ tương tự áp dụng cho đường cong bậc khác

1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoá

Trong hệ toạ độ thích hợp đường bậc có dạng đơn giản Ví dụ hệ toạ độ cầu elliptic

 

 x

a = rcosθcosϕ, y

b = rcosθsinϕ, z

c = rsinθ

         r = q x2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2,

ϕ = arccos x

a

q x2

a2+ y2 b2 , θ = arcsin z

c

q x2

a2+

y2 b2+

z2

c2

,

với < r < ∞,0 ≤ ϕ < 2π,−π

2 < θ < θ

2 phương trình mặt ellipsoid trở

thành r= 1,0≤ϕ < 2π, π2 ≤θ < π2

Hệ qủa 1.8.2 Qua phép biến đổi toạ độ cầu elliptic nói trên, mặt ellipsoid biến thành hình vng đóng-mở

Các phép biến đổi toạ độ tương tự áp dụng cho mặt cong bậc khác

1.9 Bài tập củng cố lý thuyết

1 Dùng hệ toạ độ thích hợp, tham số hố đường bậc 2 Dùng hệ toạ độ thích hợp, tham số hoá mặt bậc Dùng hệ toạ độ thích hợp, tham số hố đường conic Xây dựng vi phơi đĩa mở với khơng gian Euclid chứa

Chương 2

Lý thuyết đường cong trong Rn

Hình học Riemann symplectic tổng quát giới thiệu sơ chương Để làm rõ chất hình học chúng tơi trọng vào đường cong mặt cong Hình học đa tạp nhiều chiều chuyên ngành lý thuyết đa tạp có metric

2.1 Cung tham số hố cung quy Trước hết nhận xét tồn phép vi phôi khoảng mở (a, b)bất kì với tồn R, ví dụ chọn hàm

tan( π b−ax+

π

a+b

a−b) : (a, b)→(− π 2,

π

2)→R

Hàm có đạo hàm liên tục khả nghịch, hàm ngược hàm b−a

π arctanx+ a+b

2 : R →(− π 2,

π

2)→(a, b) có đạo hàm liên tục

Định nghĩa 2.1.1 Cung tham số hoá Rn ảnh song ánh liên tục ϕ từ khoảng mở (a, b)∼=R vào Rn.

Ví dụ Cung tham số hố xác định hàm toạ độ Descartes

ϕ:

 



x(t) = acost, y(t) = asint, z(t) = bt, với t∈R

Định nghĩa 2.1.2 Hai tham số hoá ϕ : (a, b) → Rn và ψ : (c, d) → Rn

được gọi tương thích với nhau, chúng sai khác vi phôi, tức tồn ánh xạ khả vi liên tục, khả nghịch ánh xạ ngược khả vi liên tục α: (a, b)→(c, d) cho ψ◦α =ϕ

Định nghĩa 2.1.3 Đường cong liên tục ảnh ánh xạ liên tục từ khoảng mở (a, b) vào Rn Đường cong tham số hoá hợp họ

các cung tham số hố Nói cách khác ta chia đường cong thành hợp cung tham số hoá

Ví dụ Đường trịn S1 có thể chia thành hợp hai cung tham số hoá, mỗi

cung S1 trừ điểm khác nhau, ví dụ, S1 = U

1 ∪U2 với cung

U1 =S1\ {N}, U2 =S1\ {S}, đóN điểm cực bắc S điểm cực

nam vòng trịn

Định nghĩa 2.1.4 (Cung tham số hố quy) ĐiểmP cho bởir(t) cung tham số hoá ~r : (a, b)→Rn được gọi điểm quy , đạo

hàm ~r0(t) tham số hóa khác Cung tham số hoá gọi cung quy, điểm quy Đường cong gọi đường cong quy, hợp cung tham số hố quy

Nhận xét điểm quy tham số hố thì, theo quy tắc đạo hàm hàm hợp, quy tham số hố tương thích khác Bởi khái niệm quy khơng phụ thuộc việc chọn tham số hoá

Định nghĩa 2.1.5 (tham số hoá đường cong) Mỗi hệ toạ độ Descartes không gian Euclid En ≈ Rn cho ta tham số hoá địa phương khoảng mở đường cong hàm thành phần:

t∈R≈(−1,1)7→r(t)~ ∈En↔x(t)∈Rn

Khi x(t) = (x1(t), , xn(t)), với xi(t)là hàm trơn Véctơ tiếp xúc với

đường cong điểm x = x(t), với t cố định ( ˙x1(t), ,x˙n(t)) toạ độ Descartes Rn.

2.2 Độ dài đường cong trong Rn Đường trắc địa

Đường cong đa tạp M = Rn được gọi là đường cong dìm

trongM =Rn, đa tạp chiều đồ

tọa độ điạ phương, tức xác định hệ phương trình với hạng ma trận Jacobi n−1

Ví dụ

1 γ = {(x,sin(x1)); ≤ x ≤ 1} đường cong dìm R2 Nhưng γ ∪ {(0, y),−1≤y≤1} khơng thể đa tạp dìm mặt phẳng R2 Các điểm (0, y) khơng điểm quy,

vì chúng khơng có đạo hàm liên tục

2 Ảnh đường thẳng y=θx, với hệ số gócθ vơ tỉ khơng thể đường dìm xuyến T2 =R2/Z2.

Định lí 2.2.1 (Bài toán Cauchy cho đường cong) Nếu trường véctơξ(x) trường véctơ trơn cung tham số hố tốn Cauchy

˙

x(t) = ξ(x(t)) x(0) = x

có nghiệm nghiệm gọi đường cong qua điểm x

Độ dài véctơ tiếp xúc ξ(x(t)) = ˙x(t)là

||x(t)˙ ||=

qX

( ˙xi)2.

Định nghĩa 2.2.2 Độ dài cung nối hai điểm x0 =x(t0) x=x(t)

s(t0, t) = Z t

t0

||x(t)˙ ||dt=

Z t

t0

q X

( ˙xi(t))2dt.

Chúng ta khơng thể nói tới đường thẳng đa tạp M Nhưng xét tới đường có tính chất đường thẳng

Định nghĩa 2.2.3 (Đường trắc địa) Đường cong trongRn nối điểm x

và x có độ dài ngắn gọi đường trắc địa nối hai điểm

Định lí 2.2.4 (Bài toán biến phân cho đường trắc địa) Đường trắc địa nghiệm toán biến phân

L(x,x) =˙

Z t1

t0

và thoả mãn phương trình vi phân tương ứng với toỏn bin phõn ú

ă

x(t) =

Tức đường ngắn nối hai điểm x0 x1 Rn đường thẳng

đi qua hai điểm

Thật vậy, theo ngun lí Fermat, đường cong có độ dài ngắn đạo hàm biến phân triệt tiêu, lấy đạo hàm biến phân phiếm hàm ta có phương trình

δ

Z t

t0

||x(t)˙ ||2dt= 0.

Đạo hàm biến phân giao hốn với tích phân ta có

Z t

t0

(δx(t),˙ x(t))dt˙ =

Đạo hàm biến phân đạo hàm theo t giao hốn với ta đổi chỗ

Z t

t0

(d

dtδx(t),x(t)) = 0.˙ Lấy tích phân phần theo t ta cú

Z t

t0

(ăx(t), x(t))dt= 0,x(t)

Cho nờn ta cú

ă

x(t) =

Suy x(t) = a+L.t tức đường thẳng Vì với t = t0 có x = x0 với

t =t1 cóx=x1, suy

x(t) = x0+ (x1−x0)t

Nếu đường cong quy s(t)˙ 6= Theo định lí hàm ngược, tồn hàm ngược t = t(s) Khi ta chọn s tham số đường cong

Định nghĩa 2.2.5 Tham số hoá đường cong theo tham số độ dài từ điểm cố định x0 =x(t0) đến điểm x=x(t) gọi tham

số hố tự nhiên

Mệnh đề 2.2.6 Trong hệ tham số hoá tự nhiên đường cong, véctơ tiếp xúc ln có độ dài 1,

n X

i=1

d dsx˜

i(s) =||x˜0||= 1.

Chứng minh Thật vậy, tham số hoá tự nhiên, ˜

xi =xi(t(s)),

cho nên theo định lí hàm ngược, ˜

x0(s) = d

dsx(s) = ˙˜ x(t) dt ds =

˙ x(t))

pPn

i=1( ˙xi(t))2

= x(t)˙

||x(t)˙ ||

Vì ta có,

||x˜0(s)||=

2.3 Mục tiêu trực chuẩn Mục tiêu Frénet. Độ cong Độ xoắn.

Giả sử có đường cong

x(t) := (x1(t), , x3(t), t∈(−1,1),

x(0) =x= (x1, , x3)

Mệnh đề 2.3.1 Trong hệ tham số hoá tự nhiên đường cong, đạo hàm véctơ tiếp xúc τ(s) theo biến tham số độ dài s véctơ τ0(s) vng góc với véctơ tiếp xúc τ(s)

Chứng minh Thật vậy, biết (τ(s), τ(s)) =||τ(s)||2 ≡1.

Do vậy,

d

ds(τ(s), τ(s)) = 2(τ

0

(s), τ(s))≡0

Định nghĩa 2.3.2 Véctơ chuẩn hoá ~n(s) = ||~τ~τ00(s)(s)|| gọi véctơ pháp

tuyến đường cong ~x(s)

Định nghĩa 2.3.3 Đại lượng k(s) :=||τ0(s)|| gọi độ cong điểm x(s) Nhận xét 2.3.4 (Ý nghĩa hình học độ cong) Độ congk(s)của đường cong quy x(s) R1, với R bán kính đường trịn tiếp xúc với đường cong, tâm điểm cuối véctơ τ0(s)

Thật vậy, có cơng thức khai triển Taylor bậc ~

τ(s+ ∆s)−~τ(s) = τ0(˜s)∆s+ε,

với ε=o(∆s)và s˜là điểm trung gian s s+ ∆s Do ta có k(s) =

∆s∆slim→0|~τ(s+ ∆s)−~τ(s)|

Theo hệ thức tam giác hình học sơ cấp,

||τ0(s)||=k(s) = lim

∆s→0

θ ∆s [trong θ góc véctơ τ(s)và véctơ τ(s+ ∆s).]

= lim

∆s→0| θ

sinθ2 sin θ2

∆s |= lim∆s→0| θ

sinθ2

2 sinθ2 R.ssinθ2|=

1 R

Định nghĩa 2.3.5 (Hệ quy chiếu Frénet) Véctơ ~τ(s) véctơ tiếp xúc Véctơ ~n(s) = ||ττ00(s)(s)|| gọi véctơ pháp tuyến Véctơ~b(s) = ~τ(s)×~n(s)

được gọi véctơ trùng pháp tuyến Hệ quy chiếu τ(s), ~n(s),~b(s) gọi hệ quy chiếu Frénet Mặt phẳng sinh hai véctơ đơn vị ~τ(s) và~n(s) gọi mặt mật tiếp Mặt phẳng sinh ~n(s) và~b(s) gọi mặt pháp diện Mặt phẳng sinh hai véctơ ~τ(s) và~b(s) gọi mặt trực đạc

Theo định nghĩa ta có

~b(s) =~τ(s)×~n(s),

cho nên theo quy tắc đạo hàm, dsd~b(s) phương (nhưng khơng hướng) với ~n(s), tức dsd~b(s) ⊥~b(s), ~n(s) Đặt κ(s) hệ số tỉ lệ cho

d

Định nghĩa 2.3.6 Hệ số κ(s) gọi độ xoắn đường cong tạix(s) Nhận xét 2.3.7 Trong mặt mật tiếp ta nhìn thấy hình ảnh đường cong đường cong phẳng quy tiếp xúc với trục ~τ, nằm phía ~n Trong mặt trực đạc ta nhìn thấy đường cong đường cong phẳng tiếp xúc với trục τ nằm hai phiá Trong mặt pháp diện ta nhìn thấy hai nhánh đường cong theo hình gấp nếp

Định lí 2.3.8 (Cơng thức Frénet)

d

ds~τ(s) = k(s).~n(s) d

ds~n(s) = −k(s).~τ(s) + κ(s)~b(s) d

ds~b(s) = −κ(s).~n(s)

hay d ds   ~ τ(s) ~n(s) ~b(s)  ==  

0 k(s)

−k(s) κ(s)

0 −κ(s)



 



~τ(s) ~ n(s) ~b(s)





Chứng minh Trước hết theo định nghĩa, d

ds~τ(s) =−k(s)~n(s) Theo định nghĩa

~b(s) =~τ(s)×~n(s) Cho nên

d

ds~b(s) = d

ds~τ(s)×~n(s) +~τ(s)× d

ds~n(s) = =−k(s).~n(s)×~n(s) +~τ(s)× d

ds~n(s) =~τ(s)× d ds~n(s)

Vì lẽ (~n(s), ~n(s))≡1 nên (d~n(s)ds , ~n(s))≡0 Tức d~n(s)ds tổ hợp tuyến tính hai véctơ cịn lại Nhưng (~τ(s), ~n(s))≡0 suy

(~τ(s),d~n(s)

ds ) =−( d~τ

ds, ~n) =−k(s) Từ (~n,~b) = suy

(d~n

ds,~b) = −(~n, d~b ds) =κ Cho nên

d~n

ds =−k(s).~τ(s) +κ(s).~b(s)

Nhận xét 2.3.9 Trong lân cận điểm x(s), ảnh đường cong lên mặt mật tiếp mặt trực đạc đường cong tiếp xúc với ~τ(s) Hình chiếu trực giao đường cong lên mặt pháp diện hai nhánh từ gốc tọa độ tiếp xúc với phương ~n(s) có kì dị hình nếp gấp Do sở Frénet cho nghiên cứu định tính đường cong lân cận điểm Từ suy hình ảnh đường cong hệ toạ độ Frénet tiếp xúc với phương ~τ(s) giải kì dị với phương ~n(s)

2.4 Định lí bản

Nhận xét 2.4.1 Các khái niệm độ dài đường cong, độ cong cung quy khái niệm bất biến qua đẳng cấu affine trực giao cịn khái niệm độ xoắn cung song quy định hướng bất biến qua phép biến đổi affine trực giao, bảo toàn định hướng

Trên thực tế độ cong độ xoắn xác định đường cong Chúng ta phát biểu kết lí thuyết đường cong bỏ qua chứng minh Định lí 2.4.2 (Định lí bản) Cho hai hàm số k(s) ≥ κ(s) khả vi lớp Cl, l≥0 trên khoảng mở J ⊆R.

1 Tồn cung quy định hướng với tham số hoá tự nhiên J →R3,

s 7→ r(s), khả vi lớp Cl+2, nhận k(s) và κ(s) là độ cong độ xoắn

tương ứng

2 Nếu tồn hai cung quy r ρ với tính chất trên, tồn phép dời hình (tức đẳng cấu affine trực giao bảo toàn định hướng biến chúng sang nhau, r =f ◦ρ

Sẽ thuận tiện dẫn cơng thức tính độ cong độ xoắn tham số hố

Mệnh đề 2.4.3 Giả sử t 7→ ~r(t) tham số hố cung cong Khi ú

k(t) = ||

~r(t)ì~ăr(t)|| ||~r(t) ||3 ,

(t) = ( ~r(t)ì ă ~

r(t)).~r(t)ă

Chứng minh Thật vậy, ˙ ~

r(t) =||~r(t) ||~(t),

ă ~r(t) =

z }| {

||~r(t)˙ ||~τ(t) +˙ ||~r(t)˙ ||~τ˙(t),

~r(t)ìă~r(t) =||r(t)~ ||2~(t)ì~(t),

~r(t)ìă~r(t)

||~r(t) ||3 =

~ τ(t)

||~r(t)˙ || ×

˙

~τ(t) =k(t)~b(t) Cho nên,

k(t) = ||

~r(t)ì~ăr(t)|| ||~r(t) ||3

Chỳng ta li cú

~r(t)ìă~r(t)

||~r(t) ||3 =~(t)ìk(t)~n(t) =k(t)~b(t)

Cho nờn,

( r(t)~ ìă~r(t)).~ră=||~r(t) ||3k(t)~b.

Chỳng ta ch cn quan tõm n thnh phn cha~b trong~r(t),ă ă

~ r(t) =

˙

z }| {

||~r(t) ||~ +||~r(t) ||~ = ăs(t)~+ s2k~n, ă

~r(t) = + ˙s2kn0(s).s˙ = .+ ˙s3k(s(t))κ(s(t))~b(s(t)) ( ~rìă~r).~r(t) = ă s6k2

Cho nờn ta cú

(t) = ( ~r(t)ì ă ~

r(t)).~r(t)ă

||~r(t) ìă~r(t)||2

Vớ d Cho ng cong tham số hoá t 7→ ~r(t) = a~ε(t) + b~e3, với

ε(t) = cost~e1+ sint~e2 Khi đó,

~r(t) =a~(t+

2) +b~e3 ă

~

ă

~r(t) = a~(t+ 2)

||~r||=a2+b2.

||~rìă~r||=aa2 +b2.

||( ~rìă~r)~ră||=a2b Cho nên,

k(t) = a a2+b2

κ(t) = b a2+b2

2.5 Bài tập củng cố lý thuyết Cho đường cong tham số hoá đường xoắn ốc

 



x(t) = rcost, y(t) = rsint, z(t) = t Hãy tính độ cong độ xoắn điểm

2 Tính độ cong độ xoắn đường ellipse điểm Tính độ cong độ xoắn đường hyperbola điểm Tính độ cong độ xoắn đường parabola điểm Cho đường cong bậc tổng quát

q(x, y, z) =a11x2+a22y2+ 2a12xy+ 2b1x+ 2b2y+c=

Chương 3

Đại số tensơ, đại số ngồi, tensơ đối xứng

3.1 Tích tensơ không gian véctơ

Định nghĩa 3.1.1 Giả sử V W hai không gian véctơ trường k Kí hiệu VW khơng gian véctơ tự sinh V ×W Phần tử tổng quát VW có dạng tổ hợp tuyến tính hình thức

X

v∈V,w∈W

λv,w(v, w),

trong tổng hiểu theo nghĩa đại số, tức có số hữu hạn hệ số λv,w ∈ k khác Xét không gian véctơ L, sinh tất

phần tử có dạng

(v1+v2, w)−(v1, w)−(v2, w),

(v, w1+w2)−(v, w1)−(v, w2),

(λw, w)−(v, λw)

Khi khơng gian thươngVW/Lđược gọi tích tensơcủa hai khơng gian véctơ V W kí hiệu V ⊗k W Các phần tử khơng gian

thương kí hiệu

v⊗w:= (v, w) +L

Hệ qủa 3.1.2 Trong tích tensơ ta ln có hệ thức thể tính song tuyến

(v1+v2)⊗w=v1⊗w+v2⊗w,

v⊗(w1+w2) =v ⊗w1+v⊗w2,

(λv)⊗w=v⊗(λw)

Hệ qủa 3.1.3 Nếue1, ,enlà sở không gian véctơV vàf1, ,fm

là sở khơng gian véctơ W Thì véctơei⊗fj, i= 1, n, j = 1, m

sinh tích tensơ V ⊗kW

Ngược lại ta dùng phần tử sinh để định nghĩa tích tensơ Định nghĩa 3.1.4 (Định nghĩa II) Giả sử không gian véctơ V có sở ei, i= 1, n khơng gian véctơ W có sở làfj, j = 1, m Kí hiệu

hình thức (ei ⊗fj = (ei,fj) cặp véctơ sở Khi bao tuyến tính

hình thức

V ⊗kW :=hei⊗fj, i= 1, n, j = 1, mi= ( n

X

i=1 m X

j=1

λijei⊗fj )

được gọi tích tensơ hai khơng gian véctơ với sở

Hệ qủa 3.1.5 (Tính chất phổ dụng) Tồn ánh xạ song tuyến tính tự nhiên ı:V ×W →V ⊗W Nếu B :V ×W →F ánh xạ song tuyến tính, tồn ánh xạ tuyến tính ϕB : V ⊗W → F từ tích

tensơ V ⊗W vào F cho B =ϕB◦ı

Ngược lại ta dùng tính chất phổ dụng làm định nghĩa tích tensơ Định nghĩa 3.1.6 (Định nghĩa III) Tích tensơ hai không gian véctơ V vàW cặp gồm khơng gian véctơ, kí hiệu làV ⊗W ánh xạ song tuyến tínhı:V ×W →V ⊗W cho với cặp gồm không gian véctơ F ánh xạ song tuyến tính B : V ×W → F, tồn ánh xạ tuyến tính ϕB :V ⊗W →F cho B =ϕ◦ı

Mệnh đề 3.1.7 Ba định nghĩa I-III tương đương

Chứng minh Dễ thấy Định nghĩa I suy Định nghĩa II Định nghĩa II suy Định nghĩa III Ngược lại, từ Định nghĩa III suy Định nghĩa II Định nghĩa II có tính phổ dụng Từ Định nghĩa II suy Định

nghĩa I lí luận theo số chiều

3.2 Tích ngồi tích tensơ đối xứng

Định nghĩa 3.2.1 Giả sử V1, , Vn không gian véctơ trường

sở k Ta tạo tổng trực tiếp tích tensơ khơng gian véctơ xếp thứ tự

⊕

X

σ=

0 @

1, , n i1, , in

1 A∈Sn

Không gian véctơ sinh phần tử dạng v1∧ .∧vn :=

1 n!

X

σ∈Sn

sgn(σ)vσ(1)⊗ .⊗vσ(n)

được gọi tích ngồi kí hiệu làV1∧ .∧Vn Không gian véctơ

sinh phần tử dạng

v1⊗s .⊗svn:=

1 n!

X

σ∈Sn

vσ(1)⊗ .⊗vσ(n)

được gọi tích đối xứng kí hiệu V1⊗s .⊗sVn

Dễ thấy tính chất hiển nhiên sau tích ngồi tích đối xứng Mệnh đề 3.2.2 Tích ngồi có tính chất phản xứng

vσ(1)∧ .∧vσ(n) = sgn(σ)v1∧ .∧vn,

2 Tích đối xứng có tính chất đối xứng

vσ(1)⊗s .⊗svσ(n) =v1⊗s .⊗svn

3.3 Đại số tensơ

Định nghĩa 3.3.1 Tensơ p-thuận biến q-phản biến, hay gọi tensơ kiểu(p, q)là phần tử tích tensơTp,q(V) :=V∗⊗

.⊗V∗

| {z }

p-lần

⊗V ⊗ .⊗V

| {z }

q-lần Ta qui ước T0,0(V) = k.

Định nghĩa 3.3.2 Cùng với phép nhân tích tensơ, không gian véctơ T(V) :=

∞

M

p+q=0

Tp,q(V) :=

∞

M

p+q=0

V∗⊗ .⊗V∗

| {z }

p-lần

⊗V ⊗ .⊗V

| {z }

q-lần trở thành đại số kết hợp, gọi đại số tensơ

Hệ qủa 3.3.3 Nếue1, ,en sở V, f1 =e∗1, ,fn=e∗n

sở đối ngẫu V∗ tương ứng thìfi1⊗ .⊗fip⊗e

j1⊗ .⊗ejq sở Tp,q Mỗi tensơ sở có dạng

t= X

1≤i1, ,ip,j1, ,jq≤n tj1, ,jq

i1, ,ipf

i1 ⊗ .⊗fip⊗e

j1 ⊗ .⊗ejq

Giả sử[˜e1, ,˜en] = [e1, en]C phép chuyển sở Khi [˜f1, ,˜fn]T =

CT[e

1, en]T phép chuyển sở V∗ Tức ˜e =Ciei ˜fj

0

= Djj0fj,với D=C−1

Mệnh đề 3.3.4 ˜ tj

0 1, ,j

0

q

i01, ,i0p =D

i1

i01 D

ip

i0

pC

j01 j1 C

jq0

jqt

j1, ,jq

i1, ,ip

3.4 Đại số ngoài Chúng ta qui ước ∧0,0(V) = k.

Định nghĩa 3.4.1 Cùng với phép nhân tích ngồi, khơng gian véctơ

∧(V) :=

∞

M

p+q=0

∧p,q(V) :=

∞

M

p+q=0

V∗∧ .∧V∗

| {z }

p-lần

∧V ∧ .∧V

| {z }

q-lần

trở thành đại số kết hợp, gọi đại số ngoài, hay đại số Grassman Hệ qủa 3.4.2 Nếue1, ,en sở V, f1 =e∗1, ,fn=e∗n

sở đối ngẫu V∗ tương ứng fi1 ∧ .∧fip∧e

j1 ∧ .∧ejq sở

∧p,q(V). Mỗi tensơ sở có dạng

t= X

1≤i1< <ip,j1< <jq≤n tj1, ,jq

i1, ,ipf

i1 ∧ .∧fip ∧e

j1 ∧ .∧ejq

Chương 4

Lý thuyết mặt cong trong R3

4.1 Mảnh tham số hố quy mặt tham số hoá

Định nghĩa 4.1.1 Mảnh tham số hoá S ánh xạ từ đĩa mở U R2 vào R3 cho ánh xạ

r:U →R3,

(u, v)∈r(u, v)∈S ⊆Rn

Nếu r(u0, v0) điểm cố định đường cong r(., v0) :U ∩R→ Rn

và r(u0, ) :U ∩R→Rn hai đường toạ độ tham số hoá mặt cong

Định nghĩa 4.1.2 Hai tham số hoá ϕ : U →R3 và ψ : V →

R3 gọi

là tương thích có vi phôi α : U →V cho ϕ=ψα

Định nghĩa 4.1.3 Mặt cong tham số hoá hợp họ mảnh tham số hóa đơi tương thích lẫn

Định nghĩa 4.1.4 Điểm r(u0, v0) gọi điểm quy ,

đường toạ độ quy điểm này, tức hai véctơ r0u(u, v0)và rv0(u0, v)

là độc lập tuyến tính khơng gian tiếp xúc Tr(u,v)S Điểm khơng

quy cịn gọi điểm kì dị mảnh tham số hố

4.2 Mục tiêu Darboux đường cong trên mặt dìm

Nhắc lại khái niệm mặt dìm R3 Trong đồ toạ độ địa phương,

mỗi điểm đa tạp đánh số số Nếu đa tạp 2-chiều khơng gian R3 Thì cịn gọi đơn giản là mảnh tham số hố.

Tại điểm quy mảnh tham số hoá qua điểmr(u, v)mặt phẳng tiếp xúc Tr(u,v)S sinh ta hai véctơ tiếp xúcru0(u, v) r

0

v(u, v)

các đường toạ độ nói

Định nghĩa 4.2.1 Đường thẳng vng góc với mặt tiếp xúc Tr(u,v)S gọi

pháp tuyến mảnh tham số hoá điểm r(u, v) Véctơ

~n(u, v) := ~r

0

u(u, v)∧~r

0

v(u, v)

||~r0

u(u, v)∧~r0v(u, v)||

được gọi véctơ pháp tuyến r(u, v)

Định lí 4.2.2 (phương trình mặt tiếp xúc) Nếu mặt tham số hoáS cho toạ độ

~

r(u, v) = (x1(u, v), , x3(u, v))

và ~ξ= (X1, , Xn) là toạ độ điểm mặt tiếp xúc tại r(u 0, v0),

thì phương trình mặt tiếp xúc cho

(ξ~−r(u0, v0), ru(u0, v0)∧rv0(u0, v0)) =

Trong trường hợp n = 3, tọa độ tuyến tính khơng gian tiếp xúc (X1, , x3) = (X, Y, Z) phương trình viết thành dạng

X−x(u0, v0) Y −y(u0, v0) Z−z(u0, v0)

x0u(u0, v0) y0u(u0, v0) zu0(u0, v0)

x0v(u0, v0) yv0(u0, v0) z0v(u0, v0) =

Hơn nữa, hệ toạ độ Descartes R3 vng góc tắc phương trình mặt tiếp xúc cho

(X−x(u0, v0))

u(u0, v0) zu0(u0, v0) v(u0, v0) zv0(u0, v0)

+

+(Y −y(u0, v0))

zu0(u0, v0) x0u(u0, v0)

zv0(u0, v0) x0v(u0, v0)

+

+(Z−z(u0, v0))

x0u(u0, v0) u(u0, v0)

x0v(u0, v0) v(u0, v0)

=

Định nghĩa 4.2.3 Mặt dìm R3 là tập trong R3 sao cho mỗi

4.3 Dạng toàn phương bản

Trong mục mục lại, ta xét trường hợp không gian ba chiều R3, n= Trường hợpn bất kỳ xét tương tự Tuy nhiên số

khái niệm cần cải tiến cách thích hợp

Giả sửS mặt dìm trongR3 và~n =~n(u, v)là véctơ pháp tuyến điểmr(u, v)∈S Với véctơ tiếp xúcξ ∈TpSvới mặt điểm p=r(u, v)

chúng ta có đạo hàm thuận biến Dξ, tác động hàm hay nhát cắt

theo công thức

Dξf(p) :=

d

dt|t=0f(x(t)),

trong x(t) đường cong mặt S qua điểm p, nhận ξ véctơ tiếp xúc, tức thoả toán Cauchy:

˙

x(t) = ξ(x(t)) x(0) = p

Theo tính chất phép đạo hàm, vì~n véctơ đơn vị nên 2(Dξ~n(u, v), ~n(u, v) =Dξ(~n(u, v), ~n(u, v)) = Dξ1 =

Nghĩa Dξ~n ∈TpS

Định nghĩa 4.3.1 Ánh xạ

hp :TpS →TpS,

cho công thức

ξ 7→hp(ξ) :=−Dξ~n∈TpS,

được gọi ánh xạ Weingarten Khi p thay đổi, ta kí hiệu ánh xạ h

Các tính chất ánh xạ Weingarten:

Mệnh đề 4.3.2 Với điểm p ∈ S, hp ánh xạ tuyến tính đối xứng từ

TpS vào nó, tức

(hp(ξ), η) = (ξ, hp(η))

Chúng ta nhận xét cần chứng minh mệnh đề cho trường véctơ sở ξ~=~ru0(u, v), ~η=~r0v(u, v) Với trường véctơ dễ thấy

hp(~ru0) = −D~r0

u~n =− ∂

∂u(~n◦r)(u, v) tương tự

hp(~r0v) = −D~r0

v~n =− ∂

∂v(~n◦r)(u, v) Mặt khác, thấy

(~n◦r(u, v), ~ru0) = 0, nên ta có

( ∂

∂u~n◦r(u, v), ~r

0

v) + (~n◦r(u, v),

∂ ∂u~r

0

v) =

Cho nên

(hp(~r0u), ~r

0

v) = (~n◦r,

∂ ∂u~r

0

v)

Tương tự ta có

(hp(~r0v), ~r

0

u) = (~n◦r,

∂ ∂v~r

0

u)

Vì đạo hàm riêng cấp đối xứng ∂

∂u~r

0

v =

∂2

∂u∂v~r = ∂2

∂v∂u~r = ∂ ∂v~r

0

u,

nên

(hp(~r0u), ~r

0

v) = (hp(~r0v), ~r

0

u)

Định nghĩa 4.3.3 Mỗi giá trị riêng hp gọi độ cong p

của mặt S Mỗi véctơ riêng hp xác định phương gọi phương

tại p S Định thức tự đồng cấu hp gọi độ cong Gauss S Một

nửa giá trị vết hp, tức 12trace(hp)được gọi độ cong trung bình p

của S

1 Ánh xạ Weingarten có hai gía trị riêng thực phân biệt Gọi k1 6=k2

hai giá trị riêng Khi hai phương p hồn tồn xác định, vng góc với hai trục đường ellipse (hp(ξ), ~~ ξ)

Hai phương ~e1, ~e2 lập thành sở trực chuẩn Độ cong Gauss

K(p) = k1.k2

Độ cong trung bình

H(p) =

2(k1+k2)

2 Ánh xạ Weingarten có giá trị riêng thực kép, k =k1 =k2 Khi

mọi phương phương Mỗi sở trực chuẩn ~e1, ~e2 sở trực

chuẩn gồm véctơ riêng Độ cong Gauss K(p) =−k(p)2 ≤0 Độ

cong trung bình

H(p) =k(p)

Định nghĩa 4.3.5 Những điểmp gọi điểm rốn mặt S

a Nếu k =k1 =k2 = điểm p gọi điểm dẹt

b Nếu k =k1 =k2 6= điểm p gọi điểm cầu

Nói chung, điểm p S gọi điểm elliptic, hyperbolic, hay parabolic tuỳ thuộc độ cong Gauss âm, dương hay

Nhận xét 4.3.6 Khi đổi định hướng S cách xét −~n thay cho~n ánh xạ Weingarten hp thay −hp Nên độ cong trung bình đổi dấu

cịn độ cong Gauss khơng đổi dấu Do định nghĩa độ cong Gauss có nghĩa cho mặt khơng định hướng

Định nghĩa 4.3.7 Dạng song tuyến tính

Ip :TpS×TpS →R,

(ξ, ~~ η)→(~ξ, ~η)

được gọi dạng I p mặt S dạng song tuyến tính

IIp :TpS×TpS→R,

~

ξ, ~η)→(hp(~ξ), ~η)

Trong tham số hoá địa phương (u, v) ∈ U 7→ r(u, v) ∈ S xét hàm số

E(u, v) := I(~r0u, ~r0u) L(u, v) :=II(~ru0, ~r0u) F(u, v) :=I(~r0u, ~r0v) M(u, v) :=II(~ru0, ~rv0)

G(u, v) :=I(~r0v, ~rv0) N(u, v) :=II(~rv0, ~rv0)

là hệ số ma trận Gram-Schmidt dạng Nếu véctơ tiếp xúc ~ξ,~η có phân tích theo sở ~ru0, ~rv0

~

ξ =ξ1~ru0 +ξ2~rv0, ~η=η1~r0u+η2~r0v,

Ip(~ξ, ~η) = (E◦r−1)ξ1η1+ (F ◦r−1)(ξ1η2+ξ2η1) + (G◦r−1)ξ2η2,

IIp(~ξ, ~η) = (L◦r−1)ξ1η1+ (M◦r−1)(ξ1η2+ξ2η1) + (N ◦r−1)ξ2η2,

Định lí 4.3.8 (Cơng thức tính độ cong Gauss độ cong trung bình) K(p) = LN −M

2

EG−F2 (u, v),

2H(p) = EN +GL−2F M EG−F2 (u, v)

Chứng minh Chúng ta xét sở ~ξ=~ru0, ~η=~r0v Nếu hp(~ξ) = α~ξ+b~η,

hp(~η) =c~ξ+d~η,

thì theo định nghĩa,

K(p) =ad−bc, H(p) =

2(a+d) Do ta thấy

hp(~ξ)×hp(~η) = K(p)ξ~×~η,

hp(~ξ)×~η+ξ~×hp(~η) = 2H(p)ξ~×~η

Lấy tích vơ hướng hai vế hai đẳng thức với ~ξ×~η ý với bốn véctơ tuỳ ý R3,

(~α×β).(~~ γ×δ) =

~

α.~γ α.~~ δ ~

β.~γ β.~~δ

ta có K(p) =

hp(~ξ).~η hp(~ξ).~η

hp(~η).~ξ hp(~η).~η ~ ξ.~ξ ~ξ.~η ~ η.~ξ ~η.~η =

II(~ξ, ~ξ) II(ξ, ~~ η) II(~η) II(~η, ~η)

I(~ξ, ~ξ) I(ξ, ~~ η) I(~η, ~ξ) I(~η, ~η)

, 2H(p) =

hp(~ξ).~η hp(ξ).~~ η

~ η.~ξ ~η.~η ~ ξ.~ξ ξ.~~η ~ η.~ξ ~η.~η −

hp(~η).~ξ hp(~η).~η)

~η.~ξ ~ξ.~η ~ ξ.~ξ ξ.~~η ~ η.~ξ ~η.~η ,

4.4 Đạo hàm Weingarten ký hiệu Christof-fel

Kí hiệu (u1, u2) = (u, v),e1 =∂1 = ∂u∂1,e2 =∂2 =

∂

∂u2 Ta có:

∂iej = P2k=1Γkijek+bijn

∂in = P2k=1ckiek

Mệnh đề 4.4.1

cki =−bki, bk

I := P2

j=1bijˆgjk

Thật vậy, n véctơ pháp tuyến mặt, cho nên||n||= 1,n⊥ei Ta có

bij = (

∂ej

∂ui,n)

Vì

(∂ej

∂ui,n) + (ej,

∂n ∂ui

) = ∂

∂ui(ej,n) =

và

(ej,

∂n ∂ui) =

X

k

ckigkj,

nên

bij =− X

k

Theo qui tắc nâng số,

bki =X

j

bijgˆjk,

với

ˆ

g = (gij)−1 = ˆgij

Cho nên, suy ck

i =−bki

Hệ qủa 4.4.2

∂iej = P2k=1Γkijek+bijn

∂in = −P2k=1bkiek

bij =

L M

M N

là ma trận hệ số ánh xạ Weingarten

Định nghĩa 4.4.3 Các hệ sốΓkij công thức đạo hàm Weingarten gọi ký hiệu Christoffel

Giả sử có phép đổi toạ độ địa phương

˜

u1 = u˜1(u1, u2),

˜

u2 = u˜2(u1, u2),

với ma trận JacobiT =h∂˜∂uuji

i

và ma trận nghịch đảo S =T−1 Các kí hiệu

Christoffel hệ số dạng toàn phương loại II ứng với ánh xạ Weingarten thay đổi

{Γkij, bij} → {Γ˜mpq,˜bpq}

Định lí 4.4.4

(

Γkij = P mS

k m

∂Tm j

∂ui +

P m P p P qS k mT p iT q jΓ˜

m pq,

bij = ± P

p,qT p iT

q j˜bpq

Chứng minh Ta có

∂˜eq

∂u˜p = X

m

˜

Γmpqem+ ˜bpqn

và theo công thức đổi biến,

ej = X

cho nên

∂ej

∂ui = X

q

∂(Tjq˜eq)

∂ui = X

q

∂Tjq ∂ui˜eq+

X

q

Tjq∂˜eq ∂ui

∂ej

∂ui = X

m

Tjm˜em+ X

q X

p

(Tjq∂u˜

p

∂ui)

˜ eq

˜ up =

=X

m

Tjm˜em+ X q X p X m

(TjqTipγpqm)˜em+ X

q X

p

(TjqTip˜bpq)˜n

=X m X k (∂T m j

∂ui S k m)ek+

X q X p X m X k

(TjqTipγ˜pqmSmk)ek+

+X

q X

p

(TjqTip˜bpq)˜n

Định lí 4.4.5

Γkij = Γkji,∀j, k Chứng minh Theo định nghĩa,

ej =

∂r ∂uj =r

0

uj Cho nên,

∂2r

∂ui∂uj = X

k

Γkij +bijn

Vì bij đối xứng theo i, j đạo hàm cấp hai ∂

2r

∂ui∂ujcũng đối xứng theo i, j nên Γk

ij đối xứng theo i, j

4.5 Đạo hàm thuận biến Giả sử Aj1, ,js

i1, ,ir tensơ kiểu (r, s)

Định nghĩa 4.5.1 Đạo hàm thuận biến cuả tensơ A kiểu(r, s)là tensơ kiểu (r+ 1, s) cho công thức

∇iAji11, ,i, ,jrs :=

∂Aj1, ,js

i1, ,ir ∂ui +

s X

m=1 X

vm Γim

ivmA

j1, ,vm, ,js

i1, ,ir −

− r X n=1 X wn Γwn

iinA

j1, ,js

Ví dụ

∇iXk=

∂Xk

∂ui + X

v

ΓkivXv

2

∇iAl =

∂Al

∂ui − X

w

ΓwilAw

Định lí 4.5.2 Tensơ metric hiệp biến theo nghĩa

∇kgij =

∂gij

∂uk − X

q

Γqkigqj− X

q

Γqkjgiq ≡0

Chứng minh Xuất phát từ công thức đạo hàm Weingarten ∂ei

∂uk = X

q

Γqkieq+bkin,

ta có:

(∂ei

∂uk,ej) = X

q

Γqkigqj

và

(ei,

∂ej

∂uk) = X

q

Γqkjgiq

Mặt khác,

(∂ei

∂uk,ej) + (ei,

∂ej

∂uk) =

∂

∂uk(ei,ej) =

∂gij

∂uk

Suy ra,

∂gij

∂uk = (

∂ei

∂uk,ej) + (ei,

∂ej

∂uk) = X

q

Γqkigqj + X

q

Γqkjgiq

Định nghĩa 4.5.3 Giả sử X ={Xk} là trường vectơ, A là tensơ

kiểu (r, s) Khi đó, đạo hàm thuận B = ∇XA theo trường véctơ X

tensơ kiểu (r, s) cho công thức

Bj1, ,js

i1, ,ir :=

X

k

Định lí 4.5.4 Đạo hàm thuận biến theo trường véctơ có tính chất sau:

1 Tuyến tính: ∇X(A+B) = ∇XA+∇XB

2 Tuyến tính: ∇X+YA =∇XA+∇YB

3 Thuần nhất: ∇f XA=f∇XA

4 Quy tắc Leibniz:

∇X(A⊗B) = ∇XA⊗B+A⊗ ∇XB

5 ∇XC(A) = C(∇XA), C(A)

Định nghĩa 4.5.5 Độ xoắn định nghĩa

T(X, Y) :=∇XY − ∇YX−[X, Y]

4.6 Độ cong Riemann Chúng ta dễ dàng tính

∇i∇jXk =

∂∇jXk

∂ui + X

+qΓkiq∇jXq− X

q

Γqij∇qXk

∇j∇iXk =

∂∇iXk

∂uj + X

+qΓkjq∇iXq− X

q

Γqji∇qXk

Từ ta có,

Yijk =∇i∇jXk− ∇j∇iXk = X

r

(∂Γ

k jr

∂ui −

∂Γk ir

∂uj − X

q

(ΓkiqΓqjr−ΓkjqΓqir))Xr

Định nghĩa 4.6.1 Tensơ kiểu (3,1) Rkrij := ∂Γ

k jr

∂ui −

∂Γkir ∂uj −

X

q

(ΓkiqΓqjr−ΓkjqΓqir)

được gọi tensơ độ cong Riemman

Mệnh đề 4.6.2

(∇i∇j− ∇j∇i)Xk =− X

r

RrkijXr

(∇i∇j − ∇j∇i)Xij11, ,i, ,jrs =

X

m X

vm Rim

vmijX

j1, ,vm, ,js

i1, ,ir −

−X

n X

wn Rwn

inijX

j1, ,js

i1, ,wn, ,ir Giả sử có phép đổi toạ độ địa phương

˜

u1 = u˜1(u1, u2),

˜

u2 = u˜2(u1, u2),

với ma trận Jacobi T =

h ∂˜ui

∂uj

i

và ma trận nghịch đảo làS =T−1 Các thành phần tensơ độ cong Riemman thay đổi

{Rkrij} → {R˜nmpq}

Định lí 4.6.3 Các thành phần Rk

rij biến đổi theo qui tắc tensơ kiểu (3,1)

Rkrij =X

n X m X p X q

SnkTrmTipTjqR˜nmpq

Định lí 4.6.4 Tensơ độ cong Riemann có tính chất sau: Tính phản xứng theo cặp biến cuối: Rkrji =−Rkrij,∀i, j, k, r Tính phản xứng theo cặp biến đầu: Rqrij =−Rrqij,

trong Rqrij =PkgqkRkrij

3 Tính đối xứng hai cặp biến: Rqrij =Rijqr

4 Rk

rij+Rkijr+Rkjri =

5 Hệ thức Bianchi: ∇kRqrij+∇iRqrjk+∇jRqrki =

Mệnh đề 4.6.5

Rijkr= R 2(δ

k iδ

r j −δ

k jδ

r i),

Rkrij = R 2(δ

k

igrj −δikgri),

trong

Định nghĩa 4.6.6 Tensơ Rij := R2gij gọi tensơ Ricci

Nhận xét 4.6.7 Rkr

ij = k =r i=j Hơn

R1212=R2121 =−R1221=−R1221, R =R1212+R2121= 2R1212

4.7 Các định lí lí thuyết mặt dìm Giả sử S mặt hai chiều, định hướng trường véctơ pháp tuyến~n Giả sử ~u1, ~u2 trường mục tiêu tiếp xúc, trực chuẩn tập mở

V S

Gọi θ1 và θ2 là trường mục tiêu đối ngẫu với trường mục tiêu u

1, u2, tức

là điểm V,

θi(~uj) =δij,(i, j = 1,2)

Nếu ta kí hiệu ~n|V = ~u3, {~u1, ~u2, ~u3} trường mục tiêu trực

chuẩn R3 dọc theo V, tương thích với ~n Dùng phân hoạch đơn vị cho

mặt S suy điểm pcủaV có lân cận mởW trongR3 và một

trường mục tiêu trực chuẩn {~u˜1,~u˜2,~u˜3} để thu hẹp lên V ∩W ta

{~u1, ~u2, ~u3} thu hẹp lên V ∩W

Gọi {θ1, θ2, θ3} trường mục tiêu đối ngẫu với {~u˜1,~˜u2,~˜u3},

θi(˜~uj) =δij(i, j = 1,2,3)

Định nghĩa 4.7.1 Các dạng (ωkl)(k, l = 1,2,3)cho điều kiện D~u˜k =

3 X

l=1

ωkl˜~ul(k = 1,2,3)

gọi dạng liên kết S V

Nhận xét 4.7.2 Các dạng liên kết có tính chất phản xứng ωij =−ωji

Vậy nên thực chất, có ba dạng vi phân ω21, ω13, ω32 thoả mãn phương trình xác định chúng

Dξ~u2 =ω12~u1(p) +ω23~n(p),

Dξ~u3 =ω13~u1(p) +ω32~n(p),

ωkl =−ωlk(k, l= 1,2,3)

Nhận xét phương trình cấu trúc củaR3 trường trực chuẩn

{~u˜1,~u˜2,~u˜3} W

dθk=−Xωlkθk, dωkl =−X

m

ωml ∧ωkm với k, l, m= 1,2,3 Để ý

dθ3|V =d~n|V = 0,

chúng ta suy phương trình lý thuyết mặt dìm R3.

Định nghĩa 4.7.3 Phương trình dθ‘ = −ω12 ∧θ2 gọi phương trình cấu trúc

2 Phương trình

dθ2 =−ω12∧θ1, ω31∧θ1+ω32∧θ2 = gọi phương trình đối xứng

3 Phương trình

dω21 =−ω13∧ω23 gọi phương trình Gauss

4 Phương trình

dω31 =−ω21∧ω32, dω23 =−ω21∧ω31 gọi phương trình Peterson-Kodazi

Hệ qủa 4.7.4 Do hp(ξ) =~ −Dξ~n, ta suy

hp(~ξ) = ω31(ξ)~~u1(p) +ω32(ξ)~~ u2(p)

Hơn nữa, có phương trình

dω12 =Kθ1∧θ2

Chứng minh Thật vậy, có

h(~u1) =ω13(~u1)~u1+ω23(~u1)~u2,

h(~u2) =ω13(~u2)~u1+ω23(~u2)~u2

Cho nên suy

K = det(hp) =ω13(~u1)ω32(~u2)−ω(~u2)ω23(~u1)

Phương trình Gauss

dω21 =−ω13∧ω23 tương đương với

dω21(~u1, ~u2) = (ω31∧ω

2)(~u1, ~u2)

Từ suy phương trình

dω12 =Kθ1∧θ2

Chúng ta nghiên cứu hai ứng dụng hình học phương trình Các kết qủa ứng dụng đẹp đẽ, nhiên khuôn khổ chương trình, bỏ qua chứng minh hai định lí sau

Định lí 4.7.5 Mặt liên thơng trongR3 mà điểm điểm rốn có độ cong Gauss (không âm)

Chương 5

Đường cong mặt cong 5.1 Đường cong mặt

Chúng xét mảnh mặt tham số hoá r(u1, u2) :D2 ∼=R2 →S

với tọa độ địa phương (u1, u2) ∈ D2. Một đường cong mặt S được

cho

x(t) = (x1(u1(t), u2(t)), x2(u1(t), u2(t)), x3(u1(t), u2(t)))

Chúng ta có véctơ tiếp xúc x(t) =˙ ∂u∂xiu˙i(t), với độ dài cho

||x(t)˙ ||=

s X

i,j

giju˙iu˙j

Do tích phân độ dài có dạng sau

Mệnh đề 5.1.1 Độ dài cung mặt tham số hố cho cơng thức s=

Z t

0

||x(τ)˙ ||dτ =

Z t

0 s

X

i,j

giju˙iu˙j

Tức

ds2 =X

ij

giju˙i(t) ˙uj(t)

5.2 Độ cong pháp dạng độ cong trắc địa của đường cong mặt

Nhận xét t =s tham số hố tự nhiên theo cung mặt cong

s X

i,j

giju˙iu˙j ≡1

Trong trường hợp t=slà tham số hoá tự nhiên theo độ dài cung, theo cơng thức Frénet ta có

τ0 =k.ncurv = X

k

ă ukek+

X

j

˙ ui∂ei

∂uju˙ j.

Theo cơng thức đạo hàm Weingarten ta có ∂ei

∂ui = X

k

Γkijek+bijn

Cho nên

0 =kncurv = X

(ăuk+X

ij

ijkuiuj)ek+ ( X

ij

biju˙iu˙j)n

Định nghĩa 5.2.1 Trong tham số hoá tự nhiên (t =s) knorm =

X

ij

biju˙iu˙j

được gọi độ cong pháp dạng kg :=||

X

k

(ăuk+X

i,j

kijuiuj)ek||

c gi độ cong trắc địa Nếu kg 6= 0, ta gọi véctơ đơn vịninner để

kgninner = X

k

(ăuk+X

i,j

kijuiuj)ek

l vộct pháp tuyến

Hệ qủa 5.2.2

k2 =kg2+knorm2

Mệnh đề 5.2.3 Trong tham số hố knorm( ˙u) =

P i,jbiju˙

iu˙j P

i,jgiju˙iu˙j

= II( ˙u,u)˙ I( ˙u,u)˙

Chứng minh Suy trực tiếp từ công thức tính đạo hàm hàm hợp Mệnh đề 5.2.4 Giả sử k1, k2 độ cong với phương

tương ứng e1,e2 Khi ta có

knorm(ei) = ki

Chứng minh Thật vậy,

knorm(ei) =

II(ei)

I(ei)

= kiI(ei) I(ei)

Định nghĩa 5.2.5 Với véctơ tiếp xúc ξ~∈TpS\ {0}, đại lượng k(˜ ~ξ) := II(ξ)

I(~ξ) không đổi ta nhân

~

ξ với số khác 0, gọi độ cong pháp dạng S theo phương xác định ξ Công thức Meusnier[Mơniê] :~

(k(s0)N~(s0), ~n(ρ(s0))) = ˜k(~ρ0(s0)))

Ví dụ: Với phương chính, ta có k˜=k

Hệ qủa 5.2.6 Mọi cung song quy γ nằm mặt S, có tiếp tuyến (tức véctơ tiếp xúc chúng tỉ lệ với nhau) s∈S có mặt mật tiếp (giả sử khác với mặt phẳng tiếp xúc TpS)

có độ cong p

5.3 Phương độ cong Gauss Với véctơ riêng ~e hp, hp(~e) = ˜k~e, ta có

˜

k(~e) = II(~e) I(~e) =

˜ k~e.~e

~

e.~e = ˜k(s)

Chọn sở trực chuẩn {~e1, ~e2} TpS gồm véctơ riêng hp Ta

có định nghĩa sau Định nghĩa 5.3.1

˜

k(~e1) = ˜k1, ˜k(~e2) = ˜k2

được gọi độ cong S p

Mệnh đề 5.3.2 (Công thức Euler) Nếu~ξ= cosϕ~e1+ sinϕ~e2 độ cong

pháp dạng theo phương ξ

k(~ξ) = ˜k1cos2ϕ+ ˜k2sin2ϕ

Chứng minh ˜

k(~ξ) = II(~ξ) =hp(~ξ).~ξ

=hp(cosϕ~e1+ sinϕ~e2).(cosϕ~e1 + sinϕ~e2)

= (˜k1cosϕ~e1+ ˜k2sinϕ~e2).(cosϕ~e1+ sinϕ~e2)

Hệ qủa 5.3.3 Các độ cong ˜k1, ˜k2 cực trị độ cong

pháp dạng k(˜ ~ξ) ξ~thay đổi TpS\ {0}

2 Nếu độ cong k˜1,˜k2 có dấu độ cong pháp dạng k(˜ ~ξ)

cũng có dấu Nếu độ cong khác dấu ln tồn phương ξ~∈TpS\ {0} để k(˜ ~ξ) =

5.4 Một số tính chất đặc trưng đường trên mặt cong

Định nghĩa 5.4.1 Véctơ tiếp xúc a ∈ TPS gọi phương tiệm cận,

nếu

II(a,a) =X

i,j

bijaiaj =

Hệ qủa 5.4.2 Nếu điểm P ∈S, K(P)≤0 tồn phương tiệm cận P, K(P)>0 khơng có phương tiệm cận P Nếu mặt S có độ cong Gauss K(p)<0 nơi điểm tồn phương tiệm cận

Định nghĩa 5.4.3 Các đường độ cong(curvature line) đường mà điểm vectơ tiếp xúc hai phương Đường trắc địa(geodesic line) đường mà điểm nó, kg =

Hệ qủa 5.4.4 Dọc theo đường trắc địa, ta có dτ

ds =knormn Phương trình ng trc a l

ă

uk+X

i,j

Γkiju˙iu˙j =

Định lí 5.4.5 u(t) đường trắc địa nối điểm A B, ứng với tham số t1 t2,

Z t2

t1

s X

i,j

giju˙i(τ) ˙uj(τ)dτ →min

Chứng minh Theo nguyên lý Fermat-Hugen

Z t2

t1

s X

i,j

giju˙i(τ) ˙uj(τ)dτ →min

và

Z t2

t1

X

i,j

giju˙i(τ) ˙uj(τ)dτ →min

thì đạo hàm biến phân triệt tiêu δ

Z t2

t1

X

i,j

giju˙i(τ) ˙uj(τ)dτ =

Đạo hàm biến phân tích phân đổi chỗ cho nhau,

Z t2

t1

X

i,j

δ(giju˙i(τ) ˙uj(τ))dτ =

5.5 Định lí Gauss -Bonnet

Trước hết nhắc lại đơi điều tích phân đường tích phân mặt giải tích

Tích phân đường loại I hàm f(x, y, z)dọc theo đường cong tham số hoá γ cho tham số hoá r(t) định nghĩa tích phân Riemman

Z

γ

f(r(t))dt =

Z t2

t1

f(r(t))dt

Ví dụ tích phân độ dài đường cong tích phân đường loại I

Tích phân đường loại II Rγω = Hγω biểu thức vi phân, gọi 1-dạng vi phân,

ω(x) =ω1(x)dx1 +ω2(x)dx2+ω3(x)dx3

=P(x)dx1+Q(x)dx2+R(x)dx3,

với P, Q, R hàm số trơn theo biến x = (x1, x2, x3) là tích phân

Riemman

Z t2

t1

(P(x) cosα(t) +Q(x) cosβ(t) +R(x) cosγ(t))dt,

trong α(t),β(t), γ(t) góc giữadr(t) với ba trục toạ độ e1,

e2,e3

Tích phân mặt loại I RRΣf(x(u1, u2))dS của hàm f(x, y, z) dọc theo

mặt cong tham số hoá Σ cho tham số hoá r(u1, u2),(u1, u2) ∈ D được

định nghĩa tích phân Riemman

Z Z

D

f(r(u2, u2))dS =

Z Z

D

f(r(u2, u2))du1du2

Ví dụ tích phân diện tích mặt cong

Z Z

D

||ru01 ×r

0

u2||du1du2

là tích phân mặt loại I

Tích phân mặt loại II R Σω =

H

Σω biểu thức vi phân bậc 2,

còn gọi 2-dạng vi phân,

:=P(x)dx2dx3+Q(x)dx3dx1+R(x)dx1dx2,

với P, Q, R hàm số trơn theo biến x = (x1, x2, x3) là tích phân

Riemman

Z Z

D

(P(x)n1(u1, u2) +Q(x)n2(u1, u2) +R(x)n3(u1, u2))du1du2,

trong n(u1, u2) = (n1(u1, u2), n2(u1, u2), n3(u1, u2)) ba thành phần véctơ pháp tuyến với mặt định hướng thuận Σ

Giả sửϕ:U ⊆R2 →R3 là tham số hoá địa phương mặtM Giả

sử ∆A0B0C0 tam giác U Ảnh tam giác qua ánh xạ ϕ

là tam giác cong, kí hiệu là(ABC)với đỉnh A=ϕ(A0),B =ϕ(B0),

C =r(C0)và cạnh (cong) tương ứng a=ϕ([B0, C0]), b=ϕ([A0, C0]),

c=ϕ([A0, B0]) Chúng ta kí hiệu

ˇ

A:=~bd0, ~c0 := (~b

0, ~c0)

||~b0||.||~c0||

độ lớn đo radian góc ngồi đỉnh A mặt tiếp xúc TAM

tương tự cho Bˇ, C Chúng ta kí hiệuˇ K độ cong Gauss M µ phần tử diện tích tắc (với hướng chọn) mặt M, kg độ cong

trắc địa cung tương ứng Ta kí hiệu

Z

∂(ABC)

kgds := Z

a

kgds+ Z

b

kgds+ Z

c

kgds

Định lí 5.5.1 (Cơng thức Gauss-Bonnet)

Z

(ABC)

Kµ+

Z

∂(ABC)

kgds = 2π−( ˇA+ ˇB+ ˇC)

Chứng minh Chúng ta chọn trường mục tiêu trực chuẩn định hướng thuận e1,e2 trênV =ϕ(U)và gọiω21 dạng liên thông củaM trường

mục tiêu Nếu ρ : I = [0,1] → V cung định hướng, ||ρ0|| = ta viết ρ0(a) = cosϕ(s)e1(ρ(s)) + sinϕ(s)e2(ρ(s))

kg =|| X

ωkl(e1)ek||=ω21e1

Khi độ cong pháp dạng knorm = 0,

ρ0(s) = ∂ρ(s)

∂s =Dρ0(s)e1 =ω

1 2(ρ

0

và ta có

R

Ikgds = Rs1

s0 kg(s)ds

=ϕ(s1)−ϕ(s0)− Rs1

s0 ω

1 2(ρ

0(s))ds

=ϕ(s1)−ϕ(s0)− R

ρω 2,

trong ϕ(s0) = e1(ρ(s\0)), ρ0(s0)) độ lớn góc định hướng tạo

e1(ρ(s0))và ρ0(s0) Vậy nên ta có Z

a

kgds=e1(C), a\0(C)−e1(B\), a0(B)− Z

a

ω21 Tương tự, ta có cơng thức choR

bkgds, R

ckgds Cuối ta có R

∂(ABC)kgds =e1(A), b\

0(A)−e \

1(A), c0(A))

+e1(B), c\0(B)−e1(B), a\0(B))

+e1(C), a\0(A)−e1(A), b\0(A))

−(R aω + R bω + R cω 2)

=−Aˇ−Bˇ−Cˇ+ 2πl−R

(ABC)Kµ

Theo cơng thức Stokes, ta có

Z

a

ω12+

Z

b

ω21+

Z

c

ω12 =

Z

(ABC)

dω21 =

Z

(ABC)

Kµ

Bây ta cần bội số l = Thật vậy, có cơng thức

Z

(ABC)

Kµ+

Z

∂(ABC)

kgds+ ( ˇA+ ˇB + ˇC) = 2πl

Kí hiệu h., i0 cấu trúc Riemann V = r(U) đẳng cấu đẳng cự với

U ⊆R2 Khi với mỗit∈[0,1], công thứch., i

t:= (1−t)h., i0+th., ixác

định cấu trúc Riemann V công thức ta có dạng

Z

(ABC)

Kµ+

Z

∂(ABC)

kgds+ ( ˇA+ ˇB+ ˇC) = 2lπ

đúng với t∈[0,1]Hai tích phân vế trái phụ thuộc liên tục vào t Suy l phụ thuộc liên tục vào t Nhưng l ∈Z, nên l không phụ thuộc vào t Khi t = 0ta có K = 0, kg = 0, Aˇ+ ˇB + ˇC = 2π, theo hình học Euclid

Nhận xét 5.5.2 Chúng ta kí hiệu góc tam giác ˆ

A = π−A,ˇ Bˆ = π −B,ˇ Cˆ = π−C Công thức Gauss -Bonnet trởˇ thành

Z

(ABC)

Kµ+

Z

∂(ABC)

kgds = ˆA+ ˆB+ ˆC−π

2 Nếua, b, clà cung trắc địa cơng thức Gauss-Bonnet trở thành

Z

(ABC)

Kµ= ˆA+ ˆB + ˆC−π

Vậy tổng góc tam giác với cạnh đường cong trắc địa lớn π độ cong Gauss K > 0, bé π K <0 π độ cong Gauss K ≡0

3 Độ cong trắc địa kg, dọc theo cung định hướng mặt hai chiều

định hướng đổi dấu đổi định hướng cung tích phân

R

γkgds thực tích phân đường loại II, tức tích phân dạng vi

phân Kgds dọc theo đường cong định hướng γ

Định lí 5.5.3 (Đặc trưng Euler) Giả sửM mặt định hướng, com-pắc chia lưới điểm thành tam giác cong (được gọi tam giác phân hố) Kí hiệu β1, β2, β3 số đỉnh, số cạnh số

mặt tam giác tam giác phân hóa đó,

Eul(M) :=X

i

(−1)iβi

Khi

1 2π

Z

M

Kµ=Eul(M) = β0−β1+β2

Chứng minh Kí hiệuσ tam giác cong tam giác phân hóa Theo cơng thức Gauss-Bonnet cho tam giác ta có

Z

M

Kµ=X

σ Z

∂σ

kgds+ X

σ

(∆(σ)−π),

trong ∆(σ) tổng góc tam giác cong σ Vì cạnh tam giác phân cạnh hai tam giác cong kề tam giác phân hóa hướng với cạnh coi thuộc tam giác ngược hướng với cạnh coi thuộc tam giác Cho nên

X

σ Z

∂σ

Tổng góc tam giác cong đỉnh 2π, nên

X

σ

(∆(σ)−π) = β02π−β2π

Vậy nên ta có

Z

M

Kµ=π(2β0−β2)

Mỗi cạnh tam giác phân hóa thuộc hai tam giác cong, mà tam giác cong có ba cạnh 2β1 = 3β2 Từ suy

Z

M

Kµ=π(2β0−β2) =π(2β0 −2β1+ 2β2) = 2π(Eul(M))

Nhận xét đặc trưng Euler tổng qt tơpơ học

χ(M) =Eul(M)

5.6 Bài tập củng cố lý thuyết

1 Tìm cung quy trongR3 xác định tham số hố t7→ρ(t), biết phương trình tiếp tuyến điểm t toạ độ khơng gian tiếp xúc cho hệ phương trình

a1(t)X+b1((t)Y +c1(t)Z+d1(t) =

a2(t)X+b2((t)Y +c2(t)Z+d2(t) =

Gợi ý: Dùng định lí tồn nghiệm phương trình vi phân

2 Tính độ dài cung đoạn t∈[t0, t1]:

a Trong toạ độ Đề Các x(t) =t, y(t) =tn, z(t) = c0(= const)

b Trong toạ độ trụ (r, ϕ, z),

r=px(t)2+y(t)2, ϕ= d

~ ρ, ~e1

c Trong toạ độ cầu (r, ϕ, θ):

r =px(t)2+y(t)2+z(t)2,

ϕ=(x(t), y(t), ~\ e1),

3 Cho cung đinh ốc trònΓ xác định

t 7→ρ(t) = (acos(t), asin(t), bt),(a >0)

trong R3

a Hãy viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt phẳng mật tiếp, mặt pháp diện, mặt trực đạc điểm

b Chứng minh tiếp tuyến nghiêng góc khơng đổi so với mặt phẳng nằm ngang Oxy, cịn pháp tuyến ln ln cắt trục Oz

4 Tính độ cong Gauss độ cong trung bình của: a Mặt đinh ốc dựng đứng

b Mặt paraboloid c Mặt tiếp xúc

5 Cho mặtS R3 xác định phương trình

x2+y4+z6−1 =

Chương 6

Định lý ánh xạ ngược Định lý ánh xạ ẩn

Hình học vi phân cần đến phép tốn vi phân tích phân tổng qt Cho nên việc nghiên cứu việc hệ thống hố phép tính vi phân Rn Trong chương tiếp cận khái niệm đa tạp

khả vi từ khía cạnh giải tích, xem chúng tập nghiệm hệ phương trình hàm khơng gian Rn Sau tư tưởng "bó hố" dẫn dắt đến nghiên cứu đa tạp tổng quát

6.1 Định nghĩa đạo ánh tính chất cơ bản

Chúng ta kí hiệu R tập tất số thực, Rn tích Descartes n phiên tập số thực

Rn :={(x1, , xn)|xi ∈R,∀i= 1, n}

Nói cách khác, phần tử củaRnlà bộnsố thựcx= (x1, , xn), xi ∈

R Chúng ta kí hiệu theo truyền thống kí hiệu tensơ hình học viết số Để cho gọn, ta kí hiệu phần tử đơn giản x, y, gọi chúng véctơ Đôi để nhấn mạnh chúng véctơ, ta kí hiệu thêm dấu mũi tên phía đầu ~x, ~y, viết chữ đậm: x,y,

Xét tập mathbf Rn với phép toán véctơ sau: Nếu x =

(x1, , xn), y= (y1, , yn) véctơ thuộc Rn λ∈Rn,

• Tổng véctơ x y véctơ x+y:

x+y := (x1+y1, , xn+yn),

• Tích véctơ với vô hướng λ véctơ λx: λx := (λx1, , λxn)

Mệnh đề 6.1.1 Cùng với phép tốn trên, Rn là khơng gian véctơ.

Chứng minh Hiển nhiên véctơ 0:= (0, ,0) véctơ trung hoà cho phép cộng Phần tử đối véctơxlà véctơ−x= (−x1, ,−xn) Để chứng

minh mệnh đề, cần kiểm tra tiên đề cấu trúc khơng gian véctơ, bao gồm:

• Luật kết hợp theo phép cộng:

(x+y) +z =x+ (y+z),∀x, y, z ∈Rn

• Sự tồn phần tử trung hồ

• Sự tồn phần tử đối:

∃ −x;x+ (−x) = (−x) +x=

• Luật giao hoán phép cộng

x+y=y+x,∀x, y ∈Rn

• Luật phân phối phép cộng phép nhân:

(λ+µ)x=λx+µx,∀λ, µ∈R, x∈Rn λ(x+y) =λx+λy,∀λ∈R, x, y ∈Rn

ã Lut kt hp ca phộp nhõn

(à)x=(àx),, µ∈R, x∈Rn

• Tính chuẩn hố:

1.x=x,∀x∈Rn

Chúng dành cho bạn đọc kiểm tra chi tiết tính chất Xét véctơ đặc biệt:

e1 = (1,0, ,0),

ei = (0, ,1,0, ,0),

(số đứng vị trí thứ i) en = (0, ,0,1)

Nhận xét véctơ e1, ,en độc lập tuyến tính chúng lập thành

một sở Rn Mỗi véctơ bất kì x = (x1, , xn) đựợc phân tích duy

nhất thành tổ hợp tuyến tính véctơ sở x=xiei =

n X

i=1

xiei

Chú ý công thức trên, theo truyền thống hình học, viết số số chữ có nghĩa lấy tổng theo số Nhưng đơi đỡ nhầm lẫn, người ta viết dấu tổng, thấy cần thiết nhấn mạnh

Chúng ta định nghĩa tích vô hướng hai véctơ x = (x1, , xn) và

y= (y1, , yn) theo công thức

(x,y) =x.y:=

n X

i=1

xiyi

Mệnh đề 6.1.2 Cùng với tích vơ hướng tự nhiên trên, Rn trở thành không

gian Euclid

Chứng minh Chúng ta cần kiểm tra tích vơ hướng nói có tớnh cht:

ã Tuyn tớnh:

(x+ày, z) = (x, z) +à(y, z),, àR, x, y, zRn

ã Đối xứng:

(x, y) = (y, x),∀x, y ∈Rn

• Xác định dương:

(x, x)≥0,∀x∈Rn, (x, x) = ⇐⇒x=

Chúng dành việc kiểm tra chi tiết tính chất cho đọc giả Nhận xét sở e1, ,en nói sở trực chuẩn, tức

(ei,ej) = δij,

Mệnh đề 6.1.3 Mọi không gian Euclidn-chiều đẳng cấu với không gian Rn.

Chứng minh Giả sử En không gian Euclid n chiều tuỳ ý, tức khơng gian véctơ với tích vơ hướng trừu tượng

x,y∈En7→ hx,yi ∈R Chọn sở trực chuẩn ˜e1, ,˜en, với

h˜ei,e˜ji=δij

Phép tương ứng ˜ei 7→ ei, i = 1, n xác định đẳng cấu đẳng cự

(En,h., i) (Rn,(., )) Như việc nghiên cứu khơng gian Euclidnchiều với sai khác đẳng cấu hồn tồn tương đương với việc nghiên cứu không gian cụ thể Rn

Trong không gian Rn ta đưa vào metric đo khoảng cách điểm sau: Khoảng cách hai véctơ xvà y đo đại lượng

d(x,y) =kx−yk:=p(x−y,x−y) Mệnh đề 6.1.4 Rn là không gian định chuẩn.

Chứng minh Chúng ta kiểm tra ánh xạ x 7→ ||x|| thoả mãn tất tính chất khơng gian định chuẩn:

• Xác định dương

||x|| ≥0,∀x∈Rn,

||x||= x=0

• Thuần dương:

||λx||=|λ|||x||,∀λ∈R,∀x∈Rn

• Bất đẳng thức tam giác:

||x+y|| ≤ ||x||+||y||,∀x,y∈Rn

Định nghĩa 6.1.5 Mặt cầu S(a, r) tâm a ∈ Rn bán kính r ≥ 0 là tập các

véctơ x∈Rn thoả mãn

||x−a||2 = (x−a,x−a) =

n X

i=1

(xi−ai)2 =r2

Hình cầu đóng B(a, r) tâm a∈ Rn bán kính r ≥ tập véctơ x∈ Rn thoả mãn

||x−a||2 = (x−a,x−a) = n X

i=1

(xi−ai)2 ≤r2

Hình cầu mở B(a, r) tâm a ∈ Rn bán kính r ≥ 0 là tập véctơ x ∈ Rn

thoả mãn

||x−a||2 = (x−a,x−a) = n X

i=1

(xi−ai)2 < r2

Hình hộp đóng P(a1;b1, , an;bn) là tập véctơ x= (x1, , xn) mà các

thành phần xi chúng thoả mãn bất đẳng thức

ai ≤xi ≤bi,∀i= 1, n

Hình hộp mở P(a1;b1, , an;bn) là tập véctơ x = (x1, , xn) mà các

thành phần xi chúng thoả mãn bất đẳng thức

ai < xi < bi,∀i= 1, n

Hình hộp đóng-mở P(a1;b1, , an;bn) là tập véctơ x= (x1, , xn) mà

các thành phần xi chúng thoả mãn số bất đẳng thức đẳng thức

ai ≤xi ≤bi,∀i= 1, n, có số định dấu xảy

Mệnh đề 6.1.6 Các hình cầu đóng (tương ứng, mở) lập thành sở tập đóng (tương ứng, mở) tơpơ Rn

2 Các hình hộp đóng (tương ứng, mở) lập thành sở tập đóng (tương ứng, mở) tơpơ Rn

3 Tôpô hai khẳng định đồng phôi với tôpô chuẩn Rn

• ∅,Rn ∈ X.

• Trong giao hai hình cầu (hay hình hộp) mở có chứa cầu (tương ứng, hộp) mở Tương tự với cầu hay hộp đóng Để chứng minh tơpơ tương ứng với cầu hay hộp tương đương nhau, cần cầu mở có chứa hộp mở ngược lại Chúng dành phần kiểm tra chi tiết cho người đọc

Từ ta có hệ tự nhiên

Hệ qủa 6.1.7 Ánh xạ f = (f1, , fm) : Rn → Rm là liên tục chỉ

khi thành phần fi =fi(x1, , xn) là hàm liên tục

Chứng minh.Tất dễ dàng suy từ nhận xét ||xk−x|| →0khi

chỉ pPni=1(xi

k−xi)2 →0

Phép biến đổi (đồng phôi) biến hình hình học tương đương vào gọi phép biến hình Tập phép biến hình với phép hợp ánh xạ lập thành nhóm, gọi nhóm biến đổi Nếu phép biến hình đẳng cự coi chúng tương đương (đồng với nhau)

Tôpô đại cương nghiên cứu hình hình học sai khác đồng phơi (đẳng cự) Bài tốn nghiên cứu truyền thống hình học phân loại hình hình học nghiên cứu tính chất nội hình hình học 6.2 Đạo hàm riêng vi phân

Chúng ta xác định đối tượng hình học Euclid Rn và vật thể

hình học nó, cấu tạo từ mảnh cầu, hay mảnh phẳng Nghiên cứu đối tượng hiểu theo nghĩa thơng thường tìm vị trí tương đối khơng gian tìm đặc trưng số chúng khối lượng, thể tích, Bài tốn trở nên phức tạp nhiều hình khơng ghép từ mảnh cầu hay mảnh phẳng Để giải nhiều tốn tương tự có tốn vị trí tương đối, tiếp xúc, tiếp điểm, cần tới công cụ cơng cụ thơng thường nói Đó lí cần đưa phép tính vi phân tích phân vào hình học

Định nghĩa 6.2.1 Cho y =f(x), f :Rn →Rm Chúng ta nói ánh xạ

f khả vi điểm x0 ∈Rn, tồn ánh xạ tuyến tính

sao cho

||y−y0−λ(x0)(x−x0)||=o(||x−x0||),

với y0 = f(x0), với x lân cận đủ bé x0 Ánh xạ tuyến tính

λ(x0), tồn tại, gọi đạo ánh ánh xạ f điểm x0

kí hiệu kí hiệu quen biết f0(x0), f∗(x0), Df(x0), Df(x0)

Dx , Dy/Dx|x0

Nếu cố định tất biến trừ biến xi, có hàm biến, giá trị véctơ

f(x10, , xi, , xn0) :R→Rn,

theo biến xi Đạo ánh ánh xạ gọi là đạo hàm riêng của ánh xạ theo

biến xi và kí hiệu là

∂f(x0)

∂xi =

Df(x0)

Dxi =Dif(x0) =f

0

i(x0)

Giả sử `(x0) đường thẳng dạng x0 +tξ(x0) qua điểm x0 Khi

đó ta có ánh xạ biến

f◦`=f(`(x0+tξ(x0))) : R→Rn

Định nghĩa 6.2.2 Đạo ánh Df◦`(x0+tξ(x0))

Dt gọi đạo hàm (đạo ánh) f

theo hướng ξ điểm x0 kí hiệu (ξf)(x0)

Chúng ta có cơng thức liên hệ với đạo hàm riêng (ξf)(x) =

n X

i=1

∂f(x) ∂xi ξ

i(x).

Nhận xét 6.2.3 Đạo ánh Df(x)Dx , tồn tại,

Thật vậy, giả sử λ1(x) λ2(x) hai đạo ánh ánh xạ f

cùng điểm x Khi đó,

||λ1(x)h−λ2(x)h|| ≤ ||λ1(x)h−f(x+h) +f(x)||+

+||f(x+h)−f(x)−λ2(x)h||= 2o(||h||),∀h∈Rn

Bởi nên λ1(x)≡λ2(x),∀x

2 Nếu f : Rn → Rm là ánh xạ tuyến tính thì Df(x) = f(x),∀x ∈

Rn.

3 Ánh xạ f :Rn →Rm là khả vi tại a∈Rn khi hàm thành

phần fi :Rn→R khả vi a ta có

Df(a) =





Df1(a) Dfm(a)





Nói cách khác Df(a) ma trận mà hàng thứ i có thành phần đạo hàm riêng thứ j thành phần fi Ma trận

đó cịn gọi ma trận Jacobi cuả ánh xạ điểm a kí hiệu J acx(f)(a) =

Df(a) Dx

Chứng minh Những tính chất kể giống tính chất quen biết hàm số biến Để chứng minh tính chất cần phân tích ánh xạ f theo hàm thành phần

f =

n X

i=1

fiei

Chúng dành cho bạn đọc kết thúc chứng minh chi tiết Định lí 6.2.5 Nếu f : Rn→ Rm là ánh xạ khả vi tại a ∈Rn và g :Rm →

Rp là ánh xạ khả vi tại f(a), hàm hợp g◦f :Rn →Rp là ánh xạ khả vi

tại a ta có

D(g◦f)(a) =Dg(f(a))Df(a) Chứng minh Chúng ta có công thức

g(f(x))−g(f(a))−Dg(f(a))Df(a)(x−a) =

=g(f(x))−g(f(a))−Dg(f(a))(f(x)−f(a) +o(||x−a||)) = =o(||f(x)−f(a)||) +Dg(f(a))(o(||x−a||))

Cả hai số hạng o-nhỏ đại lượng ||x = a|| nên tổng

đại lượng vô bé o(||x−a||)

Ta thấy đạo hàm riêng ∂x∂i, xem ánh xạ tuyến tính áp lên hàm f =f(x1, , xn) theo qui tắc f 7→ ∂f(x)

∂xi độc lập tuyến tính với khơng gian ánh xạ tuyến tính từRn vàoR Chúng lập thành

Định nghĩa 6.2.6 Tổ hợp tuyến tính df :=

n X

i=1

∂f(x1, , xn) ∂xi dx

i

được gọi vi phân toàn phần hàm f :Rn→R

Định lí 6.2.7 Giả sử ϕ : Rn → Rn phép đồng phôi, thực việc đổi biến y=ϕ(x) Khi có công thức đổi biến sau:

∂f ∂xi =

n X i=1 ∂f ∂yk ∂yk ∂xi,

dxi =

n X

i=1

∂xi

∂ykdy k,

df =

n X

i=1

∂f(x1, , xn)

∂xi dx i =

n X

i=1

∂f ∂yidy

i.

Nghĩa vi phân toàn phần hàm số không phụ thuộc việc chọn biến địa phương

Chứng minh Định lí suy trực tiếp từ công thức đạo hàm hàm hợp, với nhận xét

n X k=1 ∂xi ∂yk ∂yk

∂xj =δij

6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược

Định lí 6.3.1 (Định lí ánh xạ ngược) Giả sử f : Rn → Rn khả vi liên tục lân cận mở điểm a∈ Rn Df(a) khả nghịch Khi tồn lân cận mở V chứa a lân cận mở W chứa f(a) cho ánh xạ f : V → W khả nghịch, có ánh xạ ngược f−1 : W → V khả vi y∈W

D(f−1)

Dy =

Df Dx(f

−1(y)) −1

Chứng minh Để cho tiện, ta kí hiệu Dx véctơ cột





Dx1 Dxn



và Dy Dx = Df(x)

Dx ma trận Jacobi ánh xạ điểm x Khi viết

Dy = Df(x) Dx Dx

Từ suy Df(x)Dx khả nghịch, Df(x)Dx liên tục lân cận điểm a, tồn lân cận mở W điểm f(a) để ma trận Jacobi ln khả nghịch Điều dễ thấy từ cơng thức tính ma trận nghịch đảo

f−1(x) = f−1(a)

∞

X

n=0

I−f−1(a)f(x)n

Tức là, Df(a)khả nghịch lân cận đủ nhỏW điểmf(a)thì ma trận Jacobi chuỗi hội tụ tuyệt đối Df(x) khả nghịch Trong lân cận có phương trình

Df(x) Dx

−1

Dy =Dx

Thay biểu thức x=f−1(y)ta có cơng thức cần chứng minh Để chứng minh tính khả vi hàm ngược, cần dùng đến định lí điểm trung bình: Với gía trị x đủ gần với điểm x0, giá trị y = f(x) đủ gần

với điểm y0 =f(x0) Do giả thiết liên tục đạo ánh lân cận điểm

x+ 0, có cơng thức giá trị trung bình

y−y0 =

Df(˜x)

Dx (x−x0),

trong x˜ điểm lân cận đủ bé x0 Do ánh xạ Df(x)Dx liên

tục lân cận điểm x0 nên khả nghịch lân cận đủ bé

điểm Tức có

Df(˜x) Dx

−1

(y−y0) =x−x0

6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn Chúng ta kí hiệu véctơ đạo hàm riêng

∂f(x1, , xn, y1, , ym)

∂x1 , ,

∂f(x1, , xn, y1, , ym)

∂xn

đơn giản Dxf(x, y), tương tự,

∂f(x1, , xn, y1, , ym)

∂y1 , ,

∂f(x1, , xn, y1, , ym)

∂ym

đơn giản Dyf(x, y)

Định lí 6.4.1 (Định lí ánh xạ ẩn) Giả sử ánh xạ F : Rn×Rm →

Rm là khả vi liên tục tập mở chứa (a, b)∈Rn×Rm vàF(a, b) = 0.

Giả sử ma trận Jacobi có ma trận khả nghịch DyF(a, b) Khi tồn

một lân cận mở A⊆Rn, chưáa, tập mởB ⊆Rm chứa b cho tồn ánh xạ khả vi f : A → B, gọi ánh xạ ẩn nghiệm phương trình

F(x, f(x))≡0,∀x∈A Đạo hàm ánh xạ ẩn f(x) tính theo cơng thức

Dxf(x) =−

DF(x, y) Dy

−1

DxF(x, y)

Chứng minh Giả sử có tồn ánh xạ ẩn Chúng ta có cơng thức tính đạo hàm tồn phần

DxF(x, y) +DyF(x, y)

Df(x) Dx ≡0

Từ suy cơng thức tính đạo ánh ánh xạ ẩn Để chứng minh tồn ánh xạ ẩn f(x), nhận xét ánh xạ

˜

F(x, y) := (x, F(x, y))

sẽ đồng phơi từ Rn+m vào Ma trận Jacobi F˜ J ac(x,y)F˜(x, y) =





I

DxF(x, y) DyF(x, y) 



là khả nghịch theo định lí ánh xạ ngược tồn ánh xạ ngược củaF˜ Thành phần thứ F˜ ánh xạ đồng thành phần thứ hai ánh xạ ngược F˜−1 xác định ánh xạf cần tìm

6.5 Bó hàm trơn

Từ Định lý ánh xạ ẩn ta suy ra: với điểm (x, y) nghiệm hệ F(x, y) = tồn lân cận mởU điểmx lân cận mởV điểm y cho f :U →V ánh xạ trơn

Định nghĩa 6.5.1 Hàm ϕ : (x, y) 7→ ϕ(x.y) ∈ C tập nghiệm M hệ phương trình F(x, y) = thoả mãn điều kiện định lý hàm ẩn J acy(F) =

h ∂F

∂y i

là khả nghịch, gọi làtrơnnếu hợp vớif :U →V hàm trơn U Kí hiệuC∞(U) tập tất hàm trơn lân cận U điểm x tập nghiệm M

Mệnh đề 6.5.2 Hàm ϕ trơn ϕ◦ξ trơn ξ(U) với phép vi phơi ξ : U → U Nói cách khác khái niệm hàm trơn không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ địa phương x= (x1, , xr)

Định lí 6.5.3 Các tập mởU định lí ánh xạ ẩn lập thành phủ mở tập nghiệm Các đại số C∞(U) có tính chất bó sau đây:

1 Tồn ánh xạ hạn chế r:C∞(U)C∞(U1), U1 tập

U

2 Nếu U =∪Uα có dãy khớp

0−→C∞(U)−→Y

α

C∞(Uα)−→ Y

α,β

C∞(Uα∩Uβ)

Chứng minh Mệnh đề thứ hệ trực tiếp định lý hàm ẩn Mệnh đề thứ hai suy từ điểm xthuộc giao hai lân cận địa phương định lí hàm ẩn chúng phải xác định

trên giao

Định nghĩa 6.5.4 Một hàm tập nghiệmM hệ phương trìnhF(x, y) = với J acy(F) =

h ∂F ∂y i

là khả nghịch, gọi trơn hạn chế lên tập mở phủ nói hàm trơn thoả mãn tính chất bó Kí hiệu C∞(M) bó đại số hàm trơn nói Nó gọi bó cấu trúc M

Ví dụ

1 Vịng trịn đơn vị xem hợp hai tập mở U1 = S1 \ {N}

trong N điểm cực bắc, U2 =S1\ {S}với S điểm cực nam

C∞(U1)∼=C∞(U2)∼=C∞(R)

Dễ viết cách tường minh công thức đổi biến từ U1 sang U2

ngược lại (!) Bó cấu trúc S1 là hàm trơn toàn vòng

tròn đơn vị

2 Xuyến hai chiều T = S1 ×S1 có thể chia thành hợp tập mở

đồng phôi vớiR2 : U11= (S1\ {N})×(S1\ {N}), U12= (S1\ {N})×

(S1\ {S}), U

21= (S1\ {S})×(S1\ {N}), U22= (S1\ {S})×(S1\ {S})

Mỗi C∞(Ui) ∼= C∞(R2) Chúng xếp lại với cách tự

nhiên, sau thấy "nh hng"

3 Lỏ Măobius cú th xem l hợp hai đồ địa phương U1 =L\(I×

{0}), U2 = L\({0} ×I) Chúng xếp lại cách "khơng định

hướng” Mặc dù bó hàm trơn địa phương C∞(R2).

4 Không gian xạ ảnh RPn là không gian đường thẳng qua gốc tọa

độ Rn+1 Bằng cách tọa độ hoá,RPn tập điểm trongRn+1 với toạ độ (x0 : x1 : : xn) theo nghĩa, toạ độ

đó lớp tương đương(x0, x1, , xn)∼(x00, x

0

1, , x

0

n)khi

khi tồn số k 6= để x0i = kxi, i = 1, n Do có phủ mở

khơng gian toạ độ với số vị trí thứ i RPn=∪Ui, Ui ={(x0 :x1 : .:xn), xi = 1}

Đây hệ phương trình toạ độ địa phương Mỗi Ui ∼ Rn Nên

bó cấu trúc có dạng C∞(Ui)∼=C∞(Rn)

5 Tương tự, không gian xạ ảnh phứcCPn đa tạp

6 Chai Klein l hai lỏ Măobius ng nht hai biên tương ứng với Mỗi bó hàm trơn địa phương C∞(R2) toàn cục chúng xếp khơng định hướng

Theo định lí ánh xạ ẩn, có tồn hệ hàm tọa độ cong tập mở không gian nghiệm, đồng phôi với Rn−r

Định nghĩa 6.5.6 Nếu ϕ : Rn−r → U ⊆ M là vi phôi xây dựng theo

Nhận xét 6.5.7 Nhận xét hệ (x1, , xn) là hệ sinh đại số

hàm trơn C∞(U) theo nghĩa hàm, tức hàm khác hợp hàm với hàm U

Nhận xét 6.5.8 Hệ đồ toạ độ điạ phương lập thành phủ mở đa tạp nghiệm Cấu trúc vi phân xác định tính chất đại số hàm trơn C∞(U) hàm chuyển tọa độ Trên thực tế theo phương pháp đại số, bó nhát cắt toàn cục, tức hàm trơn toàn cục xác định cấu trúc vi phân

6.6 Bài tập củng cố lý thuyết

1 Tìm hàm số có đạo hàm riêng liên tục không khả vi điểm

2 Tìm ví dụ hàm số liên tục khơng có đạo hàm số đếm điểm

3 Cho hàm số f :R2 →R, xác định công thức

f(x, y) =

(

(x2+y2) sin√

x2+y2 với (x, y)6= (0,0),

0 với (x, y) = (0,0)

Chứng minh f khả vi điểm (0,0) đạo hàm riêng Dxf, Dyf gián đoạn (0,0)

4 Dùng hàm sốf :R→R, xác định công thức f(x) =

x

2 +x 2sin1

x x6= 0,

0 x=

Hãy chứng minh giả thiết liên tục định lí ánh xạ ẩn khơng thể bỏ

5 Giả sử ánh xạ f : Rn → Rn khả vi có ánh xạ ngược f−1 khả vị Chứng tỏ

(f−1)0(f(a)) = (f0(a))−1; nói cách khác, ánh xạ cho y=f(x),

Dx Dy =

Dy Dx

−1

Chương 7

Đa tạp khả vi

Với phép toán vi phân, nghiên cứu nhiều tính chất đa tạp: trước hết định nghĩa cách xác khái niệm đa tạp, đa tạp con, đa tạp thương, phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối tiếp xúc, v.v Tôpô đa tạp nghiên cứu năm gần Trong chương giới thiệu vài thành tựu đáng kể

7.1 Định nghĩa Ví dụ

Trong phần cuối chương trước đến kiện tập nghiệm hệ phương trình hàm xem đa tạp mà điểm có lân cận mở vi phơi vớiRn Điều dẫn đến khái niệm tổng quát đa tạp, đối tượng nghiên cứu hình học vi phân

Định nghĩa 7.1.1 Giả sử M khơng gian tơpơ Hausdorff khả ly Nếu M có tồn phủ mở tập mở Uα, α ∈ I với α ∈ I

tồn vi phơi ϕα:Rn →Uα Ta nói mỗi(Uα, ϕα) đồ toạ độ

địa phương Ảnh hệ toạ độ Descartes hệ đường cong có tiếp tuyến trực giao, gọi hệ toạ độ điạ phương kí hiệu đơn giản (x1, , xn) Giả sử đồ điạ phương tương thích với theo nghĩa

sau:

Với điểm phần giao Uα∩Uβ, ánh xạ ϕ−β1◦ϕα :

ϕ−1

α (Uα∩Uβ)⊆Rn ϕα

−−−→ Uα∩Uβ ϕ−1β

−−−→ ϕβ(Uα∩Uβ)⊆Rn

là khả vi (trơn)

Khi ta nói tập đồ lập thành tập đồ khả vi (trơn) Hai tập đồ trơn coi tương đương hợp chúng lại tập đồ trơn Một lớp tương đương tập đồ trơn gọi cấu trúc trơn Một không gian tôpô M với cấu trúc trơn gọi đa tạp khả vi (trơn)

Nhận xét 7.1.2 Khái niệm cấu trúc trơn cho ta định nghĩa cấu trúc cho khái niệm đa tạp Rất tiếc khái niệm đưa đến điều kịch tính khơng ngờ tới

Định lí 7.1.3 (Luận án Tiến sĩ J Milnor) Trên mặt cầu S7 có 28 cấu trúc trơn không tương đương

Kịch tính ta kể tới định lí phân loại cấu trúc trơn R4.2

Định lí 7.1.4 Trên Rn, n 6= 4 chỉ có cấu trúc trơn thông

thường Trên R4 có continuum cấu trúc trơn khơng tương đương vi phơi

với

Lý đâu có tượng lạ kì đó? Tốn học chưa có câu trả lời thật xác đáng!

7.2 Ánh xạ trơn đa tạp

Định nghĩa 7.2.1 Giả sử ta có ánh xạ f :M →N hai đa tạp khả vi (M,{(Uα, ϕα)}α∈I) (N,{(Vβ, ψβ)}β∈J) Ta nói ánh xạ f khả vi

(trơn), với α∈I β ∈J, ψβ−1 ◦f ◦ϕα ánh xạ trơn

Nhận xét 7.2.2 Từ định nghĩa ta thấy, ánh xạ trơn hàm đổi tọa độ địa phương ánh xạ khả vi

Mệnh đề 7.2.3 Mỗi hệ toạ độ điạ phương xác định ánh xạ khả vi từ Rn vào đa tạp M

1J Milnor nhà đại số lớn Tuy nhiên ông ta bắt đầu nghiệp bằng

luận án tuyệt vời tôpô học Kết qủa thường nhắc tới kì quan chiêm nghiệm tốn học

2Một người có đóng góp đáng kể sáng giá Donaldson, làm được

Chứng minh Xem ánh xạ tọa độ ánh xạ đa tạp Rn và M,

khi hệ tọa độ điạ phương có hàm chuyển ánh xạ trơn

chúng liên hệ với cách trơn

Định nghĩa véctơ tiếp xúc với đa tạp tạix∈M véctơ ∂x∂i := (ϕα)∗ei,

trong

ei = 

     

0



     

Giả sửϕ:X →Y ánh xạ trơn hai đa tạp,x∈X, y =ϕ(x)∈

Y Nếu x(t) đường cong trongX qua điểmx,x(0) =x ϕ(x(t)) đường cong Y, qua y Do có véctơ tiếp xúc

Txϕ(ξ) :=

d

dt|t=0ϕ(x(t)) Tương ứng xác định đạo ánh

Dϕ=Tx(ϕ) :TxX →TyY

Đạo ánh ánh xạ tuyến tính, ánh xạ đối ngẫu Tx∗(ϕ) :Ty∗Y →Tx∗X

cũng ánh xạ tuyến tính

Định lí 7.2.4 (Vi phôi địa phương) Các mệnh đề sau tương đương: Ánh xạ ϕ:X →Y vi phôi địa phương

2 Đạo ánh Tx(ϕ) :Tx →TyY đẳng cấu

3 Ánh xạ đối ngẫu Tx∗(ϕ) :Ty∗Y →Tx∗X đẳng cấu

7.3 Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc

7.3.1 Không gian tiếp xúc Phân thớ tiếp xúc

Trong lân cận toạ độ điểm x ∈ X đa tạp X, không gian tiếp xúc TxX đẳng cấu tuyến tính với Bởi nên ta xây

dựng đồng phơi tự nhiên

(ϕ, J ac(ϕ)) :W ×Rn→ ∪x∈UTxU

như tập mở R2n.

Mệnh đề 7.3.1 Không gian

T X := [

x∈X

TxX

có cấu trúc đa tạp trơn

Chứng minh.Giả sử {(Uα, ϕα)}α∈I tập đồ địa phương, xác định cấu

trúc đa tạp Khi ta thay đổi toạ độ điạ phương từ đồ (Uα, ϕα)sang

đồ (Uβ, ϕβ), miền giao Uα ∩Uβ ta có phép biến đổi toạ độ trơn

các toạ độ theo công thức đạo ánh ánh xạ hợp: (x, ξ(x))7→(y, η(y)), với y =ϕ−β1◦ϕα(x)và

η(y(x)) =J acx(ϕ−β1◦ϕα)(x)ξ(x)

Nhận xét 7.3.2 Phép chiếu tự nhiên từT X lênX cho tương ứng véctơ tiếp xúc với điểm gốc cho ta ánh xạ trơn đa tạpp:T X →

X

Định nghĩa 7.3.3 Bộ ba (T X, p, X) gọi phân thớ tiếp xúc với đa tạp X Mỗi ánh xạ trơn s : X → T X cho tương ứng với điểm x ∈ X véctơ tiếp xúc ξ(x) ∈ TxX, tức p◦s = IdX gọi trường

véctơ trơn đa tạp X

Ví dụ Giả sử điểmx có toạ độ điạ phương là(x1, , xn) Ta kí hiệu ∂x∂i ảnh cuả véctơ ei = (0, ,

|{z} ith

, ,0)

Chúng ta có quy tắc đổi biến theo đạo hàm cuả hàm hợp: ∂

∂xi =

∂yj

∂xi

Nhận xét 7.3.4 Tại điểm cuả đa tạp, trường véctơ ∂x∂i ảnh đẳng cấu cuả sở trực chuẩn ei, i = 1, n Bởi chúng độc lập tuyến tính,

một véctơ tiếp xúc phân tích thành tổ hợp tuyến tính theo chúng Dạng tổng quát trường véctơ viết toạ độ điạ phương

ξ(x) =

n X

i=1

ξi(x) ∂ ∂xi

Chúng ta kí hiệu không gian vétơ trường véctơ trơn đa tạp X V ect(X)

7.3.2 Không gian đối tiếp xúc Phân thớ đối tiếp xúc

Định nghĩa 7.3.5 Giả sử X đa tạp trơn, x∈X điểm tuỳ ý, TxX không gian tiếp xúc với đa tạp điểm x Chúng ta kí hiệu Tx∗X =

HomR(TxX,R) không gian đối ngẫu với không gian véctơ TxX gọi

không gian đối tiếp xúc

Nhận xét 7.3.6 Khái niệm không gian tiếp xúc không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ địa phương, tức khái niệm hình học Do khơng gian đối tiếp xúc khái niệm hình học

Nhận xét 7.3.7 Trong lân cận toạ độ điạ phương điểmx đa tạp, không gian đối tiếp xúc đẳng cấu với đẳng cấu tuyến tính với không gian Euclide n-chiều Rn

Bởi nên có đồng phơi (ϕ, J acx(ϕ−1)∗) :W ×Rn

≈

−−−→ S

x∈UT

∗

xU

như tập mở vi phôi R2n Mệnh đề 7.3.8 Không gian

T∗X = [

x∈X

Tx∗X có cấu trúc đa tạp trơn

Chứng minh.Giả sử {(Uα, ϕα)}α∈I tập đồ điạ phương, xác định cấu

trúc đa tạp Khi ta thay đổi hệ toạ độ điạ phương từ đồ (Uα, ϕα) sang

bản đồ (Uβ, ϕβ), phần giao chúng, ta có phép biến đổi trơn

Nhận xét 7.3.9 Phép chiếu tự nhiên từ T∗X lên X cho tương ứng véctơ đối tiếp xúc với điểm gốc cho ta ánh xạ trơn đa tạp p:T∗X →X

Định nghĩa 7.3.10 Bộ ba (T∗X, p, X) gọi phân thớ đối tiếp xúc với đa tạp X Mỗi ánh xạ trơn ω:X →T∗X cho tương ứng với điểmx∈X véctơ đối tiếp xúc ξ(x)∈TxX, tức p◦s =IdX gọi 1-dạng

vi phân trơn đa tạp X

Ví dụ Giả sử điểm xcó toạ độ điạ phương (x1, , xn) Ta kí hiệudxi sở Tx∗X, đối ngẫu sở ∂x∂i TxX

Chúng ta có quy tắc đổi biến theo vi phân cuả hàm hợp: dyj = ∂y

j

∂xidx i

7.4 Đa tạp Đa tạp thương.

7.4.1 Điều kiện dìm điều kiện ngập

Định lí 7.4.1 (Điều kiện dìm) Giả sử ϕ : X → Y ánh xạ trơn hai đa tạp, điều kiện sau tương đương nhau:

1 Tx(ϕ) :TxX →TyY đơn cấu

2 Tồn lân cận mở U chứa x X, lân cận mở V y Y, lân cận mở W Rn−m và vi phơi

ψ :V →U ×W cho (a) ϕ(U)⊂V,

(b) Sơ đồ sau giao hoán

U −−−→ϕ V

  y

  y

U×W U×W

3 Tồn đồ địa phương U˜ với toạ độ x1, , xn trong lân cận điểm

x toạ độ địa phươngy1, , ym lân cận điểm y=ϕ(x)sao cho yi◦ϕ=xi,∀i= 1, m,

4 Tồn lân cận mở U điểmx lân cận mởV điểmy, ánh xạ trơn σ :V →U cho ϕ(U) = V, σ◦ϕ=IdU

Chứng minh Chúng ta chứng minh định lí theo sơ đồ sau: (1) =⇒(2) =⇒(3) =⇒(4) =⇒(1)

Các mệnh đề (2) =⇒ (3) =⇒ (4) =⇒ (1) hiển nhiên Bây ta chứng minh (1) =⇒ (2) Ta định nghĩa ϕ0 : X ×W → Y ∩V ,→ Rn theo công

thức ϕ0(x, w = ϕ(x) +w, V lân cận mở đủ nhỏ Y, W =Rn−m, T

(x,w)ϕ0 = Txϕ×Id đơn cấu theo (1), nên ϕ0 vi phôi địa

phương Vậy ψ =ϕ0−1 ánh xạ cần tìm Định nghĩa 7.4.2 Ánh xạ thoả mãn điều kiện tương đương gọi ánh xạ qui

Định nghĩa 7.4.3 Đa tạp X ⊆Y gọi đa tạp trongY, phép nhúng tự nhiên X ,→Y ánh xạ quy hai đa tạp

Nhận xét 7.4.4 Đa tạp conX Y ln đóng địa phương Y Định lí 7.4.5 (Điều kiện ngập) Giả sử ϕ : X → Y ánh xạ trơn hai đa tạp, điều kiện sau tương đương:

1 Tx(ϕ) :TxX →TyY toàn cấu

2 Tồn lân cận mở U x X, lân cận mở V y Y, lân cận mở W Rm−n và vi phôi

ψ :V →U ×W cho (a) ϕ(V)⊃U,

(b) Sơ đồ sau giao hoán

V −−−→ϕ U

ψ   y

x  

U ×W U ×W

3 Tồn đồ địa phương U˜ với toạ độ x1, , xn trong lân cận điểm

x toạ độ địa phươngy1, , ym trong lân cận điểm y=ϕ(x)sao cho

4 Tồn lân cận mở U điểmx lân cận mởV điểmy, ánh xạ trơn σ :V →U cho ϕ(U) = V, ϕ◦σ=IdV

Định nghĩa 7.4.6 Ánh xạ thoả mãn điều kiện tương đương gọi ánh xạ đối qui hay phép ngập

Định nghĩa 7.4.7 Đa tạp Y ⊇X gọi đa tạp thương đa tạp X, phép chiếu tự nhiên X Y ánh xạ đối quy hai đa tạp

7.4.2 Cấu trúc vi phân cảm sinh

Định lí 7.4.8 Giả sử X không gian tôpô, Y đa tạp trơn, f :X →Y ánh xạ liên tục Khi hai mệnh đề sau tuơng đương:

1 Trên X xây dựng cấu trúc vi phân (duy nhất) để f ánh xạ quỵ

2 Với x∈ X với tập mở U ⊆ Rm thỏa mãn x ∈ϕ(U)⊆ X,

luôn tồn tập mở V Rn đồ ψ :V→Y Y cho :

(a) f ϕ(U)⊆ψ(V), (b) ψ−1f ϕ(U)) =Rm∩U

Chứng minh (1) =⇒(2) hiển nhiên theo định nghĩa ánh xạ quy (2) =⇒ (1): Chọn phủ mở {ϕα(Uα)} X cho với α, tồn

tại đồ ψα :Rn →Vα ⊆Y cho

(a) f(Uα)⊆Vα, f :Uα →f(Uα) đồng phôi,

(b) ψ−1f(U

α) = Rm∩Vα

Nhận xét 7.4.9 Cấu trúc vi phân cảm sinh X để f trở thành ánh xạ quy, tồn tại,

7.4.3 Định lí Godeman

¯

U ⊆X/R mở p−1(U) là mở trongX

Nhận xét 7.4.10 Nếu X có cấu trúc đa tạp để phép chiếu p : X →

X/R đối quy cấu trúc

Định nghĩa 7.4.11 Cấu trúc đa tạp trơn X/R để phép chiếu p:X →

X/R đối quy gọi cấu trúc đa tạp thương X theo quan hệ R

Sự tồn cấu trúc đa tạp thương dựa định lí sau

Định lí 7.4.12 (Định lí Godeman đa tạp thương) X/Rlà đa tạp trơn R ⊆ X×X đa tạp phép chiếu lên thành phần thứ hai pr2 :R →X đối quy

Chúng ta bỏ qua chứng minh định lí

7.4.4 Ví dụ

1 Đồ thị hàm y= sin(x1),0< x < 1là đa tạp R2 hợp với đoạn giới hạn I ={(0, y);−1≤y≤1} không đa tạp

2 Trong mặt phẳng E2 ≈ R2 xét đường thẳng qua gốc toạ độ, nghiêng với trục hồnh góc vơ tỉα ∈R\Q Ảnh xuyếnT2 =R/Z

là đường cong trù mật xuyến thoả mãn điều kiện qui

3 Mặt cầu

Sn={(x0, x1, , xn);xi ∈R,

n X

i=0

(xi)2 = 1}

có thể xem khơng gian thương nhóm ma trân trực giaoSO(n+1,R) theo nhóm gồm ma trân trực giao bảo toàn điểm mặt cầu, đẳng cấu với SO(n,R) Nhóm SO(n,R) cho ta quan hệ tương đương đóng ứng với tôpô mặt cầu Cho nên mặt cầu trở thành đa tạp, biết

7.5 Tôpô đa tạp

Định lí 7.5.1 Mỗi đa tạp 1-chiều liên thông compắc vi phôi với[0,1]⊂

R1, vòng tròn S1 Các đa tạp không compắc thu từ chúng bằng

cách vứt bỏ số điểm

Định lí 7.5.2 Mỗi đa tạp 2-chiều compắc không biên liên thông vi phôi với mặt thu cách gắn k mặt trụ, xoắn mặt số vòng gn l lỏ Măobius , vo mt cu S2 c khoét đi 2k+l lỗ thủng.

Các đa tạp không compắc thu từ cách bỏ số điểm

Một vấn đề toán học đương thời: Có hay khơng cách làm tương tự cho đa tạp 3-chiều Bằng cách làm tương tự với hình cầu hình trụ, người ta thu đủ nhiều đa tạp chiềụ Nhưng tiếc lý thuyết tôpô đa tạp 3-chiều lý thuyết xa tới phân loại tương tự

7.6 Bài tập củng cố lý thuyết

1 Hãy viết tên chữ IN HOA KHONG CHANkhơng dấu Có chữ đa tạp, đa tạp đóng, đa tạp có biên Mặt nón C : Pqi=1(xi)2 −Pq

j=1(y

j)2 = 0 trong Rp+q không đa tạp

con Vì sao?

3 Chứng minh hình hộp đóng khơng đa tạp Rn Chứng minh tích Tchikhonov đa tạp trơn, nói chung khơng

là đa tạp trơn

5 Không gian {(x1, , xn);xi ∈ R, xi 6= xj ;∀i 6= j} đa tạp tìm số chiều Tìm khơng gian tiếp xúc với điểm

6 Tìm khơng gian tiếp xúc với mặt cầu im v khụng gian tip xỳc vi lỏ Măobius ti điểm

7 Chứng minh mặt trụ

n−1 X

i=1

(xi)2 =

7.7 Sơ lược hình học Riemann tổng quát Hình học Riemann xem lý thuyết đa tạp mà khơng gian tiếp xúc có metric Euclide, tức dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương không gian tiếp xúc

Với cấu trúc vậy, người ta nghiên cứu tốn tương tự lí thuyết đường lý thuyết mặt Bài tốn tìm mặt tích phân có khơng gian tiếp xúc cho trước việc nghiên cứu hệ vi phân tổng quát Bài toán mặt cực tiểu theo phiếm hàm thể tích tốn thú vị trường hợp nhiều chiều

Bài toán phân loại đa tạp Riemann tốn khó Ví dụ đơn giản chứa nhiều tốn hóc búa toán Poincare : Đa tạp đơn liên đồng ln với mặt cầu có phải đồng phơi với mặt cầu hay không

Đa tạp Riemann thường dùng làm không gian ràng buộc chuyển động Mô hình chuyển động chất điểm xem mơ hình đường cong đa tạp Riemann Mơ hình gần chuyển động có đối xứng lý thuyết sợi dây (string theory), có mơ hình mặt hai chiều đa tạp Riemann n chiều

7.8 Sơ lược hình học symplectic tổng quát Nếu không gian tiếp xúc ta cho tích vơ hướng phản xứng khơng suy biến, ta có đối tượng đa tạp symplectic Hình học đa tạp symplectic nghiên cứu nhiều lí ứng dụng cho hình thức luận Hamilton cho hệ học

Hình học symplectic dùng làm không gian pha cho hệ học chuyển động Trên thực tế chuyển động đặc trưng hai đại lượng: vị trí xung lượng (khối lượng nhân với tốc độ) Giữa biến vị trí qi = xi và biến xung lượng p

j = mdx

j

dt có hệ thức khơng xác định theo

mc Poisson

{pi, qj}=mδij

Tài liệu tham khảo

[1] H Cartan, Phép tính vi phân.Dạng vi phân (Bản dịch tiếng Việt), NXB ĐH & THCN, 1981

[2] Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1968 [3] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1989

[4] M Spivak, Giải tích đa tạp (Bản dịch tiếng Việt), NXB ĐH & THCN, 1985

Chỉ mục

nhóm tuyến tính tổng quát

tham số hố tương thích 21

đường cong tham số hố 21

điểm quy 21

cung quy 21

đường cong quy 21

tham số hoá địa phương 21

đường cong dìm 22

độ dài cung 22

đường trắc địa 22

tham số hoá tự nhiên 23

véctơ pháp tuyến 25

độ cong 25

véctơ pháp tuyến 25

véctơ trùng pháp tuyến 25

hệ quy chiếu Frénet 25

mặt mật tiếp 25

mặt pháp diện 25

mặt trực đạc 25

độ xoắn 26

mảnh tham số hoá 34

đường toạ độ 34

điểm quy 34

điểm kì dị 34

pháp tuyến 35

véctơ pháp tuyến 35

mặt dìm .35

ánh xạ Weingarten 36

độ cong 37

phương .37

độ cong Gauss 37

độ cong trung bình 37

điểm rốn 38

điểm dẹt 38

điểm cầu 38

điểm elliptic 38

điểm hyperbolic 38

điểm parabolic, 38

dạng I 38

dạng II 38

ký hiệu Christoffel .41

đạo hàm thuận biến B = ∇XA theo trường véctơ 43

tensơ độ cong Riemman 44

tensơ Ricci 46

các dạng liên kết 46

phương trình 47

phương trình cấu trúc 47

phương trình đối xứng 47

phương trình Gauss 47

phương trình Peterson-Kodazi 47

phương trình Gauss 47

độ cong pháp dạng 50

pháp tuyến 50

độ cong pháp dạng 51

Công thức Meusnier 51

độ cong 52

phương tiệm cận 52

đường tiệm cận 52

đường độ cong 53

đường trắc địa 53

1-dạng vi phân 54

2-dạng vi phân 54

tích vơ hướng 62

cơ sở trực chuẩn 62

mặt cầu 64

hình cầu đóng 64

hình cầu mở 64

hình hộp đóng 64

hình hộp mở 64

hình hộp đóng-mở 64

phép biến hình 65

nhóm biến đổi 65

ánh xạ khả vi 65

đạo ánh 66

đạo hàm riêng 66

đạo ánh theo hướng 66

ma trận Jacobi 67

vi phân toàn phần 68

ánh xạ ẩn 70

các tính chất bó 71

bó cấu trúc 71

đa tạp 71

bó cấu trúc 71

bản đồ toạ độ địa phương 72

bản đồ toạ độ địa phương 74

hệ toạ độ điạ phương 74

các đồ điạ phương tương thích với 74

tập đồ khả vi (trơn) 75

cấu trúc trơn 75

đa tạp khả vi (trơn) 75

ánh xạ khả vi (trơn) 75

đạo ánh 76

không gian đối tiếp xúc .78

phân thớ đối tiếp xúc 79

1-dạng vi phân trơn 79

ánh xạ qui 80

đa ạp 80

ánh xạ đối qui hay phép ngập 81 đa ạp thương 81