Tang em thuy

Trong nhiÒu trêng hîp ®iÒu kiÖn Êy (sau khi biÕn ®æi vµ rót gän) sÏ ®a vÒ d¹ng... Gäi S lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC.[r]

phần ! : Bài toán cực trị Phn i s

A Yêu cầu

A số Kiến thức bản

1 Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định D

a) Ta nói M = const giá trị lớn f(x) D hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn

1o f(x)  M víi  x  D 2o Tån t¹i x

0  D cho f(x0) = M kÝ hiƯu lµ max f(x) = M

b) Ta nói m = const giá trị nhỏ f(x) rtên D thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1o f(x)  m víi  x  D 2o Tån t¹i x

0  D cho f(x0) = m 2 Các b ớc tiến hành giải toán cực trị - B ớc 1: Chứng minh bất đẳng thức:

f(x)  m (hoặc f(x)  M) với  x  D - B ớc 2: Chỉ giá trị x0  D để:

f(x0) = m f(x0) = M)

- B ớc 3 Kết luận: Với giá trị x0  D f(x) đạt: Maxfx Dx M

o





)

( M x m

D

x





)

inf( Chó ý :

/ Nếu chứng minh đợc f (x)  m f(x)  M cha đủ để kết luận

GTLN hc GTLN

VÝ dơ : T×m GTNN cđa biĨu thøc A = (x - 1)2 +(x-3)2 Gi¶i : Ta cã (x-1)2  x (1)

( x - )2  (2)

 A  x nhng kết luận đợc Min A = khơng xảy đồng thời hai BĐT (1) (2)

Ta cã: f(x) = x2 - 2x + + x2 -6x + = ( x2 - 4x + ) = ( x - )2 +  2 VËy Min A =  x - =  x =

2/ Mét biĨu thøc cã thĨ cã GTNN, GTLN hc có hai giá trị

B Phơng pháp ví dụ Ph

ơng pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức

1.1 Nội dung ph ơng pháp

+ Chỉ tồn x0  D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "=" xảy ra)

1.2 Kiến thức bổ sung a) Bất đẳng thức cô si

+ Víi a,b > 0, a,b  D th× ab ab

DÊu = x¶y a= b

+ Tổng quá: Với n số dơng a1, a2, , an  D

th×: n

n n a a a

n a a

a

2

1    

DÊu b»ng x¶y a1 = a2 = = an

b) Bất đẳng thức Bunhiacopski

+ NÕu a1, a2, , an vµ b1, b2, , bn lµ 2n sè tuú ý th×:

    2

2 1 2

2 2

2

1 a an b b bn ab a b anbn

a          

DÊu "=" x¶y 

n n

b a b

a b a

  

2 1

(Quy íc nÕu = th× bi = i = 0, 1, 2, 3, n)

c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối

* a 0  a  D dÊu b»ng x¶y  a =

* a  b ab víi a,b  D dÊu b»ng x¶y  a.b 

Tổng quát : a1, a2, , an D a1 a2   an a1a2  an

Dấu xảy đôi dấu

* a  b a b dÊu b»ng x¶y a.b 

d) Víi a  b > th×

b a

1

 dÊu b»ng x¶y a = b

e)  2

a b b a

( a, b > ) dÊu b»ng x¶y a = b 1.3 VÝ dơ minh ho¹

VÝ dụ : Tìm giá trị nhỏ hàm sè

f(x,y,z) = x4 + y4 + z xÐt trªn miỊn D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}

Tìm xem vận dụng BĐT cho tốn điều khó khăn đói với học sinh Tuy nhiên thấy vận dụng BĐT Bunhiacopski cho dãy số x,y,z y,z ,x ta có

( x2 + y2 + z2) ≥ ( xy + yz + zx ) 2

Từ ta suy ( x, y, z ) D Thì ( x2 + y2 + z2) 16

Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho d·y sè x2,y2,z2 vµ 1,1 ,1 ta cã

1

3 ( x4 + y4 +z4) ≥ ( x2 + y2 + z2 ) 2 (2) Tõ (1) vµ (2)  f(x,y,z) > 16/3 (x,.y,z) D

Mặt khác f (

3 , , ) = 16

vµ (

3 , ,

) D VËy Min f (x,y,z) = 16/3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc

B =   x

x 1 víi x  1,y ≥ , z ≥ 3

A =   x

x 1  

y y   z z

áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x - ta có:   2 1

1 x  x x

T¬ng tù :

2 2 2 2

2 y y y

y      

2 3 3

3 z z z

z      

 A ≤ 2xx 2 y2y 2 z3z  A ≤

3 2 2  

DÊu "=" x¶y

         6 4 2 z y x

 Max A =

3 2 2            6 4 2 z y x

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: a) D = x  x

b) Cho x1, x2 , , x2004 tho¶ m·n

2005 2004

2

1 x x

x

Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc E = x1  1 x2    x2004 

Giải: a) áp dụng bất đẳng thức a  b ab dấu "=" xảy a.b 

Ta cã D = x 1 x x 21 x 1

b) Vận dụng bất đẳng thức a b a  b

DÊu "=" x¶y ab  Ta cã:

1

1 1

1 x 

x

1

1

2  x 

x

1

1 2004

2004  x 

x

Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đợc:

E = x1  1 x2    x2004   x1 x2   x2004

-     

1 2004

1 1

sã

 

 = 2005 - 2004 = 1

VËy E  DÊu "=" x¶y x1, x2, x2004  vµ x1 x2   x2004 = 2005

Những sai lầm th ờng gặp dạng toán

Sai lầm thờng gặp vận dung BĐT phổ biến : - Điều kiện tồn BĐT

- Du bng ca BĐT khơng xảy với giá trị tìm đợc Ví dụ : Với x , y , z , t > Tìm giá trị nhỏ

A = y xz t t zy x y zx t y tz x yxzt tzyxyzxt ytzx 

         

Häc sinh cã thĨ ngé nhËn vµ vËn dơng B§T  2

a b b a

( a, b > ) dấu xảy a = b

Để kÕt qu¶ A ≥  Min A =      0

      

  

  

  

  

t z y x z y x t

y x t z

x t z y

t z y x

Điều hoàn toàn không xảy A không tồn với x = y = z = t =

Đây sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ ngời thầy phải đợc sai lầm để em rút kinh nghiệm giải tốn cực trị

1.4 Bµi tËp vËn dơng

1) Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc A = x2(1 x1) x2(1 x1)

2) Tìm giá trị lớn hàm số

f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xÐt trªn miỊn D = (x,y,x):x0,y0,z0,xyz1

3

3) Tìm giá trị bé hàm số : f(x,y,z) = ( 1+

x

1

) ( 1+ 1y ) ( 1+ z

1

) XÐt trªn miỊn D = (x,y,z):x0,y0,z0;xyz1

Ph

ơng pháp 2

Tìm cực trị dựa vào tính chất luỹ thừa bậc chẵn

2.1 Nội dung ph ơng pháp

*/ A2  x ( x biến biểu thức A )  A2k  x */ - B2  x (x biến biểu thức B )  - B2k  x Nhiệm vụ ngời thầy phải đợc :

*/ A2k +m ≥ m  m lµ GTNN  A = 0 */ -B2k+ M ≤ M  M lµ GTLN  B =

2.2 KiÕn thøc bæ sung:

Nhiệm vụ em làm để đa dạng A2k +m ≥ m và -B2k+ M ≤ M phép biến đổi đại số

2.3 : c¸c vÝ dơ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm GTNN A = 3x2 + 6x - 5

Gi¶i: Ta cã A = ( x2 + 2x + ) - = (x + )2 -  - 8 DÊu b»ng x¶y  x + =  x = -

VËy Min A = -  x = - VÝ dơ 2: T×m GTLN cđa B = - 5x2 - 4x +

Gi¶i : A = -5 ( x2 + 4/5 x ) + = -5 ( x2 + 4/5x + 4/25 ) + 9/5 ( x2 + 2/5 )2 +9/5 ≤ 9/5

DÊu “=” x¶y  x + /5 =  x = - 2/5 * Chó ý : f(x) = ax2 + bx + c

* Có giá trị nhỏ a >

* Có giá trị lớn a < 0.

Không dừng lại ta đa mét sè vÝ dô sau : VÝ dô : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:

( 1)

2

2

 

  

 x

x x

x x C

Có thể em ngỡ ngàng lúng túng việc giải Tuy nhiên gọi phơng pháp giải tìm cách đa dạng ax2 + bx + c cách đổi biến số , cụ thể cách làm nh sau :

C = 2 2

2

) (

1 )

1 (

1 ) ( ) (

     

    

x x

x

x x

Đặt y =

1



x (y 0 )

C = - 2y + y2 đến C đa dạng việc giải khơng cịn khó khăn nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy việc đổi biến số toán cực trị quan trọng nhiều toán việc đổi biến số giúp giải đợc toán nhanh hơn, gọn

Ta mở rộng dạng toán Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: f(x,y ) = 4x2 + 4y2 - 4xy - 3x = 4y2 - 4xy + x2 + 3( x2 -x )

= ( 2y - x )2 + 3( x-

2

)2 -

4

 -

4

Đẳng thức xảy x =

2

vµ y =

2

x =

4

f(x,y) = -

4

      

 

4 1 2 1

y x

Sai lầm thờng gặp dạng toán là: Nh ví dụ em làm nh sau:

f(x,y) = x2 - 4xy + 4y2 + 2x2 - 4x + + x2 + x -2

= ( x - 2y )2 + ( x -1 )2 + x2 + x -  x2 + x - x (1) V× g(x) = x2 + x - = ( x +

2

)2 -

4

 -

4

Đẳng thức xảy  x = -

2

 f(x,y) = -

4

      

 

 

4 1 2 1

y x

Các em không thấy đợc đẳng thức xảy (1)

  

  1

2

x y x



    

  1

2 1

x y

cßn dÊu

đẳng thức xảy (2) x = -

2

dấu đẳng thức xảy không đồng thời nên GTNN g(x) GTNN f(x,y)

5

Hoặc với bài:

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ cña: M = x + x

M = x + x = ( x + x +

4

) -

4

= ( x +

2

)2 -

4

 -

4

VËy M = -

4

Sai lÇm ë chỗ M -

4

học sinh cha chØ

nào dấu đẳng thức xảy ra: M = -

4

 x = -

2

vô lí

Vy vic tỡm iu kiện dấu đẳng thức xảy quan trọng việc tìm cực trị biểu thức đại số.

3.3 Bài tập vận dụng 1) Tìm giá trị nhỏ :

C = x2 - 2xy + 2y2 + 2x - 10y + 17 E = x (x+ 1) (x + 2) (x + ) 2) Tìm giá trị lớn của:

A = - 5x2 - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - 1. 3) Tìm giá trị lín nhÊt ( nhá nhÊt ) cđa : A = 2

2 5 9

x x

x   B =

2

) (

9

  

x x x

Ph

ơng pháp 3 :

Phơng pháp miền giá trị hàm số

3.1 Nội dung ph ơng pháp.

Vi bi toỏn tỡm giá trị lớn bé hàm số f(x) x  D gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số xét miền cho Điều có nghĩa hệ ph ơng

tr×nh sau với ẩn x có nghiệm

  

 

D x

y x

f( ) 0

Tuỳ dạng mà có điều kiện nghiệm thích hợp Trong nhiều trờng hợp điều kiện (sau biến đổi rút gọn) đa dạng

m  y0  M y0 giá trị f(x) nên từ ta có: Min f(x) = m Max f(x) = M

Nh để tìm giá trị lớn bé hàm số dùng phơng pháp , ta qui việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

2.2 KiÕn thøc bỉ sung:

Công thức nghiệm công thức nghiêm thu gọn phơng trình bậc hai 3.2 Các toán

Bài toán : Tìm giá trị lớn bé hàm số. f(x) =

1

3 10

2

 

 

x x

x x

víi x R Gi¶i

Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số Vậy phơng trình sau ( ẩn x ) cã nghiÖm

1

3 10

2

 

 

x x

x

x = y

0 (1) Do 3x2 +2x + > x  R (1)  2x2 + 10x + = 3x2y

0 + 2xy0 + y0  ( 3y0 - ) x2 + 2x ( y0 - ) + y0 - = (2) XÐt khả sau :

* Nếu 3y0 - =  y0 =

3

 (2) cã nghiÖm Tøc f(x) =

3

 x  R

* NÕu 3y0 -   y0 

3

(2) phơng trình bậc ẩn x Do (2) có nghiệm nếu:

’ = - 2y0 + 19y0 - 35 



2

 y0  vµ y0 

3



2

 y0  (3) Tõ (3) Maxf(x) = Mìnf(x) =

2

Nhận thấy với phơng pháp ta vận dụng cho toán tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức dới dạng phân thức

Bài toán : Tìm giá trị lớn bé hàm số f(x,y) = x2 + y2 xÐt trªn miỊn D = (x,y) ; ( x2 - y2 + 1)2 + 4x2y2 - x2 - y2 =

Giải: Gọi t0 giá trị hàm số f(x,y) miền D Điều chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:

7

            ) ( ) ( ) (

` 1 4 0 2

1 2 2 2 2 y x y x y x t y x              0 4 1

3 2

2 2 2 x y x y x t y x ) ( ) ( `            ) ( ) ( 4 0 4 1 3 3 2 2 x t t t y x

§Ĩ (4) Èn x cã nghiƯm th×: t2 - 3t

0 +   5    

t (5)

Víi ®iÌu kiƯn (5) gäi m lµ nghiƯm cđa (4) vµ (3) ta cã : 4m2 + 4y2 = 4t

0 - t02 + 3t0 - 4y2 = 4t0  4y2 = t2

0 + t0 + (6)

Do t02 + t0 + > t0  với điều kiện (5) (6) có nghiệm Nghĩa (5) điều kiện để hệ (3), (4) tức hệ (1) , (2) có nghiệm

 Max(x,y) =

2

3  , Min(x,y) =

5 

Tuy nhiên tốn ta vận dụng bất đẳng thức để giải Nhng với phơng pháp vận dụng để giải đợc nhiều học sinh “máy móc” nhớ đợc phơng pháp gii

Ph

ơng pháp 4

Phơng pháp đồ thị hình học

4.1 Nội dung ph ơng pháp

- V thị hàm số y = f(x) x  D

- Xét điểm cực đại cực tiểu D từ suy cực trị biểu thức: Max f(x) = ycực đại

Min f(x) = ycùc tiĨu 4.2 KiÕn thøc bỉ sung :

- Từ suy cực đại cực tiểu đồ thị

Để giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ phơng pháp đồ thị hình học ngời ta thờng sử dụng tính chất sau:

- Trong tất đờng gấp khúc nối điểm A, B cho trớc đờng thẳng nối AB đờng thẳng có độ dài bé

- Trong mét tam gi¸c, tỉng cạnh lớn cạnh thứ

- Cho điểm M ngoaì đờng thẳng d cho trớc độ dài kẻ từ M xuống d ngắn đờng xiên kẻ từ M xuống d

- Trong tam giác nội tiếp đờng trịn tam giác có chu vi diện tích lớn

Nếu nh tốn tìm giá trị lớn nhỏ nhất, phép biến đổi qui kiện hình học nói ta nên dùng phơng pháp đồ thị hình học để giải chúng Dĩ nhiên phơng pháp thích hợp cho tốn nội dung tiềm ẩn yếu tố hình học, mà tiên ta cha nhìn nó, khơng phải giải phơng pháp

Sau tơi trình bày tốn tìm giá trị lớn nhỏ mà phơng pháp đồ thị hình học tỏ rõ hiệu

4.3VÝ dơ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc

K = 1 1

   

x x x x

Víi x  R Ta cã: K =

2 2 2 2                                  x x = 2 2 2 ( ) (                                     x

x (1)

Trên mặt phẳng toạ độ đề xoy xét điểm

A )

2 ,

(  ; B )

2 ,

( vµ C (x,0)

9

Nhận xét: Dựa vào hình vẽ ta có K = AC + CB  AB

Mµ AB2 =  32 + 12 = => AB = 2

Vậy dấu xảy A, B, C thẳng hàng hay x = (C trùng O(0,0))

VËy Min K = x =

Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ D = x  y Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

D = y =

    

 

 

 



) (

2

) ( 1

) (

2

3

d x

x

d x

d x

x

- Vẽ đồ thị hàm số (d1), (d2), (d3) trục xác định tơng ứng ta đợc:

- NhËn xÐt:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y khơng có cực đại mà có cực tiểu y =  x  Min D =  x 

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa hµm sè

f(x,y,z ) = x( - y) + y( - z) + z( 1- x) xÐt trªn miỊn D =  (x,y,z) ;  x  ;  y  ;  z  

Giải

Với toán dùng phơng pháp 1; 2; khó , nhiên sử dụng phơng pháp hình học vừa nhanh võa hiƯu qu¶

Vẽ tam giác ABC cạnh SABC =

4

3 (1)

nÕu nÕu nÕu

y

(d

1)

(d

2)

(d

3)

1

1 x

2

-3 O

Đặt cạnh AB , BC , AC ®o¹n

AM = x , BN = z , CP = y( cã thÓ M  A nÕu x = vµ M  B nÕu x = , t¬ng tù víi N , P )

V× Sin 600 =

2

3 ¸p dông S =

ab SinC Ta cã SAMP =

4

1 )

( y

x 

; SBNM =

4

1 )

( x

z 

vµ SNPC =

4

1 )

( z

y

Mà ta lại có : SAMP + SBNM + SNPC  SABC Hay tõ (1) ta cã x(1 - y) + y( - z) + z( - x ) 

Nh vËy ta cã : f(x,y,z)  (x,y,z)  D

Vµ f(0;0;1) = vµ (0;0;1)  D  Max f(x,y,z) =

Bằng phơng pháp ta giải số toán vừa nhanh , vừa khoa học Tuy nhiên để phát tìm phơng pháp hợp lí khơng phải học sinh làm đợc Vì yêu cầu ngời thầy phải rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh , trớc hết cách cho học sinh làm nhiều dạng tơng tự để dần học sinh làm quen tìm đợc phơng pháp gii hp lớ

phần!!

Bài toán cực trị Phần hình học

I số kiến thức bản. 1 Cực trị hình học gì?

Một số tốn hình học mà hình đợc nêu có tính chất địi hỏi ta tìm đợc hình cho có đại lợng (số đo góc, độ dài đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ) đạt giá trị lớn (GTLN) hay ghi (max) giá trị nhỏ (GTNN) ghi (min) đợc gọi tốn cực trị hình học

1) Lời giải toán cực trị thờng đợc trình bày theo hai cách:

Cách 1: Chỉ hình chứng minh hình có đại lợng cần tìm cực trị lớn đại lợng tơng ứng hình khác (nếu tốn tìm GTLN) nhỏ đại lợng tơng ứng hình khác (nếu tốn tìm GTNN)

Cách 2: Thay đại lợng cần tìm cực thành đại lợng khác tơng đơng (nếu đ-ợc) từ tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN A (A đại lợng nh góc, đoạn thẳng, )

a) - Ta chứng minh đợc A  m (m không đổi)

- Có hình cho A = m GTNN A m b) Ta chứng minh đợc A  t (t không đổi)

- Cã mét h×nh cho A = t th× GTLN cđa A lµ t

- Từ ta xác định đợc vị trí điểm để đạt đợc cc tr

11

Tài liệu tham khảo - Phạm Văn Hiệu

B C

x

y

z M

N

Chú ý : Thờng trình bày cực trị theo cách:

II. Phân loại tập ví dụ minh ho¹ :

1) Tìm cực trị dùng bất đẳng thức tam giác

1.1. KiÕn thøc c¬ së:

- Víi ®iĨm A,B ,C bÊt kú ta cã : AC  BC ≤ AB ≤ AC + BC

DÊu “ = “ x¶y  C  AB

- Trong tam gi¸c ABC Cã  BAC >  ABC  BC < AC + Quy tắc n điểm A1A2, , An

Ta cã A1An  A1A2 + A2A3 + An-1An

Dấu "=" xảy A1A2, , An thẳng hàng xếp theo thứ tự 12 Các ví dụ áp dụng :

Ví dụ : Cho đờng tròn (0; R) , A B hai điểm cố định nằm ngồi đờng trịn M điểm cố định đờng tròn (0)

Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị : a) Lớn b) nhỏ

Gi¶i

Vẽ đờng thẳng d qua  AB K d cắt đờng tròn ( ) C D

H¹ AH  AB  SMAB =

2 .AB

MH

a) Ta cã MH ≤ MK XÐt ®iĨm M,O ,K ta cã MK ≤ OM + OK

 MK ≤ OC + OK  MH ≤ CK  SMAB ≤ 2

.AB

CK

( không đổi ) Dấu “ = “ xảy  H K

 M  C

b) XÐt ®iĨm M,O ,H ta cã MH ≥ OH  OM

Mµ OK ≤ OH vµ OK - OM = OK - OD = DK  MH ≥ DK  SMAB ≥ 2

.AB

DK

( không đổi ) Dấu “ = “ xảy  M  OH Và M  K  M  D

Ví dụ 2: Cho đờng tròn (O;R); A điểm cố định đờng tròn

A B

C M

O

K H

D

(A  O) Xác định vị trí điểm B đờng trịn O cho góc OBA lớn

Gi¶i:

Giả sử có B  (O) Vẽ dây BC đờng tròn (O) qua A ta có OB = OC = R => OBC cân O => góc OBC =

2 1800

COB  Nªn gãc OBAmax  gãc COBmin

Trong COB có CO = OB = R khơng đổi => COB  BCmin = OHmax

Mµ OH  OA nªn OHmax  H  A  BC  OA t¹i A VËy OBAmax  B  (O) cho BC  OA t¹i A

Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M tứ giác cho AM + MB + MC + MD đạt cực trị nhỏ

Gi¶i:

Víi ®iĨm M, A, C ta cã: MA + MC  AC DÊu "=" x¶y  M  AC

Tơng tự với ba điểm M, B, D ta cã MB + MD  BD DÊu "=" x¶y  M  BD

AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (không đổi)

DÊu "=" x¶y 

  



  

BD M

O M AC M

VËy (AM + MB + MC + MD) = AC + BD M  O

1.3 Bµi tËp vËn dơng:

Bài 1: Cho góc vng xOy; điểm A thuộc miền góc Các diểm M, N theo thứ tự chuyển động tia Ox,Oy cho góc MAB = 900 Xác định vị trí M, N để MN có độ dài nhỏ

Bài 2: Cho đờng trịn ngồi (O;R) (O';R') A nằm (O), B nằm (O') Xác định vị trí điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ di ln nht

2 / Tìm cực trị dùng quan hệ đ ờng vuông góc với đ ờng xiên

2.1 Kiến thức sở

Ta cã AH  d; A  d; B,C  d

13

Tài liệu tham khảo - Phạm Văn Hiệu

O C

B

H A

O M

D

A

C

B

A

A

H C

*.AB  AH, dÊu "=" x¶y  B  H *.AB  AC  BH  HC

2.2 C¸c vÝ dơ ¸p dơng

Ví dụ1:: Cho ABC (Â = 900) M điểm chuyển động cạnh BC Vẽ MD  AB; ME  AC (D  AB, E  AC) Xác định vị trí M để DE có độ dài nhỏ

Gi¶i:

Vẽ AH  BC (H  BC), H cố định AH không đổi, tứ giác AEMD có Â = Ê = Dˆ = 900

=> AEMD hình chữ nhật

=> DE = AM mà AM  AH (không đổi) (theo t/c đờng xiên đờng vng góc)

DÊu "=" x¶y  M H VËy M  H th× DE nhá nhÊt

Ví dụ : Cho đờng thẳng d đờng trịn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d OH  R Lấy hai điểm A  d; B  (O;R) Hãy vị trí A B cho độ dài AB ngắn nhất? Chứng minh điều

Gi¶i:

Từ tâm (O) kẻ OH  d, OH cắt đờng tròn (O) K Xét ba điểm A B O ta có AB + OB  OA mà OA  OH (quan hệ đờng xiên đờng vuông góc)

=> AB  OH - OB = HK không đổi

VËy AB = KH 

  

  K B

H A

2.3.Bµi tËp vËn dơng:

Bài 1: Trên cạnh BC, AC tam giác ABC lấy tơng ứng hai điểm M N cho Bạch Mã = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị lớn

Bài 2: Cho nửa đờng tron (O;R) đờng kính AB.M điểm nửa đờng trịn, kẻ MH  HB Xác định vị trí M để:

a) SABC lín nhÊt

b) Chu vi cđa MAB lín nhÊt

3 Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức đờng tròn.

3.1 KiÕn thøc c¬ së:

+ Trong đờng trịn: đờng kính dây cung lớn A

B

H K O

d A

C D

B

A A

H M

+ Dây cung lớn  dây gần tâm + Cung lớn dây trơng cung lớn + Cung lớn  góc tâm lớn

3.2 C¸c vÝ dơ ¸p dơng :

Ví dụ : Cho đờng tròn (O) điểm M nằm đờng trịn (M  O). Xác định vị trí dây cung AB đờng tròn (O) qua M cho độ dài AB ngắn

Gi¶i:

Ta có dây AB  OM M dây cung có độ dài nhỏ

ThËt vËy: Qua M vÏ d©y A'B' bÊt kú

cđa (O) A'B' kh«ng vu«ng gãc víi OM VÏ OM'  A'B' M'  A'B'; M'  M => OM'  MM' => OM > OM'

=> AB < A'B' (theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) M điểm di động đờng tròn (O) Xác định vị trí M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn

Gi¶i:

Ta xét M  cung BC Trên MA lấy D cho MB = MD Ta chứng minh đợc: BMD tam giác

=> B ˆ2 Bˆ3 = 602 Mµ B ˆ1 Bˆ2 = 600 => B ˆ1 Bˆ3 Chøng minh cho BAD = BCM (gcg)

=> AD = MC

=> MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA Mà MA dây cung đờng tròn (O;R) => MA = 2R

=> max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R MA đờng kính đờng trịn (O) M điểm cung BC

Tơng tự ta xét M thuộc cung AB M thuộc cung AC => M điểm cung AB cung AC MA + MB + MC đạt giá trị lớn

3.4.Bµi tËp vËn dông:

Bài 1: Trên cạnh BC, AC tam giác ABC lấy tơng ứng hai điểm M N cho BM = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị lớn

Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp đờng trịn (O;R) cho trớc tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn

15

Tài liệu tham khảo - Phạm Văn Hiệu

O M’ A

M B’

A’

B

D O

B C

A

4 Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số

4.1 KiÕn thøc bæ sung :

+ Bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm: a,b Ta có: ab ab

2 DÊu "=" x¶y  a= b

+ Bất đẳng thức côsi tổng quát cho n số không âm n

n n

a a a n

a a

a

2

2

   

Dấu "=" xảy  a1 = a2 = = an + Bất đẳng thức Bunhiacôpski

(ax + by)  ( 2).( 2) y x b

a   DÊu "=" x¶y  y b x a



+ Và số bất đẳng thức quen thuộc khác.

4.2 C¸c vÝ dơ ¸p dơng:

Ví dụ Cho đờng trịn (0; R) , đờng kính AB , M điểm chuyển động đ-ờng tròn Xác định vị trí M đđ-ờng trịn

để MA + 3MB đạt giá trị lớn

Gi¶i :

Ta cã :  AMB = 900 ( góc nt chắn nửa đ.tròn) MAB có  M = 900 Theo Pitago ta cã : MA2 + MB2 = AB2 = 4R2

¸p dơng B§T Bunhiacopski ta cã

MA + 3MB ≤ (1 3)(MA2 MB2) 4.4R2

 

 = 4R

 MA + 3MB ≤ 4R DÊu "=" x¶y    

MA MB MB

MA

 tg¢ =  MA

MB

= tg600

 MÂB = 600 nên max(MA + 3.MB) = 4R  M¢B = 600

Ví dụ : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển đoạn Vẽ đờng trịn đờng kính MA , MB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ

Gi¶i

A B

M

Đặt MA =x , MB = y , ta cã : x + y = AB ( < x< y < AB )

Gọi S S’thứ tự diện tích hình trịn có đờng kính MA MB Ta có : S + S’ =

4 2

2 2

2

y x y

x 

             



áp dụng BĐT : x2 + y2 ≥  

2

2

y x 

 S + S’ ≥   

8

2

y x 

=

8

2

AB



DÊu "=" x¶y  x = y VËy Min (S + S’ ) =

8

2

AB

M trung điểm AB

Ví dụ : Cho  ABC có BC = a , AC = b , AB = c Tìm điểm M nằm bên tam giác ABC cho axbycz có giá trị nhỏ Trong x,y,z khoảng cách từ M

đến BC , AC , AB

Gi¶i

Vậy ax bycz đạt giá trị nhỏ  (axbyzc ) =  

S c b a

2

2

 



z c cz y

b by x

a ax

 

 x = y = z   ABC l tam giỏc u

4.3 Các tập ¸p dông :

Bài 1: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên hai cạnh AB AD lần lợt lấy điểm M, N cho chu AMN = 2a Tìm vị trí M N để SAMN lớn

Bài 2: Cho ABC ngoại tiếp đờng tròn (O;r) Kẻ tiếp tuyến đờng tròn (O;r) song song với cạnh tam giác Các tiếp tuyến tạo với cạnh

17

Tµi liƯu tham khảo - Phạm Văn Hiệu

B A

C

a

c b

tam giác thành tam giác nhỏ có diện tÝch lµ S1, S2, S3 Gäi S lµ diƯn tÝch tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ tû sè

S S S S1 2 3.

Vài ý giải toán cực trị

1 / Khi giaỉ toán cực trị ta thờng biến đỏi tơng đơng điều kiện đại lợng thành điều kiện cực trị đại lợng khác

2/ Nhiều tốn cực trị có liên đến tốn tìm tập hợp điểm , hợp hình có chung tính chất ta cố định số yếu tố khơng đỏi hình , điểm cịn lại hình chuyển động đờng định , theo dõi vị trí tìm đợc cực trị toán

giáo án tiết dạy chuyên đề

Bài soạn: Một phơng pháp tìm cực trị biểu thức đại số

I/ Mơc tiªu.

- Học sinh biết sử dụng bất đẳng thức đại số để giải tốn cực trị hình học Muốn trớc hết học sinh phải biết đa yếu tố đại số vào tốn hình học, từ để giải tốn cực trị” ” hình học ta giải toán cực trị đại số (đã biết cách làm)

- Học sinh có kỹ đặt đại lợng hình học làm ẩn, vận dụng kiến thức học vào giải bi

- Thông qua việc giải toán phát triển t sáng tạo cho học sinh

II/ Chuẩn bị.

GV: chọn lựa tập phổ biến chơng trình ôn thi lớp HS: Nắm vững kiến thức nh:

+ Cách giải toán cực trị

+ Cỏc hng ng thc (đại số)

+ Các BĐT đại số nh : /x/ ≥ , x2 ≥ , BĐT cosi , BĐT Bunhiacopski

III/ TiÕn tr×nh lªn líp.

1 ổn định tổ chức

- GV : chia lớp thành nhóm , nhóm gồm h/s phân công nhốm trởng - HS : KiĨm tra bót viÕt vµ giÊy

2 KiĨm tra bµi cị.

a Tìm số thứ để biểu thức sau trở thành tổng bình phơng hai số: x2 + 3x = x2 + 3/2x

VËy sè thø hai lµ: 3/2

b Chøng minh r»ng: x2 - 2x + > 0

HS: Ta cã: x2 + 2x - = x2 - 2x.1 + + = ( x - )2 + > x

GV: Với phơng pháp tìm số thứ nh biểu thức trên, cô em dựa vào cách tách để ta tìm GTLN, GTNN biểu thức có dạng

ax2 + bx + c

Ghi bảng Hoạt động thầy trò

I/ Lý thuyÕt

A2 ≥  A2 + m ≥ m DÊu = x¶y  A =

m lµ GTNN  A =

* -B2 ≤  -B2 +M ≥ M DÊu = x¶y ra  B =

M lµ GTNN  B = II/Phân loại tập :

Dạng 1: biĨu thøc cã d¹ng ax2 + bx + c VÝ dơ 1:T×m GTNN cđa

P(x) = x - x - Gi¶i

= ( x )2 - 2. x.

2

+

4

) -

4 21

= ( x -

4 21 )

1 2 ≥ -

21

DÊu = x¶y  x =

2

 x =

4

Min P(x) =

-4 21

 x =

4

VÝ dơ 2: T×m chỗ sai lời giải sau: P(x) = x + x -

Ta cã:

P(x) = ( x )2 +2. x.

2

+

4

-

4 21

GV nhắc lại kiến thức cho học sinh - BĐT CoSi

- BĐT Bunhiacopski - Và số BĐT khác

(Phần lý thuyết GV ghi vào giấy chiếu lên bảng cho h/s quan sát )

GV: Đa đề lên máy chiếu Em có nhận xét giá trị x ( x )

- Để tính GTNN ta làm nh ? ( Tơng tự VD2 bảng ) - GV: Hớng dẫn HS tách (- 5) cho

P(x) đa dạng: A2 + m

- GV: Yêu cầu HS nhóm lên bảng giải, HS nhóm khác làm vµo giÊy

- GV: thu giÊy sưa sai vµ chiÕu bµi mÉu

- GV: nhận xét đánh giá chung

- LiÖu P(x) = x + x - cách giải có tơng tự không ? GV đa ví dụ 2, y/c h/s tìm chỗ sai vào giấy

- h/s : dÊu “ = “ x¶y  x=

2 

19

= ( x +

2

) -

4 21

≥

-4 21

VËy P(x) Min =

-4 21

Chó ý : Khi t×m GTNN , GTLN cần phải

tìm :

+ Tìm giá trị tồn biến

+ Trc kim định GTLN hay GTNN dấu = có xảy hay khơng?“ “

VÝ dơ 3:T×m GTLN cđa biĨu thøc sau: A = - x2 +2x -

= -x2 +2x - - = - - ( x- )2 ≤ 6 DÊu = x¶y  x = Max A = -6  x =

NhËn xÐt :BiÓu thøc d¹ng: ax2 + bx + c - Cã GTNN  a > 0

- Cã GTLN  a < 0

VÝ dơ : T×m giá trị nhỏ biểu thức:

a) A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) Gi¶i:

a) A = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) Đặt (x2 + 3x ) = t

 A = t ( t + 2) = t2 + 2t

= t2 + 2t + - = ( t + )2 - ≥ -1

MinA = -1  x2 + 3x + =

lµ không tồn

- Sau tìm chỗ sai GV nhắc nhở các em tránh sai lầm ®a chó ý sau y/c h/s cho biÕt tìm GTNN , GTLN cần phải ý điều gì?

h/s :+ Tìm giá trị tồn biÕn

+ Trớc kiểm định GTLN hay GTNN dấu “ = “ có xảy hay khơng? GV: việc tìm GTLN GTNN có khác ? ( GTLN đa dạng: - A2 + M M

h/s: GTNN đa dạng: A2 + m m GTLN đa dạng : - B2 + M ≤ M T¬ng tù nh việc tìm GTNN y/c lớp tìm GTLN biĨu thøc sau

(vÝ dơ )

_ GV : y/c h/s hoạt động nhóm phút

-GV: Kiểm tra đánh giá kết nhóm , cho h/s kiểm tra chéo nhóm với Yêu cầu h/s rút nhận xét “: Một biểu hức có dạng: ax2 + bx + c có GTLN nào, có GTNN ?”

GV: đa toán khác dạng yêu cầu học sinh đa dạng

ax2 + bx + c

GV: Với toán làm th no ta

đa dạng ax2 + bx + c?

GV: Hớng dẫn HS đặt ẩn phụ để giải?

GV : Khi biến đổi đựơc A == t2 + 2t yêu cầu học sinh lên giải, nhóm trình bầy vào giấy

GV: nhận xét đánh giá nhóm

 x =

2  

D¹ng 2: Dạng phân thức có mầu bình

phơng mét biĨu thøc

VÝ dơ1: T×m GTNN cđa: A = 2

2 ) (    x x x Gi¶i

.A = 2

2 ) ( ) ( ) (       x x x x

A = + ( 1)2

9   x x

Đặt t

x

 A = 9t2 + 5t +1 A = (3t)2 + 2.3t.

6

+

36 25 36 25   A= 11        

t ≥

6 11

DÊu “ = “ x¶y  t = -

18

Min A =

36 11

 t =

-18  13 18 18 1         

 x x

x

D¹ng 3: Sư dơng cho biĨu thøc nhiỊu

h¬n biÕn.

VÝ dơ 1: Tìm GTNN biêu r thức: F(x,y) = 4x2 + 4y2 - 4xy -3x

= 4y2 - 4xy + x2 + 3(x2 - x) = (2y - x)2 + 3(x -

2

)2 -

4

-4

yêu cầu h/s tìm hiểu dạng

GV: Với dạng toán ta cã nhiÒu

ph-ơng pháp giải, nhiên phph-ơng pháp giải đa dạng ax2 + bx + c đơn giản nhất Vậy làm nh để đa dạng ax2 + bx + c ?

GV: Hớng dẫn HS làm để tách A

thành phân thức có mẫu mà tử số ? Từ hớng dẫn h/s đặt ẩn phụ để đa dạng ax2 + bx + c

- GV: Sau đa A = 9t2 + 5t +1 yêu cầu h/s lên giải

_ GV: Kiểm tra nhóm cách chiếu giấy cho lớp quan sát sửa sai

Nh vy qua tập ta làm quen đ-ợc phơng pháp tìm GTLN GTNN biểu thức có dạng ax2 + bx + c đặc biệt biểu thức phân có mẫu bình ph-ơng biểu thức

GV: Tuy nhiªn ta cịng cã thĨ më rộng phơng pháp cho biểu thức nhiều biến., đa vÝ dô

? Với ta phải biến đổi đa dạng ?

h/s : A2 + B2 + m ≥ m

GV: Hớng dẫn H/S tách thêm bớt hạng tử để tỡm GTNN?

Bài tìm dấu = xảy nh nào? GV: yêu cầu h/s lên bảng trình bày lời giải

GV : Tuy nhiên với loại toán em

21

DÊu “=” x¶y           4 1 2 2 1 x y x

Min f(x, y) =

-4          4 1 2 1 y x

VÝ dô 2: Tìm chỗ sai lời giải sau: f(x,y) = x2 - 4xy +4y2 + 2x2 - 4x + + x2 + x -

= (x - 2y)2 +2(x-1)2 + x2 + x - ≥ x2 + x - 2

do g(x) = x2 + x -2 = (x +

2

)2 -

4

≥

-4

DÊu “=” x¶y  x = -

2

 f(x.y) =

-4            4 1 2 1 y x

cung mắc sai lầm nh sau :

GV: Yêu cầu h/s sai lầm ví dụ mà h/s mắc phải

GV cho lớp quan sát lời giải, gợi ý để h/s tìm sai lầm

h/s: Sai lầm: Dấu = xảy (1)

     1 2 x y x         1 2 1 y x

DÊu “=” x¶y ë (2)  x =

-2

 dấu “=” xảy không đồng thời  GTNN g(x) không phi l GTNN ca f(x,y)

1) Tìm giá trị nhá nhÊt cña :

C = x2 - 2xy + 2y2 + 2x - 10y + 17 E = x (x+ 1) (x + 2) (x + ) 2) Tìm giá trị lớn của:

A = - 5x2 - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - 1. 3) Tìm giá trị lớn ( nhá nhÊt ) cña : A = 2

2 5 9

x x

x   B =

23