Tính các góc của tứ giác ABCD. b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E.. Chứng minh rằng MK vuông góc với NK.. 2) Chứng minh rằng tam giác ONI vuông.. Chứng minh rằng luôn tồn tại m[r]
(1)(2)18 NĂM HỌC 1997-1998 – THỜI GIAN 150 PHÚT
Câu I:
1) Giải biện luận phương trình:
( )
2
2m m m 1 3m 1
x m m x x m
− − +
+ =
− − + (x ẩn, m tham số)
2) Tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn hệ phương trình:
( )
3 3
2
3
a b c abc
a b c
= + +
= +
Câu II:
Cho a, b hai số dương
1) Chứng minh 4a 2 4 b 2 a +b +b +a ≤ ab 2) Tìm giá trị nhỏ a b ab
a b ab
+ + + Câu III:
1) Cho tứ giác lồi ABCD, biết góc BAC =30 ;0 ADB=50 ;0 DCA=40 ;0
60 ;
CDB= ABC+ADC<1800 Tính góc tứ giác ABCD 2) Cho hình vng ABCD có cạnh a Một góc 45 quay xung quanh
đỉnh A nằm bên hình vng cắt cạnh BC, CD M N a) Chứng minh (BM +DN a) +BM DN =a2
b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD E Chứng minh
2 2
1 1
(3)Câu I:
1) Rút gọn: 7− 48 + 5− 24 + 3− 2) Cho a, b hai số dương có tổng
Chứng minh bất đẳng thức
2
1
9
a b
b a
+ + + ≥
Câu II:
Cho phương trình x2−2 x + −1 4a2 = (x ẩn số) 1) Giải phương trình a =
2) Tìm a để phương trình có nghiệm x x x x1, 2, 3, 4 Khi tìm giá trị lớn biểu thức x12+ x22+x32+x42
Câu III:
1) Cho tứ giác ABCD, cho AB, CD kéo dài cắt M; AD, BC kéo dài cắt N, đường phân giác AMD CND cắt P Chứng minh rằng: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp tam giác MNP vng Điều ngược lại có không?
2) Cho tam giác cân ABC (AB= AC) Trên đường cao AH lấy điểm D cạnh AC lấy điểm E cho EBC = ACD BEC =AED Tính
(4)20 NĂM HỌC 1999-2000 – THỜI GIAN 150 PHÚT
Câu I:
Rút gọn biểu thức
( ) ( )
( 3)
2
2
1 1
2
a a a
A
a
+ − + − −
=
+ − với 1− ≤ ≤ a Câu II:
Cho hai số a b nguyên Chứng minh phương trình
( )
2
3
x + ax− b + = khơng có nghiệm ngun Câu III:
Cho hai đường tròn tâm O tâm 1 O cắt A B, qua A kẻ cát 2 tuyến cắt đường tròn tâm O C đường tròn tâm 1 O D 2
1) Đường thẳng AO2 cắt đường tròn tâm O1 P, đường thẳngAO1 cắt đường tròn tâm O2 Q Chứng minh PCA=QDA
2) Gọi M, N điểm cung CB BD (khơng chứa A), K trung điểm đoạn CD Chứng minh MK vng góc với NK
Câu IV:
Cho m n
− > (m, n số tự nhiên khác 0) Chứng minh
2
3 m
n mn
(5)Câu I:
1) Cho (x+ 1+x2)(y+ 1+ y2)= Tính x y1 +
2) Cho (x+ 1+ y2)(y+ 1+x2)= Chứng minh x+ = y Câu II:
1) Tìm số nguyên x để 2x2+3x−35= p2 với p số nguyên tố 2) Giải hệ phương trình
2 3
1
x y
x y
+ =
+ =
Câu III:
Cho hai điểm C D nằm nửa đường trịn tâm O đường kính AB (C nằm A D) Đường tròn qua điểm A, C, O cắt đường tròn qua điểm B, D, O N Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC I
1) Chứng minh bốn điểm A, B, I, N nằm đường tròn Và bốn điểm C, D, I, N nằm đường tròn
2) Chứng minh tam giác ONI vuông Câu IV:
(6)22 NĂM HỌC 2001-2002 – THỜI GIAN 150 PHÚT
Câu I:
Cho phương trình: x2−(2m−1)x+(m2−2m− = 1) 1) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm
Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình Tìm đẳng thức liên hệ x1
2
x không phụ thuộc vào m
2) Tìm giá trị m để x13+x23 =36 Câu II:
Giải hệ phương trình
2
2
0,75 0,75 4,5
0,75 0,75
x x y y x y x y
x x y y x y x y
+ + − + + + − + + =
+ + − + + + − − − =
Câu III:
Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cai AH (H∈BC) Gọi D điểm đối xừng A qua H I điểm HD Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC M CD kéo dài N cho IM =IN
Chứng minh tam giác BMN tam giác cân Câu IV:
(7)Câu I:
Tình giá trị biểu thức A=x2+2002x−2003 với
( ) ( )
( )
27 10 27 10 27 10 27 10
13 13 : 13
x= + − − − +
− + + +
Câu II:
1) Cho phương trình x2+(a−4)x+a2−3a+ = Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị a để
2
1
1
8
1
ax ax
x + x = −
− −
2) Giải hệ phương trình ( )( )
( ) ( )
2
2
8
16
y x x
y x x x y
= + +
+ + = + +
Câu III:
Cho đa giác ABCDE nội tiếp đường tròn Gọi M giao điểm AC BD, N giao điểm AD CE, tam giác ABM, AMN, AEN, CDM, CDN có diện tích Chứng minh rằng:
1) Tứ giác CMND hình thang cân 2) AB2+ AC AE = AD2
Câu IV:
(8)24 NĂM HỌC 2003-2004 – THỜI GIAN 150 PHÚT
Câu I :
Giải phương trình:
( )( )
2 2
4
57 38 57 38
17 12 2 2
xy x y a x y x y xy b
a b
− − + + + + − =
= + + + − − +
= − + − + +
Câu II:
Hai phương trình x2+(a−1)x+ =1 0;x2+(b+1)x+ = có nghiệm c chung, đồng thời hai phương trình x2+ +x (a− =1) 0;x2 +cx+(b+ = 1) có nghiệm chung
Tính giá trị biểu thức 2004a b+c Câu III:
Cho hai đường tròn ( )O1 ( )O2 cắt A B Đường thẳng O A1 cắt ( )O2 D Đường thẳng O A cắt 2 ( )O1 C Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt ( )O1 M cắt ( )O2 N Chứng minh rằng:
1) Năm điểm B C D O O, , , 1, 2 nằm đường tròn 2) BC+BD=MN
Câu IV:
(9)Câu I:
1) Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình x2 +2004x+ = x x3, 4 nghiệm phương trình x2+2005x+ = Tính giá trị biểu thức
(x1+x3)(x2+x3)(x1−x4)(x2−x4)
2) Cho a, b, c, d số thực a2+b2< Chứng minh phương trình
( 2 ) ( ) 2
1 1
a +b − x − ac+bd − x+c +d − = ln có nghiệm Câu II:
Cho hai số tự nhiên m n thỏa mãn m n
n m
+ +
+ số nguyên Chứng minh ước chung lớn m n không lớn m+ n
Câu III:
Cho hai đường tròn ( )O1 ( )O2 cắt A B Tiếp tuyến chung hai đường trịn gần B có tiếp điểm C D; C∈( )O1 ;D∈( )O2 Qua A kẻ đường thẳng song song với CD, cắt ( )O1 M cắt ( )O2 N Đường thẳng BC, BD cắt đường thẳng MN P, Q Đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh rằng:
1) Đường thẳng AE vng góc với đường thẳng CD 2) Tam giác EPQ tam giác cân
Câu IV:
Giải hệ phương trình 5 5 11 x y
x y
+ =
+ =
(10)26 NĂM HỌC 2005-2006 – THỜI GIAN 150 PHÚT
Câu I:
Rút gọn biểu thức
( )
( )
3 2
3 2
5
5
a a a a a
A
a a a a a
− + − − + +
=
− + − − − −
Câu II:
Chứng minh cos 720
− =
Câu III:
1) Cho phương trình 3x2−(2p−1)x+ p2−6p+11 0= (p tham số) Tìm số hữu tỉ p để phương trình có nghiệm ngun 2) Giải hệ phương trình
( )
( 2)
2
1
2
2
4 25
4 x y y x x y xy − − = + + = Câu IV:
Cho hai đường tròn ( ) ( )O1 , O2 cắt A B
1) Một điểm M ( )O1 , Qua M kể tiếp tuyến MD với ( )O2 (D tiếp điểm) Chứng minh biểu thức
2
MD
MA MB khơng phụ thuộc vào vị trí M ( )O1
(11)PHẦN III
(12)28 Bài 1: Cho tam giác cân ABC AB( = AC) M điểm chuyển động cạnh đáy BC Dựng đường tròn thứ qua M tiếp xúc với AB B, đường tròn thứ hai qua M tiếp xúc với AC C Hai đường tròn cắt D
1) Chứng minh đường thẳng DM qua điểm cố định
2) Chứng minh tổng độ dài hai đường trịn khơng phụ thuộc vào vị trí M
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chun Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN – Đã cải biên)
Bài 2: Cho 1997 số thực a a1, 2, ,a1997 thỏa mãn
1 1997
2 2
1 1997
1997
a a a a
a a a a
+ + + + =
+ + + + =
Chứng minh 1997 số tồn hai số có tích khơng vượt q 1−
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN)
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC D điểm cạnh BC
1) Gọi O O O thứ tự làm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; ; 1; 2 ABD; ADC Chứng minh OO O1 2 tam giác cân AD phân giác BAC
2) Dựng điểm D cho ABD
ADC
S
S =
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chun Nguyễn Trãi- năm 1998-1999 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN- Đã cải biên)
Bài 4: Tìm cặp số tự nhiên (x y, ) thỏa mãn phương trình:
2
3
x − xy− y + =
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1998-1999 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN)
Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB, M điểm chuyển động nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B C D Đường thẳng OC cắt AM E đường thẳng OD cắt BM F Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp xác định vị trí M để đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD có chu vi nhỏ
(13)Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M =x2+2y2− với , ,z2 x y z thỏa
mãn: 2
4 10
x y z
x y z
+ − =
+ − =
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2000-2001 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN)
Bài 8: Cho đường tròn ( )O dây BC không qua tâm A điểm chuyển động đường tròn cho tam giác ABC nhọn BM CN đường cao tam giác ABC (M ∈AC N; ∈AB) Chứng minh độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN không đổi
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2000-2001 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN- Đã cải biên)
Bài 9: Cho x y z số dương , , xy+ yz+zx= Chứng minh rằng:
2 2 2
3 x +xy+ y + y + yz+z + z +zx+x ≥
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2001-2002 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN)
Bài 10: Chứng minh a2+b2 − a2 +c2 ≤ − với , ,b c a b c∈ R
(14)30 Bài 12: Cho ba số thực dương a b c thỏa mãn , , ab>c a; +b =c + Chứng minh a+ > + b c
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2004-2005 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN)
Bài 13: Cho đường trịn ( )O dây AB khơng qua tâm M điểm đường tròn cho tam giác ABM nhọn Phân giác MAB MBA cắt ( )O P Q Gọi I giao điểm AP BQ
1) Chứng minh MI vng góc PQ
2) Chứng minh tiếp tuyến chung đường tròn tâm P tiếp xúc với MB, đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA song song với đường thẳng cố định M thay đổi
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chun Nguyễn Trãi- năm 2004-2005 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN)
Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn ( )O Góc BAC =600 H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng OH cắt AB AC M N Chứng minh BM +CN =MN
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2005-2006 – Mơn Tốn cho lớp chun KHTN – Đã cải biên)
Bài 15: Cho phương trình ax2+bx+ =c 0(a≠0) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn ax1+bx2+ = Tính giá trị biểu thức c M =a c2 +ac2+b3−3abc
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chun Nguyễn Trãi- năm 2005-2006 – Mơn Tốn cho lớp chuyên KHTN)
Bài 16: Tính giá trị
5
4
4
3 11
x x x
A
x x
− − +
=
+ + với
1 x
x + +x = (Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2004-2005)
Bài 17: Tìm số nguyên m để m2+ +m 20 số hữu tỉ (Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2003-2004) Bài 18: Tìm số ngun lớn khơng vượt q ( )
7
(15)Bài 20: Tam giác ABC có cạnh thỏa mãn điều kiện BC ≥AC AB( + AC) Giả sử D điểm BC kéo dài cho CAD=ABC Chứng minh rằng:
2
2
BD AD AB
AD BD AD
− ≥
−
Bài 21: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương:
2 2
2 2
bc ac ab
a + bc+ a + ac+c + ab≤
(Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương – vòng – Năm học 1997-1998- biên)
Bài 22: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H, K trực tâm tam giác BCD ACD Chứng minh AH, BK cắt trung điểm đoạn
(Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương - vòng – Năm học 1997-1998)
Bài 23:
1) Tìm số có ba chữ số aba cho aba=(a+b)3 2) Tìm số nguyên a, b thỏa mãn 2 2
7 a b
a ab b +
=
− +
(16)32
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm 1997
Bài 26: Tìm tất số tự nhiên k thỏa mãn: Tích chữ số k 44k −86868
Bài 27: Giải hệ phương trình
3
2
2
x y b
x y xy b
− =
− =
Bài 28: Tìm mối liên hệ a b c biết tích nghiệm phương trình , ,
2
1
x +ax+ = với nghiệm phương trình x2+bx+ = nghiệm phương trình x2+cx+ =
Bài 29: Cho MN dây đường tròn ( )O Vẽ tam giác ABC có AB đường kính đường trịn hai cạnh AC, BC qua M, N Chứng minh đường cao hạ từ C tam giác ABC qua điểm cố định Bài 30: Trong lục giác lồi ABCDEF độ dài đường chéo AD, BE, CF lớn Hỏi ln tìm lục giác cạnh có độ dài lớn hay không?