Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán lớp 11 Lê Văn Đoàn

Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng ( IJK ) và tính diện tích của thiết diện này. Cho hình chóp S ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Cho hì[r]

(1)

TRUNG TÂM HOÀNG GIA

ĐỀ CƯƠNG TON 11

Biên soạn & Giảng dạy:

Ths Lê Văn Đoàn

2

(sin

cos )

2 sin

2

sin

3

2

4

1

cot

x





































































1

6

9

14

x x x

C



C



C



x



x

1

2

3,

n n

u

n



 









 





α

E'

D' C' B'

A'

E

D

C B

A

S

H

E F

I G

M

A C

B

A' C'

(2)

PHẦN i Giải tích

Chương : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1 Đường tròn lượng giác dấu giá trị lượng giác

2π 0 O

-1 -1

1

3π 2 π

π 2 sinx

cosx

(IV) (III)

(II) (I)

2 Công thức lượng giác

tan cot  1 2

sin cos 1 2

1 tan

cos 



 

2

1 cot

sin 



 

3 Cung góc liên kết

Cung đối Cung bù Cung phụ

cos( a) cosa sin( a) sina sin cos

2 a a



 

   

 

 

sin(  a) sina cos( a) cosa cos sin

2 a a



 

  

 

 

tan(  a) tana tan( a) tana tan cot

2 a a



 

  

 

 

cot(  a) cota cot( a) cota cot tan

2 a a



 

  

 

 

Cung  Cung

2 

sin( a)  sina sin cos

2 a a



 

  

 

 

cos( a) cosa cos sin

2 a a



 

   

 

 

Cung phần tư

Giá trị LG I II III IV

sin + + – –

cos + – – +



tan + – + –



cot + – + –

(3)

tan( a) tana tan cot

2 a a

             

cot( a) cota cot tan

2 a a

            

4 Công thức cộng cung

sin(a b)sinacosbcosasin b cos(a b)cosacosbsinasin b tan tan

tan( )

1 tan tan a b a b a b       tan tan tan( )

1 tan tan a b a b a b      

Hệ quả: tan tan

4 tan

x x x             

 

1 tan tan

4 tan

x x x                

5 Công thức nhân đôi hạ bậc

Nhân đôi Hạ bậc

sin 2 2 sincos cos

sin    2 2 cos sin cos2

2 cos 1 sin

             

2 cos

cos    2 tan tan tan     

2 cos

tan

1 cos       cot cot2 cot    

 cot211 cos 2cos 2

Nhân ba

3

sin 3 sin sin cos cos cos

             

3 tan tan tan

1 tan

      

6 Cơng thức biến đổi tổng thành tích

cos cos cos cos

2

a b a b

a  b     cos cos sin sin

2

a b a b a b     

sin sin sin cos

2

a b a b

a  b     sin sin cos sin

2

(4)

sin cos 2sin 2cos

4

x x x x

    sinx cosx sin x cos x

 

   

   

       

   

7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

cos cos cos( ) cos( )

2

a b   a b a b  sin sin cos( ) cos( )

a b   a b a b 

sin cos sin( ) sin( )

2

a b   a b ab 

Bảng lượng giác số góc đặc biệt

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600

6



4



3



2



3



4



6



 2

sin 0

2

3

2

3

2

1

2 0

cos 1

2

1

2

1



2



2

 1

tan 0

3 kxđ  1

3

 0

cot kxđ 3 1

3

 1  kxđ kxđ

(5)

§

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Tính chất hàm số a Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Hàm số y  f x( ) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x D  x D f( x) f x( ) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

 Hàm số y  f x( ) có tập xác định D gọi hàm số lẻ với x D  x D

( ) ( )

f   x f x Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

b Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f x( ) xác định tập ( ; )a b 

 y  f x( ) gọi đồng biến ( ; )a b x x1, ( ; )a b có x1 x2  f x( )1 f x( ).2  y  f x( ) gọi nghịch biến ( ; )a b x x1, ( ; )a b có x1 x2  f x( )1  f x( ).2

c Hàm số tuần hoàn:

 Hàm số y  f x( ) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số

0

T  cho với x D ta có (x T)D (x T)Dvà f x( T) f x( )

 Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hồn f

2 Hàm số y sin x

 Hàm số y sinx có tập xác định D   y sin ( )f x  xác định  f x( ) xác định

 Tập giá trị T   1;1 , nghĩa là: sin sin2

sin

x x

x

 

    

 

 

 Hàm số y f x( )sinx hàm số lẻ f( x) sin(  x) sinx  f x( ) Nên đồ thị hàm số y sinx nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số y sinx tuần hồn với chu kì To 2 , nghĩa là: sin(x k2 ) sin x Hàm số

sin( )

y  axb tuần hoàn với chu kì To

a 

 

 Hàm số y sinx đồng biến khoảng : ;

2 k k

 

 

   

 

  nghịch biến

trên khoảng : ; ,

2 k k

 

 

   

 

  với k 

 Hàm số y sinx nhận giá trị đặc biệt:

sin

2

sin , ( )

sin

2

x x k

x x k k

x x k



 

   

   

     



 

(6)

1

3  

 

 O

2



2 

 

2  sin

y x

–1 y 

x

Hình dạng đồ thị hàm số y sinx

1

3



 

2 

 O

2



2 

 

2  ycos x

–1 y 

x

Hình dạng thị hàm số y cosx  Đồ thị hàm số:

4 Hàm số y cos x

 Hàm số y cosx có tập xác định D   y cos ( )f x  xác định  f x( ) xác định

 Tập giá trị T   1;1 , nghĩa là: cos cos2

cos

x x

x

 

    

 

 

 Hàm số y  f x( ) cosx hàm số chẵn f( x) cos( x) cosx  f x( ), nên đồ thị hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

 Hàm số y cosx tuần hồn với chu kì To 2 , nghĩa cos(x k2 ) cos x Hàm số

cos( )

y  ax b tuần hoàn với chu kì To

a   

 Hàm số y cosx đồng biến khoảng (  k2 ; ) k  nghịch biến khoảng ( ; k  k2 ).

 Hàm số y cosx nhận giá trị đặc biệt:

cos

cos , ( )

2

cos

x x k

x x k k

x x k



 

  

    

    



 



 Đồ thị hàm số:

4 Hàm số y tan x

 Hàm số y  tanx có tập xác định \ , ,

2

D   k k  

 

 

  nghĩa

2

x   k 

hàm số y tan ( )f x  xác định ( ) ; ( )

2

f x  k k

   

 Tập giá trị T  

(7)

 Hàm số y tanx tuần hồn với chu kì To   y  tan(ax b) tuần hồn với chu kì To

a   

 Giá trị đặc biệt:

tan

tan , ( )

4

tan

4

x x k

x x k k

x x k



 

    

    

     



 



 Đồ thị hàm số y tanx

5 Hàm số y cot x

 Hàm số y cotx có tập xác định D \



k

k



x

k

k

y

f x

k

k

 Tập giá trị T  

 Hàm số y  f x( )cotx hàm số lẻ f( x) cot(  x) cotx  f x( ) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O

 Hàm số y cotx tuần hồn với chu kì To   y cot(ax b) tuần hồn với chu kì To

a   

 Giá trị đặc biệt :

cot

2

cot , ( )

4 cot

4

x x k

x x k k

x x k

 

   

    

     



 



 Đồ thị hàm số y cotx:

x y

3 2



 

2



 O

2

  3

2

 2 5 2



tan y  x

x y

2

  3

2



 O

2

 

2

  3 2



cot y  x

(8)

Dạng toán 1: Tìm tập xác định hàm số lượng giác

 Phương pháp giải Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ:

 tan ( ) sin ( ) cos ( ) ( ) , ( )

cos ( )

f x

y f x f x f x k k

f x

 

  ĐKXĐ     

 cot ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) , ( )

sin ( )

f x

y f x f x f x k k

f x 

  ĐKXĐ    



 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

1

( )

y P x

P x

 ĐKXĐ 

  y 2nP x( )ĐKXĐ P x( )0.

2

1

( )

n

y P x

P x

 ĐKXĐ 



 Lưu ý rằng:  1 sin ( ); cos ( )f x f x 1 0

0 A A B B          Với k , ta cần nhớ trường hợp đặc biệt:

sin

2 sin

sin

2

x x k

                      

cos

2

cos

x x k

                      tan tan tan

x x k

                       cot cot cot

x x k

                        

Ví dụ Tìm tập xác định hàm số: ( ) sin 32 cos

1 cos

tan

x x

y f x

x x       

Giải:

(9)

Ví dụ Tìm tập xác định hàm số:

2 ( )

cos

x

y f x

x 

 

  

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 1. Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau:

a) y cos4

x

  b) y cos x

c) cos

sin x y

x 

  d) tan

3

y   x  

 

e) tan

sin x y

x 

 

 f)

tan cos x y x   

g) tan

sin x y x    h) cos sin x y x    

i) cos

1 sin x y x     j) sin cos x y x     k) cot cos x y x    l) sin cos x y x     m) sin x y x 

  n) cos2 tan

1 sin x y x x    o) 1 cos x y x x 

  p) tan

sin x y x   

BT 2. Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau:

a) 2 sin x y x  

  b) y  2 4x2 tan x

(10)

e) tan cos x y x               f)

3 sin

cos x y x    

g)

cos cos y

x x

 

 h) y cot 2x tan x



 

 

   

 

i) sin 21

tan

y x

x

   

 j) 2

4 sin cos y x x   

k) cot cos

6 cos

x y x x            

  l)

1 cot tan x y x                         

Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác

 Phương pháp giải

 Dựa vào tập giá trị hàm số lượng giác, chẳng hạn:

2

sin

1 sin

sin

x x x        



cos

1 cos

cos

x x x         

 Biến đổi dạng: m  y M

 Kết luận: max y M miny m

Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

4 ( )

5 cos sin

y f x

x x

  



Giải:

Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ f x( )3 sin2x 5 cos2x4 cos2x2 Giải:

(11)

Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( ) sin6 cos6 2, ;

2

f x  x  x    x   

 

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 3. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau: a) y 5 3cos 2x 4 b) y  cos  x

c) y 3 sin 22 x 4 d) y  4 sin cos 2 x x

e) y  3 sin x f) y  42 sin 25 x 8

g) 2

1 cos y

x

 

 h) 2

4 cos sin

y

x x

 



i)

2

2 sin y

x

 

 j)

3

3 cos

y

x

 

 

k)

2 cos

6 y

x 

 

 

 

     

l)

3 sin cos2

y

x x

 



BT 4. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau: a) y  sin2x cosx 2 b) y sin4x 2 cos2x 1 c) y cos2x 2 sinx 2 d) y sin4x cos4x 4 e) y  2cos 2x sin2x f) y sin6x cos 6x g) y  sin 2x  cos 2x 4 h) y cos2x 2 cos2 x

i) y 2 sin2x cos x j) y 2 sin (sin 2x x 4 cos ).x k) y  sin2x 5 cos2x4 cos x l) y 4 sin2x  sin 2x 3

m) y (2 sinx cos )(3 sinx x cos ).x n) y sinx cosx 2 sin cosx x1 o) y  1 (sin 2x cos ) x p) y  sinx 12 cosx 10 

q) sin sin

4

y  x   x

  r)

2

2 cos cos

3 y   x   x  

 

 

 

(12)

a) sin , 0;

2

y  x  x  

  b)

2

cos , ;

3

y  x    x   

   

c) sin , ;

4 4

y   x     x   

    d)

4

sin cos , 0;

6

y  x  x  x  

 

f) sin2 cos , 0;

3

y  x  x  x  

  g)

3

cot , ;

4 4

y  x    x   

   

Dạng tốn 3: Xét tính chẵn lẻ hàm số lượng giác

 Phương pháp giải

 Bước Tìm tập xác định D hàm số lượng giác

Nếu  x D  x D D tập đối xứng chuyển sang bước

 Bước Tính f(x), nghĩa thay x x, có kết thường gặp sau:

 Nếu f( x) f x( )f x( ) hàm số chẵn

 Nếu f(  x) f x( )f x( ) hàm số lẻ

Lưu ý:

 Nếu không tập đối xứng ( x D   x D) f(x) không f x( )

( ) f x

 ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ

 Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối dạng toán này, cụ thể:

cos( a) cos , sin(a   a) sin , tan(a   a) tan , cot(a   a) cot a

Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số:

a) f x( )sin 22 x cos x b) f x( )cos x2 16

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 6. Xét tính chẵn lẻ hàm số sau:

a) y  f x( )tanx cot x b) y f x( ) tan sin x x

c) ( ) sin

2

y  f x   x  

  d)

3 ( ) cos

2

y f x    x  

 

e) yf x( ) sin (3 x5 ) cot(2  x7 ). f) y  f x( )cot(4x 5 )tan(2 x3 ). g) y  f x( )sin 9x2 h) y  f x( )sin 22 x cos x

Cố gắng giây phút đặt bạn vào vị trí tuyệt vời khoảng khắc sau

(13)

§

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



I Phương trình lượng giác

k

2 sin sin

2

a b k

a b

a b k

              

 cos cos

2

a b k

a b

a b k

              

tana  tanb   a b k

  cota  cotb   a b k

Nếu đề cho dạng độ ( )o ta chuyển k2k360 ,  k k180 , với  180 o Những trường hợp đặc biệt:

sin

2 sin

sin

2

x x k

                      

cos

2

cos

x x k

                      tan tan tan

x x k

                       cot cot cot

x x k

                        

Ví dụ Giải phương trình:

a) sin

2

x    b) cos

3 x             

c) tan(2x 30 )o  d) cot

3 x            

BT 7. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện xác định): a) sin sin2

3

x   b) sin

6 x             

c) sin

6 x           

  d) cos 2x cos4

(14)

e) cos

2

x    f) cos

6 x            

g) sin(x 30 )0  0 h) cot(4x 35 )o  1

i) cos 2

4 x           

  j) cos x

            

k) (12 cos )(3x cos )x 0 l) tan(x 30 ).cos(20 x150 )0 0 m) sin 2x 2 cosx 0 n) sin sin

2 x x  

o) sin cos2

4

x x   p) sin cos cos cos cos

16 x x x x x  

II Một số kỹ giải phương trình lượng giác

1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đối Cung bù Cung phụ

cos( a) cosa sin( a)  sina sin cos

2 a a

            

sin(  a) sina cos( a) cosa cos sin

2 a a

           

tan(  a) tana tan( a) tana tan cot

2 a a

           

cot(  a) cota cot( a) cota cot tan

2 a a

            

Cung  Cung

2 

sin( a) sina sin cos

2 a a

           

cos( a) cosa cos sin

2 a a

             

tan( a) tana tan cot

2 a a

             

cot( a) cota cot tan

2 a a

            

Tính chu kỳ

sin(x k2 ) sinx cos(x k2 ) cosx sinx (k2 )   sinx cosx (k2 )   cosx

(15)

Ví dụ Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện xác định):

a) sin cos

3

x  x 

  b) tan 2x cot x

 

   

     

   

 

   

Ví dụ Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện xác định):

a) sin cos

3

x   x

  b) tan tan 3x x  1

BT 8. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện xác định): a) sin cos

6

x   x

  b)

2

sin cos

3

x  x 

   

     

   

 

   

c) cos sin

4

x  x

 

  

 

  d)

2 cos2 sin

3

x  x  

 

e) cos sin

5

x  x

 

   

 

  f)

2

sin cos

3

x  x 

   

     

   

 

   

g) cot tan

4

x  x 

   

     

   

 

    h) tan 3x cot x



 

  

 

 

 Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot ngược lại, ta làm ?

 Hãy viết cơng thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ ?

(16)

a) cos(3x 45 )0  cos x b) cos cos

3

x  x 

                        

c) sin sin

4

x  x 

   

      

   

 

    d) sin 2x sinx

            

e) tan tan

3

x  x

 

   

 

  f) cot x cot x

                         

g) cos cos

3

x  x

 

   

 

  h)

2

sin sin

3

x  x 

                       

i) sin cos

4

x  x

 

   

 

  j) cos 4x sin x

                         

k) tan tan

4

x  x

 

   

 

  l) tan tan 3x x 1

 Muốn bỏ dấu "" trước sin, cos, tan, cotan ta làm ?

 Hãy viết công thức cung góc liên kết dạng cung đối ?

BT 10. Giải phương trình lượng giác sau:

a) sin 4x2 cos2x  1 b) cos cos 3x x sinx cos x c) sin 5x 2 cos2x 1 d) cos2 cosx x cosx sin sin x x

e) cos sin

2 x x



 

   

 

  f)

1 tan cot2 tan x x x    

f) sin2 cos

2 x

x

  g) sin sin 3

5

x   x

                       

h) sin cos

9 x 18 x

                     

    i)

5

cos sin

3

x   x

                       

2

Ghép cung thích hợp để áp dụng cơng thức tích thành tổng

 cos cos cos cos

2

a b a b

a  b       cos cos sin sin

2

a b a b a b      

 sin sin sin cos

2

a b a b

a  b       sin sin cos sin

2

a b a b a b     

Khi áp dụng tổng thành tích hai hàm sin cosin hai cung là:

;

2

a b ab

(17)

Ví dụ Giải phương trình: sin 5x sin 3x sinx 0

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: cos 3x cos 2x cosx  1

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 11. Giải phương trình lượng giác sau:

a) sinx sin 2x sin 3x 0 b) cosx cos 3x cos 5x 0

c) 1sinx cos2x sin 3x 0 d) cosx cos 2x cos 3x cos 4x 0 e) sin 3x cos 2x sinx 0 f) sinx 4 cosx sin 3x 0

g) cos 3x 2 sin 2x cosx 0 h) cosx cos 2x sin x

a) sin 5x sinx 2 sin2x 1 b) sinxsin2xsin3x  1 cosxcos2 x c) cos 3x2 sin 2x cosx sinx 1 d) sin 3x sin 5x 2 sin cos2x x 0 e) sin5x sin3x 2cosx  1 sin x f) cos2xsin 3xcos5x sin10x cos x g) 1sinx cos 3x cosx sin 2x cos2 x

h) sinx sin 2x sin 3x cosx cos2x cos x

3 Haï bậc gặp bậc chẵn sin cos

2 

     cos2 cos

2    

 tan2 cos

1 cos  

 

 

 

2 cos2

cot

1 cos  

 

 

  Lưu ý công thức hạ bậc sin cosin:

― Mỗi lần hạ bậc xuất số

2 cung góc tăng gấp đơi

(18)

Ví dụ Giải phương trình: sin 22 cos 82 1cos10

2

x  x  x

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: cos2 cos 22 cos 32 cos 42

2 x  x  x  x  

Giải:

a) sin2

2

x   b) cos 22

4

x 

 

   

 

 

c) cos2

4

x    d) sin2x  1

e) sin 32 sin2

3

x   x

   

     

   

 

    f)

4

cos sin

4

x  x  

 

g) sin 22 x sin2x 1 h) sin 22 x cos 32 x 1 i) sin2 sin 22 sin 32

2

x  x  x   j) cos2 cos 22 cos 32

2 x  x  x  

k) sin2x sin 22 x sin 32 x 2 l) sin2x sin 32 x cos 22 x cos x m) sin3 cos sin cos3

8

x x  x x   n) sin3 cos sin cos3

4

x x  x x   

BT 14. Giải phương trình lượng giác sau: a) sin 42 cos 62 sin10 , 0;

2 x x  x  x  

  b)

2 29

cos3 sin7 2sin 2cos

4 2

x x

x x   

(19)

c) sin 22 x sin 7x  1 sin x d) cos2x cos 22 x cos 32 x cos 42 x 2

e) cos2 cos 22 cos2

3

x  x  x 

  f)

2

sin cos sin 10 , 0;

2

x x  x  x  

   

g) sin 32 xcos 42 x sin 52 xcos x h) tan2x sin 22 x 4 cos 2x

i) cos cos22 x x cos2x  j) 4sin2 cos2 2cos2

2

x

x x 

     

 

4 Xác định nhân tử chung để đưa phương trình tích số

Đa số đề thi, kiểm tra thường phương trình đưa tích số Do đó, trước giải ta phải quan sát xem chúng có lượng nhân tử chung nào, sau định hướng để tách, ghép, nhóm phù hợp Một số lượng nhân tử thường gặp:

— Các biểu thức có nhân tử chung với cosx sinx thường gặp là:

2 2

1sin 2x sin x 2 sin cosx x cos x (sinx cos ) x



2

cos2x cos x sin x (cosx sin )(cosx x sin ).x



4 2 2

cosx sin x (cos x sin )(cosx x sin )x (cosx sin )(cosx x sin ).x



3

cosx sin x (cosx sin )(1x sin cos ).x x

 

sin cos sin

tan

cos cos

x x x

x

x x



    



cos sin cos

cot

sin sin

x x x

x x x       

cos sin (sin cos )

4 2

x  x  x x

                         

sin cos (sin cos )

4 2

x  x  x x

                          

— Nhìn góc độ đẳng thức số 3, dạng a2 b2 (ab a)( b), chẳng hạn:

2 2

2

2 2

sin cos (1 cos )(1 cos )

sin cos

cos sin (1 sin )(1 sin )

x x x x

x x

x x x x

                 

3 2

cos x cos cosx x cos (1x sin )x cos (1x sin )(1x sin ).x



3 2

sin x sin sinx x sin (1x cos )x sin (1x cos )(1x cos ).x



2 2

34 cos x  3 4(1sin )x (2 sin )x 1 (2 sinx 1)(2 sinx 1)



2

sin2x  (1 sin2 ) 1x  (sinx cos )x 1 (sinx cosx1)(sinx cosx 1)



4 2

2(cos x sin )x  1 cos x sin x ( cosx sin )( sinx x cos ) x 

(20)

Ví dụ Giải phương trình: 2 cosx  sinx sin 2x 

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: cos2x  (1 sin )(sinx x cos )x 0

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: (sinx cosx 1)(2 sinx cos )x sin 2x 0

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: (2 sinx  3)(sin cosx x  3) 1 cos 2x

Giải:

a) sin 2x  sinx 0 b) (sinx cos )x  1 cos x

(21)

e) (tanx 1)sin2x cos 2x 0 f) sin (1x cos2 )x sin 2x  1 cos x

g) sin cos sin

4

x  x  x 

  h)

1 cos

2 cos cot

4 sin

x

x x

x 

  

    

 

 

i) tan 2 sin

4

x x 

    

  j) cosx cos 3x sin 2x



 

 

     

 

a) sin2x sin cosx x cos2x 1 b) 4sin2 sinx x2sin2x2sinx 4 4cos 2x c) sin2x 3 sin 2x 2 cos2x 4 d) (cosx1)(cos2x 2cos ) 2sinx  2x 0 e) (2cosx1)(sin2x2sinx 2) 4cos2x1 f) (2sinx1)(2cos2x2sinx 3) 4sin2x1 g) (2sinx1)(2sin2x 1) 4cos2x 3 h) (2sinx1)(2cos2x2sinx  1) 4cos 2x i) sin2x(sinxcosx1)(2sinxcosx2) j) 2(cos4x sin )4x  1 cosxsin x

a) sinx 4 cosx  2 sin x b) sin 2x  2 cosx  sin x c) 2(sinx 2 cos )x  2 sin x d) sin 2x sinx  2 cos x e) sin 2x 2 cosx sinx  1 f) sin 2x 2 sinx 2 cosx  2 g) sin 2x  1 sinx cos x h) sin 2x cos2x 2 sinx 1

i) sin 2x 2 sinx  1 cos x j) sin (1x cos )x sin 2x  1 cos x l) sin 2xsinx 2 cos 2x 1 m) (2cosx1)(2sinxcos )x sin2xsin x n) tanx cotx 2(sin 2x cos ).x o) (1 sin )cos 2x x (1 cos )sin2x x 1 sin2 x p) sin 2x 2 sin2x sinx cos x q) cos 3x cosx 2 cos sin x x r) cos 3x cosx 2 sin cos x x s) sin2x sin 2x sinx cosx 1 t) cosx tanx  1 tan sin x x u) tanx sin 2x 2 cot2 x

a) cosx2sin (1 cos )x  x  2 2sin x b) 2(cosxsin2 )x  1 sin (1 cos2 ).x  x

c) sin cos sin cos2

2

x

x x  x 

    

  d) sin 2x cosx sin x



 

 

    

 

e) sin sin

4 x x

 

   

      

   

 

    f)

2

cos sin

4 x x

 

   

      

   

 

   

g) sin3x cos3x  sinx cos x h) sin3x cos3x 2(sin5x cos ).5x i) sin3x cos 2x cosx 0 j) sin8 cos8 2(sin10 cos )10 5cos2

4 x x x x  x

l) sin 2x cos 2x sinx 0 m) tan 2x cotx  cos 2x

(22)

III Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình lượng giác đưa bậc hai bậc cao hàm lượng giác

Quan sát dùng cơng thức biến đổi để đưa phương trình hàm lượng giác (cùng sin cos tan cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn:

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện

2

sin sin

a X b X  c t sinX   1 t

2

cos cos

a X b X  c t cosX   1 t

2

tan tan

a X b X  c t tanX

2 X   k

2

cot cot

a X b X  c t cotX X k

Nếu đặt t sin2X, cos2X t  sinX , cosX điều kiện 0 t

Ví dụ Giải phương trình: 4 cos2x 4 sinx 1

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: cos2x 3 cosx  2

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: 3 cos2x 7 sinx  2

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: 4 sin4x 5 cos2x  4

Giải:

(23)

Ví dụ Giải phương trình: cos 4x 12 sin2x  1

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: 1tan2

2 x cosx

   

Giải:

a) sin2xsinx 1 b) sin2x 12 sinx  7

c) 2 sin2x (2 2)sinx  1 d) 2 sin3x sin2x 2 sinx 1 e) cos2x 3 cosx  1 f) cos2x 3 cosx  2

g) cos2x ( 22)cosx  g) cos2x 2( 3 2)cosx  i) tan2x 2 tanx  3 j) tan2x2 tanx  3 k) tan2x  (1 3)tanx 0 l) cot2x 2 cotx  1 m) cot2x  (1 3)cotx  1 n) cot2x  (1 3)cotx 1

a) cos2x 5 sinx  2 b) cos2x 5 sinx  4 c) 34 cos2x sin (2 sinx x 1) d) sin2x3 cosx  3 e) 2 sin2x 3 cosx  3 f) cos 22 x 5 sin 2x  1 g) sin2x 2 cos4x  2 h) sin4x 12 cos2x 7 i) cos4x 4 sin2x1 j) sin4x 5 cos2x  4

a) cos 2x 8 cosx  5 b) 1cos 2x 2 cos x c) sinx cos2x 8 d) 2cos 2x 5 sinx 0 e) sinx cos 2x 2 f) cos 2x 8 sinx  5 g) cos 22 x 5 sin 2x  1 g) cos sin

2 x

(24)

h) sin2x cos 2x cosx 2 k) cos2x cos2x sinx  2

a) cos2x 2 cos2x 3 sinx 1 b) cos 4x 12 sin2x  1 c) cos 4x 2 cos2x  1 d) 16 sin2 cos 15

2 x

x

 

e) cos2 cos sin2

2 x

x  x   f) cos2 cos cos2

2 x x x  

g) 1cos 4x 2 sin2x 0 h) cos2x cos 4x 1

i) sin 32 x cos12x 4 j) 5(1cos )x  2 sin4x cos 4x k) cos4xsin4x cos 4x 0 l) 4(sin4x cos4x)cos 4x sin 2x 0

a) cos 2 3cos

3

x  x 

   

      

   

 

    b)

2

cos cos

3 x x

                         

c) cos (62 x2)16 cos (12 3 )x 13 d) cos sin

3

x   x

                       

e) sin 3cos 2sin

2

x  x  x

   

      

   

 

    f) cos2x sin2x sinx  4 cos x

g) sin2x sinxcos2xcosx2 h) cos2 42 cos

cos cos x x x x                        

i) sin2 12 sin

sin sin x x x x                    

    j)

2

1

cos 2 cos

cos cos x x x x            

BT 24. Giải phương trình lượng giác sau: a) 32 tan

cos x   x b)

2

1

3 cot

cos x  x 

c) 23 cot

sin x  x  d)

4

9 13 cos

1 tan x

x

  



e) tan2 3

cos x

x

   f) 1tan2

2 x cosx

   

g) sin cos

cos x x

x

   g) sin2x tan2x 2

a) sin cosx x cos 4x  3 b) sin 82 x 6 sin cos 4x x 5

c) cos sin

1 sin x

x x  

 d)

1 cos (2 cos 1) 2.sin

1 cos

x x x

x

   

(25)

e) sin 2 sin

sin cos x x x x   f) 2

2 sin sin sin

1 (sin cos )

x x x

x x

    



g) cos cos

cos

x x

x

    g) 32 2sin2 2(cot 1)

sin2 cos x x x x     

h) cos 4x 2 cos2x  3 cos 6x k) cosx   2 3(1cos ).cot x 2x l) sin 3x cos2x  1 sin cos x x m) cos cos 3x x sinx cos x n) 4(sin6x cos )6x 4 sin x o) sin 4x  2 cos 3x 4 sinx cos x

BT 26. Giải phương trình lượng giác sau: a)

2

cos cos

cos2 tan cos x x x x x  

   b) 3tan2 2tan 4cos2

cos2 tan x x x x x      

c) (2 tan2x1)cosx  2 cos2 x d) 2cos2x3cosx2cos 3x 4sin sin2 x x e) sinx  3 2(1sin ) tan x 2x f) 2sin3x 3 (3sin2x2sinx3)tan x

g) 5sin 3(1 cos )cot2

2 x x x



 

    

 

  g)

2

3

3 sin sin

3 sin cot x x x x    

h) 5sin cos sin 3 cos2

1 2sin2 x x x x x    

 k)

3

tan sin tan tan cos

x

x x x

x

 

 

     

 

2 Phương trình lượng giác bậc sin cosin (phương trình cổ điển)

Dạng tổng quát: asinx bcosx c ( ) , , 



a b

 



Điều kiện có nghiệm phương trình: a2 b2 c2, (kiểm tra trước giải)

Phương pháp giải:

 Chia vế a2 b2  0,

2 2 2

( ) a sinx b cosx c

a b a b a b

   

   ( )

 Giả sử:





2 2

cos a , sin b , 0;2

a b a b

       

  thì:

2 2

( ) sin cosx cos sinx c sin(x ) c :

a b a b

  

      

  dạng

Lưu ý Hai công thức sử dụng nhiều là: sin cos cos sin sin( )

cos cos sin sin cos( )

a b a b a b

     

 

    

 

Các dạng có cách giải tương tự:

2

2 2

cos

.sin cos , ( 0)

Chia :

sin

.sin cos sin cos , ( )

PP

a b nx

a mx b mx a b

a b a b nx

a mx b mx c nx d nx a b c d

(26)

Ví dụ Giải phương trình: sinx  cosx  

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: cos2 sin 2 cos

3

x  x   x

 

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: cos 4x sinx  3(cosx sin ).x

Giải:

BÀI TẬP ÁP DỤNG BT 27. Giải phương trình lượng giác sau:

a) sinx  cosx 1 b) sinx cosx  1

c) cosx sinx  d) sinx  cosx 2

e) sin 3x cos 3x  f) cos 7x  sin 7x  

g) sin sin

2 x x



 

   

 

  g) sin 2x sin( )x



 

    

 

 

h) sin sin

4

x   x

   

     

   

 

    k) sin x cos x

 

   

     

   

 

   

l)

2

sin cos cos

2

x x

x

 

    

 

  m)

2

3 sin sin

2

x  x 

(27)

p) sin2x  sin 2x  2 q) cos7 cos5x x sin2x  1 sin7 sin5 x x r) cos sin3x x 3cos2x cos3 sin  x x s) 2(cos4xsin ) 14x   cosx sin x t) sin 2x cos2x 2 cosx1 u) sin2x sin 2x 3 sinx cosx 2

v) sin sin

6

x  x

 

   

 

  x)

5 cos cos 2 sin cos

6

x  x  x  x 

 

a) sin cos sin

12

x  x    b) cosx  sin 2xsin x

c) sin 3x cos 3x 2 sin x d) sinx cosx 2 sin cos x x

e) cos 3x  sinx cosx 0 f) (sinxcos )x 2 cos2x  1 cos x g) cos 2x sinx cosx 0 g) sin 3x  cos 3x 2 sinx 0

h) cos sin cos

3

x  x   x k) cos2 sin sin

2 x

x x

  

l) sinx cosx  2 cos 2x m) sin2x sinx  2 cos x

n) cos ( sinx x cosx 1)1 o) sin 2x 2 sin2x 4 sin cosx x 2 p) cos 5x2 sin cos 2x x sin x q) 2(cos6xcos4 )x  3(1 cos2 ) sin2  x  x r) sin 7x 2 sin sin 3x x cos x s) 2sin (cosx 2xsin )2x sinx  cos3 x

t) sin2 sin2 sin sin

2

x

x  x  x

  u)

2 cos2

cos sin

2 2

x x

x   

 

       

v) 2 cos2x sin 2x 4 cos x x) sin 2x2 cos2x 2 22 cos x

a) sin 2x cosx cos 2x sin x b) cos2x sin 2x  sinx cos x c) 3(cos2x sin )x sin2x cos x d) cos 7x sin 5x  3(cos 5x sin ).x e) sin 2x 2 cos2x sinx cosx 1 f) sin2xtanx 2(1 tan )sin3 x x 1

g) sin sin

cos cos x x x x





 g)

1 sin sin sin 3 cos

x x

   



h) cos2 sin

2 cos sin

x x x x

 

  k)

sin sin

3 cos cos

x x x x

 



l) (1 sin )cos

(1 sin )(1 sin )

x x

 

  m)

2

4 sin cos2 cos

6

x  x x 

   

     

   

 

   

n) cos2x2sin cosx x sin2x1 o) 2(cosx 3sin )cosx xcosx 3sinx1 p) 3(cos2xsin ) cos (2sinx  x x 1) q) cos2 tan tan tan 2sin

2

x

x  x  x x

 

(28)

a) sin 2x 2 cos2x 2 cos x b) sin 2x  1 cos2x 2 cos x c) sin 2x cosx sinx 1 d) cos2x 2 sinx  1 sin x

e) sin 2x cos2x 4 sinx1 f) 2sin6x2sin4x cos2x  sin2  x

g) tan sin cos2

7

x x



   g) cos cos sin

4

x  x    x 

 

h) sin

cos sin

x

x x

   k) cos2 sin2 2sin(2 ) 2

6

x x x 

3 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

Dạng tổng quát: a.sin2X b.sinX cosX c.cos2X d (1) , , , a b c d  Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc lệch hai bậc hàm sin cosin

(tan cotan xem bậc 0)

Phương pháp giải:

 Bước Kiểm tra

cos

sin

2

X

X k

X

   

    

 có phải nghiệm hay không ?

 Bước Khi

cos

, ( )

sin

2

X

X k k

X 

  

     



 Chia hai vế (1) cho cos X2 :

2

2 2

sin sin cos cos

(1)

cos cos cos cos

X X X X d

a b c

X X X X

   

atan2X btanX  c d(1tan2X)

 Bước Đặt t  tanX để đưa phương trình bậc hai theo ẩn t x  Lưu ý Giải tương tự phương trình đẳng cấp bậc ba bậc bốn. Ví dụ Giải phương trình: 2 cos2x 2 sin 2x4 sin2x 1

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: 4 sin3x 3(cos3x sin )x sin2xcos x

Giải:

(29)

Ví dụ Giải phương trình: sin (tan2x x 1)3 sin (cosx x sin )x 3

Giải:

a) sin2x 3 sin cosx x cos2x 2 b) sin2x sin cosx x 2 cos2x  c) cos2x  sin 2x  1 sin 2x d) cos2x 3 sin 2x  4 sin 2x

e) sin2x  (1 3)sin cosx x cos2x  1 f) sin2x (3 3)sin cosx x ( 31)cos2x  1 g) sin2x5 sin cosx x 6 cos2x 

h) cos (32 ) cos sin 2

2

x x  x

     

 

a) sinx 2 cos 3x b) cos3x sin3x sinx cos x c) sinx4 sin3x cosx 0 d) 4(sin3x cos )3x cosx 3 sin x e) sinx 2 cos3x 5 sin cos x x f) cos3x 4 sin3x sinx  cos sin x 2x g) cos4x sin4x 4 sin2xcos 2x g) sin3x 3(cos3x sin )x sin2xcos x

i) 2 cos3 cos sin

4

x  x x

 

   

 

  j)

2 (1 cos2 )

sin cos

2 sin x

x x

x 

 

k) cos2xtan 42 x  1 sin 2x 0 l) tan sinx 2x2sin2x3(cos2xsin cos ).x x m) sin3x cos3x sin cosx 2x sin2xcos x

(30)

4 Phương trình lượng giác đối xứng

 Dạng a(sinx cos )x  b sin cosx x  c (dạng tổng/hiệu – tích) PP

 Đăt t sinx cos , x t  t2    viết sin cosx x theo t Lưu ý, đặt t  sinx cosx điều kiện là: 0 t

 Dạng a(tan2x cot )2x  b (tanx cot )x  c

PP

 Đặt t tanx cot , x t  2 t2    biểu diễn tan2x cot2x theo t lúc thường sử dụng: tan cot 1, tan cot

sin

x x x x

x

   

Ví dụ Giải phương trình: sin 2x (2 2)(sinx cos )x  1 2 0

Giải:

Ví dụ Giải phương trình: 2 tan2x 2 cot2x (4 2)(tanx cot )x  4 20 Giải:

(31)

i) sin 2 sin

4

x  x 

  j)

1

2 sinx  cosx 

k) 1 2 cos

cosx sinx x



 

 

    

  l) sin 2x  8 sinx cos x

m) sinx cosx 4 sin 2x 1 n) cos sinx x  cosx sinx 1

a) tan2x 4 tanx 4 cotx 3 cot2x  2 b) 22 tan2 tan cot

sin x  x  x  x  

c) tanx 3 cotx 4(sinx  cos ).x d) sin3x cos 2x cosx 0

e) cos3x cos2x sinx 0 f) 2sin3xsinx 2cos3xcosxcos x g) sin3xcos3x  1 sin x h) cos2x  5 2(2cos )(sinx x cos ).x i) (3cos )(sinx xcos )x 2 j) tan2x (1 sin3x)cos3x 1

5 Một số phương trình lượng giác dạng khác

Dạng m.sin 2x n.cos 2x p.sinx q.cosx  r

 Ta viết sin 2x 2 sin cos ,x x còn:

2

cos sin

cos2 cos

1 sin

x x

x

 

 

  

 



(1) (2) (3)  Nếu thiếu sin 2x, ta biến đổi cos 2x theo (1) lúc thường đưa

về dạng: A2 B2 (AB A)( B)0

 Nếu theo (2) được:

( )

sin (2 cos ) (2 cos cos )

i

x m x p n x q x  r n 

theo (3) được:

( )

cos (2 sin ) ( sin sin )

ii

x m x q  n x p x  r n  Ta phân tích ( ), ( )i ii thành nhân tử dựa vào: at2 bt  c a t( t t1)( t2) với

1,

t t hai nghiệm at2 bt  c để xác định lượng nhân tử chung

Ví dụ Giải phương trình: cos2x cosx 3 sinx  2

Giải:

(32)

Ví dụ Giải phương trình: 2 sin 2x cos 2x 7 sinx 2 cosx 4

Giải:

a) cos2x 3 cosx  2 sin x b) cos 2 cos

3 tan x

x x



 

c) sinxcosx  2 cos 2x sin x d) cos sin sin

4

x  x    x 

 

e) sin 2x cos2x sinx cosx 1 f) sin sin cos

4

x  x x

 

    

 

 

g) cosx sinxsin 2xcos2x 1 g) sin2xcosx2sinx cos2x3sin 2x i) sin 2x 2 cos2x 3 sinx cos x j) 2 sin2xcos2x7sinx 4 2 cos x k) sin 2x cos 2x 3 sinx cosx 1 l) sin 2x cos 2x 3 cosx  2 sin x m) sin2x2cos2x  1 sinx4 cos x n) sin 2x cos 2x 7 sinx 2 cosx 4

o) sin sin

3

x  x 

   

      

   

 

    p) sin 2x sinx cosx



 

    

 

 

q) tan tan

2 sin cos

4

x x

x

x 

   

 

  

 

 

r) 3(sin2x3sin ) 2cosx  2x3cosx5

Dạng 2: Phương trình có chứa R( , tan , cot , sin , cos , tan , ),X X X X X cho cung sin, cos gấp đôi cung tan cotan Lúc đặt t tanX biến đổi:

 sin 2 sin cos sin cos2 tan2 2

cos tan

X X t

X X X X

X X t

      

 



2

2 2

1 tan

cos2 cos

1 tan tan

X t

X X

X X t

 

       

  

 tan sin 2 2

cos X t X

X t

 



2

1 cot2

2 t X

t 

 

(33)

Ví dụ Giải phương trình: sin 2x 2 tanx 3

Giải:

a) 13 tanx 2 sin x b) cos2x tanx 1

c) sin 2x 2 tanx  d) (1tan )(1x sin )x  1 tan x

e) cot tan

2 sin

x x x            

  f)

sin cos

cot , ;

2 sin 2

x x x x x              

g) cot tan sin 2

sin

x x x

x

    g) cot cos sin2 1sin

1 tan

x

x x x

x

   



Dạng 3: Áp dụng

tan( )tan( )

2 cot( )cot( )

2 x a b x a b k x a b x a b k                     

hay tan( ) tan tan

1 tan tan a b a b a b     

Ví dụ Giải phương trình: sin3 cos3 cos tan tan

4

x x  x x  x 

   

Giải:

a) sin2 sin cos3 2cos2 cos

2

tan tan

2 4

x x x x

x x x                               b) 3

sin sin cos cos

8

tan tan

6

x x x x

x  x 

                            c) 4 sin cos

cos

tan tan 4 x x x x x                            

d) sin4 cos4 7cot cot

8

x x x  x

   

e) tan tan sin sin sin

3

x  x  x x x

(34)

BT 38. Giải phương trình lượng giác sau (đặt ẩn phụ t cung phức tạp): a) cos4 cos

3 x

x

 b) tan3 tan

4

x  x

 

   

 

 

c) sin 1sin

10 2 10

x x                      

    d) sin 3x sin sinx x

                         

e) cos3 cos

3

x  x

 

  

 

  f)

3

2 sin sin

4

x  x

 

  

 

 

g) sin3 sin

4

x  x

 

  

 

  g) cosx 2 cos 3x  1 sin x

Dạng Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt

 Tổng số không âm: 2 0

0 A A B B         

 Đối lập: AB mà chứng minh A M A M

B M B M

                  

Hoặc: ABM N mà chứng minh được: A M A M

B N B N

                  

 Một số trường hợp đặc biệt:

sin

sin sin

sin u u v v          

 sin sin sin

sin u u v v              cos

cos cos

cos u u v v          

 cos cos cos

cos u u v v              sin sin

sin sin

sin sin u v u v u v                 sin sin

sin sin

sin sin u v u v u v                  cos cos

cos cos

cos cos u v u v u v                 cos cos

cos cos

cos cos u v u v u v                 

(35)

b) cos2x 4 cosx 3 tan2x 2 tanx  2 c) sin2x 3 tan2x 6 tanx 2 sinx  4 d) sin3x sin 22 x 6 sinxcos2x  1 e) cos2xtan 42 x  1 sin 2x 0

f) sin2x sin 32 x 4 sin sin x x

g) sin2x 3 cos2x  sin 2x 2 cosx 2 sinx  2 h) sin 22 sin 12 tan

cos

x x x

x

    

i) 4 cos2x 3 tan2x 2 tanx 4 sinx 6 j) cos cos 2x x  1cos 3x  1

k)





2

2 sin 3

sin cos sin sin cos sin sin

3 sin x

x x x x x x x

x

  

a) cos cos 2x x 1 b) sin cos 4x x 1

c) sin sin 3x x  1 d) cos2 cos 6x x 1

e) (cos2x sin )sin 52x x  1 f) (cosx sin )(sin 2x x cos )x  2 g) sin 7x sinx 2 g) cos 4xcos 6x 2

i) sin3x cos3x 1 j) sin5x cos3x 1

a) cos cos 2x x 1 b) sin cos 4x x 1

c) sin sin 3x x  1 d) cos2 cos 6x x 1

e) (cos2x sin )sin 52x x  1 f) (cosx sin )(sin 2x x cos )x  2 g) sin 7x sinx 2 g) cos 4xcos 6x 2

i) sin3x cos3x 1 j) sin5x cos3x 1

BT 42. Giải phương trình lượng giác sau: a) tan2 cot2 sin5

4

x  x  x 

  b) 2cosx sin10x 3 22cos28 sin x x

c) sin 5x cos 4x  3 cot 2x d) tan tan

sin cos2 cos

x x

x x x 

  

e) (cos 2x cos )x  6 sin x f) sin4x cos4x  sinx  cos x

g) cos cos 22 x x cos2x 0 g) cos2 cos3

4 x

(36)

i) cos2x cos 4x cos 6x cos cos cos 3x x x 2

BT 43. Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm:

a) cos(2x 15 )0 2m2 m b) mcosx  1 cosx 2 m

c) (4m1)sinx  2 msinx 3 d) (m2m)cos2x m2  m m2cos2 x e) msinx 2 cosx 1 f) mcos 2x (m 1)sin 2x m2 g) msin cosx x sin2x m g) sinx  cosx  1 m(2sin ).x i) sin 2x 4(cosx sin )x m j) 2(sinx cos )x sin 2x m 1 k) sin2x2 (sinm xcos ) 1x  4 m l) sin2x msin 2x 4 cos2x 0 m) (m2) cos2x msin 2x (m1) sin2x m2

n) sin2x (2m2)sin cosx x  (1 m)cos2x m

BT 44. Cho phương trình: cos2x(2m1)cosx m 1 a) Giải phương trình

2 m  

b) Tìm tham số m để phương trình có nghiệm nằm khoảng ;3

2

 

 

 

  ?

BT 45. Cho phương trình: cos 4x 6 sin cosx x m a) Giải phương trình m 1

b) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đoạn 0;

4



 

  

 

 

BT 46. Tìm tham số m để phương trình cos2x cosx  1 m có nghiệm 0;

2

x  

   

 

BT 47. Tìm tham số m để phương trình sinx mcosx  1 m có nghiệm ;

2

x   

   

 

BT 48. Tìm tham số m để cos 2x (m4)sinx m2 có nghiệm ;

2

x    

 

(37)

§

BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 1



a) sin cos sin cos 3, (0; )

1 sin

x x

x x x

x 

  

     

 

 

  (ĐH khối A năm 2002)

b) sin 32 xcos 42 x sin 52 x cos x (ĐH khối B năm 2002)

c) cos 3x 4 cos 2x 3 cosx  4 0,   x 0; 14  (ĐH khối D năm 2002) BT 50. Giải phương trình lượng giác sau:

a) cot cos sin2 1sin

1 tan

x

x x x

x

   

 (ĐH khối A năm 2003)

b) cot tan sin 2

sin

x x x

x

    (ĐH khối B năm 2003)

c) sin2 tan2 cos2

2

x x

x 

 

    

 

  (ĐH khối D năm 2003)

a) sinx 2 3(1sin ) tan x 2x (ĐH khối B năm 2004)

b) (2 cosx 1)(2 sinx cos )x sin 2x sin x (ĐH khối D năm 2004) BT 52. Giải phương trình lượng giác sau:

a) cos cos 22 x x cos2x 0 (ĐH khối A năm 2005)

b) 1sinx cosx sin 2x cos2x 0 (ĐH khối B năm 2005)

c) cos4 sin4 cos sin 3

4

x  x  x   x  

    (ĐH khối D năm 2005)

BT 53. Giải phương trình lượng giác sau: a)

6

2(cos sin ) sin cos

0 2 sin

x x x x

x

  

 (ĐH khối A năm 2006)

b) cot sin tan tan

2

x x  x  x 

  (ĐH khối B năm 2006)

c) cos 3x cos 2x cosx  1 (ĐH khối D năm 2006) BT 54. Giải phương trình lượng giác sau:

a) (1sin )cos2x x  (1 cos )sin2x x  1 sin x (ĐH khối A năm 2007)

b) sin 22 x sin 7x  1 sin x (ĐH khối B năm 2007)

c)

2

sin cos cos

2

x x

x

 

    

 

(38)

a) 1 sin

sin

2

x x

x

 

 

 

     

 



  

 

 

(ĐH khối A năm 2008)

b) sin3x cos3x sin cosx 2x sin2xcos x (ĐH khối B năm 2008)

c) sin (1x cos )x sin 2x  1 cos x (ĐH khối D năm 2008) BT 56. Giải phương trình lượng giác sau:

a) (1 sin )cos

(1 sin )(1 sin )

x x

 

  (ĐH khối A năm 2009)

b) sinx cos sin 2x x  cos 3x 2(cos 4x sin ).3x (ĐH khối B năm 2009) c) cos 5x 2 sin cos 2x x sinx 0 (ĐH khối D năm 2009) BT 57. Giải phương trình lượng giác sau:

a)

(1 sin cos )sin

4

cos

1 tan 2

x x x

x x



 

 

    

 

 (ĐH khối A năm 2010)

b) (sin 2x cos )cosx x 2 cos 2x sinx 0 (ĐH khối B năm 2010)

c) sin 2x cos 2x 3 sinx cosx  1 (ĐH khối D năm 2010) BT 58. Giải phương trình lượng giác sau:

a) sin 2cos 2 sin sin

1 cot

x x

x x x

 



 (ĐH khối A năm 2011)

b) sin cosx x sin cosx x cos 2x sinx cos x (ĐH khối B năm 2011)

c) sin 2 cos sin

tan

x x x

x

  



 (ĐH khối D năm 2011)

a) sin 2x cos2x 2 cosx1 (ĐH khối A năm 2012)

b) 2(cosx  sin )cosx x cosx  sinx 1 (ĐH khối B năm 2012)

c) sin 3x cos 3x sinx cosx  cos2 x (ĐH khối D năm 2012) BT 60. Giải phương trình lượng giác sau:

a) tan 2 sin

4

x x 

    

  (ĐH khối A năm 2013)

b) sin 5x 2 cos2x 1 (ĐH khối B năm 2013)

(39)

a) sinx 4 cosx  2 sin x (ĐH khối A năm 2014)

b) 2(sinx 2 cos )x  2 sin x (ĐH khối B năm 2014) BT 62. Giải phương trình: sin2x 7 sinx 4 (TN THPT QG năm 2016) BT 63. Giải phương trình lượng giác sau:

a) cos cos 3x x sin sin 6x x sin sin 6x x 0 b) cos cos cos sin sin sin

2 x x x x x x  

c) cotx cos2x sinx  sin cotx x cos cot x x d) 43 sinx sin3x  cos2x cos 6x

e) sin3x cos 2x cosx 0 f) cos cos2 cos 3x x x  5 cos2 x

g) sin (4 cos2x 2x 1) cos (sinx x cosx sin ).x

h) cosx  3(sin 2x sin )x 4 cos cosx x 2 cos2x  2 i)

2

(sin cos ) sin

sin sin

2 4

1 cot

x x x

x x

x

 

    

         

   

    

     

j) 21 21 15 cos 42

2 cot tan sin

x x   x    x 

k)

2 sin

4

cos sin

tan

x

x x

x 



 

  

 

   

     

 



  

l) sin2 cos sin2 cos sin cos2 sin2 cos

2

x   x  x x  x x x x

   

m) (2 sin 1)(cos sin ) sin sin cos

2 cos

x x x x x

x x

       



n) cos2 cos 2

4 x  4 2 x 

o) (tanx 1)sin2x cos 2x  2 3(cosx sin )sin x x p) sin3x cos3x 3 sin2x 4 sinxcosx  2 q) sin 2x cos 2x  3(sinx 3)7 cos x

r) 8(sin6x cos )6x 3 cos 2x 113 sin 4x 9 sin x s) sin sin cos

sin sin cos

x x x

x  x  x 

t) cos 2x sin2xcosx sin cosx 2x 2(sinx cos ).x

u) sinx sin2x sin3x sin4x  cosx cos2x cos3x cos 4x v)

3

sin cos

1 cos 2 cos

1 cos sin

x x

   

 

(40)

Chương : TỔ HỢP VAØ XÁC SUẤT

§

CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

  Qui tắc cộng

Ví dụ Trong thi tìm hiểu đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách

các đề tài bao gồm: đề tài lịch sử, đề tài thiên nhiên, 10 đề tài người đề tài văn hóa Hỏi thí sinh có khả chọn đề tài ?

Giải:

Ví dụ Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B phương tiện: ô tô, tàu hỏa máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến tơ, chuyến tàu hỏa chuyến máy bay Hỏi có cách lựa chọn chuyến từ tỉnh A đến tỉnh B ?

Giải:

 Tổng quát:

Một công việc X thực theo k phương án A A1, , , ,2 Ak đó: Phương án A1 có n1 cách thực

Phương án A2 có n2 cách thực ……… Phương án Ak có nk cách thực

Số cách hồn thành công việc X là:

1

( )

k

k i

i

n X n n n n n 

      



 Qui tắc nhân

Ví dụ An đến nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có

4 đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường từ nhà đến Cường ?

Giải:

Ví dụ Lớp 11A có 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ Hỏi có cách chọn ban cán lớp ?

1

x x2

3

x x4

1

n n2

4

n

3

n

1

( )

n X n n n n

(41)

Giải:

Giả sử nhiệm vụ X hồn thành qua k giai đoạn A A1, , ,2 Ak :

Giai đoạn A1 có n1 cách làm, giai đoạn A2 có n2 cách làm, giai đoạn A3 có n3 cách làm,

………, giai đoạn thứ Ak có nk cách làm

Khi cơng việc X có số cách thực là: 1 2 3

1

(X)

k

k i

i

n n n n n n 

 



 Qui tắc bù trừ

Ví dụ Có số tự nhiên gồm năm chữ số khác mà không bắt đầu 12 ?

Giải:

Ví dụ Trong hộp có 6 bi đỏ, bi trắng bi vàng Có cách lấy viên bi từ hộp cho chúng không đủ ba màu ?

Giải:

Đối tượng x cần đếm chứa đối tượng X gồm x x đối lập Nếu X có m cách chọn, x có n cách chọn Vậy x có (mn) cách chọn

Về mặt thực hành, đề cho đếm đối tượng thỏa a b Ta cần làm: Bài toán : Đếm đối tượng thỏa a

Bài toàn : Đếm đối tượng thỏa a, khơng thỏa b

Do đó, kết tốn  kết toán 1 kết toán

 Lưu ý

 Nếu tốn chia trường hợp khơng trùng lặp để hồn thành cơng việc dùng

qui tắc cộng, toán chia giai đoạn thực ta dùng qui tắc nhân

(42)

 "Nếu cho tập hợp hữu hạn A B giao khác rỗng Khi số phần tử

A B số phần tử A cộng với số phần tử B trừ số phần tử A B , tức là: n A B(  )n A( )n B( )n A B(  )" Đó quy tắc cộng mở rộng  Khi giải bài tốn đếm liên quan đến tìm số cho số số chẵn, số lẻ, số chia hết ta nên ưu tiên việc thực (chọn) chúng trước chứa số 0 nên chia trường hợp nhằm

tránh trùng lặp với

 Dấu hiệu chia hết:

Gọi N a an n1 a a1 số tự nhiên có n 1 chữ số (an  0) Khi đó:

 Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 125 số tự nhiên N :

+ N 2 a0 2a0 





+ N 5 a0 5 a0 

 

+ N (hay 25) a a1 0 (hay 25)

+ N (hay 125) a a a2 0 (hay 125).

 Dấu hiệu chia hết cho 3, N (hay 9) (ao a1a2   an) (hay 9).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BT 64. Một hộp đựng 12 viên bi trắng, 10 viên bi xanh viên bi đỏ Một em bé muốn chọn viên bi để chơi Hỏi có cách chọn ?

BT 65. Chợ Bến Thành có cổng vào Hỏi người chợ: a) Có cách vào chợ ?

b) Có cách vào chợ cổng khác ?

BT 66. Có sách Tốn, sách Lí, sách Hóa Một học sinh chọn trong loại Hỏi có cách chọn

BT 67. Cho sơ đồ mạch điện hình vẽ bên cạnh Hỏi có cách đóng – mở cơng tắc để có dịng điện từ A đến B

BT 68. Đề thi học kì mơn Hóa gồm hai phần: trắc nghiệm tự luận Trong ngân hàng đề thi có 15 đề trắc nghiệm đề tự luận Hỏi có cách đề

BT 69. Một ca sĩ có 30 áo 20 quần, có 18 áo màu xanh 12 áo màu đỏ;

12 quần xanh quần đỏ Có cách chọn quần áo khác màu để người ca sĩ trình diễn ?

BT 70. Trong lớp 11A có 39 học sinh có học sinh tên Chiến, lớp 11B có 32 học sinh có học sinh tên Tranh Có cách chọn tổ gồm học sinh khác lớp mà khơng có mặt Chiến Tranh lúc ?

BT 71. Trong lớp 11A có 50 học sinh, có học sinh tên Ưu Tiên Có cách chọn học sinh thi mà có mặt học sinh tên Ưu tên Tiên ?

(43)

BT 72. Có 20 bơng hoa có bơng hồng, cúc, đào Chọn ngẩu nhiên

4 bơng, hỏi có cách chọn để hoa chọn có đủ ba loại ?

BT 73. Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách chọn học sinh cho khối có học sinh ?

BT 74. Có biển số xe gồm hai chữ đầu (26 chữ cái) chữ số theo sau (chữ số đầu không thiết khác chữ số cuối khác 0), cho:

a) Số chữ tùy ý bốn chữ số tùy ý chia hết cho theo sau

b) Số chữ khác chữ số đôi khác chia hết cho sau

BT 75. Người ta ghi nhãn cho ghế giảng đường Đại học chữ (26 chữ cái) số nguyên dương theo sau mà không vượt số

100 Bằng cách ghi vậy, nhiều có ghế ghi nhãn khác ?

BT 76. Cho tập hợp A





A

(1) Tùy ý

(2) Khác đôi

(3) Khác đôi năm chữ số tạo thành số lẻ

(4) Khác đôi năm chữ số tạo thành số chia hết cho (5) Khác đôi năm chữ số tạo thành số chia hết cho

BT 77. Từ chữ số 0, 1, 2, , lập số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác đơi chữ số ln số ?

BT 78. Cho tập hợp X 





X

BT 79. Cho sáu số: 1; 2; 3; 4; 5; Có thể tạo số gồm bốn chữ số khác Trong có số chia hết cho

BT 80. Cho tập A





A

BT 81. Có số tự nhiên gồm năm chữ số đơi khác nhau, chữ số phải có mặt hai vị trí đầu ?

BT 82. Có số tự nhiên gồm ba chữ số mà có hai chữ số chẵn đứng liền nhau, chữ số lại lẻ ?

BT 83. Từ chữ số 1; 2; 3; 4; lập số có ba chữ số khác nằm khoảng (300; 500) ?

BT 84. Cho số 1; 2; 5; 7; có cách lập số gồm ba chữ số khác từ năm chữ số cho số tạo thành số nhỏ 278 ?

(44)

BT 86. Có số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhỏ 34000 ?

BT 87. Có số tự nhiên gồm năm chữ số khác mà không bắt đầu 12 ?





A

BT 89. Hỏi từ 10 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt số số ?

BT 90. Từ chữ số: 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; lập số tự nhiên gồm có sáu chữ số đơi khác nhau, phải có mặt chữ số





A





A

BT 93. Từ chữ số 0, 1, 2, ., lập số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác đôi chữ số ln số ?

BT 94. Trong trường THPT A, khối 11 có: 160 em tham gia câu lạc Toán, 140 em tham gia câu lạc Tin học, 50 em tham gia hai câu lạc Hỏi khối 12 có học sinh ?

BT 95. Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi hai mơn thể thao: bóng đá cầu lơng Có 30 em đăng ký mơn bóng đá, 25 em đăng ký mơn cầu lơng Hỏi có em đăng ký hai môn thể thao ?

BT 96. Có học sinh, có An Bình Hỏi có cách xếp học sinh lên đoàn tàu gồm toa, biết rằng:

a) học sinh lên toa

b) học sinh lên toa đầu toa người c) học sinh lên toa khác

d) An Bình lên toa

e) An Bình lên toa, ngồi khơng có học sinh khác lên toa

BT 97. Tìm tất số tự nhiên có năm chữ số, cho số đó: chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước

BT 98. Có 20 thẻ đựng hai hộp khác nhau, hộp chứa 10 thẻ đánh số liên tiếp từ đến 10 Có cách chọn hai thẻ (mỗi hộp thẻ) cho tích hai số ghi hai thẻ số chẵn

BT 99. Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt khác lấy từ tập A





S

(45)

§

HỐN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP



1 Hốn vị

Ví dụ Giả sử muốn xếp 3 bạn A B C, , ngồi vào bàn dài có ghế Hỏi có cách xếp cho bạn ngồi ghế ?

Giải:

 Mỗi cách xếp chỗ cho bạn gọi hốn vị vị trí bạn

— Cho tập A gồm n phần tử (n 1) Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập hợp A, (gọi tắt hoán vị A)

— Số hốn vị tập hợp có n phần tử là: Pn n!n n.( 1).(n2) 3.2.1

Ví dụ Có 5 sách tốn, sách Lý sách Hóa Hỏi có cách xếp số sách lên kệ dài trường hợp sau:

a) Các sách xếp tùy ý b) Các sách môn xếp cạnh

Giải:

2 Chỉnh hợp

Ví dụ Giả sử muốn chọn 3 bạn bạn A B C D E, , , , bạn vào bàn dài Hỏi có cách ?

Giải:

 Mỗi cách chọn vị trí cho 3 bạn gọi chỉnh hợp chập 3 5

— Cho tập hợp A có n phần tử cho số nguyên k, (0 k n) Khi lấy k phần tử

A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A, (gọi tắt chỉnh hợp n chập k A)

— Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử là: !

( )!

k n

n A

n k

 

(46)

— Một số qui ước: 0!1, An0 1, Ann n!

Ví dụ Cho tập X 





a) Đôi khác b) Số tự nhiên lẻ đôi khác

Giải:

3 Tổ hợp

Ví dụ Có cách lập ban chấp hành gồm 3 người chi đồn có 14 đồn viên ?

 Mỗi cách lập ban chấp hành gồm người gọi tổ hợp chập 14 Ví dụ Vịng chung kết bóng đá Euro có 24 đội bóng thi đấu Hỏi có cách dự đốn đội bóng vào chung kết ?

 Mỗi cách dự đoán đội gọi tổ hợp chập 24 đội

— Cho tập hợp A có n phần tử cho số nguyên k, (0 k n) Mỗi tập hợp A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A

— Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử !

( )! ! !

k

k n

n

A n

C

n k k k

  



— Một số quy ước: Cn0 1, An0 1, với quy ước này, ta có

!

( )! !

k n

n C

n k k



 với số

nguyên dương k, thỏa: 1 k n

— Tính chất: Cnk Cnn k , (0 k n) Cnk1 Cnk Cnk1, (1 k n) : gọi đẳng thức Pascal)

Giải ví dụ 1: Giải ví dụ 2: Ví dụ Một lớp học có 30 học sinh, cần lập tổ công tác gồm học sinh Hỏi có cách ?

Giải: Ví dụ Trong khơng gian, cho tập hợp X gồm 10 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Hỏi:

a) Có đường thẳng tạo thành ? b) Có tam giác tạo thành ?

Giải:

(47)

Dạng tốn 1: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình



 Phương pháp giải

 Bước Tìm điều kiện Ta có điều kiện thường gặp sau:

Các kí hiệu cơng thức Điều kiện

!n n n.( 1).(n2) 3.2.1

 n 

Pn n!

 n *

! ( )! k n n A n k    , n k k n         ! ( )! ! k n n C

n k k

   , n k k n        

k n k

n n

C C 

 , n k k n         1

k k k

n n n

C C C 

    , n k k n        

 Bước Thu gọn dựa vào công thức đưa phương trình đại số Giải phương trình đại số tìm biến

 Bước So với điều kiện để nhận giá trị cần tìm

BT 101.Thu gọn biểu thức sau:

a) !4 ! 8! 9!

10! 3!5! 2!7 !

D    b) 2011! 2009

2010! 2009! 2011

D   



c) 5! ( 1)!

( 1) ( 1)!3!

m D

m m m



  

  d)

7 ! ( 2)!

4!( 1)! ( ) m D m m m      

e) 6! ( 1)!

( 1) !( 1)!

m D

m m m



  

  f)

2 ( 1) ( 1) n n C D n n    

BT 102 Giải phương trình sau: a) ( 1)! 72

( 1)! n n    b)

! ( 1)!

( 1)!

x x

x

 

  

c) ! !

( 2)! ( 1)!

n n

n  n  d)

(48)

BT 103. Giải phương trình sau:

a) P x2 –P x3 8 b)

3 20

n

A  n

c) C23n 20 Cn2 d)

8

1

4Cx 5Cx

e) 10 102 10

x x

C  C 

   g)

2

14 14 14

k k k

C C   C 

h) 2 23

x x x x

C C  C  C  

   i) An3 5An2 2(n 15)

j) An3 2Cn2 16 n k)

3 x 14

x x

A C   x

l) 2 101

x

x x

A C 

   m)

2

1

2Cx Cx 79

n)

1 x x x P P P   

  o)

4 24 23 n n n n A A C 



  

p) 42

1 210 n n n P A P     q) 28 24 225 52 x x C

C   

r) 72Ax1Ax31 72 s)

2

2Ax 50Ax

t) 32 31

x

x C xC C  u) 12 7( 1)

x

x x

C  C x

    

v) 6Cx2 6Cx3 7x27 x x)

1 6 6 9 14

x x x

C  C  C  x  x

y) 2(An3 3 )An2 Pn1 z)

2

2Pn 6An P An n 12

BT 104. Giải phương trình sau: a)

5

5 14

x x x

C C C  b) 4 5 6

1 1

x x x

C C C 

c) 1 2 1

1

6

x x x

C C   C   d)

4

1

5

0

n n n

C  C   A 

e)

2

x x x

C C C  x g) Cxx Cxx Cxx Cxx 10 1023

          

BT 105. Giải bất phương trình sau:

a) An3 1515 n b) 4n! ( n 1)!50 c) An3 An2 12 d) 72Ax1 Ax31 72 e) An3 5An2 21 n g) 2Cx213Ax2 30

h) ! 10

( 2)! n n n    i) 4 15

( 2)! ( 1)!

n A n n      j) 4 42 ( 1)! x x A x P     k) 60 ( )! k n n P A n k     

l) 2Cx213Ax2200 m) 22 10

(49)

n) 22

12

3 81

2

x x x

C A A

x    o)

4

1

5

0

x x x

C  C   A 

p) 2 n n n n A P C     q) 2 143 n n n A P P     

BT 106.Giải hệ phương trình sau:

a) 90

5 80

y y x x y y x x A C A C          b) 180 36 y y x x y y x x A C A C         

c) 1

1

126 720

x

y y x

y x x A C P P              d) 1

6

y y y

x x x

C C  C 

   

e) 11 : _11 : 11 : :

m m m

n n n

C  C C 

    g)

1

1 : : : :

y y y

x x x

C C  C 

 

h)

1 : : 24 x x y y x x y y C C C A          i) 1 1 1 m m n n m n m n C C C C                j) 1

5 y y

x x y y x x C C C C           k) 1 126 720 x

y y x

y x x A C P P               l)

4

1

4 1 15

n n n

n

n n

C C A

C A                m) 5 7 y y x x y y x x A A C C            n) 1

4

y y x x y y x x C C C C            o)

1 2 1

1

( ) 2( )

2( )

x y x y

x y

C C A C

C A               

Dạng toán 2: Các toán sử dụng hoán vị



BT 107.Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề ? ĐS: 5!8 !

BT 108.Trên kệ sách dài có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên:

a) Một cách tùy ý ĐS: 12!

b) Theo môn ĐS: 3!(5! !3!)

c) Theo mơn sách Tốn nằm ĐS: 2!(5! 4! 3!)

(50)

a) Nam nữ xếp tùy ý ĐS: 10!

b) Nam dãy ghế, nữ dãy ghế ĐS: 2.5!.5!

BT 110. Cho bàn dài có 10 ghế 10 học sinh có học sinh nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh cho:

a) Nam nữ ngồi xen kẻ ĐS: 2.5!.5!

b) Những học sinh giới ngồi cạnh ĐS: 2.5!.5!

BT 111. Một trường trung học phổ thông có học sinh giỏi khối 12, có học sinh giỏi khối 11, có học sinh giỏi khối 10 Hỏi có cách xếp 20 học sinh thành hàng ngang để đón đồn đại biểu, nếu:

a) Các học sinh xếp ĐS: 15!

b) Các học sinh khối phải đứng kề ĐS: 3!.4 !.5!.6!

BT 112. Có cách xếp bạn học sinh A B C D E, , , , vào ghế dài cho:

a) Bạn C ngồi ? ĐS: 1.4 !

b) Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế ? ĐS: 2!3!

BT 113. Xếp học sinh A B C D E F, , , , , vào ghế dài, có cách xếp nếu:

a) học sinh ngồi ĐS: 6!

b) A F ngồi hai đầu ghế ĐS: 2!4 !

c) A F ngồi cạnh ĐS: 5!2!

d) A B C, , ngồi cạnh ĐS: 4! 3! e) A B C D, , , ngồi cạnh ĐS: 3! 4!

BT 114. Hỏi có cách xếp cặp vợ chồng ngồi xung quanh bàn tròn thỏa:

a) Nam nữ ngồi xen kẻ ĐS: 5!.6!

b) Mỗi bà ngồi cạnh chồng ĐS: 5!.26

BT 115. Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có cách xếp cho thành

viên cho người quốc tịch ngồi gần ? ĐS: 4!5!5!4!6!4!

BT 116. Cho tập X 





nhau chia hết cho lập từ tập X ? ĐS: 24

BT 117. Cho tập E 





BT 118. Cho tập E 





khác nhau, biết tổng chữ số 18 ? ĐS: 3!.6

BT 119. Xét số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ chữ số 1; 2; 3; 4; Hỏi số có số:

a) Bắt đầu chữ số ? ĐS: 4!

(51)

c) Bắt đầu 23 ? ĐS: 3!

d) Không bắt đầu 234 ? ĐS: 5! 2!

BT 120.Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; thiết lập tất số có sáu chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh

nhau ? ĐS: 480

BT 121.Cho hai tập A





B





a) Hai chữ số không đứng cạnh lập từ A ĐS: 6! 2.5!

b) Chữ số đứng cạnh chữ số lập từ tập B ĐS: 2(5! !)

BT 122 Cho số 0; 1; 2; 3; 4; Có thể lập số gồm tám chữ số chữ số lặp lại ba lần, chữ số cịn lại có mặt lần ? ĐS: 35820

3! 

BT 123.Từ tập hợp A





và chúng đứng cạnh ? ĐS: 3630

BT 124.Cho tập A





A

Dạng toán 3: Các tốn sử dụng chỉnh hợp

BT 125.Trong khơng gian cho bốn điểm A B C D, , , Từ điểm ta lập véctơ khác véctơ



Hỏi có véctơ ? ĐS: A42

BT 126.Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó

thư ký Hỏi có cách chọn ? ĐS: A203

BT 127.Một nhóm học sinh có em nam em nữ Hỏi có cách xếp 10 em hàng ngang, cho hai vị trí đầu cuối hàng em nam khơng có

em nữ ngồi cạnh ? ĐS: 7 !.A63

BT 128.Có nam, nữ có ba bạn tên A B C, , Hỏi có cách xếp thành hàng dọc để vào lớp cho:

a) Các bạn nữ không đứng cạnh ĐS: 6!.A76

b) Đầu hàng cuối hàng nam ĐS: A62.10!

c) Đầu hàng cuối hàng phái ĐS: .10!A62

d) Đầu hàng cuối hàng khác phái ĐS: 2.6.6.10!

e) A B C, , đứng gần ĐS: 10!.3!

(52)

BT 129. Một khay tròn đựng bánh kẹo ngày tết có ngăn hình quạt với màu khác Hỏi

có cách bày loại bánh kẹo vào ngăng ? ĐS: 5!

BT 130. Có cách xếp chỗ cho bạn nữ bạn nam vào 10 ghế mà khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh nhau, nếu:

a) Ghế xếp thành hàng ngang ? ĐS: 6!.A74

b) Ghế xắp quanh bàn tròn ? ĐS: 5!.A64

BT 131. Có cách xếp bạn nam bạn nữ ngồi xung quanh bàn trịn,

sao cho khơng có bạn nữ ngồi cạnh ĐS: 4!.A53

BT 132. Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ngồi hàng ngang có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho học sinh cho học sinh lớp 12 ngồi

giữa hai học sinh lớp 11 ĐS: 6!.A52

BT 133. Cho tập X 





khác lập từ X mà chia hết cho ? ĐS: 1560

BT 134. Cho tập X 





X

a) Khác đôi ? ĐS: 9.A94

b) Khác đơi số số lẻ ? ĐS: 5.8.A83

c) Khác đôi phải có mặt đủ chữ số 1, 2, ? ĐS: A A53 726A43

BT 135. Cho tập X 





X

BT 136. Từ số 1, 3, 5, 6, 7, lập số có chữ số khác lớn

hơn số 6000 ? ĐS: 2A34 A55

BT 137. Cho tập X 





X

BT 138. Cho tập X 





X

BT 139. Có thể lập số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu 0908, chữ số cịn lại khác đơi một, đồng thời khác với chữ số đầu (0908)

nhất thiết phải có mặt chữ số ĐS: 6.A65

BT 140. Từ sáu chữ số 0; 1; 3; 5; 7; lập số tự nhiên gồm bốn chữ số

đôi khác không chia hết cho ? ĐS: 4.4.A42

BT 141. Với chữ số 0; 1; 2; 3; 4; lập số có chữ số khác thỏa điều kiện:

(53)

b) Bắt đầu 24 ? ĐS: 24

c) Bắt đầu 345 ? ĐS:

BT 142.Cho tập hợp X 





n

X

a) n số chẵn ? ĐS: 3000

b) Một ba chữ số phải ? ĐS: 2280

BT 143.Có số tự nhiên có chữ số khác đơi một, chữ số

đứng liền hai chữ số ? ĐS: 7440

BT 144.Cho tập E 





a) Đôi khác ? ĐS: A53

b) Đôi khác chia hết cho ? ĐS: 24

BT 145.Cho tập A





A

chữ số phân biệt mà phải có chữ số số ? ĐS: A A52 434.A43

Dạng toán 4: Các toán sử dụng tổ hợp

BT 146.Ơng X có 11 người bạn Ơng muốn mời người số họ chơi xa Trong 11 người có có người khơng muốn gặp Hỏi ơng X có phương án

mời người bạn ? ĐS: 2C94 C95

BT 147.Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu:

a) Gồm học sinh tuỳ ý ĐS: C404

b) Có nam nữ ĐS: C C251 153

c) Có nam nữ ĐS: C C252 152

d) Có nam ĐS: C404 C154

e) Có nam nữ ĐS: C404 C254 C154

BT 148.Một nhóm có học sinh nữ học sinh nam Có cách chọn tổ học tập có học sinh, có tổ trưởng, tổ phó, thủ quỹ hai tổ viên, biết tổ trưởng phải nam thủ quỹ phải nữ ĐS: C C C C71 .61 111 102

BT 149.Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh lập thành đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng Hỏi có cách:

a) Chọn học sinh, có khơng q nữ ĐS: 620880 b) Chọn học sinh, có nam nữ ĐS: C C152 253

(54)

d) Chọn học sinh, anh A chị B khơng thể tham gia đồn

đại biểu ĐS: C383 C385

BT 150. Một lớp có 20 học sinh có 14 nam, nữ Hỏi có cách lập đội gồm học sinh có:

a) Số nam số nữ ? ĐS: C C142 62

b) Ít nữ ? ĐS: 3844

BT 151. Một đội văn nghệ gồm 20 người, có 10 nam, 10 nữ Hỏi có cách chọn người, cho:

a) Có nam người ? ĐS: C C102 103

b) Có nam, nữ người ? ĐS: 12900

BT 152. Một đội cảnh sát giao thơng gồm 15 người có 12 nam Hỏi có cách phân đội cảnh sát giao thơng chốt giao thơng cho chốt có nam

nữ ĐS: 207900

BT 153. Từ hồng vàng, hồng trắng, hồng đỏ (các hồng xem đôi khác nhau) Người ta muốn chọn bó hoa hồng gồm bơng Có cách chọn:

a) bó hoa có hồng đỏ ĐS: C C41 86

b) bó hoa có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ

BT 154. Có viên bi xanh, viên bi đỏ, bi vàng có kích thước đơi khác Có cách chọn viên bi cho:

a) Có viên bi màu đỏ ? ĐS: C C52 134

b) Số bi xanh số bi đỏ ? ĐS: 3045

BT 155. Có hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng

a) Có cách lấy viên bi, có viên bi xanh có nhiều

viên bi vàng phải có đủ màu ĐS: 1700

b) Có cách lấy viên bi có đủ màu ĐS: 4984

BT 156. Một hộp đựng 15 viên bi khác gồm bi đỏ, bi trắng bi vàng Tính số cách chọn viên bi từ hộp cho khơng có đủ màu ĐS: 645

BT 157. Trong ngân hàng đề kiểm tra 30 phút mơn Vật Lí có 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi có dạng ? ĐS: C C42 61 C C41 62

BT 158. Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình,

(55)

BT 159.Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn

như ? ĐS: 225

BT 160.Hội đồng quản trị cơng ty TNHH A gồm 12 người, có nữ Từ hội đồng quản trị người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu thiết

phải có nữ ? ĐS: A C122 102 A C72 52

BT 161.Một lớp có 50 học sinh chia thành tổ, tổ có 10 học sinh Có cách

chia tổ ? ĐS: C C C C C5010 4010 3010 2010 1010

BT 162.Một tổ có học sinh trồng Khi trồng cần có em học sinh Có cách chia tổ thành cặp ? ĐS: C C C C82 62 42 22

BT 163.Giải bóng truyền VTV Cup gồm đội bóng tham dự, có đội nước đội Việt Nam Ban tổ chức bốc thăm chia làm bảng đấu A B C, , Hỏi có cách chia cho:

a) Mỗi bảng ba đội ? ĐS: C C C93 63 33

b) Mỗi bảng ba đội đội bóng Việt Nam ba bảng khác ? ĐS: 540

BT 164.Trong thi “Rung chng vàng”, đội X có 20 bạn lọt vào vịng chung kết, có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia bạn thành nhóm A B C D, , , , nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Hỏi có bao cách chia nhóm, cho:

a) Thành viên nhóm ? ĐS: C C C C205 155 105 55

b) Năm bạn nữ nhóm ? ĐS: 4C C C155 105 55

BT 165.Trong hộp có 50 thẻ đánh số từ đến 50 Có cách lấy ba thẻ cho có thẻ mang số chia hết cho ? ĐS: C C62 441

BT 166.Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Có cách chọn 10 thẻ cho có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có

thẻ mang số chia hết cho 10 ? ĐS: C C C155 13 124

BT 167.Trong hộp có 20 viên bi đánh số từ đến 20 Có cách lấy viên bi cho có viên bi mang số lẻ, viên bi mang số chẵn có viên bi mang số chia hết cho ? ĐS: C C C103 51 51

BT 168.Trong hộp có 100 viên bi đánh số từ đến 100 Có cách chọn ba viên bị cho:

a) Ba viên bi ? ĐS: C1003

b) Tổng ba số ba bi chia hết cho ? ĐS: C503 C C501 502

(56)

a) Ba thẻ ? ĐS: C403 b) Tổng ba số ghi ba thẻ chia hết cho ? ĐS: 127

BT 170. Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Có cách chọn viên bi cho tổng số bi số lẻ ? ĐS: C C61 53 C C63 51

BT 171. Cho hai đường thẳng a b Trên đường thẳng a có điểm phân biệt đường thẳng b có 10 điểm phân biệt Hỏi tạo tam giác có đỉnh điểm hai đường thẳng a b cho ? ĐS: 325

BT 172. Cho hai đường thẳng song song d d1, .2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20

điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn

1

d d2 ? ĐS: 5950

BT 173. Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng tạo thành ? ĐS: C102

b) Có véctơ tạo thành ? ĐS: A102

c) Có tam giác tạo thành ? ĐS: C103

d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ

diện tạo thành ? ĐS: C104

BT 174. Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n 2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh

là điểm cho Tìm n ? ĐS: n 20

BT 175. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 10 đường thẳng song song cắt đường thẳng song song khác Hỏi có hình bình hành tạo thành từ đường

thẳng ĐS: C C102 82

BT 176. Cho đường thẳng d1 d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường

thẳng d2 có n điểm phân biệt (n , n 2) Biết có 1725 tam giác có đỉnh

các điểm cho Hãy tìm n ? ĐS: n 15

BT 177. Trong không gian cho hai đường thẳng a b song song với Trên đường thẳng lấy điểm cách khoảng x Hỏi thành lập bao nhiêu hình bình hành tạo thành từ 10 điểm ? ĐS: 30

BT 178. Cho tập X 





X

và ba chữ số lẻ ? ĐS: 2880288

(57)

§

NHỊ THỨC NEWTON



 Nhị thức Newton Cho a b, số thực n  Ta có:

0 1 2 1

0

( )

n

n k n k k n n n n n n n

n n n n n n

k

a b C a  b C a C a b C a b C ab  C b 

 



Ví dụ Khai triển nhị thức sau:

4 (x 1) 



5 (x 2 )y 

 x x              2x x             

 Nhận xét

 Trong khai triển (ab)n có n1 số hạng hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối nhau: Cnk Cnn k

 Số hạng tổng quát dạng: Tn1 C ank n k bk số hạng thứ N k N 1  Trong khai triển (ab)n dấu đan nhau, nghĩa , , ,….…  Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ avà bbằng n

 Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn như:

1

0 1

(1 )n n n n x n n

n n n n n n

x C x C x  C  C C C               



1

0 1

(1 )n n n ( 1)n n x ( 1)n n

n n n n n n

x C x C x  C  C C C

                  



 Tam giác Pascal

Các hệ số khai triển: (a b) , (0 a b) , (1 ab) , ., (2 a b)n xếp thành tam giác gọi tam giác PASCAL

0 : 1 : 1 : : 3 : : 10 10 : 15 20 15 : 21 35 35 21 n n n n n n n n         1 k k n n k n C C C     

(58)

Câu hỏi ? Viết đầy đủ dạng khai triển nhị thức sau:

6 (a b) 



7 (a b) 



Dạng tốn 1: Tìm hệ số số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước

BT 180. Tìm hệ số số hạng khai triển:

a) (2x 3 )y 17 chứa x y8 b) (x y)25 chứa x y12 13

c) (x3)9 chứa x4 d) (13 )x 11 chứa x6

e) (3x x2 12) chứa x15 f) (x2 2 )x 10 chứa x16

g)

40

2

1

,

x x x           

  chứa

31.

x h)

10

2 , 0

x x

x

 

    

 

  chứa x11

i) (3x2 x)7 chứa x2 j)

10 , xy x xy y y                 

   chứa

6 2.

x y

k) (2x y)13 chứa x y6 l) (x3xy)15 chứa x y25 10 m) (1 x )x2 10 chứa x4 n) (1 x )x2 10 chứa x17 o) (2 x 3 )x2 chứa x2 p) (x2  x 1)5 chứa x3

q) (1x2 x3 8) chứa x8 r)

12 1 x x          

  chứa

8

x

BT 181. Tìm số hạng khơng chứa x (độc lập với x) khai triễn nhị thức:

a)

12

1

,

x x x           

  b)

5

2

1

,

x x x            c) 10

2x , x

x

 

    

 

  d)

12

3

, x x x              e) 10

, x x x           

  f)

9

2x , x x              g) 12

,

x x x           

  h)

5

2

,

x x x              i) 20 3

2 x , x

x

 

    

 

  j)

8

2 , 0.

xy xy xy              k) 12

, x x x           

  l)

18

5

2x , x

(59)

m)

7

4

1

,

x x x           

  n)

17 3

1

,

x x x             

BT 182.Tìm hệ số chứa x10 khai triển: (1 x x2 x3 5)

BT 183.Tìm hệ số chứa x5 khai triển: x(1 ) x x2(13 ) x 10

BT 184.Tìm hệ số chứa x5 khai triển: (2x 1)4 (2x 1)5 (2x 1)6 (2x 1)

BT 185.Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (dạng có điều kiện)

a) Tìm số hạng chứa x10 khai triển 12 , 0, n x x x          

  biết

4 13 2

n n

C  C

b) Tìm số hạng chứa x2 khai triển x3 12 , x 0,

x

 

   

 

  biết

0 11.

n n n

C C C 

c) Tìm số hạng chứa x8 khai triển (x2 2) ,n biết An3 8Cn2 Cn1 49

d) Tìm hệ số x4 khai triển , 0, n x x x           

  biết

6

4 454

n

n n

C  n A

  

e) Tìm số hạng không chứa x khai triển 41 , 0,

5 n x x n x            

  biết

n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cn3 5 Cn1 f) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 33 ,

n x x         

  với

*, 0.

n  x  Biết

rằng An21 Cn21 18 P3

g) Tìm số hạng độc lập với x khai triển 5

28

, 0,

n

x x x

x

 

 

    

 

  biết n

là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cnn Cnn1 Cnn2 79 h) Tìm hệ số x10 khai triển 32 , 0,

n x x x           

  biết n số nguyên

dương thỏa mãn điều kiện: 3Cn2 2An2 3n2 15

i) Tìm số hạng không chứa x khai triển: , 0,

n x x x          

  biết n

số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cn6 3Cn7 3Cn8 Cn9 2Cn82

j) Cho n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cnn11 An2 160 Tìm hệ số

7

(60)

k) Cho n  a b b, , ( 0) Biết khai triển nhị thức Newton

n

a b b

 

  

 

  có

hạng tử chứa a b4 9, tìm số hạng chứa tích a b với số mũ ?

l) Cho n số nguyên dương thỏa mãn: 1 32

n n

n n n n

C  C C C 

  

  Tìm hệ số số

hạng chứa x11 khai triển: ,

3

n

n n

x x x

x 

 

   

 

 

BT 186. Xác định số nguyên dương n để khai triển (1x2)n có hệ số x8 lần hệ số x4

BT 187. Tính A2016n , biết hệ số x2 khai triển (13 )x n 90

BT 188. Trong khai triển nhị thức (12 ) , (ax n x 0) ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 48 ,x số hạng thứ ba 1008 x2 Tìm n a ?

BT 189. Trong khai triển nhị thức (1ax) ,n ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai

24 ,x số hạng thứ ba 252 x2 Tìm n a ?

BT 190. Biết hệ số xn2 khai triển (x 2)n 220 Tìm hệ số x2

BT 191. Biết hệ số xn2 khai triển

4

n

x     

 

  31 Tìm số nguyên dương n

BT 192. Tìm số hạng khơng chứa x khai triển , n

x x     

 

  biết hiệu số số hạng thứ ba

và thứ hai 35

BT 193. Trong khai triển nhị thức 2 n

x x     

 

  cho biết tổng hệ số ba số hạng

trong khai triển 97 Tìm hệ số số hạng có chứa x4

BT 194. Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (kết hợp với việc tính tổng) a) Biết tổng hệ số khai triển (1x2)n 1024 Tìm hệ số x12 ?

b) Tìm hệ số x6 khai triển , n

x x     

 

  với n số nguyên dương biết

rằng tổng hệ số khai triển 1024 ?

c) Tìm số hạng x y10 khai triển: (2x2 y) ,n biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cn1 Cn2 Cn3    Cnn 2047

d) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển

 

n

P x x

x

 

 

  

  với x 0

(61)

e) Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2x) ,n biết n số nguyên dương thỏa: 3nCn0 3n 1Cn1 3n 2Cn2 3n 3Cn3 ( 1)nCnn 2048

  

          

f) Tìm hệ số x10 khai triển ( x 3 ) , (x2 n x 0), biết n số nguyên dương tổng hệ số khai triển bằng2048 ?

g) Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2x) ,n biết n số nguyên dương thỏa: 3nCn0 3n 1Cn1 3n 2Cn2 3n 3Cn3

 

nCnn

  

        

h) Tìm hệ số x19 khai triển biểu thức P (2x 1) (9 x 2) ,n biết n số nguyên dương: Cn0 Cn1 Cn2    Cnn 2048 ?

i) Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 – ) ,x 2n n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C21n1 C23n1 C25n1      C22nn11 1024 ?

BT 195.Cho P (12 ) , x n n * Khai triển P ta được: 2

n

o n

P a a x a x    a x

Tính n a11 biết 21 222 233 2 4096

n n

a a a a

a         

BT 196.Cho khai triển nhị thức: (1 3) 2 3

n n

o n

x x a a x a x a x

           Xác định

n tìm a6, biết rằng:

15

1

2

1

2 2

n

o n

a a a

a                

Dạng tốn 2: Chứng minh tính tổng

BT 197 Chứng minh:

a) C20n C21n C22n C23n          C22nn1 C22nn  n

b) 20 21 22 23 22 22

n n

n n n n n n

C C C C            C  C 

c) 316C160 315C161 314C162           3C1615 C1616 2 16

d) 20 22 22 21 23 22 22

n n n

n n n n n n

C C             C C C           C   

e) C20n C22n.32 C24n34              C22nn.3n 22n1.(22n 1) f) C20010 32C20012 34C20014          32000C20012000 22000(220011)

g) Cn03n Cn13n1         ( 1)nCnn Cn0 Cn1       Cnn

h) 2 2 4

2

n

n n n n

C  C  C        C   

i) (Cn0 2) ( )Cn1 (Cn2 2)        (Cnn)2 C2nn,  n 2, n 

j)

2 2 1

0

2 2

1

, 2,

1 ( 1)

n n

n

n n n n C

C C C C

n n

 

        

       

                  

       

         

(62)

BT 198. Tính tổng sau:

a) S C50 C51 C52       C55

b) S C50 2C51 22C52       25C55

c) S 40C80 41C18 42C82       48C88

d) S C20100 C20101 C20102      C20102010

e) S C20100 2C20101 22C20102       22010C20102010

f) S C106 C107 C108 C109 C1010

g) S C1000 C1002 C1004    C100100

h) S 2.C20101 2 3C20103 2 5C20105      22009.C20102009

i) 21 22

 

1 1

1

2

k k n n

n n n n

S C C C C

k n

 

               



j) 1 1

2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014 !

S          

k) S 1 2C20131 2 2C20132 3 2C20133       2013 2C20132013

l)

0 2013

2013 2013 2013 2013

2 1 2 3 2014

C C C C

S          

BT 199. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện sau: a) Cn1 Cn2 Cn3 Cnn Cnn 4095



         

b) 3nCn03n1Cn1 3n2Cn23n3Cn3       ( 1)nCnn 2048

c) 20 22 24 26 22 512

n

n n n n n

C C C C      C 

d) C21n1 C23n1 C25n1 C27n1      C22nn11 1024 e) 20142 20144 20146 20148 20141006 2503

n

C C C C     C  

f) C21n1 C22n1 C23n1     C2nn1 220 1

BT 200. Chứng minh: a) Cnk Cnn k



 b) 1

k k k

k n n

C C C 

  

c) Cnk 3Cnk1 3Cnk2 Cnk3 Cnk33 d) kCnk nCnk11

e) ( 1) ( 1) 22

k k

n n

k k C n n C  

   f) ( 1) 22 11

k k k

n n n

k C n n C  nC 

 

  

BT 201. Chứng minh:

1

0 2

1

n n n

C C C

n

   

 

  

 với  n 2, n 

BT 202. Cho khai triển:

11

2 11

1 11

1

3 o

x

a a x a x a x

 

         

 

  Hãy tìm hệ số lớn ?

BT 203. Cho khai triển: (12 )x n a0 a x1    a xn n, với hệ số a a0, , ,1 an thỏa mãn

hệ thức: 21 4096

2

n n

a a

(63)



Em cã biÕt ?

MỘT SỐ MẪU CHUYỆN VÊØ NHÀ TỐN HỌC PASCAL

Hồi nhỏ Pascal đam mê Hình học Nhưng Pascal yếu nên cha ơng khơng muốn cho ơng học Tốn Cha ông giấu hết tất sách liên quan đến tốn Thế Pascal phải tự mày mị xây dựng nên mơn hình học cho riêng Ơng vẽ hình tự đặt tên cho chúng Ơng gọi đường thẳng “cây gậy”, đường trịn “cái bánh xe”, hình tam giác “thước thợ”, hình chữ nhật “mặt bàn”, Ơng tìm chứng minh nhiều định lí hình học, có định lí: “Tổng góc thước thợ nửa tổng góc mặt bàn” Năm Pascal 12 tuổi

Năm 16 tuổi, Pascal cơng bố cơng trình tốn học: “về thiết diện đường cơníc”, ơng chứng minh định lí tiếng (sau mang tên ơng) gọi “định lí lục giác thần kì” Ơng rút 400 hệ từ định lí Nhà tốn học triết học vĩ đại lúc Descartes đánh giá cao cơng trình tốn học nói rằng: “Tơi khơng thể tưởng tượng người tuổi thiếu niên mà lại viết tác phẩm lớn vậy”

Năm 17 tuổi, thấy cha (một kế tốn) phải làm nhiều tính tốn vất vả, Pascal nảy ý định chế tạo máy tính Sau năm lao động căng thẳng miệt mài, ơng chế tạo xong máy tính làm phép tính cộng, trừ, nhân, chia, chưa nhanh Đó máy tính nhân loại Để ghi nhớ công lao này, tên ông đặt cho ngôn ngữ lập trình, ngơn ngữ lập trình Pascal

Vào năm 1651, Pascal 28 tuổi Châu Âu tôn vinh thần đồng, ông nhận thư nhà quí tộc Pháp De Méré nhờ ông giải đáp số vấn đề rắc rối nảy sinh trị chơi đánh bạc Pascal “tốn học hóa” trị chơi cờ bạc này, nâng lên toán phức tạp trao đổi vấn đề với nhà toán học Phec – ma Những trao đổi khai sinh lý thuyết xác suất – lý thuyết toán học tượng ngẫu nhiên

Sau cha mất, chị gái bỏ tu, lại thêm ốm đau bệnh tật, Pascal chán chường tất Ơng bỏ tốn học, đắm chìm vào suy tư tín ngưỡng nghiên cứu thần học Vào đêm vào đầu mùa xuân năm 1658, đau dội làm Pascal không ngủ Để quên đau, ông tập trung suy nghĩ tốn đường xyclơit, tốn khó thu hút quan tâm nhiều nhà toán học lúc Kỳ lạ thay, ơng giải tốn sáng hôm sau khỏi bệnh đau Ơng nghĩ thơng điệp Chúa nhắc nhở ông không quên rời bỏ toán học Và sau năm theo đường tín ngưỡng tơn giáo, Pascal lại quay với tốn học Khơng nhà tốn học thiên tài, Pascal cịn nhà vật lí học tiếng, nhà văn, nhà từ tưởng lớn

Ngày người ta thường nhắc đến câu nói Pascal như: “Con người sậy, vật yếu đuối tự nhiên, sậy biết suy nghĩ” “Trái tim có lí lẽ mà lí trí khơng giải thích được”

Pascal ơng 39 tuổi Ơng coi nhà bác học lớn nhân loại

Hy vọng dù ảo tưởng đến đâu giúp đường đời cách vui vẻ

(64)

§

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ



Trong thực tiễn, thường gặp tượng ngẫu nhiên Đó tượng (biến cố) mà dự báo cách chắn xảy hay khơng xảy

Lý thuyết xác suất mơn tốn học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Sự đời lý thuyết xác suất thư từ trao đổi hai nhà toán học vĩ đại người Pháp Pascal (1623 – 1662) Phec – ma (1601 – 1665) xung quanh giải đáp số vần đề rắc rối nảy sinh trình trò chơi cờ bạc nhà quý tộc Pháp đặt cho Pascal Năm 1812, nhà toán học Pháp La – pha – xơ dự báo rằng: “Môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức loài người”

Này nay, lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng, ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y tế, sinh học,

 Biến cố

a) Phép thử không gian mẫu

— Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà:

+ Kết khơng đốn trước

+ Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử

— Tập hợp kết phép thử T gọi không gian mẫu T kí hiệu  Số phần tử khơng gian mẫu kí hiệu n( ).

Ví dụ Phép thử: “Gieo súc sắc” có khơng gian mẫu  





n

Ví dụ Xét phép thử: “Gieo hai đồng xu phân biệt” Nếu kí hiệu

S

N





n

                                     

Ví dụ Xét phép thử T là: “Gieo ba đồng xu phân biệt” Hãy cho biết không gian mẫu số phần tử không gian mẫu ?

Giải

b) Biến cố

Ví dụ Xét phép thử T : “Gieo súc sắc” có khơng gian mẫu  





A

Biến cố A xảy kết phép thử T là: Các kết gọi kết thuận lợi cho A mô tả bởi:          A





A

n A

Tổng quát:

 Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T

 Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy ra, gọi kết thuận lợi cho A

(65)

Câu hỏi ? Xét phép thử T biến cố B: “Số chấm mặt xuất số lẻ” biến cố C : “Số chấm xuất mặt nguyên tố” Hãy mô tả biến cố B C

Giải:                                 B





n B





C n C

                                    Xác suất

Ví dụ Xét phép thử T : “Gieo hai súc sắc” Các kết xảy T cặp ( ; )x y cho bảng sau:

1

1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)

2 (2;1) (2;2) (2; 3) (2; 4) (2;5) (2;6)

3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)

4 (4;1) (4;2) (4; 3) (4; 4) (4;5) (4;6)

5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)

6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)

 Không gian mẫu T  





n

 Các mặt súc sắc có khả xuất nên 36 kết T đồng khả

năng xảy Xét biến cố A: “Tổng số chấm xuất mặt 7” Lúc ta có:  A





n A

36  6 gọi xác suất A

 Tổng quát: Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu  tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T A tập hợp kết thuận lợi cho A xác suất A số, kí hiệu P A( ), xác

định công thức: ( ) ( )

( )

A n A

P A

n 

 



  

Sè phÇn tư cđa Sè phÇn tư cña A

Từ định nghĩa, suy ra: 0P A( )1, ( )P  1, ( )P  0

Ví dụ Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố sau:

(1) A: “mặt lẻ xuất hiện”

(2) B: “xuất mặt có số chấm chia hết cho 3” (3) C : “Mặt xuất có số chấm lớn 2”

(66)

b) Các phần tử biến cố B  B n B( ) P B( )

c) Các phần tử biến cố C  C n C( ) P C( )

Ví dụ Từ hộp chứa 4 cầu trắng, cầu đỏ cầu xanh Lấy ngẫu nhiên cầu hộp Tính xác suất để:

a) Lấy cầu trắng b) Lấy cầu đỏ c) Lấy cầu xanh

Giải Gọi  khơng gian mẫu Ta có: n( ) 

a) Gọi A biến cố lấy cầu trắng Ta có: n A( ) P A( ) b) c)

Ví dụ Trong đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm ngành y tế chợ X Ban

quản lý chợ lấy 15 mẫu thịt lợn có mẫu quầy A, mẫu quầy B mẫu quầy C Mỗi mẫu thịt có khối lượng để hộp kín có kích thước giống hệt Đồn kiểm tra lấy ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem thịt lợn có chứa hóa chất “Super tạo nạc” (Clenbuterol) hay khơng Tính xác suất để hộp lấy có đủ ba loại thịt quầy A, B, C

Giải

Ví dụ Trong hộp có chứa 10 cầu có kích thước nhau, đánh số từ

đến 10 Lấy ngẫu nhiên cầu hộp Tính xác xuất để số ghi cầu lấy độ dài ba cạnh tam giác vuông

Giải

Ví dụ Trong hộp có 6 viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy không đủ ba màu ?

Giải

(67)

Nhóm tốn chọn xếp đồ vật

BT 204. Một bình đựng viên bi khác màu có xanh, vàng, đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để được:

a) viên bi xanh b) viên bi khác màu

BT 205. Một hộp đựng cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để chọn cầu trắng, cầu đỏ đen

BT 206. Cho hộp đựng 12 viên bi,trong có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất trường hợp sau:

a) Lấy viên bi màu đỏ b) Lấy viên bi màu đỏ

BT 207. Một hộp chứa cầu kích thước khác gồm cầu đỏ , cầu xanh cầu vàng Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để cầu chọn khác màu

BT 208. Một hộp đựng 15 viên bi, có viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự khỏi hộp) Tính xác suất để viên bi lấy có viên bi đỏ

BT 209. Một hộp chứa 11 viên bi đánh số từ đến 11 Chọn viên bi cách ngẫu nhiên cộng số bi rút với Tính xác suất để kết thu số lẻ

BT 210. Từ hộp chứa bi xanh, bi đỏ, bi vàng, lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất biến cố:

a) A: “hai bi màu xanh” b) B: “hai bi màu đỏ”

c) C : “hai bi màu” d) D: “hai bi khác màu”

BT 211. Từ hộp có 13 bóng đèn, có bóng hỏng, lấy ngẫu nhiên bóng khỏi hộp Tính xác suất cho:

a) Có nhiều hai bóng hỏng b) Có bóng tốt

BT 212. Trong hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tìm xác suất để viên bi lấy có bi xanh bi đỏ ?

BT 213. Trong hộp có bi đỏ, bi vàng bi trắng Lấy ngẫu nhiên hộp

viên bi Tính xác suất để viên bi lấy không đủ ba màu ?

BT 214. Một hộp chứa viên bi trắng, viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tính xác suất để bốn bi chọn có đủ màu số bi đỏ nhiều ?

BT 215. Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để bi lấy có đủ màu số bi xanh bi đỏ ?

(68)

BT 217. Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, sữa dâu sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm lấy ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp chọn có loại ?

BT 218. Trong lơ hàng có 12 sản phẩm khác nhau, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có khơng q phế phẩm ?

BT 219. Trong đợt kiểm tra chất lượng sản xuất sản phẩm tiêu dùng, đoàn tra lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng cơng ty để kiểm tra Tính xác suất để đồn tra lấy phế phẩm Biết lơ hàng có 100 sản phẩm, có 95 phẩm phế phẩm ?

BT 220. Một đơn vị vận tải có 10 xe tơ có xe tốt Họ điều động ngẫu nhiên xe cơng tác Tính xác suất cho xe điều động phải có xe tốt

BT 221. Trên giá sách có sách tốn học, Vật lý Hóa học Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho:

a) Tốn học b) có Vật lý

BT 222. Trên kệ sách có 12 sách khác nhau, gồm tiểu thuyết, truyện tranh truyện cổ tích Lấy ngẫu nhiên từ kệ sách Tính xác suất cho cho lấy:

a) đôi khác loại

b) loại

BT 223. Một ngân hàng đề thi gồm có 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm có câu lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi Thí sinh A học thuộc 10 câu ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có 2 câu học thuộc ?

BT 224. Mỗi đề thi gồm câu lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi Bạn Thủy học thuộc câu ngân hàng đề thi Tính xác suất để bạn Thủy rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc ?

BT 225. Đề cương ôn tập cuối năm môn Lịch sử 12 có 40 câu hỏi khác Đề thi kiểm tra học kỳ gồm câu hỏi 40 câu hỏi Một học sinh học 20 câu đề cương ôn tập Giả sử câu hỏi đề cương có khả chọn làm câu hỏi thi Tính xác suất để có câu hỏi đề thi kiểm tra học kỳ nằm số 20 câu hỏi mà em học sinh học ?

BT 226. Một đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà đề gồm câu, chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình câu khó Một đề thi gọi “Tốt” đề thi có câu dễ, trung bình khó, đồng thời số câu dễ khơng Lấy ngẫu nhiên đề thi đề Tìm xác suất để đề thi lấy đề thi “Tốt”

(69)

Nhóm tốn chọn xếp người

BT 228. Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để:

a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình

BT 229. Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà toán học nam, nhà vật lý nữ nhà hóa học nữ Chọn từ người cơng tác Tính xác suất người chọn phải có nữ có đủ ba mơn ?

BT 230. Một lớp có 20 nam sinh 15 nữ sinh Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ ?

BT 231. Một đội văn nghệ có 15 người gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên người hát đồng ca Tính xác suất để người chọn có số nữ nhiều số nam ?

BT 232. Cần chọn ngẫu nhiên học sinh lớp học có 15 nam 10 nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất cho học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số học sinh nam ?

BT 233. Một chi đồn có 15 đồn viên, có nam nữ Người ta chọn người chi đồn để lập đội niên tình nguyện Tính xác suất cho người chọn có nữ ?

BT 234. Một lớp học có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn học sinh để lập tốp ca chào mừng ngày 22 tháng 12 Tính xác cho tốp ca có học sinh nữ ?

BT 235. Một đội văn nghệ trường THPT Năng Khiếu gồm học sinh nữ 10 học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh đội văn nghệ để lập tốp ca Tính xác suất để tốp ca có học sinh nữ ?

BT 236. Một tổ có 11 học sinh, có nam nữ Giáo viên chọn học sinh làm trực tuần Tính xác suất để chọn nhiều học sinh nam ?

BT 237. Trong kì thi thử TN THPT QG lần I năm 2017 trường THPT X có 13 học sinh đạt điểm 9,0 mơn Tốn, khối 12 có học sinh nam học sinh nữ, khối 11

có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh để trao thưởng, tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ, có khối 11 khối 12

BT 238. Tổ có học sinh nam học sinh nữ Tổ hai có học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên tổ học sinh làm nhiệm vụ Tính xác suất cho chọn hai học sinh có nam nữ ?

(70)

BT 240. Một đồn cảnh sát gồm có người, có trung tá An Bình Trong nhiệm vụ cần huy động đồng chí thực nhiệm vụ địa điểm C, đồng chí thực nhiệm vụ địa điểm D đồng chí cịn lại trực đồn Tính xác suất cho hai trung tá An Bình khơng khu vực làm nhiệm vụ ?

BT 241. Bốn bạn nam bốn bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên vào ghế xếp thành hàng ngang, bạn có hai bạn tên An Bình Tìm xác suất cho:

a) Nam nữ ngồi xen kẻ

b) Bốn bạn nam ngồi cạnh

c) Đầu ghế cuối ghế bắt buộc phải nam d) Các bạn nữ không ngồi cạnh

e) Hai đầu ghế phải khác giới

f) Các bạn nam ngồi cạnh bạn nữ ln ngồi cạnh g) An Bình ln ngồi gần

h) An bình khơng ngồi cạnh

BT 242. Xếp ngẫu nhiên người đàn ông, người đàn bà đứa bé vào ngồi ghế xếp thành hàng ngang Tính xác suất cho:

a) Đứa bé ngồi hai người đàn bà b) Đứa bé ngồi hai người đàn ông

BT 243. Trong Thể dục, tổ I lớp 11A có 12 học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên theo hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng cuối hàng học sinh nam ?

BT 244. Đội tuyển học sinh giỏi trường THPT X có học sinh nam học sinh nữ Trong buổi lễ trao phần thưởng, học sinh xếp thành hàng ngang Tính xác suất để xếp cho hai học sinh nữ không đứng cạnh ?

BT 245. Xếp ngẫu nhiên học sinh nàm học sinh nữ thành hàng ngang Tính xác suất để có học sinh nữ đứng cạnh ?

BT 246. Một tổ học sinh có em nữ em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để khơng có hai em nữ đứng cạnh ?

BT 247. Một tổ học sinh có em nữ em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để có hai em nữ A B, đứng cạnh nhau, cịn em nữ cịn lại khơng đứng cạnh không đứng cạnh A B,

BT 248. Xếp ngẫu nhiên người đàn ông, người đàn bà đứa bé vào ngồi ghế xếp quanh bàn trịn Tính xác suất cho:

a) Đứa bé ngồi hai người đàn bà b) Đứa bé ngồi hai người đàn ơng

BT 249. Có bạn nam bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn Tính xác suất cho nam, nữ ngồi xen kẽ

(71)

bảng A B, bảng gồm người Giả sử việc chia bảng việc bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu ?

BT 251. Chuẩn bị đón tết Bính Thân 2016, đội niên tình nguyện trường THPT X gồm học sinh, có học sinh nữ chia thành tổ làm công tác vệ sinh môi trường nghĩa trang liệt sĩ huyện Tính xác suất để tổ có nữ ?

BT 252. Trong giải bóng truyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, có đội nước ngồi đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm để chia thành bảng

, , ,

A B C bảng đội Tính xác suất để đội bóng Việt Nam bảng khác

BT 253. Trong thi “Tìm kiếm tài Việt”, có 20 bạn lọt vào vịng chung kết, có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí thi đấu, Ban tổ chức chia thành nhóm

, , , ,

A B C D nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm ?

BT 254. Để chuẩn bị tiêm phòng dịch Sởi – Rubella cho học sinh khối 11 khối 12 Bệnh viện tỉnh A điều động 12 bác sỹ đến truờng THPT B để tiêm phòng dịch gồm bác sỹ nam bác sỹ nữ Ban đạo chia 12 bác sỹ thành nhóm, nhóm bác sỹ làm cơng việc khác Tính xác suất để chia ngẫu nhiên ta nhóm có bác sỹ nữ

BT 255. Trong giải thể thao cấp toàn quốc, có 17 thí sinh tham gia có thí sinh nữ Ban tổ chức tiến hành chia thí sinh vào bảng A B, bảng có thí sinh, cịn lại thí sinh vào vịng Tính xác suất để thí sinh đặc cách nữ thí sinh nữ lại nằm bảng A

BT 256. Trong buổi giao lưu văn nghệ, có giáo viên Tốn, giáo viên Văn, giáo viên Ngoại Ngữ đăng kí hát song ca Nhằm tạo khơng khí giao lưu thân mật, ban tổ chức tiến hành bốc thăm ngẫu nhiên chia thành cặp đánh số theo thứ tự từ đến Tính xác suất để cặp gồm giáo viên dạy khác môn

BT 257. Trong giải quần vợt quốc tế, có 16 vận động viên mà có vận động viên “hạt giống” số 1, 2, 3 mùa giải Vận động viên X là số 16 vận động viên khơng phải hạt giống Ban tổ chức chia ngẫu nhiên vận động viên vào bốn bảng A B C D, , , bảng có vận động viên Tính xác suất để X khơng chung bảng với vận động viên hạt giống

BT 258. Một tàu điện gồm toa tiến vào sân ga, có 12 hành khách chờ lên tàu giả sử hành khách lên tàu cách ngẫu nhiên độc lập với nhau, toa cịn 12 chổ trống Tìm xác suất xảy tình sau:

a) Tất lên toa thứ II b) Tất lên toa

c) Toa I có người, toa II có người, cịn lại toa III d) Toa I có người

e) Hai hành khách A B lên toa

f) Một toa người, toa người, toa người

BT 259. Bốn bạn nam bốn bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên vào ghế xếp thành hai dãy đối diện Tính xác suất cho:

(72)

Nhóm tốn chọn xếp số

BT 260. Cho tập hợp A gồm tất số tự nhiên có ba chữ số khác đơi lập từ số 1; 2; 3; 4; 5; Chọn ngẫu nhiên phần tử A Tính xác suất để phần tử số chẵn

BT 261. Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để chọn số chẵn ?

BT 262. Cho tập hợp A gồm tất số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; Chọn ngẫu nhiên từ A hai phần tử Tính xác suất để hai phần tử lấy từ A có số chẵn số lẻ

BT 263. Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn ?

BT 264. Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ: 0; 1; 2; 3; 4; 5; Lấy ngẫu nhiên phần tử X Tính xác suất để số lấy số chẵn ?

BT 265. Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn có chữ số hàng đơn vị hàng chục số chẵn ?

BT 266. Cho E tập hợp số có chữ số khác đôi lấy từ: 0, 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên phần tử E Tính xác suất để phần tử chọn số có chữ số chẵn

BT 267. Có 20 thẻ đựng hộp khác nhau, hộp chứa 10 thẻ đánh số liên tiếp từ đến 10 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp (mỗi hộp thẻ) Tính xác suất lấy hai thẻ có tích hai số ghi hai thẻ số chẵn ?

BT 268. Một hộp gồm có thẻ đánh số liên tiếp từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ (không kể thứ tự), nhân hai số ghi hai thẻ lại với Tính xác suất để kết nhận số chẵn ?

BT 269. Gọi S tất số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tích xác suất để tích số chọn số chẵn ?

BT 270. Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp S

Tính xác suất để số chọn chứa chữ số lẻ ?

BT 271. Cho 100 thẻ đánh số liên tiếp từ đến 100, chọn ngẫy nhiên thẻ Tính xác suất để tổng số ghi thẻ chọn số chia hết cho

BT 272. Trong hộp có 40 thẻ đánh số từ đến 40, chọn ngẫu nhiên thẻ hộp Tính xác suất để tổng số thẻ lấy số chia hết cho

BT 273. Trong hộp có 50 viên bi đánh số từ đến 50, chọn ngẫu nhiên viên bi hộp Tính xác suất để tổng số viên bi chọn số chia hết cho

(73)

BT 275. Chọn ngẫu nhiên số từ tập S 





BT 276. Cho tập hợp E 





M

E

M

BT 277. E tập số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Lấy ngẫu nhiên số E tính xác suất để lấy số chia hết cho 5

BT 278. Gọi E tập hợp số tự nhiên gồm chữ số phân biệt lập từ số 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên hai số khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số chọn có số có chữ số ?

BT 279. Gọi E tập hợp số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập từ chữ số

1, 2, 3, 4, 7. Tập E có phần tử ? Chọn ngẫu nhiên phần tử E, tính xác suất chọn chia hết cho ?

BT 280. Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Hãy tìm xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có

tấm thẻ mang số chia hết cho 10 ?

BT 281. Có 40 thẻ đánh số thứ tự từ đến 40 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho

BT 282. Có 20 thẻ đánh số liên tiếp từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho ?

BT 283. Gọi X tập hợp số có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất để chọn số thuộc X số chia hết cho 9 ?

BT 284. Cho tập hợp X 





Ký hiệu G tập hợp tất số có bốn

X

Tính số phần tử G Lấy

ngẫu nhiên số tập G, tính xác suất để lấy số không lớn 4000

BT 285. Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ số lập Tính xác suất để số chọn có chữ số hàng nghìn nhỏ ?

BT 286. Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp S Tính xác suất để số chọn số lớn số 2016 ?

BT 287. Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số số lập, tính xác suất để số lấy có chữ số chẵn, chữ số lẻ ?

BT 288. Lập số tự nhiên gồm chữ số phân biệt từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số có mặt chữ số

(74)

BT 290. Gọi M tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ M Tính xác suất để số chọn có chữ số lẻ chữ số đứng chữ số lẻ (các chữ liền trước liền sau chữ số chữ số lẻ) ?

BT 291. Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho

BT 292. Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; lập số có chữ số chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt lần Trong số tự nhiên trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn không bắt đầu số 12

BT 293. Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số khác thành lập từ chữ số





Chọn ngẫu nhiên phần tử tập A Tìm xác suất để

BT 294. Có 12 số tự nhiên khác có số chẵn số lẻ, chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để tổng số chọn số chẵn

BT 295. Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất cho: a) Tổng số chấm lần gieo số chẵn

b) Tổng số chấm lần gieo c) Ít lần gieo xuất mặt chấm d) Tổng số chầm

e) Tổng số chấm nhỏ f) Tổng số chấm chia hết cho

g) Lần đầu số nguyên tố, lần sau số chẵn h) Có mặt chấm xuất

BT 296. Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác mà chữ số lớn 4 Hãy xác định số phần tử tập A Chọn ngẫu nhiên phần tử tập A, tính xác suất để số chọn có ba chữ số lẻ đứng kề

BT 297. Cho tập hợp E 





Gọi M tập hợp số tự nhiên có nhiều

ba chữ số, chữ số đôi khác thành lập từ tập E Lấy ngẫu nhiên

một số thuộc tập hợp M Tính xác suất lấy số thuộc tâp M, cho tổng

BT 298. Gọi A tập hợp số có ba chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập hợp A, tính xác suất để ba số chọn có số có mặt chữ số

Thông minh nghĩa biết tường tận rõ ràng, biết sai

(75)

§

CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

  Quy tắc cộng xác suất

a) Biến cố hợp

Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, kí hiệu A B , gọi hợp hai biến cố A B Khi đó:     A B

Ví dụ Chọn ngẫu nhiên bạn học sinh lớp 11 trường Gọi A biến cố: “Bạn học sinh giỏi toán” B biến cố: “Bạn học sinh giỏi Lý”

Khi đó: A B biến cố: “ “

b)Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Khi đó:     A B

Ví dụ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp 11 trường Gọi A biến cố: “Bạn học sinh lớp 11C1” gọi B biến cố: “Bạn học sinh lớp 11C2” Khi A B hai

biến cố xung khắc

c) Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc

 Nếu A B biến cố xung khắc xác suất biến cố A B P A B(  )P A( )P B( )

 Cho n biến cố A A1, , ,2 An đôi biến cố xung khắc với Khi đó: P A( 1 A2 A3  An)P A( )1 P A( )2 P A( )3      P A( ).n

Ví dụ Một hộp đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để có

nhất bi xanh

Ví dụ Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí sách Hóa Lấy

ngẫu nhiên từ kệ sách hai sách Tính xác suất để lấy hai sách môn

A

 B

A

(76)

( ) \ ( ) ( )

n  n A n A n A( ) 

d) Biến cố đối

Cho A biến cố Khi biến cố “khơng A”, kí hiệu A, gọi biến cố đối A Ta nói A A hai biến cố đối

Khi đó:     A \ A P A( ) 1 P A( )

Câu hỏi Hai biến cố đối có phải hai biến cố xung khắc ? Câu hỏi Hai biến cố xung khắc có phải hai biến cố đối ? Ví dụ Một xạ thủ bắn vào bia viên đạn với xác suất 2

7 Khi xác suất bắn trượt

bao nhiêu ?

Ví dụ Từ hộp có cầu trắng cầu xanh, lấy ngẫu nhiên lúc

4 Tính xác suất cho:

a) Bốn lấy màu b) Bốn lấy có đủ hai màu

Giải

 Quy tắc nhân xác suất

(1)Biến cố giao

Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, kí hiệu A B (hay AB), gọi giao hai biến cố A B

Ví dụ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp 11 trường

Gọi A biến cố: “Bạn học sinh giỏi tốn” gọi B biến cố: “Bạn học sinh giỏi Lý”

Khi đó: A B biến cố: “ “

(2)Hai biến cố độc lập

Ví dụ Gieo đồng xu liên tiếp lần Gọi A biến cố: “Lần gieo thứ xuất mặt sấp” gọi B biến cố: “Lần gieo thứ hai xuất mặt ngửa” biến cố độc lập

 Hai biến cố gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng xác suất xảy biến cố

 Nếu hai biến cố A B độc lập với A B, A B, A B độc lập A

(77)

(3)Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập

 Nếu A B hai biến cố độc lập với ta ln có: P AB( )P A P B( ) ( )

 Cho n biến cố A A A A1, , , , ,2 Anđộc lập với đơi Khi đó:

 

1 3

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) hay

n n

n n i i

P A A A A P A P A P A P A P A P A





Ví dụ Một cầu thủ sút bóng vào cầu mơn hai lần Biết xác suất sút vào cầu môn

3

8 Tính xác suất để cầu thủ sút hai lần bóng vào cầu mơn ?

Giải Ví dụ Có hai xạ thủ bắn bia Xác suất xạ thủ thứ bắn trúng bia 0, Xác suất xạ

thủ thứ hai bắn trúng bia 0, Tính xác suất để: a) Cả hai xạ thủ bắn trúng bia

b) Cả hai xạ thủ không bắn trúng bia c) Có xạ thủ bắn trúng bia

Giải

(78)

Áp dụng nguyên tắc tính xác suất để giải toán, thường ta làm theo bước sau:

 Bước Gọi A biến cố cần tính xác suất Ai, (i 1, )n biến cố liên quan đến A cho:

+ Biến cố A biểu diễn theo biến cố Ai, ( , , ., ).A A1 2 An

+ Hoặc xác suất biến cố Ai tính tốn dễ dàng so với A  Bước Biểu diễn biến cố A theo biến cố Ai

 Bước Xác định mối liên hệ biến cố áp dụng nguyên tắc: + Nếu A A1, 2 xung khắc (A1 A2   ) P A( 1 A2)P A( )1 P A( ).2 + Nếu A A1, P A( 1A2)P A( )1 P A( )2 P A A( ).1

+ Nếu A A1, 2 độc lập P A A( )1 2 P A P A( ) ( ).1 2 + Nếu A A1, 2 đối P A( )1  1 P A( ).2

BT 299. Một cặp vợ chồng mong muốn sinh trai (sinh trai khơng sinh nữa, chưa sinh sinh tiếp) Xác suất sinh trai lần sinh 0, 51 Tìm xác suất cho cặp vợ chồng mong muốn sinh trai lần sinh thứ

BT 300. Ba xạ thủ độc lập bắn vào bia Xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ 0,6

a) Tính xác suất để xạ thủ bắn có xạ thủ bắn trúng mục tiêu b) Muốn mục tiêu bị phá hủy hồn tồn phải có hai xạ thủ bắn trúng mục

tiêu Tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn

BT 301. Hai xạ thủ A B bắn vào bia người phát Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ A 0,7 Tìm xác suất bắn trúng bia xạ thủ B Biết xác suất có người bắn trúng bia 0,94

BT 302. Hai người độc lập bắn người viên đạn vào bia Xác suất bắn trúng bia họ

3

5 Tính xác suất biến cố sau:

a) A: “cả hai bắn trúng” b) B: “cả hai bắn trượt”

c) C : “ít người bắn trúng” d) D: “có người bắn trúng”

BT 303. Có người câu cá; xác suất câu cá người thứ 0,5; xác suất câu cá người thứ hai 0,4; xác suất câu cá người thứ ba 0,2 Tính xác suất biến cố:

a) Có người câu cá b) Có người câu cá c) Người thứ luôn câu cá d) Có người câu cá

(79)

a) Cả lần bắn trượt b) Có lần bắn trúng

c) Lần thứ bắn trúng, lần thứ bắn trượt d) Ít lần bắn trúng

BT 305. Có hộp đựng thẻ, hộp đựng 12 thẻ đánh số từ đến 12 Từ hộp rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ rút có thẻ đánh số 12

BT 306. Có ba xạ thủ bắn vào bia Xác suất trúng đích người 0,6; 0,7 0,

a) Tính xác suất để có người bắn trúng bia

b) Giả sử ba xạ thủ bắn vào bia đến bắn trúng bia thơi Tính xác suất để bia bắn trúng viên đạn thứ

BT 307. Có xạ thủ bắn tập bắn, bắn vào bia Xác suất trúng đích 0,2 Tính xác suất để ba lần bắn:

a) Ít lần trúng bia b) Bắn trúng bia lần thứ

BT 308. Việt Nam thi đấu với trận bóng bàn, người thắng trước séc thắng trận Xác suất Nam thắng séc 0, (giả sử khơng có séc hịa) Tính xác suất Nam thắng trận ?

BT 309. Một nhóm xạ thủ gồm có 10 người có 3 xạ thủ loại I 7 xạ thủ loại II Xác suất bắn trúng đích lần bắn xạ thủ loại I loại II

0,9 0, Chọn ngẫu nhiên xạ thủ 10 người cho bắn viên đạn Tính xác suất để viên đạn trung đích ?

BT 310. Có ba lơ hàng Người ta lấy cách ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Biết xác suất để sản phẩm có chất lượng tốt lơ hàng

0,5; 0,6 0, Tính xác suất để ba sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt ?

BT 311. Một hộp chứa 11 bi đánh số từ đến 11 Chọn bi cách ngẫu nhiên, cộng số bi rút với Tính xác suất để kết thu số lẻ

BT 312. Một hộp có đựng phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm một, không bỏ trở lại để kiểm tra lấy hai phế thơi Tính xác suất biến cố việc kiểm tra dừng lại sản phẩm thứ

BT 313. Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 hình thức giống có chìa mở kho Anh ta mở ngẫu nhiên chìa khóa mở kho Tính xác suất để:

a) Anh ta mở kho lần thứ

b) Anh ta mở kho mà không lần mở

(80)

BT 315. Trong thời gian có dịch bệnh vùng dân cư Cứ 100 người bệnh phải có 20 người cấp cứu Xác suất gặp người cấp cứu mắc phải bệnh dịch vùng 0, 08 Tìm tỉ lệ mắc bệnh vùng dân cư

BT 316. Một máy bay có động gồm động bên cánh trái hai động bên cánh phải Mỗi động bên cánh phải có xác suất bị hỏng 0, 09; động bên cánh trái có xác suất hỏng 0, 04 Các động hoạt động độc lập với Máy bay thực chuyến bay an tồn hai động làm việc Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn

BT 317. Ba cầu thủ sút phạt luân lưu 11 mét, người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng x y; 0,6 (với x y) Biết xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0,976 xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0, 336 Tính xác suất để có hai cầu thủ ghi bàn ?

BT 318. Một trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn có đáp án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai trừ điểm Một học sinh không học nên đánh hú họa câu trả lời Tìm xác suất để học sinh nhận điểm

BT 319. Trong lớp học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học hai tiến Anh Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất biến cố sau:

a) A: “Sinh viên chọn học tiếng Anh” b) B : “Sinh viên chọn học tiếng Pháp”

c) C : “Sinh viên chọn học tiếng Anh lẫn tiếng Pháp” d) D: “Sinh viên chọn không học tiếng Anh Tiếng Pháp”

BT 320. Trong kì kiểm tra chất lượng hai khối lớp, khối có 25% học sinh trượt Tốn,

15% trượt Lý, 10% trượt Lý lẫn Toán Từ khối chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất cho:

a) Hai học sinh trượt Tốn

b) Hai học sinh bị trượt mơn c) Hai học sinh khơng bị trượt mơn

d) Có hai học sinh bị trượt mơn

BT 321. Trong kì thi THPT Quốc Gia, bạn X làm đề thi trắc nghiệm mơn Hóa Đề thi gồm 50 câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án đúng, trả lời câu 0,2 điểm Bạn X trả lời hết câu hỏi chắn 45 câu, câu lại Khoa chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để điểm thi Hóa X khơng 9,5 điểm ?

(81)

§

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 2



BT 323. Xếp ngẫu nhiên ba người nam hai người nữ vào dãy năm ghế kê theo hàng ngang Tính xác suất để kiểu xếp mà hai người nam có người nữ

BT 324. Gọi A tập hợp tất số gồm năm chữ số mà chữ số có mặt lần, hai chữ số lại khác thuộc tập hợp chữ số 1, 2, 4, Chọn ngẫu nhiên số từ A Tính xác suất để số chọn chia hết cho

BT 325. Trong kì thi THTP Quốc Gia, Thành đồn thành lập tổ cơng tác gồm người chọn ngẫu nhiên từ 15 cán đoàn trường học 10 cán quận, huyện để tìm chỗ trọ miễn phí cho thí sinh có điều kiện khó khăn Tính xác suất để người chọn có khơng q cán đồn trường

BT 326. Trong dự án nhà xã hội gồm có tầng, tầng gồm có hộ loại A hộ loại B Một người mua nhà rút ngẫu nhiên hộ Tính xác suất để hộ rút tầng hộ loại A

BT 327. Thực đơn ăn sáng tự chọn khách sạn gồm xúp, bánh cơm Một khách hàng chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có xúp, bánh cơm

BT 328. Trong kì thi THPT Quốc Gia, hội đồng coi thi có 216 thí sinh tham gia dự thi để xét cơng nhận tốt nghiệp THPT, trường X có 65 thí sinh dự thi Sau buổi thi mơn tốn, phóng viên vấn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh vấn có học sinh trường X

BT 329. Có hai đơn vị cung cấp thực phẩm phục vụ ăn trưa cho công nhân nhà máy Đơn vị thứ cung cấp loại thực phẩm, đơn vị thứ hai cung cấp loại thực phẩm Người phụ trách bếp ăn lấy loại thực phẩm mẫu để kiểm tra người kiểm tra chọn mẫu Tính xác suất để hai đơn vị cung cấp có mẫu chọn

BT 330. Trong đợt tình nguyện tiếp sức mùa thi, trường học có em lớp 11 , 5A em lớp

11 , 6B em lớp 11C đăng kí tham dự Hỏi có cách cử em làm nhiệm vụ cổng trường đại học X cho lớp có em

BT 331. Ban chấp hành Đoàn trường THPT cần chọn nhóm học sinh tình nguyện gồm học sinh từ học sinh lớp 10 học sinh lớp 11 Tính xác suất để nhóm chọn có học sinh lớp 11

BT 332. Trong buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, có cặp vợ chồng Chọn ngẫu nhiên ba người để biểu diễn tiết mục văn nghệ Tính xác suất để người chọn khơng có cặp vợ chồng

BT 333. Một lớp học có 40 học sinh, có cặp anh em sinh đơi Trong buổi họp đầu năm, thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn học sinh để làm cán lớp gồm có lớp trưởng, lớp phó bí thư Tính xác suất để chọn học sinh làm cán lớp mà khơng có cặp anh em sinh đơi

(82)

BT 335. (ĐH D – 2002) Tìm số nguyên dương n để: Cn0 2Cn1 4Cn2    2nCnn 243

BT 336. (ĐH B – 2002) Cho đa giác A A A1 2 2n, (n 2, n ) nội tiếp đường tròn

( ).O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A A1, , ,2 A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A A1, , ,2 A2n Tìm n ?

BT 337. (ĐH A – 2002) Cho khai triển nhị thức:

1 1

1

1 1

2

0 1

2 3

2 2 2 2

n n n

x x

x x x x x x

n n

n n n n

C C C C

                                           

    (với n số

nguyên dương), biết khai triển đó: Cn3 5Cn1 số hạng thứ tư

20 n Tìm n x

BT 338. (ĐH A – 2003) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton

5 , n x x         

  biết

1

4 7( 3),

n n

C  C n

     (n số nguyên dương x 0)

BT 339. (ĐH D – 2003) Với n số nguyên dương, gọi a3n3 hệ số x3n3 khai triển thành đa thức (x2 1) (n x 2) n Tìm n để a3n3 26 n

BT 340. (ĐH A – 2004) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức 1x2(1x) 8

BT 341. (ĐH B – 2004) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi

khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đc đề để kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thi thiết phải có đủ loại (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng ?

BT 342. (ĐH D – 2004) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển

7 x x         

  với x 0

BT 343. (ĐH A – 2005) Tìm số nguyên dương n, biết rằng:

1 2 3 2

2 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2005

n n

n n n n n

C C C C n C 

              

BT 344. (ĐH B – 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ

Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ ?

BT 345. (ĐH D – 2005) Tính giá trị biểu thức:

4

1 , ( 1)! n n A A M n   

 biết số nguyên

dương n thỏa mãn: Cn21 2Cn22 2Cn23 Cn24 149

BT 346. (ĐH A – 2006) Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn

7 , n x x         

  biết rằng:

1 20

2 2 2

n

n n n n

C  C  C        C   

BT 347. (ĐH D – 2006) Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh,

(83)

BT 348. (ĐH B – 2007) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Newton

(2x) ,n

biết: 3nCn0 3n 1Cn1 3n 2Cn2 3n 3Cn3 ( 1)nCnn 2048

  

          

BT 349. (ĐH D – 2007) Tìm hệ số số x5 khai triển: x(1 ) x x2(13 ) x 10

BT 350. (ĐH A – 2008) Cho khai triển: (1 ) ,

n n

n

x a a x a x

         n * hệ số a0, , , ,a a1 2 an thỏa mãn hệ thức

1

0 4096

2

n n

a a a

a        

Tìm số lớn hệ số a0, , , , a a1 2 an

BT 351. (ĐH D – 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa 21 23 25 22 2048

n

n n n n

C C C    C  

BT 352. (ĐH A – 2012) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn1 Cn3 Tìm số hạng chứa

5

x khai triển nhị thức Newton:

2

, 14

n

nx

x x

 

    

 

 

BT 353. (ĐH B – 2012) Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo

viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ

BT 354. (ĐH A – 2013) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt

chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ

S, tính xác xuất để số chọn số chẵn

BT 355. (ĐH B – 2013) Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi

trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để lấy hai viên bi màu

BT 356. (ĐH B – 2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến

phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại

BT 357. (ĐH A – 2014) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên

thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn ?

BT 358. (THPT QG – 2015) Trong đợt ứng phó dịch MERS – CoV, Sở Y tế thành phố

chọn ngẫu nhiên ba đội phòng chống dịch động số đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội trung tâm y tế sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tính xác suất để có hai đội trung tâm y tế sở chọn

BT 359. (THPT QG – 2016) Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển Tính xác suất để B mở cửa vào phịng học

(84)

Chương : DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

§

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC



 Bài tốn Chứng minh mệnh đề chứa biến P n( ) với số nguyên dương n  Phương pháp

— Bước Với n 1, ta chứng minh P(1)

— Bước Giả sử P n( ) với n  k

Ta phải chứng minh P n( ) với n  k

Kết luận: mệnh đề P n( ) với số nguyên dương n

Lưu ý Để chứng minh mệnh đề chứa biến P n( ) với n p p, : nguyên dương Ta làm bước tương tự trên:

— Bước Với n p, ta chứng minh P p( )

— Bước Giả sử P n( ) với n  k p

Ta phải chứng minh P n( ) với n  k

Kết luận: mệnh đề P n( ) với số nguyên dương n

Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có:

a) ( 1)

2 n n

n 

          b)

2

3 3 ( 1)

1

4 n n

n 

        

Giải

(85)

Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta ln có: a) un n3 3n2 5n chia hết cho b)

n n

u   chia hết cho

Giải

Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n 3, ta ln có:

a) 3n n2 4n 5 b) 2n 2n1

(86)

BT 360. Chứng minh với số ngun dương n, ta ln có:

a) 10 ( 1) ( 1)( 2)

2

n n n n  n 

          

b) (3 1) (3 1)

2 n n

n 

           

c) 1.42.7    n n(3 1)n n( 1)

d) 12 22 32 ( 1)(2 1)

6 n n n

n  

        

e)

2

2 2 (4 1)

1 (2 1)

3 n n

n 

          

f) 22 42 62 (2 )2 ( 1)(2 1)

3 n n n

n  

         

g) 1.2 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2)

3 n n n

n n  

          

h) 1.22.53.8     n n(3  1) n n2( 1)

i) 1 ( 3)

1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) 4( 1)( 2)

n n

n n n n n



       

   

j)

2

2 ( 1)(3 2)

1.2 2.3 3.4 ( 1) , 2,

12 n n n

n n   n n

            

k) 1 1 1 12 1, 2,

4 16

n

n n

      

              

     

   

      

l) 1 1

2 2

n

n n

          

m) 3

3 27 3n 4.3n

n n            

BT 361. Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có:

a) un n3 11n chia hết cho b) un n3 n chia hết cho c) un 2n3 3n2 n chia hết cho d) un 13n 1 chia hết cho e) un 4n 15n1 chia hết cho f) un 4n 6n 8 chia hết cho g) un 7.22n2 32n1 chia hết cho h) un 32n1 2n2 chia hết cho i) un 11n1 122n1 chia hết cho 133 j) un 24n 1 chia hết cho 15

BT 362. Chứng minh rằng:

(87)

§

DÃY SỐ



 Định nghĩa

— Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số)

— Mỗi giá trị hàm số u gọi số hạng dãy số Chẳng hạn: + u1 u(1) : số hạng thứ (hay gọi số hạng đầu)

+ u2 u(2) : số hạng thứ hai

+ un u n( ) : số hạng thứ n (hay gọi số hạng tổng quát)

 Cách cho dãy số

— Cách Cho dãy số công thức số hạng tổng quát Ví dụ Cho dãy ( )un với

1

3

n

n u

n 

 



Dãy số viết dạng khai triển là: Tính: u50  tính: u99 

— Cách Cho dãy số hệ thức truy hồi (hay quy nạp):

+ Cho số hạng thứ u1 (hoặc vài số hạng đầu),

+ Cho cơng thức tính un theo un1 (hoặc vài số hạng đứng trước nó)

Ví dụ Cho dãy số un xác định bởi:

1

2 1, ( 2)

n n

u

u u  n

 

 

   



Dạng khai triển dãy số là: Tính u8  ?

Ví dụ Cho dãy số ( )un xác định bởi:

1

1,

, ( 3)

n n n

u u

u u  u  n

  



   

 (Dãy số Phibônaxi)

Dạng khai triển dãy số là: Tính u7  ?

Ví dụ Tìm cơng thức tính số hạng tổng quát un theo n dãy số sau đây:

a) Dãy số ( )un với

1

2

n n

u

u  u

 

 

  

 b) Dãy số ( )un với

1

2

n n

u

u  u

 

 

 



Giải

(88)

 Dãy số tăng, dãy số giảm

— ( )un dãy số tăng  n *, un un1 — ( )un dãy số giảm  n *, un un1

Phương pháp xét tính tăng giảm dãy số:

 Phương pháp Xét dấu hiệu số un1un

 Nếu  n *, un1un 0 ( )un dãy số tăng

 Nếu  n *, un1un 0 ( )un dãy số giảm

 Phương pháp Nếu  n *, un 0 so sánh tỉ số

1

n n

u u



với số

 Nếu n 1 n

u u

 

( )un dãy số tăng

 Nếu n 1 n

u u

 

( )un dãy số giảm

 Phương pháp Nếu dãy số ( )un cho hệ thức truy hồi thường dùng phương pháp quy nạp để chứng minh un1 un,  n * (hoặc

*

1 , )

n n

u  u  n 

Ví dụ Xét tính tăng giảm dãy số sau:

a) Dãy số ( )un với

2

1

n

n u

n 

 

 b) Dãy số ( )vn với

2

n n

n v   

Giải

(89)

Ví dụ Xét tính tăng giảm dãy ( )un cho hệ thức truy hồi

1

2 ,

n n

u

u u  n

 

 

   



Giải

 Dãy số bị chặn

— Dãy số ( )un gọi dãy số bị chặn tồn số M cho

*, .

n

n u M    — Dãy số ( )un gọi dãy số bị chặn tồn số m cho

*, .

n

n u m    — Dãy số ( )un gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, nghĩa

tồn số M số m cho  n *, m un M

Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau:

a) Dãy ( )un với

2

3

n

n u

n 

 

 b) Dãy ( )vn với

1 1

1.2 2.3 ( 1)

n

v

n n

      



Giải

(90)

BT 363. Viết số hạng dãy số ( )un tìm cơng thức tính số hạng tổng qt un theo n dãy số ( )un sau:

a)

1

2 ,

n n

u

u  u n

        b) 1

,

n n

u

u  u n n

 

 

    



c) 2

1

3

1 ,

n n

u

u  u n           d) 1

,

1 n n n u u u n u            

e)

1

3,

n n

u

u  u n

           f) 1 11

10

n n

u

u  u n

 

 

   



g)

1

2

n n

u

u  u

        h) 1 n n u

u  u n

 

 

   



i)

1

7

n n

u

u  u

        j) 1 n n u

u  u

  

 

  



BT 364. Xét tính tăng giảm dãy số ( )un sau, với:

a) un n2 4n3 b) un   n2 2n1

c) un 2n3 5n1 d) un 3n n

e) un

n

  f)

1 n n u n    

g) 2

1 n n u n    h)

3

1 n n n u n      i) 2 n n n u n      j) 1 n n u n    

k) un 2n 4n2 1 l)

2

n

u  n n 

BT 365. Xét tính tăng giảm dãy số ( )un sau, với:

a)

2

n n

n

u   b) 32

n n

u n  

c) 1

2

n

n n

u    d)

3

n n

n u   

e)

( 1)! n n u n  

 f)

1 n u n n    

g)

3

n n

u       n

  h)

(91)

BT 366. Xét tính tăng giảm dãy số ( )un cho hệ thức truy hồi sau:

a)

1

( 1).2n

n n

u

u  u n

         b) 1 n n u

u  u

 

 

  



c)

1

2

n n

u

u  u 

        d) 1 n n u

u  u n

         e) 1 3 n n n u u u u          

f)

1

2

n n

u

u  u

 

 

  



BT 367. Xét tính bị chặn dãy số ( )un sau, với: a) 1 n n u n 

  b)

3 n n u n    

c)

3 n n u n     d) ( 1) n u n n    e) 1 n n u n   

 f)

2 n n u n    

g) 1

1.2 2.3 ( 1)

n

u

n n

      

 h) 2 2

1 1

1

n

u

n        

BT 368. Xét tính đơn điệu bị chặn dãy số ( )un với:

a) un  1 (n1).2 n b)

5 n n u n    

c) 13

3 n n u n     d) 2 n n u n     e)

2 3 1

1 n n n u n      f) 1 n n u

u  u         g) 1 2 n n u u u           h) 1 4 n n u u u         

BT 369. Cho dãy số ( )un định bởi:

4 2 n an u n   

 Định a để dãy số ( )un tăng

(92)



Em cã biÕt ?

DÃY SỐ PHI–BÔ–NA–XI

Phi–bơ–na–xi (Fibonacci) (cịn có tên Leonardo da Pisa) nhà Toán học tiếng người Italia Trong sách Liber Abacci, năm 1202, ơng có viết tốn sau:

“Một đơi thỏ (gồm thỏ đực thỏ cái) tháng đẻ đôi thỏ (cũng gồm thỏ đực thỏ cái); đơi thỏ con, trịn hai tháng tuổi, lại tháng đẻ đơi thỏ con, q trình sinh nở tiếp diễn Hỏi sau năm có tất đơi thỏ, đầu năm (tháng giêng) có đơi thỏ sơ sinh”

Rõ ràng tháng giêng, tháng 2, có đơi thỏ Sang tháng 3, đơi thỏ đẻ đơi thỏ con, tháng thứ có + = đơi thỏ Sang tháng tư, có đơi thỏ ban đầu sinh nên tháng có + = đôi thỏ Sang tháng 5, hai đôi thỏ gồm đôi thỏ ban đầu đôi thỏ sinh tháng sinh nên tháng có + = đơi thỏ,

Khái quát, kí hiệu Fn số đơi thỏ có tháng thứ n, với n 3, ta có:

1

n n

F F  số đôi thỏ sinh tháng thứ n

Do đơi thỏ sinh tháng thứ (n1) chưa thể sinh tháng thứ n, đôi thỏ tháng thứ (n2) sinh đôi thỏ con, nên số đôi thỏ sinh tháng thứ n Fn2 (số thỏ có tháng thứ (n2))

Như vậy: Fn Fn1 Fn2

Việc giải toán Fibonacci dẫn đến việc khảo sát dãy số ( ) :Fn

1

, ( 3)

n n n

F F

F F F n

  

  



   



(93)

§

CẤP SỐ CỘNG



 Câu hỏi Nhận xét tính chất đặc biệt chung dãy số sau: a) Dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,

b) Dãy số: 5; 2; 1; 4; 7; 10

c) Dãy số: 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10,

Cấp số cộng dãy số (vơ hạn hay hữu hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d không đổi, nghĩa là:

( )un cấp số cộng n 2, un un1 d Số d gọi công sai cấp số cộng  Câu hỏi ? Để chứng minh dãy số ( )un cấp số cộng, ta làm ?

Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng Xác định công sai số hạng đầu

tiên cấp số cộng ?

a) Dãy số u n( ) với un 19n5 b) Dãy số u n( ) với un  3n 1

Giải

 Tính chất

Định lí Nếu ( )un cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề

dãy, tức 1

2

k k

k

u u u     

Chứng minh:

Hệ Ba số a b c, , (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng   a c b

Ví dụ Ba góc tam giác vuông lập thành cấp số cộng Tìm ba góc ? Giải

(94)

Ví dụ Một tam giác vng có chu vi 12cm ba cạnh lập thành cấp số cộng Tính độ dài ba cạnh tam giác

Giải

 Số hạng tổng quát

Định lí Nếu cấp số cộng có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng qt un xác định cơng thức sau: un u1 (n 1) d

Chứng minh:

Ví dụ Một cấp số cộng có 10 số hạng, số hạng đầu 5, số hạng cuối

23 Tìm cấp số cộng ?

Giải

Ví dụ Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293

Giải

Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 10 tổng bình phương chúng 30

Giải

(95)

 Tổng n số hạng cấp số cộng

Định lí Giả sử ( )un cấp số cộng có cơng sai d Gọi

n

n k n

k

S u u u u





(Sn tổng n số hạng cấp số cộng) Ta có: ( ) ( 1)

2

n n

n u n d

n u u

S        

Chứng minh:

Ví dụ Cho cấp số cộng ( )un có u3 u28 100 Hãy tính tổng 30 số hạng cấp số cộng

Giải

Ví dụ Cho cấp số cộng ( )un có S6 18 S10 110 Tính S20

Giải

Ví dụ Tính tổng sau:

a) S       1 (2n 1) (2n1) b) S 1002992982972   22

Giải

(96)

BT 370. Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai, số hạng thứ 20 tổng 20 số hạng cấp số cộng sau, biết rằng:

a)

9 19 35 u u        b)

2

4

10 26

u u u

u u

   

 

   

c)

12 14 129 u u S         d) 2 16 u u u        

BT 371. Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: a)

15 27 59 u u        b) 13 5 u u u u        

c)

8

7

u u u

           d) 7 75 u u u u         

e) 62 72 12 60 1170 u u u u          f)

2 2

1

3

155 21

u u u

S

   

 

  

g)

5 12 35 S S        h)

1

2 2

1

9 35

u u u

   

 

    

i) 12 22 32 42

1

16 84

u u u u

    

 

    

 j)

5

1 5

45

S

u u u u u  

 

 



k) 12 22 32 42 52

1

20 170

u u u u u

     

 

     

 l)

1

12

u u u

u u u

          m)

1

20

1 1 25

24 S

u u u u  

 

     



n)

3 65 72 u u u u         

BT 372. Xác định số hạng đầu, công sai số hạng thứ n cấp số cộng sau, biết rằng: a) 12

18 34 45 S S        b) 10 10 u S       

c) 20 10

5

S S S

   d) 20 10

15 S S S S       

BT 373. Cho cấp số cộng u u1, , , 2 u3 có cơng sai d a) Biết u2 u22 40 Tính S23

b) Biết u1 u4 u7 u10 u13 u16 147 Tính u6 u11 u1u6 u11u16

c) Biết u4 u8 u12u16 224 Tính S19

(97)

BT 374. Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 15 tích chúng 105

b) Tổng chúng 15 tổng bình phương chúng 83 c) Tổng chúng 21 tổng bình phương 155

BT 375. Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 10 tổng bình phương 70 b) Tổng chúng 22 tổng bình phương 66 c) Tổng chúng 36 tổng bình phương 504 d) Chúng có tổng 20 tích chúng 384

e) Tổng chúng 20, tổng nghịch đảo chúng 25

24 số

những số nguyên

f) Nó số đo tứ giác lồi góc lớn gấp lần góc nhỏ

BT 376. Tìm năm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 40 tổng bình phương chúng 480

BT 377. Một cấp số cộng có số hạng với công sai d dương số hạng thứ tư 11 Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số cộng đó, biết hiệu số hạng thứ ba số hạng thứ năm

BT 378. Một cấp số cộng có số hạng mà tổng số hạng thứ ba số hạng thứ năm 28, tổng số hạng thứ năm số hạng cuối 140 Tìm cấp số cộng

BT 379. Viết sáu số xen hai số 24 để cấp số cộng có tám số hạng Tìm cấp số cộng

BT 380. Giữa số 35, đặt thêm sáu số để cấp số cộng

BT 381. Giữa số 67, đặt thêm 20 số để cấp số cộng

BT 382. Một người trồng 3003 theo hình tam giác sau: “hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, ” Hỏi có hàng trồng ?

BT 383. Một cơng viên hình tam giác trồng xanh theo hàng có quy luật cấp số cộng sau: hàng thứ có cây, hàng thứ 10 có 54 cây, hàng cuối có 2014 Hỏi cơng viên có tất hàng trồng ?

BT 384. Bạn A muốn mua quà tặng mẹ chị nhân ngày Quốc tế phụ nữ / Do

A định tiết kiệm từ ngày / năm với ngày đầu 500 đồng/ngày, ngày sau cao ngày trước 500 đồng Hỏi đến ngày / bạn A có đủ tiền để mua quà cho mẹ chị khơng ? Giả sử q A dự định mua khoảng

800 ngàn đồng từ ngày / đến ngày / có số ngày 67 ngày

BT 385. Một tịa nhà hình tháp có 30 tầng tổng cộng có 1890 phịng, lên cao số phịng giảm, biết tầng liên tiếp phòng Quy ước tầng tầng số 1, lên tầng số 2, 3, Hỏi tầng số 10 có phịng ?

(98)

Phương án 1: người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể

từ năm thứ hai, mức lương tăng thêm triệu đồng năm

Phương án 2: người lao động nhận nhận triệu đồng cho quí kể

từ quí làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 500.000 đồng quí Biết năm có q

Nếu em người lao động, em chọn phương án ?

BT 387. Tìm x để ba số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng với:

a) a 10 ,  x b2x23, c 7 x b) x  a2 bc y b,  2 ca z,  c2 ab

BT 388. Tìm nghiệm phương trình: x315x2 71x 1050, biết nghiệm phân biệt chúng lập thành cấp số cộng

BT 389. Giải phương trình sau:

a) 1 6 111621       x 970 b) 2 7 121722       x 245

c) (x  1) (x 4)(x 7)       (x 28)155

d) (2x  1) (2x 6)(2x 11)       (2x 96)1010

BT 390. Cho a b c, , ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Chứng minh rằng: a) a2 2bcc2 2 ab b) a2 8bc (2b c)

c) 2(a  b c)3 9a b2( c)b a2( c)c a2( b) 

d) ba số: a2 bc b, 2ac c, ab cấp số cộng

e) ba số: b2 bcc2, a2 acc2, a2 abb2 cấp số cộng e) ba số: ; ; , ( , , a b c 0)

b  c c  a a  b  cấp số cộng

BT 391. Cho ba số a2, , b2 c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có cơng sai khác

khơng Chứng minh rằng: ; ;

bc ca ab lập thành cấp số cộng

BT 392. Cho tam giác ABC có tan , tan , tan

2 2

A B C

theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh cos , cos , cosA B C theo thứ tự lập thành cấp số cộng

BT 393. Cho tam giác ABC có cot , cot , cot

2 2

A B C

theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh: ba cạnh a b c, , theo thứ tự tạo thành cấp số cộng

BT 394. Tìm tham số m để phương trình f x( )0 có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng trường hợp sau:

a) f x( )x2 2mx2 2m 1 b) f x( )x4 2(m1)x2  4 c) f x( )x4 (3m 5)x2 (m1)2 0 d) f x( )x4 10mx2 9m 0

(99)

§

CẤP SỐ NHÂN



 Câu hỏi Nhận xét tính chất đặc biệt chung dãy số sau: a) Dãy số: 3, 6, 12, 24, 48,

b) Dãy số: 1, , , , 1 1 ,

2 16

c) Dãy số: 2, 6, 18, 54, 162, 486

Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước số q không đổi, nghĩa là:

( )un cấp số nhân n 2, un un1 .q

Số q gọi công bội cấp số nhân n 1; n

u

q n

u 

 

 

   

 

 

 Câu hỏi ? Để chứng minh dãy số ( )un cấp số nhân, ta làm ?

Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số nhân Xác định công bội số hạng đầu

tiên cấp số nhân ?

a) Dãy số u n( ) với un  ( 3)2n1 b) Dãy số u n( ) với un  ( 1) 5n 3n2

Giải

Định lí Nếu u n( ) cấp số nhân kể từ số hạng thứ hai, bình phương số hạng (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) tích hai số hạng đứng kề dãy, tức là: uk2 uk1.uk1, (k 2)

Hệ Nếu a b c, , ba số khác 0, “ba số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân b2 ac"

Ví dụ Tìm số dương a b cho a a, 2 , 2b a b lập thành cấp số cộng

2

(b1) , ab5, (a 1) lập thành cấp số nhân

Giải

(100)

 Số hạng tổng quát

Định lí Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q 0 số hạng tổng qt

n

u tính công thức: un u q1 n1, n 2

Chứng minh:

Ví dụ Một cấp số nhân có tám số hạng, số hạng đầu 4374, số hạng cuối Tìm cấp số nhân ?

Giải

 Tổng n số hạng cấp số nhân

Định lí Giả sử ( )un cấp số nhân có cơng bội q Gọi 1 2

1

n

n k n

k

S u u u u





 Nếu q 1 Sn nu1  Nếu q 1

1

n n

q S u

q 

  



Ví dụ Tính tổng tất số hạng cấp số nhân, biết số hạng đầu 18,

số hạng thứ hai 54 số hạng cuối 39366

Giải

Ví dụ Tính tổng:

a) Sn  2 22 23      2 n b)

2 2

1 1

2

n

n n

S               

     

Giải

(101)

BT 396. Tìm số hạng đầu tiên, công bội cấp số nhân trường hợp sau:

a)

2 51 102 u u u u          b) 165 60 u u u u         

c)

5 72 144 u u u u          d) 90 240 u u u u         

e)

1

65 325

u u u

u u

   

 

  

 f)

2

3

42 20

u u u

u u

    

 

   

g)

4

135 40

u u u

   

 

   

 h)

1

4

13 351

u u u

   

 

    

i)

1

14

64

u u u

u u u

         j) 2 3 u u u u         

k) 12 22 32

1

7 21

u u u

   

 

   

 l)

1

2 2

1

15 85

u u u u

    

 

     

BT 397. Tìm a b, biết 1, , a b ba số hạng liên tiếp cấp số cộng 1, , a2 b2 ba số hạng liên tiếp cấp số nhân

BT 398. Cho ba số tạo thành cấp số cộng có tổng 21 Nếu thêm 2, 3, vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành cấp số nhân Tìm số

BT 399. Cho số dương có tổng 65 lập thành cấp số nhân tăng, bớt đơn vị số hạng thứ 19 đơn vị số hạng thứ ba ta cấp số cộng Tìm số

BT 400. Giữa số 160 chèn số để tạo thành cấp số nhân Tìm số

BT 401. Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân

BT 402. Ba số khác có tổng 114 coi ba số hạng liên tiếp cấp số nhân coi số hạng thứ nhất, thứ tư thứ 25 cấp số cộng Tìm số

BT 403. Tìm m để phương trình x3 (5m x) (65 )m x 6m 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân ?

BT 404. Chứng minh với m phương trình x3 (m2 3)x2 (m2 3)x 1 ln có ba nghiệm ba nghiệm lập thành cấp số nhân

BT 405. Đầu mùa thu hoạch xoài, bác nông dân bán cho người thứ nửa số xoài thu hoạch nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số lại nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số lại nửa quả,… Đến người thứ bảy bác bán nửa số xồi cịn lại nửa khơng cịn Hỏi bác nông dân thu hoạch xoài đầu mùa ?

Mỗi ngày biết thêm điều chưa biết, tháng không quên điều biết, người ham học

(102)

PHẦN Hình học

Chương : PHÉP BIẾN HÌNH

§

MỞ ĐẦU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

Phép biến hình quy tắc để ứng với điểm M thuộc mặt phẳng, ta xác định điểm M thuộc mặt phẳng Điểm M gọi ảnh điểm M qua phép biến hình

 Kí hiệu thuật ngữ

Cho phép biến hình F

— Nếu M ảnh điểm M qua F ta viết M F M( ) Ta nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M

— Nếu H hình H 



M M

F M

M

H



H

F

H

F H

 Phép dời hình

Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm Phép dời hình biến:

— Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm

— Biến đường thẳng thành đường thẳng

— Biến tia thành tia

— Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho

— Biến tam giác thành tam giác tam giác cho

— Biến đường tròn thành đường trịn có bán kính với đường trịn ban đầu

— Biến góc thành góc góc ban đầu

§

PHÉP TỊNH TIẾN

Trong mặt phẳng cho véctơ v



Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho

MM v gọi phép tịnh tiến theo véctơ v



Phép tịnh tiến theo véctơ v



kí hiệu Tv Như vậy: M T Mv( )MMv

 

Phép tịnh tiến phép biến hình:

— Bảo tồn khoảng cách hai điểm

— Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với

v M

(103)

— Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính

 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M x( M;yM) ảnh M x y( M; M) qua phép tịnh tiến

theo v ( ; ).a b



Khi đó: M M

M M

x x a

y y b

 

  

 

   

BT 406. Trong mặt phẳng tọa độ

,

Oxy cho v (2;1),



điểm M(3;2) Tìm tọa độ điểm A cho

a) AT Mv( ) b) ( )

v

M T A

,

Oxy cho v  ( 1; 3),



điểm M( 1;4). Tìm tọa độ A cho

a) AT M2v( ) b) ( )

v

M T A   

,

Oxy cho đường thẳng d Hãy tìm ảnh đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo v



trong trường hợp sau:

a) d : 2x3y120, v (4; 3).



b) d : 2x3y 5 0, v (3;2)



c) d : 3x   y 0, v  ( 4;2)



d) d : 2x   y 0, v AB

 

với A(3;1), ( 1; 8).B 

e) d : 3x 4y 5 0, v AB

 

với A(0;2), (2;3).B

f) d x: 3y 2 0, v 2AB

 

với A( 2; 3), (0;2). B g) d cắt Ox Oy, A( 1; 0), (0;5), B v (2;2)



,

Oxy cho đường tròn ( ).C Hãy tìm ảnh đường trịn ( )C qua phép tịnh tiến v



trường hợp sau:

a) ( ) : (C x4)2 (y3)2 6, v (3;2)



b) ( ) : (C x2)2 (y4)2 16, v (2; 3).



c) ( ) : (C x 1)2 (y3) 25, v AB

 

với A( 1;1), (1; 2). B  d) ( ) : (C x 2)2 (y4)2 9, v  CB

 

với B(2; 3), ( 1;5). C  e) ( ) :C x2 y24x6y 8 0, v (5; 2).

(104)

f) ( ) :C x2 y2 2x 4y 4 0, v  ( 2; 3)



g) ( ) :C x2 y2 4x 4y 1 0, v AB

 

với A( 1;1), (1; 2). B  h) ( ) :C x2 y2 6x 2y 6 0, v 3BC

 

với B(1; 2), ( 1; 5). C  

,

Oxy cho A(3;5), ( 1;1), B  v  ( 1;2),



đường thẳng d đường trịn ( )C có phương trình: d x: 2y 3 0, ( ) : (C x 2)2 (y 3)2 25

a) Tìm ảnh điểm A B,  theo thứ tự ảnh A B, qua phép tịnh tiến v



b) Tìm tọa độ điểm C cho A ảnh C qua phép tịnh tiến v



c) Tìm phương trình đường thẳng d, đường trịn ( )C ảnh d C, ( ) qua phép tịnh tiến v



,

Oxy cho tam giác ABC có ảnh qua phép tịnh tiến theo v (2;5)



tam giác A B C   tam giác A B C   có trọng tâm G ( 3;4), biết A( 1;6), (3;4). B Tìm

, , A B C 

,

Oxy cho A(1; 3), ( 2;2), (3; 4).B  C  Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Gọi ( )C đường tròn qua ba điểm A B C, , Hãy xác định:

a) A TBC( )A ( ) AC

B T B b)

1 CG( )

A T A

1 AM( )

G T G

c) d TBM( )d với d đường thẳng qua

1,

A M d đường thẳng qua A M,

,

Oxy cho phép tịnh tiến biến đường tròn ( )C thành đường tròn ( ).C Hãy xác định phép tịnh tiến trường hợp sau:

a) ( ) : (C x 1)2 (y2)2 16, ( ) : (C x10)2 (y 5)2 16 b) ( ) :C x2 y2 2x 6y 1 0, ( ) :C x2 y24x 2y 4

c) ( ) : (C x m)2 (y2)2 5, ( ) :C x2 y2 2(m2)y 12m2 6 x

,

Oxy cho v  ( 2;1)



hai đường thẳng d : 2x 3y3 d1 : 2x 3y 5

a) Viết phương trình đường thẳng d ảnh d qua Tv b) Tìm tọa độ u



có giá vng góc với đường thẳng d để d1 ảnh d qua Tu

BT 415. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x   y a) Tìm phép tịnh tiến theo véctơ v



(105)

b) Tìm phép tịnh tiến theo véctơ u



có giá song song với trục Oy, biến d thành d qua điểm A(1;1)

BT 416 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định phép tịnh tiến theo v



phương với trục hoành biến đường thẳng d x: 4y  4 thành đường thẳng d qua A(1; 3).

BT 417.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình

:

d x y  d: 3x 5y24 0 Tìm v,



biết v  13



T dv( )d

BT 418.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo v



biến điểm M(3; 1) thành điểm đường thẳng d x:   y Tìm tọa độ v,



biết v 5



BT 419.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định tọa độ điểm M trục hoành cho phép tịnh tiến theo v  ( 2;3)



biến điểm M thành điểm M nằm trục tung

BT 420.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình chứa cạnh

: 3

AB x  y  chứa cạnh CD : 3x2y 6 Tìm tọa độ v,



biết

( )

v

CD T AB v AB

 

BT 421.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d d,  có phương trình

: 0, : 13

d x  y d x  y  véctơ u (1; 1).



Tìm tọa độ véctơ v



trong phép tịnh tiến Tv biến d thành d, biết hai véctơ v



u



phương

BT 422.Tìm phương trình ảnh đường sau qua phép tịnh tiến véctơ v



: a) Elip

2

( ) : 1,

9

x y

E   v  ( 3, 4) b) Parabol ( ) :P y x22 ,x v (1;1)



BT 423.Cho ( ) :P y x2 4x 7 ( ) :P y x2 Tìm phép tịnh tiến biến ( )P thành ( ).P

BT 424.Cho tam giác ABC có A( 1;2), ( 3;1), (2; 4). B  C  Gọi M N P, , trung điểm AB AC BC, ,

a) Tìm A TBC( ).A b) Chứng minh: A P N, , thẳng hàng c) Tìm Q để MNPQ hình bình hành d) Tìm A M  TBC(AM)

BT 425.Cho tứ giác ABCD có A 60 , B 150 , D 90 , AB 6 3, CD 12 Tính độ dài cạnh AD BC

BT 426.Cho tứ giác lồi ABCD có AB BC CD a BAD,  75 , ADC 45 Tính AD

BT 427.Cho hình bình hành ABCD điểm M cho C nằm tam giác MBD, giả sử

 .

MBC MDC Chứng minh: AMD BMC

BT 428.Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A cố định, BD có độ dài không đổi ,a ba điểm A B D, , nằm đường tròn cố định ( ; ).O R Tìm quỹ tích điểm C

(106)

d M0

M

M'

Thiên tài kiên nhẫn lâu dài trí tuệ

I Newton

Bài đọc thêm

§

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

— Điểm M gọi đối xứng với điểm M qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng MM Khi điểm M nằm d ta

xem M đối xứng với qua đường thẳng d

— Phép biến hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d gọi phép đối xứng qua đường thẳng d, hay gọi tắt phép đối xứng trục

— Đường thẳng d gọi trục đối xứng Kí hiệu: Đd Như vậy: M Đd( )M M Mo   M Mo

 

với Mo hình chiếu vng góc M lên d

 Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với điểm M x y( M; M), gọi M x( M;yM) Đ d( )M

— Nếu chọn d trục Ox, ta có: M M

M M

x x

y y

 

 

 

   

— Nếu chọn d trục Oy, ta có: M M

M M

x x

y y

 

  

 

    Tính chất

Phép đối xứng trục phép dời hình nên có đầy đủ tính chất phép dời hình:

— Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính

 Trục đối xứng hình

Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng trục Đd biến H thành nó, tức H Đd( ).H

(107)

§

PHÉP QUAY

Cho điểm O góc lượng giác  Phép biến hình biến O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M cho OM OM góc lượng giác (OM OM; )  gọi phép quay tâm O góc quay 

Điểm O gọi tâm quay,  gọi góc quay Phép quay tâm O góc , kí hiệu Q( ; )O

 Câu hỏi:

 Phép quay biến cờ ( )C thành cờ ( ) :C

 Phép quay biến cờ ( )C thành cờ ( ) :C

Phép tịnh tiến phép biến hình biến:

Lưu ý Giả sử phép quay tâm O góc quay  biến đường thẳng d thành đường thẳng d Khi đó:

 Nếu

2  

  góc d d 

 Nếu

2

 

góc d d 

 Phương pháp xác định ảnh điểm qua phép quay Phương pháp Sử dụng định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M x( M;yM) ảnh M x y( M; M) qua phép quay tâm

( ; ),

I a b góc quay  Khi đó: ( ; ) 

(1)

( ; ) ( )

(2)

M M I

IM IM M x y Q M

MIM

 

 

 

 



   

  

Từ (1), sử dụng cơng thức tính độ dài, tìm phương trình thứ theo ẩn Từ (2), sử dụng định lý hàm số cos, tìm phương trình thứ hai theo ẩn Giải hệ phươngtrình tìm xM, yM, từ suy tọa độ điểm M x( M;yM)

Phương pháp Sử dụng công thức tọa độ

( ; )

( ) cos ( ) sin

( ; ) ( )

( )sin ( )cos

M M M

M M I

M M M

x x a y b a

M x y Q M

y x a y b b



 



 



     



    

   



 Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình

thành hình

O

M M

2 

( )C ( )C

d' d

α α

(108)

BT 430. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), (0; 2).B  Tìm A B,  ảnh A B, qua phép quay tâm O, góc quay 90 o

BT 431. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh đường trịn ( )C qua phép quay tâm

,

O góc quay  trường hợp sau đây:

a) ( ) : (C x 2)2 (y1)2 1,  90 o b) ( ) :C x2 y2 4x  5 0, 90 o c) ( ) :C x2 y2 2x 4y 1,   90 o d) ( ) :C x2 (y1)2 1,  60 o e) ( ) :C x2 y2 4x 2y 0,   30 o f) ( ) :C x2 y2 6x  5 0, 90 o

BT 432. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay  trường hợp sau đây:

a) d x:   y 0,  90 o b) d x: 3y110,   90 o c) d x: 3y 5 0,  60 o d) d : 2x   y 0,  45 o

BT 433. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x 3y 2 đường trịn có phương trình ( ) :C x2 y2 4x 4y 1

a) Viết phương trình d ảnh d qua phép Q( ;90 )O

b) Viết phương trình ( )C ảnh ( )C qua phép Q( ;90 )O

BT 434. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2;2), đường thẳng d : 2x   y đường tròn ( ) : (C x1)2 (y1)2 4 Tìm ảnh M d C, , ( ):

a) Phép quay tâm O góc quay 45 o b) Phép quay tâm I(1;2) góc quay 45 o

BT 435. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(4;3), đường tròn ( ) : (C x 2)2 (y2 3)2 5 Tìm ảnh A C, ( ) qua phép quay tâm O góc quay 60 o

BT 436. Cho tam giác ABC có đỉnh kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngồi hình vng ABDE BCKF, Gọi P trung điểm AC H, điểm đối xứng D qua B M, trung điểm FH

a) Xác định ảnh BA BP,

 

phép quay Q( ;90 )B

b) Chứng minh: DF 2BP DF BP

BT 437. Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác BAE CAF vuông cân A Gọi I M J, , theo thứ tự trung điểm EB BC CF, , Chứng minh tam giác IMJ vuông cân

(109)

Bài đọc thêm

§

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành nó, biến điểm M khác I thành điểm M cho I trug điểm đoạn thẳng MM gọi phép đối xứng tâm I, nghĩa IM IM0

  

Phép đối xứng tâm I thường kí hiệu ĐI

 Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I x y( ; ),I I M x y( M; M) M x( M;yM) ảnh M qua

phép đối xứng tâm I Khi đó:

2

M I M

x x x

y y y

 

  

 

  

  Tính chất

Phép đối xứng tâm:

— Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho

 Tâm đối xứng hình

Điểm I gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành Khi H gọi hình có tâm đối xứng

§

PHÉP VỊ TỰ &ø PHÉP ĐỒNG DẠNG

Cho điểm O cố định số thực k khơng đổi, k 0 Phép biến hình biến điểm

M thành điểm M, cho OM k OM

 

gọi phép vị tự tâm O tỉ số k kí hiệu V( ; )O k (O gọi tâm vị tự)

 Các tính chất

— Định lí Nếu phép vị tự tâm I tỉ số k biến hai điểm M N thành hai điểm

M N M N  k MN. M N  k MN

— Định lí Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm

thay đổi thứ tự ba điểm

— Hệ quả:

₊ Biến đường thẳng không qua tâm vị tự thành đường thẳng song song với đường thẳng cho

₊ Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành

₊ Biến tia thành tia

(110)

₊ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k

₊ Biến góc góc ban đầu

Lưu ý

— Qua phép V( ; )O k đường thẳng d biến thành đường thẳng d qua tâm vị tự O

— Nếu ( ; )I k( ) ;1 ( )

I k

M V M M V  M

 

   

   

 Ảnh đường tròn qua phép vị tự

— Định lí Phép vị tự tỉ số k biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R  k R

— Chú ý: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn ( ; )I R thành đường tròn ( ;I R )

R R

k k

R R

 

    OI k OI

 

 Tâm vị tự hai đường tròn

— Với hai đường trịn ln có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường tròn

— Nếu tỉ số vị tự k 0 tâm vị tự gọi tâm vị tự ngoài, tỉ số vị tự k 0 tâm vị tự gọi tâm vị tự

— Cách xác định tâm vị tự:

 Nếu I tâm vị tự ngoài, ta có: IO R IO

R   



 

 Nếu I tâm vị tự trong, ta có: IO R IO

R    



 

 Phép đồng dạng

— Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k, (k 0) với hai điểm M N,

ảnh M, N tương ứng chúng, ta ln có M N  k MN

— Mọi phép đồng dạng tỉ số k hợp thành phép vị tự tỉ số k phép dời hình D

BT 439. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép vị tự tâm O(0; 0) sau:

a) Cho A(1; 1), (2;3). B Tìm A V( ; )O k( )A B V( ; )O k ( )B với k  3 b) Cho M (3; 1) M V( ; )O k( )M với k 3 Tìm M

BT 440. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh đường thẳng d trường hợp: a) Cho d : 2x   y Tìm d V( ; )O k ( )d với O(0; 0) k 2

b) Cho d : 3x 2y 6 Tìm d V( ; )I k ( )d với I(1;2) k  2 c) Cho d : 2x 3y 6 Tìm d V( ; )I k ( )d với I(2; 1) k  2

R R'

O O'

(111)

BT 441.Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh đường thẳng ( )C trường hợp: a) ( ) : (C x 1)2 (y3)2 2 Tìm (( ))C V( ; )O k (( ))C với k 3

b) ( ) : (C x3)2 (y1)2 9 Tìm (( ))C V( ; )M k (( ))C với M(1;2), k  2 c) ( ) :C x2 (y1)2 1 Tìm (( ))C V( ; )M k (( ))C với M(2;1), k 3

BT 442.Cho đường tròn ( ) : (C x 1)2 (y2)2 4 Gọi f phép biến hình có cách thực phép tịnh tiến theo véctơ 3; ;

2

v   

 



đến phép vị tự tâm 1;

3

M 

 

với tỉ số k 2 Viết phương trình đường trịn ( )C qua phép biến hình f

BT 443.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(4; 2), đường thẳng d x:   y đường tròn ( ) : (C x 2)2 (y5)2 9

a) Tìm tọa độ điểm B1 ảnh B qua phép quay tâm O, góc quay 90o điểm

2,

B biết B ảnh B2 qua phép tịnh tiến theo véctơ v (1; 3).



b) Viết phương trình ( )C ảnh ( )C qua phép vị tự tâm O, tỉ số 3

c) Viết phương trình đường thẳng d ảnh d qua phép vị tự tâm O, tỉ số 2

BT 444.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x 4y 8 đường trịn có phương trình ( ) :C x2 y218x 4y360

a) Tìm ảnh d qua phép quay tâm O, góc quay 90 o

b) Tìm ảnh đường tròn ( )C qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo v  ( 4; 3)



phép vị tự tâm I(0; 2),  k  2

BT 445.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho B( 2; 3), (3; 1), I  đường thẳng d : 2x  y đường tròn ( ) :C x2 y22x 6y 1

a) Tìm ảnh điểm B qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 90o phép tịnh tiến theo v  ( 1;2)



b) Tìm ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm O, tỉ số 2

c) Tìm ảnh đường trịn ( )C qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm I, tỉ số phép quay tâm O, góc quay 90 o

BT 446.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x 3y 6 Viết phương trình đường thẳng d ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số vị tự k  2 phép tịnh tiến theo v  ( 1;1)



BT 447.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai parabol có y ax2, y bx2, (a b) Chứng minh có phép vị tự biến parabol thành parabol

(112)

Chương ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN

§

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG



 Mở đầu hình học không gian

— Đối tượng bản:

 Điểm: kí hiệu A B C, , ,

 Đường thẳng: kí hiệu a b c d, , , ,

 Mặt phẳng: kí hiệu ( ), ( ), ( ), ( ), .P Q  

— Quan hệ bản:

 Thuộc: kí hiệu  Ví dụ: A d M , ( ).P

 Chứa, nằm trong: kí hiệu  Ví dụ: d ( ), P b ( ).

— Hình biểu diễn hình khơng gian:

 Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng

 Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)

 Hai đoạn thẳng song song biểu diễn hai đoạn thẳng song song bàng

 Dùng nét vẽ liền ( ) để biểu diễn cho đường trông thấy dùng nét đứt đoạn ( ) để biểu diễn cho đường bị che khuất

 Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian

— Có mặt phẳng qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cho trước

— Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng

— Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng

— Tồn bốn điểm không thuộc mặt phẳng

— Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác

Từ tính chất suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng

— Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng

 Điều kiện xác định mặt phẳng

— Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết qua ba điểm khơng thẳng hàng

— Mặt phẳng hồn tồn xác định biết qua điểm chứa đường thẳng không qua điểm

— Mặt phẳng hồn tồn xác định biết chứa hai đường thẳng cắt Mặt phẳng hồn tồn mở rộng đến vô cực

d

B C

α

A

B

C

d

α

A

B

α

A

B

C D P

(113)

 Hình chóp hình tứ diện

— Cho đa giác A A A A1 2 3 n nằm mặt phẳng ( ) điểm S ( ). Lần lượt nối điểm S

với đỉnh A A A1, , , ., 2 3 An ta n tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ., SA An 1 Hình gồm đa

giác A A A A1 2 3 nvà n tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ., SA An 1 gọi hình chóp, kí hiệu hình

chóp S A A A A 1 2 3 n Khi ta gọi:

 S đỉnh hình chóp

 A A A A1 2 3 n mặt đáy hình chóp

 Các tam giác SA A SA A1 2, 2 3, ., SA An 1 gọi mặt bên

 SA SA SA1, 2, 3, ., SAn gọi cạnh bên

Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, , hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác ,

— Cho bốn điểm A B C D, , , khơng đồng phẳng Hình gồm tam giác ABC ACD ABD, , BCD gọi hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi tứ diện) kí hiệu ABCD

 Các điểm A B C D, , , bốn đỉnh tứ diện

 Các đoạn thẳng AB BC CD DA CA BD, , , , , gọi cạnh tứ diện

 Hai cạnh không qua đỉnh gọi hai cạnh đối diện tứ diện

 Các tam giác ABC ACD ABD BCD, , , gọi mặt tứ diện

Hình tứ diện có bốn mặt tam giác gọi hình tứ diện

Hình chóp tứ giác

A D

C B

S

Hình chóp tam giác ( tứ diện )

B D

C A

Hình chóp tứ giác có đáy hình thang

A D

C B

S

Hình chóp tứ giác có đáy hình bình hành

A D

C B

(114)

 Các dạng toán thường gặp

a) Dạng tốn Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

— Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng

— Đường thẳng nối hai điểm chung giao tuyến chúng

Ví dụ Cho tứ diện SABC Gọi M N, hai điểm cạnh AB BC cho

MN khơng song song với AC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a) (SMN) (SAC)

b) (SAN) (SCM)

Giải

Ví dụ Cho tứ diện SABC Gọi K M, hai điểm cạnh SA SC Gọi N trung điểm cạnh BC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:

a) (SAN) (ABM) b) (SAN) (BCK)

Giải

A C

B

S

M

N

A C

B

S

K

(115)

Ví dụ Cho hình chóp S ABCD , mặt đáy ABCD có cặp cạnh đối khơng song song Gọi điểm M thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a) (SAC) (SBD)

b) (SAB) (SCD) c) (MBC) (SAD)

Giải

A D

B

S

(116)

b) Dạng toán Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ).

— Bước Tìm mặt phẳng phụ ( ) chứa d cho dễ tạo giao tuyến với ( ). Mặt phẳng thường xác định d điểm ( ).

— Bước Tìm giao tuyến u ( ) ( ).

— Bước Trong ( ), d cắt u I, mà b ( ). Vậy d cắt ( ) I

u d

β

α

Ví dụ Cho tứ diện SABC có M điểm nằm tia đối tia SA O, điểm nằm tam giác ABC Tìm giao điểm đường thẳng:

a) BC với (SOA) b) MO với (SBC) c) AB với (MOC) d) SB với (MOC)

Giải

B

C M

O A

(117)

Ví dụ Cho tứ diện SABC có hai điểm M N, thuộc hai cạnh SA SB, O điểm nằm tam giác ABC Xác

định giao điểm sau:

a) AB với (SOC) b) MN (SOC) c) SO (CMN)

B

C O

A

S

N

(118)

c) Dạng tốn Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ).

Ta tìm đoạn giao tuyến nối tiếp mặt phẳng ( ) với hình chóp khép kín thành đa giác phẳng Đa giác thiết diện cần tìm đoạn giao tuyến cạnh thiết diện

Ví dụ Cho tứ diện ABCD Trên đoạn CA,

,

CB BD cho điểm

, ,

M N P cho MN không song song với AB Gọi ( ) mặt phẳng xác định ba điểm M N P, , Dựng thiết diện tạo ( ) tứ diện ABCD

Giải

Ví dụ Cho tứ diện SABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác ABC Gọi M N, hai điểm nằm hai cạnh SA SC cho MN khơng song song với

AC Tìm thiết diện (MNO) cắt tứ diện SABC

Giải

B

C

D A

N

M

P

A C

S

B O

(119)

Dạng tốn 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng



BT 449.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SAB) (SAC) b) (SAC) (SBD)

c) (SAB) (SCD) d) (SAD) (SBC)

BT 450.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang với AB CD AB CD Lấy điểm

M nằm đoạn BC. Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SAC) (SBD) b) (SAD) (SBC)

c) (SAM) (SBD) d) (SDM) (SAB)

BT 451.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Trên cạnh SA lấy điểm M Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SAC) (SBD) b) (BCM) (SAD)

c) (CDM) (SAB) d) (BDM) (SAC)

BT 452.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trung điểm CD

M Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SAC) (SBD) b) (SBM) (SAC)

c) (SBM) (SAD) d) (SAM) (SBC)

BT 453.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB CD ABCD Lấy điểm M nằm đoạn SA. Hãy tìm:

a) (BDM) ( SAC)? b) (BCM) ( SAD)?

c) (BCM) ( SCD)?

BT 454 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Lấy điểm M cạnh SA, trung điểm CD N Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:

a) (BMN) (SAC) b) (BMN) (SAD)

c) (MCD) (SBD) d) (MCD) (SAB)

BT 455.Cho hình chóp S ABCD có đáy tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện khơng song song Lấy điểm M thuộc miền tam giác SCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SBM) (SCD) b) (ABM) (SCD)

c) (ABM) (SAC)

BT 456.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Lấy I thuộc cạnh SA J, thuộc cạnh SB cho IJ không song song với AB Lấy điểm K tứ giác ABCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:

a) (IJK) (ABCD) b) (IJK) (SAB)

c) (IJK) (SAD) d) (IJK) (SAC)

(120)

BT 457. Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA SC, lấy M N, cho MN không song song

AC Gọi K trung điểm BC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng:

a) (MNK) (ABC) b) (MNK) (SAB)

BT 458. Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA SC, lấy M N, cho MN không song song

AC Gọi O điểm nằm miền tam giác ABC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

a) (MNO) (ABC) b) (MNO) (SAB)

c) (SMO) (SBC) d) (ONC) (SAB)

BT 459. Cho tứ diện ABCD có M điểm cạnh AB N, điểm cạnh AD cho

2 ,

MB  MA AN  ND Gọi P điểm nằm tam giác BCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:

a) (CMN) (BCD) b) (MNP) (SAD)

c) (MNP) (ABC)

BT 460. Cho tứ diện ABCD Gọi M điểm nằm tam giác ABC N, điểm nằm tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

a) (CDM) (ABD) b) (BCN) (ABD)

c) (CMN) (BCD)

BT 461. Cho tứ diện SABC Lấy điểm E F, đoạn SA SB, điểm G trọng tâm giác ABC Hãy tìm:

a) (EFG) ( ABC)? b) (EFG) ( SBC)?

c) (EFG) ( SGC)?

BT 462. Cho hình chóp S ABCD Hai điểm G H, trọng tâm SAB, SCD Tìm:

a) (SGH) ( ABCD)? b) (SAC) ( SGH)?

c) (SAC) ( BGH)? d) (SCD) ( BGH)?

BT 463. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang có AB song song CD Gọi I giao điểm AD BC Lấy M thuộc cạnh SC Hãy tìm:

a) (SAC) ( SBD)? b) (SAD) ( SBC)?

c) (ADM) ( SBC)?

BT 464. Cho hình chóp S ABCD có đáy tứ giác lồi Gọi hai điểm M G, trọng tâm SAD, SAD N, SG P, nằm tứ giác ABCD Hãy tìm:

a) (MNP) ( ABCD)? b) (MNP) ( SAC)?

c) (MNP) ( SCD)?

BT 465. Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M N P, , trung điểm cạnh BC CD SA, , Hãy tìm:

a) (MNP) ( SAB)? b) (MNP) ( SAD)?

c) (MNP) ( SBC)? d) (MNP) ( SCD)?

(121)

a) (IHK) ( ABC)? b) (IHK) ( SBC)?

BT 467 Cho tứ diện SABC Gọi D E F, , trung điểm AB BC SA, , a) Tìm giao tuyến SH hai mặt phẳng (SCD) (SAE)

b) Tìm giao tuyến CI hai mặt phẳng (SCD) (BFC)

c) SH CI có cắt khơng ? Giải thích ? Nếu có, gọi giao điểm O, chứng minh IH SC Tính tỉ số OH

OS 

Dạng toán 2: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng



BT 468.Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA lấy M cho SA3SM, cạnh SC lấy điểm N cho SC 2SN Điểm P thuộc cạnh AB Tìm giao điểm của:

a) MN (ABC) b) BC (MNP)

BT 469.Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm AC BC Lấy điểm P cạnh BD cho PBPD Tìm giao điểm của:

a) CD (MNP) b) AD (MNP)

BT 470.Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy điểm M N, Gọi P điểm thuộc miền tam giác BCD Tìm giao điểm:

a) MN (BCD) b) AP (BMN)

BT 471.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Trên SA SB, lấy hai điểm M N Hãy tìm:

a) SO (CMN)? b) (SAD) ( CMN)?

BT 472.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi G trọng tâm tam giác

SAB Hãy tìm:

a) (SGC) ( ABCD)? b) AD(SGC)?

c) SO (SGB)? d) SD(BCG)?

BT 473.Cho hình chóp S ABCD với ABCD hình bình hành Gọi M điểm lấy cạnh

,

SB N điểm lấy SCD Hãy tìm giao điểm của:

a) MN với (ABCD) b) SC với (MAN)

c) SD với (MAN) d) SA với (CMN)

BT 474.Cho tứ diện SABC Lấy điểm M cạnh SA Lấy N P, nằm tam giác SBC ABC

a) Tìm giao điểm MN với (ABC)

b) Tìm giao điểm (MNP) với AB SB AC SC, , , c) Tìm giao điểm NP với (SAB), (SAC)

BT 475.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi I J, trung điểm SA SB Lấy điểm M tùy ý SD Tìm giao điểm của:

(122)

c) SC (IJM)

BT 476. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi I J K, , ba điểm nằm cạnh SA AB BC, ,

a) Tìm giao điểm IK với (SBD)

b) Tìm giao điểm (IJK) với SD SC

BT 477. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm

,

SB N trọng tâm SCD Xác định giao điểm của:

a) MN (ABCD) b) MN (SAC)

c) SC (AMN) d) SA (CMN)

BT 478. Cho hình chóp S ABCD Gọi M N, trung điểm cạnh SA SD, P điểm thuộc cạnh SB cho SP 3PB

a) Tìm giao điểm Q SC (MNP) b) Tìm giao tuyến (MNP) (ABCD)

BT 479. Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy điểm M N, cho M N, không song song với CD Gọi O điểm thuộc miền BCD Tìm giao điểm đường thẳng:

a) BD (OMN) b) BC (OMN)

c) MN (ABO) d) AO (BMN)

BT 480. Cho hình chóp S ABCD Gọi M N, trọng tâm tam giác SAB

SCD Xác định giao điểm của:

a) BD (SMN) b) MN (SAD)

c) SD (BMN) d) SA (CMN)

BT 481. Cho tứ diện SABC Gọi I J, trung điểm SA BC, Lấy điểm M đoạn IJ, lấy N cạnh SC

a) Tìm H SM (ABC) b) Tìm K CM (SAB)

c) Tìm L MN (ABC) d) Tìm P AM (SBC)

BT 482. Cho tứ diện OABC Gọi M N P, , trung điểm OA OB, AB Trên cạnh OC lấy điểm Q cho OQQC Gọi G trọng tâm tam giác ABC

a) Tìm E BC (MNQ) b) Tìm F CP (MNQ)

c) K BG(MNQ)

BT 483. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SB G trọng tâm tam giác SAD

a) E SA(OMG) b) F AD (OMG)

c) K GM (ABCD)

BT 484. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, hai điểm nằm tam giác SAB SAD

a) E MN (ABCD) b) F AB (OMN)

(123)

BT 485.Cho tứ diện SABC, lấy điểm M trung điểm SA, lấy điểm N trọng tâm SBC P nằm ABC Tìm giao điểm của:

a) I MN (ABC) b) SB (MNP)?

c) SC (MNP)? d) NP(SAB)?

d) Tứ giác ABIC hình ?

BT 486.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm SC,

N trung điểm OB với O giao điểm AC BD

a) Tìm I SD(AMN) b) Tính tỉ số: SI

ID

BT 487.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm SD a) Tìm I BM (SAC) Chứng minh: BI 2IM

b) Tìm E SA(BCM) Chứng minh: E trung điểm SA

BT 488.Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AC BC Trên cạnh

BD lấy điểm K cho BK 2KD

a) Tìm giao điểm E đường thẳng CD (IJK) Chứng minh: DE DC b) Tìm giao điểm F đường thẳng AD (IJK).Tính tỉ số FA

FD

BT 489.Cho tứ diện ABCD Gọi I M, trung điểm AB BC G, trọng tâm tam giác ACD

a) Tìm P CD(IMG) b) Tính tỉ số: PC

PD

BT 490.Cho hình chóp S ABC có G trọng tam tam giác ABC Gọi M điểm cạnh

SA cho MA2MS K, trung điểm BC D điểm đối xứng A qua G

a) Tìm H SK (MCD) b) Tính tỉ số HK

SK 

BT 491 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm SA CD

a) Tìm giao điểm E AD với (BMN)

b) Tìm giao điểm F SD (BMN) Chứng minh rằng: FS 2FD

BT 492.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB AB 2CD Gọi I J K, , ba điểm cạnh SA AB BC, ,

a) Tìm giao điểm IK (SBD)

b) Tìm giao điểm F SD (IJK) Tính tỉ số FS

FD

c) Tìm giao điểm G SC (IJK) Tính tỉ số GS

GC 

BT 493.Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AC BC Trên cạnh

BD lấy điểm K cho BK 2KD

(124)

b) Tìm giao điểm F AD với (IJK) Chứng minh: FA2FD FK IJ c) Gọi M N hai điểm nằm hai cạnh AB CD Tìm giao

điểm MN với (IJK)

BT 494. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O Gọi M trung điểm SB N, điểm thuộc đoạn SD cho SN 2ND

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBD) (SAC)

b) Tìm giao điểm E đường thẳng MN mặt phẳng (ABCD) Tính EN

EM 

c) Tìm giao điểm K đường thẳng SC mặt phẳng (AMN) Gọi J giao điểm AK SO Tính tỉ số: JK

JA 

BT 495. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD BC AD 2BC,

E trung điểm SA Gọi N điểm thuộc đoạn AB cho NB 2NA M điểm thuộc đoạn CD cho MD 2MC

a) Tìm (EMN) ( SAD)? b) Tìm (EMN) ( SCD)? c) Tìm EM (SBC)L

d) Tìm giao tuyến (CDE) (SAB) Giao tuyến cắt SB P cắt AB I Chứng minh: 2SB 3SP SIDE 3.SICP

BT 496. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang AB đáy lớn AB 3CD Gọi N trung điểm CD M, điểm cạnh SB thỏa SM 3MB, điểm I cạnh SA thỏa AI 3 IS

a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với (SAD) b) Gọi H giao điểm CB với (IMN) Tính tỉ số HB

HC 

Dạng toán 3: Tìm thiết diện hình (H) cắt mặt phẳng (P)



BT 497. Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA SB, lấy M N, cho MN không song song với AB Gọi P điểm thuộc miền tam giác ABC Xác định giao tuyến (MNP) (ABC) Từ suy thiết diện cắt hình chóp mặt phẳng (MNP)

BT 498. Cho tứ diện SABC Gọi K N, trung điểm SA BC, M điểm thuộc đoạn SC cho 3SM 2MC

a) Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng (KMN) b) Mặt phẳng (KMN) cắt AB I Tính tỉ số IA

IB 

(125)

BT 500.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn

AD

.

M

.

SB

(

AMD

).

BT 501.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi

M N P

, ,

CB CD SA

,

.

(

MNP

).

BT 502.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn

AD

.

H K

SB

AB M

ABCD

KM

AD CD

HKM

BT 503.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB, lấy M N, cạnh SC SD, Tìm thiết diện hình chóp với (ABM) (AMN)

BT 504.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi H K, trung điểm

BC CD Lấy M cạnh SA Tìm thiết diện hình chóp với (MHK)

BT 505 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB CD AB , CD Gọi I J, theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC

a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm đường thẳng SD với (AIJ)

c) Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng (AIJ)

BT 506.Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi I trung điểm AD J, điểm đối xứng với D qua C K, điểm đối xứng với D qua B Xác định thiết diện hình tứ diện cắt mặt phẳng (IJK) tính diện tích thiết diện

BT 507.Cho hình chóp S ABCD Lấy điểm M thuộc miền tam giác SBC Lấy điểm N thuộc miền tam giác SCD

a) Tìm giao điểm MN với (SAC) b) Tìm giao điểm SC với (AMN)

c) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD với (AMN)

BT 508.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SB G, trọng tâm tam giác SAD

a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) Chứng minh I đường thẳng CD IC 2ID

b) Tìm giao điểm J (OMG) với AD Tính tỉ số: JA

JD 

c) Tìm giao điểm K (OMG) với SA Tính tỉ số: KA

KS 

d) Tìm thiết diện tạo (OMG) với hình chóp S ABCD

BT 509.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N P, , trung điểm SB SD, OC

a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) (ABCD) b) Tìm giao điểm SA (MNP)

(126)

BT 510. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trọng tâm tam giác SAC I J, trung điểm CD SD

a) Tìm giao điểm H đường thẳng IK với mặt phẳng (SAB) b) Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (IJK) với hình chóp

BT 511. Hình chóp S ABCD có đáy ABCD khơng hình thang, điểm P nằm tam giác SAB điểm M thuộc cạnh SD cho MD 2MS

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (PCD) b) Tìm giao điểm SC với mặt phẳng (ABM)

c) Gọi N trung điểm AD Tìm thiết diện tạo (MNP) hình chóp

BT 512. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (AMN) (SCD)

b) Trên cạnh SB SD, ta lấy điểm M N thỏa

3 SM

SB 

2 SN

SD   Tìm giao điểm I SC mặt phẳng (AMN) Suy thiết diện

mặt phẳng (AMN) hình chóp S ABCD

c) Gọi K giao điểm IN CD Tính tỉ số KC

KD 

BT 513. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, hai điểm hai cạnh SB SD, cho

3 SM

SB 

2 SN SD  

a) Tìm giao điểm I SC với mặt phẳng (AMN) Suy thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng (AMN)

b) Gọi K giao điểm IN CD Tính tỉ số: KC

KD

Dạng toán 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng



BT 514. Cho tứ diện SABC Trên cạnh SA SB SC, , lấy M N P, , cho MN cắt AB I NP, cắt BC J MP cắt AC K Chứng minh ba điểm

, ,

I J K thẳng hàng

BT 515. Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Gọi M N P, , trung điểm AB BC CD, ,

a) Tìm giao tuyến (ADN) (ABP)

b) Gọi I AGMP J CM AN Chứng minh D I J, , thẳng hàng

(127)

a) Tìm giao điểm SO với mặt phẳng (MNP) b) Tìm giao điểm SA với mặt phẳng (MNP)

c) Gọi F G H, , giao điểm QM AB QP, AC QN, AD Chứng minh ba điểm F G H, , thẳng hàng

BT 517.Cho hình chóp S ABCD có AD khơng song song với BC Lấy M thuộc SB O giao điểm AC với BD

a) Tìm giao điểm N SC với (AMC)

b) Gọi I AN DM Chứng minh S I O, , thẳng hàng

BT 518.Cho hình chóp S ABCD Gọi E F H, , điểm thuộc cạnh SA SB SC, , a) Tìm giao điểm K SD(EFH)

b) Gọi O AC BD I EH FK Chứng minh: S I O, , thẳng hàng c) Gọi M ADBC N EK FH Chứng minh: S M N, , thẳng hàng d) Gọi P AB CD Q EF HK Chứng minh: A P Q, , thẳng hàng

BT 519.Cho tứ diện ABCD Gọi M N P, , điểm thuộc cạnh AB AC BD, ,

, ,

MN BC I MP AD J NJ IP K Chứng minh: C D K, , thẳng hàng

BT 520.Cho hình chóp S ABCD Gọi I J hai điểm hai cạnh AD SB, a) Tìm giao tuyến (SBI) (SAC) Tìm giao điểm K IJ (SAC) b) Tìm giao tuyến (SBD) (SAC) Tìm giao điểm L DJ (SAC) c) Gọi O ADBC M, OJ SC Chứng minh rằng: A K L M, , , thẳng hàng

BT 521 Cho tứ giác ABCD có cạnh đối đơi không song song điểm S (ABCD) Lấy điểm I thuộc cạnh AD, lấy điểm J thuộc cạnh SB

a) Tìm K IJ (SAC) b) L DJ (SAC)

c) Gọi O ADBC M, OJ SC Chứng minh rằng: K L M, , thẳng hàng

BT 522.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SA SC,

a) Tìm giao tuyến (BMN) với mặt phẳng (SAB) (SBC) b) Tìm I SO(BMN) K SD(BMN)

c) Tìm E AD (BMN) F CD(BMN) d) Chứng minh ba điểm B E F, , thẳng hàng

BT 523.Cho hình chóp S ABCD Gọi M N, điểm nằm cạnh BC SD a) Tìm giao điểm I BN (SAC)

b) Tìm giao điểm J MN (SAC) c) Chứng minh: I J C, , thẳng hàng

(128)

BT 524. Cho tứ diện ABCD có K trung điểm AB Lấy I J, thuộc AC BD, cho IA2IC JB 3JD

a) Tìm giao điểm E AD (IJK) b) Tìm giao tuyến d (IJK) (BCD)

c) Gọi O giao điểm d với CD Chứng minh: I O E, , thẳng hàng d) Tính tỉ số OI

OE OC OD 

BT 525. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, AD đáy lớn AD 2BC Gọi M N, trung điểm SB SC, O AC BD

a) Tìm giao tuyến (ABN) (SCD) b) Tìm giao điểm P DN (SAB)

c) Gọi K AN DM Chứng minh: S K O, , thẳng hàng Tính tỉ số: KS

KO

BT 526. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SA SC, Gọi ( )P mặt phẳng qua M N, B

a) Tìm giao tuyến ( )P với mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAD), (SDC) b) Tìm I SO( ), P K SD( ), P E DA( ), P F DC ( ).P

c) Chứng tỏ ba điểm: E B F, , thẳng hàng

BT 527. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi M E, trung điểm SA AC, F CD cho CD 3CF

a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD)

b) Tìm giao điểm N SD (MEF) Tính tỉ số: NS

ND 

c) Gọi H SE CM K MF NE Chứng minh D H K, , thẳng hàng d) Tính tỉ số sau: HM; HS ; KM; KN ; KH

HC HE KF KE KD 

BT 528. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB AC BD, , lấy ba điểm E F G, , cho AB  3AE AC, 2AF DB, 4DG

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (EFG) (BCD)

b) Tìm giao điểm H đường thẳng CD với (EFG) Tính tỉ số HC

HD 

c) Tìm giao điểm I đường thẳng AD với (EFG) Tính tỉ số IA

ID 

d) Chứng minh ba điểm F H I, , thẳng hàng

e) Gọi J trung điểm BC AJ, cắt EF K Tính tỉ số AK

(129)

Dạng toán 5: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy



BT 529.Cho tứ diện ABCD Lấy M N P, , cạnh AB AC BD, , cho

MN cắt BC I MP, cắt AD J Chứng minh: PI NJ CD, , đồng quy

BT 530.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Lấy M cạnh SC Gọi N giao điểm SB (ADM) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh

, ,

SO AM DN đồng qui

BT 531.Cho hình chóp S ABCD Trên cạnh SC lấy điểm E khơng trùng với S C a) Tìm giao điểm F đường thẳng SD với (ABE)

b) Giả sử AB không song song với CD Hãy chứng minh ba đường thẳng

, ,

AB CD EF đồng qui

BT 532.Cho hình chóp S ABCD có AB không song song CD Gọi M trung điểm SC

O giao điểm AC với BD

a) Tìm giao điểm N SD với (MAB)

b) Chứng minh ba đường thẳng SO AM BN, , đồng quy

BT 533.Cho hình chóp S ABCD có AB CD E ADBC K Gọi M N P, , trung điểm SA SB SC, ,

a) Tìm giao tuyến (SAC) (SBD) b) Tìm giao tuyến (MNP) (SBD) c) Tìm giao điểm Q SD (MNP)

d) Gọi H MN PQ Chứng minh: S H E, , thẳng hàng e) Chứng minh: SK QM NP, , đồng quy

BT 534.Cho tứ diện SABC với I trung điểm SA J, trung điểm BC Gọi M điểm di động IJ N điểm di động SC

a) Xác định giao điểm P MC (SAB) b) Tìm giao tuyến (SMP) (ABC) c) Tìm giao điểm E MN (ABC)

d) Gọi F IN AC Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định M N, di động

BT 535.Cho tứ diện ABCD Gọi I K trung điểm AB CD Gọi J điểm đoạn AD cho AD 3JD

a) Tìm giao điểm F IJ (BCD)

b) Tìm giao điểm E (IJK) đường thẳng BC Tính tỉ số: EB

EC 

c) Chứng minh ba đường thẳng AC KJ IE, , đồng quy điểm H Tính HC

HA

d) Chứng minh EJ HF đường thẳng IK qua trung điểm đoạn HF e) Gọi O trung điểm IK G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh ba

điểm A O G, , thẳng hàng Tính tỉ số: OA

(130)

§

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG



 Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt

Cho hai đường thẳng phân biệt a b

Định nghĩa

 Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng  Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng

 Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung

 Tính chất hai đường thẳng song song

 Tính chất Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước, có

một đường thẳng song song với đường thẳng cho

 Tính chất (Định lý giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi

một cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với

Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao

tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng

 Tính chất Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song

song với

 Chứng minh hai đường thẳng song song

a b

a

b I

γ

c b a

β α

d' d

d" β

α d

d" d'

β α

d' d

d" β α

c

β α

b a

γ

β α

b a

(131)

 Phương pháp giải:

Cách Chứng minh hai đường thẳng a b, đồng phẳng, dùng định lý hình học phẳng, chẳng hạn định lý đường trung bình, định lý đảo Thales,… để chứng minh a b

Cách Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba

Cụ thể: chứng minh: c a a b

c b

 

 



 

Cách Áp dụng định lý giao tuyến ba mặt phẳng hệ Chẳng

hạn: chứng minh: ( ), ( )

( ) ( )

b c a b c

b c a b

a a c

 

 

 

 

     

 

 

   

 

 

  

Ví dụ Cho tứ diện ABCD có I J, trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh rằng: IJ CD

Giải

Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N P Q R S, , , , , trung điểm AB CD, ,

, , ,

BC AD AC BD Chứng minh MNPQ hình bình hành Từ suy ba đoạn thẳng MN PQ RS, , cắt trung điểm

G đoạn

Giải

B D

C A

G R

Q

S P

N M

B D

C

(132)

Nhận xét Điểm G nói gọi trọng tâm tứ diện

 Trọng tâm tứ diện điểm đồng qui nối trung điểm cạnh đối, trung điểm cạnh

 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

 Phương pháp giải:

( ) ( )

( ), ( ) ( ) ( )

A

a b Ax

a b

 

   

  



     

   

với Ax a b 

Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SA Điểm E F, trung điểm AB BC

a) Tìm (SAB) ( SCD)? b) Tìm (MBC) ( SAD)? c) Tìm (MEF) ( SAC)? d) Tìm AD (MEF)?

F E

A

B C

D S

(133)

e) Tìm SD(MEF)? f) Thiết diện (MEF) hình chóp là:

Ví dụ Cho hình chóp S ABCD Mặt đáy hình thang có cạnh đáy lớn AD AB, cắt CD điểm K Gọi M điểm nằm cạnh SD

a) Tìm d (SAD) ( SBC) N KM (SBC) b) Chứng minh AM BN , d đồng qui

Giải

A D

K S

B C

(134)

BT 536. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SA SD, Chứng minh:

a) MN AD MN BC b) MO SC NO SB

BT 537. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm AB AD, Gọi I J G, , trọng tâm tam giác:

, ,

SAB SAD AOD Chứng minh:

a) IJ MN b) IJ BD GJ SO

BT 538. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O I điểm cạnh SO

a) Tìm giao điểm E F mặt phẳng (ICD) với đường SA SB, Chứng minh: EF AB

b) Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh: SK BC

BT 539. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm SA SB, Gọi P điểm cạnh BC Tìm giao tuyến của:

a) (SBC) (SAD) b) (SAB) (SCD)

c) (MNP) (ABCD)

BT 540. Cho tứ diện SABC Gọi E F trung điểm cạnh SB AB G, điểm cạnh AC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:

a) (SAC) (EFC) b) (SAC) (EFG)

BT 541. Cho tứ diện ABCD Gọi G J trọng tâm tam giác BCD ACD

a) Chứng minh: GJ AB b) Tìm (ABD) ( GJD) ?

BT 542. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi E F, trung điểm SA SB

a) Chứng minh: EF CD b) Tìm I AF (SDC)

c) Chứng minh: SI AB CD 

BT 543. Cho tứ diện ABCD Gọi I J, trọng tâm ABC, ABD E F, trung điểm BC AC,

a) Chứng minh: IJ CD b) Tìm (DEF) ( ABD)?

BT 544. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm

SC N trọng tâm tam giác ABC

a) Tìm I SD(AMN) b) Chứng minh: NI SB

c) Tìm (AMN) ( SAD)?

BT 545. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD 2BC Gọi O giao điểm AC BD K, trung điểm SC G, trọng tâm tam giác SCD

a) Chứng minh: OG BK b) Tìm (ACG) ( SBC)?

BT 546. Hình chóp S ABCD có O tâm hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh

(135)

a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) (MBC)

b) Tìm giao điểm I SB (CMN), giao điểm J SA (ICD)

c) Chứng minh ba đường thẳng ID JC SO, , đồng qui E Tính tỉ số SE

SO

BT 547.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD đáy lớn

2

AD  BC Gọi M N P, , thuộc đoạn SA AD BC, , cho MA2MS,

2 ,

NA ND PC  PB

a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: (SAD) (SBC), (SAC) (SBD)

b) Xác định giao điểm Q SB với (MNP)

c) Gọi K trung điểm SD Chứng minh: CK (MQK) ( SCD)

BT 548.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành O giao điểm hai đường chéo AC BD Lấy điểm E cạnh SC cho EC 2ES

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD)

b) Tìm giao điểm M đường thẳng AE mặt phẳng (SBD) Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng SO

BT 549.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi M N P, , trung điểm SD CD BC, ,

a) Tìm giao tuyến (SAC) (SBC), (AMN) (SBC) b) Tìm giao điểm I (PMN) AC K, (PMN) SA

c) Gọi F trung điểm PM, chứng minh ba điểm K F I, , thẳng hàng

§

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG



 Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt

Cho đường thẳng d mặt phẳng ( ).P Có ba trường hợp xảy ra:  Đường thẳng d ( )P có điểm chung phân biệt  d ( ).P  Đường thẳng d ( )P có điểm chung  d ( )P A  Đường thẳng d ( )P điểm chung d ( ).P

A

d

P P

d d

P

Định nghĩa Đường thẳng d mặt phẳng ( )P gọi song song với chúng điểm chung

(136)

 Định lí Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng ( ) d song song với đường thẳng d nằm ( ) d song song với ( ).

 Định lí Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ). Nếu mặt phẳng ( ) chứa a cắt ( ) theo giao tuyến b b song song với a

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt song song với đường thẳng

thì giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng

 Định lí Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường

thẳng song song với đường thẳng

 Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

 Phương pháp: Chứng minh ( ) ( )

( )

a b

b P a P

a P



  

   



Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N trọng tâm tam giác ACD

BCD Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABC) (ABD) Giải

Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm cạnh AB CD a) Chứng minh MN song song với

mặt phẳng (SBC) (SAD) b) Gọi E trung điểm SA

Chứng minh SB SC, song song với (MNE)

Giải

B

C

D A

E

N M

A

B C

(137)

 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

 Phương pháp: Áp dụng hai cách sau:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a P

a Q P Q Mx a

M P Q



    



  





( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a P

a Q P Q Mx a

M P Q



   



  





 

Ví dụ Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm ABC M,  cạnh CD với MC 2MD a) Chứng minh: MG (ABD)

b) Tìm (ABD) ( BGM)? c) Tìm (ABD) ( AGM)?

Giải

 Tìm thiết diện song song với đường thẳng

G B

C

D A

(138)

 Phương pháp: Để tìm thiết diện mặt phẳng ( ) qua điểm song song với hai đường thẳng chéo ( ) chứa đường thẳng song song với đường thẳng,thường sử dụng tính chất sau:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

M

d a d

d

 

  



  



   

   

  (với M a)

Ví dụ Cho tứ diện SABC Gọi M I, trung điểm BC AC, Mặt ( )P qua điểm M, song song với BI SC Xác định hình vẽ giao điểm ( )P với cạnh

, ,

AC SA SB Từ suy thiết diện ( )P cắt hình chóp

Giải

I

M A

B

(139)

BT 550.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SA SD, Chứng minh rằng:

a) BC (SAD) b) AD(SBC) c) MN (ABCD)

d) MN (SBC) e) MO(SCD) f) NO(SBC)

BT 551 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi G trọng tâm tam giác SAD E điểm cạnh DC cho DC 3DE I, trung điểm AD a) Chứng minh: OI (SAB) OI (SCD)

b) Tìm giao điểm P IE (SBC) Chứng minh: GE (SBC)

BT 552.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm AB CD

a) Chứng minh: MN (SBC) MN (SAD)

b) Gọi P điểm cạnh SA Chứng minh: SB(MNP) SC (MNP) c) Gọi G I, trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh: GI (SAB)

BT 553.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB, với AB 2CD Gọi O giao điểm AC BD I, trung điểm SA G, trọng tâm tam giác SBC E điểm cạnh SD cho 3SE 2SD Chứng minh:

a) DI (SBC) b) GO(SCD) c) SB(ACE)

BT 554.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm cạnh AB AD, Gọi I J, thuộc SM SN, cho

3 SI SJ

SM  SN   Chứng minh:

a) MN (SBD) b) IJ (SBD) c) SC (IJO)

BT 555.Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác ABD I điểm cạnh

BC cho BI 2IC Chứng minh rằng: IG (ACD)

BT 556.Cho tứ diện ABCD Gọi G P, trọng tâm tam giác ACD ABC Chứng minh rằng: GP (ABC) GP(ABD)

BT 557.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, O giao điểm AC BD M, trung điểm SA

a) Chứng minh: OM (SCD)

b) Gọi ( ) mặt phẳng qua M, đồng thời song song với SC AD Tìm thiết diện mặt phẳng ( ) với hình chóp S ABCD

BT 558.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD, ( ) mặt phẳng qua M, đồng thời song song với SA BC Tìm thiết diện ( ) với hình chóp S ABCD Thiết diện hình ?

BT 559.Cho hình chóp S ABCD Gọi M N, thuộc cạnh AB CD, Gọi ( ) mặt phẳng qua

MN song song SA

a) Tìm thiết diện ( ) hình chóp

(140)

BT 560. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC ( )P mặt phẳng qua AM song song với BD

a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ).P

b) Gọi E F, giao điểm ( )P với cạnh SB SD Tìm tỉ số diện tích SME với SBC tỉ số diện tích SMF với SCD

c) Gọi K giao điểm ME CB J, giao điểm MF CD Chứng minh K A J, , nằm đường thẳng song song với EF tìm tỉ số EF

KJ 

BT 561. Cho tứ diện ABCD Gọi M N, hai điểm nằm hai cạnh BC AD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng ( ) qua MN song song với CD Xác định vị trí hai điểm M N, để thiết diện hình bình hành

BT 562. Cho tứ diện ABCD Gọi I J, trung điểm AB CD M, điểm đoạn IJ Gọi ( )P mặt phẳng qua M song song với AB CD

a) Tìm giao tuyến mặt phẳng ( )P (ICD)

b) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng ( ).P Thiết diện hình ?

BT 563. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi K J trọng tâm tam giác ABC SBC

a) Chứng minh KJ // (SAB)

b) Gọi ( )P mặt phẳng chứa KJ song song với AD Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ).P

BT 564. Cho tứ diện ABCD Gọi G G1, 2 trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh rằng: G G1 2(ABC) G G1 2(ABD)

BT 565. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm

, SAB I

 trung điểm AB, lấy điểm M đoạn AD cho AD 3AM a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC)

b) Đường thẳng qua M song song AB cắt CI N Chứng minh NG(SCD) c) Chứng minh: MG (SCD)

BT 566. Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD AD 2BC Gọi O giao điểm AC BD G, trọng tâm tam giác SCD

a) Chứng minh: OG(SBC)

b) Cho M trung điểm SD Chứng minh: CM (SAB)

c) Gọi I điểm cạnh SC cho 2SC 3 SI Chứng minh: SA(BDI)

BT 567. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N P, , trung điểm cạnh AB AD SB, ,

a) Chứng minh: BD(MNP)

b) Tìm giao điểm (MNP) với BC

(141)

BT 568.Cho tứ diện ABCD Gọi M điểm thuộc BC cho MC 2MB Gọi N P, trung điểm BD AD

a) Chứng minh: NP (ABC)

b) Tìm giao điểm Q AC với (MNP) tính QA

QC  Suy thiết diện hình

chóp bị cắt (MNP)

c) Chứng minh: MG (ABD), với G trọng tâm tam giác ACD

BT 569.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành a) Tìm giao tuyến (SAC) (SBD); (SAB) (SCD)

b) Một mặt phẳng qua BC song song với AD cắt SA E, (E S E, A), cắt SD F, (F S F, D) Tứ giác BEFC hình ?

c) Gọi M thuộc đoạn AD cho AD  3AM G trọng tâm tam giác SAB,

I trung điểm AB Đường thẳng qua M song song AB cắt CI N Chứng minh: NG (SCD) MG (SCD)

BT 570.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tâm O Gọi M N P, , trung điểm SA BC CD, ,

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD), (SAB) (SCD) b) Tìm giao điểm E SB (MNP)

c) Chứng minh: NE (SAP)

BT 571.Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB cho AM 2MB Gọi G trọng tâm BCD I trung điểm CD H, điểm đối xứng G qua I

a) Chứng minh: GD(MCH)

b) Tìm giao điểm K MG với (ACD) Tính tỉ số GK

GM 

BT 572.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I K, trung điểm BC CD,

a) Tìm giao tuyến (SIK) (SAC), (SIK) (SBD) b) Gọi M trung điểm SB Chứng minh: SD(ACM) c) Tìm giao điểm F DM (SIK) Tính tỉ số MF

MD

BT 573.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi G trọng tâm SAB, AD lấy điểm E cho AD 3AE Gọi M trung điểm AB a) Chứng minh: EG (SCD)

b) Đường thẳng qua E song song AB cắt MC F Chứng minh: GF (SCD) c) Gọi I điểm thuộc cạnh CD cho CI 2ID Chứng minh: GO(SAI)

BT 574.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm

(142)

b) Tìm giao tuyến (AMN) với (SAB)

c) Tìm giao điểm I SD với (AMN) Tính tỉ số: IS

ID 

d) Gọi Q trung điểm ID Chứng minh: QC (AMN)

BT 575. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm BC CD,

a) Tìm giao tuyến (SMD) (SAB) b) Tìm giao tuyến (SMN) (SBD)

c) Gọi H điểm cạnh SA cho HA2HS Tìm giao điểm K MH

(SBD) Tính tỉ số: KH

KM 

d) Gọi G giao điểm BN DM Chứng minh: HG(SBC)

BT 576. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD đáy lớn

2

AD  BC Gọi O giao điểm AC BD G, trọng tâm tam giác SCD a) Chứng minh: OG(SBC)

b) Gọi M trung điểm cạnh SD Chứng minh: CM (SAB)

c) Giả sử điểm I đoạn SC cho 2SC  SI Chứng minh: SA(BID) d) Xác định giao điểm K BG mặt phẳng (SAC) Tính tỉ số: KB

KG 

BT 577. Cho hình chóp S ABC Gọi M P I, , trung điểm AB SC SB, , Một mặt phẳng ( ) qua MP song song với AC cắt cạnh SA BC, N Q, a) Chứng minh: BC (IMP)

b) Xác định thiết diện ( ) với hình chóp Thiết diện hình ? c) Tìm giao điểm đường thẳng CN mặt phẳng (SMQ)

BT 578. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình tứ giác lồi Gọi M N, trung điểm

SC CD Gọi ( ) mặt phẳng qua M N, song song với đường thẳng AC a) Tìm giao tuyến ( ) với (ABCD)

b) Tìm giao điểm đường thẳng SB với ( ).

c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ).

BT 579. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB CD Gọi M N I, , trung điểm AD BC SA, ,

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IMN) (SAC); (IMN) (SAB) b) Tìm giao điểm SB (IMN)

c) Tìm thiết diện mặt phẳng (IDN) với hình chóp S ABCD

BT 580. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi G trọng tâm

; SAB N

 điểm thuộc đoạn AC cho: 1;

3 AN

I

AC  trung điểm AB

(143)

b) Gọi ( ) mặt phẳng qua O song song với SA BC Mặt phẳng ( ) cắt

,

SB SC L K Tìm hình tính thiết diện cắt mặt phẳng ( ) với hình chóp S ABCD

BT 581.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi H K, trung điểm cạnh SA SB, M điểm thuộc cạnh CD, (M khác C D) a) Tìm giao tuyến của: (KAM) (SBC), (SBC) (SAD)

b) Tìm thiết diện tạo (HKO) với hình chóp S ABCD Thiết diện hình ? c) Gọi L trung điểm đoạn HK Tìm I OL(SBC) Chứng minh: SI BC

BT 582.Cho tứ diện ABCD, có M N, trung điểm cạnh AB BC, gọi G trọng tâm tam giác ACD

a) Tìm giao điểm E MG (BCD)

b) Tìm d (MNG) ( BCD) Giả sử d CD P Chứng minh: GP(ABC) c) Gọi ( ) mặt phẳng chứa MN AD Tìm thiết diện ( ) với tứ diện

BT 583.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SA thỏa 3MA2MS Hai điểm E F trung điểm AB BC

a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MEF) (SAC)

b) Xác định giao điểm K mặt phẳng (MEF) với cạnh SD Tính tỉ số: KS

KD 

c) Tìm giao điểm I MF với (SBD) Tính tỉ số: IM

IF 

d) Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MEF) cắt mặt hình chóp S ABCD

BT 584.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SA SD,

a) Xác định giao điểm NC (OMD)

b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( )P qua MO song song với SC

BT 585.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm

, ( )

SC P mặt phẳng qua AM song song với BD

a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ).P

b) Gọi E F, giao điểm ( )P với cạnh SB SD Hãy tìm tỉ số diện tích tam giác SME với tam giác SBC tỉ số diện tích tam giác

SMF tam giác SCD

c) Gọi K giao điểm ME CB J, giao điểm MF CD Chứng ba điểm K A J, , nằm đường thẳng song song với EF tìm tỉ số EF

KJ 

BT 586.Cho hình chóp S ABCD có G trọng tâm ABC Gọi M N P Q R H, , , , , trung điểm SA SC CB BA QN AG, , , , ,

a) Chứng minh rằng: S R G, , thẳng hàng SG 2MH 4RG

(144)

§

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG



 Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt

Cho đường thẳng d mặt phẳng ( ).P Có ba trường hợp xảy ra:

Q P a

Q

P

( ), ( )P Q có điểm chung ( ), ( )P Q khơng có điểm chung ( ) ( )P  Q a ( ) ( )P  Q

Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung

 Các định lí

 Định lí Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt a b, a b, song song với mặt phẳng ( ) ( ) song song với ( ).

Lưu ý:

 Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng

minh có hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng

 Muốn chứng minh đường thẳng a ( ),Q ta chứng minh đường thẳng a nằm mặt phẳng ( ) ( ).P  Q

 Định lí Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho

trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho

Hệ quả:

 Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) ( ) có đường thẳng song song với d qua d có mặt phẳng song song với ( ). Dó đường thẳng d song song với ( ) ta phải chứng minh d thuộc mặt phẳng ( ) có

( ) ( )   d ( ).

 Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với

 Cho điểm A không nằm mặt phẳng ( ). Mọi đường thẳng qua A song song với ( ) nằm mặt phẳng qua A song song với ( ).

 Định lí Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt

phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với

β α

M b a

A

β α

B' A' b a

B A

(145)

 Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng

 Định lí Thales: Ba mặt phẳng đơi song song chắn

hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Ví dụ Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình thang mà AD BC AD 2BC Gọi M N, trung điểm SA AD

Chứng minh: (BMN) (( SCD)

Giải

BT 587. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N P, , trung điểm SA SB SD, , K I, trung điểm BC OM,

a) Chứng minh: (OMN)(SCD) b) (PMN)(ABCD) c) Chứng minh: KI (SCD)

BT 588. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SA SD,

a) Chứng minh rằng: (OMN) ( SBC)

b) Gọi P Q R, , trung điểm AB ON SB, , Chứng minh: PQ(SBC) (MOR) ( SCD)

BT 589. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng Gọi I J K, , trung điểm cạnh AB CD EF, , Chứng minh:

a) (ADF)(BCE) b) (DIK)(JBE)

BT 590. Cho hình bình hành ABCD ABEF, nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF, lấy điểm M N, cho MC 2AM NF, 2BN Qua

,

M N kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD AF, theo thứ tự M1, N1 Chứng minh :

a) MN DE b) M N1 1(DEF) c) (MNM N1 1) ( DEF)

γ

β

d' d

C' C

B' B

A' A

N M

B C

A D

(146)

BT 591. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M N, thứ tự trung điểm AD BC, I J K, , theo thứ tự trọng tâm tam giác ADF ADC BCE, , Chứng minh: (IJK)(CDFE)

BT 592. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N P, , trung điểm SA BC CD, ,

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (MOP)

b) Gọi E trung điểm SC I điểm cạnh SA thỏa AI 3 IS Tìm

( )

K IE  ABC H BC (EIM) Tính tỉ số CH

CB 

c) Gọi G trọng tâm SBC Tìm thiết diện hình chóp S ABC bị cắt (IMG)

BT 593. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SA CD Gọi I trung điểm ME G AN BD a) Tìm giao điểm E AD với mặt phẳng (BMN) tìm giao điểm F SD

với mặt phẳng (BMN) Chứng minh: FS 2FD b) Chứng minh FG(SAB) (CDI) ( SAB)

c) Gọi H giao điểm MN SG Chứng minh: OH GF

BT 594. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC N, điểm đường chéo BD cho BD  3BN

a) Xác định giao tuyến (SDC) (SAB) tìm T DM (SAB) Tính TM

TD 

b) Gọi K AN BC Chứng minh rằng: MK (SBD) c) Gọi I AN DC L, IM SD Tính tỉ số LS

LD

IKM IAL

S S 

 

BT 595. Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N, cho AM BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N, cắt AD AF M, N

a) Chứng minh: (ADF) ( BCE) b) Chứng minh: (ADF)(MM N N  )

BT 596. Cho hình lăng trụ ABC A B C    Gọi I J K, , trọng tâm tam giác

, ,

ABC ACC A B C   Chứng minh: (IJK) ( BCC B ) (A JK ) ( AIB)

BT 597. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, đáy lớn AD 2BC M, BC Gọi

( )P mặt phẳng qua M, CD, SC, ( )P cắt AD SA SB, , N P Q, , a) Chứng minh: NQ(SCD) NP SD

b) Gọi H K, trung điểm SD AD Chứng minh: (CHK) ( SAB) CK giao tuyến (KPQ) (SCD)

BT 598. Cho hình chóp S ABC có G trọng tâm tam giác ABC Trên đoạn SA lấy hai điểm M N, cho SM MN NA

a) Chứng minh: GM (SBC)

(147)

§

BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 2



BT 599. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD)

b) Gọi E trung điểm SC Chứng minh: OE (SAB)

c) Gọi F điểm đoạn BD cho 3BF 2BD Tìm giao điểm M SB

(AEF) Tính tỉ số: SM

SB 

BT 600. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi I J, trọng tâm tam giác SAB SAD Gọi M N, trung điểm SA SB, a) Chứng minh: IJ (ABCD) b) Chứng minh: (OMN)(SDC) c) Tìm giao tuyến (SAB) (SDC) d) Tìm giao điểm BC (OMN)

BT 601. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi H I K L, , , trung điểm SA SC OB SD, , ,

a) Xác định giao tuyến mặt phẳng (SAC) (SBD); (HIK) (SBD) b) Chứng minh OL song song với (HIK)

c) Xác định thiết diện hình chóp S ABCD bị cắt mặt phẳng (HIK)

BT 602. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cạnh đáy lớn AD Gọi E F, điểm hai cạnh SA SD, thỏa mãn điều kiện:

3 SE SF

SA SD   Gọi

G trọng tâm tam giác ABC

a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD), (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm H CD (EFG)

c) Chứng minh: EG (SBC)

d) Xác định thiết diện hình chóp S ABCD bị cắt (EFG) Nó hình ?

BT 603. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm

SAB

 Lấy điểm M thuộc cạnh AD cho AD 3AM a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (GCD) b) Tìm giao điểm I CD mặt phẳng (SGM) c) Chứng minh: MG song song (SCD)

BT 604. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm SA SB,

a) Tìm giao tuyến (MCB) (SAD) b) Chứng minh rằng: MN (S DC )

(148)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạm đến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I.

Luy

ệ

n Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên

khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá H

ọ

c Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS

lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III.

Kênh h

ọ

c t

ậ

p mi

ễ

n phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham

khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia