ap bpq cq 2 Vaäy phöông trình ñaõ cho khoâng coù nghieäm höõu tæ.. Baát ñaúng thöùc cuoái cuøng ñuùng vì laø moät heä quaû quen thuoäc cuûa baát ñaúng thöùc Cauchy. Tröôøng hôïp ngöôïc [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐAØO TẠO PHÚ N TRƯỜNG THPT CHUN
LƯƠNG VĂN CHÁNH -
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn thi: Toán lớp 10
Thời gian làm bài: 120 phút
-Câu Giải phương trình
(x2 +2)2+4(x+1)3+ x2 +2x+ =5 (2x−1)2+2Câu Cho a, b, c ba số nguyên lẻ Chứng minh phương trình
khơng có nghiệm hửu tỉ
2
0
ax
+
bx c
+ =
Câu Cho ba số nguyên dương a, b, c thoả
abc =
1
Chứng minh
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
a +b + b +c + c +a ≥
Câu Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường (O) có
Trên cung nhỏ BC lấy điểm M Gọi N giao điểm AM
BC Chứng minh
60o BAC
∠ ≤
1
1
1
MN
≥
MB
+
MC
Câu Trong mặt phẳng cho 10 điểm cho với điểm chọn
được điểm thẳng hàng Chứng minh có điểm số
10 điểm nói thẳng hàng
Câu Trên đường trịn (O) bán kính
R = cho điểm A, B, C, D E Một
1
đường thẳng (d) cắt đường tròn hai điểm Chứng minh tồn điểm
M thuộc (d) cho
10 MA+MB+MC+MD+ME <
HEÁT
(2)HƯỚNG DẪN GIẢI VAØ THANG ĐIỂM
Chú ý: Dưới gợi ý cách giải phân bố điểm cho cách giải Nếu học sinh
giải theo cách khác hồn tồn đạt điểm tối đa câu đó, giải theo cách khác chưa hoàn chỉnh tuỳ theo mức độ, người chấm cho phần số điểm câu
Câu Nội dung giải
Điểm chi tiết
Phương trình cho tương đương với
4 4 4 4( 3 3 1) 2 5 4 4
x + x + x + x + x + x+ + x + x+ = x − x+3 ⇔ (x2+2 )x 2+8(x2+2 ) 5x + + x2+2x+ =5 (1)
1ñ
Đặt t= x2+2x+5 , điều kiện t ≥2 (điều kiện t ≥0 được)
Suy x2+2x=t2−5
1đ Phương trình (1) viết lại
2 2
(t −5) +8(t −5) 5+ + =t 0
0
) ⇔ t4−2t2+ −t 10=
⇔ (t−2)(t3+2t2+2t+5)= ⇔ 3 20
2 (vonghiem v t
t t t â ä ì t
⎡ − = ⎢
⎢ + + + = ≥
⎢⎣ ⇔ t =2
1đ Câu
(4 đ)
⇔ x2+2x+ =5 ⇔ x2+2x+ =5 ⇔ x = −1
Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1
1đ
Câu
(3đ) Giả sử phương trình cho có nghiệm hữu tỉ p x
q
= ( ,p q nguyên) Khi
2
0
p p
a b c
q q
⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ ap2 +bpq cq+ =0 (*)
1ñ
Khơng tính tổng qt ta ln giả sử p
q phân số tối giản, suy p đồng thời hai số chẵn q
+ Trường hợp p chẵn, q lẻ: chẵn, lẻ, mâu thuẫn với (*)
2
ap +bpq cq2 + Trường hợp q chẵn, p lẻ: tương tự
1ñ
+ Trường hợp p q lẻ: ba số , lẻ nên mâu thuẫn với (*)
2
ap bpq cq2 Vậy phương trình cho khơng có nghiệm hữu tỉ
1đ
Câu
(3 đ) Theo giả thiết abc =1 nên tồn ba số dương x, y, z cho , x a
y = ,
z y b c
x z
= = (chẳng hạn x= abc=1, y=bc, z=b)
2ñ
(3)Khi đó, bất đẳng thức cho tương đương với
(1 ) (1 ) (1 )
y x z
z y x
x z y
x z y
+ +
+ + +
≥
⇔
2
y x z
x z+ + z+ y+ y x+ ≥ (*)
⇔ 3
2 x y z x y z x y z
x z z y y x
+ + + + + + + + ≥
+ + + +
⇔ ( )( 1 )
2 x y z
x z z y y x
+ + + + ≥
+ + +
9
⇔
(
(x z) (z y) (y x) ()
1 ) x z z y y x+ + + + + + + ≥
+ + +
Bất đẳng thức cuối hệ quen thuộc bất đẳng thức Cauchy
(Chú ý: học sinh đưa đến bđt (*) nhận xét bđt Nesbit vẫn đạt yêu cầu.)
Dấu xảy x z+ = + = +z y y x ⇔ x= y= z
⇔
a= = =b c
1đ Ta có ΔMBN ∼ΔCAN suy
MN CN MB = CA
Tương tự, ΔMCN ∼ΔBAN suy MN BN
MC = BA
Cộng hai đẳng thức vế theo vế ta được MN MN CN BN
MB+ MC = CA + BA hay MN( 1 ) BC
MB+ MC = AB
1đ
Do A ≤60o tam giác ABC cân nên C≥60o≥ A suy AB≥BC hay BC
AB≤
Do MN( 1 )
MB+MC ≤1 hay
1
MB+ MC ≤ MN
1đ
Câu (3đ)
Dấu xảy BC
AB= C ⇔ tam giác ABC
⇔ 60o A
A
B C
M N
= = 1đ
Câu (3ñ)
Trường hợp 10 điểm cho thẳng hàng, toán hiển nhiên Trường hợp ngược lại, tồn điểm, ta đặt tên A, B, C, D, không thuộc đường thẳng Theo giả thiết, từ điểm tồn điểm thẳng hàng, giả sử ba điểm A, B C
3ñ
E
D
A B C
(4)Gọi (d) đường thẳng qua A, B, C T thuộc (d) phản chứng
Thaät v
a chứng minh điểm lại ậy, giả sử tồn điểm E (thuộc tập điểm cịn lại) khơng thuộc điểm A, B, D E thẳng hàng Do thẳng hàng nên A, D, E (d) Theo giả thiết, tồn
các ba A, B, D A, B, E không B, D, E thẳng hàng
+ Trường hợp A, D, E thẳng hàng: Ta thẳng hàng A, B, D thẳng hàng) K E khơng có điểm thẳng hàng
+
có B, D, E khơng thẳng hàng (vì h ó điểm B, C, D, Mâu thuẫn với giả thiết
i đ Trường hợp B, D, E thẳng hàng: Lý luận tương tự
Vậy điểm lại thuộc (d) Bài toán chứng minh
Nhận xét: cho hai điểm P, Q thuộc hình trịn (O), kể biên, điểm X thuộc đoạn PQ thuộc hình trịn (O)
1 đ Gọi G trung điểm đoạn AB; 1
G điểm đoạn G C2 1 cho
1 13
G G = G C; G điểm 3 đoạn G D cho 2
2 4
đoạn G E cho
G G = G D; G điểm
3 5
eo nhận xét ta 1, G2
3
Theo ên, ta có
4
G E= − G
1 G G = G E
Th coù G ,
G , G thuộc hình trịn (O) 4
cách xây dựng tr , 2,
3
G
1 ñ
2 2
G C= − G G G D3 = −3G G3
4
Câu (4 đ)
Do (d) cắt đường tr điểm M vừa uộc (d) thuộc hình trịn (O) (khơng kể biên) Khi
A
B
C
òn nên tồn th
MA M+ +
=
B MC+ +MD ME
1
2MG +MC M+ D ME +
= 2(MG2+G G2 1) (+ MG2+G C2 )+MD ME+
= 3MG2+MD ME +
= 3(MG3+G G3 2) (+ MG3+G D3 )+ME
= 4MG2+ME
= 4(MG4+G G4 3) (+ MG4+G E4 )
= 5MG4 =5MG4 <5.2R=10
(Do G4, M thuoäc hình t (O) M không thuộc biên.)
2 đ
ròn
HẾT
D E G1
G2
G3 G4
(d) M