Đang tải... (xem toàn văn)
a) Tính đường cao hình thoi và phương trình cạnh AB. b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hoành độ dương. Viết phương trình cạnh còn lại.. Chú ý trong hình thoi khỏang cách giũa hai cạnh [r]
(1)
Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa
Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
(2)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
§ Phương trình tổng qt đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa
Vectơ n khác 0 vng góc đường thẳng ∆ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) ∆
• Phương trình đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a ; b) : a(x – x0) + b(y – y0)
• Phương trình tổng qt đường thẳng có dạng : ax + by + c =
trong n = (a ; b) VTPT • ∆ vng góc Ox Ù ∆ : ax + c =
∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = ∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by =
∆ qua A(a ; 0) B(0 ; b) Ù ∆ :x y
a + = ( Phương b
trình theo đọan chắn )
• Phương trình đường thẳng có hệ số góc k : y = kx +
m với k = tanφ , φ góc hợp tia Mt ∆ phía Ox tia Mx
Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2 : a2x + b2y + c2 = Tính D = a1b2 – a2b1, Dx = b1c2 – b2 c1, Dy = c 1a2 – c2a1
• ∆1 , ∆2 cắt Ù D ≠ Khi tọa độ giao điểm : x
y D x
D D y
D ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩
• ∆1 // ∆2 Ù x y D
D
D
= ⎧
⎪ ≠
⎡ ⎨
⎢
⎪ ≠
⎣ ⎩
• ∆1 , ∆2 trùng Ù D = Dx = Dy = Ghi : Nếu a2, b2 , c2 ≠ :
• ∆1 , ∆2 cắt Ù Ù
2
b b aa ≠
n
a ∆
(3)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
• ∆1 // ∆2 Ù
2 2
c c b b a a
≠ = • ∆1 , ∆2 trùng Ù
2 2
c c b b a
a = =
B Giải tóan
Dạng tóan : Lập phương trình tổng quát đường thẳng : Cần nhớ : • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) vng góc n = (a;
b) : a(x – x0 ) + b(y – y0) =
• Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) phương
) a ; a (
a= 1 2 :
2 o
o
a y y a
x
x− = −
• Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = có dạng : ax + by + m = với m ≠ c
• Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 ) : a(x – x0 ) + b(y – y0) = ( a2 + b2 ≠ )
• Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) B(0 ; b) : x y a+ = b Ví dụ : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) C(- 1; 4) Viết phương trình tổng quát :
a) đường cao AH đường thẳng BC b) trung trực AB
c) đường trung bình ứng với AC d) đuờng phân giác góc A
Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) vng góc BC = (- ; 3) có phương trình : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = Ù - 2x + 3y =
Đường thẳng BC tập hợp điểm M(x ; y) cho BM=(x−1;y−1) phương BC=(−2;3)nên có phương trình : x y
2
− −
=
− ( điều kiện phương hai vectơ) Ù 3(x – 1) + 2(y – 1) = Ù 3x + 2y – =
(4)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( ; 5/2) phương AB = (- ; - 1) Đường tập hợp điểm M(x ; y) cho
) y ; x (
KM= − − phương AB=(−2;−1)nên có phương trình :
x y /
2
− = −
( điều kiện phương hai vectơ) Ù x – 2y + =
d) Gọi D(x ; y) tọa độ chân đường phân giác Theo tính chất phân giác : DB AB
AC DC= −
Mà AB = 22+ =12 5, AC= 42+22 =2 5 , :
DB 2DC DC
2
DC = − <=> = −
Ù 2(1 x) x x 1/
2(1 y) y y
− = + =
⎧ ⎧
<=>
⎨ − = − ⎨ =
⎩ ⎩
Vậy D = (1/3 ; 2) Vì yA = yD = nên phương trình AD y =
Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình AB : 2x – y + = , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , tâm hình chữ nhật I( ; ) Viết phương trình cạnh cịn lại
Giải Vì AD vng góc với AB nên VTPT n = (2 ; - 1) AB VTCP AD Phương trình AD qua O : x y
2= −1Ù x + 2y = Tọa độ A nghiệm hệ : 2x y
x 2y − + = ⎧
⎨ + = ⎩
Giải hệ ta : x = - ; y = => A(- ; 1) I trung điểm AC , suy :
A C I C
A C I C
x x 2x x 10
y y 2y 10 y
+ = = =
⎧ ⎧
<=>
⎨ + = = ⎨ =
⎩ ⎩ : C(10 ; 9)
Đường thẳng CD song song với AB nên n = (2 ; - 1)
cũng VTPT CD CD qua C(10 ; 9) , phương trình CD : 2(x – 10) - (y – 9) = Ù 2x – y – 11 =
A B
D C
(5)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
Ù(x – 10) + 2(y – 9) = Ù x – 2y – 28 =
Ví dụ : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 =
a) Tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng d qua trục Ox
c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng d qua điểm I(- ; 1)
Giải : a) Cho x = : - 4y – 12 = Ù y = - => d cắt Oy tai A(0 ; - 3) Cho y = : 3x – 12 = Ù x = => d cắt Ox tai B(4 ; 0)
Diện tích tam giác vng OAB : ½ OA.OB = ½ = đvdt b) Gọi A’(0 ; 3) đối xứng A
qua Ox Ta có d’ qua A’ B , phương A'B=(4;−3) có phương trình :
3 y
0 x
− − = −
Ù 3x + 4y – 12 =
c) Gọi B1là đối xứng B qua I => B1 (- ; 2) Đường thẳng d”
qua B1và song song với d , có phương trình :
3(x + 6) – 4(y - 2) = Ù 3x – 4y + 26 =
*Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox A, tia Oy B cho :
a) OA + OB = 12
b) hợp với hai trục tam giác có diện tích 12 Giải : Gọi A(a ; 0) B(0 ; b) với a > , b > ,
phương trình đường thẳng cần tìm có dạng :
x y
1
a + = Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên : b
1 a b+ = (1)
B
x y
A
B A’
B1
(6)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2) Thế (2) vào (1) :
12 b b− + =
Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b Ù b2 – 11b + 24 =
Ù b = hay b =
• b = : a = , phương trình cần tìm : x y x 3y 9+ = <=> +3 − = • b = : a = , phương trình cần tìm : x y 2x y
4 8+ = <=> + − = b) Diện tích tam giác OAB ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3) Thế (3) vào (1) : 3b
24 b+ = Ù b
2 + 16 = 8b Ù (b – 4)2 = Ù b =
Suy : a = , phương trình cần tìm : x y
6 4+ = Ù 2x + 3y – 12 = Dạng : Tìm vị trí tương đối hai đường thẳng
Ví dụ : Tìm vị trí tương đối cac đường thẳng sau : a) 9x – 6y – = , 6x + 4y – =
b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 =
Giải a) Ta có : 9
6
−
≠ nên hai đường thẳng cắt b) Ta có : 10 /
25 20 / −
= = =
− nên hai đường thẳng trùng * Ví dụ : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + =
d’ : mx - 3y + =
a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm số nguyên
Giải a) Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ : (m 1)x 2y m (1) mx 3y (2)
+ − + + =
⎧
⎨ − + =
⎩
Hai đường thẳng cắt Ù D = 3(m 1) 2m m 3
m
2 m
− − = + + − = − − +
(7)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
Ta có : Dx =
1 m − + −
= - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1
Dy = =
+ + m 1 m m
m(m + 1) – 1.(m+1) = m2 -
Tọa độ giao điểm M : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + + = + = m m D D = y m -3m D D = x y x
b) Ta có : x = 3(m 3) m
− + +
+ = - + m 3+ y = m m + − + −
Để x y ∈ Z chia hết cho (m + 3) Ù (m + 3) ∈ { ± ; ± ; ± ; ± } Ù m ∈ {- ; - ; - ; - ; ; - ; ; - 11 }
Ví dụ : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = điểm A (1 ; 1) a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A vng góc d
b) Tìm tọa độ hình chiếu A lên d tọa độ điểm A’ , đối xứng A qua A
Giải a) Đường thẳng d’ vng góc d nên VTPT n = (2 ; 1) d VTCP d’ Suy phương trình d’ :
x y
2
− = −
Ù x – 2y + =
b) Tọa độ giao điểm H d d ‘ thỏa hệ :
2x y 13
x 2y
+ − = ⎧ ⎨ − + = ⎩ Ù x y = ⎧ ⎨ =
⎩ : H(5 ; 3) , hình chiếu A lên d
H trung điểm AA’ , suy :
:A'(9;5)
5 y y y x x x A H ' A A H ' A ⎩ ⎨ ⎧ = − = = − =
C Bài tập rèn luyện
3.1 Cho đường thẳng d : y = 2x –
H
A
(8)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
a) Vẽ đường thẳng d Xác định giao điểm A B d với Ox Oy.Suy diện tích tam giác OAB khoảng cách từ O tới d
b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox M , Oy tại N cho MN =
3.2 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d : a) qua điểm A(1 ; - 2) có hệ số góc b) qua B ( - 5; ) phương a = ( ; - 5) c) qua gốc O vng góc với đường thẳng : y =
4
x
− d) qua I(4 ; 5) hợp với trục tọa độ tam giác cân e) qua A(3 ; 5) cách xa điểm H(1 ; 2)
3.3 Chứng minh tập hợp sau đường thẳng :
a) Tập hợp điểm M mà khoảng cách đến trục hồnh gấp đơi khoảng cách đến trục tung
b) Tập hợp điểm M thỏa MA2+MB2 =2MO2 với A(2 ; ) B( 1 ; - 2)
3 Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) C(- 1; ) Viết phương trình tổng quát
a) Đường cao AH , đường thẳng BC b) Trung tuyến AM trung trực AB
c) Đường thẳng qua C chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B
3 Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB, BC CA : AB : x – =
BC : 4x – 7y + 23 = AC : 3x + 7y + =
a) Tìm tọa độ A, B, C diện tích tam giác
b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A C Suy tọa độ trực tâm H
3 6.Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + = d’ : x – my + =
a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M , suy M di động đường thẳng cố định
(9)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
3 Cho hai điểm A(5 ; - 2) B(3 ; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C(1 ; 1) cho A B cách đường thẳng d
3.8 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – = x + y – = Viết phương trình hai cạnh cịn lại biết tâm hình bình hành I(3 ; 1)
* Cho tam giác ABC có trung điểm AB I(1 ; 3) , trung điểm AC J(- 3; 1) Điểm A thuộc Oy đường BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC đường cao vẽ từ B
* 3.10 Cho điểm M(9 ; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ
* 3.11 Cho điểm M(3 ; 3) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox Oy A B cho tam giác MAB vuông M AB qua điểm I(2 ; 1)
D Hướng dẫn hay đáp số :
3.1 a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = đvdt Ta có :
5 OH 16
5 16
1 OB
1 OA
1 OH
1
2
2 = + = + = => =
b) Phương trình d’ có dạng : y = 2x + m , cắt Ox M(- m/2 ; 0) , cắt Oy N(0 ; m) Ta có MN =
2 | m | ON
OM2 + = = Suy : m = ±
3.2 a) y + = 3(x – 1) Ù y = 3x –
b) 5x 2y 21
5 y
5 x
= + + <=> −
− = +
c) y = x
( hai đường thẳng vng góc Ù tích hai hệ số góc – 1) d) Vì d hợp với Ox góc 450 hay 1350 nên đường thẳng có hệ số góc tan 450 = hay tạn0 = - , suy phương trình : y = x + ; y = - x +
(10)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
Suy : 3x – y – =
3 c) Đường thẳng cần tìm qua điểm D cho : DA= −2DBÙ D = (2 ; 5) 3 a) A(3 ; - 2) ; B(3 ; 5) ; C(- ; 1) , S = ½ AB CH = 47/ đvdt
b) AH : y = , AK : 7x + 4y – 13 = , H(9/7 ; 1)
3 a) D = – m2 ≠ Ù m ≠ ± , tọa độ giao điểm : 3
x
y
D m
x
D m m
D
y
D m
+
⎧ = = − = − −
⎪⎪ + +
⎨
⎪ = =
⎪⎩ +
=> x + y + = => M di động đường
thẳng : x + y + =
b) Thế tọa độ M vào đường thẳng x + 2y – = , ta : m = - 2/3 3 d đường thẳng qua C :
• qua trung điểm I(4 ; 1) AB • hay phương AB=(−2;6)
3.8 Gọi AB : 3x – y – = AD : x + y – = Giải hệ , ta đuợc A = (1 ; 1) Suy C = (5 ; ) CD : 3x – y – 14 = ; BC : x + y – =
* A = (0 ; a) => B(2 ; – a) C(- ; – a)
BC qua gốc O nên OB và OC phương Ù 2(2 – a) = (6 – a) ( - 6) Ù a =
3 10 Đặt A(a ; 0) B(0 ; b) ,với a , b > Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : + =1
b y a x
Đường qua I Ù 9+4 =1
b
a
Áp dụng bđt Côsi cho hai số : =
ab b
a b
a
12 9
= ≥
+
=> 72
2
12=> = ≥
≥ S ab
(11)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
Vậy tam giác OAB có diện tích nhỏ 72 = = <=>a= b=
b
a 18 ;
1
8
và PT đường thẳng cần tìm : 72
18+ = <=> x+ y− =
y x
3.11 Đặt A(a ; 0) , B(0 ; b) , ta có : MA.MB=(a−3)(−3)+(−3)(b−3)=0 Ù a + b = (1)
Mặt khác phương trình đường thẳng AB : + =1
b y a x
(AB) qua I(2 ; 1) Ù 2+1 =1
b
a Ù 2b + a = ab (2)
Thế (1) vào (2) : 2b + (6 – b) = (6 – b)b Ù b2 – 5b + = Ù b = hay b =
Suy : (a = ; b = 2) hay (a = ; b = 3)
§ Phương trình tham số đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa
a khác phương với đường thẳng ∆ gọi vectơ phương (VTCP)
của ∆
• Phương trình tham số đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) có VTCP a = (a1 ; a2 ) : o
o
x x ta y y ta
= +
⎧
⎨ = + ⎩
• Phương trình tắc đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) có VTCP a = (a1 ; a2 ) : o o
1
x x y y
a a
− = −
( a1 ≠ a2 ≠ 0)
Nếu n = (a; b) VTPT ∆ a = (b ; - a) hay ( - b ; a) VTCP ∆
B Giải toán
Dạng toán : Lập PT tham số đường thẳng
n
a ∆
(12)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
• Tìm điểm M(x0 ; y0 ) VTCP (a ; a2) : ¾ phương trình tham số :
⎩ ⎨ ⎧ + = + = t a y y t a x x o o
¾ phương trình tắc : o
1
x x y y
a a
− = − −
(a1, ≠ 0) ¾ phương trình tổng qt : a2(x – x0) – a1( y – y0) = • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) VTPT (a ; b) => VTCP (b ; - a) Áp dụng
Ví dụ : Cho A( ; 2) , B(3 ; - 4) , C(0 ; 6) Viết PT tham số , tặc tổng quát :
a) đường thẳng BC b) đường cao BH
c) đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC song song với d : 3x -7y =
Giải a) BC qua B(3 ; - 4) có VTCP BC =(−3;10)nên có PTTS : ⎩ ⎨ ⎧ + − = − = t y t x 10 3
=> PTCT :
10
3= + −
− y
x
và PTTQ : 10(x−3)+3(y+4)=0Ù 10x + 3y -18 =
b) Đường cao BH qua B(3 ; - 4) vng góc AC(−1; 4)nên có VTCP (4 ; 1) Suy PTTS :
⎩ ⎨ ⎧ + − = + = t y t x 4 PTCT : 4 + = − y x
PTTQ : 1(x – 3) – 4(y + 4) = Ù x – 4y – 19 =
c) Đường thẳng song song với d : 3x – 7y = nên vng góc VTPT n (3 ; - 7) d
, suy VTCP (7 ; 3) Tọa độ trọng tâm G : (4/3 ; 4/3 ) PTTS đường thẳng cần tìm :
(13)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
PTCT :
3
3
4 −
=
− y
x
PTTQ : 3(x – 4/3) – 7(y – 4/3) = Ù 3x – 7y + 16
= Dạng toán : Tìm điểm đường thẳng
Tọa độ điểm M đường thẳng cho PTTS Ứng với t , ta điểm đường thẳng
Bài toán thường đưa việc giải phương trình hay hệ phương trình mơ tả tính chất điểm
Ví dụ : Cho đường thẳng d : ⎩ ⎨ ⎧
+ =
− =
t y
t x
3
2
a) Tìm d điểm M cách điểm A(4 ; 0) khoảng
b) Biện luận theo m vị trí tương đối d d’: (m + 1)x + my – 3m – = Giải : a) Tọa độ điểm M thuộc d cho phương trình tham số d : M = (3 – 2t ; + 3t) Ta có : AM = (-1 – 2t ; + 3t ) => AM2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2 = 13t2 + 10t +
Ta có : AM2 = 25 Ù 13t2 + 10t + = 25
Ù 13t2 + 10t – 23 = Ù t = hay t = - 23/13 Ù M = (1 ; 4) hay M = ( 85/13; - 56/13)
b) Thế phương trình tham số d vào phương trình d’ , ta phương trình tính tham số t giao điểm , có :
(m + 1)(3 – 2t) + m(1 + 3t) – 3m – = Ù (m – 2)t + m – = (1)
• m – = Ù m = : (1) thỏa với m Ù d d’ có vơ số điểm chung Ù d , d’ trùng
• m – ≠ Ù m ≠ : (1) có ngh Ù d d’ cắt Ghi : Có thể biến đổi d dạng tổng quát : 3x + 2y – 11 = biện luận theo hệ phương trình ẩn
C Bài tập rèn luyện
3.12 : Cho đường thẳng d có hương trình tham số : x = + 2
t
; y = -
t
(1) a) Tìm VTCP d có tọa độ nguyên điểm d Viết
(14)Phương pháp tọa độ mặt phẳng
b) Tìm d điểm A có hồnh độ gấp đơi tung độ c) Tìm d điểm B cách gốc O khoảng 58
3 13 Cho tam giác ABC có A(1 ; - 2) , B(0 ; 4) C(6; 3) Tìm VTCP, suy ra phương trình tham số tắc đường thẳng sau :
a) Đường thẳng d qua A có VTCP (3 ; - ) b) Đường trung trực BC
c) Đường thẳng AB
d) Đường trung bình tam giác ABC ứng với cạnh BC e) Đường phân giác ngồi của góc B
3.14 Cho tam giác ABC với BC : 2x – y – = , đường cao BH : x + y - = , đường cao CK : x + y + = Viết phương trình cạnh tam giác
3.15 Cho hình chữ nhật ABCD có AB : 2x – y – = , AD qua M(3 ; 1) tâm I có tọa độ ( - ; ½ ) Viết phương trình cạnh AD , BC CD
*3 16 Cho tam giác ABC có trung điểm M AB có tọa độ (- ½ ; 0) , đường cao CH với H(- 1; 1) , đường cao BK với K(1 ; 3) biết B có hồnh độ dương a) Viết phương trình AB
b) Tìm tọa độ B, A C
3.17 Chọn câu : Phương trình phương trình tham số đường trung trực AB với A(3 ; - 5) B(5 ; 9) :
4
) )
2 7
4 7
) )
2
x t x t
a b
y t y t
x t x t
c d
y t y t
= + = +
⎧ ⎧
⎨ = + ⎨ = +
⎩ ⎩
= + = +
⎧ ⎧
⎨ = + ⎨ = −
⎩ ⎩
3.18 Chọn câu : Phương trình phương trình tổng quát đường thẳng qua A(4 ; - 5) vng góc với đường thẳng d :
1
x t
y t
= + ⎧
⎨ = − +
⎩ :
(15)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
3.19 Chọn câu : Đường thẳng d :
5
x+ = y−
xác định với hai trục tọa độ tam giác có diện tích :
a) 64/5 b) 128/5 c) 16/ d) đáp số khác
3.20 Chọn câu : Gọi d đường thẳng qua M(4 ; - 3) song song với đường thẳng y = 2x –
a) d qua điểm ( 10 ; 10) b) d khơng có điểm có tọa độ số nguyên chẵn
c) Cả (a) (b) sai d) Cả (a) (b)
3.21 Chọn câu : Cho tam giác ABC cân A(1 ; - 2) , trọng tâm G(5 ; 6) Phương trình đường thẳng BC :
a) x + 2y + 27 = b) x + 2y – 27 = c) x – 2y – 27 = d) 2x – y – =
C Hướng dẫn hay đáp Số
3.12 a) a = ( ; - 5) , x = + 4t , y = – 5t b) Giải xA = 2yA Ù t = 1/14
c) Dùng phương trình tham số d : (3 + 4t)2 + (2 – 5t)2 = 58
3.13 a) x = + 3t , y = - – 2t b) x = + 8t , y = 7/2 + 3t
c) Trung trực vng góc BC =(6;−1)nên phương vectơ (1 ; 6) Suy phương trình tham số :
⎩ ⎨ ⎧
+ = =
t y
t x
6
3.14 BC BH cắt B(2 ; 0) BC CK cắt C(1 ; - 2) Phương trình AB qua B vng góc CK : 3(x – 2) – 1(y – 0) =
3.15 AD qua M vng góc AB có phương trình : 1.(x – 3) + 2(y – 1) = Ù x + 2y – =
Suy tọa độ A = AB ∩ AD = (7/5 ; 9/5) Suy tọa độ C , đối xứng A qua I
B C
A
(16)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
*3 16 a) Phương trình AB qua H M : 2x + y + = b) B thuộc AB Ù B = (b ; - 2b – 1)
A đối xứng B qua M Ù A = (- – b ; 2b + 1) Mặt khác AKBK =0 Ù 5b2 + 5b – 10 = Ù b = Vậy B = (1 ; - 3) , A = (- ; 3) , C = (3 ; 3)
3.17 (d) 3.18 (a) 3.19 (a) 3.20 (b) 3.21 (b)
§ Khoảng cách góc A Tóm tắt giáo khoa
I Khỏang cách từ M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = : d(M, ∆) =
2 | | b a c by ax o + + +
*2 Gọi M’ hình chiếu M lên ∆ , :
' 2 2
b a c by ax n k M
M M M
+ + + =
= Suy :
• M, N nằm phía ∆
Ù (axM + byM+ c)((axN+ byN+ c) > • M, N nằm khác phía ∆
Ù (axM + byM+ c)((axN+ byN+ c) <
* Phương trình hai đường phân giác góc hợp hai đường thẳng : a1x + b1 y + c1 = a2x + b2 y + c2 = :
2 2 2 2 1 1 = + + + ± + + + b a c y b x a b a c y b x a
II Góc ( không tù ) tạo ∆1: a1x+ b1y + c1 = ∆2 : a2x + b2y + c2 = : cos(∆1 ; ∆2 ) =
2 2 2 2 | | b a b a b b a a + + +
∆1 ┴ ∆2 Ù a1a2 + b1b2 =
M
(17)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Dạng : Tính khỏang cách lập phương trình đường thẳng liên quan đến khỏang cách
Ví dụ :
a) Tính khoảng cách từ điểm A(1 ; 3) đến đường thẳng d : 3x – 4y + = b) Tình bán kính đường trịn tâm O tiếp xúc đường thẳng d : 2x +y + = c) Tính khoảng cách từ điểm P(3 ; 12) đến đường thẳng :
2
x t
y t
= + ⎧
⎨ = −
⎩
d) Tính khoảng cách hai đường thẳng song song : d : 5x + 3y – = d’ : 5x + 3y + =
Giải a) d(A, d) =
2
3 4 3.1 4.3 5 1
5
3
A A
x − y + − +
= = =
+
b) Bán kính đường trịn khoảng cách từ O đến đường thẳng d :R = d(O , d) =
2
2.0 8
+ + = +
c) Ta viết phương trình dạng tổng quát :
2 3( 2) 5
1
x− y− x y
= <=> − − = − −
Ù 3x + y - 11 = d(P, ∆ ) =
2
3.3 12 11 10
10 10
+ −
= =
+
d) Chọn d : 5x + 3y - = điểm M ( 1; ) , : d(d , d’ ) = d(M, d) =
2
5.1 13 13 26
+ +
= =
+ Ví dụ :
a) Tìm trục hoành điểm cách đường thẳng : 2x + y – = khoảng
d
d'
M
(18)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
b) Tìm đường thẳng d : x + y + = điểm cách đường thẳng d ‘ : 3x – 4y + = khoảng
c) Cho điểm M ( m – ; 2m + ) di động điểm A (2 ; 1) cố định Tìm giá trị nhỏ khoảng cách AM m thay đổi
Giải a) Gọi M(x , ) điểm cần tìm , ta có :
d(M , d) = 2 Ù 7 10
x
x
−
= = − =
Ù 2x – = 10 hay 2x – = - 10 Ù x = 17/2 hay x = - 3/2 Vậy ta tìm hai điểm M(17/2 ; ) M(- 3/2 ; )
b) Gọi x hoành độ điểm M cần tìm , tung M : y = - x – Ta có phương trình : d(M, d’ ) =
Ù −4 +6 =2
M M
x y
Ù 3x− − − + =4( x 5) 10
Ù | 7x +24 | = 10 Ù 7x + 24 = 10 hay 7x + 24 = -10 Ù x = - hay x = - 34/
Vậy ta tìm hai điểm M(- 2; ) M(- 34/7 ; ) c) Ta có :
2
x m y m
= − ⎧
⎨ = +
⎩ Ù
2 2 9 0
1
x+ = y− <=> x y− + =
Vậy M di động đường thẳng d : 2x – y + = Suy khoảng cách nhỏ AM : d(A, d) = 2.2 12
5
− + = Ví dụ :
a) Viết phương trình đường thẳng song song cách hai đường thẳng song song d : x – 3y – = d’ : x – 3y + =
b) Viết phương trình đường thẳng d :song song với đường thẳng d’ : 3x + 2y - = cách d’ khoảng 13 nằm mặt phẳng bờ d’ chứa
d M
(19)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
c) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A( ; 4) cách điểm B( ; 2) khoảng
GIẢI a) Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm M(x ; y) cho : d(M, d) = d(M, d’) Ù
2 2
2 1 3
| |
| |
+ + − = +
−
− y x y
x
Ù ⎢ ⎣ ⎡
− + − = − −
+ − = − −
7 y x y x
) VN ( y x y x
Ù 2x – 6y + = Ù x – 3y + =
b) Phương trình đường thẳng d song song với d’ có dạng : 3x + 2y + m = Ta định m để d(d , d’ ) = 13
Chọn d điểm A(0 ; ½) , ta có : d(d, d’) = d(A ,d’ ) = 13 Ù
1 3.0
2 13 1 13
13
m
m
+ +
= <=> + = Ù m + = 13 hay m + = - 13 Ù m = 12 hay m = - 14
Ù d’ : 3x + 2y + 12 = hay d’ : 3x + 2y – 14 =
• Xét d’ : 3x + 2y + 12 = Chọn điểm M’ (0 ; - 6) thuộc d’ Thế tọa độ M’ vào d : 0.3 + 2( - 6) – = - 13 >
Thế tọa độ O(0 ; 0) vào d : 0.3 + 0(2) – = - <
Vậy O M’ phía d tức d’ : 3x + 2y + 12 = đường thẳng cần tìm
Cách khác : Gọi M(x ; y) điểm , ta có :
M(x ; y) ∈ d’ Ù d(M, d) 13 O M nằm phía d
O
5
d d’
A
(20)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Ù 13
13 y x ) )( y x (
13 13
| y x |
− = − − <=> ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
> − − −
−
= − −
Ù 3x – 2y + 12 =
c) Phương trình d đường thẳng qua A (6 ; 4) có dạng : a(x – 6) + b(y – 4) = với a2 + b2 ≠
Ù ax + by – 6a – 4b = (1)
Ta có : d(B, d) = Ù |1 |
2
2 + =
− − +
b a
b a b a
Ù (5a+2b)2 =25(a2 +b2)
Ù 20ab – 21b2 = Ùb(20a – 21b) = Ù b = hay a =
20 21b
* Với b = : (1) thành ax – 6a = Ù x – = (chia hai vế a ≠ , coi chọn a = 1)
* Với a = 20 21b
: (1) thành
20 41 20
21
= −
+by b
bx
Ù 21x + 20y – 41 = ( Chia hai vế cho b/20 , coi chọn b = 20 => a = 21 ) Vậy có hai đường thẳng thỏa đề : 21x + 20y – 41 = x =
Cáck khác : Có thể xét
* d : x = ( qua A vng góc Ox , khơng có hệ số góc )
* d : y = k(x – 6) + Ù kx – y – 6k + =
Giải : d(B , d) = Ù k = - 21/ 20
Dạng : Viết phương trình phân giác , phân giác , ngồi Ví dụ : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + =
AC : 5x + 12y – 25 = , BC : y =
(21)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Giải : a) AB cắt BC B(- ; 0) , AC cắt BC C( ; 0)
Phương trình phân giác góc B tam giác ABC phân giác góc hợp AB BC , :
1
6
3x− y+ ± y =
Ù 3x + y + = hay 3x – 9y + =
b) Phương trình phân giác góc A , tạo AB AC :
(t) : 64 47
13 25 12 5
6
= − + <=> = − + + + −
y x y
x y
x
(1)
(t’) : 14 112 203
13 25 12 5
6
3 − + − + − = <=> − + =
y x
y x y
x
Thế tọa độ B(- ; 0) vào (1) : 64(-2) – 47 < Thế tọa độ C(5 ; 0) vào (1) : 64.5 – 47 >
Vậy B C nằm khác phía (t) , nên (t) phân giác góc A * Ví dụ : Cho d : 3x – 4y + = d’ : 5x + 12y – =
a) Viết phương trình phân giác góc tạo hai đường thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc O tạo với d, d’ tam giác cân có cạnh đáy ∆
Giải a) Phân giác (t) góc tạo d , d’ :
13 12 5
5
= − + ± +
− y x y
x
Ù 13(3x – 4y + 5) = 5(5x + 12y – 1)
hay 13(3x – 4y + 5) = - 5( 5x + 12y – 1) Ù (t1) : 14x - 112y + 70 = hay
(t ) : 64x + 8y + 60 =
d
t1
t2 ∆1
∆2
A
(22)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Đó hai đường phân giác cần tìm
b) Nhận xét tam giác cân , phân giác góc đỉnh vng góc với cạnh đáy Ta hai đường thẳng ∆ :
• ∆1 qua O vng góc t1 có phương trình 112x + 14y = • ∆2 qua O vng góc t2 có phương trình 8x – 64y =
Dạng : Tính góc hai đường thẳng lập phương trình đường thẳng liên quan đến góc \
Ví dụ : Tính góc hai đường thẳng sau : a) 2x + y – = ; 3x - y + = b) 3x + 4y - = ,
5
x t
y t
= + ⎧
⎨ = − ⎩
Giải a) cos = 2.3 1( 1)
5 10
+ −
= => = 450
b) VTPT hai đường thẳng : n=(3;4) , ' (1;1)n = Suy :
cosα =
2 2
3.1 4.1 7
cos( , ')
5
3 1
n n = + =
+ +
Ví dụ : Tìm k biêt đường thẳng y = kx + hợp với đường thẳng : x – y = góc 600
Giải : Ta có kx – y + = Ta có phương trình :
cos 600 = 2
2
.1 1 2( 1) 1
2
k
k k
k
+
= <=> + = + +
(23)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
*Ví du : Cho hình vng ABCD có đường chéo BD : x + 2y – = , đỉnh A(2 ; - 1) Viết phương trình cạnh AB AD biết AB có hệ số góc dương
Giải : Gọi k hệ số góc AB , AD , phương trình AB , AD có dạng : y = k(x – ) – Ù kx – y – 2k – =
Ta có AB AD hợp với BD góc 450
Ù cos 450 = 2
2
2 1
2( 2) 5( 1)
5
k
k k
k
−
= <=> − = + +
Ù 3k2 + 8k – = Ù k = 1/3 ( đường AB) , k = - ( đường AD ) Vậy phương trình AB : - 3x – y + = , AD : x – 3y – = hay ngược lại
C Bài tập rèn luyện
3.22 Chọn câu : Gọi góc hai đường thẳng : x - y – = 3x + y – = , cosα =
a) 1/ b) 2/ c) 2/ 10 d) đáp số khác
3.23 Chọn câu : Khoảng cách từ A(1 ; 3) đến đường thẳng 3x – 4y + = :
a) b) c) d) đáp số khác
3.24 Chọn câu : Có giá trị m để đường thẳng x + my – = hợp với x + y = góc 600 Tổng giá trị :
a) – b) c) – d)
3.25 Chọn câu : Cho A(3; 4) , B(1; 1) , C(2 ; - 1) Đường cao tam giác vẽ từ A có độ dài :
a)
5 b)
5 c) 13
(24)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
3.26 Chọn câu : Điểm A ( a, b) thuôc đường thẳng :
x t
y t
= + ⎧
⎨ = +
⎩ cách đường thẳng d : 2x – y – = khoảng a > , a + b =
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 3.27 Cho tam giác ABC với B(1 ; 2) C(4 ; - 2)
a) Viết phương trình đường thẳng BC tính độ dài đường cao AH b) Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác 10 A thuộc trục tung 3.28 Cho tam giác ABC có AB : 2x + y – = ; AC : 3x - y + = BC : x – y =
a) Tính sinA , BC bán kính đường trịn ngọai tiếp tam giác ABC b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng AB qua BC
3.29 Cho hình vng ABCD có tâm I ( 2; – 3) , phương trình AB : 3x + 4y – =
a) Tính cạnh hình vng
b) Tìm phương trình cạnh CD , AD BC
3 30 Cho hình vng ABCD có AB : 3x – 2y – = , CD : 3x – 2y + = tâm I thuộc d : x + y – =
a) Tìm tọa độ I
b) Viết phương trình AD BC
* 3.31 Cho tam giác có A( ; - 5) trọng tâm G (1 ; 1) a) Viết phương trình cạnh BC
b) Viết phương trình cạnh AB AC
*3.32 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2 ; - 3) , B(3 ; - 2) , diện tích tam giác 3/2 trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C
(25)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
a) Tính đường cao hình thoi phương trình cạnh AB b) Tìm tọa độ điểm D biết có hồnh độ dương
* 3.34 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2 ; 2) , AB : x – 2y – = AB = 2AD yA >
a) Tìm tọa độ hình chiếu K I lên AB b) Tìm tọa độ A B
* 3.35 Cho đường thẳng d : x + 2y – = A(1 ; 4) , B(6 ; 4)
a) Chứng minh A, B nằm phía d Tìm tọa độ A’ đối xứng A qua d
b) Tìm M ∈ d cho tổng MA + MB nhỏ c) Tìm M ∈ d cho | MA – MB| lớn
* 3.36 Cho hình thoi có phương trình ba cạnh : 5x – 12y – = , 5x – 12y + 21 = 3x + 4y = Viết phương trình cạnh cịn lại
*3.37 Viết phương trình cạnh hình vng biết cạnh qua bốn điểm I(0 ; 2) , J(5 ; - 3) , K(- ; - 2) l(2 ; - 4)
D Hướng dẫn hay đáp số
3.22 (a) 3.23 (d) 3.24 (c) 3.25 (b) 3.26 (d) 3.27 a) BC : 4x + 3y – 10 =
Ta có BC = , suy AH = = BC S ABC
b) Gọi A( ; a) Ta có : d(A, BC) = Ù
4
| 10 a
| − =
Ù a = 10 hay a = - 10/3
3.28 a)Ta có : sinA = sin(AB, AC) = 1−cos2 A |cosA| =
2 10
| ) ( |
= − +
=> sinA =
A
(26)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Tọa độ B , giao điểm AB BC , ( ; 1) Tọa độ C , giao điểm AC BC , (- 7/2 ; - 7/2 ) Suy : R = =
A sin
BC
2 /
2
=
b) Phương trình đường thẳng cần tìm BD qua B có dạng y = k(x – 1) + Ù kx – y – k + =
Ta có : cos (BA, BC) = cos (BD, BC) Ù
1 k
| 1 k |
| ) ( 1 |
2 +
+ =
− + Ù k2 + = 5(k + 1)2 Ù 4k2 + 10k + =
Ù k = - ½ hay k = - Chú ý k = - ứng với hệ số góc BA nên bị lọai , ta nhận k = - ½ Phương trình đường thẳng BD : x + 2y - =
3.29 a) Cạnh hình vng 2.d(I, AB) =
b) * Phương trình CD : 3x + 4y + m = với
5
4 ) ( ) (
m ) ( ) (
3 + − + =− + − −
Ù - + m = Ù m = => CD : 3x + 4y + =
* Phương trình AD BC : 4x – 3y + m = Ta có : d(I, AB) = d(I, AD) Ù =
5 | m 17
| +
Ù m = - hay m = - 27
AD : 4x – 3y - = , BC : 4x – 3y – 27 = hay ngược lại
3.30 a) I ∈ d => I = (x ; – x) Ta có : d(I, AB) = d(I, CD) Ù x = => y = : I(0 ; 1)
B C
A
(27)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
3.31 a) Gọi I trung điểm BC , ta có :
⎩ ⎨ ⎧ = + = + => ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + + G I A G I A G C B A G C B A y y y x x x y y y y x x x x
=> I = (0 ; 4)
Phương trình BC qua I vng góc AI=(−3;9): - (x – ) + 3(y – 4) = Ù - x + 3y – 12 =
b) Phương trình AB, AC qua A có dạng : kx - y – 3k - =
Ta có : cos(AB, BC) = cos60 = ½ Ù
2 1 k 10 | k |
2 + =
+
Ù 3k2 – 12k – 13 = Ù k =
3 ±
Phương trình AB AC :
15 y x ) ( : AC 15 y x ) ( : AB = + − = ± + − ± ∓ ∓
3.32 G ∈ d => G = (a ; 3a - 8)
Ta có ; SGAB = 1/3 SABC = ½ Mà AB = , suy : d(G; AB) = 1/ Phương trình AB : x – y - = , suy :
|3 2a|
2 | a a | = − <=> = − + − Ù
3.33 a) Ta có : h = AB SABCD
= AB : 4x + 3y – =
(28)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Ù ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= − + +
= − +
) ( 25 ) y ( ) x (
) (
| y x |
2
(1) Ù y =
21 x + −
hay y =
19 x − −
Thế vào (2) , giải ta : x = => y = Vậy D = (3 ; 3)
3 34 a) Phương trình IK : 2x + y – = Suy K(3 ; 0)
c) Vì AB = 2AD nên KA = 2KI (1) Tọa độ K(2y + ; y ) ∈ AB Giải (1) , ta : y = , suy A(7 ; 2)
3.35 a) A’(- 1; )
b) Ta có : MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B = 65
Vậy GTNN 65 Ù M = A’B ∩ d Viết phương trình A’B , suy : M = (4/3 ; 4/3)
c) Ta có : |MA – MB| ≥ AB =
Vậy GTNN Ù M = giao điểm d AB kéo dài Ù M = ( - ; 4) 3.36 Chú ý hình thoi khỏang cách giũa hai cạnh
AB : 5x – 12y – = , CD : 5x – 12y + 21 = Chọn M(1 ; 0) ∈ AB , ta có : d(AB, CD) = d(M, CD) =
AD : 3x + 4y = , BC : 3x + 4y + m = Chon O(0 ; 0) ∈ AD , ta có : d(AD, BC) = d(O, BC) = Ù m = ± 10
=> BC : 3x + 4y ± 10 =
3.37 Phương trình AB qua I : ax + by – = Phương trình CD qua K : ax + by + 2a + 2b =
Phương trình BC qua J : bx – ay – 5b – 3a =
(29)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Phương trình AD qua L : bx – ay – 2b – 4a = Ta có : d(I, CD) = d(J, AD) Ù
2 2
2 b a
| a b | b a
| a b |
+ − = + + Ù b = - 3a hay a = - 7b
Chọn :
⎩ ⎨ ⎧
− = = ⎩
⎨ ⎧
− = =
1 b
7 a hay b
1 a
§ Đường trịn A Tóm tắt giáo khoa
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình đường trịn tâm I(h ; k) bán kính R : (x – h)2 + (y – k)2 = R2
• Phương trình đường trịn (O, R) : x2 + y2 = R2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình có dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = với a2 + b2 – c > phương trình đường trịn :
• Tâm I(- a ; - b)
• Bán kính R = 2
a +b −c Tiếp tuyến với đường tròn
(x – h)2 + (y – k)2 = R2 tiếp điểm T(x0 ; y0) :
đường thẳng qua T vng góc IT=(x0 −h;y0 −k) có phương trình : (x0 – h)(x – x0) + (y0 – k)(y – y0) =
• Đường thẳng ∆ tiếp tuyến đường tròn (I, R) Ù d(I, ∆) = R
B Giải tóan
Dạng tốn : Xác định tâm bán kính Điều kiện để phương trình đường trịn
Ví dụ : Xác định tâm bán kính đường trịn sau : a) (x + 1)2 + ( y – 4)2 = b) (x – 2)2 + y2 =
c) x2 + y2 + 8x – 4y – = d) 3x2 + 3y2 + 4x + = Giải :
a) Đường tròn tâm I(- ; 4) , bán kính R =
x y
I
O
I
T
(30)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
b) Đường tròn tâm I(2 ; 0) , bán kính R =
c) a = - , b = , c = - => I(- ; 2) , R = a2+b2− =c 42+22+ =5 5 d) Viết lại phương trình đường tròn cách chia hai vế cho :
x2 + y2 + 4x + = Tâm I( - 2;0)
3 , bán kính R =
2
3
⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Ví dụ : Cho phương trình : x2 + y2 + 2mx – 2my + 3m2 – = (1) a) Định m để (1) phương trình đường trịn
b) Chúng minh tâm đường tròn di động đọan thẳng m thay đổi
c) Viết phương trình đường trịn (1) biết có bán kính d) Tính bán kính đường trịn (1) biết tiếp xúc với ∆ : 2x – y = Giải :
a) Ta có : a = m , b = - m , c = 3m2 – Để (1) phương trình đường trịn : a2 + b2 – c > Ù m2 + m2 – (3m2 – 4) > Ù – m2 >
Ù - < m <
• Với – < m < , đường trịn có có tâm I
⎩ ⎨ ⎧
= − =
− = − =
m b y
m a x
I
I (1) => x
I + yI = Lại có : - < m < Ù - < xI < (2)
Từ (1) (2) suy tập hợp I đọan AB có phương trình x + y = ( - < x < 2)
b) Với – < m < , đường trịn có bán kính R = 4 m− Ta có : R = Ù – m2 = Ù m = Ù m = ±
• m = : phương trình đường trịn : x2 + y2 – x + y + =
• m = - : phương trình đường trịn : x2 + y2 + x - y + =
c) Đường tròn tiếp xúc Ù d(I, ∆ ) = R Ù | 2m m | 4 m2
5
− − = −
(31)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Ù 14m2 = 20 Ù m = ± 10
Ví dụ : Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 – 2x + 4y – = a) Tìm tâm bán kính (C)
b) Cho A(3 ; -1) , chúng minh A điểm đường trịn Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ
c) Cho d : 3x – 4y = , chúng minh d cắt (C) Tính độ dài dây cung Giải : a) a = ; b = - , c = - => tâm I có tọa độ (1 ; - 2) , bán
kính R = a2+b2− =c 3
b) Ta có : IA2 = (3 – 1)2 + (- + 2)2 = => IA < R Vậy A bên đường tròn
Đường thẳng qua A cắt (C) theo dây cung nhỏ d cách xa tâm I Ù d vng góc IA = (2 ; 1) A(3 ; - 1)
Ù d có phương trình : 2(x – 3) + 1.(y + 1) = Ù 2x + y – = c) d cắt (C) Ù d(I, d) < R
Ta có : d(I,d) =
2
| 3.1 4.( 2) | 10
3
− −
= <
+ => d cắt (C) theo dây cung MN Kẻ IH vuông góc MN , : IH =
10 , IM = R = , suy : MH2 = IM2 – IH2 = - 25 65 13
10 =10 = Vậy độ dài MN = 2MH = 13 26
2 =
Cần nhớ : Cho đường tròn (I , R) đường thẳng Δ :
• Δ tiếp xúc (I) Ù d(I, Δ) = R
• Δ cắt (I) Ù d(I, Δ) < R
• Δ ngỏai (I) Ù d(I, Δ) > R
Dạng toán : Thiết lập phương trình đường trịn Có cách để thiết lập phương trình đường trịn :
1 Tìm tọa độ (h ; k) tâm tính bán kính R , phương trình đường trịn cần tìm : (x – h)2 + (y – k)2 = R2
2 Tìm a , b, c , phương trình đường trịn cần tìm : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = I A
M
N
(32)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Cần nhớ :
• Đường trịn (I, R) qua M(x0 ; y0) Ù IM2 = R2 Ù (x0 – h)2 + (y0 – k)2 = R2
Ù x02 + y02 + 2ax0 + 2by0 + c = • Đường trịn (I, R) tiếp xúc ∆ Ù d(I, ∆) = R • Đường trịn (I, R) tiếp xúc trục Ox Ù |h| = R • Đường tròn (I, R) tiếp xúc trục Oy Ù |k| = R
Ví dụ : Viết phương trình đường trịn :
a) đường kính AB với A(3 ; 1) B(2 ; - 2)
b) có tâm I(1 ; - 2) tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – = c) có bán kính , tâm thuộc Ox qua A(2 ; 4)
d) có tâm I (2 ; - 1) tiếp xúc ngòai với đường tròn : (x – 5)2 + (y – 3)2 = e) tiếp xúc hai trục có tâm đường thẳng ∆ : 2x – y – =
Giải :
a) Tâm đường trịn trung điểm I AB, có tọa độ xA xB;yA yB 5;
2 2
+ +
⎛ ⎞ ⎛= − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bán kính R = IA =
2
1 10
2 2
⎛ ⎞ +⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Phương trình đường tròn : (x - 52)2 (y 1)2
2 + +2 = b) Bán kính đường tròn R = d(I, d) =
2
|1 2 |
1
− − =
+ Phương trình đường trịn : (x – 1)2 + (y + 2)2 =
2 c) Vì tâm I ∈ Ox nên I = (h ; 0)
Ta có : IA = R Ù (h – 2)2 + (4 – 0)2 = 25 Ù (h – 2)2 = Ù h – = hay h – = - Ù h = hay h = -
Phương trình đường trịn cần tìm : (x – 5)2 + y2 = 25 hay (x + 1)2 + y2 = 25 d) Đường tròn (x – 5)2 + (y – 3)2 = có tâm K(5 ; 3) , bán kính r = Đường trịn (I, R) cần tìm tiếp xúc ngịai với (K) Ù IK = R + r Mà IK = (5 2)− 2+ +(3 1)2 = , suy : R = – r = 5
Vậy phương trình đường trịn (I) : (x – 2)2 + (y + 1)2 =
O
(33)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
e) Gọi (h; k) tâm R bán kính đường trịn Ta có : (I) tiếp xúc Ox , Oy Ù
⎩ ⎨ ⎧
= =
= =
R | h | ) Oy , O ( d
R | k | ) Ox , O ( d
Suy : |h| = |k| Ù h = k (1) hay h = - k ( 2) Mặt khác : I ∈ ∆ Ù 2h – k – = (3)
• Giải (1) (3) : h = k = => R = • Giải (2) (3) : h = , k = - => R = Phương trình đường trịn cần tìm :
(x – 3)2 + (y – 3)2 = hay (x – 1)2 + (y + 1)2 = Ví dụ : Viết phương trình đường tròn :
a) qua A(- ; - 1) , B(- ; 4) C(4 ; 3)
b) qua A(0 ; 2) , B(- 1; 1) có tâm đường thẳng 2x + 3y =
c) qua A(5 ; 3) tiếp xúc đường thẳng d : x + 3y + = điểm T(1 ; - 1) Giải
a) Phương trình đường trịn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = (C) qua A(- ; - 1) Ù 22 + 12 + 2a(-2) + 2b(-1) + c = Ù 4a + 2b - c = (1)
(C) qua B(- ; 4) Ù 2a – 8b - c = 17 (2) (C) qua C(4 ; 3) Ù 8a + 6b + c = - 25 (3)
Giải hệ (1), (2), (3) , ta : a = b = - , c = - 11 Phương trình đường trịn cần tìm :x2 + y2 – 2x – 2y – 11 =
b) Phương trình đường trịn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = (C) qua A(0 ; 2) Ù 4b + c = - (1)
(C) qua B(- ; 1) Ù - 2a + 2b + c = - (2) Tâm I(a ; b) ∈ ∆ Ù 2a + 3b = (3)
Giải hệ (1), (2), (3), ta a = - , b = , c = - 12 Phương trình đường trịn cần tìm : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 =
I K
O
I
(34)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
c) Phương trình đường trịn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = (C) qua A(5 ; 3) Ù 10a + 6b + c = - 34 (1)
(C) qua T( ; - 1) Ù 2a - 2b+ c = - (2)
Tâm I(a ; b) ∈ đường thẳng vng góc với d : x + 3y + = T(1 ; - 1) có phương trình : 3(x – 1) – (y + 1) = Ù 3x – y – = Do : - 3a + b = (3)
Giải hệ (1), (2), (3), ta : a = b = - , c = - Phương trình đường trịn cần tìm : x2 + y2 – 4x – 4y – =
Ví dụ : Cho A(2 ; 0) B(0 ; 1) , chúng minh tập hợp điểm M thỏa MA2 – MB2 = MO2 đường tròn Xác định tâm bán kính đường trịn Giải Gọi (x ; y) tọa độ M , ta có :
MA2 – MB2 = MO2
Ù [(x – 2)2 + y2 ] – [(x2 + (y – 1)2 ] = x2 + y2 Ù x2 + y2 + 4x – 2y – =
Đây phương trình đường trịn tâm I(- ; 1) , bán kính R = 2 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn
Cần nhớ : Cho đường tròn tâm I(a ; b) , bán kính R :
• Nếu biết tiếp điểm T (x0 ; y0) phương trình tiếp tuyến đường thẳng qua (x0 ; y0) vng góc với IT= (x0 – h ; y0 - k)
• Nếu khơng biết tiếp điểm dùng điều kiện sau để giải : ∆ tiếp tuyến đường tròn (I, R) Ù d(I, ∆) = R Ví dụ ( Tiếp tuyến điểm cho trước)
a) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 điểm có hồnh độ –
b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x – 2y – = điểm mà đường tròn cắt trục Ox
Giải
a) Tâm I(3 ; - 1) , bán kính r =
Thế x = - vào phương trình đường trịn , ta có : 16 + (y + 1)2 = 25 Ù (y + 1)2 =
Ù y + = ±
Ù y = hay y = - Vậy tọa độ tiếp điểm (- ; 2) hay ( - ; - 4)
• Với tiếp điểm T (- 1; 2) , tiếp tuyến vng góc IT = (- ; 3) có phương I
T
(35)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
• Với tiếp điểm (- 1; - ) , tiếp tuyến vng góc IT = (- ; - 3) có phương trình : 4(x + 1) + 3(y + 4) = Ù 4x + 3y + 16 =
b) Thế y = vào phương trình đường trịn : x2 + 4x – = Ù x = hay x = - Vậy tọa độ tiếp điểm (1 ; 0) hay ( - ; 0)
Đường trịn có tâm I(- ; 1)
• Tiếp tuyến T(1 ; 0) vng góc với IT = ( ; - 1) có phương trình : 3(x – 1) – 1.(y – 0) = Ù 3x – y – =
• Tiếp tuyến T(- ; 0) vng góc với IT = ( - ; - 1) có phương trình : 3(x + 5) – 1.(y – 0) = Ù 3x – y + 15 =
Ví dụ ( Tiếp tuyến có phương cho trước )
a) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn x2 + y2 = biết tiếp tuyến có hệ số góc
b) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) : x2 + (y – 1) = 25 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x – 4y =
Giải :
a) Đường tròn có tâm O(0 ; 0) , bán kính Phương trình đường thẳng d có hệ số góc có dạng : x – y + m = ( m số chưa biết) Ta có : d tiếp xúc (C) Ù d(I, d) = R
Ù
2
| m |
2 | m | +1 = <=> = Ù m = ±
Vậy phương trình tiếp tuyến : x – y ± =
b) Đường trịn có tâm I(0 ; 1) , bán kính R = Phương trình đường thẳng ∆ vng góc với 3x – 4y = có dạng : 4x + 3y + m =
∆ tiếp xúc (C) Ù d(I, ∆) = R Ù
2
| 4.0 3.1 m |
4
+ +
=
+ Ù |3 + m| = 25 Ù m = 22 hay m = - 28
Vậy phương trình tiếp tuyến : 4x + 3y = 22 hay 4x + 3y – 28 = Ví dụ ( Tiếp tuyến qua điểm cho trước )
(36)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Giải
a) Đường trịn có tâm I(2 ; 1) , bán kính R =
Phương trình đường thẳng ∆ qua A(- ; 2) có dạng : y – = k(x + 1) Ù kx – y + k + = (*) , k hệ số góc ∆
∆ tiếp xúc (C) Ù d(I, ∆) = R Ù
2
| 2.k k |
k
− + + =
+ Ù | 3k + | = k + Bình phương hai vế : 9k2 + 6k + = 9(k2 + 1) Ù 6k = Ù k = 4/3
Thế vào (*) , ta phương trình tiếp tuyến cần tìm : ( 4/3) x – y + 4/3 + = Ù 4x - 3y + 10 =
Ghi : Thường từ điểm kẻ tiếp tuyến với đường tròn , ta ta chưa xet đến đường thẳng qua A vng góc với Ox, đường khơng có hệ số góc
* Xét ∆ : x – = ( qua A vng góc Ox) : Ta tính d(I, ∆) = || |
1 − −
= , d(I, ∆) = R , ∆ : x – = tiếp tuyến cần tìm
Qua A(2 ; 1) có hai tiếp tuyến : x – = 4x - 3y + 10 =
Ghi : Có thể viết phương trình tiếp tuyến qua A( - ; 2) dạng tổng quát : a(x + 1) + b(y – 2)= Ù ax + by + a – 2b =
Điều kiện tiếp xúc : d(I, Δ) = R Ù b
a
| b a b a |
2
2 + =
− + +
Ù (3a – b)2 = 9(a2 + b2 ) Ù b(8b + 6a) = Ù b = hay a = - 4b/3
* Ví dụ 34 : Cho (C) : x2 + y2 = (C’) : (x – 2)2 + (y – 3)2 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn
Giải
(C) có tâm O , bán kính (C’) có tâm I , bán kính
(37)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + + = + <=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < + + = + + + = + = ) ( c c b a ) ( b a | c | ) d vói phía mot I O ( ) c b a ( c b a | c b a | ) d , I ( d b a | c | ) d , O ( d 2 2 2
Từ (2) : c = -
b a +
Thế vào (1) bình phương :
a2 + b2 =
2 b a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
Ù 5a2 – 12ab = Ù a(5a – 12b) =
Ù a = hay a =
b 12
Phương trình hai tiếp tuyến cần tìm : y – = hay 12x + 5y – 13 =
C Bài tập rèn luyện
3 38 Tìm tâm bán kính đường trịn sau :
a) (2x + 5)2 + (2y – 3)2 = b) x2 + y2 + x + y – = c) x2+ y2 + 3x + = d) 2x2 + 2y2 – 4x + 3y =
3 39 Tìm điều kiện tham số để phương trình sau phương trình đường trịn tìm tập hợp tâm đường trịn tham số thay đổi
a) x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4(m – 2)y – = b) x2 + y2 + 2mx – 2my + 2m2 + m = c) x2 + y2 – 2mx + 4my + 6m2 – =
3.40 Cho (Cm) : x2 + y2 + 2mx – 2(m + 1)y – 2m – = a) Chúng minh (Cm) đường trịn với m b) Viết phương trình (Cm) có bán kính nhỏ
c) Chúng minh có hai đường trịn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng x + y + =
3.41 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x + 2y – = a) Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trục Ox
(38)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
c) Tìm tâm bán kính đường trịn (C’) : x2 + y2 + 6x + 6y + 13 = Chúng minh (C) (C’) tiếp xúc ngòai T Viết phương trình tiếp tuyến chung T
3.42 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + =
a) Điểm M(- 1; 1) hay ngòai đường tròn Lập phương trình dây cung qua M có độ dài ngắn
b) Lâp phương trình đường thẳng qua O cắt (C) theo dây cung có độ dài
3 43 Lập phương trình đường trịn :
a) có tâm I(3 ; - 2) , bán kính b) có tâm I(2 ; - 4) qua gốc tọa độ c) có tâm I(1 ; - 2) tiếp xúc đường thẳng x – y
* 44 Lập phương trình đường trịn : a) qua A(1 ; 2) tiếp xúc hai trục tọa độ
b) tiếp xúc hai đường thẳng song song : 2x – y – = , 2x – y + = có tâm Oy
c) tiếp xúc đường thẳng 2x + y – = điểm T(2 ; 1) có bán kính
* d) tiếp xúc với hai đường thẳng x – 2y + = x + 2y + = qua gốc O
3.45 Lập phương trình đường trịn : a) qua A(0 ; 4) , B( - 2; 0) C(4 ; 3)
b) qua A(2 ; - 1), B(4 ; 1) có tâm Ox
c) qua A(3 ; 5) tiếp xúc đường thẳng x + y – = điểm T(1 ; 1) 3.46 Cho đường tròn (C) : (x – 2)2 + (y + 1)2 =
a) Tìm Oy điểm từ kẻ tiếp tuyến (C) hai tiếp tuyến vng góc
b) Tìm (C) điểm gần gốc O
3.47 Chứng minh đường thẳng Δ :2x – y = đường tròn : x2 + y2 – 4x + 2y – = cắt Tìm độ dài dây cung tạo thành
3.48 Cho hai đường tròn ( C) : x2 + y2 – 2x – 4y + = (C’) : x2 + y2+ 4x + 4y - =
(39)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
* 49 Cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 2)2 = điểm M(- ; 1) a) Chứng minh M ngòai đường tròn
b) Tính phương tích M đường trịn tính độ dài tiếp tuyến MT * 3.50 Cho hai đường tròn (C ) : x2 + y2 – 2x – 2y + = (C’) : x2 + y2 – 4x + 6y + =
a) Chứng minh hai đường tròn có tiếp tuyến chung
b) Chứng minh bốn điểm chia đọan tiếp tuyến chung theo tỉ số - nằm đường trịn
3.51 a) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn x2 + y2 – 2x + 4y – = điểm (2 ; 1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (x + 1)2 + (y - 3)2 = điểm mà đường tròn cắt Oy
*3.52.Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn x2 + y2 – 2x + 8y – = : a) biết tiếp tuyến song song đường thẳng x – y + =
b) biết tiếp tuyến qua điểm (2 ; 1)
*3.53.Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn x2 + y2 – 2x - 4y – = : a) biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng 3x + y =
b) biết tiếp tuyến phát xúât từ điểm A(3 ; - 2)
c) Viết phương trình đường trịn ngọai tiếp tam giác AT1T2 đường thẳng qua hai tiếp điểm T1, T2
*3.54.Cho hai đường tròn : x2 + y2 – 2x - 2y – = x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = a) Chứng minh hai đường tròn cắt
b) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường tròn b) Tìm phương trình tiếp tuyến chung chúng
*3.55 Cho A(3 ; 0) B(0 ; 4) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB
*3.56 Biện luận theo m vị tri tương đối đường thẳng Δ đường tròn (C ) a) Δ : x + 3y + m = ; (C) : (x – 2)2 + y2 = 10
b) Δ : x – my + m – = ; (C ) : x2 + y2 - 2x – 4y + =
*3.57 Cho hai đường thẳng Δ : x + = Δ’ : x – = , cắt Ox A B M N hai điểm di động Δ Δ’ có tung độ m n cho ln có : mn =
(40)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
b) Chứng minh giao điểm I AN BM thuộc đường trịn cố định 3.58 Chọn câu : Tìm tâm I bán kính R đường trịn (x + 2)2 + (y – 1)2 =
a) I(2 ; - 1), R = b) I(- ; 1), R = c) I(2 ; - 1) , R = d) I(- ; 1) , R =
3.59 Chọn câu : Tìm tâm I bán kính R đường trịn : 2x2 + 2y2 – 3x + 4y - =
a) I(3/2 ; - 2) , R = 29
2 b) I(- ¾ ; 1) , R = 33 c) I(3/4 ; - 1) , R = 33
4 d) I(3/4 ; - 1) , R = 17
3 60 Chọn câu : Có số nguyên m để : x2 + y2 – 2(m + 1)x + 2my + 3m2 + 2m – 12 = phương trình đường trịn ?
a) b) c) d) vô số
3.61 Chọn câu : Cho A(1 ; 1) B(2 ; 3) , tập hợp điểm M thỏa : 3MA2 – 2MB2 = đường tròn Bán kính :
a) b) c) d)
3.62 Chọn câu : Có hai đường trịn có tâm Ox , bán kính qua điểm A(1 ; - 38) Khỏang cách hai tâm chúng :
a) b) c) d)
3 63 Chọn câu : Đường tròn qua A(1 ; 0), B(2 ; 0) C(0 ; 3) có bán kính gần với số ?
a) 1, b) 1, c) 1, d) 1,
D Hướng dẫn hay đáp số :
3 38 a) I (- 5/.2 ; 3/2 ) , R = b) I(- ½ ; - ½ ) , R = c) ( - 3/2 ; 0), R =
2 d) I(1 ; - 3/2) , R = 5/4 3.39 a) ∀ m , tập hợp I đường thẳng 2x + y – =
b) m < , tập hợp nửa đường thẳng x + y = với x > c) – < m <1 , tập hợp đoạn 2x + y = với – 1< x < 3.40 a) a2 + b2 – c = 2(m + 1)2 + > , ∀ m
(41)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
nghiệm
3.41 a) b) c) Vì khỏang cách hai tâm tổng hai bán kính Phương trình tiếp tuyến chung : 2x + y + =
3.42 a) ngịai IM > R Dây cung qua M vng góc IM
b) Vì dây cung có độ dài nên khỏang cách từ I đến đường thẳng :
R − =1 Phương trình đường thẳng ∆ : kx – y = Giải : d(I, ∆) = , ta k
3.44 Gọi I(h ; k) tâm R bán kính : a) Ta có hệ :
⎩ ⎨ ⎧ = − + − = = ) ( h ) k ( ) h ( ) ( R | k | | h | 2
Thế k = h k = - h vào (2) , ta phương trình tính h b) I(0 ; k) , ta có hệ phương trình : d(I, ) d(I, ')
d(I, ) R
Δ = Δ
⎧
⎨ Δ =
⎩
c) Ta có hệ : ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Δ = n // IT ) , I ( d Ù ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = − = − + 1 k 2 h 5 | k h | Ù ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ⎢ ⎣ ⎡ − = − + = − + k h 10 k h 10 k h
3.45 Phương trình đường trịn có dạng : x2 + y2 + 2a + 2by + c = a) Thế tọa độ A, B, C , ta hệ phương trình tính a, b, c b) Ta có : b = , tọa độ A B , ta có hệ tính a c
c) Phương trình đường thẳng qua T vng góc x + y – = : x – y = Ta có hệ :
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = + + + = + + + b a c b a 2 c b 10 a 34
(42)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
3.46 a) Điểm cần tìm cách tâm khỏang R b) Điểm cần tìm giao điểm OI đường tròn 3.47 a) Đường tròn có tâm I(2 ; - 1) , bán kính R = Ta có : d(I, Δ) =
5
5 = < R => Δ cắt đường tròn Độ dài dây cung : R2 −d2 =2
3 48 (C) có tâm I(1 ; 2) (C’) có tậm I’(- ; - 2) Điểm chung hai đường tròn thỏa hệ :
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= +
+ +
= + − +
(2) -4y 4x y x
(1) 4y 2x y x
2
2
Lây (1) trừ (2) : - 6x – 8y + = Ù x =
1 y + −
Thế vào (1) : (5y – 2)2 = Ù y = 2/5 => x = - 1/5 Hai đường trịn có điểm chung T nên tiếp xúc T(- 1/5 ; 2/5) Lại có xI’ < xT < xI nên T ∈ đọan II’ , chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc ngòai
Ghi :Có thể chứng minh cách khác x (C) có tâm I(1 ; 2) , bán kính R = (C’) có tậm I’(- ; - 2), bán kính R’ = Vì II’ = R + R’ = nên hai đường tròn tiếp xúc ngịai Nhưng với cách , ta khơng tìm tiếp điểm
b) Tiếp tuyến chung đường thẳng vng góc với II'=(−3;−4) qua T , có phương trình : 3x + 4y – =
3.49 a) Khỏang cách từ tâm I đến M IM = 37 > R =
b) Phương tích M : IM2 – R2 = 28 độ dài tiếp tuyến 28 =2
Ghi : Tổng quát có thê chứng minh : Phương tích điểm M(x0 ;
y0) đường tròn : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = : x20+ y20+ 2ax0 + 2by0 +
c
3.50 a) (C) có tâm I(1 ; ) , bán kính R = (C’) có tâm I’(2 ; - 3) , bán kính R’ = Vì II’ = 17 > R + R’ = nên hai đường tròn cắt Suy chúng có tiếp tuyến chung
(43)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Ù x2 + y2 – 2x – 2y + = 4(x2 + y2 – 4x + 6y + ) Ù 3x2 + 3y2 - 14x + 26y + 35 =
Đây phương trình đường trịn
3.51 a) x + 3y – = b) x + 2y – 10 = hay x + 2y – = 3.52 a) x – y + = , x – y – 11 =
b) x + y – = , 7x – 17y + =
3.53 c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AT1T2 có đường kính AI , có phương trình : x2 + y2 – 4x – =
* Tọa độ điểm T1 , T2 thỏa hệ :
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − + = − − + y x y x x y x 2 2
nên thỏa : (x2 + y2 – 4x – 1) – (x2 + y2 – 2x – 4y – 5) = Ù - 2x + 4y + = Ù x – 2y – =
Do phương trình đường thẳng T1T2 x – 2y – =
3.54 a) (C) có tâm I(1 ; 1) , R = (C’) có tâm I’(4 ; 2) R’ =
Vì R – R’ < II’ < R + R’ nên (C) , (C’) cắt
b) Ta giải tổng quát : Tọa độ (x ; y) giao điểm hai đường tròn thỏa hệ :
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + = + + + + ) ( ' c y ' b x ' a y x ) ( c by ax y x 2 2
=> chúng thỏa phương trình :
(1) – (2) : 2(a – a’)x + 2(b – b’)y + c – c’ =
c) Tiếp tuyến chung có VTCP (3 ; 1) cách I khoảng 3.55 Bán kinh đường tròn r =
p
S = Phương trình phân giác góc O
x – y = Tọa độ I (1 ; 1) Phương trình đường tròn nội tiếp : (x – 1)2 + (y – 1)2 =
3.56 a) (C) có tâm I(2 ; 0) , R = 10 d = d(I, Δ) = 10
| m | + ¾ d < R Ù - 12 < m < : d (C) cắt ¾ d = R Ù m = hay m = - 12 : d (C) tiếp xúc
I A
T1
(44)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
¾ d > R Ù m < - 12 hay m > : d (C) ngòai b) (C ) có tâm I (1 ; 2) , R = d = d(I, Δ) =
1 m
| m |
2 +
+
¾ d < R Ù 6m m 4/3
1 m
| m |
2 + < <=> + < <=> <−
+
: d (C) cắt ¾ d = R Ù m = - 4/3 : d (C) tiếp xúc
¾ d > R Ù m > - 4/3 : d (C) ngòai
3 57 a) Phương trình tắc AN qua A(- 1; 0) N(1 ; n) :
n y
1 x+ =
(1) Phương trình tắc BM qua B(1 ; 0) M(- ; m) :
m y
1 x
− = −
(2) b) Tọa độ (x ; y) I thỏa (1) (2) => (x ; y) thỏa :
m y n y
1 x
1 x
− = − +
Ù
4 y mn
y
1
x2 2
− = − = −
Ù x2 + y2 = Vậy I thuộc đường tròn (O ; 1)
3 58 (b) 3.59.(c) 3.60 (b) 3.61 (d) 3.62 (d) 3.63 (d)
&5 Êlip A Tóm tắt giáo khoa
1 Định nghĩa Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F F1 =2c độ dài không đổi 2a ( a > c) Elip tập hợp điểm M cho :
1 2
F M F M+ = a
F1 , F2 : tiêu điểm , F1F2 : tiêu cự , F1M , F2M : bán kính qua tiêu
Phương trình tắc
M
y
B2
A B
N
(45)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
M(x ; y) ∈ (E) Ù x22 y22
a +b = với b
2 = a2 - c 2 ( 1) (1) : phương trình tắc (E)
3 Hình dạng elip -
* A1 ( - a ; ) , A2 ( a ; ) , B1(0 ; - b) , B2 ( ; b) : đỉnh
* Đoạn A1A2 = 2a : trục lớn , B1B2 = 2b : trục nhỏ
* Hình chữ nhật giới hạn đường x = ± a, y = ± b gọi hình chữ nhật sở elip
* e = a
c < : tâm sai êlip * F1M = a +
a cxM
= a + exM ; F2M =
a cx
a− M = a - ex M
B Giải tóan
Dạng toán : Xác định yếu tố êlip
Ví dụ : Hãy xác định đỉnh , độ dài trục , tiêu cự , tiêu điểm tâm sai vẽ elip có phương trình sau :
a) (E) : +
4
x y
=1 b) (E) : 9x2 +16y2 =144
Giải : a) Ta có : a2 = , b2 = => a = b = Suy A1 (- 2; ) , A2 (2 ; ) , B1(0 ; - ) , B2 ( ; 1) Độ dài trục lớn 2a = , trục nhỏ 2b =
Ta có : c = a2−b2 = 3 Tiêu cự 2c = , tiêu điểm F
1( - ; ) , F2 ( ; ) Tâm sai : e = c/a = /2
c) Viết lại phương trình (E) :
2
1
16
x + y = => a2 = 16 ; b2 = => a = , b = c
= a2 −b2 =
Suy A1 (- 4; ) , A2 (4 ; ) , B1(0 ; - ) , B2 ( ; 3) Độ dài trục lớn 2a = , trục nhỏ 2b =
Tiêu cự 2c = , tiêu điểm F1( - ; ) , F2( ; ) Tâm sai e = c/a =
(46)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Dạng tốn : Lập phương trình tắc êlip :
Từ giả thiết , lập hệ phương trình theo a b Giải hệ , tìm a , b Suy phương trình (E) Cân nhớ : M(x0 ; y0) ∈ (E) Ù
2
o o
2
x y
1 a + b = Ví dụ : Lập phương trình elip (E) biết :
a) Có độ dài hai trục ,
b) (E) có đỉnh ( ; ) tiêu cự
c) (E) có đỉnh (0 ; ) (E) qua điểm M( ; 1) d) (E) qua hai điểm ( ;
2 ) (- ; 2 ) e) (E) có tiêu điểm F2 ( ; ) qua điểm (2, 5/3)
Giải a) a = = > a = , 2b = = > b = Phương trình elip :
2
1
9
x + y =
b) Phương trình (E) :
2
2
x y a +b =
Đỉnh (5 ; ) ∈Ox đỉnh A2 (a ; ) Suy : a = Tiêu cự = 2c = Ù c = Suy : b2 = a2 - c2 = 25 – = 16 Vậy phương trình (E) :
2
1 25 16
x y
+ =
c) Phương trình (E) :
2
2
x y a +b =
Đỉnh (0 ; ) ∈Oy đỉnh B2 ( ; b ) Suy : b = :
2
x + y
x y
O
x O
(47)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
M(4; 1) ∈ (E) Ù 2
2
4 1 16 18
9 a
a + = <=> a = <=> =
Vậy phương trình (E) :
2
1
18
x + y =
d) Phương trình (E) :
2
2
x y a +b =
( ;
2 ) ∈ (E) Ù 2
1 1
4
a + b = (1)
N(- ;
2 ) ∈(E) Ù 2
2 1
4
a + b = (2)
Giải hệ (1) (2) với hai ẩn : u = 12 ,v 12
a = b , ta : u = ¼ , v =
Vậy phương trình (E) :
2
1
4
x + y =
e) F2( ; ) => c = Suy : F1 ( - ; ) Ta có : F2M =
2
2 5
(2 2)
3
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ , F1M =
2
2 13
(2 2)
3
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ Theo định nghĩa elip : 2a = F1M + F2M = 13
3 3+ = => a = Suy : b2 = a2 – c2 = phương trình eip :
2
9
x y
+
Cách khác : c= = > a2 = b2 + Phương trình elip :
2
2
x y a +b = Thế tọa độ M , ta :
2
2
4 25 1 36 25 100 9 36
4 b b b b
b + + b = <=> + + = +
Ù 9b4 – 25b2 – 100 =
Giải phương trình trùng phương , ta : b2 =5 Suy a2 =
Ví dụ : Cho đoạn AB có độ dài không đổi Đầu A( ; a) di động truc hoành , đầu B (b ; 0) di động trục tung M điểm chia đoạn
(48)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
MA= −2.MBÙ
2
3
2
3
A B
A B
x x b
x
y y a
y
+
⎧ = =
⎪⎪
⎨ +
⎪ = =
⎪⎩ Vì a2 + b2 = AB2 = , suy : (3y)2 +
2
2
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ = Ù
2
1
4
x + y =
Vậy M di động elip có phương trình
2
1
4
x + y =
Dạng tốn : Tìm điểm thuộc (E) Cân nhớ : * M(x0 ; y0) ∈ (E) Ù
2
o o
2
x y
1
a + b = Ù F1M + F2M = 2a * F1M = a +
a cxM
; F2M =
a cx a− M Ví dụ : Cho elip (E) :
2
1
6
x +y =
a) Tìm (E ) điểm M có hồnh độ
b) Tìm tọa độ giao điểm (E) đường thẳng y = x - c) Tìm (E) điểm M cho góc F1MF2 = 900
d) Tìm (E) điểm M thỏa F1M – F2M = GIẢI a) Thế x = vào phương trình (E) :
2
2
( 2) 1
6 3
y y y
+ = <=> = <=> = ±
Ta tìm điểm M có tọa độ (2 ;
3) , ( ; -
3 )
b) Tọa độ giao điểm nghiệm hệ : ⎧
+ =
⎪ ⎨
⎪ = −
⎩
2
1 (1)
6
3 (2)
x y y x
(49)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Phương trình có nghiệm : x1= ;x2 = 53
Thế vào (2) : 1= − = = − = −
3 1;
5
y x y x
Ta điểm có tọa độ (x1 ; y1) , (x2 ; y2 )
c) Gọi (x; y) tọa độ M Ta có : F1MF2 = 900 Ù OM = OF1 = OF2 Ù x2 +y2 = <=>c x2 +y2 = ( c4 2 = a2 – b2
= – = )
Mặt khác M ∈ (E) nên tọa độ E thỏa : 2x2 + 6y2 = 12
Ta có hệ :
2
2
2 12
4
x y
x y
⎧ + =
⎪ ⎨
+ =
⎪⎩
Ù 2
3
1
x x
y y
⎧ = ⎧ = ±
⎪ <=>⎪
⎨ ⎨
= ±
= ⎪
⎪ ⎩
⎩
Ta tìm điểm có tọa độ ( ; 1) , ( ; - 1) , (- ; 1) , ( - ; - 1) d) Theo định nghĩa : F1M + F2M = 2a = mà F1M – F2M =
Suy : F1M =
2 , F2M =
Từ :
2 = a + a cxM
Ù
2 = + x M
Ù xM =
Thế lại vào phương trình (E) , ta :
2
9 1 15 5
24 48 16
y y y
+ = <=> = = <=> = ±
Vậy tọa độ điểm cần tìm ( 5; ) (
3 5; )
M
(50)Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng
Ví dụ : Cho elip (E) :
2
2
x y
a +b = có tiêu điểm F1 , F2 M điểm
(E)
a) Tìm (E) : x2 + 4y2 = điểm M cho F1M = 2F2M b) Chứng minh F1M F2M + OM2 = a2 + b2
Giải a) Viết lại phương trình (E) :
2
1
4
x y
+ = => a2 = ; b2 = => c2 = Theo chúng minh : F1M = 2F2M Ù a + c x
a = 2( a - ac x)
Ù
2
3
cx a x a a = <=> = c
Thế a2 = , c = : x =
3 Thế vào phương trình (E) , ta :
2
4 4 4 23
27
3 y y
⎛ ⎞ + = <=> =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ Ù y = ±
23 27 b) Ta có : F1M F2M = (a + c x a)( c x)
a −a =
2
2
2
c
a x
a
− ( 1) OM2 = x2 + y2 (2)
Cộng (1) (2) : F1M F2M + OM2 = a2 + (1 - 2
c a ) x
2 + y2
= a2 + 2 2 2 2
2
b x y a b x a y
a a
+
+ = +
Vì M ∈ (E) nên b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 , suy : F
1M F2M + OM2 = a2 + b2 : giá trị không đổi
C Bài tập rèn luyện.
3.64 Xác định độ dài trục , tọa độ đỉnh , tiêu điểm vẽ elip sau : a)
2
1
12
x y
+ = b) 2
5
x y