Đang tải... (xem toàn văn)
Khi thÓ tÝch tø diÖn OMNP nhá nhÊt , h·y chØ râ vÞ trÝ ®iÓm A.[r]
(1)Bài : ( điểm )
Tìm tất giá trị tham số a để ph−ơng trình :
x −3x − = a
có ba nghiệm phân biệt , có hai nghiệm lớn Bài : ( điểm )
Trên mặt phẳng toạ độ cho đ−ờng thẳng có ph−ơng trình : x sin t+y cos t+cos t+ = , t tham số
1, Chứng minh t thay đổi , đ−ờng thẳng tiếp xúc với đ−ờng tròn cố định
2, Gäi (x0 ; y0) nghiệm hệ phơng trình :
2
x sin t y cos t cos t
x y 2y
+ + + =
⎧ ⎨
+ + − =
⎩
Chøng minh r»ng : x20 +y20 ≤ Bµi : ( điểm )
Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè :
2 cos x cos x y
cos x
+ +
=
+ Bµi : ( ®iĨm )
Trên mặt phẳng toạ độ cho hai đ−ờng thẳng d1 , d2 có ph−ơng trình :
(d1) : 4x +3y + =
(d2) : 3x – 4y – =
H·y viÕt phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng có tâm nằm đờng thẳng d có phơng trình : x 6y =
Bài : ( điểm )
Chứng minh bất đẳng thức sau với x >
x x
(2)Së gi¸o dơc - đo tạo Thái bình
K× thi chän häc sinh giái líp 12 Năm học 2001 - 2002
*****
§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 ) Môn thi : toán *******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài : ( điểm ) Cho hµm sè:
2
2x (m 2)x m y
2x m
− + + +
=
−
,Tìm điểm cố định đồ thị hàm số m thay đổi , Tìm đ−ờng tiệm cận đồ thị hàm số
, Với giá trị m hàm số cho có cực đại , cực tiểu Bài : ( điểm )
, Tìm m để :
2 2
9x +20y +4z −12xy+6xz+mzy≥ víi mäi sè thùc x , y , z , Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè a , b , c khác m > thoả mÃn hệ thøc :
a b c
0 m+2+m 1+ +m =
phơng trình có Ýt nhÊt mét nghiƯm thc kho¶ng (0 ; 1) ax +bx+ =c
Bài : ( điểm )
1, Với giá trị a hàm số :
6
y= cos x+sin x+a sin x cosx xác định với giá trị x
2, Tìm dạng tam giác ABC thoả mÃn :
cot gA cot gB A B 1000A 1001B
− = −
⎧
⎨ + =
Bài : ( điểm )
Cho tam gi¸c ABC , gäi d1 , d2 , d3 khoảng cách từ ®iÓm M n»m phÝa
tam giác đến cạnh tam giác , Chứng minh bất đẳng thức :
3
8S
d d d , S diện tích tam 27abc
≤
giác ABC ; a , b , c độ dài cạnh tam giác
, Lập bất đẳng thức t−ơng tự cho tứ diện không gian Bài : ( điểm )
(3)Bµi : ( điểm ) Cho hàm số
x
2
e v i x
y
x x v i x
⎧ ≥
⎪ = ⎨
+ + <
⎪⎩
í í
0
Tính đạo hàm hàm số điểm x = Bài : ( điểm )
Lập bảng biến thiên hàm số sau : n
y=x (2x)2
với n nguyên dơng Bài : ( điểm )
Tìm a để hàm số sau có cực tiểu mà khơng có c−c đại :
4
y=x +4ax +3(a 1)x+ +
Bài : ( điểm )
Cho phơng trình : x3 +mx2 =1 (1)
1, Chứng minh ph−ơng trình (1) ln có nghiệm d−ơng 2, Xác định m để ph−ơng trình (1) có nghiệm Bài : ( điểm )
Trong mặt phẳng Oxy cho hai ®iĨm A(a ; 0) , B(0 ; a) (víi a > 0)và đờng tròn ( ) có phơng tr×nh :
2 2
x +y −2ax−m 2y a+ = ( m lµ tham sè )
, Chøng minh r»ng ®−êng tròn ( ) tiếp xúc với Ox A Tìm giao điểm thứ hai P đờng tròn () đờng thẳng AB
, Lập phơng trình đờng tròn ( ) qua P tiếp xúc Oy B
, Hai đ−ờng tròn (ξ) (ξ cắt P Q Chứng minh m ′) thay đổi đ−ờng thẳng PQ qua điểm cố định
Bµi : ( điểm )
Lập phơng trình đờng phân giác góc tạo đờng th¼ng : x+ − = , 7x y 0y − + = cã chøa ®iĨm M0(-1 ; 5) Bài : ( điểm )
Cho c¸c sè thùc x1 , x2 , … , x2002 , y1 , y2 , … , y2000 thoả mÃn điều kiện sau :
1 2002 2000
1 2002 2000 1) e x x x y y y
2) x x x y y y
≤ ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤
+ + + ≥ + + +
(4)Së gi¸o dơc - đo tạo Thái bình
K× thi chän häc sinh giái líp 12 Năm học 2003 - 2004
*****
§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 ) Môn thi : toán *******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài : ( điểm ) Cho hµm sè
4 x
y 3x x
2
= − + −
, Chøng minh r»ng hàm số có cực trị
, Cho tam giác có toạ độ đỉnh toạ độ điểm cực trị , tìm toạ độ trọng tâm tam giác
Bµi : ( ®iĨm )
, Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đ−ợc tiếp tuyến với parabol y=4x−x2 hai tiếp tuyến vng góc
, Tính diện tích tam giác có đỉnh điểm M( ;5 17)
2 tiếp điểm tiếp tuyến qua điểm M
Bµi : ( điểm )
1, Giải hệ phơng trình :
3
6
x 3x y
x y
⎧ − = − y
⎪ ⎨
+ =
2, Giải biện luận phơng tr×nh ;
2
x 2ax 2 x 4ax a 2
3 + + −3 + + + =x +2ax+ a Bµi : ( ®iĨm )
Cho hä ®−êng cong ( Cm) có phơng trình :
2
2
x y
1 m +m −16 = m tham số , m≠0, m≠ ±4
, Tuỳ theo giá trị m , xác định tên gọi đ−ờng cong
, Gi¶ sử A điểm tuỳ ý đờng thẳng x = A không thuộc trục hoành Chứng minh với điểm A có ®−êng cong hä ( Cm) ®i
qua A
, Khi m = hÃy tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong Bài : ( điểm )
Chøng minh r»ng tam giác ABC có :
1 1
cot gA cot gB cot gC 3
sin A sin B sin C
⎛ ⎞
+ + + ≤ ⎜ + + ⎟
(5)Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài : ( ®iĨm )
Cho đờng cong (Cm) có phơng trình :
3
y=(m 1)x+ −3(m 1)x+ −(6m 1)x− −2m
, Chứng minh (Cm) qua ba điểm cố định thẳng hàng m thay
đổi
, Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ để (Cm) không qua với
m Bài : ( điểm )
Xác định dạng tam giác ABC :
a cos A b cos B c cos C a b c a sin A b sin B c sin C 9R
+ + = +
+ +
+ Bài : ( điểm )
Cho parabol y=x2 −2x vµ elip
2
x y
1 + =
1, Chứng minh parabol elip ln có bốn giao điểm có hồnh độ x1 , x2 ,
, x3 ,x4 tho¶ m·n − <1 x1 < <0 x2 < <1 x3 < <2 x4 <3 2, ViÕt ph−¬ng trình đờng tròn qua giao điểm Bài : ( điểm )
1, Giải hệ phơng trình :
3
3
3 2z x x x 2y z z z 2x y y y
⎧ + = + +
⎪ + = + +
⎨
⎪ + = + +
, Giải phơng trình :
x x
2
1 a a
1
2a 2a
⎛ + ⎞ −⎛ − ⎞ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ víi < a <
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bài : ( 2điểm )
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ ]0;1 thoả mÃn điều kiện f(0) = f(1) Chứng minh phơng trình :
1 f (x) f (x )
2004
= +
(6)Sở giáo dục - đo tạo Thái bình
Kì thi chän häc sinh giái líp 12 Năm học 2005 - 2006
*****
§Ị chÝnh thøc ( Thời gian làm 180 phút ) Môn thi : toán *******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài : ( điểm ) Cho hµm sè :
3
x 3x 3x a
y
x
− + +
=
, Tìm a để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
, Chứng minh điểm cực trị nằm parabol cố định a thay đổi
Bài : ( điểm )
Cho hai phơng trình :
2
x x 2m (1
x 2x 2m (2
+ + − =
+ + + =
) ) , Tìm m để hai ph−ơng trình có nghiệm chung
, Tìm m để hai nghiệm ph−ơng trình nằm khoảng hai nghiệm ph−ơng trình ng−ợc lại
Bài : ( điểm )
Giải phơng trình :
x x x x
1) 5sin x cos 2x cos x 2) 2007 2006 2005 2004
+ + =
− = −
Bµi : ( ®iÓm )
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng trịn có ph−ơng trình : 2 x +y =1 , Viết ph−ơng trình tiếp tuyến với đ−ờng tròn điểm M , biết tia OM hợp với chiều d−ơng trục Ox góc a
, Giả sử a thay đổi từ đến π
, tiếp tuyến thay đổi theo quýet đ−ợc miền mặt phẳng toạ độ Tính phần diện tích giới hạn miền đ−ờng thẳng y =
Bài : ( 2điểm )
Tìm giá trị m để hệ sau có nghiệm :
2
2
1 m x 2xy 7y
1 m 3x 10xy 5y
−
⎧ + − ≥
⎪ +
⎨
⎪ + − ≤
(7)Bài : ( điểm ) Cho hµm sè :
2
m x 2x m
y (
x
− +
=
− C ) víi m≠
, Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A , B cho
tiếp tuyến với đồ thị A , B vng góc
, Tìm m để tam giác tạo tiếp tuyến đồ thị (Cm) với hai
tiÖm cËn cã diƯn tÝch b»ng Bµi : ( điểm )
, Giải phơng trình : cos x
2
1
2 cos 2x log (3cos 2x 1)
2
− + = + −
, Tìm giá trị nhỏ a để hệ sau có nghiệm :
2
2
x 4xy 12y 72 3x 20xy 80y a
⎧ + + ≥
⎪ ⎨
+ + =
⎪⎩ Bµi : ( ®iĨm )
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC Đờng phân giác AD ( DBC ) , đờng cao CH ( HAB) lần lợt có phơng trình : x – y = , 2x + y + = Cạnh AC qua điểm M(0 ; -1) AB = 2AM HÃy viết phơng trình cạnh tam giác ABC
Bài : ( điểm )
Trên hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng (C) có ph−ơng trình : 2
x +y = Tìm m để đ−ờng thẳng y = m có điểm cho từ điểm kẻ đ−ợc hai tiếp tuyến đến (C) cặp tiếp tuyến tạo thnh mt gúc 45D
Bài : ( 5điểm )
, Chøng minh r»ng víi mäi x > ta cã : x ln x
x − < , Tìm số thực α thoả mãn bất đẳng thức :
1
n ln(1 )
n
α ≤ −
+
(8)Sở giáo dục - đo tạo Thái b×nh
K× thi chän häc sinh giái lớp 12 Năm học 2007 - 2008
*****
§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phút ) Môn thi : toán *******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài : ( ®iĨm)
Cho hai số m , p ( m ) ≠ Xét đồ thị (Cm):
2 − = x m
y
x vµ (Cp):
3
(2 1)
= − −
y x p x
1, Tìm điều kiện m p để hai đồ thị tiếp xúc
2, Giả sử hai đồ thị tiếp xúc , chứng minh tiếp điểm chúng thuộc thị hàm số y = x – x3
Bài : (2 điểm )
Biết phơng trình :x3 +x2 +ax b+ =0 có nghiƯm ph©n biƯt Chøng minh r»ng : a2 – 3b >
Bµi : ( ®iĨm )
1, Tìm m để hệ sau có nghiệm : log ( 3)
4
2
2
1 log ( ) log ( 1) +
⎧ ≥ ⎪ ⎨
+ − ≥
⎪⎩
x
x
m x x +
2, Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm :
(2m−1) x+ +2 (m−2) 2− + − =x m Bài : ( điểm)
1, Cho tam giác ABC với B (1 ; 2) , đ−ờng phân giác góc A có ph−ơng trình 2x + y + = (d) Tìm toạ độ đỉnh A C biết khoảng cách từ C đến (d) hai lần khoảng cách từ A đến (d) C nằm trục tung
2, Cho A(0 ; 4) vµ B(-4 ; 0) Xét đờng thẳng : ax + by + = ( a2 + b2 > 0) tiếp xúc với đờng tròn : x2 + y2 = 16 Tìm giá trị nhỏ cđa tỉng
khoảng cách từ A B đến Δ Bài 5: (2 điểm)
Gọi xi nghiệm bất phơng tr×nh :
x2 −2a xi +(ai −1)2 ≤0 ( i = 1;n ) vµ 5, 1; 2; ; 2≤ ≤ai i= n Chøng minh r»ng :
2 2
1
2
+ + + + + +
≤ +
n n
x x x x x
n n
(9)Bài : ( điểm)
1, Khảo sát vẽ đồ thị hàm số :y= x3 −3 x −2 ( )ξ
2, Gọi d đ−ờng thẳng qua M(2 ; 0) có hệ số góc k Tìm k để đ−ờng thẳng d cắt ( )ξ điểm phân biệt
Bµi : (4 ®iĨm )
1, Cho dãy (xn) xác định :
+ = ⎧ ⎪
⎨ = +
⎪ +
⎩
n
n x
2008
x
1 x
với n≥1 Chứng minh dãy (xn) có giới hạn tìm giới hạn
2, Tìm m để ph−ơng trình : x+ +y 2x(y 1)− +m = có nghiệm Bài : ( điểm )
Cho 1 a, b, c, d
4 < < Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :
a b c d
1 1
F log (b ) log (c ) log (d ) log (a )
4 4
= − + − + − + −1
4 Bµi : ( điểm)
1, Giải phơng trình :
x − −x 2008 16064x+ =2008 2, Tìm nghiệm phơng trình
cos x sin x −cos 2x sin 2x+ = tho¶ m·n 2008 < x < 2009 Bài 5: (2 điểm)
Cho tam gi¸c ABC biÕt A(1 ; -2), hai đờng phân giác góc B C lần lợt có phơng trình (d1) : 3x + y – = vµ (d2) : x – y – = Lập phơng trình
cạnh tam giác ABC Bài 6: (4 điểm)
Cho tam diện vuông Oxyz điểm A cố định bên tam diện Gọi khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx , Oxy lần l−ợt a , b , c Một mặt phẳng (α) qua A cắt Ox , Oy , Oz lần l−ợt M , N , P
1, Chøng minh r»ng a b c OM +ON +OP =
2, Xác định vị trí mặt phẳng ( α ) để thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ Khi thể tích tứ diện OMNP nhỏ , rõ vị trí điểm A
3, Chøng minh r»ng : (MN+NP+PM)2 ≤6(OM2 +ON2+OP )2 Bµi 7: (2 ®iĨm)
Cho ⎨0 a b c d Chøng minh r»ng : bc ad
< ≤ ≤ ≤ ⎧
≤ ⎩
(10)Tản mạn !
Cc i i , cực tiểu
Lơ lửng khoảng trời Nằm hai phía trục toạ độ Biết đến chụm đôi