SKKN Toan 8Dam bao

Ñoái vôùi caùc ví duï treân, ta coù theå giaûi ñöôïc nhieàu caùch, tuy nhieân ôû ñaây caùc ví duï ñeàu chæ ra söû duïng phöông phaùp taùch haïng töû bx döïa vaøo caùch höôùng daãn ôû tre[r]

A-

PH

Ầ

N

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TAØI

Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nội dung chương trình tốn, áp dụng nhiều vào giải tập Phương pháp công cụ hữu ích cho học sinh trình luyện tập như: Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… khơng vận dụng giải tốn chương trình lớp mà cịn vận dụng giải tập lớp 9, 10 sau Bản thân giáo viên giảng dạy mơn Tốn, qua số năm giảng dạy tơi thấy học sinh sau học lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử thường mắc phải sai sót làm tập

Để giúp học sinh tự học tránh sai sót định hướng số cách giải gặp dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, tơi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh Đề tài gồm phần: Phần A mở đầu, phần B nội dung, phần C kết quả, phần D kết luận Trong phần nội dung đề tài chủ yếu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp có ví dụ cụ thể, tập tự luyện có hướng dẫn giải tập tự luyện Một số tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân tích đa thức thành nhân tử số ví dụ nhận định số sai sót làm tập hướng khắc phục cho học sinh

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ giải Toán loại nhằm phát triển lực tư duy, lực sáng tạo học sinh

Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử

Cho học sinh thấy tầm quan trọng phân tích đa thức thành nhân tử Tốn học, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận sáng tạo người nghiên cứu khoa học

III ĐỐI TƯỢNG VAØ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU. 1.Đối tượng nghiên cứu

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hay sử dụng chương trình Tốn THCS, áp dụng máy tính Casio fx-570MS vào phân tích đa thức thành nhân tử

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, sách tham khảo, tài liệu có

liên quan

Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh.

Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của

từng đối tượng học sinh

B- NỘI DUNG CHÍNH

PHẦN I: THỰC TRẠNG.

Thực tế học sinh trường PTDT Nội trú Than Uyên tiếp thu chậm vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm tập hạn chế Các em nhầm lẫn chưa thành thạo sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử, thời lượng làm tập cịn nên chưa giải dạng toán mở rộng, nâng cao

Trong trình giải tập, đa số học sinh thường mắc lỗi :  Đặt nhân tử chung

 Chưa vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ vào làm tập  Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý

 Chưa biết cách tách hạng tử

 Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn khơng tìm cách giải Nguyên nhân học sinh tồn khuyết điểm :

+ Do thời lượng luyện tập khóa cịn ít, học sinh chưa có thời gian để ơn tập, làm tập, giải tập nhiều

+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, số học máy móc, hiểu cách đơn giản chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn q trình làm tập

PHẦN II: GIẢI PHÁP.

 Đề tài đưa giải pháp sau:

- Sắp xếp phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo mức độ, từ dễ

đến khó.

 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức

+ Phương pháp Đặt nhân tử chung

+ Phương pháp Dùng đẳng thức

+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử

 Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ

+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

+ Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán.

+ Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành.

 Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư

+ Giới thiệu thêm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

(Nâng cao).

+Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán.

ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Trong đa thức hạng tử có nhân tử giống ta đưa làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C).

a/ Caùc ví dụ: Ví dụ1 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x – 6y Giải : Ta có: 3x – 6y = x – 2y

= ( x – 2y)

 Nhận xét : Ở nhân tử chung ta đưa ngồi làm nhân tử chung theo cơng thức A.B + A.C = A(B + C) dạy, cần ý học sinh xác định nhân tử chung

Sau ví dụ nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực ví dụ

Ví dụ2 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(x – y) – 5x(y – x) Giải :

Ta coù : 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x (x – y) = (x – y)(3 + 5x)

Khi dạy học sinh thơng qua ví dụ, giáo viên đưa thêm ví dụ để rèn luyện cho học sinh thành thạo bước phân tích

Ví dụ3 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y). Giải : Ta có :

5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung 5(x – 2y))

= 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y] = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y)

* Nhận xét :

Đối với ví dụ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên sau :

+ Hệ số ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử

+ Các lũy thừa chữ có mặt hạng tử với số mũ lũy thừa số mũ nhỏ nó.

+ Một số trường hợp sử dụng quy tắc đổi biến để làm xuất nhân tử chung.

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, 5x – 20y

b, x2 + xy – x.

c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) d, 14x2 – 21xy2 + 28x2y2.

Bài 2: Tìm x biết x3 + x = 0.

Bài 3: Chứng minh n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho với số nguyên n

c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện:

Các bước giải kết sau:

Baøi 1:

a, 5x – 20y = 5(x – 4y ) b, x2 + xy – x = x(x + y -1 )

c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) = 2(x –y ).5x + 2(x – y ).4y = 2(x –y )(5x + 4y)

d, 14x2 – 21x y2 + 28x2y2 = 7x.2x – 7x.3y2 + 7x.4xy2

= 7x(2x – 3y2 + 4xy2).

Baøi 2:

Ta coù : x3 + x =  x(x2 + ) = 0

 x = x2 + = + TH1: x =

Vậy x =

Bài 3: Ta coù n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n n (n + 1) + 2n(n +1)

= n( n + 1)(n + 2).

Khi n Z n( n + 1)(n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên 2; mà(2,3) =1 n( n + 1)(n + 2) 

DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Các đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A + B) (A – B)2 A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2)

Phương pháp chủ yếu vận dụng đẳng thức để phân tích, học sinh phải học thuộc đẳng thức

a/ Caùc ví dụ :

Ví dụ1 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6xy + 9y2. Giải :

Ta coù : x2 – 6xy + 9y2 = x2 – 2.x 3y + (3y)2 = ( x – 3y)2

Nhận xét: Ở ta viết hạng tử thứ thứ ba đa thức dạng một lũy thừa để áp dụng đẳng thức bình phương hiệu

Qua ví dụ học sinh ý đa thức có ba hạng tử, có hai hạng tử viết dạng lũy thừa ta nghĩ đến đẳng thức bình phương hiệu bình phương tổng

Ví dụ2 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – Giải :

Ta coù : x2 – = x2 – ( 7)2

= (x – 7)(x + 7)

Ví dụ3 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2. Giải :

Ta coù : (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )] = (x – y + y – t )(x – y – y + t)

= (x – t )(x – 2y + t)

Nhận xét : Từ ví dụ ta ý áp dụng đẳng thức A2 – B2 = (A + B)(A – B) B đa thức viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x2 – 4y2.

b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3.

Baøi 2: Tính nhanh a, 1052 – 25

b, 452 + 402 – 152 + 80.45.

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 b, (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - )

c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện:

Một số bước giải kết quả:

Baøi : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)

b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)] = (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y)

= (4x + y )(2x – 3y)

c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + (2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

Baøi 2:

a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5) = 110.100

= 11000

b , 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402 ) – 152 = (45 + 40)2 – 152

= 852 – 152

= 100 70 = 7000

Baøi 3:

a ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2 = (3x – + 2x + )2 = (5x)2

= 25x2

b (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) = [(6x + ) – ( 6x - )]2 = (6x + – 6x + )2 =

NHĨM CÁC HẠNG TỬ

a/ Các ví dụ: Ví dụ1 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + Giải :

Ta coù : 5x(x – 2) – x + = 5x(x – 2) – (x – ) = (x – 2) (5x – 1)

Nhận xét : Với ba hạng tử đa thức ta nhóm hai hạng tử thứ hai thứ ba với ta nhân tử chung x –

Ví dụ2 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – y2 – y Giải :

Ta coù : x2 – x – y2 – y = (x2 – y2) – (x + y ) = (x + y ) (x – y) – (x + y ) = (x + y )(x – y – 1)

Nhận xét: Hạng tử thứ thứ ba dạng đẳng thức nên ta nhóm hai hạng tử với nhau,vậy hai hạng tử cịn lại nhóm thành nhóm

Ví dụ3 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – y2 + 6x + Giải :

Ta coù : x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2

Nhận xét : Nếu ta tiếp tục nhóm hai hạng tử thành nhóm khơng phân tích đa thức thành nhân tử Như ta nhóm ba hạng tử x2 , 6x , thành một nhóm để đưa đẳng thức, tiếp tục sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương để ta phân tích

Sau ví dụ, giáo viên cho học sinh làm số tập sau :

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 + 4x – y2 + 4.

b 3x2 – 3xy – 5x + 5y. c x3 – 2x2 + x – xy2 d x2 – + (x – 2)2

Bài : Làm tính chia

a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) b (x2 – 3x + xy – 3y ) : (x + y).

Bài : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + > với số thực x y.

c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện:

Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực sau:

Baøi : a x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2

= (x + 2+ y ) (x + – y) b 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y)

= 3x (x – y) – (x – y) = (x – y) (3x – 5) c x3 – 2x2 + x – xy2 = x(x2 - 2x + – y2)

= x[(x2 - 2x + 1) – y2] = x[(x – 1)2 – y2]

= x(x – + y )(x – – y) d x2 – + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x + 2) = (x + ) (x – + ) = (x + ) (x – 1)

Baøi 2: a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3)

Ta coù : x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2

Do (x + + y )(x + – y) : (x + + y ) = x + – y b Ta có: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)

= x (x – 3) + y(x – 3) = (x – 3) (x + y)

Do (x2 – 3x + xy – 3y) : (x + y) = x –

Bài : Ta có : x2 - 2xy + y2 + = (x2 - 2xy + y2) + = (x – y)2 + 1

Vì (x – y)2 với

x, y  R nên (x – y)2 + > với x, y  R * Nhận xét :

Phương pháp nhóm hạng tử phương pháp mà học sinh sai sót nhầm lẫn như nhầm từ cách nhóm hạng tử khơng hợp lý dẫn đến q trình phân tích khơng thực nhóm hạng tử với mà có dấu trừ hay sai dấu, vậy mà giáo viên cần ý rèn luyện kỹ vận dụng cách nhóm cho học sinh

TÁCH MỘT HẠNG TỬ THAØNH NHIỀU

HẠNG TỬ KHÁC.

Ởû phương pháp có nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai ax2 + bx + c

(a 0) tách hạng tử có bậc cao tách hạng tử tự thông thường ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho : b1 + b2 = b

b1 b2 = a c

Trong thực hành ta làm sau : Bước 1: Tìm tích a.c

Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách Bước : Chọn thừa số có tích a.c nói mà có tổng b

a/ Các ví dụ :

Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16. Giải : Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16

= (x2 – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) = (x – 2)(x – 8)

Nhận xét : Ở ta tách -10x thành -2x -8x, sau dùng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung

Giải : Ta có x2 – x – = x2 – 3x + 2x – 6 = (x2 – 3x )+ (2x – 6) = x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(x + 2)

Nhận xét : Ở ta tách -x thành -3x 2x, sau dùng phương pháp nhóm đặt nhân tử chung

Ví dụ3 : Tìm x biết : x2 + 5x + = 0

Để tìm x trước hết ta phân tích đa thức x2 + 5x + thành nhân tử Giải : Ta có x2 + 5x + = x2 + 2x + 3x + 6

= (x2 + 2x )+ (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Nên x2 + 5x + =  (x + 2)(x + 3) =  x + = x + = + x + =  x = -2 + x + =  x = -3 Vậy x = -2; -3

* Nhận xét:

Đối với ví dụ trên, ta giải nhiều cách, nhiên ví dụ đều chỉ sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn để thực hành giải toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp nhóm đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm phối hợp phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử.

Sau giáo viên dạy học sinh thông qua ví dụ cụ thể phương pháp tách hạng tử, cho học sinh làm tập tự luyện sau:

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 16x – 5x2– 3.

b x2 – 7x + 12 c 2x2 + 3x – 5 d 4x2 – 3x – 1

Bài 2: Chứng minh

a x(x – 6) + 10 > b -x2 - x - < 0

B = 2x2 + 10x – C = 5x – x2

c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện:

Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực được:

Baøi : a – 5x2 +16x – = -5x2 + 15x + x – 3 = (-5x2 + 15x) + (x – 3)

= -5x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (-5x + 1) b x2 – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12 = (x2 – 3x) – (4x – 12) = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – )(x – ) c 2x2 + 3x – = 2x2 + 5x – 2x – 5

= (2x2 + 5x )– (2x + 5) = x(2x + 5) – (2x + 5) = (2x + 5) (x – 1) d 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – 1

= (4x2 – 4x)+( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1)

= (x – 1)(4x + 1)

Baøi 2: a Ta coù x(x – 6) + 10 = x2 – 6x + 10

= x2 – x + 32+ = (x – 3)2 + >

x b Ta coù -x2 - x - = -[( x2 + 2.x.1

2 +( 2)

2 + 3

4] = – [(x +1

2)

2+3

4 ] <

Baøi : a Ta coù : A = x2 – 6x + 11 = x2 – x + 32+ 2 = (x – 3)2 + 2 Vậy Amin = x =

b B = 2x2 + 10x – = 2(x2+ 5x ) – = 2(x2 + 2.x 5

2+ 25

4 – 25

4 ) –1 = 2(x + 52)2 – 25

2 –1 = – 27

2 + 2(x + 2)

2  – 27

Vaäy Bmin = –

27

2 taïi x = -5

c C = 5x – x2 = - [x2 – 2.x 5

2 + ( 2)

2]+ 25

4

= 25

4 – (x – 2)

225

4 Vậy Cmax = 25

4 x =

* PHỐI HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP:

MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ THỂ GIẢI ĐƯỢC NHIỀU CÁCH

HOẶC TRONG MỘT CÁCH CÓ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2. Giải :

Ta có 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2– z2) (Đặt nhân tử chung ) = [( x2 + 2xy +y2) – z2] (Nhóm)

= 3[(x + y)2– z2] ( Dùng đẳng thức ) = 3(x + y + z)(x + y– z)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16. Giải :

Caùch1: Ta coù x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 (Tách -10x thành -2x -8x) = (x2 – 2x) – (8x – 16)

= x(x – ) – 8(x - 2) (x – 2)(x – 8)

Cách 2: Ta có x2 -10x +16 = x2 – – 10x + 20 (Tách 16 thành -4 vaø 20 ) = (x2 – 4) – (10x – 20)

= (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2) = (x – 2) (x + – 10)

= (x – 2) (x – 8)

Caùch 3: Ta coù x2 -10x +16 = x2 – 4x + – 6x + 12 (Taùch -10x thaønh -4x vaø -6x ; = (x2 – 4x + 4) – (6x – 12) 16 thaønh vaø 12)

= (x – 2)2 – 6(x – 2) = (x – 2) (x – – 6) = (x – 2) (x – )

Giaûi :

Caùch1: 4x2 – 3x – = 3x2– 3x + x2 – (Tách 4x2 thành3x2 x2 ) = 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1)

= (x – 1)(3x + x +1) = (x – 1)(4x + 1)

Caùch : 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – (Tách -3x thành -4x vaø x) = (4x2 – 4x) + ( x – 1)

= 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1)

Caùch : 4x2 – 3x – = 4x2– – 3x + (Taùch -1 thaønh -4 vaø 3) = 4(x2 – 1) – 3( x –1)

= 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1) = (x – 1)(4x + 1)

* Nhận xét :

Một tốn có nhiều lời giải khác cuối có chung một kết Như tiết luyện tập, giáo viên cho học sinh giải số tập ở dạng khác nhau, sử dụng phương pháp khác nhau, sau nhận xét so sánh, lời giải hay ngắn gọn.

Giáo viên cho học sinh làm số tập sau :

b/ Bài tập tự luyện :

Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x3 – 2x2y + xy2 – 9x

b 2x – 2y – x2 + 2xy – y2

c x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

Bài : Tìm x bieát

a 7x – 6x

2

– = 0

b 16x – 5x

2

– = 0

c 2x

2

+ 3x – = 0

HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Mệnh đề : Nếu hai đa thức A B hạng tử bậc hai đa thức đó phải có hệ số

Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 5x2 + 8x –

Giải : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – x2+ 2x + 6x – 3

= (2x3 – x2) –(4 x2– 2x) + (6x – 3) = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1)

= (2x – 1) (x2– 2x+ 3).

 Nhận xét : Đa thức bậc ba ví dụ phân tích thành tích mộtt nhị thức bậc tam thức bậc hai, ta cịn có cách giải tổng quát sau :

Với đa thức bậc : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 (a1 0) ta ln phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai sau :

a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = (ax + b ) (cx2 + dx + m) (*)

 a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm

Đồng hệ số với ta được:

1

1

1

1 ac a ad bc b am bd c bm d             

Giải ta tìm giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải (*) ta có kết cần tìm. p dụng : Bài tốn ví dụ 1ta có cách giải khác sau :

Ta coù 2x3 – 5x2 + 8x – = (ax + b ) (cx2 + dx + m)

 2x3 – 5x2 + 8x – = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm Đồng thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3

Giả thiết a > (nếu a < ta đổi dấu hai nhân tử ) a = a = Xét a =  c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = , bm = -3 , b 1; 3 Xét b = -1 m = , d = -2 thỏa mãn điều kiện

Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có : 2x3 – 5x2 + 8x – = (2x – 1)(x2 – 2x + 3) Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3+ 3x2 + 3x + 2

Giải:

Đặt x3 + 3x2 + 3x + = (ax + b ) (cx2 + dx + m)

 x3 + 3x2 + 3x + = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm Đồng thức ta có:

1 3 ac ad bc am bd bm             

Xét b = m =1, d = thỏa mãn điều kiện Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = ta coù :

x3 + 3x2 + 3x + = (x + 2)(x2 + x + 1).

* Nhận xét:

Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ hệ số để ta đưa ra giá trị tương ứng a,c từ ta tìm giá trị hệ số lại

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp dùng hệ số bất định a 2x3 – 12x2 + 17x – 2

b 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1.

Bài : Tìm số nguyên a cho đa thức (x + a)(x – 5) + phân tích thành (x + b)(x + c) với b, c số nguyên

Bài 3: Tìm số nguyên m cho đa thức (x + m)(x + 5) + phân tích thành (x + a)(x + b) với a, b số nguyên

c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện:

Các lời giải mong đợi học sinh trình bầy được:

Baøi :

a Đồng đa thức với đa thức cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ta : ac = 2, ad + bc = -12, am + bd = 17, bm = -2

Giả thiết a > (nếu a < ta đổi dấu hai nhân tử ) a = a = Xét a =  c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b 1 ; 2

Xét b = -2 m = 1, d = -8, thỏa mãn điều kiện Vậy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m =

2x3 – 12x2 + 17x – = (x – 2)(2x2 – 8x + 1).

b Đa thức 3x2 – 22xy– 4x + 8y + 7y2 + phân tích thành nhân tử có dạng (3x + ay + b)(x + cy + d)

Phép nhân cho ta kết 3x2 + (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy2 + bd. Đồng đa thức với đa thức 3x2 –22xy– 4x + 8y + 7y2 + ta :

3c + a = -22; 3d + b = -4 ; ad + cb = 8; ac = 7; bd =

Từ bd = 3d + b = -4 nên b = d = -1 ac = mà a + c = -8 nên c = -7, a = -1 Thỏa mãn 3c + a = -22

Vaäy a = b = d = -1; c = -7

Neân 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + = (3x - y - 1)(x - 7y - 1).

Baøi :

Với x ta có (x + a)(x – 5) + = (x + b)(x + c) (1) Khi x = = (5 + b)(5 + c)

Giả sử b c ta xét hai trường hợp : * 55 cb 12 bc34

  

 

Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + = (x – 3)(x – 4) với x

Với x = a = -2 Vậy đa thức phân tích thành (x – 2)(x – 5) + = (x – 4)(x – 3) * 55 bc 21 bc67

  

 

Thay vào (1) ta (x + a)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) với x

Với x = a = -8 Vậy đa thức phân tích thành (x – 8)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6)

Baøi 3:

Bài giáo viên yêu cầu học sinh tự giải

Kết quả: (x + 9)(x + 5) + = (x + 8)(x + 6) với m = (x +1)(x + 5) + = (x + 2)(x + 4) với m =

ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ

Phân tích đa thức thành nhân tử ta phải dùng biến phụ việc phân tích được đơn giản

a/ Các ví dụ :

Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128

Giải :

Ta có A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128 = (x2 + 10x )(x2 + 10x + 24) +128

Đặt x2 + 10x + 12 = y Khi đa thức cho trở thành : (y – 12)(y +12) +128 = y2 -144 +128 = y2 - 16

= (y - 4)(y + 4)

= (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16).

 Nhận xét : Ở ta dùng biến phụ y = x2 + 10x + 12 Như dùng biến phụ để phân tích đa thức thành nhân tử sau phân tích xong ta phải đổi biến cũ.

- Đối với toán thường dùng phương pháp đặt biến số phụ ý : + Khi a + b = c + d ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)]

và đặt y = x2 + (a + b)x +

2

ab cd

+ Khi a + c = b + d ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)] vaø ñaët y = x2 + (a + c)x +

2

ac bd

+ Khi a + d = b + c ta gheùp [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)] Và đặt y = x2 + (a + d)x +

2

ad bc

Aùp dụng toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau :

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24

Giải : Ta có A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do + = -1+ 2) = (x2 + x )(x2 + x – 2) – 24

Đặt x2 + x – = y Đa thức cho có dạng : (y +1) (y – 1) – 24 = y2– – 24 = y2– 25 = (y – 5)(y + 5)

= (x2 + x + – 5)(x2 + x + + 5). = (x2 + x – 4)( x2 + x + 6)

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72

b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 c (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

Baøi : Giải phương trình

(6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = 6

Baøi : Tìm giá trị nhỏ

A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện:

Các bước giải kết cần hướng dẫn cho học sinh:

Baøi 1:

a Ta có : (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 4)( x2 – 10) – 72 Đặt x2 – = y, đa thức trở thành :

(y – 3)( y + 3) – 72 = y2 – – 72 = y2 – 81

= (y – )(y + 9)

= (x2 + ) (x2 – 16)

= (x2 + 2) (x + 4) (x – 4)

b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72 = (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72

Đặt x2 – 9x + 17 = y Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72 Làm tương tự câu a ta kết sau:

(x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8). = (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1).

c Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy x + y + z = hay z = -(x + y) Từ đa thức có dạng :

x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2) = (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2)

= (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 ) = -3xy(x + y)

= 3xyz Vaäy B = 3(a – b)(b – c)(c – a)

Qua ta suy : Nếu có X + Y + Z = ta coù X3 + Y3 + X3 = 3XYZ

Bài :

Giải phương trình

(6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = 6

 (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) 12 = 12  (6x + )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72

Đặt 6x + = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72  y4 – y2 – 72 = 0

 y4 – 9y2 + 8y – 72 = 0  y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) = 0

 (y2 – 9)(y2 + 8) =  y = -3 y = Với y = -3  x =

3 

Với y =  x =

3 

Vậy phương trình có nghiệm 



Bài : Ta có :

A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)] = (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6) Đặt x2 + 5x = y A = y2 – 36  -36

ÁP DỤNG THỰC HÀNH :

Sử dụng Máy tính bỏ túi Casio fx-570MS để phân tích đa thức

thành nhân tử

Kiến thức cần nhớ:

Định lý (Định lý Bơdu) : (Nhà toán học Pháp Bezout 1730-1783) Đa thức f(x)  x – c  f(c) = 0.

Số c gọi nghiệm đa thức f(x) f(x) phân tích f(x) = (x – a ).g(x) Trong g(x) đa thức có bậc nhỏ đơn vị so với bậc đa thức f(x)

Định lý : Cho đa thức bậc n , f(x) = anxn + an-1xn-1 +…….+ ao có n nghiệm là c1, c2, c3,…cn

thì f(x) phân tích thành nhân tử f(x) = an(x –c1)(x –c2)….(x –cn)

(Vì lý sư phạm nên ta cơng nhận không chứng minh hai định lý ) Do máy tính Casio fx-570MS có chức giải phương trình, nên ta dạy học sinh biết cách sử dụng máy đểø tìm nghiệm phương trình, từ áp dụng vào phân tích đa thức thành nhân tử

a/ Các ví dụ :

Ví dụ1 :

Cho đa thức P(x) = 2x2 + 4x – 6. a/ Tìm x để P(x) =

b/ Em phân tích P(x) thành nhân tử Giải :

a/ P(x) =  2x2 + 4x – =

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm P(x) dãy phím sau: MODE 3 (EQN)  (Degree) 2

  ( )   máy cho kết x1 = 1, ấn tiếp máy cho kết x2 = -3

Vaäy x = ; -3 P(x) =

Ví dụ2 :

Cho đa thức f(x) = 5x3 – 10x2 – 25x + 30 a/ Tìm x để f(x) =

b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử Giải :

a/ Để f(x) = 5x3 – 10x2 – 25x + 30 =

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm P(x) dãy phím sau: MODE 3 (EQN)  (Degree) 5

 ( )  ( )   máy cho kết x1 = -2, ấn tiếp  máy cho kết x2 =1, ấn tiếp  máy cho kết x3 = Vaäy x = -2; 1; f(x) =

b/ Theo câu a, f(x) có nghiệm x = -2; 1; nên f(x) phân tích thành nhân tử sau: f(x) = 5(x + 2)(x – 1)(x – 3)

Ví duï3 :

Cho f(x) = x3 – 3x2 – 3x – 4 a/ Tìm x để f(x) =

b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử Giải :

a/ f(x) =  x3 – 3x2 – 3x – = 0.

Quy trình bấm phím giống ví dụ ta tìm nghiệm x = b/ Theo câu a f(x) có nghiệm

Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương ta có:

Vậy x3 – 3x2 – 3x – = (x – 4)(x2+ x +1) Ví dụ4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

f(x) = 10x5 – 81x4 + 90x3 – 102x2 + 80x - 21.

Giải : Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm f(x) cách nhập f(x) vào máy dãy phím sau:

1 ALPHA x ^  ALPHA x ^  ALPHA x ^ 

1 ALPHA x ^  ALPHA x  ấn tiếp ALPHA  sau

x -3 -3 -4

đó ấn tiếp SHIFT SOLVE SHIFT SOLVE chờ chút máy cho kết x =

2 Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương , ta có:

x 10 -81 90 -102 80 -21

1

10 -76 52 -76 42 Vaäy f(x) = (x - 12)(10x4 – 76x3 + 52x2 - 76x + 42).

g(x)

Sau nhập đa thức g(x) = 10x4 –76x3 + 52x2 - 76x + 42 vào máy dãy phím sau :

1 ALPHA x ^  ALPHA x ^  ALPHA x ^ 

7 ALPHA x  ALPHA  SHIFT SOLVE SHIFT SOLVE máy x = Dùng sơ đồ Hoocne , ta có :

x 10 –76 52 -76 42

7 10 -6 10 -6

Vaäy f(x) = (x - 12)(x – 7) (10x3 – 6x2 + 10x – ) = 2(x -

2)(x – 7)(5x

3 – 3x2 + 5x - 3) = (x - 12)(x – 7)[ x2( 5x – 3) + (5x - 3)] = (2x - 1)(x – 7)( 5x – 3)( x2 + 1)

Chú ý:

Trong trình tìm nghiệm máy thứ tự nghiệm máy cho kết không giống (thì ta dùng sơ đồ Hoocne phân tích ứng với nghiệm mà máy tìm ) nhưng tập nghiệm phương trình

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x5 – 4x4 + 2x3 – x2 + 21x – 18

b 4x4 + 12x3 + 5x2 – 6x – 15

Bài : Cho đa thức g(x) = 11

24 24

x x x x

  

 MỘT SỐ SAI SĨT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC:

Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy thiểu số học sinh tiếp thu dễ dàng nội dung trên, nhờ cụ thể hóa phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào giải tập Tuy nhiên, nhiều học sinh sai sót, làm thiếu xác cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng với cịn hay sai dấu …

Sau ví dụ minh họa:

Bài giải học sinh Những sai sót và cách khắc phục

Bài giải đúng Bài toán 1: Phân tích đa

thức 3x2 – 6x thành nhân tử

Học sinh 1 : Ta có:

3x2 – 6x = 3(x2 – x)

Hoïc sinh :

Ta coù:

3x2 – 6x = x(3x – )

Thiếu sót :

Cả hai học sinh đặt nhân tử chung nhiên thiếu Cụ thể :Ở học sinh thứ thiếu nhân tử x

Ởû học sinh thứ hai thiếu nhân tử

Khắc phục :

Nhắc laiï cách tìm nhân tử chung

Ta coù: 3x2 – 6x = 3x(x - 2)

Bài tốn 2: Phân tích đa

thức x2 – y2 + 4x + 4 thành nhân tử

Giải:

Học sinh 1 : Ta có :

x2 – y2 + 4x + = (x2 – y2)

Sai soùt :

+ (4x + 4) = (x + y) (x – y )+ 4(x + 1)

Hoïc sinh 2 : Ta coù :

x2 – y2 + 4x + = (x2 + 4x) + (4 – y2) = x (x + 4) + (2 – y) (2 + y)

Bài tốn 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x2 – 9y2

a b (x

– y )2 – (2y – z)2

Giải:

Học sinh 1 : Ta coù :

x2 – 9y2 = (x + 9y)( x – 9y)

Hoïc sinh 2 : Ta coù :

(x – y )2 – (2y – z)2 = (x – y + 2y – z)(x – y – 2y – z )

= (x + y – z)(x – 3y – z )

nhóm không hợp lý, nên bước phân tích

Khắc phục :

Gv cần lưu ý cho hs nhóm hạng tử thích hợp :

+ Mỗi nhóm phân tích

+ Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích phải tiếp tục

Sai soùt :

Học sinh 1, có lời giải sai, học sinh định hướng đẳng thức áp dụng chưa

Khắc phục:

* Chú ý 9y2 chưa viết dưới dạng lũy thừa, 9y2 (9y)2 * Khi hạng tử B đẳng thức đa thức viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc

Ta coù : x2 – y2 + 4x + = (x2 + 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y 2

= (x – + y)(x – – y )

Ta coù : x2 – 9y2 = x2 – (3y)2 = (x + 3y )(x – 3y )

Ta coù :

(x – y )2– (2y – z)2= [(x – y) +( 2y – z)][(x – y) – (2y – z)] = (x – y + 2y – z)(x – y – 2y + z )

C- KẾT QUẢ VẬN DỤNG VÀO GIẢNG DẠY

 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (trên phương pháp mà học sinh hay sử dụng )là chủ đề toán hay, nghiên cứu sâu thấy thú vị, áp dụng giải tốn phương trình, vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhỏ biểu thức đại số, nhiên việc sử dụng

Máy tính bỏ túi Casio f(x)-570MS để phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng tìm

nghiệm phương trình nội dung có nhiều điểm mới, hút học sinh trung học sở

 Trước đề tài đưa vào áp dụng kết khảo sát cho biết mức độ nhận thức khả vận dụng học sinh thấp, kết tổng hợp bảng sau:

Năm học Chất lượng trước thực đề tài

Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 09- 10 3 5% 6 10% 15 25% 20 33,3

% 16 26, %7

 Qua giảng dạy số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh nắm tương đối vững vận dụng cách giải góp phần nâng cao hiệu giảng dạy giáo viên rèn học sinh khả tư toán, độ linh hoạt, sáng tạo kỹ thực hành học sinh

 Sau đề tài đưa vào áp dụng dạy tiết luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuối kỳ ôn luyện học sinh giỏi vòng trường kết học sinh đạt sau:

Năm học Chất lượng sau thực đề tài

Giỏi Khá Trung bình Yếu Keùm SL % SL % SL % SL % SL % 09- 10 9 15% 17 28,3

D- KẾT LUẬN CHUNG

 Mặc dù thân có nhiều cố gắng, nhiên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong Hội đồng khoa học góp ý xây dựng để đề tài tơi hồn thiện

Than Uyên, ngày 10 tháng 01 năm 2010 GIÁO VIÊN THỰC HIỆN

KiỊu ViƯt TuÊn

NHẬN XÉT VAØ ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI

CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG

Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa sách tập toán (Nhà xuất GD). 2 Nâng cao phát triển toán (Tập 1, 2)

Tác giả: Vũ Hữu Bình NXBGD Tốn bồi dưỡng học sinh lớp